Gontrol d¡gital

r 5.r I ceueRALlDADEsEl capítulo l4 se dedicó al desarrollo de la maquinaria matemática necesaria para analizar unsistema de datos muestreados. En este capítulo, esa maquinaria se utiliza para investigar variastécnicas para compensar tal sistema. Existen varias aproximaciones al diseño de compensacióndigital y dentro de cada método varias técnicas de diseño.

Un método consiste en diseñar la compensación en el plano s y luego mapear el compen-sador en el plano z. Las dos técnicas de diseño comúnmente utilizadas en este método son eldiseño del lugar geométrico de las raíces y el diseño de Bode. Se dará un vistazo a ambas téc-nicas. una ventaja de este método es que no se tiene que encontrar Gi,@.

Un segundo método es realizar el diseño en el plano z. En este óaso, es necesario conocerGi,@. Las dos técnicas analizadas bajo este método son el diseño del lugar geométrico de lasraíces y el diseño directo.

Un tercer método, el cual no consideraremos, es mapear del plano z al plano a y realizar eldiseño en el plano a,l.

Antes de continuar con las técnicas de diseño, vale la pena dedicar algo de tiempo paraanalízar algunos mapeos del dominio s al dominio z que están relacionados con el diseño decompensadores. Estos mapeos entran en juego ya sea que el diseño se realice en el plano s o enel plano e.

Todas estas técnicas desarrolladas para compensar sistemas continuos pueden ser aplica-das a sistemas de datos muestreados. Se tendrán que hacer algunas modificaciones en ciertoscasos, pero en general las técnicas son las mismas.

15.2 I nrAnros TMPoRTANTESLas técnicas de diseño del lugar geométrico de las raíces en el plano s del capítulo 7 se concen-traron en dos cifras de mérito; el tiempo para alcanzar el valor pico y el porcentaje de sobrepa-so. Con estas dos cifras de mérito se determinaron los valores de la relación de amortiguación (y la frecuencia natural lr.rr, los dos parámetros de

T¡¡2$\ :s2 +2(ans + (4'

al

Figura l5.l ILíneas de 6 constante ycurvas de alnconstante.

417

418 GAPíTULO 15 Controldigital

Con la selección cuidadosa de los valores de ( y oncasi siempre se satisfacen especificaciones

en el dominio del tiempo para alcanzar el valor pico y el porcentaje de sobrepaso.

En el dominio s, las líneas de relación de amortiguación constante son rayos que parten del ori-

gen, mientras que las curvas que representan a ianson cuartos de círculo, como se muesffa en la figura

15.1. Un primer paso necesario en el diseño digital es enconfar las curvas equivalentes en el plano z.

15.2.1 Líneas decoeficiente de amortiguación constanteLa figura 15.2 muestra las partes real e imaginaria de la variable compleja s expresada en fun-

ción de I de o.tn. Es decir,

s : -ltD, -f janJT-c'

El punto equivalente en el plano z se encuentra aplicando la transformación z: esT para obtener

I : g-lauT "i',,rJt-/

t15.U

Figura r5.2 IComponentes de unalínea de relación deamorti guación constante.

Si en la ecuación [15.1] se fijó {y vaúó @nsetrazará una curva espiral logarítmica, puesto

que la magnitud de zvariará exponencialmente con ú)n, mientras que la fase varía linealmente.

Como se muestra en la figura 15.2, sólo se considera la parte del rayo decoeficiente de amorti-

guación constante entre el origen y el punto donde el rayo corta el borde de la tira primaria. Es

fácil escribir un programa MAILAB corto para trazar las curvas. A continuación, simplemente

aparecen los puntos extremos de las curvas.

Con an: 0 en el punto se inicia un rayo del rango de amortiguación constante.

z: eo :1.El otro extremo del rayo en el plano s toca el borde de la tira primaria. En el punto de intersección

o, de forma equivalente,

a)n :r {1:e'

Por consiguiente

, - r-trrlrJr-pr¡nr"/4trJQ - r-e"/J4r¡".Por tanto, z es un vector de longitud

,-e"lJr-*y ángulo de 180'. Observe que mientras más grande es { más corta es la longitud del vector.

7(

Tan

Im(s)

@d: @rtf-

15.2 Mapeos importantes

Las curvas espirales logarítmicas que conectan los puntos extremos de las curvas con ( -0.1,0.2,..., 0.9 en incrementos de 0.1 se muestran en la figura 15.3a.

15.2.2 Gurvas de otn constantePara encontrar las curvas de a, constante se utiliza de nuevo la transformación e,7, pero estavez se fijó ory varió (. Se acostumbra

ktA-:

--" l0r

Entonces

I : ¿-{krT¡rcr ri*rrrJQIrcT - "-lkttltTrik"$i¡rc.

419

k:1,2,...,10.

k:1,2,...,10.

ÍLs.21

Se puede lutllizar la ecuación 115.2) paratrazaf las curvas de an constante manteniendo rrr,constante y variando ( entre cero y uno. Nuestra táctica es la misma utilizada para las líneas derelación de amortiguación constante: aparecen los puntos extremos de las curvas, y se desarro-lla un programa MATLAB paralocalizar los puntos con valores de ( entre cero y uno.

Cuando (: 0, que corresponde a s - ikill0,

, _ rorikrJT=G/10 _ riknl1o.

En este caso, z es un vector de longitud uno y ángulo krll0 rad. Por tanto, todas las curvas derll,? constante se originan en el círculo unitario a los ángulos

180"kx_:kxl8.t0

Figura r5.3 |Curvas de a) l constantey b) a,constante.

0

-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0

a)

0.2 0.4

0

b\

-0.8 -0.6 -0.4 -0.2

42l¡

Figura 15.4 IUbicaciones de polos

deseados en a) el Planos y b) el plano z.

- 18o, I:ru.,3n10 - 54o, ...,rt : 180o.

caPíTuLo l5 controldigital

En el otro extremo de cada una de estas curvas, I : 1, y

Z _ e-k¡rTltor rikrrJt-t/rcr _ r-ktr/|o k : 1,2, ..., lo.Estos puntos quedan en el eje real positivo en el plano z. Mientras más pequeña es ft, más

grande ""

,-ktllo.Las curvas que conectan estos puntos extremos se muestran en la figura 15 .3b. Las curvas

muestran una distorsión creciente conforme k se incrementa. Con k: 1, la curva se aproxima

mucho aun cuarto de círculo con centro errz:1. Las curvas con k:2y k:3 conservan la

forma general de un cuarto de círculo, pero para ft > 3, no.

