行 列 の 魅 力群の作用と表現

山下　博

年 月 日

講義プラン

第 時間目《ベクトル，行列，そして群》

ベクトル空間と一次変換平面の一次変換と行列群の概念と例

第 時間目《群の作用と表現》

群の作用と等質空間群の表現

の既約表現の　　構成・分類

記号

整数全体の集合実数全体の集合複素数全体の集合

虚数単位

集合 から集合 への写像

が単射 一対一対応

について

が全射 上への写像

任意の に対し

なる が存在

全単射 全射かつ単射

写像

に対して，

を と の合成写像という． を

単に ともかく．

列ベクトル

を自然数とする．次の列ベクトルとは，

ベクトル空間

列ベクトルの和：

列ベクトルのスカラー倍：

には，和とスカラー倍

の算法がある． についても同様

ただし

【和・スカラー倍の性質】

ただし， では

零ベクトル

【ベクトル空間の定義】

ベクトル空間とは，前項の諸性

質 をもつ

和 　　　　

スカラー倍

の算法を備えた集合 のこと．

の要素をベクトルという．

スカラー倍の定義域により，

実ベクトル空間 　　 のとき

複素ベクトル空間 　 のとき

と区別する．

【ベクトル空間の例】数ベクトル空間 は実ベクト

ル空間 は複素ベクトル空間．

集合 上の実数値関数全体の集合

は実ベクトル空間になる．関数 と の和は，

関数 の 倍 は，

同様に， は複素ベクトル空間になる．

ベクトル空間とは，和とスカラー倍

の定義された集合のこと

「ベクトル＝矢印」の

矢印捨てて一般化

【一次変換の定義】

実 複素 ベクトル空間．

写像 が一次変換

　

　　

上の一次変換 ．

一次変換 が正則

　　　　　　 は全単射

上の一次変換とは，

　　　一次関数

が正則 傾き

一次変換とは，和とスカラー倍を保

存する写像．

正比例の関数の一般化．

線形代数学とは，ベクトル空間と

一次変換を扱う学問．

現代数学の礎．

平面上の一次変換と行列　

　 座標平面の点

により，同一視 平面このとき，

基本ベクトル

　　　　

が平面 上の一次変換のとき，

とおき，

を考える 次 実 正方行列 ．

　

【命題】写像

は全単射． と

するとき，

つまり，

平面の一次変換 次行列

【行列と列ベクトルの積の定義】

この定義をもとに，前項の命題は，

となる．

一次変換とは行列をベクトルの左

から掛けること．

【一次変換の例】原点 を中心とする

角 の回転移動

とくに，

恒等変換

に対応する行列は

単位行列

　

【一次変換の例】原点 をとおる直線

に関する対称移動

【一次変換の例】 軸への射影

【一次変換の例】零写像

　

一次変換の合成と行列の積

．

合成写像 も 上の一

次変換になる．

【行列の積の定義】行列 の積

を， により定める．つ

まり，

一次変換の合成 行列の積

【行列の積の明示公式】

　　　　

【積演算の性質】

結合法則

注意 一般には，

　

正則一次変換・行列式

【命題】

一次変換 が正則

と

が をとおる同一直線上にない

の行列式

は零でない．

※　 の図参照

【正則行列の定義】

行列 が正則

　　　　 が正則な一次変換

　　　　

【命題】 が正則行列

　　　　

を の逆行列という．

正則 も正則で

　　　　　　　　

【逆行列の明示公式】

【行列式の性質】

　　

が正則のとき，

　　　

は，平行四辺形

の面積に等しい．ただし，

※ の図参照

群の概念ベクトル空間 例えば平面

は正則

【積演算 の性質】

結合法則

ただし， 恒等変換　　　　 逆写像

【群の定義】一般に，ある集合 上に

演算 が定義

されていて，条件 を満た

しているとき， は群であるという．

の を群 の単位元， の

を の逆元とよび， で表す．

群の公理：

　 結合法則

　 単位元 の存在

　 逆元 の存在．

群 が可換

　　

