chapter 2pirun.ku.ac.th/~faastwc/02739311/doc/chapter2-57.pdf · 2015-08-18 · 8/13/2014 1 1...

8/13/2014

1

1

Chapter 2Data Representation in

Computer Systems

2

Chapter 2 Objectives

• เขาใจการคานวณและการแทนขอมลตวเลขใน digitalcomputers.

•

•และการตดทอนตวเลข(overflow and truncation.)

3

Chapter 2 Objectives

•

• เขาใจความแตกตางระหวางการเกบขอมลในหนวยความจาและการสงขอมลออกไปตามสายสญญาณและการเกบในฮารดดสก

• เขาใจแนวคดการตรวจจบขอผดพลาดและรวบรวมรหส

4

2.1 Introduction

• bit (1) computer.– “on” หรอ “off” ในความหมายของ digital

circuit.– หรออาจใช “high” หรอ “low” voltage แทน “on” หรอ

“off..”• byte (1) 8 bits.

– A byteของคอมฯ( computer storage)

– คาวา “addressable” หมายถง การอาน/เขยนขอมลbyte ใดๆ ในหนวยความจาโดยการระบตาแหนงในหนวยความจา

5

2.1 Introduction

• word (1) เปนกลมของ byte– Word อาจอประกอบดวยจานวน bits หรอ bytes ตางๆกนได– ปกตนยมใช Word sizes of 16, 32 หรอ 64 bits

– word-addressable system จะใช 1 wordเปนหนวยเลกสดในการอางองในหนวยเกบ( unit of storage.)

• กลมของ 4 bits เรยกวา nibble ( nybble).– 1 Byte ประกอบดวย 2 nibbles โดยแบงเปนนบเบลสง

(high-order nibble) (low-order” nibble)

6

2.2 Positional Numbering Systems

• คาของBytes จะเปนตวเลขถามการคดคาโดยคาของแตละบตเปนผลคณประกอบกบเลข 2– binary system (base-2

system.)

– เลขฐานสบ เปนผลคณประกอบกบเลข 10 ของแตละหลก.

– จานวนใดๆสามารถแทนดวยเลขฐานbase (or radix)ใดๆกได

8/13/2014

2

7


• decimal number 947 เปนผลคณประกอบกบ 10 คอ

• decimal number 5836.47 เปนผลคณประกอบกบ 10 คอ :

5 10 3 + 8 10 2 + 3 10 1 + 6 10 0

+ 4 10 -1 + 7 10 -2

9 10 2 + 4 10 1 + 7 10 0

8


• binary number 11001 เปนผลคณประกอบกบ 2 คอ :

• เรากาหนดเลขฐานใดๆโดยใชสญลกษณตวหอย(subscript)

– 10 เนนเลขฐาน:

110012 = 2510

1 2 4 + 1 2 3 + 0 2 2 + 0 2 1 + 1 2 0

= 16 + 8 + 0 + 0 + 1 = 25

9

2.3 Decimal to Binary Conversions

• เพราะ binary numbers dataใน digital computer systems

• จะทาใหคณเขาใจการทางานของอปกรณประกอบตางๆรวมถง(instruction set

architectures)

10


• การ ฐานโดยอาศยการหาร

•

• 0•

11

• Converting 190 to base3...–

– 3 มาหาร 190 ได63 1.

– ใสผลหารและเศษ


12

• Converting 190 to base3...– หาร 63 ตอดวย 3.

– เหลอเศษ 0 ผลลพธ 21.


8/13/2014

3

13

• Converting 190 to base3...––

คาตอบคอ:

19010 = 210013


14


• คาของเศษสวน(ทศนยม)จะใชการประมาณในการ• เชน ½ 2 และ 10 ได

3 ตองใชการประมาณ

15

2.3 Decimal to Binary Conversions• เลขทศนยมฐาน 10 คอเลขฐาน 10 0 ทางขวาของ

จดทศนยม• 0 ทางขวาของจด

ทศนยม• จานวนทางขวามอของจดทศนยมคอคาคณประกอบกบคาฐานยกกาลง

:

0.4710 = 4 10 -1 + 7 10 -2

0.112 = 1 2 -1 + 1 2 -2

= ½ + ¼= 0.5 + 0.25 = 0.75

16

• การใช multiplicationmethoddecimal 0.8125 เปนbinary ใชการคณดวยฐาน 2–


17

• Converting 0.8125 tobinary . . .–

เตมหลกเรายงตงใชเศษสวนมาทาการคณดวยฐาน 2


18

• Converting 0.8125 tobinary . . .–

ตองการแลว– :

0.812510 = 0.11012

–


8/13/2014

4

19


•digital computers.