En la figura las líneas de ar, constante están identificadas como

T 7t 3tt 7t

i' 5T' lor'"''T'para indicar el valor de a.r, que corresponde a cada curva. Como se señaló, Ia curva termina a ángulos

7f

mEn algunos textos, las curvas de anconstante están identificadas con estos ángulos. Se uti-

liza KrtlóTpara denotar estas curvas para recordar que la frecuencia Knll0T asociada con la

curva cambia con la tasa de muestreo.

Al combinar las curvas de ( constante! anconstante se localizan puntos en el plano z con cual-

quier combinación deseada de relación de amoniguación y frecuencia natural' Por ejemplo' conside-

."*or la figura 15.Aa.En este capítulo, las ubicaciones de los polos en el plano s con relaciones de

amortiguación entre 0.6 y 0.9, y frecuencias naturales enne rll0T y 3trlllT, se encuentran en el área

sombreada. Los polos correspondientes en el plano z se muestran en la figura 15.4b. El mapeo pro-

voca algo de distorsión, pero la forma general de las dos áreas sombreadas sigue siendo similar.

0

b\

Im(s)

-0.6 -o.4 -0.2 0.4 0.6

15.2 Mapeos importantes

Las curvas de ( constante no dependen de 7, pero las curvas de o4constante sí. Por tanto,la frecuencia natural de un polo en la región sombreada dependerá de la tasa de muestreo. Porejemplo, con una tasa de muestreo de 10 Hz, los polos en la región sombreada tendrán frecuen-cias naturales entre 0.5 y 1.5 Hz, o entre un décimo y tres décimos de la frecuencia máxima quepuede ser muestreada sin que se vuelvan indistinguibles (aliasing), o sea, 5 Hz. Las frecuenciasequivalentes en radianes son z radls y 3r radls. Por otra parte, si la tasa de muestreo es de 100Hz los polos en la misma región tendrán frecuencias naturales entre 5 y 15 Hz.

15.2.3 Mapeo bilinealEn la sección 15.2.3 se mapearon líneas de I y úd,, constantes del plano s al plano z por mediodel mapeo z: esT. Éste es el mapeo utilizado en ei-capítulo 14 para mapear los polos de la plan-ta del plano s al plano z. También se utiliza este mapeo para determinar la ubicación deseada delos polos dominantes de la función de transferencia delazo cerrado. A continuación se investi-ga el primero de dos mapeos alternativos que puede ser utilizado para mapear compensadoresdel plano s al plano z.

Los compensadores pueden ser mapeados del plano s al plano z de diversas maneras. Estoes bastante diferente del mapeo de Go,la función de transferencia de planta, del plano s al pla-no z. En el caso de G, se utilizó la tránsformada de escalón invariante para modelar con exacti-tud el efecto de la retención de grado cero y los polos de Gr(s) mapeados del plano s al plano zconZ: esT.

Para compensadores no existe tal restricción en la selección del mapeo. El compensador esla creación del diseñador, cuyo propósito es colocar los polos delazo cerrado en lugares apro-piados. Por tanto, la única restricción real en la selección de un mapeo es que los polos establesen el plano s deberán mapearse como polos estables en el plano z.

El mapeo

az-l'- i r+l

recibe el nombre de mapeo bilineal y constituye una opción frecuentemente utilizada para ma-pear compensadores del plano s al plano z.La opción usual para a es 2. Con esta opción de a,el mapeo bilineal es el inverso de la reglatrapezoidal para integración numérica, a menudo lla-mado método de Tustin.

Para ver cómo se mapean los puntos del plano s al plano z con arreglo al mapeo bilineal,se utiliza el mapeo inverso

s -l2lTs -2lT

Se considera un punto s : o -l ja; donde -oo < a-l < oo. Entonces

o*ja+2/r @+2/T)+jr,totja-2/T (o-2/T)-rja

Se observa que si o < 0,

427

V.?lI 2l

'1" - 71'

(of2/T)+ja(o-2/T)+jo

(o -12/T) + jo¡

lzl: <1.

Por otra parte, si o > 0,

lzl: (o - 2/T) -t jt¡ >1.

422

Figura r5.5 |Contribuciones de ánguloazconformeamapeobilineal.

GaPíTULO l5 Control digital

Por tanto, la parte de la tira primaria a la izquierda del origen del plano s se mapea en el

interior del círculo unitario, la parte de tira primaria a la derecha del origen se mapea en la re-

gión afuera del círculo unitario y el eje imaginario en el plano s se mapea en el círculo unitario

en el plano z. Esto significa que el mapeo bilineal es útil en el sentido de que mapea polos esta-

bles en el plano s a polos estables en el plano z.

Se puede obtener alguna información adicional sobre la nafuraleza del mapeo bilineal

&: 180" +

Lafigural5.5amuestraelcasoenqueo<0ylol <2lTylafigural5.5belcasoenqueo<0y lol > 2lT.

Re(s)

Esto quizá valga para obtener los puntos de dos vectores en el eje imaginario, se dibuja ca-

da vector con esta deiivación en el negativo de la parte real del vector. Ésta es exactamente la

tácticausada en el lugar delaraíz analizada cuando se representa un componente s * a del la-

zo delafunción transferida por un vector dibujado desde -a a s.

Se considera primero lol < 2lT. Con a¡ : 0,

^ I l::"ii: _i,,":0".

Portanto,cono<0y¿¿:0,zesunpuntoenelintervalo(0, 1)enelplanoz.Sioyalsonce-ro, entonces Z: 1.

Si ahora se incrementa a.¡ mientras se mantiene o constante,

lím l<:lrl-) OO

180"+límfi-lím02a--+@ @_+@

190"+90"-90"

I 80'.

Esto significa que una línea vertical que pasa por o en la mitad izquierda del plano s se ma-

pea como una curva cerrada adentro del círculo unitario en el plano z, como se muestra en la

figura 15.6.

En la figura se observa que cuando se incrementa a.¡ desde valores muy pequeños a valores

más grandes l(o * 2lT) + ja I se incrementa más rápido que l(o - zlf ) + jt.,¡l- Por consiguien-

te, la curva tiene la forma de corazón mostrada.

La situación es similar en el caso o < 0 y lol > 2lT, excepto que el mapeo de una línea

vertical que pasa por o queda enteramente a la izquierda del eje imaginario en el plano z.

Para ver esto se tiene que con ¿-r : 0,

b)a)

Im(s) Im(s)

k - 180" -f ü - 0z: 180" + 180' - 180" : 180'.

15.2 Mapeos importantes

Además

]y¿ k: 180o + fím e, - ]9e,: 180o + 90' - 90'

: 180'.

Por consiguiente, el mapeo de una línea vertical que empieza en .r : o * j0 y termina en s :o + j@ nunca cruza el eje imaginario, como se muestra en la figura 15.6.

