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CINEMÁTICA DE UN ROBOT BÍPEDO .

CINEMÁTICA DE UN ROBOT BÍPEDO

1. Introducción.

Tomando en cuenta la naturaleza de nuestro proyecto, es fundamental un detallado análisis

físico, que comprende la cinemática y dinámica del robot. En este artículo se estudiará la

cinemática.

Básicamente, el análisis cinemático de un robot comprende el estudio de su movimiento

con respecto a un sistema de referencia, de aquí, que esto implica:

• Cinemática directa.- A partir de valores conocidos de las articulaciones y

parámetros geométricos de los elementos del robot, se calcula la posición y

orientación del efector final1 con respecto a un sistema de referencia.

• Cinemática inversa.- Consiste en determinar la configuración que debe adoptar

un robot para obtener una posición y orientación determinadas del efector final.

• Matriz Jacobiana.- Establece relación entre las velocidades de las articulaciones

y el efector final.

Cabe destacar que las articulaciones pueden ser prismáticas (traslación) o giratorias.

Para determinar la posición y rotación de un cuerpo son suficientes seis grados de libertad

(tres de traslación y tres de rotación). Para definir la posición es común utilizar coordenadas

cartesianas (x,y,z) y para definir la rotación se suele utilizar los ángulos de Euler, que de entre

sus muchas notaciones, para este capítulo nosotros adoptaremos la convención roll(α), pitch(β)

y yaw(γ), tal como muestra la figura 1.

1 Extremo del robot, el cual es objeto de estudio.

1 Oscar Luis Vele G.


Figura 1. Posición y rotación de un cuerpo en el espacio (3D).

Por consiguiente, un robot necesita seis grados de libertar para lograr una posición y

orientación determinadas de su efector final. Si existe menos de seis grados de libertad, la serie

de posiciones y orientaciones alcanzables es limitada, en cambio, si hay más de seis grados de

libertad habrá redundancia, entonces, existirá un infinito número de posibilidades para alcanzar

una posición y orientación del efector final, siendo esto útil cuando se desea evitar obstáculos u

optimizar el tiempo, eligiendo configuraciones alternativas para las articulaciones.

2. Cinemática directa del robot.

Como se había mencionado anteriormente, el problema cinemático directo consiste en

encontrar la posición y orientación del efector final con respecto a un sistema de referencia, a

partir del estado de las articulaciones que conforman el robot, de manera que:

),...,2,1(),...,2,1(

),...,2,1(),...,2,1(),...,2,1(),...,2,1(

nnz

nny

nnx

qqqfqqqfz

qqqfqqqfyqqqfqqqfx

γ

β

α

γ

βα

==

====

Ec. 1

en donde, q1, q2, … , qn representan los valores de las articulaciones en un determinado

instante.

Existen varios métodos para encontrar la cinemática directa de un robot; entre los más

difundidos se tiene al uso de relaciones geométricas, el mismo que no es muy utilizado, por ser

un método asistemático y sirve para robots de pocos grados de libertad. Quizás el método más

difundido sea aquel que utiliza matrices de transformación homogénea, por presentar grandes



ventajas al momento de analizar un sistema complejo. Otra alternativa es la resolución de

cinemática directa mediante cuaternios2.

2.1. Matrices de transformación Homogénea.

Una matriz de transformación homogénea 4x4 relaciona dos sistemas de coordenadas, de

forma que:

01 .STS = Ec. 2

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡=

EscaladoaPerspectivTraslaciónRotación

WFPR

Txx

xx

1131

1333 Ec. 3

en donde, S1 representa el sistema de coordenadas móviles y S0 es el sistema de coordenadas de

referencia. En robótica se realiza una pequeña simplificación de modo que la matriz T se reduce

a:

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡=

10101333 TraslaciónRotaciónPR

T xx Ec. 4

que representa la posición y orientación de un sistema de coordenadas con respecto a un sistema

de referencia.

Mediante una matriz de transformación homogénea se asocia a cada eslabón un sistema de

referencia solidario, siendo posible representar rotaciones y traslaciones relativas entre los

eslabones. Una matriz de transformación entre dos eslabones consecutivos se representa de la

siguiente manera:

ii A1−

Mediante estas matrices se puede representar ya sea total o parcialmente la cinemática de

un robot, por ejemplo:

54

43

53

54

43

32

21

10

50

.