• อยางไรกตาม จะอานยากมากเพราะหลกของตวเลขเยอะมากเชนคาของstring หรอแมคาตวเลขฐาน 10ฐาน 2 กจะยาวมาก– เชน: 110101000110112 = 1359510

• 16 มาแสดงแทนฐาน2

20


• ระบบตวเลขฐาน 16 จะประกอบไปดวยตวเลข 0 ถง 9 และตวอกษร A ถง F– decimal number 12 = B16.– decimal number 26 = 1A16.

• 2 เปน ฐาน 16 เพราะ 16 = 24.• 2 เปน ฐาน 16 จะใชการ group ฐาน 2 digits

4 bit

กลม 4 bit จะเรยกวา “hextet”

21


• groups of hextets, the binary number110101000110112 (= 1359510) in hexadecimal is:

• Octal (base 8) values are derived from binary byusing groups of three bits (8 = 23):

Octal computers ใชขนาดของword เปน 6 bit.22

2.4 Signed Integer Representation

•• ในการแสดงคาตวเลขลบ computer systems จะ

สารอง high-order bit– high-order bit byte หรอเรยกวา

most significant bit.

• สวนbit

23


• ม 3 วธในการแสดง :– Signed magnitude,– One’s complement– Two’s complement.

• เชน ใน 8-bit word คาของ signedmagnitude จะหมายถงคาของ 7 bits ทางขวามอของ sign bit.

24


• เชน 8-bit signed magnitude คาของ 3เปนบวก คอ: 00000011

• - 3 คอ : 10000011

• Computers จะทาการคานวณคาของ signedmagnitude numbersบนกระดาษ–

8/13/2014

5

25


• การบวกเลข Binary :0 + 0 = 0 0 + 1 = 11 + 0 = 1 1 + 1 = 10

•2 ไปยงวงจรดจตอล(digital circuit)ได– digital circuit 3

26


• Example:– การใช signed magnitude

binary arithmetic หาผลบวกของ 75 และ 46.

• 75 และ 46 เปนฐาน2 โดยแยก bitbitของจานวน.

27




• การบวกจะทาเหมอนการบวกฐาน 10 คอ

28




• Bitขางบน bit

29


• Example:– การใช signed

magnitude binaryarithmetic หาผลบวกของ75 และ 46

• Bit

30




• 8

8/13/2014

6

31




– เราจะเหนวามการทดออกจาก bit 7

107 + 46 = 25

32


•

กระดาษ– เชน: การใช signed

magnitude binaryarithmetic หาผลบวกของ -46 และ - 25.

•

33


• .– Example: การใช signed

magnitude binaryarithmetic หาผลบวกของ46 และ - 25.

•– Note มการยมการ bit 2 และ 7

34


•สรางตองสราง computer hardware

• 2แทนคา ศนย คอ: positive zero และ negativezero.

• computer hardware งายและไมสลบซบซอน

35


• ในระบบ complement systems คาลบ(negativevalues)

• ในการหาcomplement systems ของเลขฐานจานวนลบ จะ

ฐานอย 1• binary system การหา one’s

complement จงเสมอนเปนการกลบ bit เปนคาตรงขาม

36


• For example, in 8-bit one’s complement, + 3= 00000011

• - 3 = 11111100– ในการหา one’s complement

ดวย 1 high order bit.• Complement systems are useful because they

eliminate the need for special circuitry forsubtraction. The difference of two values is foundby adding the minuend to the complement of thesubtrahend.

8/13/2014

7

37


• ในการบวกคาของone’scomplement คาตวทดจะถก

– เชน : ใชการบวก one’scomplement หาผลบวกของ 48และ - 19

19 = 00010011

-19 = 11101100

38


• ถงแมจะมการนาตวทดวนกลบมาบวก ระบบ one’s complementกยงงายในการสรางวงจรคานวณมากวา signed magnitude

• แตกยงคงมความแตกตางระหวาง +0 และ -0• จงใชวธTwo’s complement

• Two’s complement is the radix complement ofthe binary numbering system.

