Comparação do Método Crank Nicholson Implícito com os Métodos TVD’s com Limitadores de Fluxo no Escoamento Miscíveis em Meios

Porosos Bidimensionais

Barbosa M.N., Paulo Gustavo S.B. Nélio Henderson Universidade do Estado do Rio de Janeiro, Instituto Politécnico

28630-050, Nova Friburgo, RJ E-mails: nélio@iprj.uerj.br / nmbarbosa@iprj.uerj.br

Palavras-chave: Escoamento Miscíveis, Método Crank Nicholson, Método TVD’s. Resumo: No presente trabalho, analisamos de forma comparativa os resultados de uma família de esquemas de diferenças finitas com limitadores de fluxo, incluindo os métodos TVD de segunda ordem com o Método clássico de Crank Nicholson na simulação de um escoamento miscível em meios porosos dominado pelo transporte. De posse de uma solução analítica para um problema teste, realizamos um estudo comparativo minucioso envolvendo o estudo da difusão numérica e oscilações espúrias, decorrentes da injeção de um traçador. Esperamos que o Método clássico de Crank Nicholson seja viável para o problema em questão, sendo o mesmo tão eficiente quanto os limitadores de fluxo SUPERBEE e MUSCL, mais indicado para a solução do problema.

1. INTRODUÇÃO

O presente trabalho tem como objetivo estudar de forma comparativa o desempenho de métodos de diferenças finitas com limitadores de fluxo com o método clássico de Crank Nicholson na resolução do problema que descreve o escoamento miscível em meios porosos, dominado pelo transporte convectivo. Em particular, incluímos a análise e o emprego de métodos TVD’s de segunda ordem, como aqueles usados previamente por Blunt e Rubin (1992) na simulação do escoamento imiscível.

2. MODELAGEM MATEMÁTICA PARA O ESCOAMENTO IMISCÍVEL

As equações diferenciais parciais (EDP’s) que descrevem o modelo miscível multicomponente

e escrito da seguinte forma:

( ) 0

( ) ( ) 0, 1, , 1ii i

tk P

i rt

u

u

u J K

(1)

Neste trabalho, consideramos o caso particular do escoamento de um fluido monofásico incompressível formado por apenas dois componentes químicos. Para efeito prático, consideramos que denota a fração mássica de um dos componentes químicos na mistura binária, por exemplo, o solvente (também chamado de traçador). O outro componente (o óleo) tem fração mássica dada por 1 . Então, de acordo com a Eq. (1), as EDP’s que descrevem o escoamento miscível num reservatório de petróleo podem ser escritas na forma,

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( ) 0

( ) ( ) 0,

tk P

t

u

u

u J

(2)

onde J é o fluxo difusivo do solvente na mistura miscível solvente - óleo, a qual se encontra no interior do meio poroso. Note que agora que:

( , )P , ( , )P e ( , )PJ J (3) O modelo clássico para escoamentos miscível em reservatórios de petróleo emprega uma lei de Fick generalizada da forma

c J D , (4)

onde D é uma matriz denominada de tensor de difusão-dispersão. Substituindo a Eq. (4) na equação de conservação de massa do solvente, obtemos

( ) ( ) 0c c ct

u D . (5)

onde

2 21 1 2 2 1 2

2 22 2 2 21 2 2 1 2 11 2 1 2

00mol l t

mol

d u u u u u ud u u u u u uu u u u

D . (6)

Em um grande número de trabalhos referentes à injeção de um traçador em reservatórios de petróleo, a viscosidade da mistura binária é modelada pela correlação empírica proposta por Todd e Longstaff (1972), como mostra a equação adiante.

01 4 4( )

[( ) (1 )]s s

cc c M c c

, (7)

Na Eq. (7),

0 sM é a razão de viscosidade, onde 0 e

s denotam as viscosidades do óleo residente e do solvente (traçador) injetado, respectivamente, e constantesc é o valor da concentração (ou seja, a massa específica) do solvente introduzido no reservatório através dos poços de injeção, de modo que ao longo do meio poroso teremos sempre 0 sc c , em qualquer instante de tempo. Combinando as equações acima e utilizando as devidas simplificações e hipóteses, chegamos à seguinte formulação para a equação da concentração:

2 2

1,1 2,22 2 0c c c ct x x y

D D , (8)

onde 1,1 mol ld D e 2,2 mol td D . (9)

Suponha que ay e by são tais que 0 a b yy y L . As condições de contorno para a Eq. (8) são escritas abaixo,

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(0, , ) 0c y t , se 0 ay y e 0t , (0, , ) 1c y t , se a by y y e 0t , (0, , ) 0c y t , se b yy y L e 0t ,

( , , ) 0xc L y tx

, se 0 yy L e 0t , (10)

( ,0, ) 0c x ty

, se 0 xx L e 0t ,

( , , )0yc x L t

y

, se 0 xx L e 0t .

As Eq.(8) a Eq.(10) complementam o problema teste deste trabalho. Para concluir a

formulação do problema teste, resta-nos atribuir valores aos parâmetros geométricos e físicos referidos acima. Aqui, consideramos: 100xL m , 40yL m , 12ay m , 28by m , 310l m ,

410t m e 5 210mold m d .

