guia11. metodo de coeficientes indeterminados

METODO DE LOS COEFICIENTES INDETERMINADOS 1

ESP. DANIEL SAENZ C Pgina 1

METODO DE COEFICIENTES INDETERMINADOS

Para encontrar la solucin de la Ecuacion diferencial de orden n definida por

Donde los son constantes y f(x) es un funcin diferente de la funcin

constante cero. Se deben realizar dos procesos.

1) Buscar la solucin de la Ecuacion diferencial homognea o complementaria,

denotada por

2) Encontrar una solucin particular de la ecuacin diferencial dada , denotada

por

Siendo la solucin general de la ecuacin diferencial de la forma: .

Ahora, la funcin f(x) puede ser cualquiera de las siguientes funciones:

a) Una funcin constante, es decir f(x) = K

ejemplo : f(x) = 3 ; f(x) = 7 ; f(x) = 1

b) una funcin polinomial, es decir

c) una funcin exponencial,

d) funciones senos o cosenos

e) o una combinacin finita de sumas y productos de estas funciones, es decir

; ; (

) entre otras.



Para determinar la forma de la solucin particular se debe identificar el tipo de

funcin como esta definida f(x) en la ecuacin diferencial que se desea

desarrollar y tomar tienen en cuanta las siguientes casos.

CASI. 1 CUANDO LA EXPRESION f(x) TIENE LA FORMA DE UN POLINOMIO.

Al resolver la ecuacin diferencial

Si f(x) tiene la forma de un polinomio de grado n, la solucin particular tiene la

forma tiene la forma de un polinomio del mismo grado .

EJEMPLO. SOLUCIONAR LA SIGUIENTE ECUACION DIFERENCIAL

,

Se encuentra primero la solucin de la ecuacin homognea, es decir

Cuya ecuacin caracterstica es: la cual tiene como races los

nmeros , siendo la solucin de la ecuacin:

Ahora, buscamos la solucin particular. Para ello se debe tener presente que

como la funcin , la forma -

Para encontrar los valores de las constantes A y B, derivamos la solucin

particular tantas veces como lo indique la ecuacin diferencial, luego

realizamos una sustitucin en la E.D dada y encontramos las Constantes de la

solucin particular, as

Luego,



De donde

Con lo que la solucin de la ecuacin diferencial dada es:

NOTA. Si en la ecuacin diferencial carece del termino correspondiente a la

variable dependiente ( ) y la forma de f(x) es de una funcin polinomica ,

la solucin particular toma la forma donde P(x) es un polinomio del

mismo grado que f(x).

Ejemplo.

1) ,





como la funcin y que la ecuacin diferencial no contiene el

termino correspondiente a la variable dependiente y. luego la forma de la

solucin particular es







Luego,

De donde


Caso II. Cuando f(x) tiene forma exponencial


Si f(x) tiene la forma , la solucin particular tiene la forma

.

EJEMPLO. Resolver la ecuacin diferencial

,







como la funcin , la forma





Luego,

De donde


NOTA. Si en al analizar la forma de de f(x) se encuentre que esta funcin

corresponde a la expresin correspondiente a una de las soluciones formadas

por las races de la ecuacin caracterstica, la solucin particular toma la forma

.

EJEMPLO.

,







como la funcin ,pero corresponde a una parte de la solucin complementaria, entonces la forma de la solucin particular es





Luego,

De donde




CASO III. CUANDO LA FUNCION f(x) TIENE LA FORMA DE UNA

FUNCION SENO , COSENO A UNA COMBINACION DE AMBAS


Si f(x) tiene la forma

, la solucin particular tiene la forma

Ejemplo.

Buscamos la solucin de la ecuacin diferencial homognea, cuya ecuacin caracterstica es

Lo que nos indica que la solucin de la ecuacin homognea es de la forma.

Ahora, para determinar la solucin particular, observamos que la funcin f(x)

es una de funcin trigonomtrica, lo que nos indica que se deben tener en

cuenta dos soluciones particulares a saber:

Reemplazando en la ecuacin diferencial.



La solucin de la ecuacin diferencial es:

CASI IV. CUANDO f(x) ESTA FORMADA PR UN PRODUCTO DE LAS

FUNCIONES DEFINIDAS EN LCASOS I , II, III.

La solucin particular se determina de acuerdo a los siguientes casos

Si la funcin f(x) esta definida por Tomar como solucin particular la

funcin definida por

Producto de una funcin

polinomica por una exponencial


exponencial y una trigonomtrica


polinomica por una trigonomtrica

Producto de las tres funciones ( )

Ejemplo. Solucionar la ecuacin diferencial

Busquemos primero la solucin de la ecuacin diferencial homognea, para ello

se tiene que el polinomio caracterstico es de donde

o con lo que las races son: siendo la solucin complementaria

Ahora, como la funcin , es decir, el producto de una funcin polinomica de grado uno y una exponencial, la solucin complementaria toma

la forma



Con lo que se tiene que:

Reemplazando en la ecuacin diferencial se tiene que:

(

)

Con lo que la solucin general de la ecuacin diferencial es:

(

)

EJEMPLO. SOLUCIONAR LA ECUACION DIFERENCIAL

Encontramos la solucin de la ecuacin homognea

Cuyas races son , con lo que la solucin complementaria es

Ahora, como f(x) es el producto de una funcin exponencial y una

trigonomtrica se tiene que la solucin particular es:



Reemplazando en la ecuacin diferencial

( ( ) )

Con lo que la solucin de la ecuacin diferencial es:

Cuando la funcin f(x) esta formada por una suma de m trminos del tipo de

funciones descritas anteriormente, se aplica el principio de superposicin, el

cual nos indica que la solucin particular esta formada por la suma de las

soluciones particulares que corresponden a los diferentes

trminos de la funcin f(x).es decir :



EJEMPLO. Encontrar la solucin de la ecuacin diferencial

Solucionamos la homognea.

Cuyas races son: siendo la solucin

Ahora, como la funcin f(x) esta formada por una combinacin de funciones

trigonomtricas del mismo ngulo y un producto de una funcin polinomica y

una exponencial, se deben buscar dos soluciones particulares.

Una solucin particular para la ecuacin


{

Resolviendo el sistema se tiene que

De donde

Y otra solucin particular para la ecuacin



Siendo la solucin particular


( ) ( )

( ) ( )

Eliminando trminos semejantes se llega a

Siendo

Con lo que la solucin de la ecuacin diferencial es



ACTIVIDAD . RESOLVER LAS SIGUIENTES ECUACIONES

DIFERENCIALES

1)

2)

3)

4)

5)

6)

7)

8)

9)

10)

guia11. metodo de coeficientes indeterminados

Documents