Biotech 2012 東京ビッグサイト (2012年4月27日）

COMSOL Multiphysicsのご紹介と

バイオ技術分野への適用について

橋口真宜1)

1) 計測エンジニアリングシステム株式会社

（〒101-0047 東京都千代田区内神田1-9-5 井門内神田ビル5F, E-mail: hashiguchi@kesco.co.jp)

Key Words : Biology, Multiphysics, finite element analysis, COMSOL Multiphysics

1． はじめに

バイオ技術分野は我々の生命や環境にとって重要な技

術分野である，バイオロジーは図１のようにマルチスケ

ール，マルチフィジックスを取り扱わねばならない．

バイオに関わる現象の機構を解明しその性質をうまく

利用する，あるいは積極的に制御する上で，現象論的な

手法に基づく数値解析の有効性に異論はないであろう．

しかしながら，取り扱う現象が多岐の物理工学分野にわ

たるものでかつそれらが連成する場合，やむを得ず計算

対象を簡略化して取り扱わざるを得ないことがあるであ

ろう．理論家においては，いくつかの仮定のもと，現象

の本質を突いた理論を構築したいと願う．製品を開発し

世の中に送り出そうとする研究開発者は多くの事象によ

る影響をできる限り事前に評価しておきたいと願うであ

ろう．大学教育研究機関では教育的研究と応用的研究，

かつそれらにおける理学・工学的アプローチの本質的差

異を認めながらも共通の土台を持ちたいと願うであろう．

本講演では, マルチフィジックスを現象論的偏微分方

程式(以後，PDEと略す)の連成と定義し，有限要素法によ

る任意数のマルチフィジックス解析を可能とする現時点

で 唯 一 の ソ フ ト ウ ェ ア と 考 え ら れ る COMSOL

Multiphysicsについて調査し，マルチフィジックス解析を

行う上で必要な機能やバイオ技術分野への適用性を考察

する．

2． COMSOL Multiphysicsについて

COMSOL Multiphysics（以後，CMと略す）はCOMSOL

社の開発による汎用有限要素解析ソフトウェアであり，

現在バージョンは4.2aである[1]. 市販のテキストも入手

可能である[2]．本ソフトウェアはグラフィカルインター

フェース（図２）を介して複数のノードを定義していく

ことでFEM解析用のデータツリー構造を構成し（図３），

CMはそれらを都度，コンパイルしFEM解析用プログラム

を自動作成する．その結果，任意数の物理連成を制限な

く取り扱えるようにしている．基本モジュールと複数の

専門分野別モジュールから構成され（図４），PDEのレ

ベルからアプリケーションを構築していく場合には基本

モジュールを使う．専門分野別モジュールは専門分野ご

とに特有のPDE設定が定義済みである．専門分野別モジ

図１ バイオ技術分野のマルチスケールとマルチ

フィジックス（図中のカラー図はWikipediaから引用）

図-２ グラフィカルユーザーインターフェース

図-３ 設定作業フローと可変データツリー構造

図-４ 基本モジュールと専門分野別モジュール

ュールを使えば，PDEを一から定義することなく専門性

の高い分野の問題に取り組むことができる．先端的な研

究開発においては，専門分野別モジュールに既定の内容

では不足することが起こりえるが，そのような場合には

基本モジュールのPDEベースモデリング機能を利用して

不足分を補いそれを既定のモジュールと連成させる．

さて，基本モジュールはCMの核をなしており，まずは

基本モジュールの内容を概観する[3]．

方程式ベースモデリング機能とインターフェース

各種物理分野のPDEの共通インターフェースとして係

数型PDEと一般型PDEの二種類が提供されている（図５）．

係数は数式を含む形を許しておりユーザーは直感的に自

由に設定できる．数式は偏微分を含んでいてもよく，独

立変数(x,y,z,t)に関する微分項は基本変数u(x,y,z,t)につい

てはuxと記述すればよい．非等方性の材料を介した連成

に必要なテンソル形式の係数も取り扱える．時間微分は

最大２階まで取り扱える．複素型変数も許されており，

時間領域のPDEを周波数領域PDEに変換したPDEも取り

扱える．積分演算子や組み込み関数定義機能も備えてい

る（図６）．領域内のPDEの設定内容と境界でのPDEの設

定内容は関連付けがなされており，一貫性のある設定が

実現できる．ラプラス方程式や拡散方程式といった形の

決まったPDEについては既定のものも用意されているの

で教育にも有効と考えられる．変数がベクトルであれば

システム方程式としての定義も可能である．連成系全体

に及ぶ拘束条件を設定する場合には，常微分方程式(ODE)