....

AAA

AAAAAAT

=

==

2 Refiérase a la publicación “Cinemática”, http://proton.ucting.udg.mx/materias/robotica/r166/r78/r78.htm


http://proton.ucting.udg.mx/materias/robotica/r166/r78/r78.htm


y lo más importante, es que la cinemática puede ser desarrollada mediante métodos

sistemáticos.

Para la resolución del problema cinemático directo, consideremos a la matriz de

transformación como:

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

1000zzzz

yyyy

xxxx

paon

paonpaon

T Ec. 5

en donde, aplicando la ecuación 2 con S0 en el origen (0,0,0), se obtiene S1=[px py pz]T y se ha

encontrado la posición del sistema coordenado S1 con respecto al sistema S0. Para encontrar la

orientación (ángulos de Euler):

( )

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

−=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

x

x

x

z

y

no

aaa

arccos

arcsin

arctan

γ

β

α

Ec. 6

y el problema cinemático directo ha sido resuelto completamente.

2.2. Representación de Denavit – Hartenberg.

En 1955 Denavit-Hartenberg propusieron un método sistemático que consiste en ubicar un

sistema coordenado solidario Si a cada eslabón i, para pasar de un eslabón a otro, mediante

cuatro transformaciones básicas que dependen exclusivamente de las características geométricas

del eslabón.

Estas transformaciones básicas consisten en una sucesión de rotaciones y traslaciones que

permiten relacionar el sistema de referencia del elemento i con el sistema del elemento i-1. Las

transformaciones son las siguientes:

1. Rotación alrededor del eje zi-1 un ángulo θi.

2. Traslación a lo largo de zi-1 una distancia di.

3. Traslación a lo largo de xi una distancia ai.

4. Rotación alrededor del eje xi, un ángulo αi.



Dado que el producto de matrices no es conmutativo, las transformaciones se han de

realizar en el orden indicado. De este modo se tiene que:

) x,T( ) ,0,0a ( T )d0,0, T( )z, T( A ii iii1-i αθ= Ec. 7

y realizando el producto de matrices:

Ec. 8

entonces, únicamente requerimos los cuatro parámetros de Denavit – Hartenberg para obtener la

matriz de transformación que relaciona a los sistemas coordenados de dos eslabones

consecutivos.

Para una descripción detallada del algoritmo de Denavit-Hartenberg, refiérase al Anexo 1

al final de esta tesis:

2.3. Resolución de la cinemática directa del robot bípedo.

En este punto nos concentraremos en encontrar los parámetros de Denavit – Hartenberg

para todas las articulaciones del robot. En la figura 2 se puede visualizar la estructura del robot y

los sistemas coordenados de cada articulación, los mismos que han sido establecidos siguiendo

el algoritmo de Denavit – Hartenberg.

Nótese que se desprenden dos cadenas cinemáticas en la estructura del robot:

1211

1110

109

98

82

21

10

76

65

54

43

32

21

10

......

......

AAAAAAAT

AAAAAAAT

d

i

=

= Ec. 9

en donde, Ti corresponde a la pierna izquierda y Td a la pierna derecha.

Es fundamental mencionar algunas convenciones que se han tomado para el análisis

cinemático. En primer lugar, se han establecido los sentidos de giro de cada articulación

siguiendo la Regla de la mano derecha. Otro punto importante es que existe desplazamiento en

un solo eje entre dos articulaciones consecutivas; esto es muy importante al momento de

construir el robot. Se ha tomado como referencia global la posición del sensor de medida

inercial (SMI).



Figura 2. Posicionamiento de los ejes de cada articulación.

En la tabla 1 se muestran los parámetros de Denavit – Hartenberg correspondientes a la

cadena cinemática izquierda (Ti), en cambio, en la tabla 2 los parámetros correspondientes a la

cadena cinemática derecha (Td).



