clase fresnel seq ns 3

7/21/2019 Clase Fresnel Seq Ns 3

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Ecuaciones de Fresnel para la reflexin y

refraccinRayos incidente, transmitido, y reflejado en lainterfaceCoeficientes de reflexin y transmisin

Ecuaciones de Fresnel

Angulo de Brewster

Reflexin total interna


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Plano dePlano de incidenciaincidencia y la interface con ely la interface con el mediomedio

DefiniciDefinicinn

Plane of the interface (here theyz plane) (perpendicular to page)

ni

nt

ikr

rkr

tk

r

ir

t

Ei Er

Et

Interface

x

y

z

Plano de incidencia(x-y plano) es el plano

que contiene losvectores k de los rayosincedente y reflejado.

Medio de incidencia

Medio de transmisin

Paralelo (P) Lapolarizacin sigueparalelo al plano de

incidencia.

Perpendicular (S) lapolarizacin apunta haciaafuera del plano deincidencia.


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NotaciNotacinn simplificadasimplificada parapara loslos estadosestados dede

polarizacipolarizacinn

Perpendicular (S) Esta

polarizacin se encuentraapuntando hacia afueradel plano de incidencia.

Paralelo (P) Esta

polarizacin est paralelaal plano de incidencia


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EcuacionesEcuaciones dede FresnelFresnel

Podemos calcular la fraccin de la luz de la onda refejada y transmitidapor la interface entre los dos medios con distinto ndice de refraccin.Fresnel fu el primero que hizo ste clculo.

ni

nt

ikr

rkr

tkr

ir

t

EiBi

Er

Br

Et

Bt

Interface

x

y

zEl caso consideradocorresponde a luz conel campo perpendicularal plano de incidencia

Empecemos porconsiderar lascondiciones de

contorno en lainterface para elcampo elctrico ymagntico de la

ondas i,r,t para elcaso S primero.


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La componente tangential del campo elctrico es continua

En otras palabras,el campo total Eenel plano de lainterface es

continuo.Surge que, todos loscampos Eestn enla direccin z,

que es e plano (xz)de la interface,As:

Ei(x, y = 0, z, t) +Er(x, y = 0, z, t) = Et(x, y = 0, z, t)

ni

nt

ikr

rkr

tkr

i r

t

EiBi

ErBr

Et

Bt

Interface

CondicionesCondiciones dede contornocontorno parapara el campoel campo

ElElctricoctrico en la interfaceen la interfacex

y

z


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La componente tangencial del campo magntico es continua

En otras palabras,el campo total B enel plano de lainterface es

continuo.

Todos los campos Bestn en el plano

x-y, de las que tomamosla componente x:

Bi

(x, y = 0, z, t) cos(i

) +Br

(x, y = 0, z, t) cos(r

) = Bt

(x, y = 0, z, t) cos(t

)

CondicionesCondiciones dede contornocontorno parapara el campoel campo

magnmagnticotico en la interfaceen la interface

ni

nt

ikr

rkr

tkr

ir

t

Ei

Bi

ErBr

Et

Bt

Interface

x

y

z

ii


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ReflexiReflexinn yy TransmisiTransmisinn dede luzluz

polarizadapolarizada perpendicularmenteperpendicularmente (S)(S)Ignoring the rapidly varying parts of the light wave and keeping

only the complex amplitudes:

E0 i

+ E0r

= E0 t

B0 i

cos(i)+ B

0 rcos(

r)= B

0 tcos(

t)

But B = E/ (c0

/n)= nE/c0

and i

=r

:

ni(E

0r E

0 i)cos(

i)= n

tE

0 tcos(

t)

Substituting for E0 t

usingE0 i

+ E0r

= E0 t

:

ni(E

0r E

0 i)cos(

i)= n

t(E

0 r+ E

0 i)cos(

t)

Si y

Sustituyendo por


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CoficientesCoficientes dede ReflexiReflexinn yy TransmisiTransmisinn

parapara luzluz polarizadapolarizada perpendicularmenteperpendicularmente

Rearranging ni(E

0 r E

0 i)cos(

i)= n

t(E

0 r+ E

0 i)cos(

t) yields:

E0r ni cos(i )+ nt cos(t)

= E

0 i ni cos(i ) ntcos(t)

r = E0 r/E0 i = ni cos(i ) ntcos(t)

/ n

i cos(i )+ ntcos(t)

t = E0 t/E0 i = 2ni cos(i ) / ni cos(i )+ ntcos(t)

0 0/ , ist iE EAnalogously, the transmission coefficient,

Solving for E0 r

/E0 i

yields the reflection coefficient :

reacomodando obtenemos:

Resolviendo obtenemos el coeficiente de reflexin:

En forma anloga el coeficiente de transmisin es:

Estas son la llamadas ecuaciones de Fresnel

para luz polarizada perpendicularmente


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EcuacionesEcuaciones dede FresnelFresnel

CampoCampo elelctricoctrico paraleloparalelo

x

y

z

Notar que el campo magntico debe hacia la pantalla para lograr

que .E B k rr r

ni

nt

ikr

rkr

tkr

ir

t

EiBi Er

Br

EtBt

Interface

Geometra de losRayor para luzpolarizada con elcampo elctrico fiparalelo al plano

de incidencia

Campo B-entrante en

la pgina.


