[email protected] - uaemath.com · 8 ﲑﻏ ﺢﻄﺳ ﺔﺣﺎﺴﻣ ﺏﺎﺴﺣ ﻦﻜﻟ...

http//www.infpe.edu.dz

[email protected]

و�� ا��رس�� 09 املتتاليات: 1الفصل

14 مقدمة -1

20 تعاريف -2

30 نتائج وخواص -3

39 تطبيق -4

41 خواص أخرى للدالة األسية -5

42 موضوع للدراسة -6

53 متارين -7

55 )مراجعة(االستمرار واالشتقاق : 2الفصل

56 مقدمة -1

64 عموميات على الدوال -2

75 النهايات -3

75 االستمرار -4

86 االشتقاق -5

97 احلساب التكاملي:3الفصل

99 مقدمة -1

100 التكامل الرمياين -2

114 التكامل غري احملدد-3

119 من طرق املكاملة -4

128 طول قوس منحىن-5

138 حساب بعض املساحات واحلجوم -6

7

: تقدمي

كتب هذا الدرس يف التحليل وفق الربنامج املسطر من طرف وزارة التربية الوطنية اهلادف إىل تكوين مفتشي التعليم املتوسط يف مادة

ومن املهم أن نالحظ هنا بأن الربنامج الرمسي يشمل يف . الرياضياته من غري أن. احلساب التكاملي) 2املتتاليات، ) 1: الواقع وحدتني، مها

سيما أن الربنامج يطلب (املعلوم بأن اإلملام مبفهوم االستمرار واالشتقاق وعليه . ضروري لتقدمي ودراسة التكامالت) مثال تقدمي املكاملة بالتجزئة

ذلك ما يعاجله . ارتأينا تناول موضوع االستمرار واالشتقاق قبل التكاملتقدميه قبل تقدمي مفهوم وبطبيعة احلال فاالستمرار ال ميكن . الفصل الثاين

ولذا جيد القارئ حديثا عن الدوال والنهايات يف بداية الفصل . النهاية ".مراجعة"وقد اعتربنا هذا الفصل فصل . الثاين

ومن جهة أخرى، يشري الربنامج يف الوحدة الثانية إىل حساب

فأما حساب طول قوس ". املساحات واحلجوم"طول قوس وحساب ولعل القارئ . دمناه يف اجلزء األخري من الفصل الثالثمنحىن فهذا ما ق

يالحظ أننا مل نتطرق للدالة الشعاعية، وهو موضوع مهم الستيعاب طريقة تعريف القوس واملنحين، إال أن الربنامج مل يشر هلذا النوع من

. الدوال

ويف ما خيص حساب املساحات، فإذا كانت املساحة املشار إليها

و حمدود ببيان دالة فحساا يأيت مباشرة من تكامل مساحة سطح مست

8

لكن حساب مساحة سطح غري . رميان كما هو موضح ضمن الدرسوحساب احلجوم يتطلب إدخال التكامالت املضاعفة ) ضاءيف الف(مستو

إال أننا مل جند إشارة يف . بكثري من التفاصيل...) الثنائية والثالثية، (فكيف بنا نقدم هذا املوضوع . الربنامج إىل هذا النوع من التكامالت

بدون األدوات الالزمة؟

يل فيحددها مث إن الربنامج يشري إىل املدة املخصصة ملادة التحل

لذلك كله . وهي مدة ال تسمح بالتطرق لتلك األدوات! ساعة48بـ اكتفينا هنا بتقدمي مساحات وحجوم األشكال واسمات املألوفة، مثل املخروط واالسطوانة والكرة، دون تفصيل الطرق احلسابية املستخدمة

. للتكامالت

واضيع املوجودة يف الربنامج كم" الثغرات"نوصي أن تقدم

خواص الدوال ) 1: ومن تلك املواضيع نقترح . دراسة للطلبة املفتشنيالتكامل الثالثي ) 3، )تعريفه وخواصه(التكامل الثنائي ) 2الشعاعية،

استعمال التكامالت حلساب مساحات السطوح ) 4، )تعريفه وخواصه( .استعمال التكامالت املضاعفة حلساب احلجوم، اخل) 5غري املستوية،

.تمىن أن يكون هذا الدرس مفيدا للطالب املفتشن

أبو بكر خالد سعد اهللا

قسم الرياضيات ��ة، ا ��، ا ��ا� �� ر�� ا� ا

ت : 1ا�� ا�

11

: مقدمة .1

كافة من أهم األدوات املستخدمة يفتعترب املتتاليات ال شك أن

ز بصفة ذلك أا تتمي. ات جبميع فروعهاالرياضيالواردة يف الرباهني

داد الطبيعية اليت يدركها النامجة عن ارتباط املتتاليات باألع" التقطع"

احلقيقية أو اجلذرية أوا يدرك األعداد األخرى كاألعدادممكثر فكرنا أ

دليل على ذلك ظهور واستخدام األعداد لعل أفضل و.)العقدية(املركبة

. أمناط األعداد األخرىسائرالطبيعية قبل

يفضلون العمل دين الذين يليسوا الوحواملالحظ أن الرياضيني

أنظر إىل اجلغرافيني ). كالدوال مثال(باملتتاليات بدل األدوات األخرى

العاملني يف حقول املعرفة املختلفةفيزيائيني وغريهم من واإلحصائيني وال

ىل الدوال إال عند ون إؤإم مجيعا يستخدمون املتتاليات وال يلج...

Fibonacci مبتتالية فيبوناتشي مثالومن مل يسمع. الضرورة

أي املتتالية اليت يكون أي عنصر منها يساوي ، )1170-1250(

مع العلم أن العنصرين األول والثاين ،جمموع العنصرين السابقني له

تدخل يف توزيع وتنظيم مواقع ورق بعض النباتات ؟ إا متتالية)معلومان

واألغرب من ذلك أن هذا التوزيع يضمن وصول أشعة . حول األغصان

.Rوقد أثبت . ىل أوراق هذه النباتاتقدر ممكن إالشمس بأكرب

Jones متثل جذورا لكثريات ن عناصر هذه املتتالية بأ1975 عام

.حدود من الدرجة اخلامسة

ت : 1ا�� ا�

12

كما أن هلذه املتتاليات صلة بقانون توالد بعض احليوانات

أثبت أن متتاليته متثل حال للمسألة ومن املعلوم أن فيبوناتشي . كاألرانب

كم زوجا من األرانب ميكن احلصول عليها خالل سنة عندما : التالية

احد وإذا علمنا أن كل زوج يلد زوجا آخر يكون لنا يف البداية زوج و

كل شهر؟

أين جند املتتاليات يف الرياضيات؟ إا موجودة على سبيل املثال

:يف

بولوجي يف كثافة جمموعة جزئية من فضاء ط: ة مفهوم الكثاف-

فأنت إذا أردت مثال إثبات مساواة أو . نفس الفضاء أو فضاء آخر

حيان أن تثبتها يف غلب األأاحلقيقية يكفيك يف متباينة يف جمموعة األعداد

خرية يف جمموعة األعداد الناطقة، وهذا بفضل كثافة هذه اموعة األ

.جمموعة العداد احلقيقية

حنصل على حلول هذه : دراسة املعادالت التفاضلية -

املعادالت يف الكثري من األحيان كنهايات متتاليات تقربنا شيئا فشيئا من

.دقيقاحلل ال

اتالتقريبات وتقدير: العددي ) أو التحليل(احلساب -

.األخطاء تتم عموما عرب املتتاليات

االنتقال مثال من تعريف : تعريف مفاهيم رياضية أخرى -

مفهوم املكاملة للدالة معرفة على جمال حقيقي وتأخذ قيمها يف فضاء جمرد

ت : 1ا�� ا�

13

n مثل )Banach )1892-1945ضاء باناخي ف-ℝ - مير عرب

.املتتاليات

من التطبيقات اليت جندها يف املتتاليات أا متكن من تعريف و

العديد من الدوال املألوفة مثل

الدالة األسية، -

الدالة املثلثية جب، -

،الدالة املثلثية جتب -

،)بوصفها الدالة العكسية للدالة األسية (ةالدالة اللوغاريتمي -

بوصفها نسبة للدالتني املثلثيتني جب و ( املثلثية ظل الدالة-

). جتب

هل من املؤكد أن مفهوم الدالة : هنا تساءل ن أن لعله من املفيدو

أقرب لذهن التلميذ من مفهوم املتتالية؟ إذا كان اجلواب )أو التطبيق(

وم الدالة؟أخر تقدمي هذا املفهوم للتلميذ مقارنة مبفهيت، فلماذا بالنفي

ت : 1ا�� ا�

14

: تعاريف. 2

)املتتالية ( تعريف

يسمى كل تطبيق من جمموعة األعداد الطبيعية يف جمموعة األعداد -

.احلقيقية متتالية حقيقية

يسمى كل تطبيق من جمموعة األعداد الطبيعية يف جمموعة األعداد -

.املركبة متتالية مركبة

عة أعداد يسمى كل تطبيق من جمموعة األعداد الطبيعية يف جممو-

.متتالية عددية) طبيعية أو صحيحة أو ناطقة أو حقيقية أو مركبة(

)( نقول عن متتالية حقيقية- nu ا متزايدةمتناقصة، على الترتيب( إ (

≥+1إذا كان nn uu) 1+≥ nn uuمن أجل كل ) ، على الترتيبn يف

.جمموعة األعداد الطبيعية

)نقول عن متتالية حقيقية - )n nu ∈ℕ ااألعلى إذا وجد من حمدودة إ

حبيث موجب M ثابت

., nn u M∀ ∈ ≤ℕ

)حقيقية متتالية عن نقول - )n nu ∈ℕ اوجد ثابتاألدىن إذا من حمدودة إ

M حبيث

., nn u M∀ ∈ ≥ℕ

)عددية متتالية عن نقول - )n nu ∈ℕ اثابت وجد إذا حمدودة إ M

حبيث موجب

., nn u M∀ ∈ ≤ℕ

ت : 1ا�� ا�

15

: مالحظات

انطلق التطبيق من جزء حنافظ على مصطلح متتالية حىت لو . 1

مثل ،ونشري عادة اىل املتتاليات برمز. من جمموعة األعداد الطبيعية

)( nu، ىل عة تعريفها إال إذا دعت الضرورة إىل جمموإ دون اإلشارة

. ذلك

) ميكن إثبات أن متتالية حقيقية. 2 )n nu ∈ℕ تكون حمدودة إذا

.ا كانت حمدودة يف آن واحد من األعلى ومن األدىنوفقط إذ

سوف نعترب، يف ما يلي، املتتاليات معرفة على كامل .3

.جمموعة األعداد الطبيعية إال إذا أشرنا إىل عكس ذلك

عقدية قيما أخذت إذا متتالية رتابة عن نتحدث أن جيوز ال :ا��ر

ترتيبا مرتبة غري ℂ اموعة أن ذلك ... حقيقية غري) مركبة(

! "طبيعيا"

: أمثلة

):إليك بعض العبارات اليت تعرف متتاليات ) 1 1)nnu = − ،

nu n= ، 1

2nun

=+

، 2n

nu

n= −

+ ،

2

3( 1)

1n

n

nu i

n= − +

+.

ت : 1ا�� ا�

16

تعرف املتتاليتان : احلسابية واهلندسية نياملتتاليت حول) 2

1n: احلسابية واهلندسية بالعالقتني nu u r−= و ثابت r حيث +*n ∈ℕ )أساسهامتتالية حسابية r(،1 وn nu au عدد a حيث =−

n*و غري منعدم ∈ℕ )متتالية هندسية أساسهاa( .ه ميكن الحظ أن

nuكتابة احلد العام للمتتالية احلسابية على الشكل nr= وكتابة احلد

n: على الشكل العام للمتتالية اهلندسيةnu a= أي أن ،:

1n nu u r−= nu تكافئ + nr=،

1n nu au n تكافئ =−nu a=.

:حول الرتابة ) 3

) املتتالية - 1)nnu = . غري رتيبة−

nu املتتالية - n=متزايدة .

1 املتتالية -

2nun

=+

. متناقصة

املتتالية-2n

nu

n= −

+ . متزايدة

املتتالية -2

3( 1)

1n

n

nu i

n= − +

+ . غري رتيبة

املتتاليات معرفة على كامل جمموعة ،يف ما يليسوف نعترب،

.ىل عكس ذلكإعية إال إذا أشرنا األعداد الطبي

ت : 1ا�� ا�

17

)التقارب( تعريف

)( عددية نقول عن متتالية- nu امتقاربة إذا وجد عدد إ u حبيث

lim 0nn

u u→+∞

− أي =

0 00, : .nε n n n u u ε∀ > ∃ ∈ ≥ ⇒ − <ℕ

.اربة نقول عن متتالية إا متباعدة عندما ال تكون متق-

: تعميم

)( متتالية إن نقول - nu إذا كان ∞+ إىل تؤول:

0 00, : .nA n n n u A∀ > ∃ ∈ ≥ ⇒ >ℕ )( نقول إن متتالية- nu كان إذا ∞− إىل تؤول :

0 00, : .nA n n n u A∀ < ∃ ∈ ≥ ⇒ <ℕ

: الحظةم

ال نقول يف احلالتني األخريتني إن املتتالية متقاربة، بل نقول إا -

فعلى سبيل املثال نالحظ أن املتتالية احلسابية املعرفة بـ .متباعدة

1n nu u r−= n* و ثابت r حيث + ∈ℕ ،أي nu nr= إال متباعدة

0r يف حالة 1n اهلندسية املتتالية أما. = nu au غري عدد a حيث( =−

n* و منعدم ∈ℕ (أي nnu a= 1 أجل من 0 حنو متقاربة فهيa <

1a من أجل 1 حنو ومتقاربة من واملتتالية متباعدة يف ما عدا ذلك. =

.احلاالت

limنكتفي عادة يف املتتاليات بكتابة - 0nn

u u− بدل =

lim 0nn

u u→+∞

− .+∞ إىلول دائما يؤn ألن =

ت : 1ا�� ا�

18

ميكن دائما رد تقارب متتالية عقدية إىل تقارب متتالية حقيقية -

.يكفي اعتبار اجلزء احلقيقي واجلزء التخيلي...

: مثال

) املتتالية نبين أن )1 )nu 1 بـ املعرفةnu

n .0 وحن متقاربة =

1 نكتب : اإلثبات 10nu u

n nε− = − = إىل يؤدي وهذا. >

1n

ε0يكفي أن خنتار إذن. <

1n

ε0: ، مثال <

11n

ε = +

وكما.

1 فإن أي عدد طبيعي أكرب من أشرنا1

ε +

قيمة يكون أن صاحل

.التعريف بالضرورة حيقق ألنه 0n لـ

) أن املتتاليةأثبت) 2 )nu 3 بـ املعرفة 1

1n

nu

n

−=+

متقاربة

.3حنو

نكتب : اإلثبات

.3 1 1 3 4 43

1 1 1n

nu u

n n n nε− − −− = − = = < <

+ + +

4 أن يأيت ومنهn

ε0 أن خنتاريكفي إذن .<

4n

ε، مثال <

0

41n

ε = +

.

ت : 1ا�� ا�

19

مالحظة) متقاربةتتاليةمل u نهايةلإذا اهتممنا باحلساب التقرييب ل )nu،

قريبا nu بقدر ما يكون nرتيبة فبقدر ما يكرب وكانت هذه املتتالية أقرب إىل النهاية من 100u فعلى سبيل املثال جند أن .uمن النهاية

99u . إما إذا كانت املتتالية غري رتيبة فهذه اخلاصية خاطئة حيث جيوزغري أن هذا ال مينع أنه . 100u أقرب إىل النهاية من 99u يكون أن

، مبعىن أن u سيكون قريبا من النهاية nu كبرية فإن nعندما تكون nu u−سيكون صغريا جدا حىت لو كانت املتتالية عقدية .

)املتتالية اجلزئية( تعريف

) لتكن )n nu ∈ℕ نقول عن متتالية. عددية متتالية ( )nv اإ

) من مستخرجة )n nu ∈ℕ )امن جزئية أو إ ( )n nu ∈ℕ (تطبيق وجد إذا

:f →ℕ ℕ حبيث متاما متزايد

.( ): n f nn v u∀ ∈ =ℕ

مثال

2 املتتالية 1nu ) املتتالية من جزئية متتالية هي = 1)nnu = − .

2 املتتالية شأن وكذلك 1 1nu + = −.

)املتتالية الكوشية( تعريف

)نقول عن متتالية عددية )nu ا كوشية، أو لكوشيإ

Cauchy)1789 -1857 (، إذا كان :

0 0 00, : n mε n n n m n u u ε∀ > ∃ ∈ ≥ ∧ ≥ ⇒ − <ℕ

: ميكن أيضا التعبري عن هذه العالقة بالكتابة

0 00, : n p nε n n n p u u ε+∀ > ∃ ∈ ≥ ∧ ∈ ⇒ − <ℕ ℕ

ت : 1ا�� ا�

20

: نتائج وخواص. 3

)دانية النهايةوح (نظرية

. ذا تقاربت متتالية عددية فإن ايتها وحيدةإ

الربهان

نكتفي هنا باعتبار حالة املتتاليات (لنتأكد من ذلك باخللف

)(ملتتالية u' و uنفرض وجود ايتني خمتلفتني) : احلقيقية nu تبارباع

u' أن مثال u< .السابق التعريف يف ولنختر '

2

u uε ومن مث. =−

فإن

0 0 : nn n n u u ε∃ ∈ ≥ ⇒ − <ℕ '0 0 : 'nn n n u u ε∃ ∈ ≥ ⇒ − <ℕ

0 نضع وعندما 0max( , ' )N n n= نستنتج ' '

'2 2n

u u u un N u u u

− −≥ ⇒ − < < +

:أي ' '

2 2n

u u u un N u

+ +≥ ⇒ < <

.ومنه املطلوب. ويف العالقة السابقة تناقض واضح

ت : 1ا�� ا�

21

وهي خواص نستعملها إليك هذه اخلواص املتعلقة بالتقارب،

. بكثرة يف الرباهني ودراسة طبيعة املتتاليات، وأحيانا دون أن ندري

: العمل على إثباا القارئنطلب من

)عدديتان متتاليتان تكون عندما )nu و ( )nv نؤكد ( متقاربتني

:فإن ) هنا على ضرورة تقارب املتتاليتني

1 (lim ( ) lim limn n n nn n n

u v u v→+∞ →+∞ →+∞

+ = +،


u v u v→+∞ →+∞ →+∞

− = −،


u v u v→+∞ →+∞ →+∞

× = ×،

)حقيقي أو عقدي( λ عدد كل أجل من )4:lim ( ) limn n

n nv vλ λ

→+∞ →+∞=،

lim يكون عندما) 5 0nn

v→+∞

≠ : lim

limlim

nn n

nn n

n

uu

v v→+∞

→+∞→+∞

=،

6 (lim limn nn n

u u→+∞ →+∞

=،

n كان إذا) 7 nu v≤ فإن معينة رتبة من ابتداء lim limn nn n

u v→+∞ →+∞

≤.

مالحظة

:أن ) 7من اخلاصية نستخلص0 lim 0

0 lim 0,

n nn

n nn

u u

u u→+∞

→+∞

≤ ⇒ ≤

≥ ⇒ ≥

وتصدق هاتان العالقتان حىت إن حتقق طرفاها األوالن ابتداء من رتبة

.0 معينة ليست بالضرورة الرتبة

ت : 1ا�� ا�

22

0nu كان إذا : احذر ابتداء من أول رتبة أو ابتداء من رتبة معينة <

lim فهذا يؤدي إىل 0nn

u→+∞

وال يؤدي بالضرورة إىل... ≤

lim 0nn

u→+∞

1 للتتأكد من ذلك خذ. <nu

nاملوجبة متاما لكن ذلك =

.مل مينع انعدام ايتها )التقارب واحملدودية( نظرية

.والعكس غري صحيح. حمدودة متتالية متقاربةكل متتالية عددية

هانالرب

)للتأكد من ذلك نكتب أن املتتالية )n nu ∈ℕمتقاربة حنو عدد u ،

أي أن

0 00, : nε n n n u u ε∀ > ∃ ∈ ≥ ⇒ − <ℕ

1ε العالقة هذه يف خنتار مث فيكون مثال، =

0 0 : 1nn n n u u∃ ∈ ≥ ⇒ − <ℕ

:ومنه

.0 1nn n u u≥ ⇒ < +

} للمجموعة األعلى من حادا K يكنل }00 1 1, ,..., nu u u و −

{ }max 1 ,M u K= :أن عندئذ الحظ. +., nn u M∀ ∈ ≤ℕ

. وه� ا��باملثال املضاد البسيط والشهري يتمثل يف : العكس غري صحيح

) املتتالية 1)nnu = .املوايل) 1املثال سيتناوهلا اليت −

ت : 1ا�� ا�

23

: أمثلة

) املتتالية )1 1)n

nu = ميكن تربير ذلك ). وهي حمدودة( متقاربة غري −

تستفيد من . املتتالية هلذه uاية نفرض وجود: باخللف، كما يلي

العالقة

0 00, : nε n IN n n u u ε∀ > ∃ ∈ ≥ ⇒ − < )0(

فيأيت زوجيا n أوال باعتبار

0 00, : 1ε n IN n n u ε∀ > ∃ ∈ ≥ ⇒ − < )1(

1u تستلزم) 1(عندئذ نالحظ أن =.

: فرديا يأيت nمث باعتبار

0 00, : 1ε n IN n n u ε∀ > ∃ ∈ ≥ ⇒ − − < )2(

1u زمتستل) 2( أن نالحظ عندئذ = ومبا إننا ال نستطيع احلصول . −

1u على 1u و = = ) 0(آن واحد نستنتج أن العالقة يف −

.وبالتايل فاملتتالية متباعدة. مستحيلة

nu املتتالية )2 n= ا تؤول إىلميكن مالحظة . متباعدةأ +∞

يستوجب أن تكون النهاية يف التقارب وهذا ال يعين أا متقاربة ألن(

ℝ ...إىل ينتمي ال∞+ و ℝ.( ا نربر كيف؟∞+ إىل تؤول أ

يوجد دوما عدد طبيعي). مهما كان كبريا(موجبا ε عدد أي خذ

nε حبيث : n nε≥ ⇐ n ε> .مثال اختيار يكفي

[ ]( )22nε ε= .ذلك من تأكد. +

ت : 1ا�� ا�

24

1املتتالية ) 3

2nun

=+

يف أن خنتار يكفي أنه ذلك. 0 حنو متقاربة

0 : )0(العالقة

1n

ε>.

3 املتتالية) 4

2n

nu

n= −

+ خنتار يف أن يكفي أنه ذلك . 3 حنو متقاربة

0 ) :0( العالقة

2n

ε>.

املتتالية) 52

3( 1)

1n

n

nu i

n= − +

+ ذلك من تأكد. متقاربة غري

) املتتالية تباعد من باالستفادة 1)nnu i= −.

)كوشى والتقارب(نظرية

.تكون متتالية عددية متقاربة إذا وفقط إذا كانت كوشية

مالحظة

أي (دراسة طبيعة متتالية تعود أمهية نظرية كوشي إىل أا تسمح ب

يف حالة (دون معرفة ايتها ) معرفة ما إذا كانت متقاربة أم متباعدة

).تقارا

ت : 1ا�� ا�

25

ربهانال

) كانت إذا : أوال* )nu حنو متقاربة u كتابة نستطيع فإننا

( ) ( )

.

p q p q

p q

u u u u u u

u u u u

− = − + −

≤ − + −

:جند الطرفني يف النهاية إىل وباملرور0 lim lim lim 0 0,p q p q

p p qq

u u u u u u→+∞ →+∞ →+∞→+∞

≤ − ≤ − + − = +

lim ألن 0pp

u u→+∞

− lim و = 0qq

u u→+∞

− تقارب بفضل =

lim ومنه. املتتالية 0p qpq

u u→+∞→+∞

− =.

الربهان اإلملام مبفهوم املتتاليات يتطلب هذا اجلزء من : ثانيا*

نطلب من القارئ البحث عن هذا املفهوم (ا املتجاورة وبعض خواصه

كوشي شرط أن اآلن نفرض ).يف املراجع الواردة يف ذيل الدرس

lim أن أي، حمقق 0p qpq

u u→+∞→+∞

− . املتتالية تقارب إثبات واملطلوب. =

احلقيقي اجلزء متتالييت اعتبار يكفي(حقيقية املتتالية نفترض أن

شرط أن البداية يف نثبت). عقدية اليةمتت حالة يف التخيلي واجلزء

.املتتالية حمدودية إىل يؤدي كوشي

0 ليكن ε< 0 وليكن. مثبتاn لـ املوافق الطبيعي العدد ε يف

حيقق الذي العدد كوشي، أي شرط

0 0 p qp n q n u u ε≥ ∧ ≥ ⇒ − <

0p العالقة هذه يف خنتار n= فيأيت

00 q nq n u u ε≥ ⇒ < +

ت : 1ا�� ا�

26

مث. حمدودة 0n من أكرب دليلها اليت املتتالية عناصر فكل وبالتايل

} املنتهية اموعة إن }00 1 1, ,..., nu u u . فيها عنصر ��آ�� حمدودة −

)تتاليةفامل ومنه )nu حمدودة.

:n طبيعي "!د كل أجل من، اآلن لنضع

.{ }:n kA u k n= ≥ ⊂ ℝ

)املتتالية أن مبا )nu موعة فإن حمدودةاnA ولذلك . حمدودة

الحظ. nb إليه بـ نرمز أعلى وحد na يه بـفلها حد أدىن نرمز إل

:التالية العالقة صحة.[ ] [ ]1 1 1, ,n n n n n nA A a b a b+ + +⊂ ⇒ ⊂

]ااالت أن نرى وبذلك ],n na b فإن متداخلة، وعليه ( )na

) متزايدة و )nb متناقصة.

0 باعتبار- ميكن أخرى جهة ومن ε< 0و مثبتاn العدد

0n و كوشي شرط يف ε لـ املوافق الطبيعي n≤ - يلي ما كتابة

: ) األعـلى واألحد األدىن احلد من لكل املميزة اخلاصية حسب(,

, ,p n

q n

p n u a

q n u b

εε

∃ ≥ < +

∃ ≥ > −

: كتابة بعد ينتج ومنه( ) ( ) ( )n n n q q p p nb a b u u u u a− = − + − + −

:أن ( ) ( )

<3 .

n n n q q p p nb a b u u u u a

ε

− ≤ − + − + −

ت : 1ا�� ا�

27

:أن لدينا العالقة يتضح ولذا

0 00, : 3n nn n n b aε ε∀ > ∃ ∈ ≥ ⇒ − <ℕ

lim اليت تعين أن 0n nn

b a→+∞

− )ملتتاليتانفا وبالتايل. = )na

)و )nb أن تذكر(متجاورتان( )na و متزايدة( )nb إن). متناقصة

)املتتالية اية هي هلما املشتركة النهاية )nu تعريف ألنnAو ( )na

)و )nb نأن يبي: ., n n nn a u b∀ ∈ ≤ ≤ℕ

)واملرور إىل النهاية يف العالقة السابقة يثبت تقارب )nu و

lim lim limn n nn n na u b

→+∞ →+∞ →+∞= .وبذلك ينتهي برهان النظرية. =

)قارب والرتابةالت( نظرية

:حقيقية رتيبة وحمدودة متتالية متقاربة، ولدينا كل متتالية

إذا كانت متزايدة وحمدودة فالنهاية تساوي احلد األعلى -

.للمتتالية

إذا كانت متناقصة وحمدودة فالنهاية تساوي احلد األدىن -

.للمتتالية

الربهان

)متتالية نعترب )n nu ∈ℕ أن تزايد املتتالية يؤدي الحظ .دودةوحم متزايدة

ولذا ميكن اإلدراك بأن . حتما إىل أا حمدودة من األدىن حبدها األدىن

sup وجود احلد األعلى nu عن نعرب كيف .السياق هذا يف األهم هو

: الشكل على تكتب إا املميزة؟ خاصيته

ت : 1ا�� ا�

28

000, : sup sup supn n n nn u u u uε ε ε∀ > ∃ ∈ − < ≤ < +ℕ) 1 (

:مث نالحظ بفضل تزايد املتتالية أن

00 n nn n u u≥ ⇒ ≥) 2(

:حنصل على ) 2(و ) 1(ندمج وعندما

0

0 00, :

sup sup supn n n n n

n n n

u u u u u

εε ε

∀ > ∃ ∈ ≥ ⇒

− < ≤ ≤ < +ℕ

اختصارها يف الكتابة ميكن اليت

0 00, : sup supn n nn n n u u uε ε ε∀ > ∃ ∈ ≥ ⇒ − < < +ℕ

) املتتالية أن عن املعربة )n nu ∈ℕ حنو متقاربة sup nu.

.النظرية من املتبقي اجلزء على مماثلة بطريقة الربهان ميكن

)احلصر(نظرية

متتاليات حقيقية حتققثالثإذا كانت لدينا

lim lim

,

n n n

n n

v u w

v w k

k

≤ ≤ = = ∈ ℝ

)فإن )nu ايتها متقاربةهي و k.

الربهان

0ε ليكن ) إن تقارب املتتاليتني. < )nv و ( )nw حنو k يؤدي

حبيث m' و m طبيعيني عددين وجود إىل

nn m v k ε≥ ⇒ − <

' nn m w k ε≥ ⇒ − <

ت : 1ا�� ا�

29

أن عندئذ تأكد. m' و m العددين أكرب 0n لنضع

0 nn n u k ε≥ ⇒ − <

) تقارب ومنه )nu حنو k العالقة بفضل حنصل ألننا

n n nv u w≤ n على ≥ n nv k u k w kε ε− < − ≤ − ≤ − يكون عندما >

0 n n≥. إليك هذه النظرية اهلامة اليت نقدمها بدون برهان ألن إثباا يتطلب

.إدخال املتتاليات املتداخلة

)ااالت املتداخلة( نظرية

] املغلق اال n من أجل كل عدد طبيعي نعترب ],n n nI a b= من

ℝ .1 أن نفرضn nI I+ : عندئذ. n من أجل كل ⊃

n التقاطع يكون) 1n

I∩ االت لكلا nI مستقيمة قطعة I

).ومنه فإن التقاطع غري خال(

lim كان إذا) 2 0n nn

b a→+∞

− )املتتاليتني فإن = )naو ( )nb

}و النهاية، نفس حنو متقاربتني تكونان }I c= حيث

lim limn nn n

b a c→+∞ →+∞

= =.

مالحظة

]لو استبدلنا يف النظرية السابقة ااالت املغلقة ],n n nI a b=

[املفتوحة االتبا [,n n nI a b= مثال ذلك . النظرية نتيجة لسقطت: 1

0,nIn

= 1 أن الحظ.

0 lim 0 lim 0n n n→+∞ →+∞

= = ذلك ورغم =

nn

I φ=∩.

ت : 1ا�� ا�

30

: تطبيق. 4نريد هنا تقدمي عينة عن كيفية تعريف دالة مألوفة باستخدام

.الدالة اليت اخترناها هلذا املثال هي الدالة األسية. ت دون غريهااملتتاليا

1 توطئة

.عددا طبيعيا غري معدوم مثبتا pليكن

)(إن املتتالية nu املعرفة بـ pnpn C

nu

1=

حيث()!(!

!

pnp

nC p

n −متقاربة وايتها ) =

!

1

p.

: الربهان

لدينا

.

1

)!(

1!

!

1

)!(

1)!1(

!

1

1.2)...(

1.2)...())1()...(2)(1(

!

1

)1

1)...(2

1)(1

1(!

1

1

1

n

pnp

p

p

p

u

Cn

pnn

n

p

pnn

n

p

pn

pn

p

pnnn

p

n

p

nnp

=

=

−××=

−×−×=

−−×−−−−×=

−−−−

−

−

ت : 1ا�� ا�

31

ومن جهة أخرى،

,11 :1,...,1 ≤−−=∀n

jpj

:ومنه

).1

1)...(2

1)(1

1(1

11

n

p

nnn

pp −−−−≤

−−−

:وبالتايل

.!

1

!

111

1

pu

pn

pn

p

≤≤

−−−

) مثبتاpمع ترك (ة يف املتباينة السابق+∞ىل إ يؤول nوعندما جنعل

)( وهو أن اية املتتالية ،حنصل على املطلوب nu تساوي !

1

p.

2 توطئة

)(لتكن املتتاليتان nu و )( nv املعرفتان بـ

∑=

=∈∀n

pn p

uINn0 !

1 ,

و

.n

n nvINn

+=∈∀ 11 ,*

)(إن املتتالية ) 1 nuايتها حمصورة بني . متزايدة ومتقاربة3 و 2.7و.

)(إن املتتالية ) 2 nv اية املتتالية ايتها تساويمتزايدة ومتقاربة و )( nu.

ت : 1ا�� ا�

32

)e العدد (تعريف

)(نرمز للنهاية املشتركة للمتتاليتني nu و )( nv باحلرف e أي ،

:أننا نضع تعريفا

.evu nn

nn

==+∞→+∞→

limlim

مالحظة

ولذا (هذه النهاية هي اليت ستكون أساس اللوغريتم النبريي

، وهي اليت ستمكننا من إنشاء الدالة األسية عن )ك الرمزاخترنا هلا ذل

.طريق املتتاليات

: 2برهان التوطئة

)(من الواضح أن املتتالية )1 nuمث إننا نستطيع التأكد . متزايدة

بالتراجع من أن

.2

1

!

1 ,1

1−≤≥∀pp

p

: وبالتايل

.321

2

11

2

11

1

0

11

=+≤

+=

+≤

∑

∑

−

=

=−

n

p

p

n

ppnu

ت : 1ا�� ا�

33

)(الية إذن فاملتت nuولذا فهي متقاربة، . متزايدة وحمدودة من األعلى

lim 3: ولدينا ≤nn

u .كما أن

.nn

n uuu lim4!4

1

!3

1

2

1117.2 ≤≤=++++≤

نستطيع، حسب دستور ثنائي احلد، كتابة )2

.)1(

1

1

11

,11

1

1

01

1

1

0

∑

∑

+

=+

+

+

=

+=

++=

=

+=

n

p

pnp

n

n

n

p

pnp

n

n

Cnn

v

Cnn

v

: أن 1نعلم حسب التوطئة

.pnp

pnp

Cn

Cn

1)1(

11 :np ++

≤≤∀

:ومنه

.

1

)1(

1

)1(

1

)1(

1

,11

1

01

01

1111

0

n

n

p

pnpn

n

p

pnp

nnnn

n

p

pnp

n

n

v

Cnn

Cn

Cn

v

Cnn

v

≥

++

≥

++

+=

=

+=

∑

∑

∑

=+

=+

++++

=

)(إذن املتتالية nvمتزايدة .

أن1ومن جهة أخرى أثبتنا يف التوطئة

.!

11 ,

pC

nnp p

np≤≤∀

ت : 1ا�� ا�

34

:ومن مث

∑∑==

=≤=n

pn

n

p

pnpn u

pC

nv

00

,!

11

لذلك فإن . حسب ما أوضحنا سلفاnu≥3مع العلم أن

)(املتتالية nvا متزايدة فهي متقاربة. حمدودةومبا أ.

<≤2 حبيث n و mلنعترب اآلن عددين طبيعيني nm . لدينا :

.1

1

11

1

1

1

0

∑

∑

∑

=

=

=

+≥

+=

=

n

p

pmp

m

p

pmp

m

p

pmpm

Cm

Cm

Cm

v

من التوطئة يؤول اىل الاية حنصل، باالستفادة mعندما جنعل

السابقة، على

∑=

=+≥n

pnm

m

up

v1

.!

11lim

يؤول اىل الاية يف هذه املتباينة، مع العلم أن nمث جنعل

eunn

=lim فيأيت ، :.lim evmm

≥ .

nnوملا كان uv ينتج≥

.euv nn

nn

=≤ limlim

euvستخلص نتيجة التوطئة ومنه ن nn

nn

== limlim.

ت : 1ا�� ا�

35

)الدالة األسية واملنتتاليات(نظرية

*ليكن 0n∋ℕ . إن املتتالية)( nv املعرفة بـ

nn n

nvINn )1( , 0* +=∈∀

.متقاربة

الربهان

10احلالة اليت يكون فيها )1 =nدراستها متت .

02نفرض أن )2 n≤ . لدينا:

.0* 1 , nnnINn ≤+∈∀

:1ومنه يأيت بناء على التوطئة

.)(

1

)1(

1.

1 ,1

0

00

00

pnnp

p

pnp

ppnp

p

Cnn

n

Cn

nCn

nnp

≤

+≤≤≤

:ومنه

..)1(

11

.)1(

11

.1

1 ,1

1

1

101

101

10

+

+

=+

=+

=

=+

+≤

++≤

+=≥∀

∑

∑

∑

n

n

p

ppnp

n

p

ppnp

n

p

ppnpn

vnCn

nCn

nCn

vn

)(وبالتايل فإن املتتالية nvمتزايدة .

ت : 1ا�� ا�

36

)(لنثبت أن nvلدينا . دودة حم:

.)1

1(

1

.)(

11

.)1(

11

0

0

0

0

0

0

10

0

1

1011

nn

nn

p

pnnp

nn

p

ppnnp

n

p

ppnpn

n

Cn

nCnn

nCn

v

+=

=

+≤

++=

∑

∑

∑

=

=

+

=++

على ) باستخدام التوطئة السابقة(ولذلك حنصل

.31

1 ,1 0

0

1n

nn

nn nvvn ≤

+≤≤≥∀ +

)(إذن فاملتتالية nv ا موجبة( حمدودةمن األعلى واألسفل أل .(

وهكذا ينتج أا متقاربة بوصفها متتالية متزايدة وحمدودة من

.األعلى

:اآلن الدالة األسية لندخل

)تقارب متتالية( نظرية

+xليكن ∋ℝإن املتتالية . مثبتا( ))(xvn املعرفة بـ n

n n

xxvINn )1()( ,* +=∈∀

.متقاربة

ت : 1ا�� ا�

37

الربهان

. ال تستحق الدراسة لوضوحهاx=0الحظ أن احلالة

، الربهان شبيه بربهان النظرية السابقة فيما خيص x<0من أجل

)اثبت بإتباع نفس اخلطوات أن : الرتابة ))(xvnإلثبات أن . متزايدة

( ))(xvn حمدودة من األعلى نضع [ ] 10 += xn حيث يرمز [ ]x للجزء

) :x<0تذكر أن (لدينا . x لـ الصحيح

.pp nxINp 0 , ≤∈∀

: ومن مث

.1

)(

0

0

0

n

n

p

pnp

p

n

n

n

Cn

nxv

+≤

≤∑=

لكن املتتالية n

n

n

n

+ )1( ولذلك ميكن إجياد، من أجل . متزايدة0

0knn حبيث kعددا طبيعيا ، nكل عدد طبيعي و ≥

.00

)1

1(110

00n

k

knn

kkn

n

n

n

+=

+≤

+

أن) 2التوطئة (وحنن نعلم

.3)1

1( ,* ≤+∈∀ k

kINk

)(03: وهكذا يتبين أن nn xv وهو ما يثبت أن املتتالية املتزايدة.≥

( ))(xvnربةوبالتايل فهي متقا. حمدودة.

ت : 1ا�� ا�

38

)الدالة األسية( تعريف

:، نعرف الدالة األسية كما يلي x∋ℝمن أجل كل

.n

n

x

n

xe )1(lim +=

مالحظة

: أن e ينتج من هذا التعريف ومن تعريفنا للعدد

.)1

1(

,1

lim1

0

en

e

e

n

n

=+=

=

yxyxة العالقاستخدام جيوز لنانذكر أنه ال eee ألننا مل اآلن +=

. نثبتها بعد انطالقا من تعريفنا للدالة األسية

نظرية

nn:لدينا . عددا صحيحاnليكن ee )( 1=.

الربهان

:يتم بالتراجع انطالقا من النظرية السابقة اليت تعطي العالقات ( )2111112 . eeeee === +

( ) 11111110 .1 −−−− =⇒=== eeeeee

( ) ( ) 111111 .. ++ === nnnn eeeeee

ت : 1ا�� ا�

39

: للدالة األسيةخواص أخرى . 5

نعلم أن . 1n

n

x

n

xe

+= 1lim . وبالتايلxe≤0 ألن n

n

x

+≤ 10

xxوإذا ذكرنا بأن . كبرياnعندما يكون ee −= x∋ℝ من أجل كل 1.

وهكذا ). نرى ذلك باخللف (x∋ℝ من أجل كل xe≠0أدركنا بأن

:تنتج اخلاصية

, 0.xx e∀ ∈ >ℝ

xxكما أن العالقة ee −= تستلزم1.x

x

ee

1=−

1, .x

xx e

e−∀ ∈ =ℝ

ذلك . الدالة األسية متزايدة على جمموعة األعداد احلقيقية. 2

ألن

.1

0

0=>==⇒

>−⇒>

−− eeeee

e

yxyx

yxyxy

x

.ومنه يأيت تزايد الدالة األسية

0lim1lim0 مبا أن. 300

=≤−≤→→

x

x

x

xxee

1lim. %$ن 0

=→

xx

e

ت : 1ا�� ا�

40

m كل لدينا من أجل.4 ∈ℕ :

.0lim =−∞→

xmx

ex ∧ +∞=+∞→ m

x

x xe

lim

m ليكن. لنثبت ذلك ∈ℕ ميكن أن نكتب من أجل. مثبتا

nm ≤

.∑=

+

+≥>∀n

p

mp

mx

px

x0

1

)!1(! ,0

ومنه

.∑= +≥>∀n

p

p

m mx

px

xx

0 )!1(! 1 ,0

ىل الاية يف الطرفني جنديؤول ا n جبعل

.)!1(

,0 +≥>∀m

xxe

x m

x

:ىل الاية يف الطرفني حنصل على إ يؤول xوجبعل

+∞=+∞→ m

x

x xe

lim.

وكتابةx>0ومن جهة أخرى، باعتبار

x

mmxm

ex

ex −

−−=

)()1(

حنصل على−=yxنستنتج بوضع

01limlim)(

lim ===−

∞→∞→−−∞→

m

yyy

m

yx

m

x

yee

yex

0lim ومنه =

−∞→xm

xex.

ت : 1ا�� ا�

41

يف النهايتني السابقتني m=0 باعتبار .5

0lim =−∞→

xmx

ex ∧ +∞=+∞→ m

x

x xe

lim

جند 0lim =

−∞→x

xe ∧ +∞=

+∞→x

xelim

وبناء على ذلك وعلى املعلومات السابقة ننشئ جدول تغريات الدالة

:األسية ∞+ −∞ x + ( )''xe

∞+

0

xe

: موضوع للدراسة. 6

f:نريد دراسة الدوال →ℝ ℝاليت حتقق العالقة

(1) ( , ) , ( ) ( ) ( ).x y f x y f x f y∀ ∈ × + = +ℝ ℝ . تسمى كل دالة حتقق هذه العالقة دالة مجعية

نالحظ يف البداية أن الدوال اخلطية، أي تلك اليت تكتب على

cxxfالشكل ).1(حتقق العالقة اجلمعية ثابت،c حيث )(=

ت : 1ا�� ا�

42

؟ )1(هل توجد دوال أخرى غري الدوال اخلطية حتقق العالقة : سؤال

:وضح ذلك باالستعانة بالنظرية التالية . نعم : اجلواب

نظرية

[تكون دالة [ IRbaf [مستمرة عند النقطة :,→ [ 0, xba إذا وفقط ∈

: إذا حتقق الشرط التايل

[من أجل كل متتالية [ )(, nuba فإن 0x متقاربة حنو ∈)()(lim 0xfuf n

n=.

: متارين. 7

1مترين

:يف رتابة املتتاليات املعرفة حبدودها العامة كما يلي قولك ما

1 (1 1

1 2nun n

= ++ +

، 2( 15

1nu nn

= ++

، 3(

5

4 2n

nu

n

+=−

،

4 (22nu n n= − + ، 5 (( ( 1) )nnu n n= + − ،6(

2 2( 1)

1

n

nun

+ −=

+،

7 (sinnu n= )يرمز حيث sin 2 )8، )اجليب إىلnnu =.

ت : 1ا�� ا�

43

2مترين

) متتالية أدرس طبيعة كل )nu املعرفة بـ:

1 .2 1 1

1 1nun n n

= − −− +

2 .2

1 1 11 ...

2 2 2n nu = + + + +

3 .1.3.5...(2 3)(2 1)

2.4.6...(2 2).2n

n nu

n n

− −=−

4 .1nu n n= + −

3مترين

:بيعة املتتاليات التالية ادرس ط

1 .2

2

2 1

3 1n

nu

n n

+=+ +

.

2 .1 2 3 ... (2 1)

1 2 ...n

nu

n

+ + + + −=+ + +

.

3 .1 3 5 ... (2 1)

1 2 ...n

nu

n

+ + + + −=+ + +

.

4 .2 2 2

...1 2n

n n nu

n n n n= + + +

+ + +.

ت : 1ا�� ا�

44

4مترين

) لتكن )nu أثبت التكافؤ . متتالية عددية: .lim 0 lim 0n n

n nu u

→+∞ →+∞= ⇔ =

5مترين

) لتكن )nu أثبت أن. موجبة أعداد متتالية

.lim 0 lim 01

nnn n

n

uu

u→+∞ →+∞= ⇔ =

+.

6مترين

a ليكن ∈ℂ .ولتكن( )nu بـ املعرفة املتتالية nnu a= املسماة

.a األساس تذا اهلندسية املتتالية

) املتتالية أن أثبت )nu 1 كان إذا وفقط إذا متقاربة تكونa أو >

1a =.

7مترين

)لتكن )nu و( )nv الشرطني حتققان دديتنيع متتاليتني:

1. ( )nu متقاربة حنو الصفر.

2. n p n nv v u+ − .pو nطبيعيني من أجل كل عددين ≥

)أ)�' أن )nv)�ر+,-. .

ت : 1ا�� ا�

45

8مترين

) لتكن )nu 1 نفرض أن. موجبة متتاليةlim n

nn

uu

u+

→+∞ وأن =

] [1,1u ∈ − .

lim برهن أن 0nnu

→+∞=.

9مترين

)لتكن )nu الشرط حتقق عددية متتالية:

12 1 3

n nn n

u uu u +

+ +

−− .nيعيمن أجل كل عدد طب ≥

1 أثبت أن 02 1 13n n n

u uu u+ + +

−− ، nمن أجل كل عدد طبيعي ≥

)أن مث استنتج )nu وبالتايل فهي متقاربة( كوشية.(

10مترين

)بين أن املتتالية )nu 1 املعرفة بـ 11 ...

2nun

= + + .متباعدة +

) "!د أe27 أ6+س ا��4+ر3-2 ا�1��0ي( 11مترين

)النهاية املشتركة للمتتاليتني املتجاورتني) تعريفا( هو e أن نذكر )nu

)و )nv عرفتني بـامل 0

1

!

n

nk

uk=

1 و ∑=

!n nv un

= +.

ت : 1ا�� ا�

46

qو pعددان طبيعيان) إذن(ناطق وأنه يوجد eأن نفترض. 1

p حبيثe

q أثبت أن. =

.!. ( 1)!. !. 1q qq u q p q u< − < +

غري ناطق eواستخلص أن. املتباينة السابقة خاطئة أناستنتج. 2

).أي أنه أصم(

ت و��ل� إ�

1مترين

!�) 5متزايدة، ) 4متناقصة، ) 3متزايدة، ) 2متناقصة ، ) 1 :ا"�

.متناقصة) 8غري رتيبة، ) 7غري رتيبة، ) 6متزايدة، 2ين متر

ت � :ا"�يف كل حد فتجد أن املتتالية ∞+ يؤول إىل n جتعل يكفي أن .1

.0 متقاربة حنو

1 أن تكتب ميكن .2

2 nu 1 مث حتسب كمجموع

2n nu u− ...

1 أن وستكتشف2

2n nu = .2 ومنه تستنتج تقارب املتتالية حنو. −

ت : 1ا�� ا�

47

اعترب نسبة حدين متواليني من املتتالية وستجد أن .3

1 2 11

2 2n

n

u n

u n+ += <

+املتتالية متناقصة وهي أن تالحظ وهكذا.

.إذن فهي متقاربة. 0 حمدودة من األدين بـ

تتالية تؤدي إىل عدم تعيني عند املرور إىل عبارة امل الحظ أن. 4

1 أن وستجد "املرافق"ولذا اضرب يف . النهاية

1nu

n n=

+ + .

.0 وهذا يؤدي إىل تقارب املتتالية إىل

3مترين !� : ا"�

.2 حنو متقاربة .1

:لدينا . 2

.

2 (2 1)2 (2 1) 4 22 4

( 1) ( 1) 12

nn

n nn n n

un n n n n

→+∞

−− −= = = →

+ + +

:لدينا .3

.21 3 5 ... (2 1) 2

2( 1)1 2 ... 1

2

nn

n n nu

n nn n→+∞+ + + + −= = = →

++ + + +

يف أصغر احلدود، وهو nاملعطى هو أكرب من جداء اموع .4

:وعليه . أكرب احلدود يف nكذلك أصغر من جداء

.2 2 2 2 2

...1 2 1

n n n n nn n

n n n n n n n× ≤ + + + ≤ ×

+ + + + +

ت : 1ا�� ا�

48

:إذن 2

21 1

1 1n n

n

n nu

n n→+∞ →+∞← ≤ ≤ →

+ +

lim :تايل فنظرية احلصر تعطي وبال 1nnu

→+∞=.

