coeficientes de transporte
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Documento que contiene la técnica para desarrollar el cálculo de los coeficientes de transferencia de masa, movimiento y calor por medio de ecuaciones empíricas.TRANSCRIPT
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LOS COEFICIENTES DE TRANSPORTE (viscosidad, conductividad térmica y
coeficiente de difusividad)
Hemos visto que los procesos de trasporte (momento, calor, y masa) cada uno involucra
una propiedad del sistema [viscosidad ( ), conductividad térmica (k), difusividad (DAB)].
Estas propiedades son llamadas coeficientes de trasporte. Como propiedades del sistema
estas son funciones de la temperatura y la presión.
Las expresiones para el comportamiento de estas propiedades en gases de baja densidad
pueden ser derivadas mediante el uso de dos teorias aproximadas:
1. La teoría cinética de los gases
2. Uso de interacciones moleculares (teoría de Chapman-Enskog).
En el primer caso las moléculas son rígidas, no se atraen y son de forma esférica. Entonces
podemos considerar que estas moleculas tienen:
Una masas m y un diámetro d
Una concentración n (moléculas / unidad de volumen)
Una distancia de separación que muchas veces es d.
De acuerdo a lo anterior, se pueden obtener las siguientes expresiones para la viscosidad,
la conductividad térmica, y la difusividad:
(1-10)
donde K es la constante de Boltzmann ( k = 1,38 × 10-23 J . k-1).
(1-11)
Donde el gas es monoatómico
(1-12)
Los subíndices A y B se refieren al gas A y al gas B.
Si las interacciones moleculares son consideradas (p. ej., las moléculas pueden ambas
atraerse y rechazarse) un grupo de ecuaciones diferentes para las propiedades de transporte
son obtenidas. Estas expresiones aproximadas implican el relacionar la fuerza de
interacción, F, a la energía potencial de interacción . La última cantidad (energía
potencial de interaccion) es representada por el potencial de Lennard-Jones (ver figura 1-4)
2
3 3/2
mKT
d2
k1
d2K 3T3m
DAB2
3
K 3
3
1/2
1
2mA
1
2mB
1/2
T 3/2
PdA dB2
2
(r) 4r
12
r
6
2
Donde es el diámetro característico de la molécula y la energía característica de
interacción entre moléculas (la energía de atracción máxima entre dos moléculas) (ver tabla
A-33 en el apéndice de valores de y ).
La ecuación de potencial de Lennard-Jones predice la atracción débil molecular a grandes
separaciones (proporcional a r-6
) y la repulsión fuerte para separaciones pequeñas
(proporcional a r-12
).
Las ecuaciones resultantes de viscosidad, conductividad térmica, y difusividad usando el
potencial de Lennard-Jones son:
Donde esta en unidades de kg/m-s o pascal-segundo, T esta en °K, esta en Å, la
es una función de KT/ (ver apéndice), y M es peso molecular.
donde k esta en W/m°K, esta en Å, y K
= . La expresión es para un gas
monoatómico.
donde ABD esta en unidades de m
2/s, P esta en atmósferas, AB
1
2A B ,
AB A B , y DAB
esta en función de KT/AB
(ver apéndice B, tabla A-3-4).
2.6693 10 6 MT2
k 0.8322T /M2
K
DAB 1.8583 10 7T 3 1 /MA 1 /MB
P AB
2
DAB
3
Figura 1-4. Modelo potencial de Lennard-Jones en función de la energía.
Ejemplo 1-1 La viscosidad del isobutano a 23°C y presión atmosférica es 7.6 x 10-6
pascal-seg. Compare este valor con el calculado por la deducción de Chapman-Enskog.
De la tabla A-3-3 del apéndice A tenemos
Å
Entonces, KT/ =296.16/313=0.946 y de la tabla A-3-4 del apéndice B obtenemos:
341.5 /K 313oK
1.634
2.6693 10 6 MT2
2.6693 10 6 (58.12)(296.16)
(5.341)2 (1.634)
7.51 10 6 pascal seg
%error 7.6 7.51 / 7.6 100 1.18%
4
K5.177K)230)(K137(KKK
BAAB
Ejemplo 1-2 Calcular la difusividad del sistema metano-etano a 104°F y 14.7 psia.