Una importante diferencia entre el mapeo bilineal y el mapeo z: esr es que el mapeo bili-neal ocupa todala mitad izquierda del plano s en el círculo unitario uno a uno. Esto es bastantediferente del mapeo Z : esT, el cual es uno a uno sólo en tiras de 2n /T de ancho en el plano s.

El mapeo bilineal se utiliza con frecuencia para mapear un compensador de plano s al plano z,

como se muestra mediante el ejemplo siguiente.

Im(s) Im(z)

Círculo unitario

423

Figura r5.6 IMapeo de una líneavertical del plano s alplano z.

ffi

\.1

\IItl

¡l-/ a'

II

t"---*-

Considere la función de transferencia en el plano s

G(s):, '01:f ') ,.' (s+ bXs+ c)'

Entonces,G(z) : G(t)1._.,_,

'- T z+1

10(s+ a)

(s+ bxs+ c) l^ ,.-,'§=7 =f

10t(2/ DIG- 1)/(z+ 1)l + a) (z+ 1)2

(z+ 1YlQl DIQ - 1) /(z+ 1)l + bllQ/ DIQ - 1) /(z+ 1)l + c)

10U2/T)z- 2/ T + a(z+ 1)l(z+ 1)

1ol(2/r + a)z- (2/r - a)lQ+ 1)

lQlr -t b)z- e/r - b)llQ/r + c)z- Qlr - c)l'Aquí se incluyen algunos detalles para recalcar varios puntos. En primer lugar, al exami-

nar la última expresión, se podría escribir mediante inspección. En segundo lugar, G(z)tienedos polos y dos ceros, mientras que G(s)tiene dos polos y un cero. Un examen minucioso deldesarrollo anterior muestra que cuando se utiliza el mapeo bilineal G(z) siempre tendrá tantosceros como polos. En tercer lugar, G(s) y G(z) tienen la misma ganancia de cd.

A continuación se considera el mapeo ad hoc del plano s al plano z. AsÍ que se compa-ran los mapeos bilineal y ad hoc, con f :0.1, a:2, b:1, c:4, entonces

101(210.1 * 2)z- (2/0.1 - 2)l(z+ 1)

[(2/o.1 * 1)z* (2/0.1 - 1)]l(210.1 + 4)z- (210.1 - 4)l

0.4365(z- 0.81 B2)(z+ 1 )

(zW

G(z) :

424 CAPíTULO 15 Control digital

15.2.4 Mapeo ad hoc (polos/ceroslOtra transformación utilizada a menudo para mapear un compensador del plano s al plano z es

la llamada transformación ad hoc, o de polos/ceros, descrita mediante el siguiente algoritmo:

1. Trasladar todos los polos del plano s al plano z con z: e'7.

2. Trasladar todos los ceros finitos mediante z : esT.

3. Si la función de transferencia en el plano s tiene ceros en el infinito, colocar un cero en z: 0 por cada cero en el infinito.

4. Seleccionar una ganancia G(z) de modo que

lG(s)l l,=;,, : lG(z)l lz:e¡.r.

Una opción común es ú) : 0, opción que funciona a menos que G(s) tenga uno o más po-los en s : 0. En el último caso, se debe usar una frecuencia diferente de cero.

ffiConsidere de nuevo la función de transferencia en el plano s.

G(s) : , 'o!:,*') ., ,(s+ 1Xs+ 4)'

y sea f :0.1 s. Como se vio con anterioridad, el número de ceros en el infinito es igual alexceso de polos sobre ceros finitos, así que en este caso G(s) tiene un cero en el infinito.Entonces

G(z): Kz(z- s-zr¡ K z(z- 0.8187)(r- e-r)e-;"\ | : (z- oeo4exz- 06?03)

lr=o.r

Se utiliza Kpara igualar la ganancia de cd de G(z) con respecto a la de G(s). Para G(z) la ga-nancia de cd es

K(0.1813) :5.78K.(0.0e52x0.32e7)

La ganancia de cd de G(s) es 5. Por tanto, lograr una ganancia de cd de 5.0 significa que

t G (z)n,:. : lU##_)r|,._, :

K : ;TB:0.8654.

Con esta selección de K

G(z) : O.86542(z- 0.8187)(z- 0.9048X2- 0.6703)'

El compensador ad hoc es similar a la función de transferencia antes derivada mediantemapeo bilineal. La diferencia principal es que la función de transferencia obtenida con el ma-peo bilineal tiene un cero afi Z: -1, mientras que la función de transferencia obtenida con elmétodo ad hoc tiene un cero en Z:0. Si se colocaran los ceros en el infinitoen z: -1 enel método ad hoc, entonces habría muy poca diferencia entre las funciones de transferencia.En realidad, muchos diseñadores hacen exactamente eso, en cuyo caso las funciones de trans-ferencia derivadas con los dos métodos son virtualmente indistinguibles con f < 0.1 .

15.3 I OrSrÑO EN EL PLANO sUn método para compensar un sistema de datos muestreados es diseñar el compensador en elplano s y luego transferirlo al plano z por medio de mapeo bilineal o el procedimiento ad hocanalizado en el ejemplo 15.2.2. Una pregunta natural que surge al respecto es cómo tener en

15.3 Diseño en el plano s

cuenta el efecto del convertidor digital a analógico (DAC) diseñado como retención de ordencero. La retención de orden cero está presente en el sistema de datos muestreados, pero no enel sistema analógico.

Es suficientemente fácil incluir el efecto de la retención de orden cero tanto en el diseñode Bode como en el diseño del lugar geométrico de las raíces. Se analizan ambas técnicas y re-sulta, como en los sistemas continuos, que el método de diseño de Bode es superior.

15.3.1 Diseño del lugar geométrico de las faícesLa manera más fácil de entender cómo impacta el retenedor de orden cero el diseño del com-pensador en el plano s es mediante un ejemplo. En el ejemplo 15.3.1, primero se realiza el di-seño omitiendo el efecto del retenedor de orden cero, y luego rehaciendo el diseño para incluirestos efectos. Como se observa, es posible que se ignore el efecto del retenedor de orden cero,si la tasa de muestreo es suficientemente alta.

425

ffiConsidere el sistema de datos muestreados mostrado en la figura 15.7. Sea

Gr(s) : *+,c(sr Figura f 5.7 I

Sistema de datosmuestreados.

Si desea diseñar un compensador que satisfaga estas especificaciones simples:

1. tra;15s.2. Porcentaje de sobrepaso de menos de 20%.