4مترين

) إن تقارب. يكفي كتابة تعريف التقارب )nu يعين تعريفا 0 حنو: .0 00, , 0nn n n uε ε∀ > ∃ ∈ ≥ ⇒ − <ℕ) 1(

) إن تقارب )nu يعين تعريفا 0 حنو: .0 00, , 0nn n n uε ε∀ > ∃ ∈ ≥ ⇒ − <ℕ) 2 (

.سوى يف الظاهر) 2(و ) 1(الحظ أنه ال فرق بني العالقتني

: مالحظة

دالة (ميكن اإلجابة عن السؤال باالستفادة من استمرار الدوال ) 1

).القيمة املطلقة

) : رعال تتس(ما رأيك يف االستلزام التايل عموما ) 2?lim limn n

n nu u u u

→+∞ →+∞= ⇔ =

5مترين

.بديهي" ⇐ "الحظ يف البداية أن االستلزام

ت : 1ا�� ا�

49

بعد حسابات أولية يف املسودة، نالحظ أنه " : ⇒ "باالستلزام لنهتم

كذلك أيضا فيما خيص العددفاألمر صغريا موجبا εعندما يكون

1

εε +

limنعبر عن أن: وعليه نقترح ما يلي . 01

n

nn

u

u→+∞=

+ :فيكون

0 00, : 0<1 1

n

n

un n n

u

εεε

∀ > ∃ ∈ ≥ ⇒ <+ +

ℕ

:أي .0 00, : 0< nn n n uε ε∀ > ∃ ∈ ≥ ⇒ <ℕ

) تقارب يعين وهذا )nu 0 حنو.

8مترين

1lim نعبر عن أن n

nn

uu

u+

→+∞ :فنستنتج =

.10 00, : 0 n

n

un n n u

uε ε+∀ > ∃ ∈ ≥ ⇒ < < +ℕ

1لنختر يف العالقة السابقة مثال

2

uε 0ε أن فنالحظ =− وأن <

11

2

uu ε ++ = [ إذ أن > [1,1u ∈ 1 لنضع. −

2

uu kε ++ = =

0 العلم أن ذلك يؤدي إىل مع 1k< كل من نستفيد ذلك وبعد. >

:ما سبق لكتابة

.0 0 0

0 0 0

1 2

1 1

0 ...n n n nn n

n n n n

u u u uk

u u u u+ + −

+ −

< × × × = <

C) 0ثابت يوجد أ:9 يتضح وهكذا

0

nnC u k حبيث) =−

.0 0 . nnn n u C k≥ ⇒ < <

ت : 1ا�� ا�

50

lim حنن نعلم أن 0n

nk

→+∞0 ألن = 1k< ولذلك فاملرور إىل . >

0 النهاية يف أطرف . nnu C k< lim إىل حتما يؤدي > 0nn

u→+∞

=.

10مترين

: n أن من أجل كل عدد طبيعي غري منعدم نالحظ

2

1 1 1 1 1 1(1 ... ... ) (1 ... )

2 1 2 21 1

...1 21

2

1 .

2

n nu un n n n

n n

nn

− = + + + + + + − + + ++

= + ++

≥ ×

=

2 :ومن مث

1

2n nu u− شرط كوشي ولنتساءل ما إذا لنتذكر. ≤

1 خنتار لو أننا الحظ .كانت املتتالية املعطاة متتالية كوشية

4ε يف =

2qو الشرط ذلك p= 0 لك أجل من لوجدناn 0 حبيثp n≥ و

0q n≥ : 2

1

4p pu u− وهذا يعين أن شرط كوشي غري حمقق . <

.متباعدة وبالتايل فاملتتالية املعطاة

: مالحظة

ت هناك أسلوب آخر إلثبات املطلوب دون املرور باملتتاليا

2 فبعد مالحظة قيام العالقة. الكوشية

1

2n nu u− كل أجل من ≤

n .أنونفترض باخللف نستدل ( )nu 2أن متقاربة، فنستنتج( )nu

ت : 1ا�� ا�

51

)2ألن متقاربة أيضا حنو نفس النهاية )nu من جزئية( )nu .

2limوبالتايل 0n nnu u

→+∞− ومنه يظهر تناقض بني العالقة األخرية و. =

2

1

2n nu u− 1 إىل يؤديان ألما ≤0

2) إذن. ≤ )nu متباعدة.

11مترين

n لتذكري ومن الفرض أنيتضح من ا. 1 n

pu v

q< وذلك من >

qمنه. nأجل كل q

pu v

q< نضرب أطراف هذه املتباينة عندما. >

1 جند q!يف!. ( 1)! !.( )

!q qq u q p q uq

< − < +،

.!أي ( 1)! !. 1q qq u q p q u< − < +.

لدينا. 2

0

1!. !

!

! ! ( 1)...3 ... ( 1) 1

q

qk

q u qk

q q q q q q q=

=

= + + − + − + +

∑

يتبني من الطرف األخري يف العالقة السابقة أن كل حد من ذلك

.!ومنه. ℕ الطرف ينتمي إىل qq u ∈ℕ وعليه ،!. 1qq u + ∈ℕ مع

.! أن العلم qq u و !. 1qq u ومن مث يأيت، . طبيعيان متواليان عددان +

.! املتباينة استنادا إىل ( 1)!. !. 1q qq u q p q u< − < ) أن ،+ 1)!.q p−

) وهذا تناقض ألن. عددا طبيعيا ليس 1)!.q p− عدد طبيعي إذ

eالتناقض يثبت املطلوب، وهو أن هذا. طبيعيان عددان q وpأن

).أي أنه أصم(ناطق غري

)مراجعة(االستمرار واالشتقاق : 2الفصل

55

: مقدمة. 1

واالشـتقاق االسـتمرار ومبفهوم النهايـة يف هذا الدرس ذكرن

سبق له أن اطلع على هذا املوضوع يف دروس التحليل القارئباعتبار أن

،تعـاريف مجلة مـن ال مراجعةفال بد لنا من ويف هذا السياق .الرياضي

بل كل وق. واالشتقاق املتعلقة باالستمرار وتقدمي بعض النظريات والنتائج

.ذلك فقد قدمنا تعاريف ونتائج عامة يف موضوع الدوال

ال يتطرق إىل هـذه لتكوين املفتشني والواقع أن الربنامج الرمسي

. موضوع احلساب التكاملي )بعد املتتاليات (املواضيع بل يتناول مباشرة

غري أن التحليل الرياضي يبين أنه ال حيلـة يف إدراك مفهـوم التكامـل

وعليـه . املتعلقة به ما مل نستوعب املفاهيم السالفة الـذكر واحلسابات

.مرفقة بأبرز النتائج واخلواص املرتبطة ا) ببعض اإلجياز(أدرجناها هنا


56

: عموميات على الدوال. 2

أو (نقدم يف هذا املقطع بعض التعاريف املرتبطة مبفهـوم الدالـة

. بشكل موجز)التابع

)مجع وضرب الدوال( تعريف

f:لتكنو .ℝ من جزءا A ليكن A → ℝ و :g A → ℝ

f: نعرف جمموع. دالتني g A+ → ℝ الدالتني وجداء . :f g A → ℝ

. λعدد وجداء دالة يف :f Aλ → ℝ و نسبة الدالتني:f

Ag

→ℝ ) يف

:ات بالعالق) gحالة عدم انعدام

,, ( )( ) ( ) ( )x A f g x f x g x∀ ∈ + = + ,, ( . )( ) ( ). ( )x A f g x f x g x∀ ∈ =

,, ( . )( ) . ( )x A f x f xλ λ∀ ∈ = ( )

, ( )( ) .( )

f f xx A x

g g x∀ ∈ =

مالحظة

يف األعدادا مجع الدوال وضربقانوينجمموعة الدوال املزودة

أما قانونا اجلمع . ℝ جيعل منها فضاء شعاعيا على)احلقيقية أو العقدية(

وضرب الدوال فيما بينها فيزود جمموعة الدوال ببنية حلقة تبديلية

.واحدية


57

)التركيب الدو( تعريف

f:و ℝ من جزءين Bو A ليكن A B→ و :g B →ℝ

.دالتني

g: التركيب دالة نعرف f A →� ℝ بالعالقة:

.( ) ( ), ( ) ( )x A g f x g f x∀ ∈ =�

)التطبيق املطابق( تعريف

f: التطبيق يسمى. ℝ من جزءا A ليكن A A→ بـ املعرف

., ( )x A f x x∀ ∈ = عموما A على املطابق للتطبيق نرمز .A على املطابق التطبيق

.AI بـ

)التطبيق العكسي( تعريف

f: وℝ من جزءين Bو A ليكن A B→ .كان إذا

:f A B→ 1 العكسية الدالة تعريف ميكن ابالتق :f B A− بـ →1 ( )f y x− ) يكون عندما = )y f x=.


58

)الدالة احملدودة( تعريف

f:و ℝ من جزءا A ليكن A →ℝ. الدالة نقول عنf اإ0 حمدودة إذا وجد ثابت M< حبيث

., ( )x A f x M∀ ∈ ≤ )حمدودة فإن اموعة fتكون عندما )f A يف احملتواة ℝ

نرمز هلما على التوايل بـ،وحدا أعلى أدىن وهي إذن تقبل حدا. دودةحمinf f وsup f.

مالحظة

أن ضح من اخلاصيتني املميزتني للحدين األدىن واألعلىيت

f: باعتبار( A → ℝ : ( , ( ),

inf ( )0, : ( ) .x A

x A m f xm f x

a A f a mε ε∈

∀ ∈ ≤= ⇔ ∀ > ∃ ∈ < +

, ( ) ,sup ( )

0, : ( ).x A

x A f x MM f x

b A M f bε ε∈

∀ ∈ ≤= ⇔ ∀ > ∃ ∈ − <

) إىل بالضرورة ال ينتميان M و m أن الحظ )f A.

مثال

f: نعترب →ℝ ℝ حبيث ( ) sinf x x= أن فنجد: [ ]supsin( ) 1 ( ) 0,1 .

x

x f∈

= ∈ =ℝ

ℝ

: تربنع 0,2

fπ →

ℝ حبيث ( ) sinf x x= أن فنجد:

] [

] [

0,2

0,2

inf sin( ) 0 ( 0, ) 0,1 ,2

sup sin( ) 1 ( 0, ) 0,1 .2

x

x

x f

x f

π

π

π

π

∈

∈

= ∉ =

= ∉ =


59

)الدالة الزوجية والدالة الفردية( تعريف

f: و 0 بالنسبة لـ متناظرا ℝ من جزءا A ليكن A →ℝ .

إذا كان زوجية إا f الدالة عن نقول -

., ( ) ( )x A f x f x∀ ∈ = − كان إذا زوجية إا f �� ا��ا��نقول -

., ( ) ( )x A f x f x∀ ∈ = − − ةمثلأ

) بـ ℝ على املعرفتان g و f الدالتان* ) cosf x x= و

( )g x x= زوجيتان دالتان.

) بـ ℝ على املعرفتان g و f الدالتان* ) sinf x x= و 3( )g x x= فرديتان دالتان.

بـ ℝ على املعرفتان g و f الدالتان*

( ) sin cosf x x x= ) و + )g x x x= زوجيتني وغري غري دالتان +

.فرديتني

نظرية

f: و 0 لـ بالنسبة متناظرا ℝ من جزءا A ليكن A →ℝ .

دامها زوجية واألخرى على شكل جمموع دالتني إح f تكتب

.فردية


60

الربهان

) بـ h وg نعرف ) ( )( )

2

f x f xg x

+ و =−( ) ( )

( )2

f x f xh x

− :أن الحظ .=−

1 (g 2 ،زوجية (h 3 ،فردية (f g h= +.

)الدوريةالدالة ( تعريف

f: ليكن →ℝ ℝ .

غري ϕ إا دورية إذا وجد عدد حقيقي fنقول عن الدالة -

العالقة حيقق منعدم

., ( ) ( )x f x f x ϕ∀ ∈ = +ℝ عدد أصغر f دورةغالبا ما نسمي .fدورة لـ ϕ يسمى -

حيقق العالقة السابقة ϕ موجب متاما) إن وجد(

ةمثلأ

f:الدالة - →ℝ ℝ بـ املعرفة ( ) cosf x x= ا دورية2 ودورπ.

f:الدالة - →ℝ ℝ بـ املعرفة ( ) cos 2f x x= ا دوريةودور π.

f:الدالة - →ℝ ℝ بـ املعرفة ( ) cos 2f x xπ= ا دورية1 ودور.

f:الدالة - →ℝ ℝ 2 بـ املعرفة( ) cosf x x

a

π=، حيث a عدد

.a ودورا دورية متاما، موجب حقيقي


61

: مالحظة

لواردة يف ا" إن وجد" يستغرب القارئ يف عبارة من اجلائز أن

. التعريف السابق ألنه ألف الدوال الدورية من منط الدوال املثلثية

: املثال التايل ق نسوةلتوضيح أن هناك دوال دورية ليس هلا أصغر دور1 : ,

( )0 : .

xf x

x

∈= ∉

ℚ

ℚ

1 خذ

nϕ : أنطبيعي غري منعدم وستالحظ عدد nحيث =

.1, ( ) ( )x f x f x

n∀ ∈ = +ℝ

:خلاصية التالية إىل قيام ايرجع ذلك 1

1 ( ) ( ) 1,

1

1 ( ) ( ) 0.

x xn

f x f xn

x xn

f x f xn

∈ ⇒ + ∈

⇒ = + =

∉ ⇒ + ∉

⇒ = + =

ℚ ℚ

ℚ ℚ

1 ومن مث نالحظ أن كل عدد من الشكل

n عدد n حيث(

أصغر دورة؟ الحظ أن هي ما .هو دورة للدالة) طبيعي*

1inf 0n n∈

=ℕ

وهو،

.الواردة يف التعريف السابق" إن وجد"يربر وجود عبارة


62

)التابع احملدود( تعريف

وجد عدد إذا D إنه حمدود من األعلى على f نقول عن التابع -

: حيقق M حقيقي.)(, MxfDx ≤∈∀

إذا وجد عدد D إنه حمدود من األدىن على f التابع نقول عن -

: حيقق mحقيقي ).(, xfmDx ≤∈∀

حمدودا من األعلى و حمدودا من األدىن، نقول إنه حمدود f إذا كان -

.D على

التابع : مثال

xx من األعلى و ال من ال ℝ* على حمدود غري 1֏

.األدىن

)دالة رتيبة( تعريف

f: دالة لتكن I ⊂ →ℝ ℝ.

) متزايدة متاما إذا كان fإن نقول* ) ( )f x f y< كان كلما

x y<. ) متناقصة متاما إذا كان fإن نقول* ) ( )f x f y< كان كلما

x y>. .أو متناقصة متزايدة كانت إن رتيبة إا f عن نقول*

فإنه ≤ و ≥ التوايل بـ على < و > سبق فيما استبدلنا إذا

".متاما"لفظ حذف ينبغي


63

مثال

f: الدالة - + →ℝ ℝ 2 بـ املعرفة( )f x x= متاما متزايدة.

g: ا��ا�� - − →ℝ ℝ 2 بـ املعرفة( )g x x= متاما متناقصة.

h: ا��ا�� - →ℝ ℝ 2 بـ املعرفة( )h x x= رتيبة ليست.

نظرية

f: دالة لتكن I ⊂ →ℝ ℝ متناقصة متاما، (متاما متزايدة

:عندئذ . جمال I حيث) على الترتيب

: يكون) 1 ( )f I f I→ تقابال.

1 يكون) 2 : ( )f f I I− → متناقصة متاما، على (متاما متزايدة

).الترتيب

الربهان

.للقارئ كتمرينمتروك

)االقتصار والتمديد( تعريف

B حبيث ℝمن جزءين Bو A ليكن A⊂ و:f A → ℝ و :g B → ℝ .

:كان إذا gللدالة) أو متديد(امتداد إا fعن الدالة نقول

., ( ) ( )x B f x g x∀ ∈ = نعبر عن ذلك . f للدالة اقتصارا gهذه احلالة تسمى الدالة ويف

Bg ا بالرمزعموم f=.


64

:النهايات. 3

وبعض القضايا اخلاصة نقدم يف هذا املقطع تعاريف أساسية

. الغوص كثريا يف املوضوعالنهايات دون ب

��( تعريف� )ا� �

f: لتكن I ⊂ →ℝ ℝ ل %$#"ح� I دا�� %,+*� �() %'

إذا aالنقطة عند cمنتهية اية متلك إا fعن نقول. aقطةن إليه تنتمي

lim : حتقق الشرط ( )x a

f x c→

كانأي إذا، =

.0, 0 : ( )x a f x cε α α ε∀ > ∃ > − < ⇒ − <

مالحظة

وكما .a وε بـ يتعلق أن ،السابق التعريف يف، αحق من

limأن يف حالة املتتاليات املتقاربة فإن إثبات ذكرنا ( )x a

f x c→

باستخدام =

. a و ε بداللة α يف حتديد يتمثل التعريف

مثال

2أن إلثبات

3lim 9x

x→

كيفيا ε اختيار بعد نالحظ التعريف باستخدام =

نكتب أن يكفي هأن


65

2 9 3 3

3

7

,

x x x

xαα

ε

− ≤ + −

< +<<

لن يكون مثال أكرب من فهو وبالتايل، 3 لـ جماورا x باعتبار أن وذلك

اختيار يكفي أنه يتضح وهكذا. 47

εα صحة على للحصول >

.20, 0 : 3 9x xε α α ε∀ > ∃ > − < ⇒ − <

.إن التعريف املوايل يكافئ السابق

")طبولوجيا"النهاية ( تعريف

f: لتكن I ⊂ →ℝ ℝ دالة معرفة على جمال مفتوحI تنتمي

إذا aعند النقطة cمتلك اية منتهية إ/�� f عن نقول. aإليه نقطة

: حتقق الشرط

حبيث aمركزه A جمال يوجد c مركزه C أجل كل جمالمن

( )f A I C∩ ⊂.


66

)النهاية باملتتاليات( نظرية

f: لتكن I ⊂ →ℝ ℝ مفتوح جمال على معرفة دالةI تنتمي

وفقط إذا إذا a النقطة عند cمنتهية اية f للدالة تكون. aنقطة إليه

) مهما كانت املتتالية : كان )nx من I حنو املتقاربة a فإن

lim ( )nn

f x c→+∞

=.

الربهان

ولتكن. a النقطة عند cاية منتهيةfنفرض أن للدالة: أوال

)متتالية )nx من I حنو متقاربة a، نأ أي:

.0 00, 0 : n n nn x aε ε∀ > ∃ > ≥ ⇒ − <) 1(

: a النقطة عند cمنتهية اية f للدالة أن اآلن نكتب

.0, 0 : ( )x a f x cε α α ε∀ > ∃ > − < ⇒ − <) 2 (

0ε ذلك بعد نعترب 0α خنتار. < )1( يف ε وخنتار العدد) 2( حتقق <

ε: حبيث α= .0 وجود يأيت مث ومنn أي)1(تتحقق حبيث ،

.0 n n nx a α≥ ⇒ − <) 3(

يتضح أن )3(وباالستناد إىل ) 2(بالرجوع إىل

0 n n

( ) .

n

n

x a

f x c

αε

≥ ⇒ − <

⇒ − <

lim وبالتايل ( )nn

f x c→+∞

=.


67

)نفرض أنه مهما كانت املتتالية: : ثانيا )nx من I حنو املتقاربة a فإن

lim ( )nn

f x c→+∞

lim وأن، = ( )x a

f x c→

عن العالقة األخرية بـ نعبر. ≠

.0 00, 0, : ( )x I x a f x cε α α ε∃ > ∀ > ∃ ∈ − < ∧ − ≥

1 لنختر

nα I من nxيوجد عنصر. طبيعي غري منعدم عدد n حيث =

حيقق

.0

1 ( )n nx a f x c

nε− < ∧ − ≥

)متتالية ننشئ وبذلك )nx حنو تتقارب a )1بفضل العالقة nx a

n− < (

lim العالقة حتقق لكنها ال ( )nn

f x c→+∞

)0 ببسب( = )nf x c ε− هذا ).≤

lim فرضنا التناقض يؤدي إىل أن ( )x a

f x c→

. خاطئ ≠

limولذا ( )x a

f x c→

.املطلوب وهو .=

)وحدانية النهاية( نظرية

f: لتكن I ⊂ →ℝ ℝ دالة معرفة على جمال مفتوحI تنتمي

.اية فهي وحيدة f الدالة قبلت إذا. aنقطة إليه


68

الربهان

lim تقبل ايتني دالةال fأن افرض ( )x a

f x c→

و =

lim ( ) 'x a

f x c→

) ولتكن .= )nx حنو متقاربة متتالية a.النظرية يتضح من

lim أن السابقة ( )nn

f x c→+∞

limبفضل( = ( )x a

f x c→

وأن) =

lim ( ) 'nn

f x c→+∞

lim بفضل( = ( ) 'x a

f x c→

وحدانية على واعتمادا). =

) اية املتتالية ) ( )n nf x تأيت املساواة 'c c=.

مالحظة

نتحدث عن النهاية من اليمني إذا استبدلنا يف ما سبق الكتابة

lim ( )x a

f x→

lim بالكتابة ( )x ax a

f x>→

جهة من a يقترب من x أي أن(

من اليسار إذا استبدلنا، ونتحدث عن النهاية)اليمني على احملور احلقيقي

limالكتابة ( )x a

f x→

lim بالكتابة ( )x ax a

f x<→

من a من يقترب x أي أن(

).احلقيقي احملور جهة اليسار على

)النهاية الالمنتهية( تعريف

f: لتكن I ⊂ →ℝ ℝ معرفة على جمال مفتوحدالة I

إىل x يؤول عندما ∞+ إا تؤول إىل f عن نقول. aنقطة إليه تنتمي

a) ونكتبlim ( )x a

f x→

= :إذا حتقق الشرط ) ∞+

.0, 0 : ( )A x a f x Aα α∀ > ∃ > − < ⇒ >

a إىل x يؤول عندما ∞−إا تؤول إىل f عن ونقول

limونكتب( ( )x a

f x→

= : الشرط إذا حتقق) ∞−

.0, 0 : ( )A x a f x Aα α∀ > ∃ > − < ⇒ < −


69

مالحظة

: نذكر شهرية للنهاياتالواص من اخل )أ

f دالتني جمموع اية. 1 g+:نتائج السهل التأكد من صحة من

)قيمة التايل الذي يوضحاجلدول )lim ( ) ( )x a

f x g x→

قيم بداللة +

limالنهايتني ( )x a

f x→

limو ( )x a

g x→

:

−∞ +∞ c lim ( ) x a

f x→

= →

lim ( )x a

g x ↓→=

−∞ +∞ 'c c+ 'c ? +∞ +∞ +∞

−∞ ? −∞ −∞

fاية جداء دالتني. 2 g×: اجلدول من السهل التأكد من صحة نتائج

limالتايل الذي يوضح قيمة ( ) ( )x a

f x g x→

limالنهايتني قيم بداللة × ( )x a

f x→

limو ( )x a

g x→

:

−∞ +∞ 0c = 0c < 0c > lim ( )

x af x

→= →

lim ( )x a

g x ↓→=

−∞ +∞ 0 'c c× 'c c× ' 0c > +∞ −∞ 0 'c c× 'c c× ' 0c < ? ? 0 0 0 ' 0c =

−∞ +∞ ? −∞ +∞ +∞ +∞ −∞ ? +∞ −∞ −∞


70

.اية جداء دالة وعدد . 3 fλ :نتائج التأكد من صحة السهل من

limقيمة التايل الذي يوضحاجلدول . ( )x a

f xλ→

limالنهاية قيم بداللة ( )x a

f x→

: λ والعدد

−∞ +∞ c lim ( ) x a

f x→

= →

λ ↓=

−∞ +∞ cλ × 0λ > +∞ −∞ cλ × 0λ <

1اية مقلوب دالة . 4

fنتائج من السهل التأكد من صحة :

1قيمة التايل الذي يوضحاجلدولlim

( )x a f x→ قيم بداللة

limالنهاية ( )x a

f x→

:

−∞ +∞ 0− 0+ 0c ≠

lim ( )x a

f x→

0 0 −∞ +∞ 1

c 1

lim( )x a f x→


71

ن فيها من حتديد النهاية هناك حاالت ال نتمك: حاالت عدم تعيني . 5

إليك . ملعرفة تلك النهاية ات إضافيةحتريوال بد من ... بالتعويض املباشر

:حاالت من هذا القبيل

∞×0احلالة*

3 حساب: 1ال مث

0

1limx

xx→

×

.

3 عندما نكتب

0 0

1lim lim 0 ( )x x

xx→ →

× = × فإننا ال نستطيع ∞+

3 نستطيع رفع عدم التعيني وحساب نالكن البت،

0

1limx

xx→

×

يلي كما

: 3

0 0

1lim lim 0x x

x x xx→ →

× = =

.

2 حساب: 2مثال 20

1lim

3xx

x→

×

.

2نكتب عندما20 0

1lim lim 0 ( )

3x xx

x→ →× = × فإننا ال نستطيع ∞+

2 ةباكت نستطيعالبت، ورغم ذلك20 0

1 1 1lim lim

3 33x xx

x→ →

× = =

.

∞×0الحظ اختالف النهايتني يف املثالني السابقني، ولذا فاحلالة

.حالة عدم تعيني هي


72

∞ احلالة *∞

حساب :1 لامث2

3limx

x

x→+∞ .

نكتب عندما2

3

lim

limx

x

x

x→+∞

→+∞

+∞=+∞

فإننا ال نستطيع البت، لكننا

وحساب التعيني نستطيع رفع عدم2

3limx

x

x→+∞ :يلي كما

2

3

1lim lim 0x x

x

x x→+∞ →+∞= =.

حساب :2مثال 2

2

3 1limx

x

x→+∞

+ .


2

lim 3 1

limx

x

x

x→+∞

→+∞

+ +∞=+∞

ال نستطيع البت، لكننا فإننا

وحساب التعيني عدم رفع عنستطي2

2

3 1limx

x

x→+∞

�(1 كما + :

2

2 2

3 1 1lim lim 3 3 0 3x x

x

x x→+∞ →+∞

+ = + = + =

.

∞ ولذا فاحلالة، السابقني الحظ اختالف النهايتني يف املثالني∞

هي

.عدم تعيني حالة


73

0 احلالة *

0


20

4limx

x

x→ .


02

0

lim 4 0

lim 0x

x

x

x→

→

فإننا ال نستطيع البت، لكننا نستطيع =

وحساب التعيني رفع عدم2

20

4limx

x

x→ : يلي كما

2

20 0

4lim lim 4 4x x

x

x→ →= =.


20lim

5x

x

x→ .


02

0

lim 0

lim5 0x

x

x

x→

→

البت، لكننا ال نستطيع فإننا =

وحساب التعيني عدم نستطيع رفع2

20lim

5x

x

x→ :يلي كما

2

20 0

1 1lim lim

5 5 5x x

x

x→ →= =.

0 الحظ اختالف النهايتني يف املثالني السابقني، ولذا فاحلالة

0 هي

.تعيني عدم حالة

∞حالة* − ∞

) حساب :1مثال )2 2lim 2x

x x→+∞

− .

2 نكتب عندما 2lim lim 2 ( )x x

x x→+∞ →+∞

− = +∞ − نستطيع فإننا ال ∞+

)البت، لكننا نستطيع رفع عدم التعيني وحساب )2 2lim 2x

x x→+∞

كما −

) :يلي )2 2 2lim 2 lim ( )x x

x x x→+∞ →+∞

− = − = −∞.


74

) حساب :2مثال )2 2limx

x x→+∞

− .

2 نكتب عندما 2lim lim ( )x x

x x→+∞ →+∞

− = +∞ − ال نستطيع فإننا ∞+

)وحساب التعيني عدم رفع نستطيع البت، لكننا )2 2limx

x x→+∞

يلي كما −

:( )2 2lim 2 lim 0 0x x

x x→+∞ →+∞

− = =.

∞ الحظ اختالف النهايتني يف املثالني السابقني، ولذا فاحلالة − ∞

.تعيني عدم حالة هي

: نذكر بوجه خاص شهريةالنهايات ومن ال) ب

0

0

20

0

0

sinlim 1,

tanlim 1,

1 cos 1lim ,

2ln(1 )

lim 1,

1lim 1.

x

x

x

x

x

x

x

xx

xx

xx

x

e

x

→

→

→

→

→

=

=

− =

+ =

−=

مثال

x حساب

xx

1

0)1(lim +

→ :لدينا .

.lim)1(lim)1ln(

0

1

0eex x

x

x

x

x==+

+

→→


75

: االستمرار. 4

ب فكرة ؟ نستطيع أن نقر دالة) أو اتصال(ما معىن استمرار

استمرار وضعية إذا ول إننا نتحدث يف اللغة العامة عناالستمرار بالق

وبنفس املنظور نقول. تواصلت دون حدوث انقطعات مفاجئة يف مسريا

xfy)(" دالة عن يطرأ على "طفيف"مستمرة إن كان أي تغير إا "=

ر كيف نعبy . لـ - أي تغري طفيف-مماثل سلوك يواكبه xاملتغري

بالدقة الرياضية الالزمة عن هذا املفهوم؟

)االستمرار( تعريف

f: لتكن I ⊂ →ℝ ℝ معرفة على جمال مفتوح دالة I

إذا حتقق a مرة عندمست إ/�� f عن نقول. a نقطة إليه تنتمي

:الشرطان

lim النهاية. 1 ( )x a

f x→

).ℝ يف (موجودة

2 .lim ( ) ( )x a

f x f a→

=.

مالحظة

limالعالقة السابق التعريف يف استبدلنا إذا) 1 ( ) ( )x a

f x f a→

=

limبالعالقة ( ) ( )x a

f x f a>→

. a عند اليمني من مستمر fإن نقول =

limبالعالقة العالقة تلك استبدلنا وإذا ( ) ( )x a

f x f a<→

fإن نقول =

.aعند اليسار من مستمر


76

2( ر عن هذا التعريف رمزيا نعب)يسميه البعض التعريف بـ δε −

αε أو -1843( شفارتز-)1857-1789( بطريقة كوشي) −

1921( Cauchy-Schwarz بـ :

.εααε <−⇒<−>∃>∀ )()( :0 ,0 afxfax

كانت الدالة مستمرة عند كل نقطة إن I ف االستمرار على االنعرو

)من اليمني أو من اليسار(من جهة واحدة ف االستمرارونعرI . من

ax بالقيد a حنو x بتقييد مآل ax أو < فإن احلال وبطبيعة. >

.النقطة تلك جهيت من ااستمرار هناك أن يعين نقطة عند االستمرار

αε كيف نفسر العالقة −:

εααε <−⇒<−>∃>∀ )()( :0 ,0 afxfax

؟a عند f اليت تعرب عن استمرار

−>ε أن أوال نالحظ )()( afxf أنب تعين )(xf لجما إىل تنتمي

[ وهو ،af)( مركزه [εε +− )(,)( afaf . كما أنα<− ax أن عينت

x مركزه ينتمي إىل جمال a، وهو ] [αα +− aa فالعالقة وبالتايل. ,

تقول االستمرار عن رةاملعب:

كان مهما

af)( اال الذي مركزه

فإنه يوجد

.af)( حمتواة يف اال الذي مركزه صورته a جمال مركزه


77

:وهذا يعين

.a توي جماال مركزهحت af)( الصورة العكسية ألي جمال مركزه

مركزه جماال حتتوي جمموعة أنه على نقطة جوار نعرف دمنا وما

: بأن القول نستطيع فإننا النقطة تلك

a عند f استمرار

يعين

.a لـ جوار هو af)( الصورة العكسية لكل جوار لـ

مالحظة

وإن مل . مفتوحا يف التعريف السابق I من املهم أن يكون اال

a ن النقطةإالتعريف شرطا يقول يكن األمر كذلك فال بد أن نضيف يف

ax الكتابة فإن ذلك وبدون. I تنتمي إىل جمال مفتوح حمتوى يف →

يف الشرطني الواردين يف التعريف قد تؤدي إىل limالرمز حتت الظاهرة

جمموعة يف x عدم ضمان مكوث قيم يف التناقض هذا ويتمثل. تناقض

جيوز لنا يف هذه احلالة كتابة وكيف. a من x يقترب عندما f تعريف

)(xf!! ؟

وعلى الرغم من الطابع املنطقي واحلدسي ملفهوم النهاية

للتلميذ بالنسبة اإلدراكواالستمرار فإن التجربة تثبت بأنه مفهوم صعب

-التجربة اليت عرفتها الرياضيات قبل عهد كوشيأن لب كما الطوا


78

رون قبل أن يهتدوا قرون ينظعدة فارتز تؤكد ذلك إذ ظل الرياضيون ش

.إىل ما وصلنا إليه اآلن خبصوص هذا املفهوم

مثل دوال كثريات (لعل البعض يعترب أن كل الدوال مستمرة

ريتمية والدالة اغتني والدالة اللوياحلدود ودالة اجليب وجيب التمام املثلث

منها غري مستمرة فعدم استمرارها ال وإن وجدنا بعضا...) األسية،

إليك بعض األمثلة . للعدةقابليف جمموعة حيدث إال يف نقاط معدودات أو

:يف هذا السياق

1 مثال

املعرفة بـ�� ا ا��

≤>

=.0: 1

0: 0)(

x

xxf

. 0 يف النقطةما عدايف كل مكان مستمرة

0

1

34�ن ا��ا�� f


79

2مثال

ما حدث يفالنظر يف املثال السابق ونكرر تصور اآلن أننا نعيد

أي أننا نعترب الدالة ، تساوي عددا صحيحاxكل قيمة لـ عند 0

اد كيفي من جمموعة األعد لعنصر n حيث يشري( كما يليمثال املعرفة

:)الصحيحة

1)( =xg أجل من [ [12,2 +∈ nnx

0)( =xg أجل من [ [22,12 ++∈ nnx

جمموعة هذه النقاط . ه من النقاطتإا دالة غري مستمرة عند عدد غري من

.هي جمموعة األعداد الصحيحة

g ا��ا�� بيان


80

3مثال

يشري حيث كالتايل ℝ فكري يف الدالة املعرفة على االميكن أيضا الت

[ ]x الصحيح لـ اجلزء إىل x : [ ]xxu =)(

.ما عدا عند قيم جمموعة األعداد الصحيحة مستمرة u إن الدالة

4مثال

هل توجد دالة ليست مستمرة يف أية نقطة : نطرح السؤال التايل

اليوم ولذا حبث فيه أسالفنا واهتدوا إىل ؟ هذا السؤال ليس وليدℝ على

موعة ℚ خذ مثال الدالة التالية حيث يرمز. إنشاء دالة من هذا القبيل

:الناطقة األعداد 0 :

( )1 : .

xv x

x

∈= ∉

ℚ

ℚ

.ℝ نقطة منيف أيةأا دالة ال ميكن رسم بياا وهي غري مستمرة الحظ

.للقارئ النظرية التالية تاركني برهاا هذا املقطع بتقدمي ننهي دعنا

u ا��ا�� بيان


81

)استمرار تركيب الدوال( نظرية

f:و ℝ من جزءين Bو A ليكن A B→ و :g B →ℝ

.A من نقطة a و دالتني

: الشرطني قيام نفرض

1( f عند مستمر a،

2( g عند مستمر ( )f a.

g: الدالة تكون عندئذ f A →� ℝ عند مستمرة a .

)االستمرار على متراص( نظرية

] على متراص مستمرة fكل دالة ]ba, حمدودة وتدرك دالة

.حديها األعلى واألدىن

الربهان

] ومستمرة علىمن األعلى غري حمدودة f أن نفرض) 1 ]ba, .

ل كل عدد من أج. النظرية السابقة حسببانتظام ا مستمرةالحظ أ

] من nx عنصر يوجد n طبيعي ]ba, حبيث nxf n كانت وملا .)(<

نا نستطيع أن فإن) حبكم اننتمائها إىل جمال حمدود(حمدودة nx املتتالية

نستخرج منها متتالية جزئية knx ايتها متقاربةو x تنتمي إىل [ ]ba,

bxa ألنkn من جهة لدينا : يف يتمثل تناقض على حنصل مث ومن .≥≥

.+∞<=+∞→

)()(lim xfxfk

k

nn


82

kn ومن جهة أخرى تؤدي العالقة nxfk

إىل )(<

.+∞=+∞→

)(limk

k

nn

xf

.األعلى من حمدودة f فالدالة وبالتايل

األدىن شبيه بالربهان على احملدودية من من حمدودة f على أن الربهان*

. قدم تفاصيل الربهان على احملدودية من األدىن. األعلى

على املستمرة f ن أن الدالةاآلن م أكدبالت ا�6+ه�ن نواصل

[ ]ba, نقطة حدها األعلى، أي أنه توجد تدرك ξ من [ ]ba, حبيث

[ ])(sup)(

,xff

bax∈=ξ.

نعلم مما سبق أن: نقدم برهانا باخللف [ ]

)(sup,

xfbax∈

لنضع. ℝ يف موجود

[ ]sxf

bax=

∈)(sup

, أن نفرضول

.[ ] sxfbax <∈∀ )( :, ] على املعرفة u أن الدالة نالحظ ]ba,بـ

)(

1)(

xfsxu

−=

] على مستمرة دالة ]ba, .مرة بانتظام وحمدودة علىفهي مست مث ومن

[ ]ba, .نضع [ ]

txubax

=∈

)(sup,

من املؤكد أن.

.[ ] 0)(

1)( :, >

−=∈∀

xfsxubax

و t<0 وعليه

.[ ] txubax ≤<∈∀ )( 0 :,


83

ينتج ومنه

.[ ] st

sfbax <−≤∈∀ 1(x) :,

وهذا يتناىف مع القول إن[ ]

sxfbax

=∈

)(sup,

التناقض ناجم من هذا .

] افتراضنا ] sxfbax <∈∀ )( :,

] من ξ لنقطة وجود الالذي يعين أنه ]ba, حبيث [ ]

)(sup)(,

xffbax∈

=ξ.

.األعلى حده يدرك fفإن إذن

.األدىن حلده f إدراك تفاصيل قدم *

مالحظة

للتأكد من ذلك . يف هذه النظريةةمهم اال أن حمدودية الحظ

اال دالة الظل على: خذ مثال إحدى الدالتني

−2

,2

ππ أو الدالةg

[ على املعرفة بـ 1,0[x

xg1

)( =.

كد من ذلك اعترب للتأ. ال مهم يف النظرية السابقةأن غلق اأيضا الحظ

] املعرفة على اال hالدالة أو gكمثال الدالة xxh بـ 2004,1] =)(

.املعترب اال يف األعلى حدها فهي ال تدرك

النتيجة املستمرة الدوال موضوع أيضا يف مةامله النظريات من

ألول مرة خالل الربع األول عليها برهن اليت الوسطى القيم نظرية التالية

تقول هذه . والفرنسي كوشيالقرن التاسع عشر التشيكي بولزانومن

إننا ال نستطيع املرور من ضفة إىل أخرى عرب - بتعبري بسيط – النظرية

إذا : ونعبر عن ذلك رياضيا بالقول . تبتل أقدامنار بدون قفز ودون أن


84

bو aأخذت دالة مستمرة ملتغري واحد إشارتني خمتلفتني عند قيمتني

ام وهو. bو aهذه الدالة تنعدم، على األقل مرة واحدة، بنين إف

:التايل املألوف النص يقول

)نقطة انعدام( نظرية

] دالة مستمرة على جمال متراص f لتكن ]ba,. إن كان

0)().( <bfaf فإنه توجد نقطة c من [ ]ba, 0 حبيث)( =cf.

الربهان

)(0 مثال بأن لنفرض >af )0 ومنه سيكون)( <bf .(ولنضع

[ ]{ }0)(:, >∈= xfbaxX و Xc sup= .ن أن0 ولنبي)( =cf.

bca أن من الواضح )(0 كان فلو .>> ≠cf جمال لوجد

وضح ( fاستمرار بفضل ذلكو ،بإشارا املوجبة fفيه حتتفظ c مركزه

Xc القول يناقض وهذا .)ذلك sup= النقطة يعرف الذي c .وبالتايل

0)( =cf. هذا التعميم نستنتج من ذلك:

)نظرية النقطة املتوسطة( نظرية

f: لتكن I ⊂ →ℝ ℝ كيفي جمال على مستمرة دالة I .

)( ولتكن 1xf و )( 2xf لـ قيمتني f 21 حيث xx < .

)( بني %89"ر c عندئذ من أجل كل عنصر 1xf و )( 2xf

[ من اال 0x عنصر يوجد [21, xx حيقق cxf =)( 0.


85

مالحظة

كما . ستمرة هي أيضا جمالمن ذلك أن صورة جمال عرب دالة م ينتج

]اال تراص سبقتها يف حالة واليت النظرية هذه ينتج من ]ba, أن صورة

االهذا اال هي [ ] [ ]

∈∈

)(inf),(sup,,

xfxfbaxbax

.


86

: االشتقاق. 5

)مشتق تابع عند نقطة( تعريف

و ليكن. I من نقطة 0xو ℝجماال مفتوحا من I ليكن

:f I → ℝ تابعا حقيقيا.

إذا كانت النهاية 0x النقطة� � إنه قابل لالشتقاق f عن نقول

0

0)()(lim

0 xxxfxf

xx −−

→

f للتابع)أو املشتق (تسمى هذه النهاية العدد املشتق .موجودة و منتهية

')(بالرمز هلا نرمز و 0xالنقطة عند 0xfأي ،

.)()(

lim)()(

lim)('00

00

00

0 hxfhxf

xxxfxf

xfhxx

−+=−−=

→→

ةمالحظ

، 0x نقطة عند f وحدانية النهاية أن مشتق تابع مننستنتج

.)إن وجد (وحيد

بكتابة تعريف املشتقتضح من ي

),()(')()(

00

0xxf

xxxfxf ε+=−

−

lim)(0 حيث0

=→

xxx

ε.


87

أمثلة

')(0 فإن ثابتا f إذا كان - =xf كان مهما x منℝ.

xxfإذا كان - ')(1 فإن )(= =xf كان مهما x منℝ.

xxfليكن =)( .� �� 21)1(' =f ،ألن

1

( ) (1) 1 1 ( ) (1) 1lim

1 1 1 21 x

f x f x f x f

x x xx →

− − −= = ⇒ =− − −+

)املشتق من اليمني و املشتق من اليسار( تعريف

املشتق من اليمني و املشتق من اليسار جماال مفتوحا من I ليكن

ℝ 0وx نقطة منI .

f: و ليكن I → ℝ حقيقيا تابعا.

النسبة إذا قبلت. 10

0)()(xx

xfxf− 0xعند اليمني اية منتهية من −

هذه النهاية املشتق تسمى. 0xعند اليمني من االشتقاق يقبل fإن نقول

')( نرمز هلا بـمن اليمني، و 0xf d.

إذا قبلت النسبة. 20

0)()(xx

xfxf− عند اية منتهية من اليسار −

0x إن نقولf 0عند اليسار شتقاق منيقبل االx.

')( تسمى هذه النهاية املشتق من اليسار و نرمز هلا بـ 0xf g.

: مالحظات

fأن يكون ويكفي يلزم 0x قابال لالشتقاق عندfحىت يكون

.0xعند اليسار منلالشتقاق من اليمني و بالقا


88

دون 0xعند لالشتقاق من اليمني ومن اليسار قابال fيكون قد

. 0xعند لالشتقاق قابال يكون أن

ليكن : شتقني ميينا يسارالتابع ال يقبل االشتقاق مع قبوله للم مثال

xxf .0 عند لالشتقاق f قابلية لندرس. )(=

→ →1

0)0()(

lim,10

)0()(lim

00−=−

−=−−

<> xfxf

xfxf

xx

قابل غري لكنه 0 عند اليسار ومن اليمني من االشتقاق fيقبل إذن

. 0 دعن لالشتقاق

: للمشتقالتفسري اهلندسي

معلم إىل منسوب مستو يف fللتابع البياين املنحين C)( ليكن

),,( jio،0M املنحين من نقطة )(C 0فاصلتهاx.

مماسا، عند يقبل C)( نإف، 0xعند لالشتقاق قابال fكان إذا

معادلته ،0Mالنقطة

هو 0xالفاصلة ذات طةالنق عند f التابع منحين مماس ميل

.0xعند f لتابعا مشتق

0x عند)من اليسار، على التوايل(اليمني من لالشتقاق قابال fإذا كان

من اليسار، على (نصف مماس من اليمني ، 0Mالنقطة دعن، يقبل C)(نإف

')( معامل توجيهه)التوايل 0xf d ))(' 0xf g ،التوايل على(.

0 0 0( ) ' ( )( ).y f x f x x x= + −


89

النسبة اية كانت إذا0

0)()(xx

xfxf− نإف 0x عند منتهية غري −

)(C 0يقبل، عند النقطةM ،ا %"مماسا ��)'( لـز oyy.

: أمثلة

ميل، o)0,0( مماس، عند النقطة نصفي يقبل ֏xx التابع

.1– و ميل اآلخر 1 أحدمها

ألن 0 قاق من اليمني عندال يقبل االشت ֏xxالتابع

+∞==++ →→ xx

xxx

1limlim00

)'( مواز لـ مماس نصف يقبل ֏xxللتابع البياين املنحين إذن oyy.

)قابلية االشتقاق واالستمرار( قضية

.النقطة هذه عند مستمر فإنه 0xقابال لالشتقاق عند fإذا كان

: الربهان

أي 0xعند لالشتقاق قابال f ليكن

.)(')()(lim 00

0

0xf

xxxfxf

xx=−

−→

إذن

),()(')()(

00

0xxf

xxxfxf ε+=−

−

lim)(0 حيث0

=→

xxx

ε .نستنتج أن

).()(')()()( 000 xxfxxxfxf ε+−+= جند 0x يؤول إىلxاية الطرفني ملا بأخذ

).()(lim 00

xfxfxx

=→

.0xعند مستمر f أن أي


90

: مالحظة

ميكن أن يكون تابع .ية للقضية السابقة خاطئة العكسالقضية

: ذلك مثل. تلك النقطةتقاق عندمستمرا عند نقطة دون أن يقبل االش

.0 عند لكنه ال يقبل االشتقاق ،0 عند مستمر ֏xx التابع

)مشتق تركيب تابعني( نظرية

لالشتقاق قابال تابعا g و 0xعند لالشتقاق قابال تابعا fليكن

)(عند 0xf .

ولدينا ،0x عند االشتقاق �fgالتابع يقبل عندئذ[ ] ).(')(')()'( 000 xfxfgxfg ⋅=�

: الربهان

)(عند االشتقاق يقبل g مبا أن التابع 0xf فإن

),())((')(

))(()(0

0

0yxfg

xfyxfgyg ε+=−

−

lim)(0 حيث)( 0

=→

yxfy

ε.

lim)()( إذن ،مستمر f التابع 00

xfxfxx

=→

جند=xfy)( بأخذ .

)).(())((')()(

))(())((0

0

0xfxfg

xfxfxfgxfg ε+=−

−

أي

.[ ]))(())((')()())(())((

00

0

0

0xfxfg

xxxfxf

xxxfgxfg ε+−

−=−−

حنصل على 0xإىل يؤول xجبعل

.[ ] )(')(')()'( 000 xfxfgxfg ⋅=�


91

: مثال

xxf مشتق التابعحساب lnsin)( [ من أجل .= [+∞∈ ,1x

: لدينا

' ( ) ( ln ) 'cos lnf x x x=

xx

xlncos

ln2

)'(ln=

.xxx

lncosln2

1=

)مشتق تابع عكسي( نظرية

وقابال ،J جمال يف Iمستمرا على جمالو تقابليا تطبيقا fيكنل

')(0 إذا كان .Iمن 0xلالشتقاق عند 0 ≠xf1العكسي التابع فإن−f يقبل

)(عند الشتقاقا 0xf، لديناو:

.)('

1))(()'(0

01

xfxff =−

: الربهان

1)( نضع ∋Jtأجل من tfx :لدينا. =xft)(، إذن =−

)()()()(

0

0

0

011

xfxfxx

tttftf

−−=−

− −−

0

0)()(1

xxxfxf

−−=

lim)()( فإن 0t عند مستمر f−1مبا أن التابع 0110

tftftt

−−→

0 أي =0

lim xxtt

=→

.