El metano será A y el etano será B. Entonces,
De la tabla A en el apéndice tenemos:
A
K134 K,
418.4822.32
1
2
1BAAB Å= 4.120 Å
KT
AB
313
177.51.763
De la tabla A-3-4 en el apéndice, nosotros tenemos 125.1DAB
DAB1.8583 10 7 T 3(1 /MA 1 /MB )
P AB
2
DAB
DAB1.8583 10 7 (313 K)3(0.0956)
(1)(4.120)2(1.125)
segmDAB /1066.1 25
El valor actual es 1.84 10-5
m2/seg. El porcentaje de error es 9.7%.
T104 460
1.8K 313 K
1
M A
1
M B
1
16.04
1
30.070.0956
B 4.418Ao
A 3.822Ao
B
K230 K
5
EJERCCIOS: determine el valor de la conductividad termica para el argon a presion
atmosferica y 100 C. Comparelo y detemine el porcentaje de error con algun valor
tabulado.
Determine la difusivad para el sistema argon-metano a 345 K y compare su resultado con
algun valor tabulado.
COMPORTAMIENTO DEL COEFICIENTE DE TRANSPORTE PARA GASES DE
ALTA DENSIDAD Y MEZCLA DE GASES
Si los sistemas de gases tienen alta densidad, tanto la teoría de la cinética de los gases y la
teoría de Chapman-Enskog no son adecuadas para describir el comportamiento de los
coeficientes de transporte. Por otra parte, la expresión previamente derivada de la
viscosidad y de la conductividad térmica sólo se aplican a los gases puros y no a las
mezclas de gases. El enfoque típico de estas situaciones es utilizar la teoría de los estados
correspondientes como un método para abordar el problema.
Recordemos que la teoria de los estados correspondientes establece que dos gases a
diferentes T y P pero con la misma Tr y Pr tendran un mismo Vr. Es decir, estaran en
estados correspondientes. Cuando dos o mas gases estan en estados correspondientes,
algunas de sus propiedades fisicas, tales como densidad, viscosidad, peso especifico,
fugacidad, etc. Son iguales o al menos casi iguales.
Las figuras 1-5, 1-6, 1-7, y 1-8 dan la correlación de la viscosidad y de la conductividad
térmica de los gases monoatómicos. Las figuras 1-5 y 1-7 son gráficos de la viscosidad
reducida (C/ , donde C es la viscosidad en el punto crítico) y la conductividad térmica
reducida ( Ckk / ) versus temperatura reducida ( CTT / ) y presion reducida ( Cpp / ) . El otro
conjunto son gráficos de viscosidad y conductividad térmica dividida por los valores
( ,0 k0) a presión atmosférica y la misma temperatura.
Los valores de C pueden ser estimadas a partir de las relaciones empíricas
C 61.6(MTC )
1/2
(V̂C )2 /3
C
7.70M 1/2PC2/3
(TC )1/6
Donde C esta en micropoises, CT esta en °K, CP en atmósferas, y CV̂ esta en cm3/gmol.
6
Figura 1-5. Viscosidad reducida como una función de la presión y la temperatura reducida
(2).
7
Figura 1-6. Viscosidad reducida en función de la temperatura y la presión reducida (3).
8
Figura 1-7. Conductividad térmica reducida (gases monoatómicos) en función de la
temperatura y la presión reducida.
9
Figura 1-8. . Conductividad térmica reducida (gases monoatómicos) en función de la
temperatura y la presión reducida.