Al mantener el sobrepaso por debajo de 2O"/o se obtiene un tiempo de asentamiento aceptable.El primer paso es realizar un diseño estándar en el plano s, basado en la configuración

de retroalimentación unitaria de la figura 15.8. El tiempo deseado para alcanzar el valor picose puede lograr eligiendo una frecuencia amortiguada suficientemente grande. Es decir,

:2.09 --> 2.

Al efectuarse la selección conservadorabajo de 20%.

C: 1l\/2 deberá mantenerse el sobrepaso por de-

Si el cero del compensador por adelanto se coloca eñ s: -2, entonces el proceso de di-seño prosigue a lo largo de las líneas discutidas muchas veces en capítulos previos. Como semuestra en la figura 15.9, el polo del compensador por adelanto queda determinado si se sa-tisface la condición de ángulo con s : -2 + j2.Es decir, con s: -2 + /2, debemos tener

7t 7f

tp 1.5

c(s)R(s) Figura r5.8 IDiagrama de bloquesen el plano s.

Ccmo a, 0ty 0, son conocidos,

a-0t-02-ás:-180'.

0s : o¿ + 180" - 01 - 02 : 18.43'

b:2+-J-:r.tan 18.43

Entonces, por la figura 15.9,

42l¡

Figura r5.9 IRepresentación vectorialde G"Gr.

CAPíTULO l5 Control digital

La ganancia necesaria para colocar los polos de lazo cerrado eñ s : -2 L i2 es

K": I

- 20,lslls+ l lls+ bl

ls+ 2lI s =-z+ ¡z

y el compensador por adelanto es

n _20(s+2)-": s+8 '

El siguiente paso es la selección de una tasa de muestreo. Existen varias reglas empíri-cas para seleccionar una tasa de muestreo. En el curso de este capítulo, se utilizan varias re-

glas empíricas diferentes para determinar la frecuencia de muestreo. También se investiga demanera informal el efecto de diferentes tasas de muestreo en el desempeño de lazo cerrado.Se puede muestrear a una tasa bastante baja y aun así conseguir un buen desempeño.

En este ejemplo se inicia con una regla empírica común, o sea, se necesitan 10 muestraspor ciclo de salida. Como la frecuencia amortiguada a la cual el sistema de lazo cerrado osci-lará es de 2 radls, esto da una tasa de muestreo de 20 rad/s o 3.18 Hz. Entonces el periodo

entre muestras f es

7 : '1- :0.314s.3.18

Ésta es una tasa de muestreo muy lenta y aun cuando una tasa de muestreo así de lenta po-

dría funcionar se elige por incrementarla a 10 Hz.

Después de seleccionar la tasa de muestreo, se mapea el compensador G"(s) en el plano

z con el mapeo bilineal. Por tanto,

15.71(z- 0.8182)

z- O.42BG

La gananciade G"(z) es aproximadamente de7B"/" de la ganancia G"(s)y el polo y el cero en

el plano ztienen las mismas ubicaciones relativas con respeclo a z: 1 que el polo y ceroen el plano s tienen con respecto a s : 0.

Es un ejercicio útil a estas alturas irazar el lugar geométrico de las raíces del sistema com-pensado en el plano z. Paralrazar el lugar geométrico de las raíces en el plano z, debe cono-cerse GIQ). En muchos casos, G;(z) se puede obtener con una tabla de transformadas z. Si

G[Q) nó puede ser encontráda en una tabla, entonces puede determinarse a partir Oe Gr(s),como se muestra aquí.

El primer paso es encontrar

%*(s) : eP::rGh:;1*,La expansión en fracciones parciales de Y","(s) es

1111sr6+D -+s+1'

G"(z):[t#1 ,"_..,_,:

Im(s)

15.3 Diseño en el plano s 427

Si aplicamos la transformada inversa de Laplace se obtiene

%*(f) :[r-1+e-f]l(¿),

Y

y*"(kT) : lkT - 1 + e-kr)1(kT).

Al aplicar la transformada de Z se obtiene entonces

zl(T + e-r - 1)z+ (1 - e-r - Te-r)l(z- 1)z(z- ¿-r)

Por último, si eliminamos la entrada escalón se obtiene

Tz z zY"""(z) :

1r1¡, z_ 1 * ,_ *,

__l T ,z-1-(z-¿-r¡- 'l1z- ty - 1z- t¡p- " 1

Gr(z) =

Aun cuando el ejercicio que se acaba de terminar vale la pena hacerlo una vez, MATLABdispone de un "toolbox" que hace innecesario encontrar G;(z) a mano. Este ejercicio princi-palmente ilustra cómo encontrar la transformación escalón invariante.

Con la tasa de muestreo seleccionada de 10 Hz.

0.004837(z+ 0.9672)Gr(z): (zJ xz- o.904g) ,

y la función de transferencia de lazo cerrado es

T"(z) : 0.O7 60( z - O.B1 82) ( z + 0.967 2)

(z- 0.6652)(z- 0.7961 - j0.1991X2- 0.7961 + t0.1991) '

La respuesta en el tiempo a una entrada escalón unitaria es

c(kT): [1 + 0.9988e-a'08¿ + 1.9988 e-1e77t cos(2.451f - 3.134)]1(kD.

Vale la pena señalar que las ubicaciones reales de los polos de lazo cerrado no son lasque resultan del mapeo s: -2 t j2en el plano zcon z: esr. Con el mapeo z- esr los polosde lazo cerrado dominantes estarían en

z - ee2+jz)r : 0.8024 + j0.1627.

Larazón de esta discrepancia es que el compensador inicialmente fue diseñado en el planos, ignorando los efectos del retenedor de orden cero, y luego transferido al plano z con un ma-peo diferente, a saber, el mapeo bilineal.

El lugar geométrico de las raíces se muestra en la f igura 15.10. Los polos dominantes rea-les quedan cerca de la línea de relación de amortiguación constante (: 0.6, donde los polosdominantes en el plano s están en la línea de relación de amortiguación constante 4 : 0.7. Alobservar la figura, el eje vertical pasa pot Z: 1, y no por z: 0.

La respuesta escalón unitaria del sistema de datos muestreados completo, es decir, elproceso continuo controlado por un compensador digital, como se muestra en la figura15.11, casi satisface las especificaciones establecidas. Por tanto, se ha demostrado que noes perjudicial ignorar los efectos de la retención de grado cero, por lo menos en este ejemplo.

Se repite el diseño, esta vez teniendo en cuenta la contribución al ángulo del retenedorde orden cero. El lector alerta se preguntarápor qué se toma en cuenta la contribución al án-gulo del retenedor pero no la contribución a la magnitud. Este tema se trata en breve.

42f¡

Fisura rs.rO ILugar geométrico deraícescon0<K<0.08,ejemplo 15.3.1 .