Art. θ d a α

1 θ1 + π/2 0 0 π/2

2 θ2 0 -l12 -π/2

3 θ3 - π/2 -l23 0 -π/2

4 θ4 + π/2 -l34 0 π/2

5 θ5 - π/2 0 l45 π/2

6 θ6 0 l56 0

7 θ7 0 l67 0

Tabla 1. Parámetros de Denavit – Hartenberg de la cadena cinemática izquierda..

Art. θ d A α

1 θ1 + π/2 0 0 π/2

2 θ2 0 -l12 -π/2

3 θ3 - π/2 l28 0 -π/2

9 θ9 + π/2 -l89 0 π/2

10 θ10 - π/2 0 L910 π/2

11 θ11 0 L1011 0

12 θ12 0 L1112 0

Tabla 2. Parámetros de Denavit – Hartenberg de la cadena cinemática derecha..

Al obtener los parámetros de las tablas 1 y 2, prácticamente queda resuelto el problema

cinemático directo, pues solamente queda la multiplicación de matrices aplicando la ecuación 9,

para posteriormente encontrar la posición y orientación del efector terminal (Ec. 5 y Ec. 6) con

respecto al sistema de coordenadas globales (SMI).



2.4. Comprobación de la cinemática directa en Matlab.

Para realizar la comprobación de los parámetros cinemáticos obtenidos, utilizaremos

nuevamente la herramienta SimMechanics de Matlab, pero desde un punto de vista diferente al

expuesto en el artículo “SIMULACIÓN MECÁNICA DE UN ROBOT HUMANOIDE EN

MATLAB”. A continuación enumeramos las diferencias entre estos dos enfoques:

• Se simulan las medidas del robot en una manera más real, es decir, se toman en

cuenta los espacios necesarios para el acoplamiento de los servomotores (por ejm.:

l34, l45, l89, l910), cosa que no ocurría en la simulación anterior, pues se consideraba

a la articulación de la cadera idealmente en forma esférica.

• Para imprimir movimiento a cada articulación se utiliza un modelo de servomotor

mucho más sencillo, dado que en esta instancia no nos interesa la dinámica del

robot.

• Las masas y momentos de inercia de los diferentes eslabones no son de mayor

importancia.

• Los movimientos de las articulaciones son ingresados individualmente, no por una

matriz.

Se asumirán las siguientes medidas para el análisis:

l12 = 10cm, l23 = l28 = 4cm, l34 = l89 = 6cm, l45 = l910 = 3cm, l56 = l67 = l1011 = l1112 = 10cm

En la figura 3 se puede observar el diagrama de simulink equivalente al esquema de la

figura 2.

Figura 3. Diagrama cinemático del robot bípedo en Simulink.



Es importante mencionar que para la simulación en Matlab se ha tomado la convención de

ejes en la cual el vector gravedad está orientado en el eje y (negativo), es decir, se han hecho

coincidir los ejes de Matlab con los ejes del sistema de referencia (x0, y0, z0) del análisis

cinemático; siendo este aspecto fundamental, para que nuestros resultados coincidan totalmente.

Para comprobar los resultados obtenidos se ha realizado el siguiente diagrama que es

complemento del que se expone en la figura 3.

Figura 4. Posición y orientación de los pies del robot cuando todos los ángulos valen 0º.

En la figura 4 se han empleado algunos bloques que nos permitirán sensar tanto la posición

como la orientación de los dos pies del robot.

A continuación se procederá a encontrar la matriz de transformación total (Ti, Td)

correspondientes a valores conocidos de ángulos de las articulaciones.

Cuando todos los ángulos valen 0 grados:

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡−−

=

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−−

=

10004100

390010010

1000410039001

0010

di TT

De lo cual podemos deducir que la posición de la pierna izquierda y derecha es (0,-39,-4) y

(0,-39,4) respectivamente; y la orientación de las dos piernas (aplicando las ecuaciones 6) es: α

= 0, β = 0, γ = π/2. Comparando los resultados con los obtenidos en Simulink (figura 4)

podemos notar que las posiciones coinciden totalmente, sin embargo, la orientación (γ) no

coincide, pues en el modelo de SimMechanics γ = 0. Esto tiene su explicación, fundamentada en

la orientación de los ejes del efector terminal, que en simulink permanece igual al eje de



referencia global, sin embargo en el análisis cinemático cambia debido a las reglas de Denavit -

Hartenberg.