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CoeficienteCoeficiente dede ReflexiReflexinn yy TransmisiTransmisinn

parapara EE paraleloparalelo (P) al(P) al planoplano dede incidenciaincidenciaFor parallel polarized light, B0i - B0r = B0t

and E0icos(i) +E0rcos(r) = E0tcos(t)

Solving for E0r/ E0i yields the reflection coefficient

En forma anloga el coeficiente de transmisint|| = E0t/ E0i, es:

Estas son las llamadas ecuaciones de Fresnel para

luz polarizada paralelamente.

r|| = E0r/E0 i = ni cos(t) nt cos(i ) / ni cos(t)+ ntcos(i )

t||= E

0 t/E

0 i= 2n

icos(

i) / n

icos(

t)+ n

tcos(

i)

para luz polarizada paralela al PI

y

calculamos y obtenemos el coef de reflexin


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CoeficienteCoeficiente dede ReflexiReflexinn yy TransmisiTransmisinn

parapara unauna interfaceinterface AireAire--VidrioVidrionaire 1 < nvidrio 1.5

Note que:

Hay reflexin total para = 90 para ambas

polarizacionesReflexin cero parapolarizacin paralela en elngulo de Brewster

(56.3 para los valores de niy nt).

(Para valores difrerentes delos ndices de refraccin, elngulo de Brewster serdiferente.)

ngulo de Incidencia, i

Co

eficientede

Reflexion,

r

1.0

.5

0

-.5

-1.0

r||

r

0 30 60 90

ngulo de Brewster

r||=0!


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CoeficienteCoeficiente dede ReflexiReflexinn parapara la interfacela interface

VidrioVidrio--AireAire

nvidrio 1.5 > naire 1

Note que :

Ocurre refexin totalinterna por encima delngulo crtico "

crtico arcsin(nt/ni)

(el seno en la ley de Snellno puede ser > 1!)

Angulo de incidencia, i

Coeficient

edeReflec

xin,

r

1.0

.5

0

-.5

-1.0

r||

r

0 30 60 90

Reflexin

Total interna

ngulo deBrewster

ngulo

Crtico

ngulocrtico


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TransmitanciaTransmitancia ((TT))

T Potencia transmitida / Potencia Incidente

I= n

0c

0

2

E0

2

T=n

tcos

t( )( )ni cosi( )( )

t2

At

Ai

=w

t

wi

=cos(

t)

cos(i)

t

iwi

wt

nint

=

ItA

t

IiA

i

A = Area

T=I

tA

t

IiA

i

=

nt

0c

0

2

E

0t

2

ni 0c02

E0i

2

wt

wi

=n

tE

0t

2

wt

ni E0i2

wi

=n

tw

t

niw

i

t2

Si el rayotiene unancho wi:

Ya que

E0t

2

E0i2

= t2

La Transmitancia se llamatambin Transmisividad.


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ReflectanciaReflectancia ((RR))

R Potencia reflectada/ Potencia incidente

2R r=

=I

rA

r

IiAi

Dado que el ngulo de incidencia = ngulo de reflexin,el rea del rayo no cambia en la reflexin.

Tambin, n es el mismo para ambos rayos ya que estn en elmismo medio.

As:

I= n

0c

0

2

E0

2

A = Area

iwi nint

r wi

La Reflectancia se llamatambin Reflectividad.


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ReflectanciaReflectancia yy TransmitanciaTransmitancia parapara unauna

interfaceinterface AireAire--VidrioVidrio

Note que R + T = 1

Polarizacin Perpendicular


1.0

.5

00 30 60 90

R

T

Polarizacin Paralela


1.0

.5

00 30 60 90

R

T


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ReflectanciaReflectancia yy TransmitanciaTransmitancia parapara unauna

interfaceinterface VidrioVidrio--AireAire

Note que R + T = 1

Polarizacin Perpendicular


1.0

.5

00 30 60 90

R

T

Polarizacin Paralela


1.0

.5

00 30 60 90

R

T


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ReflexiReflexinn concon incidenciaincidencia normalnormal

Cuandoi = 0,

y

Para una interfaz aire-vidrio (ni = 1 y nt= 1.5),

R = 4% and T= 96%

Los valores son los mismos,independientemente de la direccin en

que viaje la luz, del aire al vidrio o viceversa.

