COMSOL Multiphysics®によるトポロジー最適化

橋口真宜、米大海第１技術部

計測エンジニアリングシステム株式会社COMSOL Multiphysics®日本総代理店

東京都千代田区内神田1-9-5 SF内神田ビルhttps://www.kesco.co.jp/https://www.comsol.jp/

2019 9.2 10:30-12:10

内容第１部 トポロジー最適化と３Ｄプリンタへの出力 10:35-11:30１）トポロジー最適化における目的関数と制御変数の設定に関する説明２）新しいフィルタリング機能の説明３）１荷重ケース印加による非対称なトポロジー構造の出現４）複数荷重ケース印加による対称なトポロジー構造の算出５）トポロジー最適化形状からのSTLデータ出力方法の説明

休憩（１０分）

第２部 最適化形状の定常解析、固有周波数解析、周波数応答解析 11:40-12:10６）トポロジー最適化形状の定常解析による最適化の検証７）トポロジー最適化形状の固有周波数解析と多様なモードの算出８）周波数応答解析における加振方法と出現モードの関係

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第１部 トポロジー最適化と３Ｄプリンタへの出力 10:35-11:30１）トポロジー最適化における目的関数と制御変数の設定に関する説明２）新しいフィルタリング機能の説明３）１荷重ケース印加による非対称なトポロジー構造の出現４）複数荷重ケース印加による対称なトポロジー構造の算出５）トポロジー最適化形状からのSTLデータ出力方法の説明

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最適化手法

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トポロジー最適化手法均質化法

密度法

レベルセット法

Bends∅eとKikuchi 1988

Bends∅e 1989

理論が難しい

プログラミングが容易グレースケールが含まれる

SethiantoとWiegmann 2000

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密度法によるトポロジー最適化本セミナーではSIMP法（Solid Isotropic Material with Penalization)による密度法を取り扱う。

等方性線形弾性体は２つのパラメタヤング率 Eポアソン比 ν

であらわされる。

Eに空間分布をもたせる。

トポロジー最適化は、目的となる量、ここでは、全ひずみエネルギ、の最小化を行い、拘束条件下で、ρの空間分布を変更してゆく。

空間分布は0と1の間の数値をとる密度ρで制御する。

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第１部 トポロジー最適化と３Ｄプリンタへの出力 10:35-11:30１）トポロジー最適化における目的関数と制御変数の設定に関する説明２）新しいフィルタリング機能の説明３）１荷重ケース印加による非対称なトポロジー構造の出現４）複数荷重ケース印加による対称なトポロジー構造の算出５）トポロジー最適化形状からのSTLデータ出力方法の説明

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密度法における留意点

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参考：Performing Topology Optimization with the Density MethodKristian Ejlebjærg Jensen January 4, 2019

https://www.comsol.jp/blogs/performing-topology-optimization-with-the-density-method/

０と１の間の値を取る関数を用意し、目的に応じて、その分布を最適化する。滑らかな境界形状を得るためにはフィルターが必要である。

フィルターをかけていくと境界が明瞭になる。

密度法においてはいかにグレースケールを減らすか、滑らかにするかが留意点

𝜌 は点毎に任意の数値を取ることができる 自由な設計ができるが滑らかさを失う

フィルタリング、投影

B.S. Lazarov and O. Sigmund, “Filters in topology optimization based on Helmholtz‐type differential equations,” International Journal for Numerical Methods in Engineering, vol. 86, no. 6, pp. 765–781, 2011.https://www.esat.kuleuven.be/sista/ROKS2013/files/abstracts/AtsushiKawamoto.pdf

１．PDEを利用してフィルタをかける𝜌 = 𝑅 ∇ 𝜌 +𝜌２．投影(Projection)する𝜌 = 𝑃𝑟𝑜𝑗𝑒𝑐𝑡𝑖𝑜𝑛(𝜌 ; h)３．材料の補間を行う𝐸 = 𝜌 𝐸 + (1 − 𝜌 )𝐸