と代数方程式の連成も可能である．

係数型PDEおよび一般型PDEユーザーインターフェー

スを一般化するためのユーザーインターフェースとして

弱形式ユーザーインターフェースを提供している．この

機能を使えば基礎方程式に簡単に項目を追加することが

図-５ 係数型PDE,一般型PDE,ODE,代数方程式

図-６ 演算子，組み込み関数など

できる．その際，仮想変分の一般化である重み関数が必

要であるが，例えば uの重み関数は単に test(u)と記述する

だけで済む．例えば，uに関する Poisson 方程式

の弱形式は，

test(ux)*ux+test(uy)*uy+test(uz)*uz-f*test(u)

と記述すれば良い．有限要素法の基本を理解する上から

も注目すべきインターフェースと考えられる．

有限要素法としての特徴

構造，伝熱，静電場はdiv-grad型のPDEであり，ラグラン

ジュ要素が使用される．電磁場解析ではcurl-curl型のPDE

となるのでベクトル要素が使用できる．マルチフィジッ

クス解析ではラグランジュ要素とベクトル要素の混在を

許している．高度な非線形性を有するNavier-Stokes方程式

の解析においては，COMSOL独自の数式処理および数値

微分機能によってPDEの係数に非線形性が入ってきても

良いようになっている．さらにNavier-Stokes方程式で対流

性の強い問題を取り扱う場合には数値拡散を定義できる

Method of linesの考え方に従って，空間離散化と時間方

向の離散化を分けて取り扱っている．

3． 適用事例

パターンの発生はバイオロジーで興味ある現象であり，

理論的なアプローチを代表するものとして非線形物理学

がある．十河は非線形物理学を概観する試みとしてカオ

ス・ソリトン・パターンを挙げている[4]．それらにCMを

適用した結果は図７，図８の通り[5]であり，ローレンツ

カオスはODE機能(図５)を利用，ソリトンはKdV方程式の

解として得られるが空間座標に関する３階微分について

は補助変数v=uxxを導入して係数型PDEで取り扱うこと

ができ，Ginzburg-Landau方程式からChemical turbulenceが

生じることは既知であるが複素数係数をもつこのような

式も容易に安定パターンと乱れパターンを求めることが

出来た（図８）．理論の検討などに有効と考えられる．

図-７ ローレンツカオス[5]

図-８Ginzburg-Landau方程式による拡散パターン[5]

