平面圖形與立體圖形

日期：二零一六年六月十五日(星期三)

時間：9:00 a.m. ─ 10:20a.m.

港澳信義會明道小學2015至2016年度下學期

數學科工作坊

數學堂小故事

彭老師向小學四年級的學生展示一個四邊形。他問學生︰「這是一個四邊形，它的四條邊都相等，請問這個四邊形叫做甚麼？」

數學堂小故事

小華︰「這是菱形。」

小泉︰「它是平行四邊形，因為菱形是平行四邊形的一種。」

小琪︰「它是正方形，如果它的四個角也是直角。」

誰是誰非？還是根本沒有人錯！

圖形與空間並不是一個容易處理的課題，主因之一是圖形之間存在包含關係，例如︰正方形是長方形，但有些長方形並不是正方形

讓我們今天先集中討論有關平面圖形及立體圖形

各級有關平面圖形及立體圖形的課題級別 立體圖形 平面圖形

小一 球體、柱體、錐體 圓形及多邊形正方形和長方形

小二 球體、圓柱體、角柱體、圓錐體、角錐體

四邊形︰正方形、長方形、菱形、梯形

小三 / 四邊形︰平行四邊形三角形︰直角、等腰、等邊

小四 / 四邊形特性

小五 立體圖形的特性、正方體及長方體的摺紙圖樣

/

小六 立體圖形的頂、棱、面、角柱體及角錐體的摺紙圖樣

立體圖形的截面

圓形的特性

直觀與特性

請問各位科任，正方形是甚麼？對不同年齡的學生，這題目的答案有很大的分別

小一、小二的學生多數會指出哪些是正方形，又可能會畫或摺出正方形，因他們未學正方形的特性，只從直觀明白圖形的意義

小三至小六則多數會講或寫出正方形的特性

直觀與特性

既然小一至小三學生以直觀來學習圖形為主，課業及評估的題目宜以圖像為主，描述圖形的特性並不合適，而非典型的例子很重要，但也不宜在剛學習的時候過早提出

VAN HIELE的幾何思考模式視覺期︰可以分辨、稱呼、比較及操弄幾何圖形，但不能理解物件的真正意義

描述/分析︰可以從圖形的構成要素，以成要素之間的關係分析圖形，並可利用實際作的方式發現圖形間的共同特性

抽象/關係︰可以透過非正式的論證，把先前發現的性質作邏輯證明定理

形式演繹期︰能利用演繹邏輯證明定理

嚴密性/後數學︰可以在不同的公理系統中建立定理，並且分析比較這些系統的特性

數學科任所需的數學知識

平面圖形的基本概念簡單圖形︰在一個折線圖形中的任何一點，皆不同時是兩條以上的線段上的端點

平面圖形的基本概念封閉圖形︰一個折線圖形中的任何一個端點，皆不會只在一條線段上

平面圖形的基本概念活動︰分辨圖形

小學階段，不宜討論有關非簡單或非封閉的圖形

簡單及封閉的圖形稱為「多邊形」

三角形的分類

直角三角形︰有直角的三角形

鈍角三角形︰有鈍角的三角形

銳角三角形︰三個角全是銳角的三角形

以上三者沒有包含關係

三角形的分類

不等邊三角形︰三條邊長度都不相等的三角形

等腰三角形︰兩邊長度相等的三角形

等邊三角形︰三邊相等的三角形

等邊三角形具有等腰三角形的所有性質

三角形的分類

三角形的分類

等腰直角三角形(直角等腰三角形)︰兩邊長度相等和有直角的三角形，它既是等腰三角形，也是直角三角形

課本三下A介紹不等邊三角形，當題目出現直角三角形時，它又是不等邊三角形，引起問題

建議刪除有關「不等邊三角形」的內容

四邊形的分類

梯形︰對邊平行

平行四邊形︰兩組對邊平行

菱形︰四邊相等的平行四邊形

長方形︰有四個直角的平行四邊形

正方形︰四邊相等，有四個直角的平行四邊形

四邊形的分類

四邊形的分類

立體的分類

角柱體︰一個多面體，有兩個互相平行的平面，而其餘的平面都是由四邊形組成，任何兩條棱都互相平行

柱體︰柱面和兩個平行平面圖形所組成。

通過曲線上的一個動點，始終與另一條曲線上的動點平行，形成一條動直線，這直線所形成的軌跡，稱為柱面

圓柱體︰以圓形為底的柱體

柱面

立體的分類角錐體︰一個多面體，有一個多邊形的底面，而其餘的平面都是由三角形組成，這些三角形有一個共有的頂點

錐體︰錐面和底面所圍成的立體，錐面是平面圖形上的點與平面外的一點定點連線，沿平面圖形邊界移動所形成一曲面

圓錐體︰以圓形為底的錐體

(又可以看成為一個三角形繞着一條直角邊旋轉所形成的曲面和圓形所組成)

錐面

立體的分類

課本分類︰

柱體角柱、圓柱錐體角錐、圓錐

另一種分類︰

多面體Polyhedron角柱Prism、角錐Pyramid

圓柱Cylinder

圓錐Cone

應用部份

探討圖形與空間問題的重要性

有助科任加深對數學本科的認識

幫助科任開闊數學課程的視野

為教與學提供豐富的營養

有助加強課程的薄弱環節

如何運用以上的數學知識？

強調︰絕對不是將平面圖形和立體的定義及特性直接教導學生

學生應從直觀(視覺期)開始，然後逐步邁向描述及分析

直觀(視覺期)︰由小一開始，科任宜提供足夠時間及機會讓學生「睇」圖形

小二至小六︰按部就班引導學生掌握特性

如何運用以上的數學知識？

科任不是教定義，而是教特性，按課本的內容教授大致合適

認識定義可幫科任避開出錯題目或有所爭議的題目

如︰在釘板畫出最小/最大的長方形

或︰列出等腰三角形時，要列出等邊三角形嗎？

畫圖題目

由於正方形包含長方形、菱形、平行四邊形及梯形的特性，所以畫這些圖形要小心，因學生畫出正方形並不是錯

畫圖題目

畫圖題目

畫圖題目

畫圖題目在TSA不常見，而且多數提供部份線段

判別圖形類別

當學生須寫出圖形的名稱時，必須寫出最準確的名字

判別圖形類別

判別圖形類別

判別立體圖形時，小一不宜有非例子，小二時，科任宜教導學生找出「底」的數量，並可以出現非例子

判別圖形類別

小三 小六

有趣的題目

實踐部分

分級設計題目

分六級設計題目(包括選項)，共10分一上A立體，二下B四邊形三下A三角形，四上A四邊形五下A立體，六上B立體考慮學生的程度，題目避免爭議，盡量安排不同的題型

時間︰10分鐘每級各請一位科任匯報

謝謝！