coef zveltete pomi grudnicki

75

BucovinaForestier XII, 1-2. Comentarii

Coeficientul de zvelte e i stabilitatea individual

a arbor ilor de molid

FranciscGrudnicki

1. Coeficientul de zvelte e, factor de stabilitate

1.1. Stabilitatea molizilor

Arborii, n timpul existen ei lor, sunt supu i n permanen

ac iunilor mecanice, de care depinde stabilitatea lor mecanic

i implicit, stabilitatea biologic . Greutatea proprie, masele de aer n mi care cu sau f r

precipita ii solicit

arborii, n special la ncovoiere i compresiune.

Intensitatea acestor for e, corelate cu al i factori specifici, afecteaz

stabilitatea moli-zilor, a a cum este prezentat n figura 1.

1.2. Coeficien ii de zvelte e

Coeficien ii de zvelte e (sub irime), ex-prim

distribu ia n spa iu a biomasei fusu-lui. Se cunosc dou

tipuri de coeficien i de zvelte e: dendrometric i mecanic.

Expresia matematic

a coeficientului de zvelte e dendrometric d este raportul dintre n l imea fusului h (m) i diametrul de baz

d (cm):

dh

d (mcm-1) (1.1)

Acest coeficient dimensional, transfor-

Fig. 1.1. Forme de instabilitate a molizilor: (a) ncovoierea i flambajul elastic al fusului, caz n care fusul i revine la pozi ia vertical

ini ial , (b) ncovoierea i flambajul plastic al fusului, caz n care fusul r mne deformat, (c) ruperea fusului i (d) r sturnarea molidului prin dezr d cinare

76

BucovinaForestier XII, 1 -2 Comentarii

mat n coeficient de zvelte e adimensional este:

d100)m(d)m(h

(1.2)

Coeficientul de zvelte e mecanic m este raportul dintre lungimea de flambaj lf (m) a fusului i raza de gira ie i (m) a sec iunii transversale:

il f

m (1.3)

Pentru o bar

de lungime h, ncastrat

la o extremitate i liber

la cealalt

extremi-tate, lungimea de flambaj este:

lf = h (1.4) unde: - coeficient care depinde de forma barei i de modul de nc rcare a acesteia.

Raza de gira ie este r d cina p trat

a raportului dintre momentul de iner ie axial I (m4) i aria A (m2) a sec iunii transversale. Pentru o sec iu-ne circular

de diametru d raza de gira ie este:

4di (m) (1.5)

a a nct:

dm 4004dh4 (1.6)

1.3. Var iabilitatea coeficientului de zvelte e

Din rela iile (1.1), (1.2) i (1.6) rezult

n mod evident c

m rimile coeficien ilor de zvelte e sunt n func ie de m rimile lui h i d. Aceste m rimi depind ns , la rndul

lor, de ritmul lor de cre tere, respectiv de clasa de produc ie a arboretelor, de vrst

etc. Un prim exemplu de variabilitate a coeficientului de zvelte e dendrometric este redat n tabelul 1, n care valorile medii ale acestui coeficient, n func ie de clasa de produc ie i de vrst , au ca baz

de calcul n l imile i diametrele din tabelele de produc ie.

Un al doilea exemplu de variabilitate, n func ie de diametrul de baz , este redat de graficul din figura 1.2, ca urmare a m su-r torilor efectuate n U.P. IV, u.a. 74C din Ocolul silvic Co na, D.S. Suceava, prin aplicarea ecua iei de regresie (Horodnic, 1999):

357,13)xln(718,12x

1y (1.7)

unde: y = d i x=d. Arboretul din u.a. 74 C avea vrsta de

70 de ani, clasa a 2-a de produc ie, consis-ten a 0,7, elagajul 0,5, diametrul mediu 28,0 cm i n l imea medie 27,5 m, deci un coeficient de zvelte e mediu de 0,982 mcm-1.

Din exemplele expuse, rezult

urm toa-rele: (i) coeficientul de zvelte e descre te cu cre terea vrstei, clasa de produc ie i cu diametrul de baz ; (ii) coeficientul de zvelte e este maxim la vrsta de 20-25 ani; (iii) molizii din clasa I-a de produc ie sunt cei mai zvel i; (iv) diferen a dintre valoarea maxim

i cea minim

este cea mai mare la clasa I-a de produc ie i cea mai mic

la molizii din arboretele din clasa a V-a de produc ie.

