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Constraint Networks 2.2~2.3

５月７日上田研究室

M2 　西村　光弘

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2.2 Numeric and Boolean Constraints

2.1.2 （ P27 ）で取り扱った関係の記述を、より簡潔

で扱いやすいように記述する　　　　　　　　　↓

　算術制約やブーリアン制約を用いる

算術制約：より簡潔な表現ブーリアン制約：禁止されるタプルを表現

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2.2.1 Numeric Constraint

算術式で制約を簡潔に表現する例： 4-queens problem全ての２つの変数ｘ i とｘｊ（図の縦列）∀i,j に対し、横列が同じでない → xi≠ ｘｊ斜めの場所にない → ｌ xi – xj ｌ≠ｌ i - j ｌRij = {(xi, xj) ｌ xi Di, xj Dj, ∈ ∈ xi≠ ｘｊ and ｌ xi – xj ｌ≠ｌ

i - j ｌ }

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Numeric Constraint もう一つの例　 + α

変数領域を整数の有限部分集合にする ２つの変数の間の２項制約を線形不等式の結

合で表す　　（ 3xi + 2xj ＜ 3 ）∧（ -4xi + 5xj ＜ 1 ）

Crypto-arithmetic Puzzles上記の線形制約を用いて簡単に定式化できる

“integer liner program”

SEND＋MOREMONEY

同じ文字は同じ数字が隠されている数字は０～９

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2.2.2 Boolean Constraints

制約問題の変数が２値である場合、関係を記述するのによく Boolean 制約を使う

例： Alex, Bill, Chris を party に招待する場合A ＝命題“ Alex は party に来る”（ B,C も同様）とする

わかっていること・ Alex が来るなら Bill も来る・ Chris が来るなら Alex も来る

　 (A → B) (C → A)∧→

( ￢ A B) (∨ ∧ ￢ C A)∨

↓ 同じ意味

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例： Alex, Bill, Chris を party に招待する Chris が来るとしたら Bill は来る？

命題論理命題理論 φ = C (A→B) (C→A)∧ ∧ Chris が来るとしたら、 Bill が来るかどうか→Bill が来ないと仮定して矛盾が生じるかどうか

を見るつまり、 φ∧ ￢ B を解いて満たされるかをチェッ

ク　　　　　　　　　　　　↓この場合は矛盾が示されるので、“ Bill は来る”

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CNF (conjunction normal form)

CNF ＝論理積標準形 命題変数・・・ P,Q,R で表す。取りうる値は｛ true, false ｝ or ｛ 1, 0 ｝ Clause( 節 ) ・・・命題変数と選言記号（ disju

nction ）を用いて α 、 β などで表すα ＝（ P Q R∨ ∨ ）　 （ P Q R T∨ ∨ ∨ ）→（ α T∨ ）と略記（ α Q∨ ）∨（ β∨ ￢ Q ）→（ α β∨ ） CNF ・・・ clause の集合を φ で表すφ ＝｛ α1, ・・・ ,αt ｝

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CNFと SAT（ propositional satisfiability

problem） CNF は、変数が命題（ true or false ）であるよ

うな制約ネットワークでよく見られる補足説明CNF theory φ ＝（ A B∨ ）∧（ C∨ ￢ B ）→変数３つ、制約（ clause ）２つ制約 A B∨ は関係 RAB ＝ [(1,0),(0,1),(1,1)] を表す

SAT は命題充足可能性問題 CNF 理論が model を持つかどうかを決定することmodel ＝どの clause の規則も破らないように、変数に真値を割り当てたもの 関連する制約問題で矛盾しないかどうかを決定す

ること

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Primal constraint graph

命題理論 φ の構造を interaction graph で描画・・・ G（ φ ）

無向グラフ ノードは各命題変数 エッジは同 clause にある変数の各ペア

G(φ)＝｛（￢ C） ,（ A B C∨ ∨ ） ,（￢ A B E∨ ∨ ） ,（￢ B C D∨ ∨ ）｝

B

A

E

C

DFigure2.8

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2.2.3 Combinatorial Circuits Diagnosis

Boolean 命題言語は回路を表すのによく使われる 回路の診断作業は制約充足問題として定式化され

うる 定式化の方法

変数と各ゲート（ AND 、 OR 、 XOR ）を関連づける Boolean 制約によって、各ゲートの input と output の関

係を記述する 観測される output から、回路の振る舞いが適切か

間違いかを確認する

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2.3 Properties of Binary Constraint Networks