解決方法

メッシュサイズhとも関係する。

Rはメッシュサイズhと関係づけられる。

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Ver.5.4で導入された密度法

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ヘルムホルツ型PDEを利用したフィルタ

投影を利用して正規化する。

ダルシ―:流体系

RAMP：rational approximation of material properties method interpolation

SIMP, RAMP:構造系

有理関数近似

材料の補間

利用可能なソルバー

近似勾配の利用座標軸に沿って

乱数

解析的勾配計算なし 解析的勾配計算あり

随伴勾配 最小二乗問題のみ適用

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第１部 トポロジー最適化と３Ｄプリンタへの出力 10:35-11:30１）トポロジー最適化における目的関数と制御変数の設定に関する説明２）新しいフィルタリング機能の説明３）１荷重ケース印加による非対称なトポロジー構造の出現４）複数荷重ケース印加による対称なトポロジー構造の算出５）トポロジー最適化形状からのSTLデータ出力方法の説明

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線形弾性構造体のトポロジー解析の例上側の４か所を固定 先端の２か所で法線方向荷重を印加

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非対称なトポロジー構造の出現

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モデルビルダでの内容確認配布資料「ブラケットのトポロジー最適化」p.8-18 結果 トポロジーまでの内容に対応

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第１部 トポロジー最適化と３Ｄプリンタへの出力 10:35-11:30１）トポロジー最適化における目的関数と制御変数の設定に関する説明２）新しいフィルタリング機能の説明３）１荷重ケース印加による非対称なトポロジー構造の出現４）複数荷重ケース印加による対称なトポロジー構造の算出５）トポロジー最適化形状からのSTLデータ出力方法の説明

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線形弾性構造体のトポロジー解析の例２通りの荷重条件4か所の拘束の選択を変更するLoad case 1

Load case 2

８ケースを考慮

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対称なトポロジー構造の算出

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モデルビルダでの内容確認配布資料「ブラケットのトポロジー最適化」p.18 固体力学からp.20 結果までの内容に対応

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第１部 トポロジー最適化と３Ｄプリンタへの出力 10:35-11:30１）トポロジー最適化における目的関数と制御変数の設定に関する説明２）新しいフィルタリング機能の説明３）１荷重ケース印加による非対称なトポロジー構造の出現４）複数荷重ケース印加による対称なトポロジー構造の算出５）トポロジー最適化形状からのSTLデータ出力方法の説明

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最適化したら３Dプリンタへ

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密度法による最適化の例

3Dプリント

ＳＴＬデータ作成と出力細かいメッシュへの投影

１）計算で利用したメッシュを複製２）メッシュの分割数を増やし、そのメッシュ上に、既存解をコピーする。

結果ノードにおける操作

１）３Ｄプロットグループを追加し、上記２）でできた解をデータセットに割り当てる。２）３Ｄプロットグループに体積を追加。カラーリングを均一とし、カラーをグレーにする。

品質セクションでスムージングをモデル全体に適用する。３）体積をクリックし、エクスポートにプロットデータを追加 を実行する。４）エクスポートで、ファイルタイプをSTLバイナリファイルにする。５）ファイル名を指定後、エクスポートを実行する。

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モデルビルダでの内容確認配布資料「ブラケットのトポロジー最適化」p.21 メッシュ１からp.22 プロットまでの内容に対応

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密度法によるトポロジー最適化の適用例

24https://www.comsol.jp/release/5.4/optimization-module

休憩

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第２部 最適化形状の定常解析、固有周波数解析、周波数応答解析 11:40-12:10６）トポロジー最適化形状の定常解析による最適化の検証７）トポロジー最適化形状の固有周波数解析と多様なモードの算出８）周波数応答解析における加振方法と出現モードの関係

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実演

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第２部 最適化形状の定常解析、固有周波数解析、周波数応答解析 11:40-12:10６）トポロジー最適化形状の定常解析による最適化の検証７）トポロジー最適化形状の固有周波数解析と多様なモードの算出８）周波数応答解析における加振方法と出現モードの関係

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実演

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第２部 最適化形状の定常解析、固有周波数解析、周波数応答解析 11:40-12:10６）トポロジー最適化形状の定常解析による最適化の検証７）トポロジー最適化形状の固有周波数解析と多様なモードの算出８）周波数応答解析における加振方法と出現モードの関係

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実演

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ご清聴ありがとうございました●トライアルは本セミナーの参加者には配布していますので、本日配布した

日本語例題を利用して操作法などをご確認ください。

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お問い合わせ先計測エンジニアリングシステム株式会社第１営業部 03-5282-7040https://kesco.co.jp/company/contact/

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