2. Modelul matematic al molidului

2.1. Modelul fusului

Ca model matematic, pentru fusul molidului se iau n considerare trei forme

77

Grudnicki Coeficientul dezvelte e i stabilitatea

cunoscute: cilindrul - ca form

de referin , paraboloidul apolonic i conul (fig. 2a).

Consider m un fus de volum V, n l ime h i diametrele de baz

aferente celor trei forme d1, d2 i d3. Volumele i diametrele acestor trei forme sunt prezentate n conti-nuare (rela iile 2.1). Astfel,

- pentru cilindru:

hd4

V 21 hV2d1

- pentru paraboloid:

hd8

V 22 2dhV22d 12

- pentru con:

hd8

V 23 3dhV32d 13

Din rela iile (2.1) rezult c : d1 < d2 < d3 (2.2)

ns

3dh;

2dh;

dh 1

33

1

22

11

(2.3) Rezult c :

1 > 2 > 3 (2.4), adic

cilindrul este mai zvelt dect para-boloidul i conul.

Din punctul de vedere al coeficientului de form , la fusul molidului acesta variaz

0,6

0,7

0,8

0,9

1

1,1

1,2

1,3

15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 70Diametrul de baz

(cm)

357,13)ln(728,121 xx

y

Fig. 1.2. Varia ia coeficientului de zvelte e n func ie de diametrul de baz

Tabelul 1. Valorile medii ale coeficientului de zvelte e din tabelele de produc ie

Vrsta (ani) Clasa de produc ie 20 40 60 80 100 120

I 1,154 1.080 0,993 0.918 0,874 0,797 II 1,088 I,048 0,963 0,930 0,830 0,787 III 1,026 1,006 0,956 0,874 0,817 0,774 IV 0,960 0,952 0,909 0,845 0,782 0,741 V 0,870 0,863 0,861 0,797 0,744 0.704

78

BucovinaForestier XII, 1-2 Comentarii

ntre 0,580 la arborii tineri i 0,325 la cei b trni (Leahu, 1994).

Cum ns

coeficientul de form

al paraboloidului este 0,500, iar al conului 0,333, iar din punct de vedere biomecanic sunt cvasiforme de egal

rezisten

la nco-voiere i compresiune, adoptarea lor ca modele pentru fusul molidului este justifi-cat .

Ecua iile curbelor de contur pentru aceste dou forme sunt:

- pentru paraboloidul apolonic

xhV8

xh

dpxy 2222

(2.5)

- pentru con

23

22

2222 x

hV12

xhdpxy (2.6)

2.2. Modelul coronamentului

Pentru coronament, modelul matematic este un con echivalent compact, de n l ime hc, diametru dc i volum Vc (fig. 2.1b).

Avnd n vedere propor iile volumelor fu-sului cu coaj

i al cr cilor, fa

de volumul suprateran, rezult

c

volumul cr cilor este de aproximativ 10 % din volumul fusului, adic

Vc = 0,1V, volum con-centrat n conul de n l ime hc = 0,1h.

n acest caz, diametrul conului dc este:

3dh1,0V3,02

hV32d 1

c

cc (2.7)

3. Sarcinile care solicit molidul

3.1. For ele active

3.1.1. Greutatea molidului

Greutatea total

a molidului Gt, este format

din greutatea fusului Gf, greutatea coronamentului Gc i Gr, care este greutatea cioatei plus a sistemului radicelar (r d ci-nile + solul aferent) (fig. 3.1):

Gt = Gf + Gc + Gr (3.1)

Fig. 2.1. Varia ia coeficientului de zvelte e func ie de diametrul de baz

79


Fig. 3.1. Sarcinile care solicit molidul

Deoarece greutatea specific

a cr cilor este dubl

fa

de cea a fusului, adic

c =

2 , iar Vc=0,1V, rezult

c

greutatea fusului plus a coronamentului G, este:

G = Gf + Gc = 1.2 V = 0,3 hd 21 (3.2)

hdGdG cf 2121 20;

4 (3.3)

i xf = h/2 pentru cilindru, xf = 2h/3 pen-tru paraboloid i con, iar pentru coronament xc = 2h/30.