続いて実際の研究開発に使えるかという立場でCMを

概観する．実際の場面で扱う形状はその性格上複雑なも

のになることが多い．図９はCMの形状取り扱い機能を見

たものであるが、一次元から３次元までプリミティブ形

状からの図形作成機能に加えて，外部CADで作成した形

状データのインポート機能を備えていることがわかる．

次にメッシュが作成でき要素分割をコントロールできる

かどうかが解析の成否を決めるが図１０に示すとおり，

図-９ 形状作成とCADデータ読み込みの機能

図-１０ 構造および非構造格子の混在

構造・非構造格子の混在，回路基板のような非常に薄い

部材へのスウィープメッシュ機能，電磁場解析における

PMLや無限要素設定用補助領域の自動作成機能といった

実用的な内容を備えており，会話型で定義あるいは制御

できる．

図１１は固体力学（非線形ゴム），熱対流（弱圧縮流

と輻射），電磁波（光領域）に関する解析例，界面追跡

手法による気液二相流，圧電体（ピエゾ効果と静電場連

成による、固体変形，表面波の解析），電磁石－構造変

形－音響場の連成解析への適用例を示す[6]．

図-１１シングルおよびマルチフィジックスの解析例

現時点で先進的なマルチフィジックス解析の例を２例

ほど紹介する．マイクロ波加熱[7]を図１２に，細胞の液

体ジェットによる非侵襲的刺激とそれに伴う細胞の構造

変形[8]を図１３に示す．図１２の解析は有機合成の他に

生物の温熱処理にも有効であり，化学反応，温度変化，

複素比誘電率の温度依存性，マイクロ波照射による電磁

場の変化が連成するが，化学反応，生成種の複素比誘電

率についてはユーザー定義を利用した．図１３の細胞刺

激では培養液のピペットによる噴射とその流速場、圧力

場の解析を行い，結果として得られる応力テンソルを境

界荷重として細胞に課し超弾性材料を仮定した構造変形

解析を実施した．この研究では細胞の支持方法によって

細胞変形が大きく影響を受けることを示した．音場によ

る細胞刺激も興味ある分野であるが, 音場による音圧を

計算し，粒子トレーシングモジュールとの連成によって

細胞内の微粒子の挙動解析も可能である．磁場も同様で

ある．これらの連成解析ではデータツリー構造のGUI形式

の利点を活かして，単独物理のみの計算，それに続いて

各物理間の連成のチェック，最後に全体的な連成解析へ

進むといったことが容易に実現でき，連成を律する物理

が何かといったことを考えながら作業を進めることが可

能であった．GUIには方程式表示機能が有り，都度参照す

ることで何を定義しているかを確認しながら作業が行え，

内部の計算式定義も参照可能であり，モデルの定義内容

をレポートする機能の便利さも確認できた（図１４）．

CMのもつこの透明さは単にGUIの操作法を習得するとい

う作業者育成としての観点から発展してPDEベースで物

理現象を議論できる人材を育成するという視座の獲得に

つながる[5]．

図-１２化学反応系のマイクロ波加熱の解析例[７]

図-１３ 液体噴射による細胞刺激の解析[８]

図-１４方程式参照機能、レポート機能など

4． まとめ

FEMによるマルチフィジックス解析にとって可変デー

タツリー構造，数式処理機能，自動数値微分機能，要素

関数の自由度の確保，表形式データのハンドリング(ex.

衝突断面積)の装備が重要であり，現状で理学・工学・研

究開発・教育の諸分野でのマルチフィジックス解析への

利用が十分に可能であることが実際への適用を通じてわ

かった．バイオロジー分野への適用例としてパターンの

発生，電気信号伝播，神経細胞への非侵襲的刺激の解析

結果を示した．また，医療やガン治療への応用において

は電磁波による加熱の検討が非常に重要で有るが，その

分野への応用も十分に可能であることを示した．細胞を

音で刺激するような分野の解析も粒子トレーシングモジ

ュールを利用することで細胞内の粒子群の挙動の検討も

可能であることを示した．

COMSOL Multiphysicsはユーザー自身で式を記述でき

る環境を提供しており，使い手次第で独自の先端的解析

環境を構築できる点にも大きな魅力があると言える。

参考文献

[1] COMSOL Multiphysics User’s Guide, Version 4.2a,

http://www.comsol.com

[2] Roger W. Pryor: Multiphysics Modeling Using COMSOL

4; A First Principles Approach, Mercury Learning and

Information, 2012.

[3] Bjorn Sjodin: New Design Paradigm of Multiphysics

Simulation Platform, JSCES Proc. of Computational

Engineering Conference(Kyoto), Vol.17, 2012.

[4] 十河清：非線形物理学 カオス・ソリトン・パター

ン，裳華房フィジックスライブラリ，裳華房, 2010.

[5] 橋口真宜：COMSOL Multiphysicsによる理工横断的先

端シミュレーション，首都大学東京 数電機GPシン

ポジウム，首都大学東京 南大沢キャンパス，2012

年2月19日.

[6] COMSOL Multiphysics Model Library

[7] 橋口真宜：化学反応系のマイクロ波加熱，第１６回

計算工学講演会講演論文，2012

[8] 橋口真偽：COMSOL Multiphysicsによる細胞挙動の数

値実験の試み，第１回グリーンフォトニクスセミナ，

超短パルスレーザー細胞プロセス研究会，奈良先端科

学技術大学院大学，細川陽一郎主催，2012 4.13.