39


• การหาจานวนในรป two’s complement:– ถาจานวนเปน positive .– ถาจานวนเปน negative ตองหา one’s complement กอนแลว

บวกดวย 1.• Example:

– In 8-bit one’s complement, positive 3 is:00000011

– Negative 3 in one’s complement is:11111100

– Adding 1 gives us -3 in two’s complement form:11111101.

40


• ในการคานวณแบบtwo’s complement เราจะบวก binary2 high order bit.

19 = 00010011

-19 in one’s complement = 11101100

-19 in two’s complement = 11101101

– เชน: การใช two’scomplement binaryarithmetic หาผลบวกของ 48และ - 19.

41


•

“overflow”• แตเราสามารถตรวจจบการเกดoverflow ได

• โดยใชวธของ complement arithmeticoverflow งายตอการตรวจจบ

42


• Example:– ใช two’s complement binary

arithmetic หาผลรวมของ 107 และ46.

• จะเหนวาเกดการทดจากbit 7 ไปยง signbit (bit 8) overflowsและใหผลลพธผดพลาด: 107 + 46 = -103.กฎการหา two’s complement overflow: “carry in” และ“carry out” ของ the sign bit แตกตางกน overflow .

8/13/2014

8

43

2.5 Floating-Point Representation

• one’scomplement และ two’s complement

•ทางดานscientific หรอ businessกบจานวนจรง( real number)

•

44


• floating-point จะใชinteger formatfloating-point emulation

• computer จะมอปกรณ hardware สาหรบการคานวณfloating-point arithmetic โดยไมตองprogram

45


• Floating-point numbersขวามอของจดทศนยม เชน: 0.5 0.25 = 0.125

• สามารถเขยนในรปแบบของ scientific notation.– เชน:

0.125 = 1.25 10-1

5,000,000 = 5.0 106

46


• Computers จะใชรปแบบ scientific notation สาหรบการแสดง floating-point

• scientific notation จะมสวนประกอบ 3สวน คอ:

47

• Computer จะแสดง floating-point number ดวยfields 3 :


รปแบบการจดเรยงของแตละ field

48

• one-bit sign field• ขนาด exponent field• ขนาด significant ใชกาหนดความแนนอนของตองการแสดง


8/13/2014

9

49

• มาตรฐาน IEEE-754 single precision floating point ใช 8-bit exponent และ a 23-bit significant.

• มาตรฐาน IEEE-754 double precision standard ใช 11-bitexponent และ 52-bit significant.


14-bit model 5-bit exponent และ 8-bitsignificant.

50

• นยสาคญของ floating-point number มกจะเขยนนาหนาดวย binary point.

• binary value.• สวนของ exponent แสดงกาลงของ 2 ของคานยสาคญ


51

• ตวอยาง:– แสดง 3210 โดยใช 14-bit floating-point model.

• 32 = 25. 32 = 1.0 x 25 = 0.1 x26.

• 110 (= 610) ในสวนของ exponent field และ1 ในสวนของนยสาคญ


52

•เปนการแสดงคา 32ใช simplifiedmodel.

•แตยงสบสน


53

•สามารถแสดงคา 0.5 (=2 -1)! (เพราะไมสามารถม

exponent field ได)


54

• IEEE-754 จงใหสวนของ significantทศนยมตองเปน 1–


ใน simple instructional model เราไมไดใช bit 1 หลงทศนยม.

8/13/2014

10

55

•(biased exponent)

• (bias number)25 = 16

– 16( excess-16representation)

• 16


56

• ตวอยางเชน:– การแทนคา 3210 ในรปแบบ 14-bit floating-point

model.

• จาก 32 = 1.0 x 25 = 0.1 x 26.• ใช excess 16 biased exponent เราจะทาการบวก 16

ดวย 6 ไดผลลพธ 2210 (=101102).• แสดงไดดงรปขางลาง


57

• Example:– จงแสดงคาของ 0.062510 ในรปแบบของ 14-bit floating-

point model.• จาก 0.0625 = 2-4. จะได 0.0625 = 1.0 x 2-4 = 0.1 x

2 -3.• ใช excess 16 biased exponent โดยบวก 16 กบ -3,

ได 1310 (=011012).


58

• Example:– จงแสดง -26.62510 ในรปของ 14-bit floating-point

model.• 26.62510 = 11010.1012. ทา Normalizing จะได

26.62510 = 0.11010101 x 2 5.• ใช excess 16 biased exponent เราจงบวก16 กบ 5, ได

2110 (=101012). และใสคา 1 ลงใน sign bit.