R =n

t n

i

nt+ n

i

2

T =4 n

tn

i

nt+ n

i( )2


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CambioCambio dede fasefase parapara lala ReflexiReflexinn dede luzluz

polarizadapolarizada perpendicularmenteperpendicularmente

Entonces habr interferencia destructiva entre el rayo incidentey el reflejado.

De la misma forma, si ni > nt (vidrio - aire), r > 0, la interferencia

ser constructiva.

r

=E0r

/E0 i

=

ni cos(i ) ntcos(t) n

icos(

i) + n

tcos(

t)

Wheni = 0, r= ni nt

ni+ n

t

If ni< n

t air to glass( ),r< 0

ni

nt

ikr

rkr

tkr

ir

t

EiBi

ErBr

Et

Bt

Interface

Cuando

Aire-vidrioSi


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CambioCambio dede fasefase parapara lala ReflexiReflexinn dede luzluz

polarizadapolarizada perpendicularmenteperpendicularmente

Esto significa que habr interferencia destructiva con el rayoincidente.De la misma forma, si ni > nt(vidrio - aire), r|| > 0, habrinterferencia constructiva.

r =E0r

/E0i

=

n

i cos(t) n

tcos(i )

nicos(

t) + n

tcos(

i)

Wheni= 0, r =

ni n

t

ni+ n

t

If ni < nt(air to glass), r < 0

ni

nt

ikr

rkr

tkr

ir

t

EiBi Er

Br

EtBt

InterfaceCuando

Aire-vidrioSi


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GrGrficasficas deldel cambiocambio dede fasefase parapara lala

reflexireflexinn reflection (reflection (aireaire -- vidriovidrio))n

i< n

t

180 para todoslos ngulos

180 para ngulosmenores al ngulo de

Brewster';0 para ngulosmayores

0 30 60 90

ng de incidencia

0 30 60 90ng de incidencia

0

0

||


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GrGrficasficas deldel cambiocambio dede fasefase parapara lala

reflexireflexinn reflectionreflection (vidrio - aire)n

t< n

i

Cambia la fase por

encima del ngulocrtico

180 para ngulospor debajo de ang

de Brewster;0 para valoresmayores

0 30 60 90

ng de incidencia

0 30 60 90ng de incidencia

0

0

||


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ReflexiReflexinn TotalTotal InternaInterna (RIT)(RIT) ocurreocurre cuandocuando sin(sin(tt) > 1, y) > 1, y

no hayno hay hazhaz transmitidotransmitido

Note que la irradiancia del haz transmitido tiende a cero ( occurreRIT) as it grazes the surface.

RIT tiene 100% de eficiencia, esto es, toda la luz es refejada.

ngulo de Brewster

Reflexin Total interrna


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Las Fibras Opticas usan la RIT para transmitir luz a largasdistancias.

FibrasFibras OpticasOpticas

Cada vez juegan un rol mas importante en nuestras vidas


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Core: Vidrio fino que senecuentra en el centro de la fibra por el quese conduce la luz

Cladding: rodea el core y refleja la luz nuevamente hacia el core

Buffer coating: Film protector plstico

Estructura de las fibras pticas

ncore > nclad


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PropagaciPropagacinn de lade la luzluz enen unauna fibrafibra pticaptica

Alguna seales se degradan debido a imperfecciones en el vidrio utilizado

en la contruccin de la fibra. Las mejores fibras pticas mustran muy pocaprdida menos de 10%/km en 1,550 nm.

La luz viaja a travs del corerebotando entre las paredes

reflectantes. Esto le permiteviajar a la luz grandesdistancias sin prdidas en laseal.


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ReflexiReflexinn TotalTotal InternaInterna FrustradaFrustrada (RITF)(RITF)

Colocando una superfice en contacto con la superfice en la queocurre RIT, la reflection total interna puede ser frustrada.

Cun cerca deben estar las superficies para que ocurra RITF?

Este efecto provee evidencia acerca de los campos evanescentes

nn

nn

Reflexin total interna Reflexin total interna frustadan=1 n=1


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El vector deEl vector de ondaonda k de lak de la ondaonda evanescenteevanescente

El vector de onda k de la ondaevanescente tiene componentes x e y :

Paralelo a la superficie: ktx = ksin(t)

Perpendicular a sta: kty = kcos(t)

Usando la ley de Snell, sin(t) = (ni/nt) sin(i), as ktx tiene sentido.

y nuevamente: cos(t) = [1 sin2(t)]1/2 = [1 (ni/nt)2 sin2(i)]1/2= i

Despreciando la solucin sin sentido fsico -i, obtenemos:Et(x,y,t) = E0 exp[ky] exp i [ k(ni/nt) sin(i)x t]

La onda evanescente decae exponencialmente en la direccin

transversal.

ni

nt

ikr

rkri

tx

y

tkr

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