今まで出てきた制約を処理する概念は Binary Network のために紹介された

　　 Binary Network は役に立つ　　　　　　　　↓なぜかというと・・・

後の章にでてくる制約の一般的理論を理解するのに役に立つから

この 2.3 節では binary constraint network の特徴について書いてある

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2.3.1 Equivalence and Deduction with Constraints

制約を計算する主な概念は constraint deduction ↓初期の制約集合から、新しい制約集合を推論すること例：幾何制約ｘ＞ｙとｙ＞ｚからｘ＞ｚを推論する

推論された新しい制約を加えた集合は、初期の集合と同等の constraint network を生み出す

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例： graph-coloring problem

各ノードは変数 x １、 x ２、 x ３

それぞれ同じ domain ｛ red, blue ｝ Not-equal 制約

R21=R32= ｛（ blue, red ） , （ red, blue ）｝ エッジのない x1 と x3 の関係は universal relation

R13={(red, blue),(blue, red),(red, red),(blue, blue)}

制約からの解は２つで ρ123={(red, blue, red)(blue, red, blue)} そこから推論される x １と x ３の関係は、新しい制約 R’13=

{(red, red)(blue, blue)} を作る（ deduction ） 元の制約集合を R、 R’13 を加えた制約集合を R’とすると、

この Rと R’は同値であると言える（ equivalence ）

redundant

図の説明

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図： graph-coloring

redblue

redblue

redblue

redblue

redblue

redblue

R=

x2

≠ ≠ ≠ ≠

＝

R’=

x1 x3 x1 x3

x2

(a) (b)

Figure2.10

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Redundancy と Equivalence を一般的に言うと

Redundancy 制約ネットワークからある制約を取り除いても解

の全ての集合が変わらない時の、そのある制約のこと

Equivalence ２つの制約ネットワークにおいて

同じ変数の集合の上で制約ネットワークが定義されている

同じ解の集合を表現できる

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定義 2.2 Composition

制約推論は Composition を通して達成されるRxy,Ryz(binary or unary constraint) があるとして、 compositi

on Rxy ・ Ryz から２項関係 Rxz を作る　　 Rxz={(a,b) ｌ a Dx, b Dz c Dy ∈ ∈ ∃ ∈　　　　　　　　　　　　　 such that (a,c) Rxy and (c,b) Ry∈ ∈

z}composition の計算の定義を join と projection を使って定式

化　　 Rxz = Rxy ・ Ryz = π{x,z}(Rxy 　 Ryz)

例： R’ = π{x1,x3}(R12 　 R23) = {(red,red),(blue,blue)}

projection join

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図： join and projection

R12

blue redred blue

x1 x2

R23

blue redred blue

x2 x3

R12 　 R23

x1 x2 x3

blue red bluered blue red

↓join

　 →projection

R13 = π{x1,x3}(R12 　 R23)

blue bluered red

x1 x3

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例 2.2 composition 0-1matrix

2 項関係を 0-1matrix で表現すると、 composition は Boolean matrix の掛け算になる

R12 =red blue

red blue

0 11 0

R23 =red blue

red blue

0 11 0

=red blue

red blue

1 00 1

0 11 0

0 11 0

1 00 1=×R12・ R23 = R13 =

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2.3.2 The Minimal and the Projection Networks

問題提起どんな関係も binary constraint network として表現されるか？ ↓答え

多くの場合は表現できない（特別なケースだけ表現できる）　　　　　　　　　　　　　　　　↓なぜなら

異なる関係の数　＞　異なる binary constraint network の数　　　　　　　　　　　　　　　　↓どうするか

Binary projection network によって関係を近似する

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定義 2.3 projection network

初期の関係 ρ

↓ 変数の各ペアーで ρ を projection する

Projection network の関係 P(ρ)

P(ρ) は network P = (X, D, P) で定義されるD={Di}, Di=πi(ρ), P={Pij},Pij=πxi,xj(ρ)

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例 2.3 projection network

ρ123={(1,1,2),(1,2,2),(1,2,1)}

Projection network P(ρ)P12={(1,1),(1,2)}, P13={(1,2),(1,1)}P23={(1,2),(2,2),(2,1)}