59

• มาตรฐานของ IEEE-754 single precision floating point จะใช(bias) ของ 127 ของคายกกาลง 8-bit

– คายกกาลงของ 255 แสดงใหถงคา.• infinity.• NaN หมายถง “ไมใชตวเลข” ใชแสดงการ

เกด error

• double precision standard 1023 ของคายกกาลง11-bit– “special” exponent สาหรบ a double precision number เปน

2047 255 single precision standard.


60

• 14-bit model และ the IEEE-754 floatingpoint standard– 0 แสดงเปนคา 0 ในสวนของ exponent และ significant แต

0 หรอ 1.

• programmersเปรยบเทยบคา floating-point value กบคาศนย(zero)– -0 ไมเทากบ +0.


8/13/2014

11

61

• การบวกและการลบเลข Floating-point จะใชวธเหมอนคานวณดวยมอ

•แลวบวก สวนของ significantยงคงเดม

• ถากาลงไมเทากน จาเปนตองปรบใหเทากน


62

• Example:– การหาผลบวก 1210 และ 1.2510 โดยใช 14-bit floating-

point model.• จาก 1210 = 0.1100 x 2 4. และ 1.2510 = 0.101 x 2 1 =

0.000101 x 2 4.


• ผลรวมคอ 0.110101x 2 4.

63

• การคณ Floating-point กคลายกบการคณดวยมอ• โดยการคณสองจานวนและบวกคาของ exponents.• ถาสวนของ exponent ไมเทากนตองปรบใหเทากน


64

• Example:– จงหาผลคณของ 1210 และ 1.2510 โดยใช 14-bit floating-point

model.• จาก 1210 = 0.1100 x 2 4. และ 1.2510 = 0.101 x 2 1.


• ผลลพธ 0.0111100 x 2 5

= 0.1111 x 2 4.• การทา normalized ผลคณ

2010 = 101102.

65

• ไมสาคญวาเราจะใชจานวน bitfloating-point ตองมความแนนอน.

• สาหรบจานวนจรง model•

bit ในmodel


66

• error หรอไมกพยายามทราบคาของerror .

• เชน ใน 14-bit model128.5 ไดอยางลงตว เพราะ

128.5 = 10000000.12 = 128.510


8/13/2014

12

67

•

• 0.5 ใหกบ 128.5เกอบๆ 2% หลงจากทา 4 รอบ


128.5 - 128128

0.39%

68

• Floating-point errors operands .• ถาเราทาการบวก0.5 เขากบ 128.5 0.5 กบตวมนเองแลวนา

128.5 มาบวกดวย• error จะเกดจากการสญเสย the low-order bit.• แตการสญเสย high-order จะยงยากกวามาก


69

• การเกด Floating-point overflow และ underflow จะทาใหprograms หยดทางาน (crash)

• Overflow high-orderbit จากการคานวณ

• Underflowจากการหารดวย 0


70

•

computer bitpatterns

2.6 Character Codes

71

• computers พฒนาไป charactercodes พฒนาไปกพฒนาไปดวย

• โดย computercharacter codes ไดมาก

• ในสมยกอน computer ใชระบบรหสตวอกษร 6 bits.• Binary-coded decimal (BCD)

IBM mainframes ประมาณป1950s -1960s.

2.6 Character Codes

72

• ตอมาในป 1964, BCD ไดขยายเปน 8-bit code เรยกวาExtended Binary-Coded DecimalInterchange Code (EBCDIC).

• EBCDICupper และ lowercase alphabetic characters

punctuation และ controlcharacters.

• EBCDIC และ BCD ยงคงถกใชในIBMmainframes

2.6 Character Codes

8/13/2014

13

73

• ผผลต computer บางรายเลอกใช 7-bit ASCII (AmericanStandard Code for Information Interchange) มา

6-bit• BCD และEBCDIC

ASCII(telecommunications (Telex) codes.)

• ณ. ASCII ไดรบความนยมเหนอกวารหสของIBMmainframe

2.6 Character Codes

74

• Unicodeใชถง16-bit สามารถใชแทนรหสของตวอกษรเกอบทกภาษาบน

– Java programming language และบางoperating systems ใช Unicode เปนรหสอกษรมาตรฐาน

• รหสUnicode แบงออกเปน 6 สวน สวนแรกใชเปนรหสของตวอกษรตะวนตกเชน English, Greek, และ Russian.

2.6 Character Codes

75

• การแบงรหส Unicodeสามารถแสดงไดทางขวามอ

•ASCII code.