【群の例】

は正則

ベクトル空間 上の一般線形群．

集合 上の全単射写像全体

写像の合成により群 上の置換群

空間の運動全体のなす運動群

空間の運動とは，回転移動と平行移動

を繰り返して得られる変換．

．数の加法により可換群

数の乗法により可換群．

部分群

【部分群の定義】 群

が の部分群

　

　　ならばならば

【部分群の例】

　　　

は の部分群 トーラス群 ．

は部分群．

空間内の図形 をそれ自身に移

す運動全体 は運動群 の部分

群．図形 の対称性を記述する．

群の同型

　　　　　　　　　

写像

は全単射で，

これより，

　 は行列の積により群．

　　　 上の 次一般線形群という．

　 同型

【同型の定義】

群 と が同型

　　

　　 全単射

　　

　　　　　　　　　

同型 算法を保つ全単射がある

　　 本質的に同じ

種々の代数系で同型の概念がある．

いろいろな一次変換群

【特殊線形群】

　　　　　　　　　

は の部分群．

【直交群】回転移動と対称移動全体

　　　　　　

は の部分群．

　

　

　

　

　

は，同型

をとおして，行列

たちのつくる群

と同型．

【回転群】

は の可換な部分群．対応する行

列群

同型

【放物型部分群】

軸を 軸に移す正則一次変換全体

　

は の部分群．同型な行列群は，

　

【モジュラ群】

行列

　

　　　　　　　　

たち全体 は の「離

散」部分群をなす．

群の作用【作用の定義】 群， 集合．が に作用する が 集合　「 に対し を対応させる算法があり，次を満たす．　　 　　　　　　」

　「 上に変換 があり，　　

を満たす．」

は全単射．逆変換は

【作用の例 】

ベクトル空間 上の一般線形群

は に自然に作用．

は に共役変換

として作用

　

　　　

　　　

　　　

【作用の例 】図形 の運動群

は に自然に作用．

【作用の例 旗多様体】

平面

原点 をとおる直線

　　　旗多様体

群 は集合 に自然に作用．

単位円周上での実現

の二点 と を同一

　　　　　　視して得られる集合．

は全単射．これを通し， の作

用を に移すことができる．

　

実数直線上での実現原点をとおる傾き の

　　　　　　 直線軸 傾き無限大 の直線

このとき，写像　　は全単射．この全単射をとおして，集合 に群 を作用させる．

とす

ると， の 上への作用は分数一次変換である

　　

　　※　講義資料 を上に訂正

　

　

　

　

　

　

　

　

旗多様体

推移的な作用

群 が集合 に作用するとき，

【推移的な作用の定義】 の 上への

作用が推移的 あるいは が 等質

空間

　

任意の 点が 作用で移りあう

【例】 旗多様体 上への

の作用は推移的． をとおる直線は

回転 で移りあう．

の への自然な作用は推

移的でない．

【固定部分群の定義】 とする．

は の部分群になる 点 の にお

ける固定部分群 ．

に対し，

　　

を の による剰余類．

【命題】 とおく．このとき，

　

　　　　 を に移す の要素の集合

【証明】 のとき，

より，積 は を に移す．

　逆に， なる任意の

に対して，

　　　　　　

から， が分かる．

ゆえに，

　

　

　

　

の剰余類による分割

に対して，

【剰余類空間の定義】 による剰余類

の集合

　　　

のこと．

群 は に，

　　

により推移的に作用．

【定理】 が 上に推移的に作用する

とき，対応

　　

は の作用を保存する全単射．

　等質空間 剰余類空間

【例】 旗多様体 軸．

の における固定部分群は，

放物型部分群 と一致． ゆえに，

　　　

【応用例】立方体をそれ自身に移す回

転全体の個数は，

群の表現

【表現の定義】 を 集合とし，

が定める 上の変換を とする．

このとき，

　 が群 の 上への表現である

　 が の表現である

　