10
El comportamiento de la viscosidad y la conductividad térmica de las mezclas de gases a
bajas densidades se describe semiempiricamente por las relaciones derivadas por Wilke
de la viscosidad y por Mason y Saxena de conductividad térmica:
mix
yi i
y j ij
j 1
n
i 1
n
(1-19)
ij
1
81M i
M j
1/2
1 i
j
1/2
M j
M i
1/42
(1-20)
kmixyi i
y j ij
j 1
n
i 1
n
(1-21)
Las ij ´s en la ecuación (1-21) están dadas por la ecuación (1-20). Las y´s se refieren a
las fracciones mol de los componentes.
Para las mezclas de gases densos el método pseudocrítico es recomendado. Aquí las
propiedades críticas de la mezcla están dadas por:
n
i
CiiC PyP1
´
n
i
CiiC TyT1
´
n
i
CiiC y1
´
donde iy es una fracción molar mdel componente i; CiP , CiT y Ci son los valores de las
propiedades criticas del componente puro i. Estos valores son entonces utilizados para
determinar la ´
RP y ´
RT valores necesarios para obtener ( i/ ) en la figura 1-5.
El mismo método puede ser usado para la conductividad térmica con la figura 1-7 si los
datos de Ck se pueden obtener o mediante el uso de k° valor determinado a partir de la
ecuación (1-15).
El comportamiento de difusividades no es tan fácilmente obtenido como los otros
coeficientes de transporte. La combinación ( PDAB ) es esencialmente una constante hasta
11
alrededor de las 150 atm de presión. Más allá de eso, la única correlación es la elaborada
por Slattery y Bird. Esta, sin embargo, deberá ser utilizada con cautela porque esta basada
en datos muy limitados.
Ejemplo 1-3. Comparar las estimaciones de la viscosidad de CO2 a 114,6 atm y 40.3°C.
utilizando
1. Figura 1-6 y un valor de viscosidad experimental de 1800 x 10-8
pascal-seg de C02 a 45.3
atm y 40.3°C.
2. La relación de Chapman-Enskog y la figura 1-6.
De la tabla A-3-3 del apéndice A, TC=304.2°K y PC=72.9 atmósferas. Para el primer caso
tenemos:
03.12.304
46.313RT , 622.0
9.72
3.45RP
de modo que # 1.12 y
0 #
1800 10 8 pascal seg
1.121610 10 8 pascal seg
Para P=114.6 atm tenemos
PR114.6
72.91.57 , 03.1RT
De modo que 7.3# y
segpascalesegpascales 88
0
# 106000)101610)(7.3(
Para el segundo caso, de la tabla A-3-3 del apéndice tenemos
01.44M , 996.3 Å, 190/ k K
y
KT 313.46
1901.165
así que de la tabla A-3-4 del apéndice y 264.1 obtenemos
12
2.6693 10 6 MT2
2.6693 10 6 (44.01)(313.46)
(3.996)2 (1.264)1553 10 8 pascal seg
De la figura 1-6, # es aun 3.7 así que
segpascalsegpascal 8105746)101553)(7.3(
El valor experimental actual es 5800x10-8
pascal-seg. Los porcentajes de error para el caso
1 y caso 2 son 3.44% y 0.93%, respectivamente.
Ejemplo 1-4. Estimación de la viscosidad de una mezcla de gases de CO2 (y=0.133);
O2 (y=0.039); N2 (y=0.828) a 1 atm y 293°K usando
1. La figura 1-5 y el concepto pseudocritico.
2. Ecuaciones (1-19) y (1-20) con las viscosidades de los componentes puros de 1462, 2031
y 1754 x 10-8
pascal-seg, respectivamente, para CO2 O2 y N2.