Figura 5. Orientación de los ejes en el análisis cinemático y en Simulink.

Para corregir este “problema” se podría realizar una transformación extra en el análisis

cinemático o aplicar un factor de corrección de π/2 a γ en el modelo de Simulink, que

precisamente es el valor de rotación (en el eje z) entre los ejes del efector terminal y el sistema

de referencia, en el análisis cinemático.

Se han realizado una serie de comprobaciones con distintos valores de ángulos,

presentando resultados satisfactorios, demostrando así la validez de los parámetros de Denavit –

Hartenberg obtenidos.

3. Cinemática inversa del robot.

El problema cinemático inverso consiste en encontrar el estado de cada una de las

articulaciones que conforman un robot, para lograr una posición y orientación del efector final,

de manera que:

),,,,,( γβαzyxfq kk = Ec. 10

El problema cinemático inverso no es un proceso sistemático, ya que depende

exclusivamente de la configuración de un robot, o sea, en determinados casos puede existir

ambigüedad en la resolución o tener varios resultados.



De igual manera que en el problema cinemático directo, existen varios métodos de

resolución, entre los cuales destacamos:

• Método geométrico.- Este procedimiento es adecuado para robots de pocos

grados de libertad o para el caso de que se consideren solo los primeros grados de

libertad, dedicados a posicionar el extremo.

• Matriz de transformación homogénea.- Se trata de obtener el modelo cinemático

inverso de un robot a partir del conocimiento de su modelo directo; es decir,

suponiendo conocidas las relaciones que expresan el valor de la posición y

orientación del extremo del robot en función de sus coordenadas articulares.

• Desacoplo cinemático.- Aplicable a robots de 6 grados de libertad, en donde la

resolución total es dividida en dos partes (posición y orientación), dedicando los

tres primeros grados de libertad para posicionar el efector final y los tres restantes

para orientar el mismo.

3.1. Resolución del problema cinemático inverso por matrices de

transformación homogénea.

En nuestro caso particular se desea establecer la configuración de los dos grados de

libertad de los pies (tobillos) mediante una solución cerrada3, para lograr una orientación

determinada de los pies con respecto al sistema de referencia global (SMI). Dado que el sistema

de referencia (x0, y0, z0) es siempre paralelo al piso, implícitamente determinamos la orientación

de los pies con respecto al mismo.

El primer paso para la resolución es obtener la matriz de transformación equivalente a

toda la cadena cinemática, es decir, la matriz que relaciona el sistema de referencia con el

extremo del robot (figura 6). Recordemos que parte de la cadena cinemática ya ha sido resuelta

en el apartado anterior, denotado como Ti y Td, correspondientes a cada una de las piernas del

robot.

3 Relación matemática explícita – no iterativa.



Figura 6. Posicionamiento de los ejes de las articulaciones de los pies.

En la tabla 3 se muestran los parámetros de Denavit – Hartenberg correspondientes a la

figura 6.

Art. θ d A α

s θs 0 l713 -π/2

f θf 0 l1314 0

- 0 0 0 π/2

- π/2 0 0 0

Tabla 3. Parámetros de Denavit – Hartenberg de los pies.

en donde, θs y θf son las articulaciones giratorias correspondientes a los planos sagital y frontal

respectivamente.

La cadena cinemática izquierda queda expresada de la siguiente manera:

Ec. 11 1615

1514

1413

137 .... AAAATT iTi =

en donde, y son transformaciones auxiliares que se utilizan para que el sistema

solidario al efector final coincida con el sistema de referencia global (x0, y0, z0), permitiendo así

una fácil interpretación de la orientación del efector final.