3. METODOLOGIA

3.1 Método TVD’s com Limitadore de fluxo Para a utilização do método do tipo TVD será usado o método de diferenças finitas com limitadores de fluxo, veja Blunt e Rubin (1992). Tais métodos foram desenvolvidos com o objetivo de evitar as oscilações espúrias tipicamente encontradas nas soluções numéricas fornecidas pelos os esquemas clássicos, como aqueles encontrados, por exemplo, nos textos de Aziz e Settari (1979) e Peaceman (1977). Adiante vemos uma família de limitadores de fluxo mais utilizado em problemas dominado pelo o transporte.

Tabela 1. Alguns limitadores de fluxo mais utilizados

Função ( )r Denominação

( ) max 0,min(1, )r r MINMOD

( ) max 0,min(2, )r r OSHER

( ) max 0,min(2 , ( 1) 2,2)r r r MUSCL

( ) max 0,min(1, 2 ), min(2, )r r r SUPERBEE

3.2 Método de Crank Nicholson

O método de Crank Nicholson é um método clássico baseado no método de diferenças finitas,

sendo este recomendado a utilização na resolução de equações de derivadas parciais do tipo parabólico. Neste trabalho será utilizado o método implícito, logo não teremos problema de estabilidade.

A Eq.(8) pode ser discretizada da seguinte forma:

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xcc

vy

cccx

cccD

yccc

xccc

Dtcc

nji

nji

nji

nji

nji

nji

nji

nji

nji

nji

nji

nji

nji

nji

nji

nji

,1

,2

11,

1,

11,

2

1,1

1,

1,1

21,,1,

2,1,,1,

1,

22

22

(11)

4. RESULTADOS PARCIAIS

Neste trabalho serão apresentados os resultados de algumas simulações do escoamento

miscível, referentes ao nosso problema teste. Para permitir uma inspeção visual dos efeitos da difusão numérica, mostramos aqui as superfícies da concentração do solvente no instante

60t d , para as soluções numéricas obtidas com os limitadores de fluxo do tipo TVD, não TVD e Crank Nicholson considerados no presente trabalho. Para comparações iniciais, consideramos a superfície da solução analítica mostrada na Fig. 1 (a).

(a) (b) (c)

Figura 1. Superfície da solução analítica (a) e Solução utilizando UWPO (b) e MUSCL (c).

(a) (b) (c)

Figura 2. Superfície obtida com o SUPERBEE (a), MINMOD (b) e LEONAR (c) (a)

(b) (c)

Figura 3. Superfície obtida com o DC (a), UWSO (b) e CRANK NICHOLSON (c)

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Observando a Fig. 1 (a), notamos uma visível discrepância nas outras imagens. Essa discrepância entre a solução analítica e a numérica, obtida com o emprego do limitador de fluxo UWPO, torna-se nítida exatamente na região onde a solução analítica apresenta uma variação abrupta no valor de concentração do solvente. Essa variação é conhecida como difusão numérica. Entretanto o limitador SUPERBBE teve uma pequena difusão, Fig.2 (a). Já os limitadores LEONAR, DC e UWSO mostraram-se inviáveis para o problema em questão, sendo o mesmo oriundo de oscilações espúrias, Fig.2 (c) e Fig.3 (a) e (b). Já o método Crank Nicholson apresentou pouca difusibilidade numérica, entretanto valores físicos incoerentes (picos) foram apresentados.

5. CONCLUSÃO

Foi feita observações referentes à difusão numérica, e o mesmo mostram que, o limitador UWPO, Fig.1 (b), apresenta solução numérica com um perfil um pouco mais difusivo que o MUSCL, Fig. (c), o que excluiu o limitador de UWPO das nossas considerações. Por outro lado, notamos que o limitador SUPERBEE apresentou a menor difusão numérica, gerando uma solução com perfil muito próximo da solução analítica, apesar de ser o esquema que consumiu o maior tempo computacional.Todos os limitadores de fluxo do tipo não TVD, com exceção do UWPO, que apresentou forte difusão numérica, apresentaram oscilações espúrias inaceitáveis, como foi visto na Fig.3. O método de Crank Nicholson apresentou algumas oscilações oriundas de métodos de 2ª ordem, apresentando pouca difusibilidade, porém não foi tão eficiente que os métodos TVD’s, em especial os métodos SUPERBEE e MUSCL. Referências [1] Blunt, M. and Ruin, B., Implicit Flux Limiting Schemes for Petroleum Reservoir Simulation, Journal of Computational Physics, 102, 194, (1992).

[2] Leu, F. J., and Dane, J. H., Analytical solutions of the one-dimensional advection equation and two- or three-dimensional dispersion equation, Water Resources Research, 26, 1475, (1990).

[3] Leveque, R. J., Finite volume methods for hyperbolic problems, Cambridge Texts in Applied Mathematics, Cambridge University Press, (2002).

[4] Peaceman, D. W., Improved treatment of dispersion in numerical calculation of multidimensional miscible displacement, Soc. Pet. Eng. J., 213, (1966). [5] Tardy, P. M. J. and Pearson, J. R. A., A 1-D-averaged model for stable and unstable miscible flows in porous media with varying Péclet number and aspect rations, Transport in Porous Media, 62, 205, (2006). [6] Thomas, J. W., Numerical partial differential equations: conservation laws and elliptic equations, Texts in Applied Mathematics 33, Springer, New York, (1999).

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