')(0 و0x عند الشتقاقا يقبل fأن كما 0 ≠xf .إذن

.)('

1)()(lim

00

011

0 xftttftf

tt=−

− −−

→

.و هو املطلوب


92

: مالحظة

')(0كانا ذإ 0 =xf 1للتابع البياين املنحين فإن−f يقبل، عند

)(النقطة 00 xft .'oyy لـ موازيا مماسا، =

: مثال

[ املفتوح اال على arcsin حساب مشتق التابع لدينا .−1,1]

)(arcsinsin'1arcsin'

xx=

)cos(arcsin

1x

=

1cossin باستخدام العالقة املثلثية الشهرية 22 =+ ααجند ،

22 1)(arcsinsin1)cos(arcsin xxx −=−=

منهو

] [21

1arcsin',1,1x

xx−

=−∈∀

[ املفتوح اال على arccos ا�#�4<مشتق حنسب الطريقة بنفس [1,1−

فنجد

] [

211arccos',1,1x

xx−−=−∈∀


93

)املشتقات ذات الرتب العليا (تعريف

.Iجمال على لالشتقاق قابال تابعا f ليكن

،مشتقا من الرتبة الثانية يقبل fإن نقول Iعلى االشتقاق f'قبل إذا

.f''بالرمز الثاين للمشتق ونرمز

: مالحظة

بالرمز له نرمزو ، fلـ n ا�AB#@ %� ا�+?6�بالتراجع نعرف)(nf،�$�)1(التابع مشتق وه" ?,+ −nf أي

( ) ( 1), ( ) 'n nn f f∗ −∀ ∈ =ℕ

إن نقول مستمرا nf)(وكان املشتق مرة n لالشتقاق قابال fآ�نإذا

نقول و.باستمرار مرة nلالشتقاق قابل أو إنه ،nC الصنف من fالتابع

.مستمرا كان إذا 0Cالصنف من إنه fعن

)قيمة قصوىشرط الزم لوجود ( نظرية

')(كانو 0x قيمة قصوى عند النقطة fإذا كان للتابع 0xf

')(0فإن موجودا 0 =xf.

: مالحظات

')(0 إذا كان: خاطئة العكسية القضية إن 0 =xf قبول فإنf

النقطة عند ֏3xx التابع مثال ذلك. قصوى ليس أمرا مؤكدا لقيمة

00=x : 0)0(' =f 3حني أن التابع يفxx֏ ال يقبل أية قيمة قصوى.


94

أن يكون قابال لالشتقاق دون 0xلتابع أن يقبل قيمة قصوى عند ميكن

الذي الوقت يف x=00عند صغرى قيمة يقبل ֏xxالتابع مثال. 0xعند

.فيه االشتقاق عند هذه النقطة يقبل ال

))Rolle) 1652-1719رول ( نظرية

] ليكن ]: ,f a b → ℝ ا وقابال لالشتقاق علىمستمر تابعا ] [ba,

)()( حبيث bfaf =.

[ نقطة توجد عندئذ [bac ')(0 حتقق ∋, =cf.

: الربهان

]اال على مستمر fالتابع ]ba, حمدود وحداه فهو ولذاm

.Mو

[منهو .ثابتf التابع فإن =Mmكان إذا [ 0)(',, =∈∀ cfbac.

عند حديه أحد األقل على يدرك f التابع فإن ≠Mmكان إذا

أي ،b و aعن خمتلفة cقطةن

.] [ 0)(',, =∈∃ cfbac : مالحظة

)()(0كان إذا == bfaf على الشكل نظرية رول ميكننا صياغة :

للتابع األقل على صفر يوجد fبني كل صفرين للتابع القابل لالشتقاق

'f.


95

)املنتهية التزايدات( نظرية

] ليكن ]: ,f a b → ℝ على قابال لالشتقاقمستمرا و تابعا ] [ba,.

[عندئذ توجد نقطة [bac حتقق ∋,).(')()()( cfabafbf −=−

: هانالرب

نضع. نظرية رولمنالنظرية E? FG?1 ه

).()()(

)()()( axab

afbfafxfx −−

−−−=φ

] على مستمر φ التابع ]ba, وقابل لالشتقاق على ] [ba,. ولدينا

0)()( == ba φφ. [يوجد رول نظرية حسب [bac ')(0حيقق ∋, =cφ أي:

.0)()(

)(' =−−−

abafbf

cf

:و منه).(')()()( cfabafbf −=−

) )1704-1661 (قاعدة لوبيتال(نظرية

]على اال مستمرين تابعني g وfليكن ]ba, وقابلني لالشتقاق

[على [ba,. وليكن] [bax ,0∈ .

GH� �

.lxgxgxfxf

lxgxf

xxxx=−

−⇒=

→→ )()()()(

lim)(')('

lim0

0

00

.)املعممة(نظرية التزايدات املنتهية يأيت من : الربهان

��ا� ��ب ا� : 3ا��

99

: مقدمة. 1

يف الرياضيات وباقي الفروع يعترب احلساب التكاملي أداة فعالة سمح يف الكثري من احلاالت باحلصول على نتائج هامة تتعلق العلمية إذ ي وقيم أخرى ذات طابع فيزيائي أو املساحات واحلجومو األطوالحبساب

هذا ليست وليدة مسائل حساب املساحات واملالحظ أن . اقتصادي، اخلإىل العصور القدمية، أما احلساب التكاملي العصر بل يعود طرحها السابع األخرية بدءا من القرن ن والقرإنتاج مبفهومه احلديث فهو من

لوبيغ (إىل يومنا هذا ) Leibniz واليبنتزNewtonنيوتن (عشر Lebesgueبوخنري ،Bochner بيتيس ،Pettis.(...

��ا� ��ب ا� : 3ا��

100

: تكامل رميان. 2

الناحية العملية تقدمي تكامل رميان على أنه ينطلق من ميكن مناحلاجة إىل التعبري عن مساحة منحصرة بني بيان تابع وحمور الفواصل

فاملساحة الداكنة املبينة أدناه ميكن متثيلها بتكامل . ومستقيمني شاقوليني] على اال fالدالة ],a b:

دوال لكن التعريف الدقيق هلذا التكامل يتطلب منا االنطالق من

فما هي هذه الدوال؟. الدوال الدرجية بسيطة تسمى

)الدالة الدرجية (تعريف

]ليكن ],I a b= جماال من ℝ . f:نقول عن دالة I → ℝا درجية إذاوجدت تقسيمة إ

0 1 2 .... na a a a b= < < < < حبيث يكون I للمجال =

[ [10,... 1, : , , ( ) .i i i ii n c x a a f x c+∀ = − ∃ ∈ ∀ ∈ =ℝ

��ا� ��ب ا� : 3ا��

101

: مالحظة]ميكن يف الكتابة السابقة تعويض [1,i ia a [ بـ + [1,i ia a +

,...,0 النقاط عند f قيم لـ أية واعتبار 1( )i i na = −. fالحظ أننا نستطيع التعبري عن املساحة املنحصرة بني بيان تابع

xوحمور الفواصل واملستقيمني الشاقوليني املعرفني باملعادلتني a= و x b= ا تساوي : كما يليإ

.1

10

( )n

i i ii

c a a−

+=

−∑

: ونكتب 1

10

( ) ( )nb

i i iai

f x dx c a a−

+=

= من املهم أن تالحظ . ∫∑−

النقاط عند fال تتعلق بقيم ) أي املساحة(أيضا أن هذا التكامل

0,..., 1( )i i na = − . وهناك مرحلة . رميانتلك هي املرحلة األوىل املؤدية إىل تكامل

ثانية نود املرور عليها مر الكرام، وهي تتعلق بتكامل فئة من الدوال وتطلق هذه الصفة على كل دالة ميكن احلصول ". املسواة"تسمى الدوال لن نتوقف عند هذه الفئة من . ملتتالية دوال درجية) منتظمة(عليها كنهاية

مل تذكر يف و( نتطرق إليها تتطلب إدخال مفاهيم ملاالدوال ألن تفاصيله ).الربنامج

وتعريف تكامل رميان الذي سنقدمه بعد حني من أجل تابع

ذلك . مستمر أو مستمر بتقطع يصدق على هذه الفئة من الدوال أيضا

��ا� ��ب ا� : 3ا��

102

العكس غري " (مسواة"أن الدوال املستمرة واملستمرة بتقطع دوال ).صحيح

ومن بني األسئلة .ويبحث الرياضيون يف تعميم مفهوم املكاملةوإذا كان إدخال . املطروحة هي إجياد أكرب جمموعة توابع تقبل املكاملة

مفهوم التوابع املسواة قد أجاب على جزء من السؤال فإننا نالحظ أن مثال . هناك توابع مسواة ورغم ذلك فهي ال تقبل املكاملة مبفهوم رميان

]ذلك التابع املعرف على اال 1 بـ 0,1[( ) 1fn

n* من أجل = ∈ℕ

] اال نقاط باقي يف املنعدمةو يقبل املكاملة مبفهوم هذا التابع.0,1[ .رميان رغم أنه غري مسوى

ولعل القارئ يتساءل عما إذا كانت هناك فائدة جادة من وراء

تثبت الرياضيات . حث عن مكاملة مثل تلك الدوال غري املألوفةالب مبعىن أننا مطالبني بالبحث عن .املتقدمة أن األمر ال يتعلق بعبث رياضيولذلك أدخلت عدة مفاهيم . مكاملة توابع أعم من التوابع املسواة

الذي يسمح مبكاملة فئة Lebesgueللمكاملة أمهها تكامل لوبيغ أن ينبغي أن نالحظ بأن تكاملي رميان ولوبيغ يتطلبان . بعأوسع من التوا

وبطبيعة احلال فقد سعى الرياضيون إىل . يكون فضاء وصول الدالة مرتباتعميم مفهوم املكاملة إىل احلالة اليت يكون فيها فضاء الوصول غري

.Bochnerمرتب، ذلك ما قام به مثال بوخنر

��ا� ��ب ا� : 3ا��

103

يف الربنامج املسطر وعلى الرغم من أن تكامل لوبيغ ليس للمفتشني إال أن أمهيته يف التحليل الرياضي كبرية جدا، وهو األكثر

" املرور إىل النهاية" يسمح بإجراء عملية هتداوال يف الرياضيات احلديثة ألنبدون تعقيدات ) كاملبادلة بني رمز التكامل والنهاية يف العالقات الرياضية(

. رميانمقارنة بتكامل

احية التارخيية فقد انطلق لوبيغ من تكامل رميان إلنشاء ومن النيقول لوبيغ يف مقارنة مفهومي تكامل . التكامل الذي حيمل اليوم امسه

ميكنين أن أخرج من . لغ معنيتصور أن علي دفع مب: " رميان مع تكامله حىت يصبح جمموعها ، بالصدفةقطعا الواحدة تلو األخرى، نقودي حمفظة

كما ميكنين أن أخرج كل نقودي دفعة واحدة، . بلغ املطلوبمساويا للمواختار منها القطع حسب قيمها ليكون جمموعها مساويا للمبلغ

."املطلوب

مث يقول لوبيغ إن الطريقة األوىل هي تكامل رميان، أما الطريقة مبعىن أن تكامل لوبيغ ميسح أفقيا القطعة . الثانية فهي تكامل لوبيغ

ويقيس ) fاملعرفة عليها الدالة (ليت جنري عليها املكاملة املستقيمة ا" حجم"أما تكامل لوبيغ فيعترب . الواحد تلو اآلخر" االرتفاعات"

fاموعات احملصورة بني y=تكامل لوبيغ وقد مسح . وحمور الفواصل . هو نظرية القياسبظهور فرع جديد يف الرياضيات و

��ا� ��ب ا� : 3ا��

104

)جمموع رميان (تعريف

]ليكن ],I a b= جماال من ℝ . ولتكن

{ }0 1 2 ....n nd a a a a b= = < < < < . I تقسيمة للمجال =f:ولتكن دالة I → ℝنسمي. حمدودة

1

10

( , , ) ( )( )n

n i i ii

R f d c f c a a−

+=

= −∑

�[ ]1,i i ic a a n* �� أ�� آ� ∋+ ∈ℕ �� ع ر��ن�� ،f

�,...,0 و�� ا�)"�ط ndو%$ ا��"! 1( )i i nc c = −=.

: مالحظة

ل ميث 1

10

( , , ) ( )( )n

n i i ii

R f d c f c a a−

+=

= جمموع مساحات ∑−

1iاملستطيالت اليت بعداها ia a+ ) و − )if c كما هو موضح يف الشكل : أدناه

��ا� ��ب ا� : 3ا��

105

)تكامل رميان (تعريف

]ليكن ],I a b= جماال من ℝ و :f I → ℝإذا . دالة حمدودة

كانت اية جمموع رميان 1

10

( , , ) ( )( )n

n i i ii

R f d c f c a a−

+=

= موجودة ∑−

)*وال تتعلق باختيار متتالية التقسيمات )n nd

∈ℕواختيار مجلة النقاط

0,..., 1( )i i nc c = I يقبل املكاملة على اال fفإننا نقول إن التابع =− :) تعريفا (وتكامل رميان هلذا التابع هو. مبفهوم رميان

.lim ( , , ) ( )b

n anR f d c f x dx

→+∞= ∫

: مالحظة] يقبل املكاملة على اال fنا نعلم أن التابع إذا ك ],I a b= مبفهوم

رميان فإننا نستطيع اختيار متتالية تقسيمات

{ }0 1 2 ....n nd a a a a b= = < < < < : متجانسة، أي متساوية اخلطوة=

1i i

b aa a

n+−− i,...,0 من أجل كل = n= . يف حالة (وعندئذ يكون

) : وجود تكامل رميان

1

10

1

0

( ) lim ( , , )

lim ( )( )

lim ( ).

b

na n

n

i i ini

n

in

i

f x dx R f d c

f c a a

b af c

n

→+∞

−

+→+∞ =

−

→+∞ =

=

= −

−=

∫

∑

∑

iوإذا ما اخترنا يف العالقة السابقة i

b ac a a i

n

−= = من +

) :يف حالة وجود التكامل( فإننا حنصل على العالقة التالية iأجل كل

.1

0

1( ) ( ) lim . ( )

nb

a ni

b af x dx b a f a i

n n

−

→+∞ =

−= − +∑∫

��ا� ��ب ا� : 3ا��

106

نؤكد على أن قيام هذه العالقة ال تؤدي حتما إىل وجود تكامل .رميان

: مالحظة

: ونضع نعترب تقسيمة متجانسة

( )0 1 1( ) ( ) ... ( )n n

b aI f a f x f x

n −−= + + +

.( )1( ) ... ( )n n

b aJ f x f x

n

−= + +

نالحظ أن

( )

( )

0( ) ( )

( ) ( ) .

n n n

b aJ I f a f a

nb a

f b f an

−− = −

−= −

) وأن )lim ( ) ( ) 0n

b af b f a

n→+∞

− − =

متقاربة فإن األمر كذلك بالنسبة nIرضا أن املتتاليةفإذا افت

ويف حالة التقارب حنصل على املساواة . ، والعكس بالعكسnJللمتتالية

( ) lim limb

n na n nf x dx I J

→+∞ →+∞= =∫.

��ا� ��ب ا� : 3ا��

107

: مثال

1احسب التكامل 2

0x dx∫وجود باعتبار أنه م.

علما أن ( نستعمل تقسيمة متجانسة فيأيت 1

2

0

( 1)(2 1)

6

n

i

n n ni

−

=

− −=∑ ( 11 2

00

1

0

1

0

21

20

(1 0) (1 0)lim 0

(1 0) (1 0)lim 0

1lim

1lim

n

ni

n

ni

n

ni

n

ni

x dx f in n

f in n

if

n n

i

n n

−

→+∞ =

−

→+∞ =

−

→+∞ =

−

→+∞ =

− − = +

− − = +

=

=

∑∫

∑

∑

∑

أي11 2 2

300

3

1lim

( 1)(2 1)lim

62

61

.3

n

ni

n

x dx in

n n n

n

−

→+∞ =

→+∞

=

− −=

=

=

∑∫

تقدم النظرية التالية شرطا الزما وكاف لكي يقبل تابع حمدود

.املكاملة على جمال متراص

��ا� ��ب ا� : 3ا��

108

)Darbouxداربو (نظرية

. السابقةحنافظ على الرموز]ليكن ]: ,f a b → ℝنضع. تابعا حمدودا

,[ ]1

1

1,0

( , ) ( ). sup ( )i i i

n

n i i ix a ai

S f d a a f x+

−

+∈=

= −∑

.[ ]1

1

1,

0

( , ) ( ). inf ( )i i i

n

n i i ix a a

i

s f d a a f x+

−

+ ∈== −∑

)يسمى , )nS f dو ( , )ns f dجمموعي داربو العلوي والسفلي . ]يكون ]: ,f a b → ℝة إذا وفقط إذا كان قابال للمكامل

.0, : ( , ) ( , )n n nd S f d s f dε ε∀ > ∃ − <

:تطبيقا لنظرية داربو نقدم النتيجة التالية

نظرية

]كل تابع ]: ,f a b → ℝرتيب يقبل املكاملة .

: الربهان فنالحظ أن. متزايد متاماfنفرض مثال أن. نطبق نظرية داربو

[ ]1

1 1

1 1 1,0 0

( , ) ( ). sup ( ) ( ). ( )i i i

n n

n i i i i i ix a ai i

S f d a a f x a a f a+

− −

+ + +∈= =

= − = −∑ ∑

[ ]1

1 1

1 1,0 0

( , ) ( ). inf ( ) ( ). ( )i i i

n n

n i i i i i ix a a

i i

s f d a a f x a a f a+

− −

+ +∈= =

= − = −∑ ∑

��ا� ��ب ا� : 3ا��

109

:ومنه

( )

( )

1

1 10

1

1 10

1

( , ) ( , ) ( ). ( ) ( )

max( ) ( ) ( )

( ( ) ( )).max( ).

n

n n i i i ii

n

i i i ii

i

i ii

S f d s f d a a f a f a

a a f a f a

f b f a a a

−

+ +=

−

+ +=

+

− = − −

≤ − −

= − −

∑

∑

0ليكن ε< . خنتار التقسيمةnd حبيث حتقق العبارة

1( ( ) ( )).max( )i ii

f b f a a a+− املتباينة التالية −

1( ( ) ( )).max( )i ii

f b f a a a ε+− − هذا يعين أننا خنتار الفروق ..>

1i ia a+ وبذلك يتأكد الشرط الالزم والكايف الوارد يف . صغرية بكفاية− .نظرية داربو

نالحظ أنه إذا كان التابع ثابتا فإن جمموعي داربو العلوي .والسفلي متساويان، ومن مث ففرقهما منعدم وحيقق بداهة شرط داربو

من بني التوابع القابلة للمكاملة : ثان لنظرية داربو وهذا تطبيق . عليه النظرية التاليةذلك ما تنص. التوابع املستمرة

نظرية

]كل تابع ]: ,f a b → ℝمستمر يقبل املكاملة .

��ا� ��ب ا� : 3ا��

110

: الربهاننستفيد هنا من نظرية متيز التوابع املستمرة على جمال متراص،

]ل تابع مستمر وهي القائلة إن ك ]: ,f a b → ℝ على املتراص [ ],a b مستمر بانتظام، أي

0, 0 : ' " ( ') ( ")x x f x f xε α α ε∀ > ∃ > − < ⇒ − < وال مانع أن نكتب هذه العالقة على الشكل إن سهلت علينا

:احلسابات

0, 0 : ' " ( ') ( ")x x f x f xb a

εε α α∀ > ∃ > − < ⇒ − <−

0لتكن ε< .1تار تقسيمة حبيث خنmax( )i i

ia a α+ − الحظ . >

أن ذلك يستلزم

.[ ] [ ]11

,,sup ( ) inf ( )

i i ii i i

i ix a ax a a

f x f xb a

ε++

∈∈− <

−

وعندئذ فإن

[ ] [ ]11

1

1 ,,0

1

10

( , ) ( , ) ( ). sup ( ) inf ( )

( )

.

i i ii i i

n

n n i i i ix a ax a ai

n

i ii

S f d s f d a a f x f x

a ab a

ε

ε

++

−

+ ∈∈=

−

+=

− = − −

≤ −−

=

∑

∑

��ا� ��ب ا� : 3ا��

111

: مالحظة

نوجز يف ما يلي بعض خواص تكامل رميان، وميكن للقارئ

): علما أننا نضع اتفاقا (التأكد من صحتها ) 0a

af x dx =∫: (

]إذا كان . 1 ]: ,f a b → ℝ قابال للمكاملة فإنه يقبل املكاملة ]على كل جمال جزئي من ],a b.

]إذا كان : Chaslesعالقة شال . 2 ]: ,f a b → ℝ قابال

[للمكاملة وكان [,c a b∈فإن f يقبل املكاملة على كل من ]االني ],a c و [ ],c b ولدينا ، :

.( ) ( ) ( )b c b

a a cf x dx f x dx f x dx= +∫ ∫ ∫

.cميكن تعميم هذه النتيجة إىل أكثر من نقطة

): لدينا . 3 ) ( )b a

a bf x dx f x dx= −∫ ∫.

]إذا كان التابع . 4 ]: ,f a b → ℝ حمدودا وقابال للمكاملة على [كل جمال [ [ ], ', 'a b a b⊃ فإنه يقبل املكاملة على[ ],a b. ]تشكل جمموعة التوابع القابلة للمكاملة على جمال . 5 ],a b

] قابلني للمكاملة على g و fإذا كان : ℝ فضاء شعاعيا على ],a b

��ا� ��ب ا� : 3ا��

112

فإن

( )( ) ( ) ( ) ( ) ,

( ) . ( ) ; .

b b b

a a a

b b

a a

f x g x dx f x dx g x dx

f x dx f x dxλ λ λ

+ = +

= ∈

∫ ∫ ∫

∫ ∫ ℝ

bوبالتايل فإن تطبيق املكاملة

a∫ؤلف من من الفضاء الشعاعي امل

التوابع القابلة للمكاملة .ميكن تعميم ذلك إىل التوابع ذات القيم العقدية. تطبق خطيℝحنو

.كما أن جداء تابعني قابلني للمكاملة تابع قابل للمكاملة ]إذا كان التابع . 6 ]: ,f a b → ℝ قابال للمكاملة فإن االستلزام

: قائم التايل

.[ ], , ( ) 0 ( ) 0b

ax a b f x f x dx∀ ∈ ≥ ⇒ ≥∫

]إذا كان التابعان : ومنه يأيت ]: ,f a b → ℝ و [ ]: ,g a b → ℝ :قابالن للمكاملة فإن االستلزام التايل قائم

.[ ], , ( ) ( ) ( ) ( )b b

a ax a b f x g x f x dx g x dx∀ ∈ ≥ ⇒ ≥∫ ∫

fوملا كان f≤م أن لدينا دوما فإن هذه اخلاصية تستلز:

.( ) ( )b b

a af x dx f x dx≤∫ ∫

]إذا كان التابع . 7 ]: ,f a b → ℝ مستمرا فإن االستلزام التايل

:قائم

.[ ]( ) 0 , , ( ) 0b

af x dx x a b f x= ⇒ ∀ ∈ =∫

.الربهان يتم باخللف

��ا� ��ب ا� : 3ا��

113

]إذا كان التابعان . 8 ]: ,f a b → ℝ و [ ]: ,g a b → ℝ قابالن

-Cauchy شفارتز –متباينة كوشي (فإن للمكاملة

Schwarz (:

.2 2( ) ( ) ( ) ( )b b b

a a af x g x dx f x dx g x dx≤ ×∫ ∫ ∫

نعلم أن جمموعة التوابع . لنربهن على هذه اخلاصية

gالقابلة للمكاملة تشكل فضاء شعاعيا، وبالتايل فالتابع fλ+ نعترب ثالثي احلدود .λيقبل املكاملة من أجل كل عدد حقيقي

وبالتايل فهو حيافظ على (، مع املالحظة أنه موجب λبالنسبة لـ ):إشارته

( )2

2 2( ) ( ) ( ) ( ) 2 ( ) ( ) ( )b b b b

a a a aP f x g x dx f x dx f x g x dx g x dxλ λ λ= + = + +∫ ∫ ∫ ∫

: وهذا يعين . سالب) املختصر(ومن مث فمميزه

.( )22 2( ) ( ) ( ) ( )

b b b

a a af x g x dx f x dx g x dx≤ ×∫ ∫ ∫

. شفارتز–ة كوشي ومنه تأيت عالق

��ا� ��ب ا� : 3ا��

114

غري احملددالتكامل. 3

ميكن أن نعرف التكامل غري احملدد بالطريقة التالية )التابع األصلي/ التكامل غري احملدد(تعريف

f: ليكن I → ℝ تابعا معرفا على جمال( , )I a b=) مغلق أوIمعرف على جمال ( F يسمى كل تابع ).غري مغلق J⊇( حيقق املعادلة

)التفاضلية(, '( ) ( )x J F x f x∀ ∈ =

) التكامل بـ هلذا ونرمز. f تكامل غري حمدد للتابع )F f x dx= ∫.

. J على اال f تابعا أصليا لـ Fيسمى التابع

: مالحظة تأمل . أصلي مستمر إذ أنه يقبل االشتقاقتابعكل أن الحظf:هل يقبل التابع : يف املثال التايل →ℝ ℝ املعرف بـ املستمر غري

2, 0( )

0, 0

xf x

x

>= ≤

: نعم، وهذا تابع أصلي له : ؟ اجلواب تابعا أصليا2 , 0

( )0, 0.

x xF x

x

>= ≤

F األصلي التابع بينما نالحظ أن) عند الصفر(غري مستمر fإن

.مستمر

��ا� ��ب ا� : 3ا��

115

)وعة التوابع األصليةمجم( نظرية

f: التابع قبل إذا I → ℝ أصليا تابعا F العلى اI فإنf

.Iيقبل عددا غري منته من التوابع األصلية على اال

Gتكتب عندئذ على الشكل G كل التوابع األصلية F λ= +

:حقيقي، أي أن ثابت λ حيث, ( ) ( ) .x I G x F x λ∀ ∈ = +

.، وأخرى تقبل مثل تلك التوابعهناك توابع ال تقبل توابع أصلية .توابع أصليةاليت تقبل فئة شهرية من التوابعالنظرية التالية تقدم

)وجود تابع أصلي( نظرية

f: إذا كان التابع I → ℝ مستمرا فإنه يقبل عددا غري منته .من التوابع األصلية

f: ليكن I → ℝ عددا غري منته من إنه يقبل .مستمرا تابعا fـ أصليني ل تابعني G و F كان إذاو .Iالتوابع األصلية على

حبيث λ فإنه يوجد عدد حقيقي Iعلى

., ( ) ( )x I G x F x λ∀ ∈ = + عندئذ نالحظ

��ا� ��ب ا� : 3ا��

116

)تكامل تابع( تعريف

f: ليكن I → ℝ العدد يسمى .تابعا مستمرا )()( aFbF −

] نكتب وb إىل a من f تكامل ]baxF ∫أو )(b

a

dxxf أي، )(

[ ]( ) ( ) ( ) ( ).b

b

aa

f x dx F x F b F a= = −∫

]مكاملة على اال لل قابل fإن نقولو ]ba,.

مثاالن

1(

[ ]2, ( , ) , ( )b

b

aa

a b dx x b aλ λ λ λ∀ ∈ ∀ ∈ = = −∫ℝ ℝ

2( [ ]1

11

231

3

1arctan

4 6 121dx

x

π π π= = − =+∫.

: مالحظات .هنا هي مبفهوم رمياناملكاملة ميكن الربهان على أن قابلية ) 1

ميكن إثبات عالقة شال السالفة الذكر استنادا إىل خواص ) 2]على اال f للتابع أصليا تابعا F إذا كان: الدوال األصلية ];a b

فإن

)()()( aFbFdxxfb

a

−=∫

2( , ) , ( ) ( ) ( ) ( ).a b I G b G a F b F a∀ ∈ − = −

��ا� ��ب ا� : 3ا��

117

)()()()( aFcFcFbF −+−=

.)()(∫ ∫+=b

c

c

a

dxxfdxxf

ميكن أيضا إثبات خطية عملية املكاملة اعتمادا على الدوال ) 3 : األصلية

]تابعني مستمرين على جمال g و f ليكن ],I a b=، وليكن α

:لدينا. عددين حقيقيني β و

( )( ) ( ) ( ) .b b b

a a a

f g x dx f x dx g x dxα β α β+ = +∫ ∫ ∫

على g و fني للتابعG و Fلرؤية ذلك نعترب دالتني أصليتني :ونالحظ ،Iاال

.)'( gfGF βαβα +=+

GFومنه يتضح أن βα gf للدالة ةأصلي دالة + βα إذن .I على +

[ ]

( ) ( )

( )( ) ( )( )

( ( ) ( )) ( ( ) ( ))

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) .

bb

aa

b b

a a

f g x dx F G x

F b G b F a G a

F b F a G b G a

f x dx g x dx

α β α β

α β α βα β

α β

+ = +

= + − += − + −

= +

∫

∫ ∫

��ا� ��ب ا� : 3ا��

118

التوابع األصلية املتداولة

�4ت�2� ا�.وال ا0/� ا�.ا� αx

kx

++

+

1

1

αα

, 1α α∈ ≠ −ℝ

x1 kx +ln

xsin kx+−cos xcos kx+sin

x2sin1 kanx+−cot

x2cos1 kx+tan

xtan kx +− cosln ctnx kx +sinln

xeλ ke x +λλ1 *IR∈λ

112+x

kx+arctan

211

x− kx+arcsin =+− 'arccos kx

��ا� ��ب ا� : 3ا��

119

: من طرق املكاملة. 4 : املتغري تبديل. 1

)حالة التوابع األصلية( نظرية

JIu ليكن أي يقبل االشتقاق والتابع ( 1Cتابعا من الصنف :→ تابعا F إذا كان. Jاال على مستمرا تابعا f وليكن). املستق مستمر

) تابع أصلي للتابع �uF فإن Jعلى fلـ أصليا ) 'f u uو�

.)()('))((∫ += cxuFdxxuxuf �

.يحقيق ثابت c حيث

: الربهان تابعني لديناتركيبحسب نظرية مشتق ')'()'( uuFuF �� =

.')( uuf �= )(' للتابع أصلي تابع �uF فإنوعليه uuf �.

مثاالن

c لدينا من أجل كل. 1 ∈ℝ

ln 1.ln

1ln

ln .

xdx xdx

x x x dxx

x x x c

=

= − ⋅

= − +

∫ ∫

∫

��ا� ��ب ا� : 3ا��

120

cلدينا من أجل كل . 2 ∈ℝ

2

2

arctan arctan1

1arctan ln(1 ) .

2

xxdx x x dx

x

x x x c

= −+

= − + +

∫ ∫

) هنا اخترنا وقد )f x x= و ( ) arctang x x=.

)تغريتبديل امل( نظرية

.b و a العدديني شملي J تابعا مستمرا على جمال fليكن

β وα يشملI على جمال C1 الصنف من تابعا u ليكنو

auيثحب =)(α وbu =)(β .كل أجل من نفرض x بني حمصور α

عندئذ. Jاال إىل ينتمي β،)(xuو

.)('))(()(∫ ∫=b

a

dxxuxufdttfβ

α

��ا� ��ب ا� : 3ا��

121

الربهان

تابعا F، إذا كان)حالة التوابع األصلية(النظرية السابقة حسب

فإنه fأصليا لـ

[ ]( ( )) '( ) ( )

( ( )) ( ( ))

( ) ( )

( ) .b

a

f u x u x dx F u x

F u F u

F b F a

f t dt

ββ

αα

β α

=

= −= −

=

∫

∫

�

∫التكامل حلساب : من الناحية العملية نقوم مبا يليb

a

dttf نضع )(

)(xut= و dt تصبحdxxu α يصبحان bو a وحدا التكامل ،')(

auحيث، βو =)(α وbu =)(β . التابعني أن من التأكدوينبغي أال ننسى f و u النظرية شروط حيققان .

مثال

∫ التكامل أحسب −=1

0

21 dttI.

xt نضع sin= ،dt تصبحxdxcos 0 وحدا التكامل اجلديد مها

و2π .إذن

∫ −=2

0

2 cossin1

π

xdxxI

∫=2

0

2cos

π

xdx

��ا� ��ب ا� : 3ا��

122

∫ +=2

02

2cos1π

dxx

[ ]204

2sin2

πxx+=

4π=

.علما أن شروط النظرية حمققة يف التوابع الوارد يف املثال بالتجزئة املكاملة. 2

''أن نعلم gfgf gf �ـأصلي تابع ⋅+⋅ النظرية ومن مث تأيت . ⋅ التالية

)ئةاملكاملة بالتجز( نظرية

aوكانت ، Iاال على 1Cمن الصنف تابعني g وfإذا كان

فإنIمن نقطتني bو

[ ] .)(')()()()()(' ∫∫ −=b

a

b

a

ba dxxgxfxgxfdxxgxf

مثال

احسب2

0

xxe dx−∫.

:لدينا 2 22

00 0

22

0

2 2

2

2

2 1

3 1.

x x x

x

xe dx xe e dx

e e

e e

e

− − −

− −

− −

−

= − − −

= − + −

= − − += − +

∫ ∫

��ا� ��ب ا� : 3ا��

123

التوابع األصلية لتابع كسري. 3يكتب كل كسر ناطق بكيفية وحيدة كمجموع لكثري حدود ولعدد منته

) :عددان طبيعيان nو mحيث (من الكسور الناطقة ذات الشكل

2 2

,( )

.(( ) )

n

m

A

x a

Bx C

x b c

−+

− +

. يكفي البحث عن التوابع األصلية للكسرين السابقنيوعليه : 1 حالة

تعيني التوابع األصلية للتابعnax

x)(

1−֏.

فإن n=1 إذا كان. 1

∫ +−=− caxdxax

ln1

فإن n<1 إذا كان. 2

∫ +−−−=− − c

axndx

ax nn 1))(1(1

)(1

: 2 حالة للتابع األصلية التوابع تعيني

qpxxx ++2

qpxxيقبل مل إذا1֏ ++2

qpxxيف هذه احلالة يكون . جذورا حقيقية .موجبا متاما 2++222 نضع auqpxx عندئذ. ++=+

∫ +=+ cau

adx

auarctan11

22

��ا� ��ب ا� : 3ا��

124

مثال∫ حساب +− dx

xx 11

2.

لدينا43)

21(1 22 +−=+− xxxإذن ،

∫∫ +−=+− dx

xdx

xx43)

21(1

11

22

cx

+−

=

4321

arctan

43

1

cx +−=312arctan

32

: 3حالة للتابع األصلية التوابع تعيني

qpxxbaxx ++

+2

إذا مل ֏

qpxxبليق .حقيقية جذورا 2++حلساب هذا التكامل نظهر مشتق املقام يف البسط فنحصل على تكاملني

.أحدمها من الشكل املدروس سابقا

مثال∫ حساب +−

+− dxxx

x123

2.

2 2

3 1(2 1)

3 2 2 21 1

xx

dx dxx x x x

− − +− + =− + − +∫ ∫

∫ ∫ +−++−−−= dx

xxdx

xxx

11

21

112

23

22

cxxx +−⋅++−−=312arctan

32

21)1ln(

23 2

��ا� ��ب ا� : 3ا��

125

1 مترين طريقة تبديل املتغري أثبت ما يلي باستخدام

1( 2 22 2

1ln( ) , ( )

2

xdx a x c a

a x= + + ∈

+∫ ℝ.

2( *2 2

1 1arctan , ( )

xdx c a

a aa x= + ∈

+∫ ℝ.

احلل

22 بوضع)1 xat xdxdt جند =+ إذن. =2

∫ ∫=+ dtt

dxxa

x 121

22

ct+= ln21

cxa ++= )ln(21 22

2 لدينا)

.∫∫ +=+ dx

axa

dxxa 2

222)(1

111

نضع

axt= فنجد dx

adt إذن. =1

∫∫ +=+ dtt

aa

dxxa 2222 1

11

cta

+= arctan1

c

ax

a+= arctan1

��ا� ��ب ا� : 3ا��

126

2 مترين حسب التكامل التايل ا

.)1()1(

1222∫ +++− dx

xxxx

بتفكيك الكسر على الشكلقس البدايةنقوم

.

11)1()1()1(12

2222 +++++++=+++

−xxdcx

xb

xa

xxxx

3a باملطابقة جندو = − ،1b = −،1c = ،3=d. ومنه

.∫ ∫ ∫∫ +++++−+

−=+++− dx

xxxdx

xdx

xdx

xxxx

13

11

)1(13

)1()1(12

2222

: نالحظ بعد ذلك

,∫ ++=+−

12 1

1)1(

1 cx

dxx

و,21ln

11 cxdx

x++=+∫

و

2 2

2 2

2

2

3 1/ 2(2 1) 5 / 2

1 1

1 2 1 5 1

2 21 1

1 5 1ln( 1)

1 32 2 ( )2 4

x xdx dx

x x x x

xdx dx

x x x x

x x dxx

+ + +=+ + + +

+= ++ + + +

= + + ++ +

∫ ∫

∫ ∫

∫

��ا� ��ب ا� : 3ا��

127

23

23

11 5 1 2ln( 1) arctan2 2 3 3

4 41 5 1

ln( 1) arctan .2 3 3

xx x c

xx x c

+= + + + ⋅ +

+= + + + ⋅ +

وعليه

23 1 5 2ln 1 ln( 1) arctan .

1 2 3 3

xI x x x c

x

+= − + + + + + ++

��ا� ��ب ا� : 3ا��

128

: طول قوس من منحىن. 5

يتطلب حساب أطوال األقواس تعريف القوس واحلديث عن nالتوابع اليت تكون جمموعة تعريفها

ℝ . سوف يكون هذا احلديث .مقتضبا، ونكتفي بأقصر الطرق للوصول إىل تعريف طول قوس

)املنحىن (تعريف

n املنحىن يفℝ هو تابع [ ]: , nf a b → ℝ. )نسمي النقطتني )f a و ( )f b طريف املنحىن.

)نقول عن املنحىن إنه مغلق إذا كان ) ( )f a f b=. ] متباينا على fنقول عن املنحىن إنه بسيط إذا كان ],a b أي ،

.إذا كان املنحىن ال يتقاطع مع ذاته إذا كان مغلقا Jordanنقول عن املنحىن إنه منحىن جوردان

[ومتباينا على [,a b.

: مثال] املنحىنصورة ] 2: 0,2f π → ℝ املعرف بـ

( )( ) sin ,cosf t t t=وهو منحىن مغلق . هي دائرة الوحدة يف املستوي ]وهو غري بسيط لو استبدلنا . وجورداين ]0,2π بـ ℝ.

] )أو منحىن(نتناول اآلن تعريف طول قوس ]: , nf a b → ℝ : }لتكن }0 1 ...n nd a a a a b= = < < < ] تقسيمة للمجال = ],a b . نضع

��ا� ��ب ا� : 3ا��

129

( )i ix f a= 0,1 من أجل كل,...,i n=. نرمز بـ ndL موع أطوال

]القطع املستقيمة ]1,i ia a i,...,0,1 من أجل كل + n=أي ، 1 1

1 10 0

( ) ( )n

n n

d i i i ii i

L x x f a f a− −

+ += =

= − = −∑ ∑

n للنظيم األقليدي يف .حيث يرمز ℝ. أدق كلما اقترب الطولndمن الواضح أنه كلما كانت التقسيمة

ndL .fمن طول القوس

)طول قوس( تعريف

]نرمز بـ ]( , )P a b موعة التقسيمات املمكنة للمجال

[ ],a b . ]نقول إن املنحىن ]: , nf a b → ℝ قابل للتقومي rectifiable

]موعة اإذا كانت ]( ){ }, ,nd nL d P a b∈حمدودة من األعلى .

] هذه احلالة نسمي طول القوس يف ]: , nf a b → ℝ احلد األعلى ( )L f للمجموعة السابقة، أي

.[ ]( ){ }( ) sup , ,nd nL f L d P a b= ∈

]إذا كانت اموعة ]( ){ }, ,nd nL d P a b∈ غري حمدودة من

)األعلى فهذا يعين أن )L f = ∞.

��ا� ��ب ا� : 3ا��

130

ميكن إثبات النظرية التالية )حساب طول قوس(نظرية

]ليكن ]: , nf a b → ℝ يقبل االشتقاق ومشتقه مستمرا منحنيا1أي أن كل مركبة من مركبات ( 2( , )f f f= تقبل االشتقاق ومشتقها

وطوله هو قابال للتقوميfعندئذ يكون ). مستمر

( ) ( )2 2' '1 2

( ) '( )

( ) ( ) .

b

a

b

a

L f f t dt

f t f t dt

=

= +

∫

∫

1 مثال

.Rاحسب حميط الدائرة ذات نصف القطر نصف املنحين الذي ميثل الدائرة املعطاة بالتابع

[ ] 2: 0,2f π → ℝ املعرف بـ ( ) ( sin , cos )f t R t R t= . لدينا عندئذ'( ) ( cos , sin )f t R t R t= : ومنه .−.2 2 2 2'( ) cos sinf t R t R t R= + =

: إذن

( ) ( )

2

0

2 2 2' '1 20

2

0

2

0

( ) '( )

( ) ( )

2 .

L f f t dt

f t f t dt

Rdt

R dt

R

π

π

π

π

π

=

= +

=

=

=

∫

∫

∫

∫

! وهذا هو بالضبط حميط الدائرة اليت نعرفه منذ زمان

��ا� ��ب ا� : 3ا��

131

: 2مثال ]احسب طول القوس احللزوين ] 3: 0,f T → ℝ املعرف بـ

( ))( cos , sin , )f t R t R t ct حيث Tو cو R أعداد حقيقية موجبة)'لدينا عندئذ . متاما ) ( sin , cos , )f t R t R t c= : ومنه . −

2 2 2 2 2 2 2'( ) sin cosf t R t R t c R c= + + = +

: إذن

( ) ( ) ( )0

2 2 2' ' '1 2 20

2 2

0

2 2

0

2 2

( ) '( )

( ) ( ) ( )

.

T

T

T

T

L f f t dt

f t f t f t dt

R c dt

R c dt

T R c

=

= + +

= +

= +

= +

∫

∫

∫

∫

: 3مثال

]احسب طول قوس املنحين ] 3: 0,2f → ℝ املعرف بـ ( ) ( cos , sin ,0)t tf t e t e t= .

)لدينا عندئذ )'( ) (cos sin ), (sin cos ),0t tf t e t t e t t= − + .

: ومنه2 2 2 2'( ) (cos sin ) (sin cos ) 0

2.

t t

t

f t e t t e t t

e

= − + + +

=

��ا� ��ب ا� : 3ا��

132

: إذن

0

2

0

2

( ) '( )

2

2( 1).

T

t

L f f t dt

e dt

e

=

=

= −

∫

∫

)تكافؤ منحنيني(تعريف

]نقول عن املنحنيني ]: , nf a b → ℝ و [ ]: , ng c d → ℝ ماإ ]متكافئان إذا وجد تابع تقابلي ومستمر ] [ ]: , ,h c d a b→ حبيث

g f h= �.

: مثال]املنحنيان ] 2: 0,2f → ℝ و [ ] 2: 1,1g − → ℝ املعرفان بـ

( ) ( ,0)f t t= 2 و( ) ( ,0)g t t t= يكفي وضع . فئانمتكا +2( )h t t t= +.

3 مترين] نياملنحنيأثبت أن ] 2: 0,1f → ℝ و [ ] 2: 0,g π → ℝاملعرفني

بـ 2

2 2

2 2 4( ) ( , )

1 1

t tf t

t t

−=+ +

) و ) (2cos ,2sin )2 2

s sg s . متكافئان =

احلل]لنكتب شكليا أن التابع ] [ ]: 0, 0,1h π g حيقق → f h= �،

أي

[ ] ( )0, , ( ) ( )s g s f h sπ∀ ∈ =

��ا� ��ب ا� : 3ا��

133

وهذا يعين

[ ] ( )2

2 2

2 2 ( ) 4 ( )0, , ( ) ( ) , (2cos ,sin )

2 21 ( ) 1 ( )

h s h s s ss g s f h s

h s h sπ −∀ ∈ = = = + +

:ومنه

[ ]

2

2

2

1 ( )cos

21 ( )0, ,

2 ( )sin

21 ( )

h s s

h ss

h s s

h s

π

− = +∀ ∈ = +

وبالتايل

[ ]2 2

2

2

2

1 ( ) 2 ( )0, , cos

2 1 ( )

2 ( )1

1 ( )

1 ( ).sin .2

s h s h ss

h s

h s

h s

sh s

π + −∀ ∈ =+

= −+

= −

مع العلم أن 2

2 ( )sin

21 ( )

h s s

h s=

+(0) تستلزم 0h ومن مث. =

ما سبق أن بناء عنستخلص

] ]

0, 0,

1 cos( ) 2 , 0, .sin

2

s

sh s

ss

π

= −= ∈

��ا� ��ب ا� : 3ا��

134

]تقابلي من ومستمر h إن التابع ]0,π إىل [ حيث أنه يقبل 0,1[ ) :فهو إذن متزايد متاما(موجب متاما االشتقاق ومشتقه

] ]2

1, 0

4

'( ) 1 cos1 2 , 0, .2 sin

2

s

sh ss

sπ

== − ∈

��ا� ��ب ا� : 3ا��

135

) منحنيني متكافئنياطول(نظرية

]إذا كان منحنيان ]: , nf a b → ℝ و [ ]: , ng c d → ℝ متكافئي، وكان أحدمها قابال للتقومي فإن اآلخر يقبل أيضا التقومي، وهلما

.نفس الطول

مثال

]نعلم أن املنحنيني ] 2: 0,1f → ℝ و [ ] 2: 0,g π → ℝ املعرفني

بـ 2

2 2

2 2 4( ) ( , )

1 1

t tf t

t t

−=+ +

) و ) (2cos ,2sin )2 2

s sg s .متكافئان =

نالحظ أن

( ) ( )2 2' '1 20

2 2

0

0

( ) ( ) ( )

sin cos2 2

.

L g g s g s ds

s sds

ds

π

π

π

π

= +

= +

=

=

∫

∫

∫

] وبالتايل فإن ] 2: 0,1f → ℝ يقبل التقومي وطوله يساوي

( )L f π=.

��ا� ��ب ا� : 3ا��

136

: 4 مترين]ليكن ]: ,f a b → ℝأثبت أن . تابعا قابال لالشتقاق

طول بيانه يساوي

.( )21 '( )

b

al f s ds= +∫

احلل] التابعيكفي اعتبار ] 2: ,g a b → ℝ املعرف بـ

( )( ) , ( )g t t f t= الذي ميثل بيان التابع [ ]: ,f a b → ℝ .]وعليه فطول القوس ] 2: ,g a b → ℝ هو طول بيان

[ ]: ,f a b → ℝ . إذن

( ) ( )( )

2 2' '1 20

2'

0

( ) ( ) ( )

1 ( ) .

l L g g s g s ds

f s ds

π

π

= = +

= +

∫

∫

] التابع: مثال ذلك ]: 0,f a → ℝ 2 املعرف بـ( )f x x= . إن :طول بيانه يساوي

.3

2

0

1 11+2x (1 2 )

3 3

al dx a= = + −∫

: 5 مترين

عني طول القوس املغلق املعرف بـ 3 3 3

2 2 2x y a+ حيث =0 a<.

)ميكنك وضع : إرشاد )3 3( , ) cos , sinx y a t a t= حيث t .وسيط

��ا� ��ب ا� : 3ا��

137

احلل

نالحظ أن 3 3 3

2 2 2x y a+ 0 تستلزم أن = x a≤ و ≥0 y a≤ ) وضع و�� ;: ��9. ≥ )3 3( , ) cos , sinx y a t a t= .

وبذلك نتأكد فعال أن 3 3 3

2 2 2x y a+ انظر الشكل املمثل للمنحىن.=

نالحظ أن املنحين . لقوس املغلق لlطول تعيني الاملطلوب

[ ] 2: 0,2f π → ℝ املعرف بـ ( )3 3( ) cos , sinf t a t a t= مغلق حيث (0)أن ( ) ( ,0)f f aπ= )ومن مث فإن . = )l L f=.