Punctul de aplica ie al for ei G, conform teoremei momentelor este:

GxGxG

xccff

G (3.4)

Din rela ia (3.4) rezult

pentru cilindru xG = 0,428h, iar pentru paraboloid i con xG = 0,567h.

3.1.2. For a de presiune a vntului

Presiunea dinamic

a vntului ntr-un punct este:

2Cv21p (3.5)

unde:

- densitatea aerului, care depinde de gradul de nc rcare a atmosferei cu pre-cipita ii, alte particule etc.; C - coeficient care depinde de forma corpului care n cazul formelor adoptate are valoarea C - 1,0; v - viteza vntului, care cre te cu n l imea arborelui.

De exemplu, dac

la n l imea de 10 m de la sol presiunea vntului este de 500 Nm-2, la n l imea de 40 m este de 740 Nm-2, cre terea fiind aproape liniar .

Avnd n vedere c

suprafa a de contact a fusului i coronamentului descre te cu n l imea, n timp ce viteza cre te cu n l imea, n calculul presiunii i al for elor de presiune se adopt

o vitez

medie constant pe toat n l imea.

n acest context, for a elementar

de presiune dP(x) este dP(x) = pdA(x) (fig. 2.1a),

unde: dA = 21 d(x)dx (3.6)

deci:

dx)x(addx)x(pd21)x(dP (3.7)

unde: 2v41p

21

a (3.8)

Rezultanta for elor de presiune a vntului P este:

Adx)x(daP (3.9)

80


Rezultantele for elor de presiune a vn-tului Pi (i = 1-3), pentru cele trei forme ale fusului i coronamentului sunt:

- pentru cilindru:

P1 = ad1h = 121ad


1121

122

47,032

32

31

Pad

hadhadP

(3.10)

- pentru con:

1121

133

43,043

43

41

Pad

hadhadP

Centrul de presiune al acestor rezultante

este: hhxf 5,02.

Se observ

c

1P > P2 > P3, adic

for-ma cilindric

este solicitat

mai mult dect cea parabolic

i conic , care sunt foarte apropiate.

Rezultanta for elor de presiune pe coro-nament este:

111

1

043,0403

403

41

Pad

hadhadP ccc (3.11)

avnd centrul de presiune la xc = 0,5hc = 0,05h.

3.2. For ele de leg tur (pasive) Sistemul radicelar al arborilor forestieri

poate fi asimilat cu o funda ie, avnd o structur

foarte complex , format

din biomasa r d cinilor i solul aferent. n acest sistem, r d cinile formeaz

o re ea com-plex

de armare a terenului i de ancorare n acesta.

Lungimea re elei r d cinilor cre te cu vrsta. Astfel, la un molid cu diametrul de baz

de 8 cm, lungimea re elei (f r

lungi-mea ramifica iilor firelor radicelare este de 4200 m, iar la un diametru de bat de 40 cm este de 33.500 m.

Conform principiului ac iunii i reac-iunii, sub efectul for elor active, sistemul radicelar este solicitat la trac iune i com-presiune. Astfel, for ele de leg tur

sunt reprezentate de: rezultanta T a for elor ele-mentare de trac iune, care reprezint

capa-citatea de ancorare a sistemului radicelar n terenul aferent, rezultanta C a for elor elementare de compresiune ale sistemului radicelar i terenul aferent (fig. 3.1).

Cunoscndu-se solicit rile mecanice, este foarte important

cunoa terea compor-tamentului molizilor n func ie de forma i coeficientul de zvelte e al fusului.

4. ncovoierea fusului 4.1. Deforma ia fusului

Sub ac iunea vntului, axa fusului se deformeaz . Fusul se consider

ncastrat la nivelul cioatei, fiind solicitat la o sarcin

echivalent uniform distribuit : - pentru fus pe n l imea h (fig. 4.1a):

hPq ii (i = 1-3) (4.1)

pentru coronament pe n l imea hc

81


Fig. 4.1. Axa deformat a fusului.