1514 A 16

15A

Encontrada la cadena cinemática completa, el siguiente paso es encontrar identidades

matriciales a partir de las cuales se establecerá la solución cerrada, de tal forma que:



),,(),,(γβαθγβαθ

ff

ss

ff

==

Ec. 12

entonces, a partir de la ecuación 11, la identidad matricial se establece de la siguiente forma:

Ec. 13 ( ) ( ) 1615

1514

141311

137 .... AAATTA Tii =−−

Definiendo los elementos de la ecuación 13 se tiene:

( )

( )

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−

−

=

=

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡ −

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡−

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡ −

=

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−

−

=

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

−

=

−

−

10000001

0

0

..

1000010000010010

*

1000001001000001

*

10000100

0

0

..

1000

1000''''

''''''''

1000

1000000100

0

10000010

00

1314

1314

1615

1514

1413

1314

1314

1615

1514

1413

1

713

113

7713

713

137

fff

fff

fff

fff

zzzz

yyyy

xxxx

Ti

zzzz

yyyy

xxxx

izzzz

yyyy

xxxx

i

ss

ss

sss

sss

SlCS

ClSC

AAA

SlCS

ClSC

AAA

PAON

PAONPAON

T

paon

paonpaon

Tpaon

paonpaon

T

CS

lSC

ASlCSClSC

A

θθθ

θθθ

θθθ

θθθ

θθ

θθθθθθθθ

en donde, )cos(θθ =C y )(θθ senS = . Para no definir completamente a las matrices Ti y

TTi se ha adoptado la convención de vectores [n o a p] y [N O A P] respectivamente, de aquí,

que la matriz (Ti)-1 se representa como [n’ o’ a’ p’].

Realizando algunas multiplicaciones en la ecuación 13:



⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−

−

=

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

+−+−+−+−−−−−

−++++

10000001

00

1000

*

1000

''''''''

''''''''

1314

1314

713

fff

fff

zzzz

yyyy

xxxx

sysxsysxsysxsysx

zzzz

sysxsysxsysxsysx

SlCSClSC

PAONPAONPAON

CpSpCaSaCoSoCnSnpaon

lSpCpSaCaSoCoSnCn

θθθ

θθθ

θθθθθθθθ

θθθθθθθθ

Eligiendo el elemento 2,2 de la matriz resultante:

)(''' fzzyzxz senOaOoOn θ−=−−−

( )zzyzxzf OaOoOnarcsen ''' ++=θ Ec. 14

Para encontrar sθ , se debe relacionar este con fθ , de modo que se elige a continuación el

elemento 1,2:

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )fszyyyxyszxyxxx

fzsysxysysxxsysx

senOaOoOnOaOoOn

COSaCaOSoCoOSnCn

θθθ

θθθθθθθ

cos'''cos'''

.''.''.''

−=+++++

−=+++++

( )⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟

⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

+

−=

1

2

22

21

arctan)()(

cosarccos

xx

xxf

s

θθ Ec. 15

en donde,

zyyyxy

zxyxxx

OaOoOnx

OaOoOnx

'''

'''

2

1

++=

++= Ec. 16

Un error común al momento de evaluar la cinemática inversa de un robot es no relacionar

las variables (en nuestro caso sθ y fθ ), conduciendo esto a un resultado erróneo. Solamente una

variable es independiente (en nuestro caso fθ ) y las demás deben estar relacionadas entre sí.

Siguiendo un mismo procedimiento se encuentra la cinemática inversa del pie derecho,

sino que en vez de Ti se utiliza Td.



3.2. Algoritmo para encontrar sθ y fθ .

• Encontrar la cadena cinemática Ti (Td en el caso de la pierna derecha).

• Obtener la inversa de Ti, con esto tenemos .,',',',' etconnn xzyx

• Encontrar a partir de la matriz de rotación, en función de los ángulos

de Euler (roll, pitch, yaw) deseados para cada pie.

zyx OOO ,,

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−++−

−=

βαγαγβαγαγβαβαγαγβαγαγβα

βγβγβ

coscoscossensensencossensencossencoscossencoscossensensensencoscossensen

sensencoscoscosMR Ec. 17

en donde:

γαγβα

γαγβαγβ

cossensensencos

coscossensensensencos

−=

+==

z

y

x

O

OO

Ec. 18

• Utilizando las ecuaciones 14, 15 y 16, calcular sθ y fθ .