( ) ( )[ ]( ) [ ]( )

2 2 2' '1 20

2 22 2 2

0

2

0

( ) ( ) ( )

3 cos sin 3 sin cos

3 cos .sin

6 .

l L f f t f t dt

a t t a t t dt

a t t dt

a

π

π

π

= = +

= − +

=

=

∫

∫

∫

��ا� ��ب ا� : 3ا��

138

احلجوموبعض املساحات حساب . 6

يتطلب حساب مساحات السطوح احلجوم اسمات إدخال ، وهو تعميم للتكامل ...)الثنائي، الثالثي، (املضاعفة التكامالت وعليه سنكتفي يف هذا املوضوع . لكنه يتطلب متهيدات مطولة،األحادياسمات دون وعدد قليل من السطوح وحجوم مساحات بتقدمي

.الغوص يف اجلانب التقين املتعلق بالتكامالت : تعريف املخروط.1

خروط قبل تقدمي مساحته يستحسن احلديث عن تعريف امليف اهلندسة األولية املخروط هو السطح الذي حنصل عليه جبعل . وحجمه

يف هذه احلالة تسمى املساحة . مثلث قائم يدور حول أحد ضلعيه القائمني . الضلع القائم اآلخر قاعدة املخروط) وهي قرص(اليت ميسحها

. ه املثلثأما ارتفاع املخروط فهو طول الضلع الذي يدور حول .كما يسمى طرف هذا الضلع الذي ال ميس القاعدة رأس املخروط

نصف زاوية الرأس للمخروط هي الزاوية املثلث القائم اليت

.رأسها رأس املخروط

��ا� ��ب ا� : 3ا��

139

:وبعبارة أوضح لع وجعلناه يدور حول الضB مثلثا قائما يف ABCإذا كان

AB فإن *A ،هو رأس املخروط هو ارتفاعه، BCالطول * ونصف قطره Bقاعدته هي القرص الذي مركزه *

BCاملستقيم الواقع يف املستوي العمودي على ( )AB ونصف ، .�BACزاويته هي

:مالحظة

دورانيا أو قائما، خمروطايسمى املخروط الذي عرفناه آنفا ) 1خروط يف للم) التظري(لكن املفهوم العام . عموماوهو الذي نعنيه

: اهلندسة يشمل سطوحا أخرى)خذ مستقيما )Dواعترب عليه نقطة مثبتة M وخذ منحنيا مغلقا ،

( )C .مث اجعل املستقيم ( )D يدور حول نقطة مثبتة منه A حبيث متسح النقطة M املنحين ( )C . ذه الطريقة يسمى خمروطا مولدا إن السطح احملصل عليه

)باملستقيم )D رأسه ،A . املخروط احملصل عليه عندئذ يكون من الشكل

��ا� ��ب ا� : 3ا��

140

ر بالقطوع ذلك هو املخروط الذي نعتربه مثال عندما يتعلق األملكننا غالبا ما نعين . املخروطية للحصول بوجه خاص على القطع الزائد

:باملخروط نصف هذا السطح غري احملدود كما هو موضح أدناه

) كما قدمنا يف تعريف املخروط الدوراين(بل نكتفي يف أغلب األحيان

:مبخروط حمدود من جهة قاعدته كما هو مبين يف الشكل التايل

��ا� ��ب ا� : 3ا��

141

ةاملسماوهناك أنواع كثرية من املخروطات منها تلك

املخروطات الكروية اليت يكون رأسها يف مركز كرة وقاعدا جزءا من ب :سطح الكرة كما هو مبين يف الشكل أدناه

أن يكون املخروط - خالفا ملا اعتربناه يف التعريف -ن ميك) 2) كأن يكون املنحىن ،غري دوراين )C املعترب يف املالحظة السابقة دائرة

على مستوي القاعدة Aلكن مسقط رأس املخروط ... rنصف قطرها )مركز الدائرة ليس )C:

��ا� ��ب ا� : 3ا��

142

اليت تفصل hنالحظ أن االرتفاع يف هذه احلالة هو املسافة :الرأس عن مستوي القاعدة

��ا� ��ب ا� : 3ا��

143

املخروط مساحة. 2 نعترب خمروطا دورانيا تصميمه من الشكل

وطول املسافة الفاصلة rته قرص نصف قطره وقاعدAرأسه إن املساحة اجلانبية . aبني الرأس ونقطة من نقاط حافة القاعدة يساوي

S للمخروط هو مساحة املثلث املنحين �ABCرص الذي ، أي جزء الق :Sلنحسب . α وزاويته a ونصف قطره Aمركزه

هو حميط BC للقوس Lمن أجل ذلك نالحظ أن الطول ولذا ميكن حساب طول هذا القوس . r ذات نصف القطر الدائرة

:بطريقتني، فهو يساوي 2L rπ=) حميط الدائرة ذات نصف القطرr(

2: ويساوي أيضا .2

L a aαπ απ

= =.

��ا� ��ب ا� : 3ا��

144

.: ومنه ينتج 2a rα π= .

2: هي a و r بداللة αوبالتايل فإن قيمة r

a

πα =.

؟ مبا أا تساوي مساحة جزء القرص Sماذا تساوي املساحة فإن α وزاويته a ونصف قطره Aالذي مركزه

22

2 2

aS a

α αππ

= = .

2ومبا أن r

a

πα : فإن =

.2 2 2

2 2

a a rS ar

a

α π π= = =

بقة مساحة وإن حبثنا عن املساحة الكلية فعلينا أن نضيف إىل املساحة السا2ar :القاعدة، أي أن املساحة الكلية هي rπ π+.

حجم املخروط . 3 كما هو hوارتفاعه Rنعترب خمروطا دورانيا نصف قطر قاعدته

) :املمثل ملقطع خمروط(مبين يف الشكل املوايل

z

0

h

R

t r

��ا� ��ب ا� : 3ا��

145

) : نظرية طالس(لدينا العالقة . h ، t ، R بداللة rب أوال لنحسr R

h t h=

−)ومنه . )

Rr h t

h= − .

: للمخروط حسب العالقة التالية Vميكن حساب احلجم

0

h

tV V dt= ∫

مساحة القرص احملصل عليه يف تقاطع املخروط مع مستو tVحيث ميثل

مساحة . tيوازي القاعدة ويقطع احملور عند النقطة اليت متيزها اإلحداثية :ذا القرص هي ه

2

2

2 22 2

2

( )

2 .

tV r

Rh t

h

t R tR R

h h

π

π

π π π

=

= −

= − +

ولذلك تكتب العالقة 0

h

tV V dt= : على الشكل ∫

��ا� ��ب ا� : 3ا��

146

0

2 22 2

20

2 2 22

20 0 0

2 22 2

20 0

2 32 2

2

2

2

2

2

3

.3

h

t

h

h h h

h h

V V dt

t R tR R dt

h h

R R tR dt tdt dt

h h

R RR h tdt t dt

h h

R hR h R h

h

R h

π π π

ππ π

ππ π

π π π

π

=

= − +

= − +

= − +

= − + ×

=

∫

∫

∫ ∫ ∫

∫ ∫

هو hوارتفاعه Rوبالتايل فحجم خمروط نصف قطر قاعدته 2

3

R hV

π=.

حجم األسطوانة. 4

نصف r هو ارتفاع هذه األسطوانة الدورانية، وكان hإذا كان تتمثل ) باستخدام التكامل (Vقطر قاعدا فإن العالقة اليت تعطي احلجم حنصل عليه كتقاطع مستو -نة يف مكاملة مساحة مقطع من األسطوا

وجنعل متغير -عمودي على حمور األسطوانة مع جمسم األسطوانة ]املكاملة ميسح القطعة املستقيمة ]0,h .

الحظ أن هذا املقطع هو قرص ثابت املساحة ومساحته هي مساحة : مباشرة ولذلك فعملية املكاملة املذكورة تعطي. قاعدة األسطوانة

.2 2

0

hV r dz r hπ π= =∫

��ا� ��ب ا� : 3ا��

147

: مالحظةوارتفاعه Rنالحظ عند مقارنة حجم خمروط نصف قطر قاعدته

h احبجم أسطوانة نصف قطر قاعد R وارتفاعهاhم املخروط أن حج . حجم اإلسطوانةثلثيساوي

خمروطات داخل إسطوانة إن 3" وضع"يعين ذلك أننا نستطيع يف حني أن مساحة ... كان هلا نفس االرتفاع ونفس نصف القطر

مساحة املثلث الذي يكون ارتفاعه عرض نصفمستطيل تساوي ل من أال يرجع ذلك إىل االنتقا! املستطيل وقاعدته طول ذلك املستطيل

؟3 إىل البعد 2االنتقال من البعد ... املستوي إىل الفضاء

: حجم الكرة. 5ميثل سطح الكرة أصغر مساحة ممكنة : هناك خاصية مهمة للكرة

. من بني السطوح اليت حتيط حبجم معطى

مبعىن أنه إذا أعطي حجم وطلب وضعه داخل إناء وأردنا أن

. خنتار اإلناء كروي الشكليكون سطح اإلناء أصغريا فال بد أن

كما أن الكرة حتتوي على أكرب حجم ممكن من بني السطوح اليت

مبعىن أنه إذا أعطي سطح مساحته معلومة وأردنا أن . هلا مساحة معطاةنعطي له شكال جيعله حيتوي على أكرب حجم ممكن فال بد أن جنعله يأخذ

.شكل كرة

��ا� ��ب ا� : 3ا��

148

–ون وقطرات املاء هذه اخلاصية هي اليت جتعل فقعات الصاب تأخذ أشكاال كروية ذلك أن الضغط –عندما مل تأثري اجلاذبية

.السطحي يسعى دوما إىل تصغري املساحة ونرسم الشكل املوايل، وحنسب Rنعترب كرة نصف قطرها

عناها يف حساب حجم للكرة بطريقة مماثلة لتلك اليت اتبVاحلجم )من أجل ذلك نقطع الكرة مبستو عمودي على احملور . املخروط )Oz

ويكون تقاطع الكرة مع املستوي قرصا . tفيقطع هذا احملور عند النقطة .r ونصف قطره tمركزه

؟ بتطبيق نظرية فيثاغورس حنصل t و R بداللة rكم يساوي 2 : على العالقة 2 2r t R+ 2ومنه . = 2 2r R t= يعرب التكامل التايل . − ف الكرةعن حجم نص

( )2 2 2

0 0

R Rr dt R t dtπ π= −∫ ∫

R

R

t

0

r

z

��ا� ��ب ا� : 3ا��

149

:ومنه فإن حجم الكرة هو

( )2 2

0

33

3

2

22

3

4.

3

RV R t dt

RR

R

π

ππ

π

= −

= −

=

∫

: مالحظةكان أرمخيدس قد بين أن مساحة سطح كرة تساوي املساحة اجلانبية لألسطوانة اليت قطر قاعدا يساوي قطر الكرة وارتفاعها يساوي

. أيضا قطر الكرة

قاله أرمخيدس أن مساحة سطح كرة نصف قطرها ولذلك نستنتج مما R 24 هو Rπ.

��ا� ��ب ا� : 3ا��

150

جدول املساحات. 6

يف اجلدول التايل مساحات بعض األشكال اهلندسية يف نقدم :الفضاء

املساحة الشكل

a 26aمكعب طول ضلعه

a ، b، c 2 أبعاده املستطيالت متوازي 2 2ab bc ac+ + Rأسطوانة دورانية نصف قطر قاعدا

hوارتفاعها :اجلانبية ملساحةا

2 .R hπ :الكلية املساحة

22 . 2R h Rπ π+ :اجلانبية املساحة h وارتفاعها Rخمروط نصف قطر قاعدا

2 2r r hπ + : الكلية املساحة

2 2 2r r h rπ π+ + R 24كرة نصف قطرها Rπ

��ا� ��ب ا� : 3ا��

151

جدول احلجوم. 7نقدم يف اجلدول التايل قائمة توضح حجوم أهم األشكال

: اهلندسية يف الفضاء احلجم الشكل

a 3aمكعب طول ضلعه

. a ، b ، c أبعاده املستطيالت متوازي .a b c ارتفاعهمساحة قاعدته يف متوازي وجوه

Rأسطوانة دورانية نصف قطر قاعدا hعها وارتفا

2.R hπ

مساحة قاعدا يف أسطوانة ارتفاعها

.h 2 وارتفاعها Rخمروط نصف قطر قاعدا

3

R hπ

ثلث جداء مساحة اهلرم قاعدته يف ارتفاعه

R 34 نصف قطرها كرة

3

Rπ

a ، b ، c 4جمسم ناقصي أنصاف حماوره . .

3a b c

π

نصفا قطري وhجذع خمروط ارتفاعه R' و Rقاعدتاه

( )2 2' '3

hR R RR

π + +

ونصفا قطري قاعدتاه hجذع كرة ارتفاعه

R و 'R ( )2 2 23 3 '

6

hR R h

π + +

��ا� ��ب ا� : 3ا��

152

h 2 ونصف قطر الكرة hة كرة ارتفاعهاقب

(3 )3

hr h

π −

القاعدة العامة حلساب حجم جمسم

)حلساب حجم أي جمسم نستخدم العالقة )A t dt∫ اليت تعرب

:عن احلجم املطلوب حيث 1 (( )A t سم العمودي علىاحملور" هي مساحة مقطع ا "

، tالذي ينتمي إليه2 (t االرتفاع" متسح."

153

: راجعبعض امل دروس موجهة لتكوين أساتذة التعليم املتوسط، : .زيتوين ل. 1

، اإلرسال األول، وزارة التعليم العايل والبحث )بيولوجيا(الرياضيات

.2006العلمي،

دروس موجهة لتكوين أساتذة التعليم املتوسط، : .خ. أ سعد اهللا. 2

ول، وزارة التعليم العايل ، اإلرسال األ)رياضيات وتكنولوجيا (1التحليل

.2006والبحث العلمي،

دروس موجهة لتحسني مستوى أساتذة التعليم : .خ. أسعد اهللا. 3

املعهد الوطين لتكوين مستخدمي التربية وحتسني مستواهم، الثانوي،

.2004احلراش، اجلزائر،

4. Allab K. : Eléments d'analyse, O.P.U., Alger, 1980.

&�% ا$ #� د! ان .خ. �� أب � ا�� إ( )ا.-� #+ت ا(+��، ا()ا'�

5. Couty R. Ezra J. : Analyse, Armand Colin, Paris, 1967.

1 0��# �� إ� ا��(& ! �� د! ان �# )ا.-� #+ت ا(+��، ا()ا'�

154

6. Medjadi D.E., Boukra M., Djadane A., Sadallah B.-K . : Analyse mathématique , Tome 1, O.P.U., Alger 1994. 7. Dieudonné J. : Calcul infinitésimal , Hermann, Paris, 1980. 8. Kolmogorov, Fomine : Éléments de la théorie des fonctions et de l’analyse fonctionnelle, Ed. Mir, 1976

� إ� ا��( �� &�% ا$ #� د! ان . خ.أ� )ا.-� #+ت ا(+��، ا()ا'�

157

و�� ا��رس��

161 تقدمي 163 املنطق والعالقات: 1الفصل

166 املنطق . 1 166 تعاريف 1.1 174 هشاشة املنطق الرياضي2.1 185 أمناط الربهان 3.1 190 العالقات . 2

199 البىن اجلربية: 2الفصل 201 الزمــرة . 1 201 مقدمة 1.1 204 تعاريف وأمثلة 2.1 213 ملاذا يهتم الفيزيائيون بالرمز؟ 3.1 215 تعاريف ونتائج 4.1 225 متارين أساسية 5.1 228 احللقــة . 2 161 تعريف احللقة وأمثلة أولية 1.2 236 تعاريف عناصر خاصة يف احللقات 2.2 243 أجزاء خاصة من احللقات 3.2 248 حلقات أخرى ومتاثل احللقات 4.2

158

254 )اجلسم(احلقل . 3 254 تعاريف ونتائج 1.3 263 حملة تارخيية . 4

277 جمموعات األعداد: 3الفصل 280 األعداد الطبيعية . 1 280 إنشاء جمموعة األعداد الطبيعية 1.1 285 األعداد األولية 2.1 291 األعداد األولية الواحدية التكرارية 3.1 293 ية املتناظرة األعداد األول4.1 295 األعداد املقتصدة واألعداد املبذرة 5.1 296 األعداد الصحيحة. 2 296 إنشاء جمموعة األعداد الصحيحة 1.2 299 من خواص جمموعة األعداد الصحيحة 2.2 303 األعداد الناطقة . 3 303 إنشاء جمموعة األعداد الناطقة 1.3 307 األعداد احلقيقية . 4 307 إنشاء مبتتاليات األعداد الناطقة 1.4 Dedekind 309 اإلنشاء مبقاطع ديدكيند 2.4 312 األعداد املركبة . 5 R² 313 إنشاء بإستخدام اجلداء الديكاريت 1.5 314 إنشاء بإستخدام كثريات احلدود 2.5

159

315 إنشاء بإستخدام املصفوفات 3.5 316 ملركبة كتابة األعداد ا4.5 317 الرؤية اهلندسية لألعداد املركبة 5.5 318 تطور العدد. 6 319 العدد قبل مئات آالف السنني1.6 321 احلساب عند قدماء املصريني 2.6 322 وعند البابليني ومن خلفهم 3.6 323 تنوع أنظمة العد وكتابة األرقام 4.6 325 اهلنود والترقيم 5.6 327 األرقام واحلساب عند العرب6.6 330 إهتمام علمائنا بالعدد واحلساب 7.6 331 كان املعداد ... قبل امليالد 8.6 333 احلاجة أم االختراع 9.6 334 بداية مشوار اآللة 10.6 336 ويتواصل مشوار االبتكارات 11.6

341 املراجع

:تقدمي

وفق الربنامج املسطر من طرف وزارة اجلربكتب هذا الدرس يف

التربية الوطنية اهلادف إىل تكوين مفتشي التعليم املتوسط يف مادة : ي، هاتوحدثالث إىل الربنامج قد ارتأينا تقسيم هذاو. الرياضيات ،نطق والعالقاتامل) 1 البىن اجلربية، ) 2 . جمموعات األعداد)3 إال يف مواقع قليلة، وأغفلنا ) التمارين(مل تم باجلانب التدرييب و

هذا املوضوع، سيما يف دراسة جمموعات األعداد حيث ركزنا على .مفهوم اإلنشاء

فيحددها بـ اجلربمث إن الربنامج يشري إىل املدة املخصصة ملادة لكل املواضيع املقررة وهي مدة ال تسمح بالتطرق ! ساعة48

سيما يف فصل ( منهابالتفصيل، ولذلك ال بد من ختصيص البعضكمحاور للبحوث يقدمها الطلبة املفتشون خالل ) جمموعات األعداد

.السنة الدراسية

.نتمىن أن يكون هذا الدرس مفيدا للطالب املفتش

أبو بكر خالد سعد اهللا

قسم الرياضيات ، القبة، اجلزائراملدرسة العليا لألساتذة

املنطق والعالقات: 1الفصل

165

:مقدمة

يشري الربنامج املسطر يف فصل املنطق والعالقات إىل أن

وعليه فاملطلوب هو . األمر يتعلق مبوضوع يلم به الطالب املفتشومن هذا املنظور فقد اكتفينا بالتذكري بأبرز . زيادة ترسيخ املفاهيموأدجمنا نصا نقديا ...) القضية، الروابط، (التعاريف يف املنطق

آراء رياضيني غري مألوفة يف الرياضيات، ال شك أن مطوال خلص ومع ذلك نرى أنه من املفيد أن . القارئ سيجد فيه بعض الغرابة

يتأمل فيه الطالب املفتش ليتعرف على حدود املنطق ومدى دقة كما أشرنا لبعض أمناط الربهان، وهي أيضا معروفة . الرياضيات .لدى القارئ

قات حيث قدمنا بإجياز، مع بعض ومل نتوسع يف موضوع العالوال شك أن املدرس سيتمكن . األمثلة، عالقيت التكافؤ والترتيب

من تقدمي عدة مواضيع مل نتطرق إليها هنا كمواضيع للدراسة ومن تلك املواضيع ميكن اقتراح نظرية . خالل السنة الدراسية

اموعات، وخواص التطبيقات، والتعمق يف موضوع املنطق .اضي، ومواضيع أخرى كثريةالري


166

: املنطق. 1

: تعاريف 1.1

)القضية(تعريف

.نسمي قضية كل عبارة حتتمل الصحة أو اخلطأ

ةمثلأ8العبارة ") 1 . وهي قضية خاطئة، قضية">5 . وهي قضية صحيحة، قضية"الرباط عاصمة املغرب") 23 ("2:x x y∃ ل قضية ألننا ال نستطيع عبارة ال متث"=

نزود بتوضيحات إضافية حول البت يف صحتها أو خطئها ما مل . y و xالعنصرين

مالحظة

يف الرياضيات تضم متغريات، الحظ أن بعض القضايا .لبت يف صحتهالوينبغي احلصول على معلومات إضافية

)نفي القضية(تعريف


167

عندما صحيحةاليت تكون قضيةال هي P قضيةنفي .صحيحة Pخاطئة، وتكون خاطئة عندما تكون Pتكون

.P بـ P القضية لنفي غالبا نرمز

:مثالالرباط " هي " الرباط عاصمة املغرب"نفي القضية ) 1

".ليست عاصمة املغرب P القضية ℝ األعداد احلقيقيةجمموعة يف نعترب) 2

"املتمثلة يف اخلاصية , 2"x x∈ ≤ℝ .هذه نفي يكون عندئذ

"القضية , 2"x x∈ >ℝ.

، ل عادة العالقة بني قضية ونفيها جبدول كما يليمنث) 3 :خلطئها 0 لصحة القضايا و 1حيث يرمز

P P 0 1 1 0

)الوصل (تعريف

هو Q و P وصل القضيتني. قضيتنيQ و Pلتكن

P ، ذات الرمزقضيةال Q∧، اليت تكون صحيحة إذا وفقط كانت .صحيحة Q و Pكل من

Q و Pخاطئا قلنا إن Q و P القضيتني وصل كان إذا .)أو غري منسجمتني (متناقضتان


168

مالحظة

صلنالحظ أن التعريف السابقة يؤدي إىل أن قضية الو

P Q∧ خاطئة يف كل حالة من احلاالت التالية : . خاطئةPإذا كانت )1 . خاطئةQإذا كانت )2 . خاطئةQ وPإذا كانت كل من )3

مثال

1: التالية Pنعترب القضية ,

2x x∈ ≥ℚ، والقضية Q

1التالية ,

2x x∈ ≤ℚ . عندئذ تكون قضية الوصلP Q∧ هي

1,

2x x∈ =ℚ.

)فصلال(تعريف

هو Q و P فصل القضيتني. قضيتنيQ و Pلتكن

Pالقضية، ذات الرمز Q∨ اليت تكون صحيحة إذا إحدى ، .أو كالمها Q و Pالقضيتني


169

مالحظة

نالحظ أن التعريف السابق يؤدي إىل أن قضية الفصل

P Q∨ خاطئة إذا كانت كل من القضيتني Pو Q .خاطئة

مثال

1": التالية Pنعترب القضية ,

2x x∈ >ℚ" والقضية ،Q

1"التالية ,

2x x∈ <ℚ" . الفصلعندئذ تكون قضية P Q∨ هي

1,

2x x∈ ≠ℚ.

)االستلزام(تعريف

Pنرمز للقضية . قضيتنيQ و Pلتكن Q∨ بـ P Q⇒ا ونقرأها استلزاميهاسم، ونP تستلزم Q.

اتمالحظ

".يستلزم"بدل " يقتضي"جند يف بعض الكتب لفظ ) 1

متعدية، مبعىن أن " عالقة"ستلزام الحظ أن اال) 2.( ) ( )( ) ( )P Q Q R P R⇒ ∧ ⇒ ⇒ ⇒


170

الحظ أن من مآخذ االستلزام أنه يسمح بكتابة) 31 2 2 3= ⇒ Pإذ أن " دون حياء" = Q∨ تعين هنا أن املطلوب

1هو صحة إحدى القضيتني 2 أو ≠2 القضية كانت وملا. =3

1 1 صحيحة فإن ≠2 2 2 3= ⇒ نعرب عن ذلك أحيانا بالقول !=) ... كما يستلزم الصحيح أيضا ("اخلاطئ يستلزم اخلاطئ" إن

. "الصحيح" فهو ال يستلزم إال "لصحيحا"ـ خالفا ل

Pحينئذ تكون . صحيحةP لرؤية ذلك افترض أن

P"وعليه إذا افترضنا أن . خاطئة Q⇒"أي أن القضية ، صحيح P Q∨ علما أن ( صحيحةPفال بد أن تكون ) خاطئة Q يؤدي حتما Pخالصة القول إن االنطالق من صحة . صحيحة . Qإىل صحة

) اصوري (ا شكلياومن جهة أخرى نالحظ أن هناك جانب أن تعينPإذا كانت القضية : "االستلزام" يف مسألة اواضح

3" تعين Qوالقضية " القاهرة عاصمة مصر" فمن الواضح" =3P أن Q⇒ن ألP Q∨رغم أن موقع القاهرة ال عالقة صحيحة

.3له بالعدد


171

القاهرة عاصمة " القائلة R نعترب القضية كما أننا لوRفسنجد أن أية قضية Sكانتو" بريوت S⇒ ألن R S∨ من حسن احلظ أننا ال نستعمل املنطق الرياضي يف هذا ...صحيحة ! العبثيالسياق

)التكافؤ( تعريفمتكافئتان إذا Q و Pنقول إن . قضيتنيQ و Pلتكن .Pتستلزم Q وQ تستلزمP كانت

P الكتابة Q⇔ القضيتني ر عن تكافؤهي الرمز املعبP و Q.

مالحظة

نالحظ أن تكافؤ قضيتني يعين أما صحيحتان معا أو ) 1 .ن أن تصح أحدمها دون األخرىخاطئتان معا، وال ميك

) لدينا) 2 )P P⇔ قضية كل أجل من P ، أي أن نفي نفي .قضية يكافئ تلك القضية

متعدية، مبعىن أن " عالقة" الحظ أن التكافؤ )3.( ) ( )( ) ( )P Q Q R P R⇔ ∧ ⇔ ⇒ ⇔

):لدينا ) 4 ) ( )P Q Q P⇒ ⇔ و P قضيتني أجل من ⇒Q.


172

إليك اجلدول احلقيقة التايل الذي يلخص ما ورد أعاله، :Q و P من أجل قضيتني

P Q⇔ P Q⇒ P Q∨ P Q∧ Q P 1 1 1 1 1 1 0 0 1 0 0 1 0 1 1 0 1 0 1 1 0 0 0 0

مثالP نثبت أنجدول احلقيقة، باستعمال ) 1 Q P Q∧ ⇔ ∨:

P Q P Q∧ ⇔ ∨ P Q∨ Q P

P Q∧ P Q∧ Q P 1 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 0 1 0 0 1 1 1 0 1 1 0 1 0 1 1 1 1 1 0 0 0

أن أيضانثبت يقةباستعمال جدول احلق) 2

P Q P Q∨ ⇔ ∧:

P Q P Q∨ ⇔ ∧ P Q∧ Q P P Q∨ P Q∨ Q P 1 0 0 0 0 1 1 1 1 0 1 0 0 1 0 1 1 0 0 1 0 1 1 0 1 1 1 1 1 0 0 0


173

)توزيع الفصل والوصل (نظريةلدينا التكافؤان التاليان . ثالث قضايا R و Q و Pلتكن

: : توزيع الفصل على الوصل) 1

.( ) ( ) ( )P Q R P Q P R∨ ∧ ⇔ ∨ ∧ ∨

: وزيع الوصل على الفصلت )2

.( ) ( ) ( )P Q R P Q P R∧ ∨ ⇔ ∧ ∨ ∧

.متروك للقارئ : الربهان

1 مترين

"قصائياإل الفصل "ف رابطةعرن. قضيتنيQ و P لتكن

:يلي كما ،ρ هلا بـ نرمز اليتP تكون Qρ التاليتني احلالتني إحدى صحتإذا وفقط إذا:

،خاطئة Q و صحيحةP :األوىل احلالة -

.صحيحة Q و خاطئة P: الثانية احلالة -

" احلقيقة لـ جدول اكتب )1 "ρ.

:أن أثبت. P ،Q ، R قضايا ثالث نعترب )2 ) )أ ) ( )P Q R P Q Rρ ρ ρ ρ⇔.

) )ب ) ( ) ( )P Q R P Q P Rρ ρ∧ ⇔ ∧ ∧.


174

:هشاشة املنطق الرياضي 2.1 لكننا نستطيع ،دقيق للربهانرياضي ليس هناك تعريف

،قضايا أو ،قضيةوصفه بأنه استدالل يسمح بتوضيح صحة وميكن بعد ذلك . م اانطالقا من خواص وقضايا مثبتة أو مسل

ستدالل مواصلة اال و إىل الفرضياتتوضيحهاضم القضية اليت مت ويف كل األحوال، فالربهان مبين . رىيا أخا قضمن أجل إثبات

إن مل يكن به " الطعن فيه"على املنطق الرياضي، ولذا ال ميكن لكنه من اجلائز الطعن يف الفرضيات اليت ننطلق . منطقيخلل

.منها ألداء الربهان

والواقع أن الربهان الذي نقدمه يف إطار دروسنا ليس باملفهوم " صحيح" ميكن أن نصفه بأنه عموما مفصال إىل حد

لها إذ نكتفي يف أغلب األحيان بتقدمي عناصر يتقب. املنطقي. املستمع أو املتتبع للربهان وتقنعه بصحة القضية املراد إثباا

.أمر نسيب" الربهان"وعليه ميكن القول أن

يف مفهوم " النسبية"نود يف هذا املقام التأكيد على جانب أوجه -بتصرف - فيما يلي تلخيصولذا ارتأينا. املنطق والدقة

نظر غري مألوفة حول السبل املتبعة يف الرياضيات وسلوكات


175

اب أستاذ وقد اعتمدنا يف ذلك بوجه خاص عما جاء يف كت. أهلها نوردون الفرنسي الرياضيات

Nordon D. : Deux et deux font-ils quatre ? Sur la

fragilité des mathématiques, Pour la Science, Paris, 1999.

هارشوديفس األمريكيني أستاذي الرياضياتوكتايبDavis P. J, Herch R. : The Mathematical experience, Birkhauser, Boston 1982 . Davis P. J, Herch R. : Descartes’ Dream, The world according to mathematics, Harcourt, Brace Jovanovich Inc., Orlando, 1986.

هناك وسيلة ناجعة تسمح لنا بالصمود أمام زخم املعارف

علينا أن نقتنع بأننا ملمون بقسط من املعارف يكفينا إلبداء : والنقد ال يعين اإلساءة . الرأي واحلكم على األشياء وتوجيه النقد

... بل يعين اإلسهام يف رد األمور إىل نصاا بتأكيد نسبية األشياء .فال إفراط وال تفريط

إذا طبقنا هذا املبدأ على الرياضيات فال بد أن نطرح مجلة

ماذا تعين الرياضيات بالنسبة ألصحاا؟ وما : من اإلشكاليات قيمتها لديهم؟ ما هي اإلضاءة اليت تقدمها؟ وعماذا تنعكس تلك اإلضاءة؟ هل تشوه الرياضيات نظرة اإلنسان لألشياء؟ واألسئلة من هذا القبيل كثرية ومتنوعة، لكن اإلجابة عنها ستختلف


176

باختالف ايبني، إذ ال نتصور أن إجابة الباحث يف الرياضيات يف التعليم الثانوي يف عجلة من أمره تلميذستكون مطابقة إلجابة

.إلزالة حاجز الرياضيات من طريقه

أن أحسن استراتيجية للتأمل يف بعض الرياضيني يرى رياضيات هي أن تستخدم كل املقاربات يف آن واحد حىت لو ال

نعترب أن كلها مقاربات جيدة ألن ليس منها ما : كانت متناقضة إن الرياضيات معقدة ومتعددة األوجه !هو أفضل من غريها

ومن مث فالصورة الوفية للرياضيات ال . وكذلك حال وسط أهلها ميكننا استنباط وعلى كل حال فال. بد أن تكون متعددة أيضا

أثرى احلقائق وأصدقها إذا ما انغمسنا بدون انقطاع يف نفس . االجتاه

إن املزج بني املقاربات منهجية جيدة ألا ال تومهنا بأا

ويف مطلق األحوال فإن الرغبة يف فهم الرياضيات رغبة ال !جيدةميكن تلبيتها ألن الرياضيات انشطرت إىل آالف االختصاصات

لتفرعات، وكل فرع منها يتطلب مدة تعادل حياة الفرد وا . للتحكم يف زمامها


177

أن هناك ون فيعلنم موقفهبعض هؤالء الرياضينيويوضح غلوا يف القول بأن للرياضيات مزايا من شأا أن تساعد الفرد

املنطق السليم واحلجة الدامغة : على اكتساب قدرات فكرية ولذا ينبغي إعادة . اب الفكر الناقدوالقدرة على التجريد واكتس

النظر يف العديد من األحكام واآلراء خبصوص الرياضيات وشأا :يف اتمع ويقتضي األمر أن يقدم الرياضيون بعض التنازالت منها

قبول الفكرة القائلة بأن للرياضيات معىن آخر خيتلف - .لرياضيوناعن ذلك الذي يعطيه هلا

ظريات اليت يتغنون برباهينها وصدق التسليم بأن الن - ومن مث فهي قابلة ،نتائجها هي نظرية حتمل نصيبا من النسبية

.للنقاشالتسليم بأن رأي رجل الشارع ليس أقل شرعية من -

.رأي الرياضياليت ال زالت حتيط " اليقني"ينبغي التخلي عن فكرة - .بالرياضيات

ي أن يدرك ويواصل الناقدون بالتأكيد على أنه ينبغالرياضيون بأن طبيعة املعرفة املكتسبة من قبل الفرد أقل أمهية من

جيب اخليار بني االنغالق والتشدد والسيطرة : مواقفه الفكرية إن النقاش فعل . وبني االنفتاح واملرونة واإلنصات إىل اآلخرين

ثقايف متميز وبالغ األمهية ألنه يعين قبول اآلخر وقبول تأثرياته حىت


178

ومن ناحية . لو كنا حنن املختصني وكان هو من غري املختصنيأخرى فاإلميان شاشتنا وهشاشة علمنا يدفع عنا امليول إىل

فلماذا خنشى من هشاشة الرياضيات؟. االنغالق الفكري

إن من يعرف الرياضيات عن كثب يعلم أن الربهان ال لرياضيني يؤدي فيها الدور األساسي إذ ليس من الصعب إقحام ا

وضعيات إىليف متاهات منطقية حول ما أثبتوه من نتائج وجرهم ويعرف هؤالء . يعجزون فيها عن اإلتيان بالتبارير واحلجج املقنعة

الرياضيون أيضا أن اجلمال له مكانة مرموقة يف الرياضيات، سيما وعليه . البحتة، والكل يعلم أن اجلمال قضية ال تثبت وال تربهن

جنعل الرياضيات حمل نقاش مثلما نناقش األذواق ميكننا أنواهلدف من هذا النقاش ال يرمي إىل جعل الطرف اآلخر . واأللوان

يغير رأيه بل يرمي إىل إدراك الثراء الذي حتمله أوجه النظر . املختلفة

سيما يف " برهان"هل سبق لك أن تساءلت عن معىن كلمة قيق هلذا املعىن؟ أمل تقل الرياضيات ؟ وهل توصلت إىل تعريف د

الربهان هو توضيح وشرح احلقيقة بشكل بديهي " يوما إن تبيان حقيقة حبجج مقنعة ال غبار عليها وغري قابلة " ؟ أو إنه "سليم ؟ أتظن أن تعريفا كهذا يقبله العام واخلاص ؟" للنقاش


179

إذا حتدثنا عن الرياضيات وبراهني النظريات املقدمة خالل قتناعنا ذه الرباهني تتوقف ا فال بد أن نعترف بأن درجة تدريسها

كم من أسـتاذ قـدم !على مدى ثقتنا فيما يقوله األستاذ املدرس نعدام الثقة بينه وبـني تالميـذه ابرهانا سليما على السبورة لكن

جعلت هؤالء يطرحون عليه وابال من األسئلة أربكته وأفقدته يقينه ستاذ أخفق يف تقدمي أحـد الـرباهني إال أن وكم من أ ... بربهانه

الثقة الكاملة يف قدرة هذا األستاذ جعلـت التالميـذ يـصدقون !تصديقا أعمى ما روي هلم وحيجمون عن طرح أي سؤال

وقد تفنن أساتذة الرياضيات يف عرض براهينهم على

وذلك دف تفادي املشاكل اليت ،طالمتالميذهم والسبورة أمام وهكذا جند أحدهم يقدم !"واضح"نجر عن برهان كامل وقد ت

كأن يكتفي خالل عرض برهان نظرية عامة ... برهانا مبثال ال داعي إلثبات احلالة العامة : " مث يقول ،بإثبات حالة خاصة منها

!"ألن العناصر األساسية موجودة يف هذه احلالة اخلاصة

حيدث !"لترهيببا"ومن هؤالء األساتذة من يقدم برهانا ذلك عندما يكتب األستاذ على سبورته نتيجة من النتائج مث يقول

من " أو " الربهان على هذه النتيجة تافه" أو " هذا بديهي: " !"الكل يعرف هذه النتيجة" أو " املعلوم أن هذه النتيجة صحيحة


180

لب إىل هذه املقولة من املقوالت فمن االطالتلميذ أو إذا استمع ملاذا وكيف؟: أ، بعد ذلك، ويسأليتجر!

ذات مرة كان : هناك حادثة طريفة تدعم هذا الرأي -Hardy) 1877الرياضي الربيطاين الشهري غودفري هاردي

يلقي حماضرة أمام عدد قليل من الطلبة املتفوقني جبامعة ) 1947فكتب هاردي على اللوح عالقة رياضية بالغة التعقيد . كمربدج

ا عالقة بديهية"وهو يرددوفجأة انقطع عن الكالم وانغمس ". إيف تفكري عميق، وكان واضحا أن تلك العالقة كانت موضوع

مث توجه يف صمت اىل مكتبه القريب من قاعة احملاضرات . تفكريهوكان الطلبة يشاهدونه يف غدو ورواح داخل املكتب وهو شديد

ي اىل القاعة وأشار وبعد مرور ساعتني كاملتني عاد هارد. التركيزبطبيعة : "اىل العالقة اليت كانت الزالت مكتوبة على اللوح قائال

وواصل حماضرته دون تقدمي أية " احلال، إا عالقة بديهية !وكأن شيئا مل يكن... شروحات إضافية

والواقع أن هناك، يف كل برهان على نتيجة رياضية، حلظة

الربهان يتطلب منا دائما صمت تأيت يف حلظة حامسة ألن إدراك" بديهي"لكن علينا أال نفهم من لفظ . إدراك نتيجة بديهية

السهولة والوضوح، بل ميكن التأكيد بأنه كلما زاد جتريد نظرية


181

حنن ال نقول عن شيء ملموس ومرئي " : البداهة"كلما زاد دور . إنه بديهي) مثل النص الذي بني يديك(

يف الرياضيات " بديهي"ظ وخالفا ملا هو متداول فلف

يستخدم عموما عندما نعجز عن تقدمي املزيد من التوضيحات أن األمر الذي نريد إثباته مرئي، " البداهة"للمستمع؛ وال تعين

وإمنا نطلب بذلك من املتتبع أن يبذل املزيد من اجلهد الشخصي حنن : والتفكري املركز لالقتناع بصحته ويدرك مبفرده بقية املوضوع

نصمت ونتوقف عن تقدمي املزيد من التوضيحات يف اللحظة اليت ذلك أن . ينبغي على املستمع بذل اجلهد الشخصي لالقتناع

إنه خطاب يقنع حلظة : خطاب الرياضيات يتميز خباصة غريبة أليس يف ذلك برهان على وجود هشاشة يف . الكف عن الكالم

نتصورها وليست الرياضيات ليست بالدقة اليت إن الرياضيات؟ ! زاعموناألساس كما يزعم ال متينة

وإذا عدنا إىل تعريف الربهان يف الرياضيات فإننا جنده

ضها لكل نتيجة مرتبطا باملنطق حيث أن ما مييز الرياضيات هو رف ولسوء احلظ فإن الفكر املنطقي ليس فكرا . مل تثبت بربهان منطقي

وأحسن دليل علـى . سائدا لدى عامة الناس وال يتميز بالسهولة ". املنطقية"ذلك أن الكثري من معتقداتنا الشخصية مل ختضع لرقابتنا

ما الذي جيعلنا نؤمن مثال بأن األرض تدور حول نفسها وحـول


182

؟ أال يرجع ذلك اإلميان إىل ثقتنـا يف أقـوال أسـاتذتنا الشمسوعلمائنا؟ أمل تعش البشرية زمنا طويال وهي تؤمن إميانا راسخا بأن

!بناء على أقوال علمائها آنذاك؟... األرض ثابتة ال تدور

الـيت حتـيط شكالية اإللعل ما يـزيد يف توضيــح و

ي تصوره الرياضـيان احلـوار املوايل الذ " الربهان"تعريف معىن بيـدور هـذا . Hersh هارش. و ر Davisديفس . ج. ب

رياضيات وطالب يف قـسم ملادة ال بني أستاذ مثايل الطريف احلوار :الفلسفة

؟"الربهان"سيدي، ما هو : الطالب أال تعرف ذلك؟ يف أية سنة تدرس؟: األستاذ .يف السنة الثالثة: الطالبهان هو ما رأيتين أقـوم الرب !هذا ال يصدق : األستاذ

به أمامك على السبورة ثالث مـرات أسـبوعيا خـالل ثـالث .ذلك هو الربهان ... !سنوات

علي أن أوضح بـأين أدرس . آسف سيدي : الطالب .ومل يسبق يل أن حضرت دروسكم... الفلسفة وليس الرياضيات

يف هذه احلالة، ال بد أنك درسـت !ال بأس : األستاذاضيات، أليس كذلك؟ أال تعرف برهـان النظريـة قليال من الري

األساسية يف التحليل أو برهان النظرية األساسية يف اجلرب؟


183

أطلعت على استدالالت يف اهلندسة واجلرب : الطالبلكن ما أطلبه منكم لـيس أمثلـة . والتحليل كانت تسمى براهني وإال كيـف ميكـنين " ... الربهان"لرباهني بل أود تعريفا ملفهوم

االقتناع بأن هذه األمثلة صحيحة؟كانت هذه القضية قد هيكلها العالم . نعم: األستاذ

حسب ) Tarski )1902 -1983تارسكي ألفرد املنطقي Russelروسل برترند علمي، وشاركه يف ذلك آخرون مثل

) 1858-1932( Peano بيانو جيوزييبو) 1872-1970(قوم به هو التعبري عن إن ما ينبغي أن ن. هذا ليس مهما...

وذلك ) صورية(نظريتك بلغة شكلية ) بديهيات(مسلمات وبعد ذلك تكتب . باستخدام قائمة معينة من الرموز واحلروف

فرضيات القضية اليت تريد الربهان عليها باستعمال الرموز املشار عندئذ، تثبت أنك تستطيع التحول خطوة خطوة . إليها آنفا. إىل أن تصل إىل النتيجة املطلوبة) اعد املنطقبفضل قو(بفرضياتك

أفهمت؟ !ذلك ما يسمى برهانا لقد تعلمت !أهذا كل ما يف األمر؟ عجيب : الطالب

لكين مل أر أبدا ... بولوجيا طالتحليل األويل والعايل واجلرب العام وال .ما ذكرمت يل اآلن


184

بطبيعة احلال، فليس هناك من يقوم بكـل : األستاذعليك فقـط . ذلك يتطلب وقتا طويال ... ن أوله إىل آخره هذا م

!هذا يكفي... أن تثبت بأنك قادر على القيام به هذا أيضا ال يشبه ما يوجد يف دروسي ويف : الطالب

!الواقع أن الرياضيني ال يقدمون براهني... كتيب إننا نقـدم بـراهني، وإذا مل يـتم !كيف؟: األستاذ .فهي ال تساوي شيئاالربهان على نظرية إذن، ما الربهان؟ إذا كان الربهان هو لغـة : الطالب

هل . شكلية وقوانني حتويل فال ميكن ألي كان أن يربهن على شيء ينبغي معرفة كل شيء حول اللغات الشكلية واملنطـق الـشكلي

قبل اإلقبال على تقدمي برهان رياضي؟) الصوري( جهلـك ـذه فبقدر ما يزداد !طبعا، ال : األستاذ

وعلى كل حـال، فهـي !األمور بقدر ما يكون ذلك يف صاحلك .عبارة عن حيل جمردة غري ملموسة

فمـا الربهـان ... إن كان األمر كـذلك : الطالب !بالضبط؟

الربهان هو استدالل يقنع أي شخص ... آه : األستاذ !ملم باملوضوع

هذا يعـين أن !"أي شخص ملم باملوضوع ": الطالبفهو متعلق باألشخاص املهـتمني ... يف الربهان تعريف نسيب تعر


185

وهكذا، قبل أن نثبت فيما إذا كان أمر ما برهانا أم ال، . باملوضوع ما عالقة هذا الكالم بالربهـان !مال بد أن نقرر من سيكون احلك

!على نظرية؟ ليـست !لقد ابتعدت كثريا عن املوضوع : األستاذفكل الناس يعرفون ما هو الربهـان ... لك هناك نسبية فيما قلته

!اقرأ فقط بعض الكتب وتابع دروس رياضي كفء وستفهم... أأنتم متأكدون مما تقولون؟: الطالبمن املمكن أن ال تفهـم إن مل تكـن ... آه : األستاذ

.فهذه احلالة حتدث أحيانا... !موهوبا ما - أنتم -خالصة قولكم أنكم تقررون : الطالب

الربهان؛ وإذا مل أتعلم أنا كيف أقرر وأحكم وفـق طـريقتكم هو !فأنتم تقررون أين لست موهوبا

إذا مل أقم أنا بذلك فمن عساه يؤدي هـذا : األستاذ !الدور؟

: أمناط الربهان3.1

:لنذكر بعضها . عدة أمناط من الرباهنيجند يف الرياضيات

عتمد على الربهان املباشر الذي يب ما يسمى هناك -إذا : ويتمثل ذلك يف املبدأ التايل . خاصية االستنتاج املنطقي


186

P صحيحة و Pكانت القضية Q⇒) أيP يستلزم Q (

.صحيحة Q فإن

، وهي )برهان غري مباشر(ناك الربهان باخللف وه -

طريقة تتمثل يف إثبات استحالة قيام نفي القضية اليت نريد املراد إثباا Qوهنا نفرض أن القضية. الربهان على صحتها

الواردة يف الفرضيات Pخاطئة مث نربهن عندئذ أن القضية كل ذلك يعتمد على صحة . وبذلك ينتهي الربهان. خاطئة

: التكافؤ التايل الذي أشرنا إليه آنفا ( ) ( )P Q Q P⇒ ⇔ Pفلكي نثبت. ⇒ Q⇒ يكفي

Q أن نثبت) ويلزم( P⇒.

يقوم مبدؤه على : الربهان بفصل احلاالت وهناك -

: املالحظة التالية

ثالث قضايا حتقق الشروط R و Q و Pإذا كانت : التالية ةالثالث

1(P Q∨ ،صحيحة 2 (P R⇒ ،صحيحة

3(Q R⇒ صحيحة. . صحيحةRعندئذ تكون القضية


187

مالحظةQ هذا النمطمن الناحية العملية نعترب عموما يف P=

P �ن األول الشرط الدوام على فيتحقق P∨ صحيحة دوما.

يف احلالة الذي نلجأ إليه الربهان باملثال املضاد هناك -)إذا كانت لدينا خاصية :التالية )P λ متعلقة بوسيط λ ينتمي

)هل : وكان السؤال Aإىل جمموعة )P λ صحيحة مهما كان Aλ ؟ فإذا أردنا اجلواب بالنفي فما علينا سوى أن جند قيمة ∋

)0 حبيث تكون 0λواحدة للوسيط )P λيعترب البحث . خاطئة) حبثا عن مثال مضاد يفند صحة 0λعن قيمة للوسيط )P λ

Aλن مهما كا ∈. نستخدم هذا :) أو بالتدريج (الربهان بالتراجع وهناك -

املراد إثباا تتعلق النوع من االستدالل عموما إذا كانت القضية : التايل املبدأويقوم الربهان بالتراجع على . بوسيط طبيعي


188

ℕ الطبيعية األعداد جمموعة نم جزئية جمموعة A لتكن) أ

: حتقق الشرطني 1 (0 A∈، 2(: 1x A x A∀ ∈ + ∈.

.A=ℕ عندئذ يكون

) إذا كانت) ب ( ))P n رتبطة بوسيط طبيعي م خاصيةn : وحتقق الشرطني 1( ( )0P صحيحة.

) االستلزام ) 2 ) ( )1P n P n⇒ صحيح من +nأجل كل ∈ℕ.

)عندئذ تكون اخلاصية ( ))P n حمققة من أجل كل n ∈ℕ.

مالحظة

) يتمثل القيام بالربهان على خاصية ( ))P n بالتراجع من nأجل كل ∈ℕيف التأكد من صحة الشرطني الواردين يف ب .(

مثال

نضع n طبيعي ��د كل أجل من

,2

0

n

nk

S k=

=∑

. ( )( )6

121 ++= nnnnα


189

: القضية إثبات نريد.: n nn S α∀ ∈ =ℕ

) نسميمن أجل ذلك )P n اخلاصية n nS α= .

) اخلاصيةنالحظ أن )0P 0 : تعين2

0

0

20 00 α====∑

=k

kS .

. أا صحيحةنرى بشكل بديهي ومن مث) أن لنفرض )P n كيفي طبيعي عدد من أجل صحيحة

n، ونثبت صحة ( )1P n + .

: أن من التأكد السهل من

( )21 1++=+ nSS nn

( )( )( )1

2

1 2 2 3

6

( 1) .

n

n

n n n

n

α

α

+

+ + +=

= − +

0nوعندما نستغل فرض التراجع القائل nS α− فإننا = :حنصل على

( )( ) ( )2 21 1 1 ( 1)

0.

n n n n

n n

S S n n

S

α α

α+ +− = + + − − +

= −=

11 ومنه ++ = nnS α .