(fig. 4.1b):

c

cc h

Pq (4.2)

Avnd n vedere rela iile (3.10), (3.11), (4.1) i (4.2) se ob ine, pentru cele trei forme ale fusului, intensitatea sarcinii echivalente uniform distribuite qi:

q1 = ad1; 112 47,032 qqq ;

113 43,043 qqq ; qc = 0,043q1 (4.3)

din care rezult c q1 > q2 > q3. Aplicnd ecua ia diferen ial

a axei de-formate a fusului:

EI(x)y = -M(x) (4.4) unde: E - modulul de elasticitate longitu-dinal

a fusului; I(x) - momentul de iner ie axial geometric al sec iunii (x), care este va-riabil la paraboloid,

2hxI)x(I , n timp ce la con

I(x) = hxI ,

unde: I - momentul de iner ie a sec iunii de baz ; M(x) - momentul de ncovoiere n sec iunea (x);

Se ob in urm toarele ecua ii ale axei deformate a fusului, pentru cazul din figura (4.1.a), ct i s geata maxim ym de la vrf:

- pentru cilindru:

)4h

x3h

12x(

Edq32y

434

41

11

Sm KEqy 88 4111 (4.5)


)22

(3222

42

22

2hhxx

Edhqy

;

S

m

KE

qEqy

886,1324

16

41

1

42

22

(4.6)

- pentru con:

)326

(32323

43

33

hx

hxEd

hqy

;

KE

qEqy 540,1

93832 4

114

33

3

(4.7) Rezult c : y1m > y2m > y3m (4.8)

unde:

EqK

411

s (4.9)

Ecua ia axei deformate a fusului pentru cazul din figura (4.1b) i s geata maxim

aferent , este:

82


}{32)}4(4

32)

2(

3{32

4

32

3

4

xfEd

hqhhhh

hhhxEd

hqy

ci

ccc

c

c

i

ccci

cu i = 1-3 (4.8) unde yc1m = 0,0789Ks; yc2m = 0,0195Ks; yc3m = 0,0087Ks (4.10)

Suprapunnd efectele celor dou

soli-cit ri (Yi = yim+ ycim), s geata maxim total

Yi este: Y1 = 8,078Ks (cilindru), Y2 = 1,906Ks (paraboloid) i Y3 = 1,549Ks (con) rela ia (4.11) a a nct: Y1 > Y2 > Y3 (4.12)

Din cele expuse, deforma ia maxim

a fusului este dat de rela ia general :

EqkKK

EqkY 44 (4.13)

Reprezentnd grafic rela ia (4.12) i avnd n vedere varia ia coeficientului de

zvelte e n func ie de vrst

i clasa de pro-duc ie, rezult urm toarele:

(i) deforma ia maxim

a fusului cre te liniar cu intensitatea vntului q i cu coefi-cientul de zvelte e

la puterea a patra; (ii) la o vitez

a vntului dat , la arborii tineri for a de presiune este mai mic

dect la arborii n vrst , n schimb coeficientul de zvelte e este mai mare la cei tineri i mai mic la cei n vrst , ceea ce nsemn

c

molizii prin forma lor natural , i asigur

stabilitatea; (iii) deforma ia fusului la ncovoiere

este maxim

n general la molizii de 25 ani din clasa 1-a de produc ie i minim

la cei de 120 ani, din clasa a 5-a de produc ie;

(iv) forma cilindric

a fusului se defor-meaz

mult, n compara ie cu fusul n for-m

de paraboloid i con, ale c ror deforma-ii sunt foarte apropiate, ceea ce demon-

streaz

nc

odat , c

natura i creeaz

forme optime la solicit rile mecanice; (v) m rimea deforma iei variaz

invers propor ional cu m rimea modulului de elas-ticitate longitudinal E. Acesta depinde ns

de specie, greutatea specific

aparent , umiditate, temperatur , direc ia solicit rii n

0

0,5

1

1,5

2

2,5

0,60,70,80,911,11,21,3

Coeficientul de zv elte e (m.cm-1)clasa I de produc ie20 120 ani

clasa V de produc ie20 120 ani

I

V

K

K

K

K

4dKY

Fig. 4.2. Varia ia deforma iei maxime

83


raport cu fibrele, lemnului timpuriu-trziu, defecte, etc. Modulul E cre te cu greutatea specific , caz n care deforma ia scade, dar acela i modul scade cu cre terea umidit ii, caz n care deforma ia cre te. Lemnul trziu are modul mai mare ca lemnul timpuriu.