P(ρ) からの全ての解は sol(P(ρ))sol (P(ρ))={(1,1,2),(1,2,2),(1,2,1)}

一般的にはこのようにうまく戻らない例２．４へ

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例 2.4 定理 2.1ρ sol(P(ρ))⊆

初期の関係 ρ Projection network P(ρ)P12={(1,1),(1,2),(2,1),(2,2)}P23={(1,2),(2,2),(1,3)}P13={(1,2),(2,3),(2,2)}

x1 x2 x3

1 1 21 2 22 1 32 2 2

x1 x2 x3

1 1 21 2 2

2 1 32 2 2

2 1 2

余分な解が増えた

sol(P(ρ))

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定理 2.2 ￢∃ R’, ρ sol(⊆ R’) sol(P(ρ))⊂

Projection network P(ρ) は ρ を表現するのに、最も厳しい上限の binary network である 説明は前頁（ P21 ）の図を参照

問題提起P(ρ) は sol(ρ) を表現するのに最も厳しい関係記述かどうか？

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定義 2.4 “tighter than” network relationship

同じ変数の集合を持つ、２つの binary networkを Rと R’として、R’が Rと比べ少なくても同じ tight さである⇔全ての i,j に対し、 R’ij R⊆ ij

例：資料 P14 の graph-coloring 図 2.10 の (a) と (b)が上の Rと R’に相当する

説明：意味論的に同等で同じ解が得られるのに、 Rより R’　　のほうが条件が厳しい

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定義 2.5 intersection on networks

2 つの network Rと R’の intersection （ R∩R’）は binary network である。（明らか）

命題 2.1 ２つの同等な network Rと R’があるなら、

R∩R’はそれらと同等な network である R∩R’は両方より少なくとも tight である

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例 2.5 　命題 2.1 の例題説明

資料 P１４の graph-coloring 図の関係で、（ｂ）の R ２

３の≠制約を取り除いた Rと R’の intersection を考える R :

R12=R23= ｛（ blue, red ） , （ red, blue ）｝ R13={(red, blue),(blue, red),(red, red),(blue, blue)}

R’ : R12= ｛（ blue, red ） , （ red, blue ）｝ R13= ｛（ blue, blue ） , （ red, red ）｝ R23={(red, blue),(blue, red),(red, red),(blue, blue)}

R∩R’ (minimal network) R12= R23= ｛（ blue, red ） , （ red, blue ）｝ R13= ｛（ blue, blue ） , （ red, red ）｝

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定義 2.6 minimal network

R 0 と同等の全ての network の集合を｛ R 1,…, R l ｝ ρ ＝ sol(R 0)

R 0 の minimal network はM(R 0)=M(ρ)=∩ 　 R i と定義される

定理 2.3全ての binary network R に対し、ρ ＝ sol(R), M(ρ) = P(ρ) が成り立つ命題 2.2If (a,b) M∈ ij then t sol(M)∃ ∈ such that t[i]=a, t[j]=b

li=1

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2.3.3 Binary-Decomposable Network

例 2.6

ρ は binary constraint network で表現可能 projected な関係である πxyzρ は binary network で表現不可能

なぜなら πxyzρ sol(P(π⊂ xyzρ)) 定義 2.7

関係が binary-decomposable であるとは、その関係がbinary constraints で表現可能であるということ

ρ =

x y z t a a a a

a b b b b b a c

πxyzρ=

x y z

a a a a b b b b a

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図 2.11 M13={(2,1),(3,4)}

R12={(1,3),(1,4),(2,4),(3,1),(4,1),(4,2)}

R13={(1,2),(1,4),(2,1),(2,3),(3,1),(3,4),(4,1),(4,3)}

R14={(1,2),(1,3),(2,1),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),(3,4),(4,2),(4,3)}R23={(1,3),(1,4),(2,4),(3,1),(4,1),(4,2)}R34={(1,3),(1,4),(2,4),(3,1),(4,1),(4,2)}

↓ 1

2

3

4

x1 x2 x3 x4

R13’={(1,2),(2,1),(3,4),(4,2),(4,3)}R13’’={(1,4),(2,3),(2,1),(3,4),(4,1)}R13’’’={(1,4),(2,1),(3,4),(4,3)}R13’’’’={(2,1),(4,1),(3,2),(2,3),(3,4),(1,4)}

↓M13 = R13∩R13’∩R13’’∩R13’’’∩R13’’’’ = {(2,1),(3,4)}

R13={(1,2),(1,4),(2,1),(2,3),(3,1),(3,4),(4,1),(4,3)}