) صيةااخل��ن وبالتايل )P n العدد كان مهما صحيحة

. n الطبيعي


190

: العالقات. 2

)االنعكاس، التناظر، التعدي( تعريفنقول . Eقة ثنائية معرفة يف جمموعة غري خاليةعالRلتكن إ�� Rعن العالقة

:انعكاسية إذا كان )1

.∀ ∈x E xRx: :تناظرية إذا كان )2

.∀ ∈ ⇒x y E xRy yRx, : :ضد تناظرية إذا كان )3

.( ), :x y E xRy yRx x y∀ ∈ ∧ ⇒ =

: متعدية إذا كان ) 4.( ) xRzyRzxRyEzyx ⇒∧∈∀ :,,


191

)فؤ، صف التكا التكافؤةعالق( تعريف إا E يف جمموعة غري خاليةRنقول عن عالقة ثنائية

.تناظرية ومتعديةوعالقة تكافؤ إذا كانت انعكاسية، اعنصر x كانو ،E يف معرفة تكافؤ عالقة R كانت إذا

��E، أو صنف( صف نسمي (تكافؤ x ترديدب R )أو وفق R( موعةا { }xRyEyx :∈=ɺ.

}لصفا كل عنصر مننسمي }xRyEyx :∈=ɺ ممثال هلذا .x الصف، مبا يف ذلك

، R وفق) E يف (التكافؤ صفوف كل جمموعة تسمى

E بـ هلا ونرمز ،القسمة حاصل جمموعة

RE/ أو R.

مالحظة

أي، E تشكل جمموعة صفوف التكافؤ جتزئة للمجموعة

: حمققة التالية لشروطا أن1 (x y x y= ⇒ =ɺ ɺ. 2 (, :x E y E x y x y∀ ∈ ∀ ∈ ≠ ⇒ ∩ = ∅ɺ ɺ.

3 (x E

x E∈

=ɺ∪.


192

مثال العالقة :ℤ الصحيحة األعداد جمموعة يفنعترب التوافق

R بـ املعرفة: [ ]xRy x y⇔ ≡ 3

: أي 3xRy k x y k⇔ ∃ ∈ − =ℤ ،ميكن . تكافؤ عالقة هي :حتديد مجيع صفوف التكافؤ، وهي ثالثة

}: هو 0 تكافؤ صف) 1 }0 0 3 :k k= + ∈ɺ ℤ ،هي أي

.واملوجبة السالبة 3 مضاعفات جمموعة

} هو 1 تكافؤ صف) 2 }1 1 3 :k k= + ∈ɺ ℤ ،أي

{ } { }1 2, 5, 8, 1,4,7,= − − − ∪ɺ … ….

} هو 2تكافؤ صف )3 }2 2 3 :k k= + ∈ɺ ℤ ، أي

{ } { }2 1, 4, 7, 2,5,8,= − − − ∪ɺ … ….

n نالحظ أن أي عدد ∈ℤ ينتمي بالضرورة إىل أحد هي القسمة حاصل مجموعةوبالتايل ف. الصفوف السابقة

{ }/ 0, 1, 2R = ɺ ɺ ɺℤ.

2 مترين التايل يكون التكافؤ حبيثP ،Q ، R قضايا ثالث اختر

): صحيحا )P Q R⇔ ⇒.


193

. املتوسطة أ جمموعة تالميذ السنة التاسعة يفBنضع : مثال كل تالميذ السنة التاسعة يف " على أا P ونعرف القضية

على أا Q ، والقضية"املتوسطة أ جنحوا يف امتحان األهلية

"x B∈ " والقضيةR اعلى أ" x جنح يف امتحان األهلية "

"x y= ."

f: تطبيقا نعترب: مثال ثان E F→ #$%&'و�*(ف ا P +,�

أ�� ,+Q، وا'&%$# " /.�-�f"أ�� ", : ( ) ( )x E y E f x f y∈ ∈ �,+ أ�� Rوا'&%$# " ="x y= ."تباين تعريف عن التكافؤ يعرب أن نالحظ حينئذ

.تطبيق 3ن متري

يف جمموعة األعداد املعرفة R الثنائية العالقة لتكن :احلقيقية

2 2, :x y xRy x x y y∈ ∈ ⇔ − = −ℝ ℝ. هل تظل . ℝ علىتكافؤ عالقةR أنمن تأكد) 1 .ℕ بـℝ عالقة تكافؤ حىت عند استبدالRالعالقة

/ حاصل القسمةجمموعة حدد) 2 Rℝ.


194

) الترتيبةعالق(تعريف

إاغري خالية Eيف جمموعة R ثنائية عالقة عن نقول

نقول. ومتعدية تناظرية ضدو، انعكاسية كانت إذا ترتيب عالقة

�� E بـ مرتبةإ�� R.

صرينعن كل كان إذا كلي ترتيب هR 0 ترتيب عالقة

x و y من E بـ املقارنة يقبالن R أي xRy أو yRx، فهي وإال

.جزئي ترتيب

مثال

ف يف جمموعة األعداد الطبيعية غري املعدومةنعر *ℕ

: التالية R العالقة

xRy يعين أن x يقسم y.

وهذا يعين أن .* :k y kx xRy∃ ∈ = ⇔ℕ

: ترتيب عالقة R العالقة أن تأكد

xRxنالحظ أنه ميكن التعبري عن : انعكاسية العالقة )1 x.1بـ x= وهذا مهما كان ،*x ∈ℕ . وبالتايل فالعالقة

.انعكاسية


195

حبيث ℕ* منy و x ليكن: ضد تناظريةالعالقة ) 2

xRy و yRx. هذا يعين: *, ' : 'k k y kx x k y∃ ∈ = ∧ =ℕ

جند بالتعويضو*, ' : 'k k y kk y∃ ∈ =ℕ

ومنه

.( )*, ' : 1 ' 0k k kk y∃ ∈ − =ℕ

1'0 أنينتج y≠0 أن مباو =− kk، 1 أي'=kk .لكن k و 'k

=='1 ولذا ،نيطبيعي نيعدد kk. وبالتايل yx =.

حبيث ℕ* من z و y و x ليكن :متعديةالعالقة ) 3

xRy و yRz ،أي

.*, ' : 'k k y kx z k y∃ ∈ = ∧ =ℕ :جند بالتعويضو

( )*" ' : 'k k k z k k x∃ = ∈ =ℕ

R تنتج من كل ما سبق أن العالقةنس .xRz القول يكافئ وهذا

.ℕ*ترتيب يف عالقة

ترتيب كلي ألنه �23# ليست R العالقةنالحظ أن �y و x على األقل عنصرين يوجد� *ℕ يثحب xRy وyRx

5x خذ مثال. حمققتني غري 19y و = =.


196

)أصغر وأكرب عنصر (تعريف .R جمموعة مرتبة بعالقة ترتيب Eلتكن

:إذا كان Eأصغر عنصر يف E من m عنصر يكون) 1 .∀ ∈x E mRx:

:نإذا كا E أكرب عنصر يف E من M عنصر يكون) 2 .∀ ∈x E xRM:

مالحظةالحظ أن التعريف السابق ال يؤكد وجود العنصر األصغر

).إن وجدا(لكنهما وحيدان ... والعنصر األكرب

مثال] بـ املعرف ℝ من اال E ليكن) أ [0,E = +∞ .

" املألوفة الكلية الترتيب بعالقة ℝ نزود "≤.

.0 هو Aأصغر عنصر لـ ) 1

.Eلـ عنصر ليس هناك أكرب) 2[ بـ املعرف ℝ من الاE ليكن) ب ],0E = −∞ .


.Eلـ عنصر ليس هناك أصغر) 1 .0 هو Eأكرب عنصر لـ ) 2

[ بـ املعرف ℝ من اال E ليكن )جـ [0,1E = .


.Eلـ عنصر هناك أصغرليس ) 1 .Eلـ عنصر ليس هناك أكرب) 2


197

)العناصر احلادة من األعلى( تعريف .R جمموعة مرتبة بعالقة ترتيب Eلتكن

جلزءاألدىنعنصر حاد من E من m يكون عنصر) 1 :إذا كانE من A غري خال

.:x A mRx∀ ∈ عنصر حاد من األعلى جلزءE من M يكون عنصر) 2 :إذا كانE من A غري خال

.∀ ∈x A xRM: العناصر احلادة أكربهو E من A جلزءاألدىناحلد ) 3

.Ainf بـ األدىن للحد نرمز.A للجزءاألدىنمن

هو أصغر العناصر احلادة E من A احلد األعلى جلزء) 4 .supA بـ األعلى للحد نرمز ..A من األعلى للجزء

مالحظةالحظ أن التعريف السابق ال يؤكد أن احلاد من األدىن

ليسا بالضرورة وإن وجدا فهماواحلاد من األعلى موجودان، .وحيدين

مثال] بـ املعرف ℝ من اال A ليكن) أ [0,1A نزود. =

E = ℝ املألوفة الكلية الترتيب بعالقة " "≤.

.Aكل عدد سالب أو منعدم ميثل حادا من األدىن لـ


198

متثل حواد من األعلى 1 )أو تساوي(األكرب األعداد كل .A لـ

inf 0A A= sup و ∋ 1A A= ∉.

[ بـ املعرف ℝ من اال A ليكن) ب [0,A = +∞ .

E نزود = ℝ املألوفة الكلية الترتيب بعالقة " "≤.

.Aكل عدد سالب أو منعدم ميثل حادا من األدىن لـ

.A ليست هناك حواد من األعلى لـ

inf 0A A= ∉. .احلد األعلى غري موجود

4 مترين

} لتكن }5,6,8,22A } و = }1,3,6,9,12,36B =

:آنفا املعرف Rالترتيب بعالقة املزودة ℕ* من جزئيتني جمموعتنيxRy يعين أن x يقسم y..

،عنصر أكرب هلا B، وأن عنصرليس هلا أصغر A :تأكد من ) 1 .36 وهو

. واحلد األعلىA احلواد العليا للمجموعة) إن وجدت(عين ) 2 .، وكذا احلد األدىنA احلواد الدنيا لـ) إن وجدت(عين ) 3

البىن اجلربية : 2 الفصل

201

ةالزمــر. 1 : مقدمة 1.1

اجلرب العام واجلرب : درج الرياضيون على تقسيم اجلرب إىل قسمني ، بادئ ذي بدء،مل نطلاخلطي ما مبوضوع اجلرب وال ميكن أن نلم. اخلطي

فاجلرب اخلطي يتمحور حول الفضاءات . إطاللة وافيةعلى اجلرب العام) املصطلح اإلنكليزياميهأو الفضاءات اخلطية، كما يس(الشعاعية

ومن املعلوم أن مفهوم الفضاء الشعاعي يقوم على .والتطبيقات اخلطيةـمفاهيم تدواجلرب العام يتناول عدة بىن جربية، أمهها . س يف اجلرب العامر

حناول يف هذا الدرس تقدمي أهم . بنية الزمرة وبنية احللقة وبنية احلقل .عناصر هذه البىن الثالث

، مث احلقل احللقة بنية مث ،نبدأ ببنية الزمرةن الطبيعي أن وم

واملالحظ أننا نلتقي مبفهوم احللقة عموما يف جمموعات الدوال . )اجلسم(التركيز على بعض و التعاريف عدد منإننا نريد هنا تقدمي . أو املصفوفات

وإذا كان مفهوم الزمرة قد . واحلقل دون غريهاجوانب بنية احللقةد الرياضيون يف وضعه ودراسته قرنني كاملني فإن مفهوم احللقة مل اجته

. ونيف يظهر إال منذ قرنومن املعلوم أن املدرسة األملانية الرياضية هي اليت كانت من وراء

وطورها العديد . إنشاء مفهوم احللقة واحلقل يف أواخر القرن التاسع عشر


202

-Kummer) 1810من الرياضيني األملان، مثل أرنست كومر وليوبولد ) 1831-1916 (Dedekindورتشارد ديدكيند ) 1893

Hilbertوديفد هلربت ) Kronecker) 1823-1891كرونكر )1862-1943.(

يف نفس الوسط العلمي وحبثوا يف مواضيع هؤالء عاشلقد

مشتركة من بينها موضوع األعداد اجلربية واملعادالت اجلربية والبحث يف والبحث عن برهان لنظرية فريما اليت أتى عليه األنكليزي ... سبل حلها

نذكر أن نظرية . أندريو وايلز يف مطلع التسعينيات من القرن العشرينnاملعادلة فريما املشار إليها هنا تقول إن n nx y z+ ال تقبل حال من =2 مهما كان x، y ، zأجل أية أعداد طبيعية موجبة n< . ومن

الربهان على بعض احلاالت اخلاصة منها بدءا من منتصف املعلوم أنه متوأدت الدراسات املوالية هلذه املسألة إىل تقدم بالغ . القرن الثامن عشر .وم باجلرب ارد واهلندسة اجلربيةاألمهية ملا يعرف الي

الذي ميكن ( Zahlringواملالحظ أن املصطلحني األملانيني

قد ظهرا يف كتاب رتشرد ) حقل (Körperو ) ترمجته بعدد حلقي. 1871عام ) كتاب يف اجلرب( Lehrbuch des Algebraديدكيند

ة للداللZahlringلكن الظاهر أن هلربت هو الذي استعمل مصطلح على احللقة يف مقاله الذي عنوانه


203

Die Theorie der algebraischen Zahlkörper, Jahresbericht der Deutschen Mathematiker Vereinigung, Vol. 4, 1897.

هو الذي )Fraenkel) 1891-1965ويذكر أن أدولف فرنكل

ام قدم املسلمة األوىل الواردة يف تعريف احللقة وذلك ضمن حبث صدر ع Journal für die reine und يف الة الرياضية 1914

angewandte Mathematik )قية اليت والتطبي البحتة الرياضيات جملة ). بأملانيا1826أنشئت عام

)Noether )1882-1935 قدمت إميي نوثر 1921ويف عام

Idealمية لنظرية احللقات التبديلية يف حبثها الضخم األسس املسل

Theory in Rings )وال بد من اإلشارة ). لقاتنظرية املثاليات يف احلعلى نوع خاص من يف األخري إىل أن احللقة يف زمن هلربت كانت تدل

). وهي احللقات الواحدية التبديلية(احللقات

ن اجلانب التارخيي ملفاهيم الزمرة واحللقة واحلقل وقد الحظنا أ ولذلك ارتأينا أن نزود املتداولة،تغفله معظم كتب اجلرب والرياضيات

تربز أهم املراحل اليت )يف ذيل الفصل (الطالب املفتش بلمحة تارخييةتمر وسيدرك القارئ من خالل هذه اإلطاللة التارخيية . ميها املفها هذ

مدى اجتهادات الرياضيني خالل قرنني، وهي اإلجتهادات اليت جعلت ه اليوم من تقدم وانتشار يف العديد من الفروع تبلغ ما مبلغتم يها املفتلك

.العلمية


204

: أمثلةتعاريف و 2.1

)الزمرة( تعريف

".". جمموعة مزودة بعملية داخلية نرمز هلا برمز الضرب Gلتكن )نقول عن الثنائية ,.)G ا زمرة إذا حتققت الشروط الثالثة التاليةإ :

: التجميع ) 1, , ,

.( . ) .( . ).

x G y G z G

x x y x y z

∀ ∈ ∀ ∈ ∀ ∈=

وقد (1يوجد عنصر، نرمز إليه بـ : العنصر احليادي وجود ) 2 :، يسمى العنصر احليادي، حيقق )eنرمز إليه أحيانا بـ

, .1 1. .x G x x x∀ ∈ = = ):أو املقلوب، أو معكوس(النظري وجود ) 3

, ' : . ' '. 1.x G x G x x x x∀ ∈ ∃ ∈ = =

مالحظة نونا نعرف عليها قا"جمموعة"احذر من القول إن الزمرة هي

مكان الربهان ذلك أنه باإل. ثالث السالفة الذكرداخليا حيقق اخلواص البل ... على أننا نستطيع دوما تعريف مثل ذلك القانون على أية جمموعة

موعة غري منتهية فإنه باإلمكان أن نعرف عليها عددا غري إن كانت اك فمن األمهية ولذل. منته من القوانني الداخلية احملققة للخواص السابقة

مبكان أن نعرا ثنائية مكونة من جمموعة وقانون داخلي ف الزمرة على أنمعي.


205

)الزمرة التبديلية، الزمرة اجلزئية( تعريف

) نقول عن زمرة ,.)G ا تبديلية أو آبليةنسبة إىل ( إAbel ( إذا . تبديليةتهاعمليكانت

)لتكن ,.)G زمرة و G H⊃ . إذا كانت( ,.)H زمرة فإننا )نقول إن ,.)Hمن زمرة جزئية ( ,.)G.

أمثلة)الثانائيات املألوفة) 1 *,.)ℂ ، *( ,.)ℝ ، ( , )+ℂ ، ( , )+ℝ ، ( , )+ℚ ،

( , )+ℤكلها زمر . ) الثانائيات املألوفة) 2 ,.)ℝ ، ( ,.)ℚ ، ( ,.)ℕ مثال ألن ... ليست زمرا .له) مقلوب( ال نظري 0 جمموعة االنسحابات يف املستوي املزودة بقانون التركيب زمرة) 3

:تبديلية


206

جمموعة االنسحابات والتحاكيات يف املستوي املزودة بقانون ) 4 .التركيب زمرة

.جمموعة التحاكيات يف املستوي املزودة بقانون التركيب ليست زمرة) 5املزودة بقانون (ة الدورانات يف املستوي اليت هلا نفس املركز جمموع) 6

: غري تبديلية زمرة) التركيب


207

7 (E ،جمموعة منتهية ( , )G أي (E جمموعة كل التبديالت على �

أحيانااملزودة بقانون التركيب زمرة، تسمى) E حنو Eالتقابالت من . Eزمرة التحويالت على

دائرة الوحدة العقدية املكونة من األعداد العقدية ذات الطويلة ) 8 . املعتاد اليت نزودها بعملية الضرب1املساوية لـ

يف نفسه تشكل زمرة Eجمموعة التطبيقات اخلطية من فضاء شعاعي ) 9 . عند تزويدها بقانون تركيب التطبيقات

)متثل اموعة ) 10 )nGL ℝ زمرة املصفوفات املربعة n n× القابلة تسمى هذه الزمرة الزمرة . لية ضرب املصفوفاتللقلب املزودة بعمومن الزمر اجلزئية لـ . إا زمرة غري تبديلية. nاخلطية من الدرجة

( )nGL ℝ نذكر أربع هي : ( )nSL ℝ : 1زمرة املصفوفات ذات احملدد املساوي لـ. ( )nD ℝ : زمرة املصفوفات القطرية. ( )nT ℝ : زمرة املصفوفات املثلثية من األعلى.

( )nUT ℝ : زمرة املصفوفات املثلثية من األعلى اليت عناصر أقطارها .1تساوي


208

)الزمرة املنتهية، املميزة، البسيطة( تعريف

نتهية إن كان عدد عناصرها منتهيا، ونسمي إا منقول عن زمرة . الزمرةرتبةعدد عناصرها )لتكن ,.)G زمرة و ( ,.)Hنقول عن . زمرة جزئية منه( ,.)H : إذا كان ) غريةأو اعتيادية أو المت(إا زمرة مميزة

1, : . . .x G h H x h x H−∀ ∈ ∀ ∈ ∈ )نقول عن زمرة ,.)G ا بسيطة إن كانت زمرها املميزةإ

)الوحيدة هي ,.)G ذاته وزمرة العنصر احليادي { }( 1 ,.).

مالحظة

من الواضح أنه إذا كانت زمرة تبديلية فإن مجيع زمرها ) 1 .ية زمر مميزةاجلزئ

املنتهية يف اجلرب أمهية بالغة حيث ميكن الزمر البسيطة كتسيت) 2اعتبارها مبثابة أساس الزمر املنتهية شأا يف ذلك شأن األعداد األولية يف

ولذا بذل الرياضيون جهودا كبرية من أجل . جمموعة األعداد الطبيعية .حتديدها وتصنيفها

نات واالنسحابات يف املستوي أن الزمرة نالحظ يف زمرة الدورا : مثال .اجلزئية املؤلفة من االنسحابات زمرة مميزة


209

)الزمرة املولدة( تعريف

)لتكن ,.)G زمرة و A جزءا من G . الزمرة اجلزئية من( ,.)G .Aحتتوي اجلزء ) مبفهوم االحتواء( هي أصغر زمرة Aاملولدة عن

>A بـ Aنرمز عادة للزمرة املولدة عن >.

أمثلة) يف الزمرة) 1 , )+ℤ: 1=ℤ.

)يف الزمرة ) 2 , )+ℚ: 1, 1,2,3,...n

n= =ℚ.

} الزمرةيف ) 3 }( )1, 1 ,.− : { }1, 1 1− = −.

)الزمرة التناظرية (تعريف

) جمموعة و Eلتكن )S E من جمموعة التقابالتE حنو E .دإننا حنصل على زمرة عندما نزو ( )S Eبقانون تركيب التطبيقات .

.Eلـ ) أو زمرة التناظر(تسمى هذه الزمرة الزمرة التناظرية }إذا كان : رمز }1,2,...,E n=ز بـ فإننا نرمnS لـ ( )S E .

مالحظة . n! هي nSرتبة )13 زمرة ليست تبديلية من أجل nSالحظ أن )2 n≤.


210

)التماثل، التشاكل( تعريف

)لتكن ,.)G و ( ',.)G زمرتني و : ( ,.) ( ',.)f G G→تطبيقا . : إنه متاثل إذا حقق الشرط fنقول عن

, ', ( . ) ( ). ( ).x G y G f x y f x f y∀ ∈ ∀ ∈ = أي أن تشاكل زمر (نقول إن هذا التماثل تشاكل إن كان تقابال

).هو متاثل زمر تقابلي

)* الحظ أن: ثال م ,.)+ℝ و ( , )+ℝ زمرتان وأن التطبيقfف بـ املعر

*: ( ,.) ( , )

ln

f

x x+ → +ℝ ℝ

֏

.بني الزمرتني املذكورتني) تشاكل(متاثل تقابلي

انية فإن عندما نعترب جمموعتني ونعرف تطبيقا يصل األوىل بالث

فاجلرب ال يهتم بطبيعة عناصر اموعتني . ذلك التطبيق يعترب عملية جربية و Mلتكن . أكثر مما يهتم بطبيعة تأثري التطبيق الواصل بني اموعتني

'M جمموعتني مزودتني بعمليتني جربيتني و :T M M→ تقابال أو هذا املنظورومن. أي تقابل حيافظ على البىن اجلربية... " تشاكال تقابليا"

ق بني عنصر وصورته فنحن ال نفر …ق بني عنصرين متشاكلني ال نفر . أو متماثلني


211

سختان لنفس مها نM' و M نعترب أن كالمناح حىت نوضوفإن كان التقابل بني كلمات . الكتاب مستخرجتان من طبعتني خمتلفتني

الكتاب أو بني حروف كلماته فإن التقابل ال يعكس ما إذا كان ورق ر حجم الطبعة األوىل خيتلف عن ورق الطبعة الثانية، وال يهمه إن تغي

مون ق بني النسختني إن كان مضفهو ال يفر… احلرف بني الطبعتني . طبعه مرة ثانية بدون تغيري عندالكتاب قد ظل

عنصرين من أجل ذلك نعترب : أمهية التماثل يف الفيزياء لنوضح

1g 2 وg من زمرة G) 1والتحويلني ) مثال دورانان ملكثف( )T gو

2( )T g 1 لـg 2 وg مثال ( اللذين يؤثران على كمية فيزيائية معينةل ثمتوحىت . Tعرب التحويل ) احلقل الكهربائي للمكثف السابق الذكر

}التحويالت }( )iT g متثيال حسنا للزمرة G ال بد من أن يكون جدول }الزمرة) أي قانون(ضرب }( )iT g حمافظا على االنتقال من { }ig إىل

{ }( )iT g يستنسخ"، أي ال بد من أن "T جدول ضرب { }ig عندما }ينقلنا إىل }( )iT g .

1إذا تتابع : ر الفيزيائيون عن ذلك بالقول ويعبg 2 وg وكان )1 فإن تتابع 3gحاصل ضرما )T g 2 و( )T g 3 ال بد أن يعطي( )T g .

: على الشكل ويكتب ذلك رياضيا .1 1 1 2 1 2, , ( . ) ( ). ( )g G g G T g g T g T g∀ ∈ ∀ ∈ =

) إىل الزمرة Gمن الزمرة (متاثل زمر جند أنفسنا أمام ذا كوه )T G ! )مثال


212

: متقايس األضالع مثلث تناظر ... لزمرة تناظرمثااللنقدم : عناصر هي 6تضم زمرة تناظر املثلث املتقايس األضالع

التحويل املطابق، •

2 املعرفان بالزاويتني 2R و 1Rدورانان •

3

π 3 و

4

π) باعتبار

، )املركز هو مركز ثقل املثلث مثال

بالنسبة لالرتفاعات AS ، BS ، CSالتناظرات احملورية • . A ، B ، Cالثالثة املرتبطة على التوايل بالزوايا

هو التركيب الذي يفضل فف هذه الزمرة القانون الذي يعرأما تأكد (، وهو املعطي كالتايل )الضرب(الفيزيائيون تسميته جدول

:)صحتهمن

CS BS AS 2R 1R I

CS BS AS 2R 1R I I AS CS BS I 2R 1R 1R

BS AS CS 1R I 2R 2R

1R 2R I BS CS AS AS

2R I 1R CS AS BS BS

I 1R 2R AS BS CS CS


213

؟ملاذا يهتم الفيزيائيون بالزمر 3.1

تبين الكتابات ": مؤخرا نيقال أحد كبار الفيزيائيني املعاصر

سوء استعمال نظرية أن العشرية املاضية خاللاخلاصة بفيزياء اجلسيمات مون ا إال فاملؤلفون كانوا ال يل. الزمر كان أقوى من حسن استعماهلا

! "اقليال أو كان هلم إفراط يف معرفتهملاذا يهتم الفيزيائي مبفهوم التناظر وبنظرية الزمر؟ نالحظ على سبيل املثال أن قانون حفظ الطاقة قد مت اكتشافه يف إطار نظرية

ومل يتم اكتشافه كنتيجة ،الديناميك احلرارية خالل القرن التاسع عشرواملالحظ اليوم أن . تغري الزمن عرب االنسحاباتالخواص تعتمد على

إىل نيوتنمن عهد (ة اليت اكتشفت عرب العصور يبيم القوانني التجرمعظكانت نتائج مؤسسة على التناظرات املرتبطة بالقوانني ) عصرنا هذا

.الفيزيائية

الزمرة هي جمموعة : ماذا يعين مفهوم الزمرة بالنسبة للفيزيائي

مع جدول ) نة، إخل معيدورانات، انسحابات، حتويالت(حتويالت تتجلى فيه خواص ) بصفتها قانون داخلي(بني قيم تراكيبها ) بضر(

ملاذا ميتلك نظام فيزيائي و).العنصر احليادي والتناظرالتجميع و(الزمرة ... أن تركيب تناظرين هو تناظر تكمن يفبنية جربية؟ الفكرة األساسية

.أما بقية الشروط فهي طبيعية يف معظم احلاالت


214

. الالتغيرفهوم اظر يف الفيزياء مرتبط مبوالواقع أن مفهوم التن

ر بفعل جمموعة املربع زمرة تناظر ألنه ال يتغيميتلك : مثال ذلك

: التاليةالتحويالت

، 0الدورانات بالزوايا •2

π ،π ، 3

2

π ،

.احملوري بالنسبة للقطرين وحماور األضالع التناظر •

نقول يف هذه . زمرةتشكل جمموعة هذه التحويالت احظ أن

. بزمرة التحويالت املذكورة) صامد(" رالمتغيالنظام "ن إاحلالة

يف الفيزياء بفعل زمرة االنسحابات يعين أن)أو الالتغري(الصمود

جتربة ئية بعيدا عن وجود أية مادةة فضام داخل مقصورتتاليت تجربة ال

ويف هذه احلالة فإننا ال نستطيع أن نقول بأن . مستقلة عن موقع املقصورة

" معادالت احلركة" بل الصامد هو ...النظام صامد ما دام قد انسحب

ن الصمود يف إ نستطيع القول ومن مث. خيضع هلا النظام الفيزيائياليت

. صمود النظام بل صمود القوانني الفيزيائيةالفيزياء ال يعين عموما


215

: نتائجتعاريف و 4.1

)زمرة اجلداء (تعريف

)1لتكن ,.)G 2 و( ,.)G1إن تزويد اجلداء . زمرتني 2G G× :رمز إليه أيضا برمز الضرب نبالقانون، الذي

1 2 1 2( , ) , ( ', ') : ( , ).( ', ') ( . , '. ')x y G G x y G G x y x y x y x y∀ ∈ × ∀ ∈ × = 1جيعل من 2G G× 1 زمرة، تسمى زمرة جداء الزمرتني( ,.)G 2 و( ,.)G.

)عالقة تكافؤ( تعريف

)لتكن ,.)G زمرة و Hزمرة جزئية مميزة .قة تكافؤ ف عالنعرR على G بـ

.1 .xRy x y H−⇔ ∈ x وفق هذه العالقة من أجل كل xصنف التكافؤ G∈ هو

.{ }:x y G xRy= ∈ G/، اليت نرمز إليها بـ H على G نسبةما هي زمرة Hا؟ إ

:اموعة

{ }/ , G H x x G= ∈

:، الذي نرمز إليه أيضا برمز الضرباملألوفزودة بقانون النسبة امل ., : . . x G y G x y x y∀ ∈ ∀ ∈ =


216

1 مترين

G/ أن تأكد من) 1 Hزمرة . ]: تأكد من أن ) 2 ]1 : 1H x G Rx= = ∈.

مثال

/ ميكن إثبات أن ℕ* طبيعي يف nمن أجل nℤ ℤ زمرة منتهية رتبتها n.

الحظ أن x y n x y− ∈ ⇔ =ℤ ⇔ x y− يقسم n.

)التوليد( نظرية

a عنصرا منها حبيث a زمرة و Gلتكن G=. العنصرين الوحيدين اللذين يولدان إن . منتهغري Gن أنفرض )1

G مها a 1 وa−. وهي ،n من الرتبة اتمولدن إ. nرتبته و منته Gنفرض أن )2

. أوليان فيما بينهماn و k حيث kaالعناصر


217

الربهان د أيضا ذلك أن مول−1a فمن الواضح أن aما دام )1

.1, : ( )n nx G n x a a− −∀ ∈ ∃ ∈ = =ℤ مولدا فإنه يوجد عدد صحيح aملا كان . G مولدا للزمرة bليكن

m حبيث mb a=. وبتوليد b للزمرة يستلزم وجود عدد صحيح p paحبيث b= . وبالتايل :mpb b= 11، أي mpb b لكن رتبة .=−

، مع العلم أن =1mp، أي ومنه ). غري منتهGألن (ليست منتهية m و p1ولذا . صحيحانm= 1 أوm= a: ومن مث .− b= أو

1a b− =.

نعلم . n تساوي bلنثبت أن رتبة . G مولدا للزمرة bليكن )2

) وسنعود إىل احلديث عنها، نسلم ا هناالغرانج(حسب نظرية b لو كان .n يقسم bأن رتبة n≠ أن يولد فإنه ال ميكنb .n تساوي b إذن رتبة .Gالزمرة

kb حبيث يكون kيحا نعترب اآلن عددا صح a=وملا كان . مولدا b ma حبيث mمولدا فإن يوجد عدد صحيح b= . إذن :kmb b= أي ، :

11 kmb ، ومنه يوجد عدد ) مولدbألن (n تساوي bلكن رتبة . =−1 حيقق pصحيح km pn− و kوعندئذ ينتج من نظرية بيزوت أن . =

nأوليان .


218

kb أوليان، علينا أن نبين بأنn وkوبالعكس، إذا افترضنا بأن a= )ه يوجد يتضح من نظرية بيزوت أن.Gمولد للزمرة , )u v2 منℤ حبيث :

1uk vn+ =. )1 فإن n تساوي aوملا كانت رتبة ) .( )k u uk vn n va a a a a a− −= = = = .

. املطلوبومن مث يأيت. ذاتهa تساوي قوة لـ aوبالتايل فإن

)التوليد واألعداد الصحيحة( نظرية

.ℤغري منتهية متشاكلة مع و وحيدة املولدكل زمرة )1/ متشاكلة مع n منتهية رتبتهاو وحيدة املولدكل زمرة )2 nℤ ℤ.

الربهان نعترب التطبيق.غري منتهيةو مولدة بعنصر واحد زمرة a لتكن )1

: ( , ) ( ,.)

.n

a

n a

ϕ + →ℤ

֏

mتباين ألن املساواة تطبيق م وهو ،إنه غامر بشكل واضح na a= مع

m n> 1 تؤدي إىلm na − منتهية a يستلزم أن الزمرة ذاوه. =mأصغر من العدد رتبتها ( n−وحنن افترضنا أن ) ... أو تساويهa

.غري منتهية


219

m صحيحني لدينا من أجل كل عددين ومن جهة أخرى، نالحظ أن :nو

( )

( ). ( )

n m

n m

n m a

a a

n m

ϕ

ϕ ϕ

++ =

= ×=

)بني الزمرتني ) أي متاثل تقابلي( تشاكل ϕوبالتايل فالتطبيق , )+ℤ و ( ,.)a.

نعلم أن . nمنتهية رتبتها و مولدة بعنصر واحد زمرة aلتكن )2)الزمرة / , )n +ℤ ℤ ،رتبتها مولدة بعنصر واحد nوميكن كتابة ،

{ }( / , ) 0,1,2,..., 1n n+ = −ℤ ℤ

:وتعريف التطبيق

.: ( / , ) ( ,.)

p

n a

p a

ϕ + →ℤ ℤ

֏

أي متاثل ( تشاكل ϕ من أن - كما جاء يف القضية السابقة -تأكد)بني الزمرتني ) تقابلي / , )n +ℤ ℤ و ( ,.)a.

ن رتبة عنصر يف زمرة منتهية تقسم رتبة إتقول نظرية الغرانج

رتبة mإذا كانت : ا يلي نظرية أيضا كمهذه ميكن أن نصيغ . الزمرة mمولدة عن عنصر فإن ) n معطاة رتبتها Gمن زمرة (زمرة جزئية

. nيقسم


220

من زمرة m زمرة جزئية رتبتها Hكيف نـثبت ذلك؟ لتكن املعرفة بـ xماذا ميكن القول حول جمموعة العناصر . nرتبتها

{ },x y G y xH= ∈ ؟ إذا رمزنا Gة إىل املنتميx من أجل العناصر ∋} للمجموعة Aبـ }: A x x G= فإننا نالحظ بأا تتشكل من ∋

ألن التطبيق mأصناف تكافؤ وأن عدد عناصر كل صنف تكافؤ يساوي

:

xf x xH

y xy

→֏

وكذلك األمر بالنسبة للتطبيق). تأكد من ذلك(تقابل

:

x .xg xH H

y y

→֏

.أكمل الربهان. G تشكل جتزئة لـ xم إن العناصر

Gلتكن : هناك من ينص على نظرية الغرانج على النحو التايل . G تقسم رتبة Hإن رتبة . زمرة جزئية منهاHزمرة منتهية و

2 مترين

)لتكن ,.)G زمرة منتهية رتبتها n و a عنصرا كيفيا منها، نرمز 1naأثبت أن . 1لعنصرها احليادي بـ =.


221

:إليك يف نفس السياق هذه النظرية

نظرية كوشي

. G عددا أوليا يقسم رتبة زمرة منتهية pليكن .p رتبته Gئذ يوجد على األقل عنصر من عند

)زمر سيلو(تعريف

. عددا أولياpليكن زمرة إن كانت رتبتها -p نقول عن زمرة منتهية إا )1

k، حيث kpأي إن كتبت رتبتها على الشكل (pتساوي قوة للعدد ).عدد طبيعي تكتب على الشكل Gإذا كانت رتبة زمرة منتهية . 2

.n p mα= حيث p يقسم الm افإننا نقول عن كل زمرة جزئية إ p- أو ( زمرة سيلوp - زمرة سيلوية أو p-إن كانت رتبتها ) سيلو

.pαتساوي

يلوالنظرية األوىل لس

حيقق العالقة n وكان n زمرة منتهية رتبتها Gإذا كانت .n p mα= حيث p عدد أويل ال يقسم m فإن G متلك زمرة p -

. سيلوية


222

مالحظة : لنوضح ذلك . الحظ أن هذه النظرية تؤدي إىل نظرية كوشي

يوجد إذن . G لزمرة منتهية n عددا أوليا يقسم الرتبة pليكن n. حيققان العالقة α و mعددان طبيعيان p mα= مع القيد p ال يقسم

m) ذلك أنه إذا حدث العكس فما علينا سوى تغيري األسα .( ومن مث سيلوية، أي زمرة -p متلك زمرة Gإذن . تتحقق شروط نظرية سيلو

. pβرتبتها من الشكل

وحسب نظرية الغرانج . عدد أويل يقسم تلك الرتبةpلكن من aومن مث يوجد عنصر . p رتبتها القاسم Hإنه توجد زمرة جزئية ف

H رتبته p . ملاذا؟ نعترب عنصراa من Hخيتلف عن العنصر احليادي . أويل p ألن ! ؟ الpما هي رتبته؟ هل ميكن أن تكون أصغر متاما من

أكرب aأن تكون رتبة هل ميكن . خيتلف عن العنصر احلياديH من aو .H ألنه ال ميكن أن تتجاوز رتبة ! ؟ الpمتاما من

)الترافق( تعريف

) من K و Hنقول عن زمرتني جزئيتني ,.)G ما مترافقان إن وجدإ 1aHa حبيث G من aعنصر K− =.


223

3مترين )إذا كانت زمرتان جزئيتان من زمرة ,.)Gما مترافقتنيفإ

رتبة يف احلالة اليت تكون فيها الزمرة ومن مث فلهما نفس ال(متقابالن ( ,.)Gمنتهية ( .

النظرية الثانية لسيلو

حيقق العالقة n وكان ،n زمرة منتهية رتبتها Gإذا كانت .n p mα= حيث pعدد أويل ال يقسم m فإن G حسب ( ميتلك

السيلوية - pإن الزمر . سيلوية على األقل- pزمرة ) النظرية السابقة .n يقسم كلها مترافقة وعددها

4 مترين

تكون مميزة G سيلوية من زمرة -H pأثبت أن زمرة جزئية . سيلوية الوحيدة-p الزمرة الـHإذا وفقط إن كانت

النظرية الثالثة لسيلو

حيقق العالقة n وكان n زمرة منتهية رتبتها Gإذا كانت .n p mα= حيث p عدد أويل ال يقسم m فإن G حسب ( ميتلك

- p للزمر kإن العدد . سيلوية على األقل- pزمرة ) النظرية السابقةmod)1السيلوية حيقق العالقة )k p≡،) أي. 1k l p= +.(


224

تطبيقميكن استخدام نظريات سيلو إلثبات أن كل زمرة رتبتها تساوي

:لنر ذلك . ال ميكن أن تكون بسيطة63

نذكر أننا نقول عن زمرة إا بسيطة إن كانت الزمر اجلزئية نعترب فيما سبق . لعنصر احليادياملميزة الوحيدة هي الزمرة نفسها وزمرة ا

7p 63 يقسم kسيلوية؟ إنه عدد -7كم يبلغ عدد الزمر اجلزئية . =7.ويكتب على الشكل 1k l= ق ذلك هو العدد الوحيد الذي حيق. +

1k وحسب التمرين السابق فهذا . سيلوية واحدة- 7إذ هناك زمرة . = ليست 63ومن مث فالزمرة اليت رتبتها . يستلزم أن هذه الزمرة مميزة

.بسيطة

5 مترين حيقق العالقة n وكان nزمرة منتهية رتبتها Gلتكن

.n p mα= حيث p عدد أويل ال يقسم m . وليكنk عدد الزمر . سيلوية-pالـ

..p أويل مع kأثبت أن


225

: متارين أساسية 5.1 1 مترين

) أثبت أن ,.)G زمرة جزئية من ( ,.)G إذا وفقط إذا كان :

1

, : . ,

.

x H y H x y H

x H x H−

∀ ∈ ∀ ∈ ∈ ∈ ⇒ ∈

2مترين . أثبت أن تقاطع زمرتني جزئيتني هو زمرة جزئية

3مترين )لتكن ,.)G زمرة و A جزءا من G . لدةأثبت أن الزمرة املوA< >

.A اليت تكتب على شكل جداء أسس لعناصر Gهي جمموعة عناصر

4 مترين) لتكن ,.)G زمرة و ( ,.)Hزمرة جزئية منه . )أثبت أن ) 1 ,.)H تكون مميزة إذا كان :

1, .x G xHx H−∀ ∈ = :بين أن الشرط السابق يكافئ ) 2

, .x G xH Hx∀ ∈ = 5 مترين .تأكد من أن اجلداء زمرتني ميثل زمرة) 1),...,1لتكن ) 2 ,. )i i i nG = nوضح كيف ميكن تعريف زمرة اجلداء . زمرة

1الديكاريت 2 ... nG G G× × ×.


226

6 رينمت)أثبت أنه إذا كانت ,.)G زمرة و a G∈ فإن :

.

, , .

( ) .

m n m n

m n m n

m n a a a

a a

+∀ ∀ ∈ ==

ℤ

: هو العنصر احليادي يف الزمرة وأن 1مع العلم أن 0 1a =

.1 1 1 1

�ة ( )

, ( ) ( ).( )...( )p p

p

p a a a a a− − − − − −

−

∀ ∈ = =ℤ��

7 مترين)إذا كانت ,.)G زمرة و a G∈ 1 عنصر حققna فإن أصغر =

0عدد طبيعي n< يسمى رتبة أو دورة العنصر a . هناك من يرمز . aهلذه الرتبة بـ

1naوإذا كان غري منتهية aفإننا نقول إن n∈ℕ* من أجل كل≠aالرتبة ونكتب = ∞.

1naنفرض أن ) 1 0 من أجل عدد طبيعي = n<. .n يقسم aأثبت أن ) أ

aنفرض يف هذا السؤال أن ) ب n= 1 وأن 21 2 ...p p pr

rn n n n= × × × 2أثبت أن . إىل عوامل أوليةnهو تفكيك العدد

2 ...p pr

rn n× ×1

1pna =.

. أننفرض . G عنصرا من bليكن ) 2 .a b b a= وأن ،a n= bو p=.


227

.أثبت أن . أوليان فيما بينهماp و nنفرض أن ) أ .a b a b=. أثبت أنه يوجد . أوليان فيما بينهماp و nال نفرض هنا بأن ) ب

a.ال يساوي بالضرورة (G من cعنصر b ( رتبته تساوي املضاعف .p و nاملشترك األصغر للعددين

8 مترين)لتكن ,.)G زمرة و A ، B زمرتني جزئيتني من G . ف جمموعةنعر بـ ABاجلداء

.{ }. : , AB a b G a A b B= ∈ ∈ ∈ إذا وفقط إذا كان G تكون زمرة جزئية من ABعة وبرهن أن ام

AB BA=.

9مترين )لتكن ,.)G زمرة و A ، B زمرتني جزئيتني منتهيتني من G . أثبت

A. :العالقة BAB

A B=

∩.

10مترين

. مجاعة كيفية من الزمر اجلزئية زمرة جزئيةأثبت أن تقاطع


228

: ةاحللق. 2

: احللقة وأمثلة أولية تعريف 1.2

)احللقة( تعريف جمموعة مزودة بعمليتني داخليتني نرمز هلما برمز اجلمع Gلتكن

)نقول عن الثالثية "." . ورمز الضرب "+" , ,.)G إا حلقة إذا + :حتققت الشروط الثالثة التالية

1 (( , )G . حلقة تبديلية+ : التجميع بالنسبة لعلية الضرب ) 2

, , ,

.( . ) ( . ). .

x G y G z G

x y z x y z

∀ ∈ ∀ ∈ ∀ ∈=

: توزيع الضرب بالنسبة للجمع ) 3, , ,

.( ) . . ,

( ). . . .

x G y G z G

x y z x y x z

y z x y x z x

∀ ∈ ∀ ∈ ∀ ∈+ = +

+ = +

مالحظة من حلقةa ،b ،c التالية من أجل كلالحظ صحة العالقة ) 1

G: ( ) .a c b a c ab− = )وكذا العالقة − ). . .c b a c a b a− = − ،


229

:ذلك أن ( ).( ) .

. .

a c b a b a c b b

a c

− + = − +=

)ومنه ) .a c b a c ab− = بنفس الطريقة نتأكد من . −( ). . .c b a c a b a− = −.

0cباعتبار ) 2 ) يف العالقتني نستنتج أن = )a b ab− = و −( ). .b a b a− = − .

من حلقة aالحظ أيضا صحة العالقة التالية من أجل كل ) 3G:

( )n na a− عددا طبيعيا زوجيا،n عندما يكون =( )n na a− = . عددا طبيعيا فرديا n عندما يكون −

: يد مما سبق فنجد أن لرؤية ذلك نستف

( )( )

( )( ) ( ).

( ).

. .

a b a b

a b

a b

− − = − −= − −

= − −

) العنصرالحظ هنا أن ).a b− a. ميثل نظري نظري − b) علما أن)ومنه ). هو العنصر ذاته،نظري نظري عنصر يف زمرة )).( .a b a b− − = .

)وبصفة خاصة يأيت )2 2( ) ).(a a a a− = − − هذه العالقة تكفي إلثبات . = .املطلوب

كما عملية الضرب عنصرا حياديا،ميكن أن تقبل هأنأيضا الحظ : ومنه التعريف التايلميكن أن تكون عملية الضرب تبديلية،


230

)احللقة الواحدية( تعريف)نقول عن حلقة * , ,.)G إا واحدية إذا وجد عنصر، نرمز + : ، يسمى الوحدة، حيقق 1إليه بـ

, .1 1. .x G x x x∀ ∈ = = )نقول عن حلقة * , ,.)G إا تبديلية إذا كانت عملية الضرب +

:تبديلية، أي , :

. . .

x G y G

x y y x

∀ ∈ ∃ ∈=

) من حلقة واحدية y و xإذا كان عنصران * , ,.)G ان حيقق+. العالقة . 1x y y x= ) أو القلب( يقبل العكس xفإننا نقول إن = .−1xونرمز إليه بـ ) أو مقلوبه( معكوسه yونسمي

مالحظة

هو امبا أن كل حلقة زمرة فإا تشمل على األقل عنصر) 1 حلقة واحدية التعامل مع الحظ يف حالة . يف الزمرة0العنصر احليادي

0أنه ال مانع أن يكون 1=. ميكن أن نثبت يف حلقة تبديلية أن دستور ثنائي احلد حمقق، ) 2

: من حلقة تبديلية، لديناb و aأي أن من أجل كل

( )

( )

0

0

!( ) .

! !

! . .

! !

nn r n r

r

nn r r

r

na b a b

r n r

na b

r n r

−

=

−

=

+ =−

=−

∑

∑


231

1 مترين0عني عدد عناصر حلقة واحدية إن كان 1=.

2 مترين

متثل زمرة عند أثبت أن جمموعة العناصر القابلة للقلب يف حلقة واحدية .تزويدها بعملية الضرب

مالحظة: شارة إىل صحة العالقة التالية يف حلقة واحدية اإلميكن

( 1). .( 1)x x x− = − = : ذلك أن خاصية التوزيع تسمح بكتابة −( )

( )( 1). 1 ( 1) . 0. 0

.( 1) . 1 ( 1) .0 0

x x x x

x x x x

+ − = + − = =

+ − = + − = =

)وهو ما يعين أن 1). .( 1)x x x− = − = − .

أمثلة اجلمع والضرب املزودة بعملييتℤجمموعة األعداد الصحيحة) 1

1حلقة تبديلية وواحدية والعنصران الوحيدان اللذان يقبالن العكس مها .−1و

وكل عناصرها حلقة تبدلية وواحديةℚجمموعة األعداد الناطقة) 2كذلك األمر يف ما خيص جمموعة األعداد احلقيقية . 0تقبل العكس عدا

ℝ . كذلك األمر يف ما خيص جمموعة األعداد العقديةℂ . كل تسمىكل "اخلاصية بحقال ألا تتميز الثالث هذه اموعات جمموعة من

.0يادي بالنسبة لعملية اجلمععناصرها تقبل العكس عدا العنصر احل


232

إليك . ؟ نعم)أي عدد عناصرها منته(هل توجد حلقات منتهية ) 3املثال األول هو ذلك الذي أشرنا إليه آنفا عندما تساءلنا عن : مثالني

1إمكانية أن تتحقق املساواة }إن. يف حلقة واحدية=0 }( 0 , حلقة +(.,، تسمى هذه احللقة احللقة التافهة أو احللقة مكونة من عنصر واحد

. الصفرية

) وهو ،هناك مثال ثان )/ , ,.n +ℤ ℤحيث n عدد طبيعي أكرب من

/سبة كنا أدخلنا يف درس الزمر زمرة الن. 1 nℤ ℤ حيث أن ،: { }: /x y y x n x n= ∈ − ∈ ⇔ ∈ℤ ℤ ℤ ℤ.