4.2. ncovoierea fusului n domeniul elastic i plastic

Formula lui Navier:

w

M (4.14)

red

rela iile dintre solicit ri i tensiunile axiale, unde: - efortul unitar axial;

2

21 qhM - momentul maxim de

ncovoiere;

32

3dw

- modulul de elasticitate

axial, a a nct rela ia (4.14) devine:

33

2

hq16

hh

.

dqh16

, de unde

316q

h (4.15)

Pentru < p = limita de plasticitate, de-forma ia fusului este elastic .

Pentru

p, deforma ia fusului este plastic

(permanent ) (fig. 4.3), caz n care coeficientul de zvelte e devine coeficient de zvelte e critic la ncovoiere cr

3 pcr q16h

(4.16)

Fusul r mne permanent deformat, cu s geata maxim critic Ycri:

Fig. 4.3. ncovoiere plastic

84


4cricr E

qkY (4.17)

Ruperea fusului se produce n orice sec-iune transversal n care:

rupereefectiv

5. Flambajul fusului 5.1. Sarcina critic de flambaj Fusul molidului, pe lng

greutatea pro-prie i a coronamentului este solicitat ade-sea, n plus, i de greutatea precipita iilor, sub diverse forme, particule, etc., caz n ca-re sub ac iunea acestor solicit ri poate s

flambeze i chiar s cedeze la rupere. Greutatea total

la care poate flamba fusul (fig. 5.1), n care este inclus

i greutatea precipita iilor, este dat de sarcina critic de flambaj i este format din:

Fig. 5.1. Sarcinile la flambaj

- greutatea proprie a fusului Gf ca rezul-tant

a sarcinii continue distribuit

liniar de la baz la vrf (5.1a):

hxqq 0x ; hqGf 02

1

de unde: hG2

q f0 (5.1)

- greutatea coronamentului Gc ca sarcin

concentrat n centrul de greutate al corona-mentului (fig. 5.1b):

Gc = 0,2Gf (5.2) Se cunoa te c

sarcina critic

la flambaj este dat de rela ia:

2

2

fcr l

EIG (5.3)

unde: lf - lungimea de flambaj, care n ca-zul ncastr rii la o extremitate i a sarcinilor din figura (5.1) este:

lf = 0,782h pentru Gf i

lf = 2(h xc) = 1,867h pentru Gc (5.4) Pentru forma cilindric

a fusului de vo-lum V, n l ime h i diametru d1,, care are coeficientul de zvelte e mai mare dect pa-raboloidul i conul, prin suprapunerea efec-telor, sarcina critic de flambaj este:

21

12

2

21

21

2

21

2

21

2

1

.

8.

4.

8

)867,1()782,0(AE

hddE

hEI

hEIG cr

(5.5)

21

2

KEAkG fcr ; EAkK ff (5.6) de unde coeficientul de zvelte e critic la flambaj,

85


cr1

1cr1 G8

EA (5.7)

Pentru cazul n care sec iunea este varia-bil , sarcina critic de flambaj este:

2

2

fcr l

EIG (5.8)

unde

- coeficient adimensional, func ie de varia ia sec iunii n lungul axe.

Avem urm toarele sarcini critice de flambaj:


21

22

2cr2A

.

4EG

- pentru con:

21

32

3cr3A

.

8E3G (5.9)

ns > 1, iar A3 > A2 > A1 , a a nct

G3cr > G2cr > G1cr. (5.10) Rezult

deci, c

pentru un fus de volum V i n l ime h, forma conic

preia sarcina critic de flambaj cea mai mare.

Din rela iile 5.5, 5.6 rezult

c

sarcina critic

flambaj cre te cu sc derea coeficien-tului de zvelte e, la puterea a doua (fig. 5.2).

5.2. Flambajul n domeniul elastic i plastic

Flambajul n domeniul elastic, are loc cnd:

pcr

crf

EA

G21

2

1

1.

8 (5.11)

pcrf

E4

22

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

0.60.70.80.911.11.21.3

Coeficientul de zvelte e (m.cm-1)clasa I de produc ie20 ani 120 ani

clasa V de produc ie20 ani 120 ani

I

V

Kf

Kf

KfKf

Kf

Kf

V

Fig. 5.2. Varia ia sarcinii critice de flambaj func ie de

86


adic :

pcrf1 8

E;

p

3crf3 8

E3

(5.12) Peste aceast

limit , fusul molidului r -mne deformat n domeniul plastic care n cazul c este dep it, evident c se va rupe.