　 はベクトル空間，かつ，

　 が 上の一次変換

表現 ＝ 一次変換による群の作用

注 は正則な一次変換になる．

【表現の例 】前出の例につき，の への自然な作用，の への共役作

用は，ともに表現である．の旗多様体への作用は表現

でない 零でない表現は推移的な作用ではあり得ない【表現の例 】 ．

は 上に，表現　　　　　　を定める．この表現を とかく．

回転群 は 上に，表現　　　　　　を定める．この表現を と書く．

【部分表現の定義】

群 の実 複素 ベクトル空間

　　上への表現．

の部分集合

が の 不変部分空間

　　 を満たす

不変部分空間 上には，自然

に の表現

　　

　　　　　　　

が生じる． を の部分表現という．

および は自明な不変部分空間．

【既約表現の定義】 と 以外に不変部分空間が存在しないとき，

の表現 は既約であるという．

既約表現＝表現の基本単位

【例】 の 上への自然表現は既約．

の への共役表現は既約でない

は非自明な不変部分空間　

上の任意の表現は既約．とくに， は既約．

表現論の基本問題

群 の既約表現を構成・分類せよ

【アプローチ】

興味深い表現を沢山作ること．

作った表現が既約かどうかを調

べること．既約でなければ，既約な部

分表現をうまく取り出すこと．

得られた既約表現たちのうち，本

当に相異なるもの 同型でないもの は

どれほどあるか，また，既約表現は完

全に尽くされているかを調べること．

以下では，複素ベクトル空間上の表現

を扱う．

表現の構成

を群， を 集合とする．

【定義】 に対し，

が定まっていて

　

　

　　

を満たすとき， を 上の コサイク

ルという．

上の複素数値

関数全体のなすベクトル空間

【定理】 が 上の コサイクルのと

き， に対して，

とおけば， は群 の表現

になる．

実は， コサイクルの定義とは，上

の式で定めた が の 上への

作用を与えるために の満たすべき必

要十分条件を述べたもの．

は

常に コサイクル．

作用 コサイクル 表現

の既約表現の構成・分類

　　 次の特殊線形群平面 の旗多様体

より，は に自然に作用作用は推移的 回転 ．

既出の全単射　を思い起こそう．　　　

に対し，

を対応させる写像は， と

の間の全単射を与える．

　

　

　

　

　

上の の作用を 上に移したものは

次のようになる．

【命題】 に対して，

複素数 を，

　　

　　

で定める．このとき，

　　

であり， の への作用は，分数

一次変換

で与えられる．

【例】 回転

移動 のとき， であ

り，

　　

【命題】 に対して，

　

　

は 上の コサイクルを定める．

よって， 上に の表現の族

　　　　

ができる．

【表現 の明示公式】

に対して，

　

　　　　　　　　　

ただし，

　　

　　

　　

上の関数空間．

とする．

上のローラン多項式とは，

　　

ただし， なる は有限個．

　　

に注意 の公式 ．

　 ローラン多項式の全体

上の連続関数全体の空間

に関する周期 の連

続な関数全体といっても同じ．

には，連続関数 の内

積 と それを用いた距離 が，

により定まる．この距離に関して

を完備化して得られるヒルベルト空間

を と書く．

【喩え】

　 骨格 人体　 洋服をきた紳士

【球主系列表現の定義】

ヒルベルト空間 は，表現 に

関して， の 不変部分空間とな

る．ヒルベルト空間 上に の

連続な表現が得られる．これを，

と書き， の球主系列表現とよぶ．

【定理】

表現 が既約

のとき，

のとき，

　

は の唯一の非自明な 不変 閉 部

分空間である．商表現 は，

ふたつの既約表現 の

和に分解する．

既約な

で， の連続な既約 許容

表現たちのうち半分が得られる．

残りの半分も， コサイクル の

取り方を少し変更することで得られる．

　

【証明の方針】

群 の表現 を微分して得られ

る リー代数の 上の表現 を

考察する．

の表現の構造が，リー代数の

表現 の構造ときちんと対応してい

ることを示す．

具体的な計算により， の既約

分解を与え，表現の構造を明らかにす

ること．

任意の既約 許容 表現は，主系

列の部分表現に実現できることを示す

こと．