Figura f 5.rr IRespuestas escalónunitarias, ejemplo 15.3.1 .

GAPíTULO l5 Conrrol digital

2

Tiempo en segundos

Si se incorpora el ángulo de la retención de grado cero en nuestro cálculo del ángulo netoG"Gr(s) con s - -2 +72, entonces

1.4

t.2

I

0.8

0.6

0.4

0.2

0

t.l _ a0.za- jO.2

0s: a + 180" -e1-er+ /#-I _2+ i2: 90" + 1BO" - (180 - tan-l 1) - (180 - tan-12) - 5.91"

-10tra- tL.J .

Con la figura 15.9, se calcula

A_ r) t 2 _ n',u- L-T 1¿¡ 125 - "'

Polos de lazo cerrado reales

O No corregida discreta

No corregida continua

A Corregida discreta

Corregida continua

15.3 Diseño en el plano s

La ganancia necesaria para colocar los polos de lazo cerrado efl s: -2 t j2 es

f tslls+ l lts+ 11il^ -l

_t" L ls+ 2l \,=_r*¡,:29.2 --+ 29,

y el compensador por adelanto es

G"(z):'n-(?::)' s+11

Este compensador es un poco diferente del encontrao con anterioridad.A continuación se utiliza el mapeo bilineal para encontrar

G"(z):[eee".l t"=zofl

20.6(z - 0.8182)

429

z- O.29O3

La función de transferencia de lazo cerrado es entonces

T"(z) : 0.0996( z - O.81 82)( z + O.967 2)

(z- 0.5381)(z-0.7787 - j0.1678)(z-0.7787 + jo.1678)'

La respuesta de tiempo a una entrada escalón unitaria es

c(kT ) : [1 + 1.0562e-6 1e7t + 2.2025e-2'274t cos(2.1 22t - 2.775)]1(kT).

La relación de amortiguación de los polos dominantes mejoró, lo mismo que el desempeño,como se muestra en la figura 15.1 1 . Se observa en breve que el impacto del retenedor de or-den cero en el diseño depende de la frecuencia de muestreo. Mientras más alta es la frecuen-cia menor es el impacto.

En el ejemplo 15.3.1 no se ajustó la ganancia del compensador conforme con la magnituddel retenedor de orden cero. Esto habría provocado una diferencia significativa en la gananciapuesto que

1 _ ,-0.1s I

I :0'll's lls=_2+j2

El ajuste de la ganancia del compensador de la retención de grado cero habría incrementado laganancia por casi un factor de 10 y la respuesta habría sido muy oscilatoria. Larazón de queeste ajuste de ganancia no se hizo tiene que ver con el proceso total de muestreo y reconstruc-ción de una señal. Un análisis de este proceso se incluye en la discusión del diseño de Bode,considerado a continuación. En esta discusión, se demostró por qué no quedó incluida la mag-nitud del retenedor de orden cero en el cálculo de la ganancia. También se observa por qué, conuna tasa de muestreo de 10 Hz, los efectos del retenedor de orden cero en el ejemplo 15.3.1 fue-ron mínimos.

15.3.2 Diseño de BodeOtro método para diseñar un compensador digital en el dominio s es el método de Bode. Al di-señar compensadores que finalmente serán transferidos al plano z, el método de Bode tiene ven-tajas, ya que proporciona un medio para seleccionar una tasa de muestreo adecuada y por lafacilidad con que considera el efecto del retenedor de orden cero.

430

Fisura r5.r2 |X*(lr) cuando x(f) esbanda limitada.

| - ¿-)'rGzouUa):

-

l0)2r-iar12 ¡:- ,- |

CAPíTULO l5 Conrrol digiral

Para ver por qué es fácil incluir el retenedor de orden cero en el método de Bode se considera

")oT/2 - , - joT /21

-l2j

_'t- , "-iar/z

lsen@r lD]I arl2 l

_'r- ,

"-jaT/'"in"'T 2

En sistemas de datos muestreados, la frecuencia máxima que puede ser muestreada sin ali-zamiento es ú)r: nlT.Por lo tanto

/2tt T\ senzsinc(7r):__0.Entonces sinc(roZ) es un número real positivo con -2n lT < o < 2tt lT. Como la frecuenciamás alta posible muestreada es rf T, para cualquier frecuencia de interés sinc@tTl2) ciertamen-

te será un número positivo. Por consiguiente, la fase de Gror(iat) es -aT/2. Puesto que

Gzor¡ a)G,G oQ at) : lGzos} ot)llG,G p(¡ r¡l lÉ.]ljr). - + ,

el ajuste de la fase es directo. Simplemente se agrega -atTl2 a la fase de GrGr(iuo).

A continuación se determina lo que se debería hacer con respecto a la magnitud

u¡TT sinc ,

del retenedor de orden cero. Parte de la respuesta a esa pregunta se encuentra en la figura 14.10,la cual cataloga todos los mapeos analizados.

De particular importancia es el mapeo de X(s) a X*(s) víala convolución en el plano s de

X(s) con L{6rG)}. Aunque no se efectúe la integración de contorno el resultado de esa integra-ción es

X*(s) : t15.3I

Según la ecuación t15.31 X*(s) se compone de X(s) y la suma de un número contablemente in-finito de repeticiones desplazadas de X(s) con las repeticiones centradas a intervalos de 2tt lT,como se muestra en la figura 15.12.

En la figura 15.12,la transformada de X*(jr,¡) es de banda limitada al intervalo -iT lT <ot < tf T. Si éste no es el caso, entonces la transformada se verá como la de la figura 15.13. Éste

es el fenómeno de aparición de alizamiento, la confusión de las altas frecuencias con las bajas

frecuencias. Obviamente esto es indeseable. Una forma de evitar el alizamiento de alias es pa-

sar x(r) a través de un filtro pasa bajas de modo que la banda se limite al rango de frecuencia

-rtlT<a<rfT.

t{x(t)6r(t)l: +_¿, (,k2tt\* r)

x*( j¿¿)

de

x*(jr)

15.3 Diseño en el plano s

-2¡r/T -¡r/T ¡r/T 2¡/TFrecuencia en radianes/segundo

Una característica fundamental de la ecuación t15.31 es el factor escalar I/7. Si se exami-na el filtro de reconstrucción ideal mostrado en la figura 15.I4, se observa una ganancia de T.Por tanto, la ganancia del filtro de reconstrucción es la inversa de la ganancia del muestreador,lo que da una ganancia neta a causa del muestreo y reconstrucción de uno.