ميكن أن نعرف على هذه اموعة عمليتني داخليتني نرمز إليهما باجلمع :والضرب

, : x y x y x y∀ ∈ ∀ ∈ + = +ℤ ℤ ., : . . x y x y x y∀ ∈ ∀ ∈ =ℤ ℤ

)أثبت أن / , ,.)n +ℤ ℤنعلم أن . حلقة( / , )n +ℤ ℤزمرة تبديلية . :لنتأكد من جتميع الضرب

/ , / , / :

.( . ) .( . )

.( . )

( . .)

x n y n z n

x y z x y z

x y z

x y

∀ ∈ ∈ ∈

=

=

=

ℤ ℤ ℤ ℤ ℤ ℤ

.

( . ).

( . ). .

z

x y z

x y z

=

=


233

: لدينا . مث نتأكد من خاصية توزيع الضرب بالنسبة للجمع/ , / , / :

( ) ( )

( )

. .

x n y n z n

x y z x y z

x y z

x y x z

∀ ∈ ∈ ∈

+ = +

= +

= +


. .

. . .

x y x z

x y x z

= +

= +

:و / , / , / :

( ) ( ).

( ).

. .

x n y n z n

y z x y z x

y z x

y x z x

∀ ∈ ∈ ∈

+ = +

= +

= +


. .

. . .

y x z x

y x z x

= +

= +

)وبالتايل فإن / , ,.)n +ℤ ℤمن ( منتهية ولدينا، كما نعلم حلقة، وهي}) : درس الزمر }/ 0, 1, ... , 1n n= −ℤ ℤ.

.الحظ أن هذه احللقة واحدية وتبديلية

املعرفة بـ Eمتثل جمموعة األعداد احلقيقية ) 4

{ }: 2, , E x x a b a b= ∈ = + ∈ ∈ℝ ℤ ℤ . ملعتادتنيعند تزويدها بعملييت اجلمع والضرب اتبديلية حلقة

جمموعة كثريات احلدود متثل حلقة واحدية وتبديلية عندما تزود ) 5

).ضرب الدوال(والضرب ) مجع الدوال(بعملييت اجلمع


234

]مثال (جمموعة الدوال املستمرة على جمال ) 6 ],a b ( املزودة بعملييت يف ما خيص وكذلك احلال. مجع وضرب الدوال حلقة واحدية تبديلية

وكذا جمموعة الدوال ... على جمال لالشتقاقجمموعة الدوال القابلة .القابلة لالشتقاق مرتني على جمال، اخل

نورد املثال التايل ألمهيته رغم أن وقته مل حين نظرا ألننا مل نتعرض ) 7

متثل جمموعة التطبيقات . بعد للفضاءات الشعاعية والتطبيقات اخلطيةضاء شعاعي يف نفسه حلقة واحدية بالنسبة لعملييت مجع اخلطية من ف

من السهل . التطبيقات وتركيبها، ووحدة احللقة هي التطبيق املطابقوترجع أمهية هذا املثال إىل كون احللقة املشار إليها . التأكد من ذلكfذلك أن القارئ يعلم أن عموما... ليست تبديلية g g f≠� عندما �

ائل الذين نذكر أن أسالفنا الرياضياتيني األو. تطبيقانg وfيكون .مل يتناولوا سوى احللقات التبديليةانشغلوا مبفهوم احللقة

2جمموعة املصفوفات : مثال آخر لصيق بالسابق ) 8 مثال حلقة ×2نذكر أن . ية غري تبديلية بالنسبة لعملييت مجع املصفوفات وضراواحد

وأن تركيب التطبيقات يقابله ضرب كل مصفوفة متثل تطبيقا خطيا .إعادة للمثال السابقوبالتايل فهذا املثال يبدو كأنه ... املصفوفات


235

: مالحظةلقد حبث الرياضيون يف عدد احللقات اليت هلا عدد عناصر )1

. فوجدوا مثال أن هناك حلقة واحدة هلا عنصر واحد.معنيأثبت (11ناصر هو ع 4وأن عدد احللقات اليت لكل منها

اجلدول التايل عدد احللقات حسب يوضح . )1964ذلك عام هو عدد عناصر n علما أن ،) عنصرا31حىت (عدد العناصر)احللقة وأن )G nهو عدد احللقات اليت هلا n عنصرا :

n ( )G n n ( )G n n ( )G n n ( )G n 1 1 9 11 17 2 25 11 2 2 10 4 18 22 26 4 3 2 11 2 19 2 27 59 4 11 12 22 20 22 28 22 5 2 13 2 21 4 29 2 6 4 14 4 22 4 30 8 7 2 15 4 23 2 31 2 8 52 16 390 24 104

.فهو ال خيضع لقانون واضح... الحظ توزيع عدد احللقات

ترمجة عن الكلمة ) العربية(إن كلمة حلقة : املصطلح )2ويذكر أن . ring والكلمة األنكليزية anneauالفرنسية

لكلمة ) الشطر الثاين( األنكليزية هي اختصار ringكلمة

Zahlring) ا هلربت يف ) عدد حلقي األملانية اليت أتى


236

ويف املصطلح األملاين احلديث صارت كلمة. بداية األمرRingيف كل ذلك؟" احللقة"فلماذا لفظ . هي السائدة !

لقد أدخل هلربت هذا املصطلح عند دراسته جمموعات األعداد :ذات الشكل

.{ }3 3: 2 4, , , E x x a b c a b c= ∈ = + + ∈ ∈ ∈ℝ ℤ ℤ ℤ 3فعندما نتمادى يف ضرب العدد 3 يف نفسه أو يف 2 4

)( )23 32 ) مث =4 )3

3 2 فإننا حنصل يف األخري على عدد ...) ، =23طبيعي أو جداء عدد طبيعي يف واحد من العددين 3 أو 2 وكأننا 4

!! ندور يف حلقة

تعاريف عناصر خاصة يف احللقات 2.2

من التعاريف واملفاهيم اليت يكثر ذكرها يف لنقدم اآلن مجلة :دراسة احللقات

) أو القابل لالختصارالعنصر املنتظم( تعريف0نقول عن عنصر a≠يف حلقة ( , ,.)G ، أو قابل إنه منتظم+

.كلما كان (التايل من اليمني إذا حتقق االستلزام لالختصار، 0x a =( : 0 . 0 x x a= ⇐ = .

كما نقول إنه منتظم من اليسار إذا حتقق االستلزام التايل كلما .كان 0a x = : 0 . 0 x a x= ⇐ =.

" من اليسار"و " من اليمني"يف حالة حلقة تبديلية يفقد الوصفان .أمهيتهما


237

مثال)صر منتظمة يف احللقة ا العنكل , ,.)+ℤ . واألمر ليس كذلك يف/احللقة 6ℤ ℤ 2.3 إذ أن 6 0= و 2، وهو ما يثبت أن العنصرين =

. منتظم يف هذه احللقة5الحظ أن العنصر . ليسا منتظمني3

مالحظةفإن االستلزام التايل ) من اليمني، مثال( عنصرا منتظما aإذا كان

. :قائم . x y x a y a= ⇐ ، ذلك أن خاصية التوزيع تعطي = :االستلزام

( - ). . . 0 . . x y a x a y a x a y a= − = ⇐ =. : يؤدي إىل االستلزام aالعنصروانتظام

0 ( - ). 0 x y x y a− = ⇐ =. xوهذا معناه y= .

ولذا جاء . a" اختصار"الحظ أن العملية اليت قمنا ا هي

. بأنه قابل لالختصارaوصف


238

)لصفراقواسم (تعريف 0نقول عن عنصر a≠يف حلقة ( , ,.)G من إنه قاسم للصفر +

0 وجد عنصرإذااليمني b≠يف احللقة ( , ,.)G . :حيقق + 0 b a = .0 قاسم للصفر من اليسار إذا وجد عنصرإنهكما نقول إنه b≠ يف

)احللقة , ,.)G .: حيقق + 0 a b=. " من اليسار"و " من اليمني"يف حالة حلقة تبديلية يفقد الوصفان

.أمهيتهما

مثال0ليكن a≠قة التبديلية عنصرا من احلل( , ,.)+ℚ . إذا حقق

. املساواةbعدد 0 b a 0b فإن = فإن جمموعة قواسم الصفر إذن . = . جمموعة خاليةℚيف

/ األمر ليس كذلك يف احللقة 6ℤ ℤ 2.3 إذ أن 6 0= إذن .= . ن للصفراقامس 3 و 2 العنصرين فإن

مالحظة0نفرض أن a≠ليس قامسا للصفر يف حلقة ( , ,.)G هل ميثل . +

aفعناصر حلقة إذن). التأكد من ذلك بسيط(ا؟ نعم عنصرا منتظم . قواسم للصفرمتثل هي إما منتظمة وإما ) 0باستثناء(


239

)عنصر عدمي القوة(تعريف 0نقول عن عنصر a≠يف حلقة ( , ,.)G أو (إنه عدمي القوة +

0na إذا كانnمن الرتبة) القدرة أصغر عدد حيقق هذه n وكان= .العالقة

مثال

)ال يوجد عنصر عدمي القوة يف احللقة , ,.)+ℚ1 سوى . / يف احللقة 2ميثل العنصر 8ℤ ℤألن 3 عنصرا عدمي القوة رتبته

( )332 2 8 0= = = .

مالحظة

0 عنصر كانكل عنصر عدمي القوة قاسم للصفر إذ أنه إذا a≠ 0na فإن العالقةnعدمي القوة ورتبته .1 تؤدي إىل = 0na a − ومن . =

1 قاسم للصفر حيث أن aمث فإن 0na − الرتبة هي ن نظرا لكو≠0naأصغر عدد طبيعي حيقق =.

3 مترين

/إليك احللقة التبديلي 72ℤ ℤ. . عنصر عدمي القوة وعين رتبته6بت أن أث )1 املؤلفة من العناصر العدمية القوى هي Eأثبت أن اموعة )2

{ }.6, 0,1,...,11E n n= =.


240

)القاسم(تعريف 0ليكن a≠ 0 و d≠يف حلقة عنصرين ( , ,.)G dنقول إن . +a. حبيثb إذا وجد عنصر اليسار من aيقسم b d=.نقول إن وd a. حبيثb من اليمني إذا وجد عنصر aيقسم d b=.


مثال

)من احللقة ) 0عدا (كل عنصر , ,.)+ℝ من يقسم أي عدد ). 0عدا(نفس احللقة

12ℤ/ يف احللقة 2ميثل العنصر ℤ 8ألن 8قامسا لـ 2.4=.

)العنصر املتساوي القوة(تعريف 0ليكن a≠عنصرا من حلقة ( , ,.)G متساوي aنقول إن . +

2aالقوة إذا كان a=

مثال .عنصر الوحدة متساوي القوةيف حلقة واحدية

يف 1ليس هناك أي عنصر متساوي القوة، باستثناء /احللقة 5ℤ ℤ.


241

املزودة بقانوين اجلمع ℝ حنوℝيف جمموعة الدوال من f:إن الدالة . والتركيب حلقة →ℝ ℝ املعرفة بـ ( )f x x=

fمتثل عنصرا متساوي القوة إذ أن f f=�.

) لالختزالالقابلالعنصر غري (تعريف 0ليكن a≠واحدية تبديلية عنصرا من حلقة ( , ,.)G 1 و+ a≠

a قلنا إن1 ذاا والوحدة a هي aإذا كانت القواسم الوحيدة لـ .غري قابل لالختزال

مثال

) من احللقة15العنصر , ,.)+ℤ 15 يقبل االختزال ألن 3.5= . .بل االختزالالحظ أن األعداد األولية ال تق

)من احللقة ) 0عدا (كل عنصر , ,.)+ℚقبل االختزال ألن ي1لدينا مثال العالقة

(2 ).( )2

a a=من أجل كل عدد ناطق a.

/ يف احللقة 3العنصر 8ℤ ℤ ألن 8لـ ال يقبل االختزال خالفا 8 2.4=.

)العنصر األويل(تعريف 0ليكن a≠عنصرا من حلقة تبديلية واحدية ( , ,.)G 1 و+ a≠ .a.من الشكل عالقة أية ت إذا كان إنه أويلaننقول ع x y=، حيث1 x≠ 1 و y≠ ، تؤدي إىل أنa يقسم x أوa يقسمy.


242

مثال)األعداد األولية يف احللقة , ,.)+ℤباملعىن السابق عناصر أولية .

12ℤ/ يف احللقة 5ميثل العنصر ℤعنصرا أوليا . ختزال لكن العكس الحظ أن عنصرا أوليا هو عدد غري قابل لال

.غري صحيح

)عنصران أوليان فيما بينهما(تعريف

0ليكن a≠ 0 b≠عنصرين من حلقة تبديلية واحدية ( , ,.)G + . a فيما بينهما إذا كانت قسمة كل من إما أوليانb و aنقول عن

. يقبل العكسd يؤدي إىل أن d على نفس العنصر bو مثال) يف احللقة انأولي 15 و 8 انعددال , ,.)+ℤ .

12ℤ/يف احللقة 8و 6العنصران ℤ غري أوليني فيما بينهما ألن . يقسمهما على الرغم من أنه ال يقبل العكس2

)عنصر مركزي(تعريف ) عنصرا من حلقةaليكن , ,.)G إنه مركزي إذا aنقول عن. +

:حتققت العالقة

, . . .x G x a a x∀ ∈ =


243

مثال .كل العناصر يف حلقة تبديلية عناصر مركزية

دية عنصر مركزي، وكذا العنصر يف كل حلقة واح1عنصر الوحدة .0احليادي

: أجزاء خاصة من احللقات 3.2

.نقدم فيما يلي تعاريف عينة من أجزاء متميزة يف احللقات

)احللقة اجلزئية(تعريف

)لتكن , ,.)G ) نقول عن . جزءا منهاH حلقة و+ , ,.)H إا +)حلقة جزئية من , ,.)G + )إن كان , ,.)H )يف حالة( حلقة واحتوت + , ,.)G ) واحدية+ .1على الوحدة

مثال

(2 , ,.)+ℤاحللقة ليست حلقة جزئية من ( , ,.)+ℤحسب املعىن .1السابق ألا ال تشمل الوحدة

( , ,.)+ℤ حلقة جزئية من ( , ,.)+ℚومن ( , ,.)+ℝ.


244

ومن مث ميكن . تقاطع حلقات جزئية هو حلقة جزئيةنالحظ أن : بالتعريف التايلاإلتيان

)احللقة املولدة عن جزء (تعريف

هي أصغر A جزءا من حلقة فإن احللقة املولدة عن Aإذا كان هي تقاطع A، أي أن احللقة املولدة عن Aحلقة جزئية حتتوي

.Aاحللقات اجلزئية اليت حتتوي

مثال) يف احللقة ℕ احللقة املولدة عن , ,.)+ℚ هي ( , ,.)+ℤ.

مالحظة

هناك من املؤلفني من ال يطلب يف تعريف احللقة اجلزئية انتماء ومهما يكن من أمر. الوحدة إىل هذه احللقة يف حالة حلقة واحدية

نعرف حني اإلجابة عن األسئلة أو اإلطالع على بعض فينبغي أن نعلم : نقول هذه النقطة،للتأكيد على .النتائج أي التعريفني نعتمد2أن جمموعة املصفوفات إذا . متثل حلقة واحدية غري تبديلية×2

0 الشكل ذاتمن املصفوفات Hاعتربنا اموعة اجلزئية

0 0

x

فإننا جندها تشكل زمرة بالنسبة لعملية اجلمع، وأن عملية الضرب

1 لكن مصفوفة الوحدة. Hداخلية يف 0

0 1

. Hال تنتمي إىل


245

ليست حلقة H ريف السابق جيعلنا نقول إنفاعتمادنا للتعولذا 2جزئية من حلقة املصفوفات أي (أما إذا اعتمدنا التعريف الثاين . ×2

فسنقول إن ) ذلك الذي ال يتطلب انتماء الوحدة إىل احللقة اجلزئيةH2لقة املصفوفات حلقة جزئية من ح 2× .

ندرك ملاذا يطلب البعض أن تكون الوحدة أن جدامن املهم

1 الحظ يف هذا املثال أن املصفوفة:تنتمي إىل احللقة اجلزئية 0

0 0

حلقة Hوعليه فإن. Hمتثل عنصرا حياديا بالنسبة للضرب يف2 لكن وحدا ختتلف عن وحدة حلقة املصفوفات ،واحدية ذلك ×2

:أن

.1 0 1 0

0 0 0 1

≠

4 مترينتسمى (أثبت أن جمموعة العناصر املركزية يف حلقة متثل حلقة

.)احللقة املركزية


246

)املثايل(تعريف )لتكن , ,.)G )حلقة و + , )I . زمرة جزئية منها+ إذا حتققت العالقة*

, .a G a I I∀ ∈ ⊆ . مثايل من اليسارIإن نقول فإننا إذا حتققت العالقة*

, .a G I a I∀ ∈ ⊆ . من اليمني مثايلI فإننا نقول إن


مثال(2 , ,.)+ℤ احللقة مثايل يف ( , ,.)+ℤ. (2 , ,.)+ℤ ليس مثاليا يف ( , ,.)+ℚ.

)املثايل الرئيسي(تعريف )لتكن , ,.)G . حلقة+ مثايل رئيسي من I مثاليا من اليسار، نقول إن Iإذا كان*

: حبيث G من aاليسار إذا وجد عنصر{ }. . , I G a x a x G= = ∈

مثايل رئيسي من I مثاليا من اليمني، نقول إن Iإذا كان* : حبيث G منaاليمني إذا وجد عنصر

{ }. . , I a G a x x G= = ∈ " من اليسار"و " من اليمني"يف حالة حلقة تبديلية يفقد الوصفان

.يتهماأمه


247

)األعظمياملثايل (تعريف )لتكن , ,.)G . حلقة+ من أعظمي مثايل I مثاليا من اليسار، نقول إن Iإذا كان*

.Gمل يكن حمتويا يف أي مثايل من اليسار باستثناء اليسار إذا من أعظمي مثايل I مثاليا من اليمني، نقول إنIإذا كان*

.Gمل يكن حمتويا يف أي مثايل من اليمني باستثناء اليمني إذا من "و " من اليمني"يف حالة حلقة تبديلية يفقد الوصفان * .أمهيتهما" اليسار

)ويلاأل املثايل(تعريف )لتكن , ,.)G مثايل I، يكون مثالياIإذا كان . حلقة تبديلية+

: الشرطان حققيت عندماأويل 1 (I G≠، a.إذا كان ) 2 b I∈ من أجل عنصرين a و b من G فإن a I∈ أو b I∈.


248

مثال . أويل مثايل يف حلقة تبديليةكل مثايل أعظمي

: حلقات أخرى ومتاثل احللقات4.2

) حلقة كاملة(تعريف ) لتكن , ,.)G إذا مل تقبل . حلقة تبديلية فيها أكثر من عنصر+

. عنها بأا كاملةلإننا نقوفاحللقة أي قاسم للصفر مثال

( , ,.)+ℤحلقة كاملة، وكذلك ( / 7 , ,.)+ℤ ℤ خالفا ،)للحلقة / 20 , ,.)+ℤ ℤ 2.10 إذ جند فيها مثال 2 وهو ما ينب أن =0

.قاسم للصفر ) حلقة رئيسية(تعريف

)لتكن , ,.)G نقول عن هذه احللقة . حلقة كاملة وتبديلية وواحدية+ .إا رئيسية إذا كان كل مثايل فيها مثايل رئيسي

)حلقة اجلداء(تعريف

)1لتكن , ,.)G )2 و + , ,.)G 1إن تزويد اجلداء . حلقتني+ 2G G× :بالقانونني، اللذين نرمز إليهما أيضا برمزي اجلمع والضرب

1 2 1 2, ( ', ') : ( , ) ( ', ') ( , ' ')

( , )G G x y G G x y x y x y x y

x y

× ∀ ∈ × + = + +∀ ∈

1 2 1 2( , ) , ( ', ') : ( , ).( ', ') ( . , '. ')x y G G x y G G x y x y x y x y∀ ∈ × ∀ ∈ × = 1جيعل من 2G G×1ة جداء احللقتني حلقة، تسمى حلق( , ,.)G +

)2و , ,.)G +.


249

4 مترين .تأكد من أن اجلداء كما عرف آنفا ميثل حلقة) 1)1نفرض أن احللقتني ) 2 , ,.)G )2 و + , ,.)G أثبت أن حلقة . واحديتني+

.اجلداء واحدية),...,1لتكن ) 3 ,. )i i i nG = nوضح كيف ميكن تعريف حلقة اجلداء . حلقة

1الديكاريت 2 ... nG G G× × ×.

) حلقة النسبة(تعريف )لتكن , ,.)G على Rنعرف عالقة تكافؤ . مثايلI و حلقة +

G بـ . xRy x y I⇔ − ∈

G/، اليت نرمز إليها بـ I على Gحلقة نسبة * I هي : { }/ , G I x x G= ∈

x من أجل كل x حيث نعرف صنف التكافؤ G∈ بـ { }:x y G xRy= ∈.

G/نزود * I بالقانونني الداخليني اللذين نرمز إليهما أيضا :برمزي اجلمع والضرب

, : x G y G x y x y∀ ∈ ∀ ∈ + = + ., : . . x G y G x y x y∀ ∈ ∀ ∈ =


250

5 مترينG/تأكد من أن ) 1 Hزمرة . ]: تأكد من أن ) 2 ]0 : 0H x G Rx= = ∈.

مثال مثايل يف احللقة nℤ، نعلم أن ℕ* طبيعي يف nمن أجل

( , ,.)+ℤ . وبالتايل ميكن تعريف حلقة النسبة/ nℤ ℤ وفق التعريف الحظ أن هذه احللقة هي نفس احللقة اليت أدخلناها يف بداية . السابق .الدرس

)متاثل حلقات(تعريف

)1 لتكن , ,.)G )2 و + , ,.)G لتطبيق نقول عن ا. حلقتني+

1 2:f G G→ إنه متاثل حلقات إذا حقق العالقتني من أجل كل : 1G من y وxعنصرين

( ) ( ) ( ),

( . ) ( ). ( ).

f x y f x f y

f x y f x f y

+ = +

=


251

مثال)ا من حلقة مثاليIإذا كان , ,.)G فإن التطبيق +

: /f G G I

x x

→

֏

G/متاثل حلقات، وهذا حسب تعريف القانونني الداخليني على I . Gيسمى هذا التطبيق التماثل القانوين من . الحظ أن هذا التطبيق غامر

G/حنو I. ).تأكد من ذلك(كل تركيب متاثلي حلقات هو متاثل حلقات

6 مترين1ليكن 2:f G G→متاثل حلقات . (0)أثبت أن ) 1 0f ) وأن = ) ( )f x f x− يف x من أجل كل−=

1G. )1أثبت أن ) 2 )f Gحلقة . )1استنتج أن احللقة . واحدية1Gنفرض أن ) 3 )f Gما العالقة . واحدية

ا تكون هذه األخرية واحدية أيضا عندم2G و 1Gبني وحديت احللقتني والتماثل تشاكال؟

مالحظة)لتكن , ,.)G 1 بدل eلنرمز إىل الوحدة بـ . حلقة واحدية+} للحلقة املولدة عن G'وبـ }eأي ،{ }' . , G n e n= ∈ℤ . نعترب

:التطبيق 'f G→ℤ الغامر املعرف بـ ( ) .f n n e= . الحظ أن هذا


252

و mالتطبيق متاثل حلقات إذ أن لدينا من أجل كل عددين صحيحني n :

( ) ( ).

. .

( ) ( ).

f m n m n e

m e n e

f m f n

+ = +

= +

= +

( ) ( )

( . ) . .

. . .

( ). ( ).

f m n m n e

m e n e

f m f n

=

=

=

g:إذا عرفنا اآلن G→ℤ ا التطبيق الغامر بنفس الطريقة اليت عرفنا : 'f G→ℤ أي بـ ،( ) .g n n e= فيمكن أن يكون g تباينا وميكن

تباينا فإنه يوجد بالتأكيد على األقل عدد gإذا مل يكن. ال يكون كذلكأ0 n≠ حيقق ( ) . 0g n n e= :ومنه يأيت التعريف التايل . =

)مميزة حلقة (تعريف

.حنتفظ بالرموز السابقة g:إذا كان * G→ℤ 0 ليس تباينا فإن أصغر عدد n≠ حيقق

( ) . 0g n n e= .G يسمى مميزة =g: إذا كان* G→ℤ تباينا قلنا إن مميزة G0 هي.

حظةمال

متشاكلة مع ℤ فإن 0عندما تكون مميزة احللقة تساوي ( ) 'g G=ℤ . ولذا فغالبا ما نطابق يف هذه احلالةn الصحيح مع

n.العنصر eمن G لوحدة 1، وهذا يتماشى مع ما ألفناه عند الترميز بـ


253

.احللقة حيث نكتب جمازا .1n e n n= وعليه ميكن القول أن كل . = .ℤحلقة مميزا معدومة حتتوي جمموعة األعداد الصحيحة

) فإن nزة احللقة تساوي عندما تكون ممي ) 'g G=ℤ متشاكلة مع / nℤ ℤ . هنا علينا أن حنذر إذ ال جيوز لنا املطابقة بني عناصر احللقة

... ألن ذلك يؤدي إىل نتائج متناقضة ℤوجمموعة األعداد الصحيحة /كأن نقول أن nℤ ℤ حتتوي ℤ .نالحظ أخريا أن العالقة

. ( . ). 0. 0n x n e x x= = = 0حمققة يف كل حلقة مميزا n≠ومن أجل كل عنصر xفيها .

مالحظةمن املهم أن نالحظ بأن ما قدمناه آنفا من تعاريف ألنواع

. عينة من احللقات اخلاصة الكثريةاحللقات ما هي إال


254

: )اجلسم (حلقلا. 3 : تعاريف ونتائج 1.3

)احلقل، املميزة(تعريف

)ليكن * , ,.)G ) إن نقول. حلقة تبديلية واحدية+ , ,.)G + 0حقل إذا كان بالنسبة ( يقبل معكوسا 0 وكان كل عنصر خيالف≠1 ).لعملية الضرب

)إذا كان * , ,.)G H جزءا منه فإننا نقول إن H حقال و +) إذا كان Gحقل جزئي من , ,.)H . حقال+

.مميزة حقل هي مميزته بوصفه حلقة*

مالحظة)ميكن أن تكون املميزة منعدمة مثل ما هو احلال يف , ,.)+ℚ أو

)يف , ,.)+ℝ.ا تكون عدد أويلوإذا مل تكن منعدمة فإ .

أمثلة املزودة بعملييت اجلمع والضرب ℤجمموعة األعداد الصحيحة) 1

حلقة تبديلية وواحدية، لكنها ليست حقال ألن العنصرين الوحيدين .−1 و1اللذين يقبالن العكس مها


255

)جمموعة األعداد الناطقة) 2 , ,.)+ℚوكذلك األمر يف ما . حقل)خيص جمموعة األعداد احلقيقية , ,.)+ℝ وجمموعة األعداد العقدية

( , ,.)+ℂ . اموعات الثالث حقال ألتسمى كل جمموعة من هذه اكل عناصرها تقبل العكس عدا العنصر احليادي بالنسبة "ز باخلاصية تتمي

".0لعملية اجلمع

)اموعة )/ 2 , ,.+ℤ ℤ ن من عنصرين مها العنصرانحقل يتكو )أما. احلياديان )/ , ,.n +ℤ ℤحيث nفيكون 2ي أكرب من عدد طبيع

).سنبين ذلك الحقا( أوليا nحقال إذا وفقط إذا كان

املعرفة بـ Eثل جمموعة األعداد احلقيقية مت) 3

{ }: 2, , E x x a b a b= ∈ = + ∈ ∈ℝ ℤ ℤ عملييت اجلمع والضرب حلقة واحدية وتبديلية عند تزويدها ب

1دليل ذلك مثال أن العددين . املعتادتني، لكنها ليست حقال 3 2+ 1و 3

217 17

− 1 متعاكسان، لكن + 32

17 17− .E ال ينتمي إىل+

وتبديلية عندما تزود جمموعة كثريات احلدود متثل حلقة واحدية ) 4، لكنها ال متثل )ضرب الدوال(والضرب ) مجع الدوال(بعملييت اجلمع

21دليل ذلك، مثال، أن مقلوب كثري احلدود . حقال x+ هو التابع

2

1

1 x+ختتلف (الواقع أن هناك عناصر ... الذي ال ميثل كثري حدود

1مثل كثري احلدود ) كتوابع(ال تقبل أصال عناصر عكسية ) 0عن x+.

.مركز حقل ميثل حقال جزئيا منه) 5


256

1مترين )ليكن , ,.)G . جزءا منهH حقال و +

)برهن أن , ,.)H ) يكون حقال جزئيا من + , ,.)G إذا وفقط إذا حتقق + :الشرطان

1 ( .a H b H a b H a b H∈ ∧ ∈ ⇒ − ∈ ∧ ∈. 2 (10 0a H a H−≠ ∈ ⇒ ≠ ∈ . )يكافئ أن ) 1ابدأ بإثبات أن الشرط ( , ,.)H حلقة جزئية من +

( , ,.)G +.( 2مترين

}أثبت أن املثاليني الوحيدين يف حقل مها احلقل ذاته و }0.

)احللقة املنتهية واحلقل(نظرية )كل حلقة واحدية وتبديلية وكاملة ومنتهية , ,.)G . حقل+

الربهان

0نعترب عنصرا a≠ من G ن أن له معكوساوبذلك ينتهي ( ولنبي)الربهان على أن , ,.)G f:إن التطبيق ). حقل+ G G→ املعرف بـ

( ) .f x a x= تباين ألن املساواة. .a x a y= تستلزم .( ) 0a x y− = .0أن احللقة كاملة و ومبا a≠ 0 فإنx y− x، أي = y= . ومن

مث إن . تقابلfولذا نستخلص أن. منتهيةGجهة أخرى، نعلم أن


257

، أي وجود 1 يؤدي إىل وجود سابقة لـ fاحللقة واحدية، وعليه فتقابل. حيقق xعنصر 1a x . معكوسaوهذا معناه أن لـ . =

) واألعداداحللقة واحلقل(نظرية 2ليكن p≤ . إن القضايا الثالث التالية متكافئة: /احللقة ) 1( pℤ ℤكاملة . . أويلpالعدد ) 2(

/احللقة ) 3( pℤ ℤحقل .

الربهان

xنفترض أن ) : 2(⇔)1(نثبت أن * ∈ℤ و y ∈ℤ حبيث . 0x y / يف = pℤ ℤ .هذا معناه، حسب تعريف/ pℤ ℤ أن اجلداء ،

.x y م علىقسي p . إذا كانp أوليا فإنه يقسم بالضرورة x أو y ،0xأي أن 0y أو = ألننا وضحنا ) 1(⇐)2(هذا يعين أن . = االستلزام

. 0 0x y⇒ = ∨ = . 0x y =

نواصل بالقول أنه إذا علمنا أن العدد ) : 2(⇐)1(يف ما خيص pيقسم .x y فإن . 0x y أن ) 1(وهذا يستلزم، حسب القضية . =0x 0y أو = وهكذا نكون قد . y أو x يقسمp، أي أن =

. فإنه يقسم أحدمهاpوضحنا بأنه إذا قسم جداء عددين صحيحني على


258

ويف اخلالصة أثبتنا ). 2(⇐)1(ومنه . تبين أنه أويلpاصية لـ هذه اخل ).2(⇔)1(التكافؤ

) حسب تعريف احلقل(من الواضح ) : 1(⇔)3(لنثبت أن *

.صحيح) 1(⇐ )3(أن االستلزام

تطبيق النظرية السابقة، ) 3(⇐ )1(يكفي يف ما خيص االستلزام /إذ أن احللقة pℤ ℤ وهكذا صار لدينا )). 1(حسب ( منتهية وكاملة

.ومنه املطلوب). 1(⇔)3(و ) 2(⇐)1: (التكافؤان

مالحظة كما تبين . أن كل حقل منته حقل تبديليتنص علىهناك نتيجة

دراسة احلقول املنتهية أن عدد عناصر أي حقل منته هو بالضرورة قوة . لعدد أويل

تعريف -نظرية

)لتكن , ,.)G d حلقة تبديلية وواحدية، و+ G∈ عنصرا منها ال . Gميثل مربعا يف

Gتوجد حلقة تبديلية وواحدية، نرمز إليها بـ d

، حبيث G حلقة جزئية من Gتكون d

G مربعا يفd ويكون d

.

Gنسمي احللقة d

.Gتربعيا لـ ) أو متديدا أو توسيعا( امتدادا


259

مالحظةGهناك ترميز متداول يف ما خيص عناصر d

:

)نكتب ,0)x x=الحظ أن ن مث( , ) ( ,0) ( ,0) ( ,0) (0,1).( ,0)x y x y x y= + = ، فإذا استفدنا من +

)املطابقة ,0)x x= و ( ,0)y y=، (0,1) ووضعناω جتوز لنا =)كتابة أي عنصر , )x y من G d

: على الشكل

.( , ) .x y x yω= + ، مبعىن أنه إذا كان )حسب تعريفها(وهي كتابة وحيدة

( , ) . ' . 'x y x y x yω ω= + = x' فال بد أن يكون + x= و 'y y= . 2علينا أال ننسى العالقة اهلامة dω =.

مثالG االختيار - = ℝ 1 وd 1 يعطي−= −

ℝ وهو ما ألفنا ، ).املركبةحلقة األعداد (ℂاإلشارة إليه بـ

G االختيار - = ℤ 1 وd 1 يعطي احللقة −= − ℝ املسماة

.Gaussحلقة األعداد الصحيحة لغوس d يسمى -

ℚ 0 حقل تربيعي من أجل كل عدد ناطق d≠ .

0وإذا كان d< فإننا نسمي d ℚذا كان أما إ. حقال تربيعيا حقيقيا

0 d> فإننا نسمي d ℚلياحقال تربيعيا ختي .


260

)املرافق والنظيم عنصر(تعريف Gحنتفظ بتعريف d

ونكتب كل عنصر . الوارد آنفا

( , )x y z= من G d

z.ى الشكل عل x yω= +. G هو العنصر منz للعنصر zاملرافق * d

املعرف بـ

.z x yω= −. : املعرف بـ G هو العنصر من zنظيم العنصر * ( ) .N z z z=.

3 مترين

G من z' و zتأكد من العالقات التالية من أجل كل عنصرين d

:

1 (. ' 'z z z z+ = + 2 (. . ' . 'z z z z=. 3 (2 2( ) . .N z z z x d y= = −. 4 ((1) 1N =.

4مترين

عني العناصر القابلة للعكس يف حلقة األعداد الصحيحة لغوس 1 −

ℤ.


261

:الربهان على النظرية التالية ليس صعبا

)بني احلقة واحلقل( نظرية

)ليكن , ,.)G d حقال تبديليا، و+ G∈ . هناك تكافؤ بني :الشرطنيGاحللقة ) 1 d

. حقل

.G ليس مربعا يف dالعنصر) 2

يؤدي مفهوم الغلق اجلربي للحقول دورا أساسيا يف البحث عن ولذا نشري بإجياز إىل . حلول املعادالت اليت تظهر جذور كثريات احلدود

. ذا املوضوعني خاصنيتعريف

)العنصر اجلربي(تعريف ) إنه جربي بالنسبة حلقل xنقول عن عنصر , ,.)G إن حتققت + :الشروط الثالثة التالية

x ينتمي إىل حقل ( , ,.)L + ، )احلقل , ,.)L ، G حيتوي +

x جذر لكثري حدود معامالته يف G.


262

أمثلة2العدد ) 1 5 ) عدد جربي بالنسبة للحقل+3 , ,.)+ℚ إذ أنه

)ينتمي إىل 5 , ,.)L = + ℚ بوضع (، مث إننا نالحظ ما يلي2 5 3x = + :(2 29 12 5x = 2، ومنه + 29 12 5x − :إذن . =

.( ) ( )224 2 2841 58 29 12 5 720x x x+ − = − = = 4: التايل وب 258 121 0x x− + 2وهكذا يتضح أن العدد . = 5 جذر +3

4لكثري احلدود 258 121x x− وبالتايل فهو عدد . ذي املعامالت الناطقة+)نالحظ أن اختيار . جربي 5 , ,.)L = + ℚ ليس وحيدا إذ كان

)ال باإلمكان أن نأخذ مث , ,.)L = +ℝ أو ( , ,.)L = +ℂاخل ،. متسام 22نشري إىل أنه مت إثبات منذ سنني طويلة أن العدد ) 2

.eπ، وكذلك العدد )أي أنه غري جربي(

)احلقل املغلق جربيا (تعريف)نقول عن حقل , ,.)G إنه مغلق جربي إذا قبل كل كثري +

.G، جذرا يف 1، ودرجته ال تقل عن Gحدود معامالته يف

مثال)احلقول ) 1 , ,.)+ℚ، ( 5 , ,.) + ℚ، ( , ,.)+ℝ ليست مغلقة

ال يقبل جذرا يف أي من هذه ) مثال( التايل fجربيا إذ أن كثري احلدود : رغم أن معامالته تنتمي إىل كل من تلك احلقول ... احلقول

2( ) 3f x x= +.


263

)احلقل ) 2 , ,.)+ℂعليه النتيجة . مغلق جربيا ذلك ما تنص اليت تقول بأن كل كثري حدود " النظرية األساسية يف اجلرب"املعروفة بـ

عند مراعاة (معامالته عقدية يقبل عددا من اجلذور يساوي درجته ).تضاعف اجلذور

: حملة تارخيية. 4

يؤدي مفهوم الزمرة الذي يعترب أحد ركائز البناء الرياضي ولذلك تعترب بنية . ديث، دورا متعدد األشكال يف الفروع الرياضيةاحل

الزمرة إحدى البىن اجلربية األساسية، ومتثل نظريتها يف الوقت الراهن . واحدة من النظريات األكثر تقدما يف اجلرب

وقد تطلب تطوير هذه النظرية وتدقيق مفهومها، عدة أجيال من

Vandermondeندر فندرموند وهكذا استخدم ألكس. الرياضييني-1736 (Lagrangeوجوزيف لويس الغرانج ) 1735-1796(

زمرا من التبديالت لتحديد جذور بعض 1771يف عام ) 1813 مث جاءت أحباث كثرية يف هذا السياق، منها أعمال. كثريات احلدود

ونيلز آبل 1799عام ) Ruffini) 1765-1822باولو روفيين Abel) 1802 -1829 (1831 إىل أن الحت، عام 1824م عا ،

الذي استخدم فيها ) Galois) 1811 -1832أعمال إفريست غالوا


264

وانطالقا من ذلك العهد بدأت نظرية . فكرة الزمرة، وأدخل مصطلحها .الزمر يف التجلي، سيما يف جمال حل املعادالت اجلربية

مثل نظرية (وتعددت تطبيقات الزمر يف فروع الرياضيات

ل ونظرية املعادالت التفاضلية ونظرية الطبولوجيا اجلربية الدواوالطبولوجيا العامة حيث ميكن مثال استخدام الزمر يف الربهان على

مثل علم البلورات (، ويف غري الرياضيات )نظرية النقطة الصامدةوتصنيف اجلسيمات األولية يف الفيزياء، وميكانيك الكم، والنظرية

ن ). قدالنسبية، ونظرية العا قائمة طويلة، يصعب حتديدها بدقة، تبيإ .مدى تواجد الزمر وخمتلف نظرياا يف الفروع العلمية املختلفة

لقد نشر اجليولوجي وعامل البلورات الروسي إفغراف فيدوروف

Fedorov) 1853 -1919 ( حبثا يف جزءين حتت عنوان 1891عام "Symmetry of Regular Systems of Figures"

صنف فيه مجل النقاط املنتظمة ) التناظر يف أنظمة األشكال املنتظمة(املواقع يف الفضاء، علما أن هذا التصنيف يعترب مسألة من أبرز املسائل

17ويبلغ عدد زمر فيدوروف يف املستوي . اليت يهتم ا علم البلورات من ومل يتمكن الرياضيون. زمرة230أما يف الفضاء فهناك . زمرة

ويعد هذا التطبيق لنظرية . تصنيفها الشامل إال باستخدام نظرية الزمروينظر املختصون إىل . الزمر األول من نوعه يف حقل العلوم الطبيعية

.مفهوم الزمرة كأداة فعالة الستكشاف خاصية التناظر يف الطبيعة


265

إذ ميثلأما يف ميكانيك الكم فتؤدي نظرية الزمر دورا بارزاتصون يف هذا احلقل حالة نظام فيزيائي بنقطة يف فضاء شعاعي بعده املخ

تغير النظام يف حلظة معينة من حالة إىل حالة أخرى عرب ويتم. غري منتهولذلك فإن التناظرات . لة للنظام املعتربحتويل خطي لتلك النقطة املمث

ا هذه املسائل بالغة األمهية يف مثل هذه الدراساليت تتمي وكذلك . اتز .احلال بالنسبة لنظرية متثيل الزمر بالتحويالت اخلطية

كما ظهرت الزمر بشكل آخر خالل منتصف القرن التاسع . عشر يف اهلندسة عندما تركت اهلندسة التقليدية مكاا هلندسات جديدة

ومت تأسيس تصنيف الزمر بناء على مفهوم زمرة التحويالت ضمن برنامج Klein الذي وضعه فلكس كلني Erlangenرلنجن عرف بربنامج إي

واهلدف من هذا . حني كان بإيرلنجن1872عام ) 1849-1925( Vergleichende الذي مساه صاحبه - الربنامج

Betrachtungen über neuere geometrische Forschungen) اعتبارات حول حبوث حديثة خاصة باهلندسة (–

ملسائل اهلندسة اليت كانت تشغل بال هو السعي إىل تقدمي حل جديد وينبغي أال ننسى أيضا بأن نظرية األعداد كانت، هي . الرياضيني آنذاك

Eulerاألخرى، مصدر تطور لنظرية الزمر وذلك منذ عهد أولر . حني درسا خواص بواقي القسمة واألشكال التربيعيةGaussوغوس

عشر أن خمتلف واتضح خالل النصف الثاين من القرن التاسع األفكار اخلاصة بالزمر تعتمد، يف واقع األمر، على مفهوم واحد رغم


266

وهكذا ظهر املفهوم ارد احلديث للزمرة . اختالف حقول استخدامااوفرديناد جورج ) Cayley) 1821-1895رثر كايلي أ على أيدي vonوولتر فون ديك ) Frobenius) 1849-1917فروبينوس

Dyck) 1856-1934(إخل ، .

) Schmidt) 1891-1956وعندما ظهر مؤلف أوتو مشيت Theحتت عنوان ) االحتاد السوفييت سابق( يف مدينة كياف 1916عام

abstract theory of groups) ردة للزمربدأت ) النظرية االزمرة تتخلص من قيود عديدة كانت حتد من صالحياا يف ميادين خمتلفة

فكانت بنية الزمرة ). ود انتهاء عدد عناصر الزمر املتداولةومن تلك القي(إحدى أوائل البىن اجلربية اردة اليت استخدمت كنموذج حيتذى به لدى وضع املفاهيم اجلديدة يف إطار إرساء بناء الرياضيات على أسس متينة

.ابتداء من مطلع القرن العشرين

غ جمدل سيلو النروجيي بيتر لودويدرسويف هذا السياق

Sylow) 1832-1918 ( الزمر املنتهية، وكان تلميذه النروجييقد عمم دراسة التحويالت ) Lie) 1842-1899ماريوس سوفوس يل

ويالحظ املؤرخون أن الفترة . وتناول املوضوع املسمى بالزمر املستمرة قد متيزت مبحاولة االنتقال من رياضيات العهود الغابرة 1830-1933" إعادة تنظيم البيت"وعملت على ... ياضيات اليت نعرفها اليومإىل الر

. الرياضي واالنطالق اجلاد يف التجريد


267

املعادالت اجلربية، (وهكذا جند يف اجلرب مثال بأن املسائل اجلربية قد صنفت إىل عدة ) اجلمل اخلطية، زمر التحويالت، نظرية األعداد

الزمر، : جربية خمتلفة ومن مث ظهرت، بصفة تدرجيية، بىن. فئاتومن ... . احللقات، احلقول، الفضاءات الشعاعية، اجلبور، املقاييس،

بعد اكتشاف عدة هندسات -املهم أن نذكر بأن هذا التوجه قد أدى إىل انتهاج سبل –...) هندسة لوبتشفسكي، هندسة رميان، (غري أقليدية

ضي وجعلت كبري رياضيي جديدة تتميز بالدقة يف جمال التحليل بالريايراجع ) Hilbert) 1862-1943القرن العشرين ديفد هلربت

وأفضت هذه البحوث إىل . مسلمات أقليدس يف اية القرن التاسع عشراهلندسة اجلربية واهلندسة : انقسام اهلندسة إىل قسمني رئيسيني مها

.التفاضلية

حلقل لنتناول اآلن عناصر من اجلانب التارخيي للحلقة وا

كان . ولنبدأ بكلمة وجيزة حول احلقول مث نعود إىل احللقات). اجلسم( Abelمفهوم احلقل قد استعمل ضمنيا من قبل نيل هنريك آبل

يف ) 1811-1832 ( Galoisوإفرسيت غالوا) 1802-1829( كان ريتشارد ديدكيند 1871ويف عام . أعماهلما اخلاصة حبل املعادالت

Dedekind) 1831 -1916 ( قد مسى حقال كل جمموعة أعداد .حقيقية أو عقدية تكون عليها العمليات احلسابية األربع داخلية


268

فقد ) Kronecker) 1823 -1891أما ليوبولد كونيكر ما "domain of rationality"" ساحة الناطقية "1881مسى عام

قدم هنريش فيرب 1893ويف عام . نسميه اآلن حقل كثريات احلدودWeber) 1842-1913 (ردأول تعريف واضح للحقل باملفهوم ا .

، ورغم ذلك فهو يعترب أول رياضي "احلقل"ومل يكن يف ذهن غالوا لفظ نالحظ أن ما يعرف بنظرية . ارتبط امسه بنظرية الزمر ونظرية احلقولوالرياضي الذي طور العالقة . غالوا هي تسمية مل تكن معروفة يف عهده

خالل ) Artin) 1898-1962 هو إميل أرتني بني الزمر واحلقول . 1942- 1928الفترة

وقد استعمل مفهوم احلقل أول مرة للربهان على أن ليس هناك دستور عام يعطي جذور كثريات احلدود احلقيقية ذات الدرجات األكرب

أو (تداد واملفهوم األساسي اليت تتضمنه نظرية غالوا هو االم. 4من الغلق "واملوضوع مرتبط مبا يسمى بـ. اجلربي حلقل معطى) التوسيعواملالحظ يف هذا ). سنعرف ذلك الحقا" (األعداد اجلربية"و" اجلربي

. السياق أن احلقول املنتهية تؤدي دورا أساسيا يف نظرية التشفري والتعميةخدم يف علم احلاسوب املبين على نظام فتست2أما احلقول ذات املميزة

.وهي تدرس كحالة خاصة من فئة احلقول املنتهية. العد الثنائي

نالحظ أن كل كتاب يف اجلرب . دعنا نتحدث اآلن عن احللقات

فماذا يربر إدخال هذا املفهوم؟ من أهداف . ارد يعطي تعريف احللقة


269

ى جمموعات ليست هذا املفهوم تعميم فكرة العمليات احلسابية عل . بالضرورة جموعات أعداد

وما حفز على دراسة مثل هذه املواضيع هي نظرية فريما

Fermat) 1601 -1665 ( اليت تقول بأن املعادلةn n nx y z+ ال =2 من أجل أي عدد طبيعي x ، y ، zتقبل حلوال طبيعية n< . ومن

املعلوم أا نتيجة أثبتت يف مطلع التسعينيات من القرن العشرين من قبل وال تفوتنا هنا ..). -Wiles) 1953الرياضي األنكليزي أندريو وايلز

:ت مبكر اإلشارة إىل بعض احلاالت اخلاصة اليت مت الربهان عليها يف وق4n أثبتها فريما من أجل- .1640 حوايل =3nمن أجل ) Euler) 1707-1783 أثبتها أولر - عام =1753.