•กาหนดเอง(user-defined codes)

2.6 Character Codes

76

• computer memory คาของมนอาจจะกากวม

• disk หรอถกสงไปตามสาย–

• Data errors จะสามารถลดลงไดโดยการหาวธ codingmethods (error-detection techniques)

2.7 Codes for Data RecordingAnd Transmission

77

• ในการสงขอมล กระแสฟาในรปแบบของสญญาณสง-(communications media)

•– flux

reversals.

• ระหวางเวลาในการ bitเกบขอมล 1 bit เรยกวา bit cell.


78

• รหสการบนทกและสงขอมลอยางงาย(simplest data recording andtransmission code) คอวธe non-return-to-zero (NRZ)

• NRZ เขารหส 1 เปน “high” และ 0 เปน “low.”• การเขารหสขอมลคาวาOK (in ASCII) แสดงไดดงขางลาง


8/13/2014

14

79

• ปญหาของ NRZ 0 และ 1จานวนมาก

• วธ Non-return-to-zero-invert (NRZI) จะชวยลดการbit 1


80

• ถงแม NRZI จะชวยลดการสญเสยbit 1 มากๆไดแตยงไมสามารถปองกนการสญเสย bit 0 มากๆได

• วธ Manchester coding (หรอเรยกวา phasemodulation) bit 1bit 0 เปนขาลง


81

• Manchester code ถกใชเปนวธการสงขอมลสาหรบใน local area networks.

•bit cell.

• วธ frequency modulation (FM) code. bit 1 ใหมกลางcell transit


82

• ดเหมอนวาวธของ FM จะดอยกวา Manchester codeเพราะตองมcell

•• วธของ Modified FM

cell 0• ใน MFM cell จะประกอยดวย bit 1 .


83

•เกดจากการ recording หรอ transmission ไดเลย

รบกวน•

สงดวย•

2.8 Error Detection and Correction

84

• วธ Check digits เปนการใส Check digitsปองกน data input errors.– เชน อกษรตวสดทายของ UPC barcodes และ ISBNs เปน check

digits.

•ขอผดพลาด

• วธ Cyclic redundancy checking (CRC) จะสนบสนนตรวจจบขอผดพลาด สาหรบ large blocks of data.


8/13/2014

15

85

• Checksums และCRCs (systematic error detection)

• control bits ตอนทายสดของ block of transmitteddata.– เรยกกลม bits syndrome.

• CRCs เปน polynomials ของ modulo 2 arithmetic field.


86

• Modulo 2


0 + 0 = 0 0 + 1 = 11 + 0 = 1 1 + 1 = 0

87

• Find the quotient andremainder when 1111101 isdivided by 1101 in modulo 2arithmetic.– As with traditional division,

we note that the dividend isdivisible once by the divisor.

– We place the divisor under thedividend and perform modulo2 subtraction.


88

• Find the quotient andremainder when 1111101 isdivided by 1101 in modulo 2arithmetic…– Now we bring down the next

bit of the dividend.

– We see that 00101 is notdivisible by 1101. So we placea zero in the quotient.


89

• Find the quotient andremainder when 1111101 isdivided by 1101 in modulo 2arithmetic…– 1010 is divisible by 1101 in

modulo 2.

– We perform the modulo 2subtraction.


90

• Find the quotient andremainder when 1111101 isdivided by 1101 in modulo 2arithmetic…

– We find the quotient is 1011,and the remainder is 0010.

• This procedure is very usefulto us in calculating CRCsyndromes.


Note: The divisor in this example correspondsto a modulo 2 polynomial: X 3 + X 2 + 1.

8/13/2014

16

91

• Suppose we want to transmit theinformation string: 1111101.

• The receiver and sender decide touse the (arbitrary) polynomialpattern, 1101.

• The information string is shiftedleft by one position less than thenumber of positions in the divisor.

• The remainder is found throughmodulo 2 division (at right) andadded to the information string:1111101000 + 111 = 1111101111.


92

• If no bits are lost or corrupted,dividing the receivedinformation string by theagreed upon pattern will give aremainder of zero.

• We see this is so in thecalculation at the right.

• Real applications use longerpolynomials to cover largerinformation strings.– Some of the standard poly-

nomials are listed in the text.


chapter 2pirun.ku.ac.th/~faastwc/02739311/doc/chapter2-57.pdf · 2015-08-18 · 8/13/2014 1 1...

Documents