Desde luego, el filtro de reconstrucción ideal no es realizable. En el caso presente, se reem-plaza el filtro de reconstrucción ideal con

7rir"'T .2

La ganancia neta del muestreo a partir de la reconstrucción al tomar el orden cero no es uno,pero

,ir.91 .2

En la figura 15.14 se comparó el filtro de reconstrucción ideal con 7 sinc(atTl2). Si bien tamagnitud de la función sinc no es plana en el intervalo -r/T < a < t/7, el "roll off'no estan malo, en especial si resulta muestreada a una tasa suficientemente alta. Por ejemplo, imagí-nese que la tasa de muestreo es cinco veces 1a frecuencia más alta que esperamos en la salidadel sistema delazo cerrado compensado. Entonces

431

Figura r5.r3 IX(jr) cuando x(f) no esde banda limitada.

Fisura r5.r4 IComparación de filtrosde reconstrucción idealesy sincronizados.

slnc

Como por lo general quedó muestreada a una tasa de por lo menos cinco veces la frecuenciamás alta esperada, T sinc(roT12) es una buena aproximación al filtro de reconstrucción ideal.Esto explica por qué no se corrigió para la magnitud del retenedor de orden cero en el diseñodel lugar geométrico de las raíces del ejemplo 15.3.1.

Después de completar el análisis del impacto de la retención de grado cero en el desempe-ño del sistema de lazo cerrado, ahora se desarrolla una estrategia de diseño de Bode modificadaque tiene en cuenta el ángulo del retenedor de orden cero.

t(#) (;)l7r:sinc-:0.98.10

0.8r

0.67

0.47

0.27

432 CAPíTULO f 5 Controldigital

1. Realizar un diseño de Bode con Gr(ia) basado en un margen de fase que exceda el mar-

gen de fase deseado en una cantidad dada.

2. Utilizar el margen de fase excedente L,Q para determinar la tasa de muestreo utilizando la

ecuación

T_ 2 x LQ (en radianes) r x L,Q (en grados)

ú)c 90o4

3. Iterar cuanto sea necesario, hasta tener un T, ary margen de fase satisfactorios.

Como se observa, este procedimiento brinda una buena cantidad de libertad para lograr

tanto un margen de fase satisfactorio como una frecuencia de muestreo adecuada. Como siem-

pre, estas ideas se ilustran mejor con un ejemplo.

Considere de nuevo el slstema mostrado en la figura 15.8 y sea

Gr(s): ,GhSe diseña G"(z) con el método de Bode en el plano s, teniendo en cuenta la contribución a lafase negativa de la retención de grado cero y luego mapeando el compensador del plano s al

plano zcon uno de los mapeos analizados con anterioridad. Las especificaciones de desem-peño son

1. Tasa de muestreo de 20 Hz.

2. K, > 100.

3. W#, < o.o2 con @ < 'l radls.

4. lC( j.)l < 0.1 con r,¡ > 100 radls.lR( ir'¿\l

5. Frecuencia de cruce a;" de por lo menos 10 rad/s.

6. Margen de fase de por lo menos 50o.

Se desea que el compensador tenga dos polos y dos ceros.

Fisura I ts.tsDiseños de Bodede prueba.

15.3 Diseño en el plano s

En este ejemplo, la tasa de muestreo deseada es de 20 Hz. Por tanto, el objetivo es satis-facer las especificaciones con esa tasa de muestreo. Como se observa en el análisis, será ne-cesario elevar la tasa de muestreo un poco para satisfacer las especificaciones, o decidirsepor un diseño que no satisfaga muy bien las especificaciones.

El sistema es tipo 1 con retroalimentación unitaria y la especificación de exactitud de es-tado permanente demanda un error de estado permanente cero ante una entrada escalón yun error finito ante una entrada rampa. Esto significa que el tipo del sistema no cambiará y elcompensador será deltipo por adelanto/atraso. La figura'15.'15 muestra cuatro diseños. Sesupone que, a estas alturas, el lector está familiarizado con la técnica de diseño de Bode pre-sentada en el capítulo 11,

El margen de fase aceptable mínimo es de 5O'. La contribución a la fase negativa de laretención de grado cero a la frecuencia de cruce donde se mide el margen de fase es

q: _r;T ,aa.

Como la frecuencia de muestreo inicialmente se fijó en 20 Hz,la contribución a la fase negati-va en grados es

«r^ x 0.05 180'0:- Z " n --1.432o".

A continuaciÓn se comparan los cuatro diseños presentados en la figura 1S.1S.É,il pnmer otseno,

G"G,100(1 + s/5)

s(1+s/0.5X1+s/100)'

apenas satisface la frecuencia de cruce mínima de 10 rad/s. La fase en la frecuencia crucees entonces

/G,Gp(i10): tan-l T - rO" - tan-' 3 - tun-' *:63.4. jro"

- 87.1" - s:;: 1oo

- _1100

y el margen de fase resultante no ajustado es de 6'1o.La contribución a la fase negativa de la retención de grado es

ózoa: -'10 x 0.05 x 28.65: -14.

Entonces, tomando en cuenta la fase negativa del retenedor de orden cero, el margen de faseefectivo en el cruce es

Ór:61o - 14o:47"

o 3o menos del margen de fase mínimo especificado.Al repetir este análisis para los tres diseños restantes generamos la tabla 15.1. De los di-

seños considerados, ninguno satisface la especificación, pero el primer sistema investigadose aproxima, y para ese sistema

G"(s) : 250(s+ 4Xs+ 5)(s+ 0.5)(s+ 100)

Vale la pena señalar que si bien ninguno de los compensadores tuvo un margen de faseefectivo que satisficiera las especificaciones de una tasa de muestreo de 20 Hz, los cuatrocompensadores podrían satisfacer la especificación si se incrementa la tasa de muestreo.

Por ejemplo, en el caso del sistema 2hay'16" de margen de fase excedente con lo quese puede manipular. Se puede lograr un margen efectivo de 50'si se requiere que

433

.=ffi:0.0372s,

434 CAPíTULO l5 Control digital

o

frr""t, :26.9 Hz.

Tasas de muestreo razonablemente convenientes próximas a esta frecuencia son 25 y 32

Hz (con estas dos f recuencias es fácil trabajar con f de 0.04 o 0.03125). Con f ,: 25 Hz, el

margendefaseseráapenasunpocomenorque50'yconfs:32Hzapenasunpocomayorque 50o.

En este momento, se acepta un diseño cuyo margen de fase se quede corto por unos

cuantos grados del especificado o Incrementar la tasa de muestreo para disminuir el impacto

de la retención de grado cero y alcanzar el margen de fase especificado. Si la opciÓn es per-

manecer con la tasa de muestreo de 20 Hz, entonces el diseño 1 es claramente la mejor op-

ción. En este caso, al aplicar el mapeo bilineal a G"(s) se obtiene

Tabla f 5.f I Margen de fase efectivo de cuatro sistemasdel ejemplo 15.3.2.