En el primer caso los valores de TC, PC, y C (de la tabla A-3-3 del apéndice) son como se
muestran:
TC (ºK) PC (atmosferas) c(pascal-seg)
CO2 304.2 72.9 3430x10-8
O2 154.4 49.7 2500x10-8
N2 126.2 33.5 1800x10-8
)K2.126)(828.0()K4.154)(039.0()K2.304)(133.0(´
CT
K97.150´
CT
)5.33)(828.0()7.49)(039.0()9.72)(133.0(´
CP atm
37.39´
CP atmósferas
8´ 10)1800)(328.0()2500)(039.0()3430(133.0C pascal-seg
8´ 101.2044C pascal-seg
Entonces
94.197.150
293´
RT , 025.037.39
1´
RP
13
De la figura 1-5 tenemos
855.0´
´
C
R
8101.2044)(855.0( pascal-seg)=1747.7 810 pascal-seg
Para el caso 2, tenemos CO2=1, O2=2, y N2=3. Entonces: M1=44, M2=32, M3=28
i j Mi / Mj Mj / Mi ij
1 1 1.00 1.00 1.00
2 1.38 0.72 0.73
3 1.57 0.83 0.73
2 1 0.73 1.39 1.39
2 1.00 1.00 1.00
3 1.14 1.16 1.04
3 1 0.64 1.20 1.37
2 0.88 0.86 0.94
3 1.00 1.00 1.00
mix
Yi i
y j ij
j 1
3
i 1
3
mis
(0.133)(1462)
(0.76)
(0.039)(2031)
(1.06)
(0.828)(1754)
(1.05)10 8 pascal-seg
8101714mixpascal-seg
El valor experimental actual de la viscosidad de la mezcla es 1793 10-8
pascal-seg. Los
porcentajes de error son 2.51 y 4.41% respectivamente, para los casos 1 y 2.
COEFICIENTES DE TRANSPORTE EN SISTEMAS LIQUIDOS Y SÓLIDOS.
En general, la comprensión del comportamiento de los coeficientes de transporte de
gases es mucho mayor que la de los sistemas de líquidos. Esto puede explicarse en parte
por que los líquidos son mucho más densos de los gases. Además, teórica y
experimentalmente el trabajo realizado para los gases es mucho más extenso que el caso de
los líquidos. En cualquier caso, el resultado neto es que los enfoques para el
14
comportamiento de los coeficientes de transporte en los sistemas líquidos son
principalmente de naturaleza empírica.
Una expresión aproximada utilizada para la viscosidad de líquidos se basa en la
teoria de la velocidad de activacion de Eyring. Esta conduce a una expresión de la forma
Nh
Vexp
0.408 Uvap
RT
donde N es el número de Avogadro, h es la constante de Plancks, V es el volumen molar, y
vapU es el cambio de energía interna molar en el punto normal de ebullición del liquido.
La ecuación de Eyring, es una de las mejores aproximaciones, por lo que se recomienda
que las viscosidades de los líquidos sea estimado usando el nomograma dado en la figura
B-1 del apéndice.
Para la conductividad térmica la teoría de Bridgman propone la siguiente expresión:
SKVV
Nk
3/2
ˆ
ˆ80.2
donde Vs, es la velocidad del sonido
TV
PS
P
C
CV
Las anteriores expresiones para viscosidad y conductividad térmica son para componentes
puros. Para mezclas es recomendado que el método pseudocritico sea usado donde sea
posible de acuerdo a las regiones liquidas de las figuras 1-5 a la 1-8.
Las difusividades en líquidos pueden ser tratados por la ecuación de Stokes-Einstein
A
BAB
RKT
D
4
1
Donde AR es el radio de difusión de las especies y B es la viscosidad del solvente.
15
Otro enfoque (para soluciones diluidas) es utilizar la correlación de Wilke y Chang:
6.0
2/18
)ˆ(
)(104.7
A
BBAB
V
TMD
donde AV̂ es el volumen molar de la especie que se difunde en su punto de ebullición
normal, es la viscosidad de la solución, y B
es un parámetro empírico ( "parámetro de
asociación"), como se indica en la tabla 1-1.
Las difisividades de líquidos son altamente dependientes de la concentración. Las
anteriores expresiones deben ser usadas por lo tanto, solo para casos de mezclas binarias
diluidas.
Para los sistemas de sólidos el lector debe consultar el texto de Jakob (13) para
conductividades térmicas. Las difusivitidades en sistemas sólidos son dadas por las
referencias 14-17.