وديركلت ) Legendre) 1752 -1833 أثبتها لوجندر -Dirichlet) 1805-1859 ( 5من أجلn .1825 عام =

14n أثبتها ديركلت من أجل - .1832 عام =7nمن أجل ) Lamé) 1795-1870 أثبتها المي - عام =

1839. راسة املوضوع لدى معاجلة احلالة وكان أولر قد تعمق يف د

3n حماوال تطبيق ذلك على احللقة املؤلفة من العناصر ذات الشكل =3x y+ . حلقة األعداد الصحيحةy و x عندما ميسح العددان −

أعلن المي أنه برهن على نظرية 1847ويف عام . يف حماولتهلكنه مل يفلح


270

Liouvilleوعندئذ رأى ليوفيل . فريما وقدم خمتصرا لذلك الربهانأن الربهان مرتبط بوحدانية التفكيك إىل عناصر أولية ) 1809-1882(غري أن التفكيك املشار إليه ليس ). مثلما نفكك عددا إىل أعداد أولية(

كان من ) Cauchy) 1789 -1857علوم أن كوشي ومن امل. وحيدا .املؤيدين لفكرة المي

وحىت نفهم ما كان جيري يف تلك احلقبة، وندرك األفكار اليت كانت يف أذهان الرياضيني نذكر أن اموعة املؤلفة من العناصر ذات

3xالشكل y+ حلقة األعداد y و x، عندما ميسح العددان −3علما أن (الصحيحة، متثل حلقة . 3i− وفيها نعرف العدد ). =

األويل بشكل مشابه ملا نعرفه يف جمموعة األعداد الطبيعية، فهو عدد ال 3xيقسمه عدد من الشكل y+ ه واألعداد اليت هلا سوى العدد ذات−

على سبيل املثال، نالحظ أن ). بالنسبة لعملية الضرب(أعداد عكسية 1العددين 3+ 1 و − 3− ميكن تفكيكه إىل 4 أوليان وأن العدد −

4عوامل أولية بكيفيتني خمتلفتني مها و =2.2( ) ( )4 1 3 . 1 3= + − − وهذا مشكل ال يطرح يف جمموعة األعداد . −

.الصحيحة

أثبت أن املشكل ال ) Gauss) 1777-1855كما أن غوس

1xيطرح يف احللقة املؤلفة من العناصر ذات الشكل y+ عندما ميسح −واستغل هذه النتيجة وأخرى . حلقة األعداد الصحيحةy و xالعددان


271

3nمماثلة هلا إلثبات نظرية فريما يف حالة Kummerوكان كومر. = أن وحدانية التفكيك غري 1844قد أثبت عام ) 1810-1893(

فهوم املثايل يف جمموعة م1846وأدخل عام . صحيحة يف احلالة العامةويقال أن كومر أدخل هذا املفهوم من أجل إثبات . األعداد العقدية

. نظرية فريما، لكن بعض املؤرخني ينفون ذلك

ومهما يكن من أمر فقد استغل كومر هذا املفهوم إلثبات تلك

100النظرية يف حالة n> وحلد .74 ، 67 ،59 ، 37 باستثناء القيموعندما ركز ديدكيند . ذلك الوقت ظل التفكري يدور يف فلك األعداد

استطاع أن يستخلص تعريف " مثايل األعداد العقدية"على خواص رت متداولة اليوم، منها تلك القائلة إن فميزه خبواصه الذي صا" املثايل"

ضرب أي عنصر منه يف عنصر من احللقة اليت حتتويه جيعل اجلداء احملصل module لفظ 1871عام كما أدخل ديدكيند. عليه عنصرا من املثايل

على حلقة " فضاء شعاعيا"الذي ميكن وصفه مبفهومه احلايل بأنه ) مقياس( كان يف البداية يعبر عن زمرة جزئية من نالحظ أن املقياس). بدل حقل(

.الزمرة اجلمعية يف حلقة

ومن مث عمم مفهوم األعداد األولية إىل املثاليات األولية من قبل

نذكر أن املثايل األويل هو مثايل حيتوي على جداء . 1871ديدكيند عام : ، أي )كل عنصرين إذا وفقط إذا كان يشمل أحد عاملي اجلداء


272

)لتكن , ,.)G مثايل أويل I مثاليا نقول إن Iإذا كان. لقة تبديلية ح+ :عندما حتقق الشرطان التاليان

1 (I G≠، a.إذا كان ) 2 b I∈ من أجل عنصرين a و b من G فإن a I∈ أو b I∈.

جمموعة كل األعداد الصحيحة اليت تقبل القسمة : مثال ذلك

.على عدد أويل متثل مثاليا أوليا

وهكذا فإن هذا االجتاه الذي جعل الرياضيني ينظرون إىل

ملثاليات بدل النظر إىل عناصر احللقة يعترب حتوال هاما يف تطوير نظرية ا .احللقات

: أصدر ديدكيند وفيرب حبثا هاما أوضح أمرين 1882ويف عام

فقد بين كيف نربط بني األفكار اهلندسية حبلقات كثريات احلدود وعمم ات ومن املهم أن نالحظ بأن حلقات كثري". املقياس"استخدام مفهوم

. احلدود وحلقات األعداد يف ذلك الوقت كانت قد درست بإسهاب سنة لرؤية نظرية احللقات 40ورغم ذلك كان علينا االنتظار قرابة

التبديلية تكتب يف قالب مسلمايت وتدمج تلك احللقات ونظرياا يف .قالب واحد


273

واملالحظ أن املصطلحات األوىل اليت كانت تشري إىل احللقة هي order) ترتيب ( وorder-modul) وهو مصطلح )مقياس مرتب ،

. أتى به كرونيكر، والزال مستخدما إىل اليوم يف نظرية األعداد اجلربية Hilbertيعود إىل هلربت " احللقة"وكما أشرنا يف السابق فإن مصطلح

الذي استخدمه يف دراسة نظرية الالمتغري واملثاليات ) 1862-1943(. 1893احلدود فأثبت بذلك نتيجته األساسية عام يف حلقات كثريات

قد درس ابتداء من عام ) Gordan) 1837-1912وكان غوردن ويذكر أنه . حاالت خاصة من نتيجة هلربت املشار إليها آنفا1868

هذه ليست رياضيات بل "عندما شاهد غوردن برهان هلربت صاح قائال ".الهوتية

عدد صحيح إىل جداء قوى ال بد من اإلشارة إىل أن تفكيك أعداد أولية له ما مياثله يف نظرية احللقات حيث تستبدل األعداد األولية

غري أن قوى األعداد األولية ال تعوض بقوى املثاليات . باملثاليات األوليةوهي املقدمة يف " االبتدائية"األولية، بل تعوض مبا يسمى باملثاليات

:التعريف التايل

)يل االبتدائياملثا(تعريف

)لتكن , ,.)G ) من Iإذا كان. حلقة تبديلية وواحدية+ , ,.)G + : مثايل ابتدائي عندما يتحقق االستلزام التايل Iمثاليا نقول إن

.*. , na b I

n b Ia I

∈⇒ ∃ ∈ ∈ ∉

ℕ


274

مالحظةاالبتدائي يكون واملثايل … الحظ أن املثايل األويل مثايل ابتدائي

لقد أدخل مفهوم . 1 الوارد يف االستلزام يساوي nأوليا إن كان العددإمانويل السكر ) األصل( من قبل البولندي 1905املثايل االبتدائي عام

Lasker) 1868-1941 (يف سياق تناوله حللقات كثريات احلدود .ريف أن السكر كان بطل العامل يف لعبة الشطرنج خالل الفترة والط

وقد صرنا اليوم نسمي حلقة السكر كل حلقة تبديلية . 1894-1921وقد . يكون فيها كل مثايل ممثال كتقاطع عدد منته من املثاليات االبتدائية

برهن السكر وجود تفكيك مثايل إىل مثاليات ابتدائية، لكن خواص .1915ذا التفكيك مل تثبت إال يف عام الوحدانية هل

وأشار بعض املؤرخني إىل أن نصوصا جربية مثل ما جنده يف

حتتوي على مسلمات خاصة بالزمر مثل ما ) 1895عام (كتابات فيرب مسلمات خاصة ) مثال(لكننا ال جند لدى فيرب . جنده يف مؤلفات اليوم

وكانت . 1920 سنة ومل تتطور صياغة تلك املسلمات حىت... باحللقات -Noether ) 1882تلك القفزة قد ظهرت يف عمل إميي نوثر

وكانت ). 1899 -1971 (Krullواألملاين فولغانغ كرول ) 1935، حيث 1921نوثر قد قدمت عمال جبارا يف هذا السياق، حوايل عام

وحدت الرؤية يف موضوعي حلقات كثريات احلدود وحلقات األعداد .التبديلية اردةحتت عنوان احللقات


275

وهكذا كانت نظرية احللقات التبديلية تتطور بسرعة انطالقا من أما احللقات غري التبديلية فلم تعرف . حلقات األعداد وكثريات احلدود

وعند اكتشافها كان قد قيل إا متثل ... نفس التطور يف ذلك الوقت .تقدما باهرا يف الرياضيات التطبيقية

قد ) Cayley) 1821-1895كان كايلي ومن جهة أخرى، بقانوين اجلمع والضرب املعروفني يف 1850أدخل املصفوفات عام

) Pierce) 1839- 1914والحظ شارل بريس . جمموعة املصفوفات أن املسلمات اليت نعرفها وألفنا ا اليوم حمققة من أجل 1870عام

ودربورن ويعترب الرياضي األسكتلندي جوزف. املصفوفات املربعةWedderburn) 1882-1948 ( من أكرب الرياضيني املسامهني يف

.تطوير نظرية احللقات غري التبديلية

جمموعات األعداد: 3الفصل

279

يعترب موضوع جمموعات األعداد معروفا لدى الطالب املفتش، به، غري أن ذلك ال مينع من التذكري ببعض أساسيات هذه كافوله إملام

أكثر وقد ارتأينا أن اجلانب الذي يستحق التأكيد عليه هنا. اموعات حىت إن كانت هو كيفية إنشاء اموعات اخلمس لألعدادمن غريه

وعلى كل . مج املستوى املتوسط ال تم كثريا ذا اجلانبحمتويات براص بتكوين املفتشني يشري إىل موضوع اإلنشاء احال فالربنامج اخل

وهلذا ركزنا على . عات األعدادإشارات صرحية لكل جمموعة من جممو .هذه املفاهيم

ال يكفي ) ساعة ملادة اجلرب48(والواقع أن ضيق الوقت

هيم املشار إليها يف الربنامج، ولذا تركنا عددا منها الستعراض كل املفامن تلك املواضيع . كمادة للبحوث يقوم بإجنازها الطلبة خالل السنة

، ℚنظم العد، القواسم واملضاعفات، عالقة الترتيب يف املوافقة،: نذكرداد املركبة يف اجلذور التربيعية والنونية لعدد حقيقي، تطبيقات األع

.ميادين خمتلفة، اخل

االهتمام باجلانب التارخيي وتطور وجوب كما أشار الربنامج إىل

من أجل ذلك اخترنا موضوع األعداد األولية وفصلنا فيه . مفهوم العدد. بعض القضايا ذات الطابع الثقايف وأدرجناه ضمن باب األعداد الطبيعية

حىت زمنيا ي حول تطور مفهوم العدد رخي تابعرضالفصل ذيلنامث إننا .وصلنا إىل ابتكار اآللة احلاسبة


280

: األعداد الطبيعية. 1

:إنشاء جمموعة األعداد الطبيعية 1.1

هناك عدة طرق إلنشاء جمموعة األعداد الطبيعية، وال شك أن

القارئ سيجد فيها بعض التعقيد إذا ما قورنت هذه الطرق ببساطة .األعداد الطبيعية

von Neumann طريقة إنشاء فون نومان :قوم هذه الطريقة على القواعد التالية املبنية على نظرية اموعات ت .0اموعة اخلالية عدد طبيعي، نرمز له بـ ) 1} اموعةفإن طبيعيا عددا N كانذا إ) 2 }N N∪ طبيعي عدد

.N العدد "تايل" يسمى .ننشئ مجيع األعداد الطبيعية وفق القاعدتني السابقتني) 3

مثال :لدينا، حسب القاعدتني األوليني

} هو 0العدد التايل لـ * } { }0 0 0 1∪ = = . } هو 1ـ التايل لالعدد* } { } { } { }1 1 0 1 0,1 2∪ = ∪ = = هو 2 العدد التايل لـ*

{ } { } { } { }2 2 0,1 2 0,1,2 3∪ = ∪ = .ذا دواليككوه... =


281

Peano بيانو طريقة إنشاء

، وهي ℕيضع بيانو مخسة مسلمات إلنشاء جمموعة األعداد الطبيعية

0بيعي نسميه الصفر ونرمز له بـ ناك عدد طه )1) نرمز له بـ تال عدد n عدد طبيعي لكل) 2 )s n. .كعدد تال 0 يقبل طبيعي عدد ال يوجد) 3 .ايل فإن العددين متساوينيإذا كان لعددين طبيعيني نفس العدد الت) 4وتشمل العدد التايل 0 إذا كانت هناك جمموعة أعداد طبيعية تشمل) 5

.ℕ هي لكل عنصر منها فإن هذه اموعة

مالحظة. تسمح املسلمة األوىل بتأكيد عدم خلو جمموعة العداد الطبيعية

املسلمة أما . يف اموعةسلمة الثالثة وجود أول عنصركما توضح امل .اخلامسة فلضمان قيام مبدأ التراجع الذي أشرنا إليه يف الفصل األول

Didekind-Peanoبيانو – ديدكيند إنشاءطريقة

) ثالثيةالنعترب , , )E x s نة من جمموعة املتكوEصر وعنx من

E وتطبيق :s E E→ ونفرض أن ،: 1( ( )x s E∉. .تباين sالتطبيق) 2


282

sوقارة عرب xتشمل E من F جزئية جمموعة إذا كانت) 3) أي( )s F F⊂ (فإن E F=.

أما . هي اليت ستؤدي دور جمموعة العداد الطبيعية E اموعةsومن هنا. دد الذي يليه فهو التطبيق الذي يلحق بكل عدد طبيعي الع

0x وضعنفهم الشرط الثاين، وندرك أن .قيام الشرط الثاين يقتضي =

)مبنية على عالقة الترتيب (طريقة أخرى إلنشاء جمموعة األعداد الطبيعية

:وعة غري خالية حتقق املسلمات التالية جممEلتكن

1 (E جمموعة مرتبة، وكل جزء غري خال من Eيقبل أصغر عنصر ، ).m أصغر عنصر Eنستنتج من ذلك أن لـ ( . أكرب عنصرEال تقبل ) 2aكل عنصر ) 3 E∈ خيتلف عن m سالف( له عدد سابق.(

مالحظة}املسلمة األوىل تستلزم أن كل جمموعة جزئية },x y من E يقبل أصغر

. مرتبة كلياEيل فإن وبالتا. عنصر . يقبل عنصرا تالياEاملسلمة الثانية تستلزم أن كل عنصر من

املسلمة الثالثة تستلزم أن كل جزء غري خال حمدود من األعلى يقبل .عنصرا أكرب


283

:قتضي وبالتايل نستخلص أن مجلة املسلمات الثالث السابقة تEمرتبة كليا .

. وال يقبل أكرب عنصرm أصغر عنصر Eلـ m خيتلف عن E عدد تال ولكل عنصر من Eلكل عنصر من

.عنصر سالفلكل جزء غري خال أصغر عنصر، ولكل جزء غري حمدود حمدود

.من األعلى عنصر أكرب

بالنسبة لبنية الترتيب بني كل " تشاكال"نثبت بعد ذلك أن هناك ق بينها ونسميها ولذا ال نفر. اموعات اليت حتقق املسلمات السابقة

! جمموعة العداد الطبيعية

) يف جمموعة األعداد الطبيعيةاجلمع( تعريف

"+"نعرف عملية اجلمع

:+ × →ℕ ℕ ℕ : بالتراجع كما يلي ℕيف جمموعة األعداد الطبيعية

, 0

( , ) , ( ) ( )

a a a

a b a s b s a b

∀ ∈ + =∀ ∈ × + = +

ℕ

ℕ ℕ

)حيث يرمز )s n للعدد التايل لـ n.


284

مالحظة وهلا عنصر حمايد ميكن إثبات بأن عملية اجلمع جتميعية وتبديلية*

.0هو ميكن التعبري عن اخلاصية *

( , ) , ( ) ( )a b a s b s a b∀ ∈ × + = +ℕ ℕ

1bحيث يرمز ) دد التايلوالع (باستعمال العدد السالف للعدد − فنكتب،bلـ السالف

.( )*( , ) , ( 1 )a b a b s a b∀ ∈ × + = + −ℕ ℕ

كما ميكن إثبات بأن العملية منتظمة، أي أن * aاملساواة b a c+ = b تستلزم + c= . للتأكد من ذلك نتبع منط الربهان

0aنالحظ أنه إذا كان : بالتراجع لنفرض اآلن . فالقضية بديهية=aصحة القضية من أجل ∈ℕ ا حمققة من أجل العدد التايل لـونثبت أ

a . العالقة من الواضح أن( ) ( )b s a c s a+ = تكافئ +( ) ( )s b a s c a+ = b )لعدد التايلوحدانية ا (ومنه. + a c a+ = + .

b ، حسب فرض التراجع،وهذا ما يعطي c=.

aيكون : بالقول ℕميكن تعريف الترتيب املألوف على * b≤ cإذا وجد عدد ∈ℕ حبيث a c b+ =.


285

) يف جمموعة األعداد الطبيعيةالضرب( تعريف أو "." ف عملية اجلمع نعر"×"

:× × →ℕ ℕ ℕ : بالتراجع كما يلي ℕيف جمموعة األعداد الطبيعية

, 0 0

( , ) , ( ) ( )

a a

a b a s b a b a

∀ ∈ × =∀ ∈ × × = × +

ℕ

ℕ ℕ

)ث يرمز حي )s n للعدد التايل لـ n.

مالحظة وهلا عنصر حمايد ،ميكن إثبات بأن عملية اجلمع جتميعية وتبديلية

0bلتعيني العنصر احملايد يكفي اختيار . 1هو يف العالقة=( , ) , ( ) ( )a b a s b a b a∀ ∈ × × = × +ℕ ℕ.

فنحصل على ., 1 0 0a a a a a a∀ ∈ × = × + = + =ℕ

:األعداد األولية 2.1

ال تنتهي تها األعداد األولية؟ من املعلوم أن قائميعرفمن منا ال

وال ميكن التنبؤ ،فهي تنبت يف حقل األعداد مثل األعشاب الضارة. أبداواألصح أن نقول أننا مل . للصدفة يف الظاهر إالعمبواقعها لكوا ال ختض

نكتشف بعد مجلة القوانني اليت تتحكم يف ظهور هذه األعداد امللفتة مث جلأ . ا منها الكثريوكان القدماء قد حبثوا عنها يدويا فعينو. لالنتباه


286

فاستعملوا . ىل اآللة ملواصلة اكتشاف خواص هذه األعدادالباحثون إ ارا على إجياد املزيد من األعداد األولية مئات احلاسوبات اليت تعمل ليالوقد قارن بعضهم دور األعداد األولية يف . سعيا ملعرفة املزيد من اخلواص

. عامل األعداد بالعناصر الكيميائية يف عامل الكيمياء وموادها املختلفةوهكذا كتبت والزالت تكتب آالف الصفحات من الرياضيات املعقدة

.حول هذه األعداد

وللتعرف على األعداد األولية هناك الطريقة التقليدية املسماة

الذي ) حوايل قرنني قبل امليالد (Ératosthène"غربال إيراتوستني"يتمثل يف كتابة قائمة األعداد الطبيعية بالترتيب املتزايد مث نقوم بشطب

وما مل يشطب يف آخر املطاف هي . مضاعفات األعداد األولية املتواليةلقد ظلت هذه الطريقة األكثر فعالية لتحديد األعداد . عداد األوليةاأل

لكنها تفقد فعاليتها العملية ،)األصغر من مليون مثال(األولية الصغري .رغم صحتها النظرية كلما تعاملنا مع األعداد الكبرية

القرن الثالث (Euclideأثبت ذلك العالمة اإلغريقي أقليدس

جداء األعداد P عددا طبيعيا أوليا و nلك؟ ليكن كيف ذ). قبل امليالدأثبت . n عدد أويل أكرب متاما من P+1إن العدد . nاألولية األصغر من

ذلك ما أثبته أقليدس ليبني أن كل عدد أويل له عدد أويل أكرب ... ذلك م يف وكان برهان أقليدس، فيما يبدو، أول برهان باخللف قد. منه متاما


287

تلك هي . نه نستنتج أن عدد األعداد األولية غري منتهوم. الرياضيات : وهناك أيضا خاصيتان أخريان . إحدى خاصيات األعداد األولية

. تفكيك عدد طبيعي اىل جداء أعداد أولية تفكيك وحيد- . ليست هناك صيغة جربية لتمثيل عدد أويل-

؟ عدد أويل أم ال1هل : هناك مالحظة البد منها يف هذا املقام ىل جمموعة العداد األولية، إال أن الرياضيني فضلوا من املمكن ضمه إ

اعتباره عددا غري أويل ألن هذا االتفاق يسهل صياغة العديد من ولوال ذلك مللئت الكتب اليت تقدم نتائج حول األعداد . النظريات

".1باستثناء العدد "األولية بعبارات مثل

يف موضوع األعداد األولية هي والقضية املركزية لدي الباحثنيومن املعلوم أن هناك خممنة . حتديد مواقعها يف سلسلة األعداد الطبيعية

تديل مبعلومات دقيقة حول هذا ) Riemann ) 1826-1866رميانالتوزيع، لكن حىت هذه النتيجة اجلزئية استعصت على كل من أراد

.الربهان عليها

التاسع عشر بأن عدد األعداد وقد أثبت الرياضيون خالل القرن

nجياور العدد n األولية األصغر منn

ln وهذا عندما يكون n كبريا استنتاج بأن إحدى القيم التقريبية للعدد األويل من مت،ومن مث. بكفاية-Fermat) 1601 فريماوقبل ذلك أثبت . nnln هي nالرتبة


288

عشر، منها السابع القرن يف األولية باألعداد تتعلق نتائج ةعد) 166514 على سبيل املثال أن كل عدد أويل من الشكل +n يساوي جمموعا

فإن =3n من أجل: مثال ذلك .وحيدا ملربعني. 23491314n 22+=+==+

ما كـان على اتصال برجل الدين الفرنسي مرين ويروى أن فريالذي مخن بأن ) Marin Mersenne ) 1588-1648مرسان 12العدد +n يكون أوليا كلما كان n 4، 2مثل (2 مساويا لقوة لـ ،-1707 (Eulerوبعد مضي قرن من الزمن أثبت أولر ...). ، 16، 8

5232n أجل أن هذه النتيجة خاطئة من)1783 إذ أن ==.670041764142949672971232 ×==+

.أما اآلن فنعرفت عشرات األمثلة املضادة ملخمنة مارسان وفريما12تدعى األعداد من الشكل +nأما األعداد ذات . أعداد فريما

12الشكل −nأن أعداد مرسان ومن املعلوم. فتسمى أعداد مارسان أوليا nوحىت إن كان األس . ليست أولية عندما يكون األس غري أويل

أثبت سنة : مثال ذلك .فهذا ال يستلزم بالضرورة أن عدد مارسان أويل أن 1536

.892320471211 ×==−


289

ومن املعلوم أن أعداد مارسان هي اليت وفرت وال زالت اىل اليوم توفر . األعداد األوليةأكرب عدد من

قد ) Pietro Cataldi) 1548-1626كان بيترو كاتالدي أن العددين1588أثبت عام

1310711217 5242871219 و −= =− وأضاف أن األمر كذلك فيما يتعلق بأعداد مرسـان اخلاصة . أوليان

طاء لكنه ظهر فيما بعد أن هناك عدة أخ. 37، 31، 29، 23باألسس النتيجة على) 1640حوايل عام (ذلك أن فريما برهن :يف هذا القول

: التالية

فإن مجيع القواسم األولية لعدد 2 أوليا خيتلف عن pإذا كان 12مرسان −p 12 تكتب على الشكل +kp.

األس أولية عدد مرسان ذي كاتالدي أخطأ يف أنومن مث تبين 12، فهو يقسم على العامل 23 +kp 1 من أجل=k) 47أي على .(

ليس أوليا ألنه يقسم على العامل 37كما أن عدد مرسان املوافق لألس 12 +kp 6 حيث=k . أثبت أولر أن كاتالدي أخطأ 1738ويف عام

قاسم لعدد مرسان ذي 233 حيث اتضح أن 29ا يف حالة األس أيض .31وأكد أولر صحة قولة كاتالدي فيما خيص األس . 29األس


290

وقبل أوروبا عرف األعداد األولية اإلغريق كما أسلفنا، وكذلك الصينيون الذين جاؤوا بفرضية تقول أنه

22 عددا أوليا فإن pإذا كان −pبل القسمة على يقp.

توجد على شبكة اإلنترنت العديد من املواقع اليت تم باألعداد 6000األولية وتقدم البعض منها ويصل بعضها اىل قائمة تضم أزيد من

عدد أويل كما وقد حبث الرياضيون يف العديد من أشكال األعداد األولية

ل فيها جداء ومت االهتمام باألعداد اليت تدخ Woodall فعل وودالاألعداد الطبيعية املتوالية أو جداء األعداد األولية املتوالية وربط بعضهم

Germainأعدادا أولية فيما بينها مثلما فعلت صويف جرمان وتسائل البعض عن الفروق بني األعداد األولية، . )1816-1893(

وعرف البعض اآلخر أنواعا كثرية من اإلعداد األولية مثل األعدادالتوائم حيث نقول عن عددين أوليني أما توأمان إذا كان الفرق بينهما

، (11,13) ، (5,7) ، (3,5)مثال ذلك الثنائيات . 2يساوي . هناك خممنة تنص على أن عدد األعداد التوائم غري منته. (17,19)

وليس هذا فحسب بل أنشغل الرياضيون بأمناط آخر من األعداد األولية يت ال تظهر فيها سوى الوحدة، إا األعداد الواحدية مثل تلك ال

وكذا ، األعداد من هذا القبيللىلنتعرف ع. Repunitsالتكرارية واملبذرةéconomes واملقتصدة palindromesاألعداد املتناظرة

prodigues !


291

:األعداد األولية الواحدية التكرارية 3.1

. ال غري1شري من العدد هي األعداد املتكونة يف متثيلها الع

أويل 11نالحظ أن العدد . ، اخل1111، 111، 11، 1: مثال ذلك . 11111 و 1111 ليس أوليا، وكذلك احلال بالنسبة لـ 111لكن

مكررا ،1وميكن الربهان على أن العدد الواحدي املتناظر املشكل من " 1 ("111...111 مرة، عدد أويل؛ وكذلك احلال بالنسبة للعدد 19

فما هي األعداد األولية من بني األعداد الواحدية ). مرة23مكرر التكرارية؟

إن اإلجابة عن هذا السؤال ليست بسيطة وال نعرف اليوم أية .قواعد قوية تسمح لنا بتحديد مثل هذه األعداد بصفة تلقائية

:من بني القواعد املكتشفة ذا اخلصوص نذكر وليا ال بد أن يكون عدد حىت يكون عدد واحدي تكراري أ -

فإن n يقسم mذلك أنه إذا كان . أرقامه عددا أوليا" 1 ("11...111يقسم ) مرةmمكرر " 1 ("11...111 الربهان على هذه القضية يستند اىل املساواة ). مرةnمكرر

111111111111=111×100010001 . ال ميكن أن يكون عدد واحدي تكراري مربـع عدد طبيعي -

ف مؤخرا على أنه ال ميكن أن يكون عدد واحدي تكراري أكتش -وحلد اآلن ال نعلم . لعدد طبيعي5مكعب عدد طبيعي، وال قوة

.5، 3، 2ماذا حيدث بالنسبة للقوى األخرى غري


292

111...111بينت احلسابات أن العدد الواحدي التكراري - ،n : 2 ،19أويل من أجل القيم التالية لـ ) مرةnمكرر " 1(" 1978أكتشف العددان األخريان عامي . 1031، 317، 23

من (1986و ) Hugh Williamsمن قبل هيوغ وليمز (وليست هناك قيم ). Harvey Dubnerقبل هرييف دوبنر

تعطي أعدادا واحدية تكرارية 30000 أصغر من nأخرى لـ .أولية

تصبح احلسابات طويلة 30000عندما يتجاوز عدد األرقام -ومن مث ال ندري ما إذا . ولذا فنحن جنهل ماذا حيدثجدا،

. كانت جمموعة هذه األعداد منتهية أو غري منتهية

الغريب أننا نستطيع يف العديد من احلاالت التأكيد بأن هذا -العدد أو ذاك من فئة األعداد الواحدية التكراية عدد غري أويل

نشري اىل .دون التمكن من كتابته على شكل جداء عوامل أوليةأن املهتمني متكنوا اليوم من حتديد العوامل األولية هلذه األعداد

.157عندما ال يتجاوز عدد أرقامها


293

:األعداد األولية املتناظرة 4.1

األعداد الواحدية التكرارية هي نوع خاص من فئة األعداد

و من اليسار ، أي األعداد اليت تقرأها من اليمني اىل اليسار أ"املتناظرة" . 3223، 212: مثال ذلك . اىل اليمني فتحصل على نفس العـدد

. 11من الواضح أن العدد املتناظر الوحيد املشكل من رقمني هو وباستثناء هذا العدد ال يوجد أي عدد متناظر وأويل يتشكل من عدد

ميكن إثبات ذلك بفضل مقياس قابلية القسمة على . زوجي من األرقامالقاعدة اليت تنص على أن كل عدد يكون الفرق بني جمموع ، وهي 11

أرقامه ذات الرتب الزوجية وجمموع أرقامه ذات الرتب الفردية منعدما .11هو عدد يقبل القسمة على

: أرقام وهي 3 عددا متناظرا وأوليا ذات 15ورغم ذلك يوجد 191 181 151 131 101 727 383 373 353 313 929 919 797 787 757

وإال ... الحظ أن رقم مئات كل من هذه األرقام ليس زوجيا

أما عدد األعداد املتناظرة األولية ذات . كانت زوجية وبالتايل غري أولية . أرقام7 عددا متناظرا أوليا ذات 668وهناك . عددا93 أرقام فيبلغ 5


294

ومن بني هذه األعداد جند 1879781 1878781 1881881 1880881

و 13 و 11ومن املعلوم أن األعداد املتناظرة األولية املكونة من أما تلك . Martin Eibl رقما قد مت حساا من قبل مارتن إيبل 15

كارلوس ريفريا 1998 رقما فقد حددها يف منصف 17اليت هلا Carlos Rivera . وال بد أن نشري هنا اىل أن هذا األخري من هواة

. لى الرغم من أنه يعمل يف صناعة اخلزف باملكسيكاألعداد األولية عوقد الحظ هذا اهلاوي العديد من خواص األعداد املتناظرة األولية، نذكر

:من بينها 101 + 131 + 151 = 383

30103 + 30203 + 30403 = 90709

1000000000000002109952599012000000000000001 + 1000000000000002110000000112000000000000001 + 1000000000000002110025200112000000000000001 = 3000000000000006329977799236000000000000003

... رقما 43 أعداد متناظرة أولية ذات 3تعطي املساواة األخرية جمموع

.مع العلم أن اموع ذاته متناظر وأويل

يبحث يف ومل يكتف اهلاوي املكسيكي ذه العالقات بل راح عالقات مماثلة يف هذا النوع من األعداد فوجد هذه العالقة بني أعداد

) :وهو نفسه عدد متناظر أويل( رقما 191تضم


295

1(0)87132298010892231(0)871+1(0)87132300858003231(0)871+

1(0)87132301111103231(0)871= 3(0)87396899979998693(0)873

. مرةnبصفة متتالية " 0"ىل تكرارإ يرمز n(0)مع اإلشارة اىل أن 71317ومضى ريفريا يف مالحظاته فكتب العدد املتناظر األويل

كما اكتشف هذا . بثالثة أشكال خمتلفة كمجموع أعداد أولية متتالية . اهلاوي خصوصيات أخرى ال يسع هنا اال لذكرها

:رةاألعداد املقتصدة واألعداد املبذ 5.1

. لقد أدخلت مؤخرا مصطلحات جديدة يف عامل األعداد الطبيعية Bernardo Recamànفلقد اقترح برناردو ريكامان سنتوس

Santos تسمية عددا متساوي األرقام équidigital إذا كان عدد مثال ذلك . عوامله األولية يساوي عدد أرقام كتابته يف النظام العشري

ومن مث أطلق مصطلح عدد . =47.3162 حيث أن 162العدد مقتصد على كل عدد ال يتطلب تفكيكه اىل عوامل أولية أكثر من عدد

. والعدد املبذر هو العدد غري املقتصد. أرقام كتابته يف النظام العشريأما العدد . =1021024 عدد مقتصد ألن 1024العدد : مثال ذلك

17234ن فهو مبذر أل34 ×=.


296

: األعداد الصحيحة. 2

: إنشاء جمموعة األعداد الصحيحة 1.2

)عالقة وعملية(تعريف ℕ×ف على عرن ℕ: التاليةRالعالقة ) 1

.4( , , , ) , ( , ) ( , )a b c d a b R c d a d c b∀ ∈ ⇔ + = +ℕ التالية "+" عملية اجلمع ) 2

.4( , , , ) , ( , ) ( , ) ( , )a b c d a b c d a c b d∀ ∈ + = + +ℕ

)عالقة تكافؤ(نظرية ℕ× املعرفة آنفا على Rالعالقة ℕعالقة تكافؤ .

الربهان نعترب من أا متعديةللتأكد . من الواضح أا انعكاسية ومتناظرة

)6ستة أعداد طبيعية , , , , , )a b c d e f ∈ℕ حبيث ( , ) ( , )a b R c d و ( , ) ( , )c d R e f . واملطلوب التحقق من أن( , ) ( , )a b R e f . لدينا إذن :a d c b+ = c و + f e d+ = aواملطلوب هو . + f e b+ = +.


297

aننطلق من d c b+ = إىل الطرفني ونستفيد من f ونضيف +cخاصييت التجميع والتبديل والعالقة f e d+ = فيتضح تكافؤ +

:العالقات املتوالية اآلتية ( ) ( )

( ) ( )( ) ( )

( ) ( )( ) ( )

a d f c b f

a d f c b f

a f d c f b

a f d c f b

a f d e d b

+ + = + +

+ + = + +

+ + = + +

+ + = + +

+ + = + +

( ) ( )a f d e d b+ + = + +

( ) ( )( ) ( )a f d e b d

a f d e b d

+ + = + +

+ + = + +

نا أثبتنا عند تقدمي جمموعة العداد الطبيعية أن العالقة وقد ك( ) ( )a f d e b d+ + = + a تستلزم + f e b+ = +.

مالحظة

ميكن إثبات بأن عملية اجلمع جتميعية وتبديلية، وهلا عنصر حمايد .(0,0)هو

)ℤالزمرة (نظرية )إن جمموعة النسبة )/ ,R× +ℕ ℕ املزودة بعملية اجلمع زمرة

.ℤتبديلية، تسمى جمموعة األعداد الصحيحة ونرمز هلا بـ


298

.متروك للقارئ: الربهان

مالحظة يتبين إذن بأن ) 1

{ }{ }

2( , ) , ( , ) ( , ) : ( , ) ( , )

( , ) : ( .

a b a b x y x y R a b

x y x b a y

∀ ∈ = ∈ ×

= ∈ × + = +

ℕ ℕ ℕ

ℕ ℕ

{ }{ }{ }

(0,0) ( , ) : ( , ) (0,0)

( , ) :

( , ) : .

x y x y R

x y x y

x x x

= ∈ ×

= ∈ × =

= ∈

ℕ ℕ

ℕ ℕ

ℕ

4( , , , ) , ( , ) ( , ) ( , )a b c d a b c d a c b d∀ ∈ + = + +ℕ )حيث يرمز , )a b لصنف تكافؤ ( , )a b. .(0,0)احملايد هو العنصر ) 2) لـ النظريالعنصر ) 3 , )a b هو ( , )b aمن ، ذلك ما يتضح

.املالحظتني السابقتني

)ℤ جزء من ℕ(نظرية ϕ:إن التطبيق →ℕ ℤ املعرف بـ ( ) (0, )n nϕ متباين =

وحيقق العالقة .( , ) , ( ) ( ) ( )n m n m n mϕ ϕ ϕ∀ ∈ × + = +ℕ ℕ


299

مالحظة) بـn مطابقة ϕيتيح تباين )nϕ، 0) أي وضع, )n n≡ . ومبا

,0)أن نظري )n هو ( ,0)n فإننا نضع ( ,0)n n− ≡ . ننا نستطيع كتابة نالحظ يف هذه احلالة أ

.( , ) : ( , ) ( ,0) (0, )n m n m n m n m∀ ∈ × = + = − +ℕ ℕ : من خواص جمموعة األعداد الصحيحة2.2

)Bezout بيزومساواة (نظرية

يوجد . قامسهما األكربd عددين صحيحني وb و aليكن au حيققان املساواةv وuعددان صحيحان bv d+ =.

الربهان}نضع }* , ( , )A ax by x y= ∩ + ∈ ×ℕ ℤ ℤ . إنA جمموعة

، علما أنه غري dولذا فهي تقبل عنصرا أصغر . ℕجزئية عري خالية من 0منعدم ألن A∉ . إذن يوجد( , )u v ∈ ×ℤ ℤ حبيث au bv d+ =.

.b و a ميثل القاسم املشترك األكرب للعددين dلنتأكد من أنa'باستخدام القسمة األقليدية نكتب a d r= r حيث + d< علما أن ،

au bv d+ وبالتايل . =( )'a a au bv r= + +

ومنه(1 ' ) ( )r a a u b v= − + −


300

rنالحظ أن شكل هذه الكتابة هي ax by= حيث +1 'x a u= − ∈ℤ و y v= − ∈ℤ.0 فإما ، وبالتايلr r وإما،= A∈ .

r و A هو أصغر عنصر يف dوملا كان d< فهذا يستلزم أن r A∉ . 0rومنه dوبنفس الطريقة نثبت أن . a يقسم dوهذا يعين أن . = .b و a يقسم dوهكذا فخالصة القول إن . bيقسم

لنفرض أن . b و a ميثل أكرب قواسمdأخريا نتأكد من أن auإن العالقة . b و a لـ cتركا هناك قامسا مش bv d+ تبين بأن =

c يقسم أيضا d . وهكذا فإنc d≤ . أيت املطلوبيومنه.

)نظرية بيزو(نظرية

1axتقبل املعادلة . عددين صحيحنيb و aليكن by+ = )حال , )x y ∈ ×ℤ ℤ إذا وفقط إذا كان a و bأوليني فيما بينهما .

الربهانعندئذ نطبق النظرية السابقة . أوليانb و aنفرض أن العددين

1dباعتبار ) فيتبني أن هناك حال= , )x y ∈ ×ℤ ℤ 1axللمعادلة by+ =.

1axنفرض اآلن أن للمعادلة by+ ) حال= , )x y ∈ ×ℤ ℤ .عندئذ نالحظ أن املساواة . b و a قاسم مشترك لـcونفرض أن


301

1ax by+ 1cإذن . 1 يقسم cتلزم أن تس= و aوهذا يعين أن . =bأوليان فيما بينهما .

مالحظة0نفرض أن 0( , )x y ∈ ×ℤ ℤ حل للمعادلة ax by d+ ومن . =

) الثنائيات مث نستنتج أن , )x y ∈ ×ℤ ℤاملعرفة بـ

0

0

,

,

bx x k

da

y y kd

= − = +

kحيث ∈ℤ،تأكد من ذلك. متثل مجيع حلول املعادلة املعطاة .

)نظرية بيزو املعممة(نظرية و d قامسهما املشترك األكرب عددين صحيحنيb و aليكن

*c ∈ℤ . axتقبل املعادلة by c+ ) حال = , )x y ∈ ×ℤ ℤ إذا وفقط إذا

.dـ مضاعفا لcكان

الربهانα فإنه يوجد d مضاعفا لـ cإذا كان ∈ℤحبيث c dα= .

axوحنن نعلم أن للمعادلة by d+ 0 حال= 0( , )x y ∈ ×ℤ ℤ . وبالتايل0فإن 0( , )x yα α ∈ ×ℤ ℤ حل للمعادلة ax by c+ اآلن نفرض .=

axبأن املعادلة by c+ 1 تقبل حال = 1( , )x y ∈ ×ℤ ℤ ولنثبت أن ،c


302

d يتبني من القسمة األقليدية أنه يوجد .dمضاعف لـ r> حبيث c d rβ= axوحنن نعلم أن للمعادلة. + by d+ حال=

0 0( , )x y ∈ ×ℤ ℤ . نستنتج من كل ذلك أن1 0 1 0( ) ( )a x x b y y rβ β− + − و a يقسم العددين dوملا كان . =

b ن أنه يقسم أيضافإن املساواة السابقة تبي r . لكنd r> . ومنه فإن0r cوهذا يعين أن . = dβ= أي أن ،c مضاعف لـ d.

)Gaussغوس (نظرية . صحيحةاأعداد c و b و aكن لت

. c فإنه يقسم b وكان أوليا مع bc اجلداء a قسم إذا

الربهانa يقسم اجلداء bc ولذا يوجد ،α حبيث bc aα= . لنفرض

)تؤدي مساواة بيزو إىل وجود . b أويل مع aأن , )x y ∈ ×ℤ ℤ حبيث 1ax by+ acx ومنه.= bcy c+ )وبالتايل. = )acx a y cα+ = .

يقسم الطرف األول من املساواة السابقة، وعليه aوهكذا يتبين أن .cفهو يقسم الطرف الثاين، أي أنه يقسم


303

: األعداد الناطقة. 3

: إنشاء جمموعة األعداد الناطقة1.3

ليك طريقة من طرق إنشاء جمموعة األعداد الناطقة، وستالحظ إ

وما سنحصل . تؤدي فيها دورا رئيسياℤجمموعة األعداد الصحيحة أن علما أن ...ℤ املمثل حلقل الكسور املبين على ℚعليه هو احلقل

ض طريقة اإلنشاء تظل قائمة حىت عندما نعوℤ كاملة( بأية حلقة تامة ( .A فنحصل عندئذ على حقل الكسور املبين على A أخرى

ℤ×* املعرفة على Rمن السهل التأكد من أن العالقة ℤ بـ ( , ) ( , )a b R c d ad bc⇔ =

.عالقة تكافؤ

)جمموعة األعداد الناطقة( تعريف)تسمى جمموعة النسبة )* / R×ℤ ℤ ،جمموعة األعداد الناطقة

.ℚونرمز هلا بـ )*إذا كان , )a b ∈ ×ℤ ℤ فإننا نرمز بـa

b لصنف التكافؤ

( , )a b.


304

.ℚلنعرف اآلن عملييت اجلمع والضرب على

)اجلمع والضرب( تعريف : كما يلي ℚ على × والضرب +نعرف عملييت اجلمع

* *( , ) , ( , ) :

,

.

a b c d

a c ad bc

b d bda c ac

b d bd

∀ ∈ × ∀ ∈ ×++ =

× =

ℤ ℤ ℤ ℤ

مالحظة

من املهم أن نتأكد من التعريف املقدم ال يرتبط باختيار صنف التكافؤ، مبعىن أنه إذا كان

*( ', ') ( , ), ( , ) :

' ',

''

.'

a b a b c d

a c ad bc a d b c

b d bd b da c a c

b d b d

∀ ∈ ∀ ∈ ×+ ++ = =

× =

ℤ ℤ

من أجل ذلك نالحظ أن تعريف عالقة التكافؤ يبين أن ( ', ') ( , )a b a b∈ تعين أن ' 'ab ba= .فعملية تعويض بسيطة ومن مث

نستطيع بعد ذلك التأكد بسهولة من صحة النتيجة .تؤدي إىل املطلوب :التالية


305

)حقل األعداد الناطقة( تعريف-نظرية)إن الثالثية , , )+ ×ℚ متثل حقال تبديليا، يسمى حقل األعداد

.ℤالناطقة، أو حقل كسور احللقة

مالحظة)ميكن إثبات أن احلقل ) 1 , , )+ ×ℚ بالنسبة ( هو أصغر حقل

.ℤحيتوي احللقة ) لالحتواء نستنتج من تعريف عملييت اجلمع والضرب أن ) 2

, :

( ,1) ( ,1)1 1.1 1.

1.1

1

( ,1),

( ,1) ( ,1)1 1

1.1

1

( ,1).

a c

a ca c

a c

a c

a c

a ca c

ac

ac

ac

∀ ∈ ∀ ∈

+ = +

+=

+=

= +

× = ×

=

=

=

ℤ ℤ


306

ومنه فإن إدخال التطبيق:

( ,1)1

f

aa a

→

=

ℤ ℚ

֏

يسمح مبالحظة أن( ) ( ) ( ),

( ) ( ) ( . ).

f a f c f a c

f a f c f a c

+ = +× =

. متاثل حلقاتfوهذا يعين أن )ومن جهة أخرى فإن املساواة ) ( )f a f c= تستلتزم أن

.1 .1a c= أي ،a c= . وبالتايل فإن التطبيق:f →ℤ ℚاثل متباين مت .) و ℤمطابقة ) وهذا ما نفعل دوما( نستطيع ومن مث )f ℤ أي اعتبار ،ℤ جزءا من ℚ بوضع

., ( ,1)a a a∀ ∈ ∋ ≡ ∈ℤ ℚ ℤ a على شكل وحيد ميكن إثبات أن كل عدد ناطق يكتب)3

b

aحيث ∈ℤ و *b ∈ℤ و pgcd( , ) 1a b =. على جمموعة األعداد اإلطالعلنظرية التالية بعد ميكن العودة ل

وهي تعترب من أهم النظريات اليت تربط جمموعيت األعداد . احلقيقية :الناطقة واألعداد احلقيقية

) األعداد احلقيقيةجمموعة األعداد الناطقة يف جمموعةكثافة (نظرية

. األعداد احلقيقيةجمموعة يف ة األعداد الناطقة كثيفجمموعةإن


307

ماذا يعين ذلك؟ يعين أن كل عدد حقيقي ميثل اية ملتتالية مؤلفة من كيفيا، وتعريف املتتالية xا حقيقيا لرؤية ذلك نعترب عدد.األعداد الناطقة

( )nx 10 كما يلي

10

n

n n

xx

= 10 حيث يرمزn x للجزء الصحيح 10nللعدد x. نالحظ بعد ذلك أن nx ∈ℚأن و

1, 1: .

10 10n

n n n nn x x

αα∀ ∈ ∃ < − = <ℕ limومنه n

nx x

→+∞=.

: األعداد احلقيقية. 4

سنحاول يف ℝهناك عدة طرق إلنشاء جمموعة األعداد احلقيقية . ما يلي اإلشارة إىل بعض منها

:إنشاء مبتتاليات األعداد الناطقة 1.4

أو ( على أنه عدد xكل عدد حقيقي ل ظرننمن املمكن أن

1نستطيع متثيلها عشريا على النحو ) كمية 2 30. ...x n d d d= حيث +n ∈ℤ و ( )id و 0 أرقام ميكنها أن تأخذ أي عدد طبيعي حمصور بني

) شريطة أال تنتهي املتتالية 9 )id مكررا عددا غري منته من 9 بالعدد هو الذي حيقق املتباينتني التاليتني من أجل x وهذا يعين أن العدد .املرات

:kكل عدد طبيعي


308

.1 2 1 2

2 2

1... ...

10 1010 10 10 10 10k kk k k

d dd d d dn x n+ + + + ≤ < + + + + +

الحظ أن ذلك يؤدي بالضرورة إىل أن1 2

2lim ...

10 10 10kkk

dd dn x

→+∞

+ + + + =

علما أن .1 2

2...

10 10 10kk

dd dn + + + + ∈ℚ

غري أن هذا الكالم ال يعد من الناحية املنطقية إنشاء موعة ال " xعددا حقيقيا "السابق اعتربنا نحن يف تقدمينا ف... نعرف عنها شيئا

ولذلك سنوجز هنا فكرة إنشاء جمموعة األعداد احلقيقية عرب . قبل تعريفه، أي تلك املتتاليات ℚنعترب جمموعة املتتاليات الكوشية يف : املتتاليات ( )nu ∈ℚحبيث

0, : , , m nN m N n N u uε ε∀ > ∃ ∈ ∀ > ∀ > − <ℕ εعلما أن ∈ℚ وليس ε ∈ℝ ألننا ال نعرف بعد جمموعة األعداد

.احلقيقيةهل كل املتتاليات من هذا القبيل متقاربة، أي تقبل : سؤال -

؟ℚاية يف .ال: اجلواب -إنشاء جمموعة تكون فيها كل متتالية : املطروحة املسألة - ).ايتها يف تلك اموعة اجلديدة( متقاربة ℚكوشية يف


309

ويتمثل إنشاؤها . اموعة املطلوبة هي جمموعة األعداد احلقيقية : ℚجمموعة املتتاليات الكوشية يف ، E على Rيف اعتبار العالقة

.( ) ( ) lim 0n n n nn

u R v u v→+∞

⇔ − = وبعد ذلك نعترب .E على مث نثبت أن هذه العالقة عالقة تكافؤ

E/جمموعة النسبة R ونضع تعريفا :موعة، أي كل عنصر من هذه اE/مبعىن أننا نضع . كل صنف تكافؤ يسمى عددا حقيقيا R=ℝ. تأيت

ف عملييت اجلمع حيث نعرℝبعد ذلك التعاريف واخلواص املألوفة يف ف عالقة نعركما . جمموعة األعداد احلقيقية حقل ونثبت أن ،والضرب

ا منسجمة مع عملييت اجلمع والضرب، وأن اموعة مث نثبت أ،ترتيب .تتمتع خباصية احلد األعلى

Dedekindاإلنشاء مبقاطع ديدكيند 2.4

يقسم جمموعة األعداد r لقد الحظ ديدكيند أن كل عدد ناطق

}مها : الناطقة إىل قسمني }:rA x x r= ∈ <ℚ و { }:rB x x r= ∈ ≥ℚ .الثنائية يوقد مس ( , )r rA B مقطعا لـ ℚ . مث مثال يقسم أيضا جمموعة األعداد الناطقة إىل قسمني 2الحظ أن العدد

{ }2: 2A x x= ∈ <ℚ و { }2

: 2B x x= ∈ >ℚ .تيجة لذلك ونت فكرة اعتبار جمموعة األعداد احلقيقية على أا جمموعة مقاطع ءجا

.جمموعة األعداد الناطقة


310

)املقطع (تعريفنسمي مقطعا لديدكيند يف حقل األعداد الناطقة كل ثنائية

:يث حبB و Aجمموعتني جزئيتني غري خاليتني ,

,

, , .