1

_T

100(1 + s/5)§f +EoOF +?T001

100(1 + s/3.5)Ffi-+j0-5XITE6-O

100(1 + s/2.5)s(1-+slo.5Jrire

100(1 + s/2)sfT dOrOF-+ s/4ol

47"

450

.f.)

1go

610

65"

62"

55

-14"

-20"

-2go

-36'

G"(z) : 87 .3( z - 0.8182)(z - 0.777 B)

(z- 0.9753)(z+o.429o)

Con el mapeo bilineal uno de los polos queda a la izquierda del origen afi Z: -0.4286.Por otra parte, con el método ad hoc,

G"(z) : K(z - 0.8187)(z - o.7778)( z - o.97 53)(z - 0.0067 4)

Para el compensad or ad hoc,la ganancia K se determina equiparando la magnitud de los

compensadores digital y analógico a una frecuencia particular. Una opciÓn comÚn es equipa-

rar las ganancias de cd. Para esta opciÓn

G"(z:1): K(l - 0.8187X1 -0.7788) : 1.6350K.(1 - 0.e753)(1 - 0.00674)

Como

se tlene

para obtener

tím G^(s) - '', zso(-st 4xs+-?) : 1oo,

"-o (s+ 0.5Xs+ 100)

n: ;ffi :61 2,

61 .2(z - 0.8187)(z - o.77 BB)G":( z - 0.97 53)(z - 0.0067 a)

Éste es similar al compensador obtenido con el mapeo bilineal. La diferencia principal es

el mapeo del polo efl s: -100. La respuesta escalón del sistema de datos muestreados con el

compensador ad hoc se muestra en la figura 15.16. Como se observa, el sobrepaso es sus-

tancial, debido en parte al relativamente pequeño margen de fase.

15.4 Diseño en el plano z 435

Figura I ts.reRespuesta escalónde sistema de datosmuestreados en elejemplo 15.3.2.

0.6 0.8 | 1.2 1.4

Tiempo en segundos

15.4 I OlSeÑO EN EL PLANO zEn esta sección se diseña en el plano z.Paraello, se debe encontrar G',(z). Con los paquetes desoftware disponibles hoy día esto es un problema mucho menor de ló que era incluso hace 20años. Por tanto, las técnicas presentadas aquí son una alternativa viable a las de la última sección.

Se consideran dos métodos de diseño. En el primero simplemente se utilizan las técnicasdel lugar geométrico de las raíces desarrolladas en el capítulo 7. El segundo se llama diseño di-recto. Para el diseño directo se especifica la función de transferencia de lazo cenado en el pla-no z. Entonces el compensador puede encontrarse mediante álgebra simple.

El diseño directo es diferente de las técnicas de diseño consideradas hasta ahora. Todos los mé-todos previos se basan en la modificación de la función de transferencia delazo para obtener unarespuesta delazo cerrado satisfactoria. No se especifica la función de transferencia de lazo cerrado,y en realidad, no se conoce con exactitud cuál será hasta terminar de diseñar el compensador.

La idea de especificar la función de transferencia delazo cerrado es muy arrayente. A pesarde este atractivo, todos los métodos de diseño directos basados en esta idea tienen una importantedesventája: tienden a exhibir oscilaciones entre muestras, conocidas como campaneo. Primerose considera el diseño directo para posteriormente continuar con una discusión del método dellugar geomérico de las raíces.

15.4.1 Diseño directoSe investigan dos métodos de diseño directo: el método deRagazzini y el diseño "dead boat".Ambos exhiben campaneo.

Método de Ragazzani Se considera el sistema mostrado en la figura 15.17. En los pro-cedimientos de diseño de Bode y del lugar geométrico de las raíces antes considerados, elcompensador se diseñabapara que satisficiera un conjunto de especificaciones y luego se de-terminaba la función de transferencia de lazo cenado T"(z). Como se señaló, el diseño directoespecifica Tr(z).L:ue5o se localiza Gr(z) mediante un cálculo directo.

Para ver cómo funciona esto, se determina Tr(z). Cómo se elige Tr(z) es una pregunta aúnpor responder, pero por el momento Tr(z) se conoce.

Realizando la multiplicación cruzada en la expresión

G,(z)GlQ)

Figura I ts.rzControl de lazo cerradocon retroalimentaciónunitaria en el dominio z.

T"(z) :I + G,(z)Gik)

436 GAPíTULO l5 Control digital

se obtiene

T,(z) + T,(z) G, (z) Gi(z) : G, (z¡ Gi,@.

Reuniendo los términos en G,(z)G)(z) se obtiene

G,(z) Glk) - T,(z) G,(a¡ G|(z) : T, (z),

o

Ú - T,(d)GiQ)G,(z) : T,(z).

Dividiendo ambos lados entre tl - T,(z)lc/(z) se obtiene

1

G,(z) : G;(r)

T,(z)

| - T,(z)

Se imponen algunos comentarios. En primer lugar, el compensador cancela todos los polos

y todos los ceros del proceso. Como la cancelación perfecta es impráctica, se espera que los

polos residuales que quedan de la cancelación imperfecta no afecten adversamente el desempe-

ño del sistema. En segundo lugar, como la cancelación perfecta no es posible no se cancelan

los polos de la planta afuera del círculo unitario. En tercer lugar, Tr(z) debe tener un exceso de

polos sobre ceros (número de polos menos número de ceros) por lo menos tan grande como el

de Gr(z). De lo contrario, el compensador será irrealizable. Esto es bastante fácil de ver porque,

una vez que se eliminan las fracciones, el numerador de

T"(z)

r - T,(z)

será exactamente igual al numerador de Tr(z) mientras que el denominador será un polinomio

del mismo grado que 7.(z). Por consiguiente, si el exceso de polos sobre ceros de Tr(z) es me-

nor que el de G j(z), el compensador tendrá más ceros que polos y será irrealizable.

El procediririento de diseño directo ya descrito proporciona una fórmulapara calcular Gr(z).

La granpregunta es cómo determinar unaTr(z) satisfactoria. La respuesta a esa pregunta impli-

ca algo de trabajo, porque Z.(z) debe satisfacer especificaciones que normalmente se dan en

función de cifras de mérito, como el tiempo para alcanzar el valor pico, el porcentaje de sobre-

paso y el error de estado permanente ante entradas escalón y rampa. A continuación se desarro-

llan procedimientos para determinar Tr. La discusión es similar a la del capítulo 6 para sistemas

continuos.Se considera primero la señal de error

e(kT):r(kT)-c(kT).En el dominio z, ésta llega a ser

E(z) : R(z) - C(z) : R(z) - R(z)T,(z): R(z)[l - T,(z)).