Ejemplo 1-5. Comparar los valores de viscosidad para el agua líquida a 60 ° C según lo
determinado por
1. La ecuación de Eyring (la vapU es KgmolJ /10759.3 7 )
2. Usando el nomograma en la figura B-1 y en la tabla B-1 del apéndice.
Para el caso 1,
kgmol
m
kgmol
mMV
33
01802.01000
02.18ˆ
16
RT
U
V
hN vap408.0exp
ˆ
ˆ
)/4.8314)(10.333(
/10759.3408.0exp
/01802.0
1062.610023.6 37
3
3426
kgmoljK
kgmolm
kgmolm
Jseg
kgmol
00562.0 pascal-seg
para el caso 2, las coordenadas de agua son (10.2, 13). Conectando a 60 ° C con este punto
da una viscosidad de 41070.4 pascal-seg.
El valor de viscosidad experimental actual es 41067.4 pascal-seg, que indica claramente
que el método de Eyring es sólo una aproximación.
Ejemplo 1-6 Estimación de la conductividad térmica del líquido de tetracloruro de
carbono (CCl4) a 20°C y presión atmosférica.
3/1595 mkg , N
m
P T
211105.89
1
2
25
2113107
)/105.89)(/1595(
1
)/(/1
1
seg
m
JmmkgP
P
TT
si se supone que Cp=Cv (una suposición buena para las condiciones), entonces:
segmsegmP
C
CV
TV
PS /837)/107)(1( 225
Los valores de V están dados por
kgmol
m
kgmol
mMV
33
0965.01595
84.153ˆ
17
3/2
ˆ
ˆ80.2
V
NkV
)/837(103805.10965.0
10023.680.2 23
3/2
3
26
segmK
J
mkgmol
kgmolKVS
Kmseg
Jk 112.0
El valor experimental es 0.103 J/mseg°K. Esto da un porcentaje de error de 8.74%.
Ejemplo 1-7 ¿Cuál es la difusividad de una solución diluida de ácido acético en agua a
12,5 ° C?. La densidad de ácido acético en su punto de ebullición normal es 0.937 g / cm3.
La viscosidad del agua a 12.5°C es 1.22 Cp.
Usando la ecuación de Wilke-Chang, obtenemos
6.0
2/18
ˆ)(104.7
AB
BBABV
TMD
gmol
cm
gmol
cmMVA
33
1.64937.0
60ˆ
6.2B (de la tabla 1-1)
6.03
2/18
)/1.64)(22.1(
5.287)186.2(104.7
gmolm
KDAB
segmsegcmDAB /108.9/108.9 21026
ECUACIÓN DE CAMBIO DE UNA DIMENSIÓN; ANALOGIAS
Como se indica anteriormente, cada uno de los tres procesos de transporte es una función
de una impulsora y un coeficiente de transporte. También es posible hacer las ecuaciones
más similares mediante la conversión de los coeficientes de transporte a las formas de
18
difusividades. La primera ley de Fick ya tiene su coeficiente de transporte de esta forma.
Las formas para la ley de Fourier y la ley de Newton de la viscosidad son
Difusividad térmicaPC
k
Difusividad de momento v (viscosidad cinematica)
Las unidades de todas las difusividades son (longitud)2/unidad de tiempo (por ejemplo:
cm2/seg, m
2/seg y ft
2/hr). La difusividad de momento también se conoce como viscosidad
cinemática.
Si los coeficientes de transporte se convierte de este modo, las ecuaciones de cambio en una
dimensión entonces llegan a ser
dy
TCdq P
y
)(
dy
Vdv x
yx
)(
dy
CdDJ A
ABAy
)(
Este resultado indica que esos tres procesos son análogos en casos de una dimensión. De
hecho, la transferencia de calor y masa serán análogos, incluso en casos más complicados,
como será demostrado posteriormente. Para el caso de transferencia de momento esto no es
cierto, cuyo comportamiento análogo sólo se aplica para casos de una dimensión.
19
20