Nótese que para encontrar la cinemática inversa del robot, no se requiere calcular toda la

cadena cinemática directa, sino que solamente se precisan Ti y Td, calculados en el apartado

anterior, pues el resto de la cinemática directa ha sido utilizada para la deducción de la solución.

3.3. Comprobación de la cinemática inversa en Matlab.

A partir de las figuras 3 y 4 de Simulink, se construye un modelo que nos permita

comprobar la validez de las ecuaciones obtenidas.

En las figuras 7, 8 y 9 se muestra el modelo así como los subsistemas que lo conforman.



Figura 7. Modelo en Simulink para la comprobación de la cinemática inversa.

Figura 8. Subsistema “CUERPO”.



Figura 9. Subsistema “Pie_I”

En la figura 9, podemos observar el bloque “Cinemática inversa” el cual se encarga de

calcular sθ y fθ a partir de α (roll) y γ (yaw); además se distingue el modelo cinemático del

pie, en donde se ingresa el valor de los ángulos calculados para observar el efecto de estos sobre

la orientación del pie.

A continuación en la tabla 4 se muestran algunos valores que se han obtenido de este

análisis, para el pie izquierdo, en un determinado estado del robot: θ1 = 20º, θ2 = -30º, θ3 = 10º,

θ4 = -10º, θ5 = -5º, θ6 = 15º, θ7 = -10º, en donde, la orientación del pie para sθ = 0 y fθ = 0 es:

5602.03668.04944.0

−===

γβα



Orientación deseada del pie del robot. Grados de libertad

del pie Orientación del pie del robot con sθ y

fθ calculados.

αd βd γd sθ fθ α β γ

0 0 0 5.532 0.4588 4e-5 0.41 2.9e-5

0.5 0 0 5.725 -0.005 0.4997 0.3668 -0.0001

1 0 0 5.919 -0.4692 1 0.4138 -6e-5

-0.5 0 0 5.219 0.8989 -0.5 0.6138 -8.5e-5

-1 0 0 363 1.196 -0.9975 1.374 0.0023

0 0 0.5 5.065 0.2185 0.2983 0.4936 0.5758

0 0 1 649 -0.0625 0.5256 0.3117 1.084

0 0 -0.5 6.091 0.5951 -0.0597 0.1089 -0.503

0 0 -1 0.4095 0.5717 0.1812 -0.1152 -1.011

1 0 -1 0.5173 0.0575 0.4657 0.316 -1.087

-1 0 1 194 0.2025 0.4844 0.5691 1.524

Tabla 4. Valores obtenidos del análisis cinemático inverso del pie izquierdo.

Analizando la tabla 4, podemos obtener algunas conclusiones importantes. Dado que en el

pie del robot existen únicamente dos grados de libertad ( sθ y fθ ), es imposible controlar la

orientación del pie del robot totalmente, presentándose ambigüedad en algunos casos.

Definitivamente, β no se puede controlar. Para α y γ existe control en un cierto rango de

variación. Todos estos aspectos se deben tener en cuenta al momento de implementar el control

en la práctica.



ANEXO 1

ALGORITMO DE DENAVIT - HARTENBERG

En el presente anexo se explicará el algoritmo de Denavit – Hartenberg, y para una mejor

comprensión se acompañará con un ejemplo demostrativo.

El objetivo es encontrar los parámetros de Denavit – Hartenberg del siguiente arreglo, el

mismo que es parte del robot bípedo (articulaciones de la cadera).

Figura A1.1. Articulaciones de la cadera del robot bípedo.

A continuación se detallan los pasos a seguir:

A1.1. Identificación de articulaciones.

• Numerar los eslabones comenzando con 1 (primer eslabón móvil de la cadena) y

acabando con n (último eslabón móvil). Se numerara como eslabón 0 a la base fija del

robot.

• Localizar el eje de cada articulación. Si esta es rotativa, el eje será su propio eje de giro.

Si es prismática, será el eje a lo largo del cual se produce el desplazamiento.

• Numerar cada articulación comenzando por 1 (la correspondiente al primer grado de

libertad y acabando en n).



Figura A1.2. Identificación de articulaciones.

A1.2. Localización de ejes.