6. Stabilitatea molizilor la r sturna-re (dezr d cinare)

6.1. S geata centrului de greutate a greut ii G

S geata centrului de greutate a for ei G rezult

din rela iile 4.5-4.8, n care se nlo-cuie te x cu xG = h (0 <

< 1). Pentru cilindru,

= 0,476h, iar pentru paraboloid i con, = 0,567h, astfel nct:

Eqy

Eqy

Eqy

G

G

G

411

3

411

2

411

1

116,0

335,0

040,3

(6.1)

6.2. Stabilitatea la r sturnare

Avnd n vedere schema de sarcini la care este supus molidul (for e active i for e pasive), condi iile de stabilitate la r sturna-re (dezr d cinare) sunt:

- momentul de stabilitate Ms (al for elor stabilizatoare n raport cu punctul A,) s

fie mai mare ca momentul de r sturnare Mr (al

for elor destabilizatoare n raport cu punctul A);

rs MM (6.2)

- capacitatea de ancorare a sistemului radicelar T s

fie mai mic

dect cea de ru-pere Tr i mai mare ca zero:

rTT0 (6.3)

n momentul n care Ms = Mr i T = 0, rezultanta C din sistemul radicelar are punctul de aplica ie n A, care devine o articula ie ancorat , pe timpul mi c rii de r sturnare.

n func ie de m rimea s ge ii yG, dis-tingem trei situa ii n mi carea de r sturnare:

1) Cnd yG < b Ms = G(b - yG) + (Tx + Gr)b, Mr = Ps (6.4) For a G este o for stabilizatoare. 2) Cnd yG = b: Ms = (Tx + Gr)b Mr = Ps (6.5) Momentul for ei G este nul. 3) Cnd yG > b Ms = (Tx + Gr)b Mr = Ps + G(yG - b) (6.6) For a G este o for destabilizatoare. n rela iile 6.4-6.5, s este bra ul de pr-

ghie al rezultantei P, adic : s = h - xP + hcioat . Rela iile (6.1) au expresia general :

4iiG Ky (6.7)

Cnd yG = b, coeficientul de zvelte e de-

87


vine critic:

4

iicr K

b

(6.8)

For a G devine for destabilizatoare. Din rela iile 6,4-6,7 rezult

c

Ms i Mr sunt func ii liniare de yG i, respectiv, de 1.

Fig. 6.1. Varia ia lui Ms i Mr n func ie de yG

Rezult

c , n domeniul yG < b, Ms descre te, iar Mr este constant, n schimb n domeniul yG > b Ms este constant, iar Mr cre te.

Din figura 6.1 se observ

c

stabilitatea molidului la r sturnare este asigurat

atunci cnd m rimile Ms i Mr se afl n interiorul domeniului OABCD.

Bibliografie

Danciu, M., Parascan,D., 2003. Botanic

foresti-er , Editura Pentru Via , Bra ov.

Giurgiu, V., et.al., 1972. Biometria arborilor i ar-boretelor din Romnia. Editura Ceres, Bucu-re ti.

Giurgiu, V., Decei, I., 1997. Biometria arborilor din Romnia, Editura Snagov, Bucure ti.

Grudnicki, F., 2003. Bazele stabilit ii arborilor forestieri. Editura Universit ii tefan cel Mare Suceava.

Horodnic, S., 1999. Cercet ri privind structura arboretelor echiene de molid n raport cu densitatea lemnului. Tez

de doctorat, Univer-sitatea tefan cel Mare , Suceava.

Leahu, I., 1994. Dendrometrie. Editura Didactic

i Pedagogic , Bucure ti.

Redlov, T., 1969. Curs general de rezisten a materialelor. Institutul Politehnic Bra ov.

Zarojanu, D., 2004. Mecanica p mnturilor pentru infrastucturi de instala ii de transport forestiere. Editura AGIR, Bucure ti.

Autorul. Ing. Francisc Grudnicki activeaz

n calitate de cadru didactic asociat la Universitatea tefan cel Mare Suceava, Facultatea deSilvicultur . Poate fi contactat prin intermediul redac iei.

coef zveltete pomi grudnicki

Documents