A B

A B

a A b B a b

∩ = ∅∪ =

∀ ∈ ∀ ∈ <ℚ

مالحظة

rاملالحظ أن من أجل كل عدد ∈ℚ موعة هناك مقطعان )األعداد الناطقة مها , )r rA B و ( ', ')r rA B املعرفان بـ

{ }:rA x x r= ∈ <ℚ و { }:rB x x r= ∈ ≥ℚ .{ }' :rA x x r= ∈ ≤ℚ و { }' :rB x x r= ∈ >ℚ

اللجوء إىل ولتفادي ازدواجية املقطع من أجل كل عدد ناطق مت :التعريف التايل

)املقطع، مرة أخرى (تعريف

حيقق ℚ من Aنسمي مقطعا يف حقل األعداد الناطقة كل جزء :

1 (A ≠ ℚ 2 (, ' 'a A a a a A∀ ∈ < ⇒ ∈ . عنصرا أكربAال يقبل ) 3


311

مالحظةمن بني فوائد هذا التعريف أننا نستطيع أن نرفق كل عدد ) 1

} باملقطع rناطق }:rA x x r= ∈ <ℚوبعد . من خالل تطبيق متباين ذلك نعرف جمموعة األعداد احلقيقية بأا جمموعة املقاطع املشار إليها

}سابقا، أي أن }:rA r= ∈ℝ ℚ. يسمح التطبيق

:

r

f

r A

→ℚ ℝ

֏

)، وهو ℝ جبزء من ℚاملعرف آنفا مبطابقة )f ℚ مبعىن أننا نضع ،rr A≡ من أجل كل r ∈ℚ.

عالقة الترتيب) 2عندئذ تكون هذه اموعة . نزود جمموعة املقاطع بعالقة االحتواء

اليت تنص على " علىخاصية احلد األ"مرتبة ترتيبا كليا حتقق بوجه خاص غري خالية وحمدودة من األعلى تقبل حدا ℝأن كل جمموعة جزئية من

.أعلى أي، ℚ من مقطعني B و Aليكن : ℝعملية اجلمع على ) 3A نعرف. ℝ من عنصرين B+ بـ : c A B∈ إذا وفقط إذا وجد +a A∈ و b B∈ حبيث c a b= +.

B و Aليكن : ℝعملية الضرب على بداية تعريف)4A نعرف. ℝ من عنصرين أي، ℚ من مقطعني B× بـ : c A B∈ ×

a إذا وفقط إذا وجد A +∈ ∩ℚ و b B +∈ ∩ℚ حبيث c a b≤ يف استخراج خمتلف خواص جمموعة األعداد وهكذا دواليك .×

.احلقيقية


312

: األعداد املركبة. 5

ميكن القول إن الرياضيني نالوا مبتغاهم بعد إنشاء جمموعة حدث هلم عند إنشاء خمتلف اموعات العددية األعداد املركبة، خالفا ملا

لقد نال الرياضيون مبتغاهم ألن املعادالت اليت تكتب . السابقة الذكرعة يف حقل جمموعة األعداد املركبةعلى شكل كثريات حدود صارت طي ،

سبيل املثال فإن معادلة من الدرجة الثانية ميكن ىعلو .وال ختفي حلوال لكن عدد حلوهلا يف جمموعة وعة األعداد احلقيقيةأال تتمتع حبل يف جمم

هلا n وبصفة عامة فكل معادلة من الدرجة .2األعداد املركبة هو دائما n نظرية اجلرب األساسية"تلك هي ( حال.( "

لكن ، األعداد احلقيقيةلة امتدادا حلقويعترب حقل األعداد املركب بينما ال جند ،هذا األخري له عالقة ترتيب تنسجم مع عمليتيه الداخليتني

وهذا أحد عيوب األعداد . هذه اخلاصية يف جمموعة األعداد املركبةومن ميزات هذه األعداد أا تتمتع خبواص جربية وحتليلية ثرية . املركبة

فال ميكن .. .خمتلف فروع الرياضيات والفيزياءجعلت تطبيقها ينتشر يف ر دراسة النسبية أو ميكانيكا الكم دون استخدام األعداد املركبةتصو.

م على 16ومن املعلوم أن األعداد املركبة ظهرت خالل القرن وحاجتهم يف ذلك كانت البحث عن ... أيدي الرياضيني اإليطاليني

مث تطور الربط بني األعداد املركبة . ةحلول املعادالت ذات الدرجة الثالث . م19واهلندسة بدءا من القرن


313

2وكما نعلم فإن املعادلة البسيطة من الدرجة الثانية 1 0x + ال =2 لطرفيها يؤدي إىل املساواة −1 ألن إضافة ℝتقبل حال يف 1x = − ،

x عدد حقيقي يوجد أنه ال نعلم وحنن ∈ℝ هذه املساواة حيقق. :من الطرق الشهرية يف إنشاء جمموعة األعداد املركبة نذكر

2ℝ إنشاء باستخدام اجلداء الديكاريت 1.5

: ونزودها بالعمليتني التاليتني، اجلمع والضرب2ℝنعترب اموعة 2 2( , ) , ( , ) ,

( , ) ( , ) ( , )

( , ) ( , ) ( , )

a b c d

a b c d a b c d

a b c d ac bd ad bc

∀ ∈ ∀ ∈+ = + +× = − +

ℝ ℝ

املزود اتني العمليتني حقل تبديلي 2ℝمن السهل إثبات أن والعنصر احليادي للضرب هو (0,0)العنصر احليادي للجمع هو (

وأن التطبيق) (1,0)2:

( ,0)

f

x x

→ℝ ℝ

֏

)و ℝمتاثل حقول وأنه تباين، وهو ما يسمح باملطابقة بني )f ℝ أننا ، نضع

.2( ,0)x x∋ ≡ ∈ℝ ℝ i(0,1)مث إننا نضع فيصبح=

.( ,0) (0,1) ( , )a ib a b a b+ = + = هي ℂ وبذلك تصبح جمموعة األعداد املركبة

.{ }2: ( , )a ib a b= + ∈ℂ ℝ


314

: إنشاء باستخدام كثريات احلدود 2.5

، اليت نرمز هلا عادة بـ ℝترب جمموعة كثريات احلدود على نع[ ]Xℝف عالقة التكافؤ ، مث نعرR التالية على [ ]Xℝ : من أجل

P قسمة باقي إذا وفقط إذا كان PRQ يكون، Q و Pكثريي حدود

2 كثري احلدودعلى 1X كثري على Q قسمة باقي ساويي األقليدية +2 احلدود 1X حقال ℂ ميكن اعتبار جمموعة األعداد املركبة .األقليدية +

]متشاكال مع حقل النسبة ] ( )2/ 1X X +ℝ . يكفي اعتبار عدد مركبa ib+ وإرفاقه بكثري احلدود ،a bX+ . وملا كان باقي قسمة كل كثري

2 علىPاحلدود 1X a يكتب على الشكل + bX+ فإننا نستطيع التطبيقتعريف

[ ] ( )2: / 1

( )

f X X

a ib P

→ +

+

ℂ ℝ

֏

)حيث ميثل )P صنف التكافؤ الذي باقي قسمة كل عنصر منه على 2 1X a يساوي + bX+ . ومن مث نطابق( )a ib P+ فعلى سبيل . ≡

املثال فإن ( )20 1X≡ 2ألن باقي قسمة كثري احلدود ( + 1X 2 على + 1X +

0يساوي 0.X+ 0، أي(، 1 2 على 1 ألن باقي قسمة كثري احلدود الثابت( ≡(1) 1X يساوي +

1 0.X+ 1، أي(، ( )i X≡ ) ألن باقي قسمة كثري احلدودX 2 على 1X يساوي +

0 1.X+( .


315

: إنشاء باستخدام املصفوفات 3.5

2نعترب جمموعة املصفوفات a من الشكل ×2 b

b a

−

حيث

)متسح , )a b 2 اجلداءℝ . موعة بـإذا رمزنا هلذه اM وزودناها أن العمليتني داخليتان يف بعملييت مجع وضرب املصفوفات فإننا نالحظ

M وأن( , , )M + على سبيل املثال فإن مقلوب . حقال يصبح×

a b

b a

−

2 هو 2 2 2

2 2 2 2

a b

a b a bb a

a b a b

+ +

− + +

M و ℂد ذلك بني نطابق بع.

:من خالل التشاكل :f M

a ba ib

b a

→

+ −

ℂ

֏

0فنالحظ مثال أن املصفوفة 1

1 0

−

وأن املصفوفة i متثل

2 2 2 2

2 2 2 2

a b

a b a bb a

a b a b

+ +

− + +

a متثل ib−) مرافقa ib+(.


316

: كتابة األعداد املركبة 4.5ن لكتابة األعداد املركبة مها الكتابة اجلربية، وهي هناك طريقتا

aاليت سبق ذكرها املتمثلة يف كتابة عدد مركب على الشكل ib+، ]) عمدة(ة املتمثلة يف إدخال زاوية الكتابة املثلثيوهناك أيضا [0,2ϑ π∈

rوطويلة +∈ℝ وكتابة ( )cos sina ib r iϑ ϑ+ = يف حالة +*a ib+ ∈ℂ.وهذا يعين أن

cos ,

sin .

a r

b r

ϑϑ

= =

2 هو b و a بداللة rونالحظ أن التعبري عن 2r a b= + .

علما أن (فيعرف بالعالقة b و a بداللة ϑ أما التعبري عن[ [0,2ϑ π∈(

2 2 2 2cos , sin .

a b

a b a bϑ ϑ= =

+ +

tn كما نالحظ أن العمدة حتقق العالقة

b

aϑ عندما يكون =

0a 0aأما إذا كان . ≠ فإن =2

πϑ 3 أو =

2

πϑ .b إشارة حسب =

ويتم التعبري عن األعداد املركبة بالشكل األسي فنكتب

.( )cos sin ia ib r i re ϑϑ ϑ+ = + = يف ( اهلندسةمثل كثرية، ا يف استعماالتيعترب هذا التمثيل مهم

). ترونيكلكسيما اإل(ء الفيزياو ) مثال،التحويالت النقطية


317

cosنالحظ أيضا أن العالقة sin ii e ϑϑ ϑ+ تؤدي إىل = Eulerدستوري أولر

cos ,2

sin .2

i i

i i

e e

e e

i

ϑ ϑ

ϑ ϑ

ϑ

ϑ

−

−

+=

− =

والواقع أن التعريف الدقيق للدوال املثلثية يتم بعد تعريف الدالة األسية ونستفيد يف هذا االنتقال من الدالة األسية . بواسطة السالسل الصحيحة

من ذلك دستور دي ونستنتج.إىل الدوال املثلثية من العالقتني السابقتني : حيث ميكن تربير الكتابة de Moivreموافر

( ) ( )cos sin cos sinnn i ini e e n i nϑ ϑϑ ϑ ϑ ϑ+ = = = +

:أي أن .( )cos sin cos sin

ni n i nϑ ϑ ϑ ϑ+ = +

: الرؤية اهلندسية لألعداد املركبة 5.5

نزود املستوي التآلفي مبعلم متعامد ومتجانس ونعترب عنصرا z x iy= + ∈ℂ .مث نرفق z x iy= ) بالنقطة + , )M x y يف املستوي

فننشئ بذلك تقابال بني جمموعة األعداد املركبة وجمموعة النقاط يف z نالحظ مثال أن صورة املرافق.املستوي x iy= هي z لـ −)'النقطة , )M x y−. وبالتايل فإن صوريتz ومرافقه متناظرتان بالنسبة

وميكن استنتاج كثري من اخلواص اليت تربط األشعة . حملور الفواصلباألعداد املركبة، وهي خواص تثبت السهولة يف احلصول على العديد من


318

مثل مجع األشعة (بة العالقات اهلندسية عند استخدام األعداد املرك ...).وضرا يف األعداد السلمية

: تطور العدد. 6

أن العمليات احلسابية اليت جيريها باستمرار اليوميبدو للناس التاجر والتلميذ واملعلم ورجل األعمال، عمليات تفطن إليها اإلنسان منذ

ت إن املتتبع لتطور مفهومي العدد والعمليا .عهد آدم عليه السالموأن وصولنا إىل ما ... احلسابية ال بد أن يدرك بأن األمر مل يكن كذلك

. حنن عليه اآلن من تقدم يف هذا اال مل يكن هينا، بل كان عسريا مريرا

مث إن تطور علم احلساب وتزايد احلاجة إليه وإىل سرعة إجراء عملياته

يف أداء -مه أو تقوم مقا-جعل اإلنسان يسعى إىل صنع آلة تساعده اهتدى وهكذا. املهمات احلسابية اململة بتكراراا والصعبة يف مكوناا

تدرجييا، مبر السنني والقرون، إىل ابتكار آلة حاسبة ما فتئت تتطور . وتتطور يف تصميمها وصناعتها ومهامها

غري أن احلاسبة تطورت بسرعة مذهلة خالل القرن العشرين، ين، كما تشعبت البحوث حوهلا فتولد عنها احلاسوب سيما يف نصفه الثا

. واملعلوماتية وشبكة اإلنترنت وغريها من األدوات التكنولوجية احلديثة .دعنا نلقي نظرة موجزة على بعض حمطات تطور مفهوم العدد


319

: العدد قبل مئات آالف السنني1.6

ت مل يكن مفهوم الوحدا... ألف سنة 300قبل ... البدايةيف

وميكن أن نتخيل بأن احليوانات . العددية متواجدا يف الفكر البشريوال ميثل ... وقتئذ كانت ضخمة ترى اجلنس البشري كفرد من أفرادها

ورمبا كان بعض . سوى قطعة من حلم أو فريسة صاحلة لألكل عند اجلوعكما أن مفهوم احلدود اجلغرافية . البشر أو كلهم يرون أنفسهم كذلك

ية مل يكن معروفا آنذاك، فأرض اهللا واسعة تسع جلميع خلقه وال وامللكوإن كان األمر كذلك فما احلاجة . جمال للتنافس على امتالك أي شيء للعد واحلساب وحتديد املساحات؟

غري أن هذا ال يعين بأن البشر يف ذلك الوقت ال يفهمون تقدير

ام أحدهم كومة فإذا وضعت أم. الكميات باحلجم أو الوزن أو العددكبرية من التفاح وجبانبها جمموعة صغرية أخرى فال شك أنه سينبئك أن هذه الكومة حتتوي على كمية من التفاح أكرب من اموعة اليت جبانبها

تفاحة مثال وأن 200لكنه سوف لن يقول لك بأن الكومة تضم ... . تفاحة20اموعة الصغرية ال تتجاوز

ل اإلنسان من بقعة إىل أخرى، وهاجر شتاء ومبرور الزمن تنق

وتزايد عدد البشر وجتمعوا يف أماكن معينة . وصيفا من مكان إىل مكانمتتاز بوفرة املاء أو سهولة االحتماء أو خصوبة تربتها فصار الفرد أو


320

اجلماعة متتلك قطعة من األرض تسكنها، ورمبا تفلح جزءا منها، وهلا والتجمعات السكانية تقضي بأن كل . بشرحدود تفصلها عن باقي ال

واحد حيتاج إىل خدمة اآلخرين، ومن مث نشأت احلرف وتعددت، فهذا واحلرفيون . حداد، وذاك إسكايف، وهذا جنار، وذاك مزارع، اخل

حيتاجون، حبكم طبيعة نشاطهم، إىل حساب الطول واملساحة واحلجم العد واحلساب واإلملام وكل هذه املسائل ال ميكن حلها إال ب. والوزن

.بقواعدمها

إىل الكثري من ال حيتاجمث إن اإلنسان كان يف ذلك العهد وعندما زادت النشاطات التجارية . األعداد واألرقام يف حياته البسيطة

. والتعامالت بني الناس فإن العدد وتطويره صار موضوعا يف غاية األمهيةواتمعات مبوضوع العدد وترقيته ومما زاد تدرجييا يف انشغال األفراد

والبحث يف خصائصه اهتمامهم املتنامي بالشؤون العلمية مثل اجلغرافية .والفلك

ألف سنة كان اإلنسان يستخدم يف 200وال شك أن قبل

ورمبا كان اإلنسان . احلساب أصابعه، وكذا احلجارة واحلصى وحنوهافقد مت . الستخدامها مستقبالخيزن بكيفيات خمتلفة بعض النتائج احلسابية

قرنا حيمل 85العثور يف إفريقيا على عظم يرجع تارخيه إىل حوايل كما اكتشف العلماء يف اهلند ما يدل على . إشارات متثل األعداد األولية

كانت األشكال . قرنا60وجود رسوم لبعض األعداد قبل امليالد بـ


321

ية أو أفقية، كل خط منها األوىل لألرقام رموزا تتكون من خطوط عمودلكن هذه األشكال صارت شيئا فشيئا ال تفي حباجيات الناس . 1يساوي

.لكتابة األعداد الكبرية، ولذلك تبنوا رموزا ما فتئت تزداد فعالية : احلساب عند قدماء املصريني 2.6

آالف سنة قبل 4كان املصريون القدماء يستخدمون منذ حوايل

. 10رمزا خاصا للرقم ) سنة من اآلن6400حديد قبل وبالت(امليالد ). رقما11بدل ( مثال ال يتطلب سوى رقمني 11وهكذا فكتابة العدد

رمزا فأصبح ال يتطلب 99 قبل ذلك الوقت يتطلب 99وكان العدد مث أدخل املصريون رموزا أخرى لتغطية كل . رمزا أو رقما18أكثر من

وبطبيعة . 10ا إليها بعض مضاعفات ، وأضافو10 إىل 1األرقام من احلال، فلو كان النظام العشري هو القائم آنذاك ملا احتاجوا إىل إضافة

.10مضاعفات

على هيئة خطوط عمودية 3، 2، 1األرقام وقد كتبت رمز املصريون و.4ل عندهم الرقم ميث مثال متجاورة، وكان اخلط األفقي

على شكل فكانت العشرة أما ،خرطني أفقيني أحدمها فوق اآل خب8لـ شكل زهرة اللوتس، واملائة على شكل لفافة مطوية، حدوة، واأللف على

واملائة ألف على شكل مسكة، ،والعشرة آالف على شكل إصبع معقوفوالعشرة ماليني على شكل رأس ل رافع يديه،واملليون على شكل رج


322

لرقم يف كتابة العدد ال املالحظ عند قدماء املصريني أن موقع او. إنسانفال ... يهم يف هذه احلالة، وترتيب األرقام أيضا ال يؤثر يف قراءة العدد

.ملرتبة العشرات، اخلوال معىن لديهم ملرتبة اآلحاد : وعند البابليني ومن خلفهم 3.6

وظهرت أيضا أنظمة عد أخرى يف العهود الغابرة مثل تلك اليت

ذين جلئوا إىل النظام الستيين املستعمل يف حتديد الزمن ابتدعها البابليون الوالقياسات الفلكية وبعض احلسابات ) انظر كيف تشتغل الساعات(

رسومامستخدمني األرقاميكتبون السومريون والبابليون انوك. الرياضية .مسمارية أفقية أو عمودية

ل األعداد بشكل متميز، ويعتقد أن السومريني هم أول من سج

وكان . سنة قبل امليالد، وتركوا آثارا شاهدة على ذلك3200حوايل ،كما استعملوا نظامني للترقيم. هلذا اإلبداع أثر إجيايب على جتارم

ومن . لدى الشعوب القدميةمثل الذي كان سائدا أحدمها جتميعي بسيط بتحديد- سنة قبل امليالد 2400 حوايل –املعلوم أن البابليني قاموا

. وثـمـن الوحدة3فقالوا إنه يساوي ... πقيمة تقريبية للعدد

وال بد أن نشري . هو نسبة حميط أية دائرة على قطرهاπوالعدد ذا اخلصوص إىل أن البحث يف القيمة الدقيقة هلذا العدد مل تتوقف منذ


323

قدمي الزمان إىل يومنا هذا حيث يستغل الرياضيني أحدث ما جادت به وجيا احلواسيب لتحديد أكرب عدد ممكن من األرقام اليت تلي تكنول

وقد توصل املختصون يف علم . الفاصلة يف كتابة هذا العدد اللغزاحلساب العددي اآلن بفضل قوة اآلالت املستخدمة إىل حتديد ماليري

دون التمكن من حتديد كل πوماليري األرقام اليت تلي الفاصلة يف العدد أما املصريون القدماء فتوصلوا، . الية للفاصلة حلد الساعةاألرقام املو

فقالوا إنه ... π سنة قبل امليالد، إىل تقريب آخر للعدد 1850حوايل قبل 1350كما قام الصينيون سنة . 81 على 256يساوي نسبة العدد

. امليالد بعمل مماثل

: تنوع أنظمة العد وكتابة األرقام 4.6

وعلينا أن نضيف . ستخدام النظام الستيين وغريهأشرنا آنفا إىل ا

ذا الشأن أن الرومانيني استخدموا يف بعض احلاالت نظام عد يعتمد يف أمريكا اجلنوبية Maya كما استخدم قبائل املايا . 12على األساس

فكان يرمز إليه بفأس بينما رمزوا للعدد ... 20نظاما يعتمد على العدد أصناف 3الواقع أنه ميكن تصنيف أنظمة العد إىل و. بثالثة فؤوس60 :هي


324

العد التجميعي الذي يستعمل فقط فكرة اجلمع؛) 1 60فالعدد . هناك صنف آخر ميزج بني اجلمع والضرب) 2

؛ 10 يف 6ميكن التعبري عنه برمزين يدالن على عملية ضرب دما فعن. صنف ثالث يراعي موقع الرقم أو الرمز يف الكتابة) 3

يف مرتبة اآلحاد ليس له نفس املعىن 1 فإن 11نكتب يف نظامنا احلايل ومن مث تبين بعد عديد . املوجود يف مرتبة العشرات1الذي حيمله الرقم

القرون أنه ال بد من ابتداع ما يشبه الصفر لكي نوضح بأن يف مرتبة هناك رقم يعين أنه ليس0فإن ... 10معينة ليس هناك رقم مثل كتابة

يف منأى عن ) بعد إدخال الصفر(وهذا النظام صار . يف مرتبة الوحداتوهنا يكمن إسهام من أكرب اإلسهامات اليت . اخلطأ، وتبين أنه أكثر فعالية

قدمتها احلضارة العربية اإلسالمية للعلم، إذ حسنوا ما كان موجودا يف .زمام ونقلوه إىل الغرب جاهزا لالستعمال

كان األول : جلأ اإلغريق إىل نوعني من العد :قام اليونانية األر

الذي 10مبنيا على احلروف األوىل اليت تبدأ ا أمساء األرقام مثل العدد . µ باحلرف 10000 و δيرمز له باحلرف

أما النوع الثاين للترقيم فقد أدخل يف القرن الثالث قبل امليالد ة كلها للداللة على األرقام، إضافة إىل حيث استخدمت األجبدية اليوناني

كانت احلروف التسعة األوىل يف . رموز ثالثة من األجبدية الفينيقيةوخصصت األحرف التسعة . 9 إىل 1األجبدية تسمح بكتابة األرقام من

، وخصصت أحرف التسعة األخرية ملضاعفات 10املوالية ملضاعفات


325

. مودية على يسار العدد املقصودورمز اليونانيون لآلالف مبدة ع. 100وهكذا نرى أن هذا النظام يسمح بتمثيل أعداد كبرية بقدر معني

). رمزا باإلضافة إىل األعمدة27(باستخدام عدد معقول من الرموز

يسمح نظام الرموز املستخدمة عند الرومانيني : األرقام الرومانية

رموز 7 باستخدام ومليون1بالتعبري عن كل األعداد احملصورة بني = I = 1 ، V = 5 ، X = 10 ، L = 50 ،C = 100 ، D :وهي500 ،M =1000. نالحظ أن الرموز تقرأ يف النظام الروماين من

وعندما نضع مدة فوق رقم فمعناه أنه مضروب يف . اليسار إىل اليمنيولذلك فمن الناحية النظرية ميكن ذه الطريقة كتابة أي عدد . 1000

عيبالومع هذا، ف. يح، لكن األمر ليس كذلك من الناحية العمليةصحاحلسابات ا ال تسمح بإجراء أ يكمن يف الرموز الرومانيةالكبري يف

. ولذا فهي ال تتماشى مع متطلبات اآللة احلاسبة.الكتابية السريعة : اهلنود والترقيم5.6

تعاملوا رقيم فيف البحث عن تسهيل عملية الت قدماء اهلنود اجتهد

10 عدد مضاعفات التدل على أمساء خاصة بوضع مع األعداد الكبريةهناك اللغة السنسكريتية القدمية يفو. وصلوا إىل مائة مليونحىت

1بلغوا العدد املساوي لـ حىت 10 لكل مضاعفات الرقم تسميات يف بالنظام العشريوجند لدى اهلنود إملاما. وعشرين صفرا ثالثةمتبوعا ب


326

إىل األعداد من الواحد شارة لإلرموز وكانوا يستعملون تسعة .الترقيم 10وقد حافظوا على نفس الرموز للتعبري عن األعداد من .إىل التسعة

وحتت كل منها نقطتان نيةثامث أعادوها مرة . ووضعوا حتتها نقاطا90إىل . وهكذا دواليك. 900 إىل 100األعداد من للداللة على

الطريقة اهلندية يف كتابة األعداد واضحة ذلك مل تكنورغمفعلى سبيل املثال فإن كتابة العدد . بالقدر الكايف يف العديد من احلاالت

وترك فراغ بينهما أو عالمة 7 و 3 يتطلب منهم كتابة الرقمني 307وأنت تتصور الغموض الذي يطرأ يف . تدل على خلو مرتبة العشرات

اولة التمييز بني فراغ واحد وفراغني أو أكثر من هذه احلالة لدى حمولذا ال تستغرب إن عجزت يف هذه احلالة . الناحية العملية يف املؤلفات

هذا الفراغ أحيانا يسمي اهلنودو. مثال3007 و 307عن التمييز بني العشرات حتت الرموز الدالة علىاملوضوعة حىت النقاط و".سونيا بندا"

دة يف سوء القراءة إذا ما نسيت أو مل تظهر جيدا يف واملئات تتسبب عا .الكتابات، أو كانت قريبة من بعضها البعض حتت الرموز املتوالية

وائردات السالفة الذكر ب الفراغمبلء ثانيةيف مرحلة لذلك قام اهلنود و . تشبه الصفرطانق صغرية أو


327

: األرقام واحلساب عند العرب6.6

س اليوم يف كامل بقاع املعمورة ما يسمى يستعمل مجيع النا

والواقع أن هذا النظام قد شرع يف تصميمه اهلنود قبل . باألرقام العربيةامليالد بثالثة قرون، مث أخذ العرب واملسلمون على عاتقهم تطوير هذا

ويؤكد املؤرخون بناء على املخطوطات املتوفرة لديهم أن . النظام ورموزه استعمال األرقام العربية ابتداء من القرن العاشر األوربيني شرعوا يف

.امليالدي وضع األرقام قدري حافظ طوقانيلخص املؤرخ املرحومو

لقد : "وانتقاهلا من اهلند إىل الغرب ودور العرب يف هذا الشأن بالقولوكان . . . اطلع العرب على حساب اهلنود، فأخذوا عنه نظام الترقيم

ديدة لألرقام، هذب العرب بعضها وكونوا من ذلك لدى اهلنود أشكال ع، عرفت إحدامها باألرقام اهلندية وهي اليت تستعملها هذه البالد سلسلتني وعرفت الثانية باألرقام الغبارية، وقد . اإلسالمية والعربيةاألقطاروأكثر ومن األمهية مبكان أن نشري . " يف بالد الغرب واألندلساستعماهلاانتشر

كان حافزا كبريا يف البحث والتنقيب يف اال اإلسالمظهور أنإىلوهكذا اهتم . العلمي يف شىت ااالت، ومنها الرياضيات واحلساب

املسلمون بالرقم والعدد واحلساب لقضاء حاجام والسري قدما حنو تأسيس حضارة معاملها ال زالت حاضرة اليوم لتشهد على عمقها

.وأصالتها


328

. ة حبروف أجبديرب يف بداية األمر يرمزون لألرقامكان العبني احلروف واألرقام يز آخر مي ترميزامظ نوعندما الحظوا لدى غريهم

. حسامواستخدموها يف حبثوا يف هذا االجتاه وتوصلوا إىل صياغة أرقام أو (ساب اليدما يعرف حب خدمونيستيف ذلك الوقت الناسوكان عامة

قسم العربوقد. ذهنيا كبرياجهدا يتطلب الذي )احلساب اهلوائي احلساب الغباري واحلساب حسابني مها احلساب العملي إىل واملسلمون

:اهلوائي

هو احلساب الذي )أو احلساب اهلندي (احلساب الغباري. 1

بسيطة أو معقدة كالقلم أو اللوح استعماله إىل أدوات الناس خاللحيتاج ).التراب(أو الغبار الذي ال حيتاج يف استعماله إىل احلساب احلساب اهلوائي هو .2

. سوى اليدأدواتأية

وقننوه يف كتبهم باحلساب اهلوائياهتموا ومن املعلوم أن علماءنا يف حل مسائل احلساب احلسابية ووضعوا له قواعد لتسهيل استغالله

ومن .غريهاو ةي التجار يف التعامالت احلياة العامة العملي الذي حتتاجه أصبغ املهري كتب العربية اليت اهتمت باحلساب اهلوائي كتابان للعاملال

الكايف يف احلساب" ثانيهماو "الكامل يف احلساب اهلوائي "عنوان أوهلما

".اهلوائي القاعدة اليت نوضحها من خالل حلساب اهلوائيابسط الطرق وأ

ذه العملية نتبع للقيام .483 +356: إجراء عملية اجلمع التالية


329

اخلمس التالية اليت ينبغي أن تتم دون أية كتابة حيث ال نعتمد طوات اخل: أوال:أثناء اجلمع سوى على الذاكرة وحركات اليدين

جنمع حاصلي : ؛ ثالثا 130=80+50: ثانيا ؛ 700=300+400: ؛ خامسا9=3+6: ؛ رابعا 830=130+700: اجلمع السابقني فنجد

: لنا عليه يف اخلطوتني الثالثة والرابعة فنجد املطلوب وهو جنمع ما حتص830+9=839.

أكثر فعالية يف املسلمون أن احلساب اهلندي وقد الحظ العرب و

اهلنود جيرون وكان . إجراء العمليات احلسابية اليت تتناول أعدادا كبرية ففضل العرب القيام بذلك مستخدمني والتراباللوحم على احساب

ورق واحلرب ألن التراب تذريه الرياح وغريها فيزول ما سجل عليه من ال مل ي إذساب اهلنداحلبومن املعلوم أن املسلمني هم الذين عرفوا . حساب، بل مل يكن منتشرا التجارتداوله آنذاك إال القليل من الناس سيمايكن ي

رب ولذلك ميكن التأكيد بأن الفضل يرجع للع. حىت يف اهلند ذاا .واملسلمني يف ذيب وتطوير احلساب اهلندي


330

: اهتمام علمائنا بالعدد واحلساب7.6

عدةني علماء املسلمتناوهلااحلسابية اليت تشمل العمليات

) التفريقاملسمى(ها والطرح وتضعيفاألعداد مجع : منها عمليات مبفهوم اهتم هؤالء العلماء كما.والقسمة واستخراج اجلذور والضرب 3، مثل قول أن ملنسوب إليهقارنة با املنسوب متحديد مقدارالنسبة ل

إىل والواقع أن النسبة تنقسم، حسب العرب واملسلمني،. 9تساوي ثلث : هي ثالثة أنواعالنسبة اهلندسية ) 2يف احلساب، اليت جندها النسبة العددية ) 1يف استخدمها الرياضيون اليتالنسبة التأليفية ) 3 يف اهلندسة،املتداولة .األنغام واألحلان قصد تقنينها واستخراج املوسيقى

وقد بلغ علم احلساب عند العرب واملسلمني مستوى من الرقي .ياة الناساملتصل بصفة مباشرة حباجلانب العملي جعلهم يتجاوزون

وهكذا راحوا يبدعون القوانني والنظريات املختلفة اليت تفيد يف حل متيزت و .اإلسالميةالعربية احلضارة أسهمت يف بناء متنوعةمسائل األمثلة والتمارينوفرة ب يف موضوع احلساباملسلمنيالعرب و مؤلفات معامالت جتارية ذات الصلة مبا حيتاجه الناس يف شىت امليادين من العملية

ند وغريهم إىل مسائل توزيع الرواتب على اجلمن ، وإىل مسائل املرياث العملياتاملتعلقة برت مؤلفات علماء املسلمني وقد أث. م األراضيتقسي

هذه املؤلفات كتاب ولعل أشهر. احلسابية على احلركة العلمية يف الغرب


331

، وهو العمل "كتاب اجلرب واملقابلة" للخوارزمي مساه علم احلساب يف .الذي انبعث منه علم اجلرب احلديث

يف حقل العدد واحلساب ومل يكن اخلوارزمي املبدع الوحيد

ففي الشرق جند غياث : عندما كانت حضارتنا باألمس يف أوج عزها الدين مجشيد الكاشي الذي يعترب أول من حول الكسور العادية إىل

ويف الغرب اإلسالمي هناك السموءل . كسور عشرية يف علم احلساب ويف .املغريب الذي استخدم ألول مرة األسس السالبة يف احلساب

األندلس جند أبا احلسن علي بن حممد القلصادي األندلسي الذي استخدم احلرف ج للداللة على رمز اجلذر التربيعي فانتشر هذا الرمز يف خمتلف

أما حساب املثلثات فعرف قفزة مل يعرفها من ذي قبل على . لغات العاملقلي ونصري أيدي علماء مسلمني كثريين، منهم أبو عبد اهللا البتاين والزر

وما األمساء الالمعة اليت ذكرناها آنفا سوى عينة صغرية . الدين الطوسي .جدا من سجل ضخم ضم عمالقة احلساب خصوصا والرياضيات عموما

: كان املـعـداد... قبل امليالد 8.6

جيمع املؤرخون على أن أول آلة حاسبة كانت تلك اليت ظهرت

املـعداد "قبل امليالد، وهي املسماة يف الصني خالل القرن التاسع وهذا على الرغم ). يف الصنيSorobanاملسمى السوروبان " (الصيين

من أنه مل يكن يف الواقع آلة باملعىن احلديث إذ ليس فيه ما يتطلب شيئا


332

من علم امليكانيك، غري أنه كان أداة مثرية يف بساطتها وتساعد كثريا البسيطة، من مجع وطرح، اليت حيتاج إليها على إجراء العمليات احلسابية

وأمجل ما يف . كما يساعد على القيام بعملييت الضرب والقسمة. التجار .هذه اآللة أا ال تتطلب ورقا وقلما أثناء استخدامها

وأصبحت هذه اآللة تتكون بعد تطويرها من إطار مربع أو

ن أفقية متوازية مستطيل الشكل يصنع عموما من اخلشب، وتتخلله قضباحتمل سبع كرات خشبية أو زجاجية ترتلق ميينا ويسارا لتقترب أو تبتعد

وميكن أن . من قضيب آخر شاقويل يقسم اإلطار اخلشيب إىل قسمنيوهذا ... قضيبا أو أكثر 30 أو 12 أو 8يكون عدد القضبان األفقية

حسب حجم وتعقيدات احلسابات اليت يرغب صاحب املعداد يف . ائهاإجر

أما طريقة احلساب فهي تتم بتحريك الكرات، وتقرأ النتائج حسب وضعية تلك الكرات داخل اإلطار مقارنة بوضعية القضبان، مبا

وال زال املعداد إىل اليوم حمل اهتمام، وال زالت . فيها القضيب الشاقويلجترى به بعض املسابقات احلسابية يف الشرق والغرب ويتخذ كأداة

.ة يف العديد من املدارستعليمي واملالحظ أن استخدامه ظل ساريا إىل اليوم لدى الباعة املتجولني األميني وغري األميني مثل احملاسبني وعمال الفنادق والبنوك وحىت العلماء يف شرق آسيا، كالصني والفيتنام وتايلندا وسنغافوره


333

لذين عرفوا ويرجح املؤرخون ذا اخلصوص أن التجار هم ا. وتايوانم واليابان حوايل 1400باملعداد يف املناطق األسيوية فدخل كوريا حوايل

كما أنه كان يستخدم يف روسيا وأوروبا حىت القرن الثامن . م1600 .عشر، علما أنه استخدم يف اليونان ستة قرون قبل امليالد

: احلاجة أم االختراع9.6

الطويلة واململة بتكراراا إن احلاجة إىل أدوات تيسر احلسابات

كانت من البواعث اليت جعلت الناس مجيعا يبحثون عن خمرج يسهل وقد مت العثور على آلة بدائية . القيام بالعمليات األربع بصفة ميكانيكية

حتسب وحتدد مواقع الكواكب السبعة 1947بإحدى اجلزر اليونانية عام . قرن الثاين قبل امليالدعهود ال... املعروفة يف العهود الغابرة

كان العلماء يقضون أوقاتا طويلة يف احلسابات الشاقة اليت قد وكان الوقت الضائع يف إجراء . يتسرب إليها اخلطأ يف أية حلظة

احلسابات البسيطة يعيق القيام بأعمال مهمة أخرى فيعرقل الباحثني يف لعلماء عرب القرون وقد عبر عن هذا االنشغال العديد من ا. تقدم أشغاهلم

اخلالية، منهم على سبيل املثال العاملان الربيطانيان الشهريان إسحاق نيوتن Newton) 1642- 1727 ( واللورد كلفنيKelvin) 1824- كما أن النمو االقتصادي املتسارع خالل القرن التاسع عشر ). 1907


334

جعل الناس يدركون ضرورة التعجيل بصنع آالت حاسبة ختتصر هلم .الزمن الواجب قضاؤه يف إجراء احلسابات العددية

: بداية مشوار اآللة10.6

لدى مؤرخي العلوم تارخيا بارزا يف االبتكارات 1617يعترب عام

-Napier) 1550اخلاصة باحلاسبات حيث قام األنكليزي جون نابييه يف تلك السنة بإجناز جداول متحركة تتكون من قضبان يؤدي ) 1617

كها إىل إجراء عمليات حسابية بسرعة كبرية مقارنة مع ما يقضيه حتريوقد حظيت هذه اجلداول، بفضل طريقة . البشر دون استعمال آلة

مث قام . حساا السريع، باهتمام كبري من قبل الفلكيني والرياضيني 1620عام ) Gunter) 1581 - 1626األنكليزي إدمون غنتر

لك اجلداول أشبه باملساطر احلسابية اليت بتحسني ابتكار نابييه فصارت ت .مت تداوهلا حىت اية الستينيات من القرن العشرين

وقد حتقق خالل األربعة قرون املاضية تقدم ملحوظ يف

Schickardمكـنـنة احلساب على يد األملاين وهللم شيكارد ، وهي آلة "ساعة حاسبة "1624الذي صمم عام ) 1635 -1592(

مث تاله . ولسوء احلظ فإن هذه اآللة مل تصنع قط. العمليات األربعتقوم ب-Pascal) 1623الرياضي والفيلسوف الفرنسي بليز باسكال

وجاء بآلته احلاسبة الشهرية، اليت ال حتسن سوى إجراء عملييت ) 1662


335

وهو غري ملم بأعمال من 1642اجلمع والضرب، ابتكرها صاحبها عام . سبقوه يف هذا اال

وما كان يشغل بال باسكال عند تصميمه هلذه اآللة هو أنه كان يرغب يف تسهيل إجراء احلسابات اإلدارية الطويلة اليت كان يكلفه ا

50وقد صنع حوايل . أبوه، احملاسب يف إحدى املقاطعات الفرنسية آنذاكومن . Pascalineنسخة مـن هذه اآللـة املسماة باسكالني

خرى صناعة مسطرة حاسبة من قبل اإلنكليزي وليم احملاوالت األنشري يف هذا . 1657عام ) Oughtred) 1574-1660أوغتريد

كعالمة × السياق إىل أن هذا العامل هو الذي أدخل يف الرياضيات الرمز .لعملية الضرب

Leibnizوبعد ذلك قـام األملاين غوتفريد ويلهلم ليبنيتز

آلة باسكال فأدخل عليها بتحسني1673عام ) 1646-1716(ومن مث اعتربت آلة ليبنيتز من . إمكانية إجراء عملييت الضرب والقسمة

قبل بعض املؤرخني أول آلة حاسبة قادرة على إجراء العمليات األربع ويروى أن . بطريقة ميكانيكية، إضافة إىل استخراج اجلذور التربيعية

باجلن والشياطني بسبب ابتكار والدة ليبنيتز قد امت بالسحر وبعالقتها أن - يف نظر املتهمني –وإال كيف ميكن ... ابنها هلذه اآللة العجيبة

! تنجب هذه املرأة ولدا يهتم مبثل هذه املنجزات الشيطانية؟


336

: ويتواصل مشوار االبتكارات11.6

وقد تواصلت األحباث خالل عشرات السنني من أجل حتسني يبنيتز حىت تصبحا قابلتني للتسويق، لكن بدون أداء آليت باسكال ول

فظل استخدام هذه اآلالت حكرا على بعض الرياضيني والعلماء . جدوىلكن حلول القرن التاسع عشر بتحوالته الصناعية . املبتكرين دون سواهم

ونشاطاته املتعددة يف اال التجاري سرع من وترية البحث يف موضوع وهكذا ركز . رت من ضروريات احلياة االقتصاديةاآللة احلاسبة ألا صا

املخترعون جهودهم على تبسيط استخدام اآللة احلاسبة لتكون يف متناول ومل تظهر . اجلميع وجعل نتائجها أكيدة خالية، بوجه عام، من األخطاء

.1820مثرة هذه األحباث إال ابتداء من سنة

نها مل تصنع إال لك1673والواقع أن آلة ليبنيز قد صممت عام ورغم قدرات هذه اآللة، مقارنة مع آلة باسكال، فإا مل . 1694عام

حتظ بأي اهتمام جتاري ومل جتد من يتولى أمر تسويقها، وكانت ثاين مث إن هذه اآللة ). 1704عام (نسخة منها قد صنعت بعد عشر سنوات

. ناعتهامل تشتغل بشكل الئق بسبب تعقيد آلياا اليت أعاقت حسن صذلك أن مستوى الصناعة امليكانيكية مل يرق آنذاك إىل مستوى مقبول من

. الدقة احلسابية

وعلى كل حال فاملؤرخون يرون أن األملاين ليبنيتز هو الذي فتح أي (الباب واسعا، أكثر مما فعله باسكال، أمام تطوير احلساب امليكانيكي


337

تز مصدر سلسلة من االبتكارات ولذا تعترب آلة ليبني). املستخدم لآلالت .يف هذا االجتاه تواصلت حىت مطلع القرن العشرين

ففي مطلع القرن التاسع عشر امليالدي ظهرت آلة حاسبة

مساها صاحبها شارل كسافيي - حجمها كحجم الطاولة -ميكانيكية ) Thomas de Colmar ) 1785-1870توماس دي كوملار

، وصنع 1821وقد ابتكرت عام ". arithmometer" أريتمومتر"ومن املعلوم أن هذه اآللة حتصلت على . نسخة1500منها حوايل

وجاءت بعدها آلة أستاذ . 1855ميدالية ذهبية يف معرض باريس عام ) Babbage) 1792-1871الرياضيات اإلنكليزي شارل باباج

دة يف الذي حاول أن جيعل منها آلة حتل املعادالت وجتري العمليات املعق . التحليل الرياضي

وقد واجهت باباج يف حتقيق حلمه عقبات كثرية، منها أن الوسائل التقنية اليت كانت متوفرة يف ذلك الوقت مل تسمح بصناعة آلة

وتويف باباج ... فائقة التطور رغم سالمة تصميمها من الناحية النظرية على الرغم من دون أن يرى آلته جمسدة يستعملها الناس كما سطر هلا

قد حاولت صناعتها عام Scheutzأن الشركة السويدية شوتز ويرى املؤرخون أن آلة باباج كانت يف الواقع حاسبة تضم كل . 1860

مركبات احلواسيب اليت ظهرت إىل الوجود يف منتصف القرن العشرين خالل السبعينيات من IBMبل يذكر أن ما صنعته شركة آي يب آم ...


338

لعشرين هو إجناز ملشروع آلة باباج اليت صممت يف مطلع القرن القرن ا !! التاسع عشر

وعلى كل احلال فإنه ميكننا القول بأن األفكار األساسية لصناعة اآلالت احلاسبة كانت موجودة يف منتصف القرن التاسع عشر، سيما بعد

الذي ) Boole) 1815- 1864ظهور أعمال اإلنكليزي جورج بول . يعترب أساس احلسابات اليت تقوم ا أية آلة1847با عام نشر كتا

ويعرض هذا املؤلف القوانني األساسية للعمليات الذهنية، وترمجها إىل لغة متكن من أجراء مجيع ) 1 و 0" النظام الثنائي"املعروفة بـ(حسابية

إا لغة . دون سوامها1 و 0العمليات احلسابية واجلربية بالرقمني فكان عمل هذا العامل ... ع اآللة إدراكها بسهولة واستغالهلا تستطي

املنطقي الركيزة النظرية لتصميم كل اآلالت احلسابية اليت أتت بعده، مبا . فيها جهاز احلاسوب املنتشر اليوم عرب أرجاء املعمورة بأعداد ضخمة

وقد كان البتكار بول أثر كبري خالل فترة طويلة لدى الرياضيني .سفة وغريهم من العلماء واملختصنيوالفال

والطريف أن العامل النظري جورج بول حاول صناعة آلة حاسبة ويف عام . وفق تصوره الذي أعجب به الناس، لكنه أخفق يف مشروعه

، املعروف باللورد كلفني Thomson اجتهد وليم تومسون 1879Kelvin) 1824- 1907 (مل السابق الذكر، حماوال االستفادة من ع

جورج بول ومتجنبا العوائق اليت واجهت سابقيه فتمكن من صنع آلة . حتمل امسه


339

لكن هذه اآللة مل تكن يف الواقع آلة حسابية حمضة، بل كانت آلة حتل مسائل رياضية خمتلفة مثل توقع حركة املد واجلزر يف البحار خالل

عالية يف وبطبيعة احلال، فلم تكن هذه اآللة ذات دقة. سنة كاملة عندما 1930حساباا يف أول عهدها، ومل تتوفر فيها هذه الصفة إال عام

. األمريكيIMTمتت صناعتها مبعهد مساشوستس التكنولوجي

تلك هي أهم احملطات اليت مرت ا صناعة اآللة احلاسبة حىت وكانت تلك بداية دامت قرونا قبل أن يعرف . القرن التاسع عشر

. لة قفزة نوعية منقطعة النظري خالل القرن العشرينتصميم هذه اآل

341

مراجعبعض

��، ا��ا��، �� ا��ت، . : خ. � ا� أ. 1�دار ه2005.

دار ا�*(و'��، ا��ا��، ا&�� ا�%��$�، . : خ. � ا� أ. 2

2006. ��34 2��01ة ا�.(�� ا�-�'�ي، . : خ. � ا� أ. 3�دروس

�اه�، .6��9 ا�.��8 و7�6%1 *.6� 7��:.� 9;<�ا�=3 ا� .2004، ا��ا��، ا�%�اش

1. Bourbaki N.: Eléments de Mathématiques, Théorie

de Ensembles, Hermann, Paris, 1964. 2. Bourbaki N.: Eléments de Mathématiques, Algèbre,

Chapitres de 1 à 3, Hermann, Paris, 1964.

3. Bouvier A.: Groupes: Observation, Théorie,Pratique,

Hermann 1997. 4. Calais J.: Eléments de Théorie des Groupes, Puf.,

Paris, 1998.

5. Clark A.: Elements of Abstract Algebra, Dover, N. York, 1984.

342

6. Godement R.: Cours d’Algèbre. Hermann, 1966,

)مترجم إىل العربية، ديوان املطبوعات اجلامعية(

7. Edwards H.M.: Fermat's Last Theorem, Springer

Verlag, Berlin 1977.

8. Querre J. : Cours d’Algèbre, Masson, 1976. 9. Queysanne M. : Premier Cycle et Préparation aux

Grandes Ecoles, Armand Colin, 1969.

10. Van der Waerden B.L. : Modern Algebra, Vol. 1,2,

Berlin 1930, 1931. 11. http://www-history.mcs.st-

andrews.ac.uk/HistTopics/Ring_theory.html

[email protected] - uaemath.com · 8 ﲑﻏ ﺢﻄﺳ ﺔﺣﺎﺴﻣ ﺏﺎﺴﺣ ﻦﻜﻟ...

Documents