• Para i de 0 a n-1, situar el eje zi, sobre el eje de la articulación i+1.

• Situar el origen del sistema de la base (S0) en cualquier punto del eje z0. Los ejes x0 e y0

se situaran de modo que formen un sistema dextrógiro4 con z0.

• Para i de 1 a n-1, situar el sistema (Si) (solidario al eslabón i) en la intersección del eje zi

con la línea normal común a zi-1 y zi. Si ambos ejes se cortasen se situaría (Si) en el

punto de corte. Si fuesen paralelos (Si) se situaría en la articulación i+1.

• Situar xi en la línea normal común a zi-1 y zi.

• Situar yi de modo que forme un sistema dextrógiro con xi y zi.

• Situar el sistema (Sn) en el extremo del robot de modo que zn coincida con la dirección

de zn-1 y xn sea normal a zn-1 y zn.

Note que para encontrar el sentido de giro de las articulaciones se aplica la regla de la mano

derecha, con el dedo pulgar siguiendo a zi.

4 Que gira en el mismo sentido de las agujas del reloj.



Figura A1.3. Localización de ejes.

A1.3. Obtención de parámetros.

• Obtener θi como el ángulo que hay que girar en torno a zi-1 para que xi-1 y xi queden

paralelos.

• Obtener di como la distancia, medida a lo largo de zi-1, que habría que desplazar (Si-1)

para que xi y xi-1 quedasen alineados.

• Obtener ai como la distancia medida a lo largo de xi (que ahora coincidiría con xi-1) que

habría que desplazar el nuevo (Si-1) para que su origen coincidiese con (Si).

• Obtener αi como el ángulo que habría que girar entorno a xi (que ahora coincidiría con

xi-1), para que el nuevo (Si-1) coincidiese totalmente con (Si).

Figura A1.4. Obtención de los parámetros de Denavit – Hartenberg.



A continuación se muestran los parámetros obtenidos de la figura A1.

Art. θ d a α

1 θ1 + π/2 -l01 0 π/2

2 θ2 - π/2 0 l12 π/2

3 θ3 0 l23 0

Tabla A1.1. Parámetros de Denavit – Hartenberg..

Nótese que para pasar de Si-1 a Si-1’ se realiza la rotación θi, y de Si-1’ a Si la rotación αi, tal

como muestra la figura A1. Se debe poner especial cuidado en los signos; para las

rotaciones con la regla de la mano derecha y para las traslaciones observando el sentido de

los ejes.

A1.4. Obtención de las matrices de transformación.

• Obtener las matrices de transformación i-1Ai.

• Obtener la matriz de transformación que relaciona el sistema de la base con el del

extremo del robot T = 0A1, 1A2... n-1An.

• La matriz T define la orientación (submatriz de rotación) y posición (submatriz de

traslación) del extremo referido a la base, en función de las n coordenadas articulares.

32

21

1022333

32333

32

2122

21222

21

01

11

11

10

..

10000100

00

10000010

200

1000010

0000

AAATSlCSClSC

A

ClSCSlCS

Al

SCCS

A

=

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡ −

=

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡−−−

−

=

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

−

=

θθθθθθ

θθθθθθ

θθθθ

en donde, )cos(θθ =C y )(θθ senS = .



BIBLIOGRAFÍA

HIBBELER R. “Ingeniería Mecánica - Dinámica”. Prentice Hall. Séptima edición.

1996.

HOUSNER-HUDSON, “Mecánica Aplicada – Dinámica”, Editorial Continental,

Segunda edición, 1960.

CASTEJÓN, Cristina. “Parámetros de Denavit-Hartenberg”.

“Cinemática”, Universidad de Guadalajara .


“Cinemática del robot”, Universidad de Vigo. .

http://www.aisa.uvigo.es/DOCENCIA/AyRobotica/cinematica.pdf

“Localización espacial” , Universidad de Vigo.

“SimMechanics Help”. Matlab6.5. Release 13.

“Virtual Reality Toolbox 3.0 Help”. Matlab6.5. Release 13.



http://www.aisa.uvigo.es/DOCENCIA/AyRobotica/cinematica.pdf

cinematic a

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