Entonces, al emplear el teorema del valor final,

,,, A oli1

e(kr): l,l] 11n1r¡¡L - r.(z)1.

Si la entrada de referencia es el escalón unitario, entonces

-1

',, :

lTl

=z - I

t | - r,(z)l- I - lín1 r.{:)'

El error cero ante una entrada escalón requiere entonces que el lím. -- tT r(z) : 1 . Como

las funciones de transferencia consideradas en este libro son relaciones simples de polinomios

en z, ésta se reduce a I.(1) : 1.

Si la entrada es una función rampa,

8.. : lím '- t

. ".,rtl - r.(z)l : lím rl - rtk))

.

¿-l Z lz-l)2' ¿-l Z-l

15.4 Diseño en elplano z

En primer lugar se observa que el sistema tiene un error finito ante una entrada escalón, entonces

L-Tr(7):a, a+0,v

?ss : lím rU - rtQ)l : lím J!-: oo.z-->l Z-l z--+tZ-1 --

Por tanto, el error de estado permanente finito ante un escalón implica un error de estado per-manente infinito ante una rampa. Un requerimiento necesario, entonces, para que un sistemaexhiba un error de estado permanente finito ante una entrada rampa, es que el sistema tenga unerror de estado permanente cero ante una entrada escalón.

Al suponer que {r(z) : I se aplica la regla de L Hospital,

lím._-1 rd/dzll - T,(z))LSS

- límr__,1df dz(z - t¡

437

dT'(z): -l llmz-t dz

La siguiente tarea es poner esta expresión en una forma más útil. Con ese fin, se observaque

lrnr^ t ddz ' (z) :

ar) drT'(z)'Ahora, si lím. __rrTr(z): l, entonces

rm lln z.(z) : lí I d dz-t dz .i] r.(.) ¿rT'('): lg ,r''kl'

Para ver cómo puede utilizarse este resultado, sea

T,(z) : Kfl?r(z - z¡)

il?:,(, - P) '

de modo que

Entonces,

tnr,(z): ln K *iLn(e - ,) -»tne - p¡),i: I i:l

d. !-¿ !-a;lnT,(z) : 0* > .+ln(. -z¡) - )' lln(z - p,)dz u=, dz ? d,

ml=_\-_l d -l I d- L, :l\.- z¡) - L _ ;,(, - p,l

-¡:1 Z - Z¡ a7

-i-l Z - Zi dZ

ttl r- p,

e..(ramp):.[á+ É+] t15.41

Este resultado es análogo al derivado en el capítulo 6 para sistemas continuos. Una vezmás el error de estado permanente ante una entrada escalón depende sólo de los valores de lospolos y ceros de la función de transferencia delazo cerrado. En particular, el error de estadopermanente no depende de la gananciaTr(z).

Para entender por qué el resultado es tan importante, al suponerK(z - 6)

T,(z) :(z - o + ia)(z - o - j¿¿)' t15.51

438 CAPíTULO r5 Control digital

Ésta es unaTrmuy simple, la más simple, de hecho, que permitirá al diseñador controlar las

tres propiedades clave de un buen diseño de control, a saber, una respuesta transitoria satisfac-

toria, una estabilidad adecuada y una exactitud de estado permanente necesaria.

En la ecuación [15.5], el denominador representa los polos dominantes deseados. En otras

palabras, o y a pueden ser elegidas para que proporcionen el tiempo deseado para alcanzar el

valor pico (respuesta transitoria) y el porcentaje de sobrepaso (estabilidad). El cero entonces

puede ser utilizado con los dos polos para obtener la exactitud de estado permanente deseada.

Estas ideas se ilustran mejor con un ejemplo'

Para el sistema de la figura 15.17, sea

Gr(s) : *hSe diseña un compensador que satisfaga estas especificaciones:

1. Tiempo para alcanzar el valor pico f, : 0.2 s.

2. Relación de amortiguaciÓn de (: 0.8.

3. Error de estado permanente cero ante una entrada rampa.

El proceso es de la forma

G'(s) ::'''s(s+ a)

cona:l.Entonces

%."(s) : '"r - sz(s* a)

Con una tabla de transformadas z, como la tabla 14.3, y el procedimiento descrito en ejem-

plos previos es suficientemente fácil encontrar

GoG) : l(aT - 1 + e-"r)z+ (1 - e-"r - aTs"r)la(z- 1)(z- e-^')

Las especificaciones de f, y 4 ahora se utilizan para determinar la ubicaciÓn de los polos

de lazo cerrado dominantes, primero en el plano s y luego en el plano z. El primer paso es de-

terminar

0)d:7t 7f

tp 0.2'15.7 rad/s,

n 3.142

" tor1 1 g'2J1=Oe

Existe un par de formas para lograr un tasa de muestreo adecuada. Una es asegurarse de que

fmuestra : 1Oaro, donde (od es la frecuencia de oscilación del sistem a de lazo cerrado. En este caso

@o: 15.7 rad/s : 2.5 Hz.

Entonces la mínima frecuencia de muestreo en aproximadamente de 25 Hr, resultando en

r: !: o.o4s.25

Otra manera de determinar una tasa de muestreo adecuada es mantener la frecuencia na-

tural ar, ala derecha de la línea de

:26.2 radls.

3t'n: 10Í'

15.4 Diseño en el plano z

constante, o de forma equivalente, mantener

:0.0359 s,

que da un valor de f consistente con el encontrado con el primer método.Basados en los dos métodos descritos anteriormente, se elige una tasa de muestreo de

50 Hz. Con esta tasa de muestreo

G'oQ) : 0.0001987(z+ 0.9934)(z- 1)(z- 0.9802)

Obsérvese el valor pequeño de la ganancia, o sea,0.0001987. A medida que se incrementa latasa de muestreo la ganancia de Gr(z) disminuye. El escenario está puesto ahora para prose-guir con el método de diseño directo, a menudo llamado método de Ragazzini.

Como un primer paso, sea

T"(z) : K(z- 6)

(z-o+jr,¡)(z-o-ja)' [1s.6]

Esta es la T"(z) más simple que satisfará todas las especificaciones. Para una respuesta noamortiguada T"(z) debe tener por lo menos dos polos. Para satisfacer los requerimientos deexactitud de estado permanente se requiere un cero. También es necesario que 7](z)tenga unexceso de polos sobre ceros al menos tan grande como G'r(z) Por tanto, si T"(z) tiene sólodos polos, cuando mucho puede tener un cero.

Ya se determinaron las ubicaciones de los polos complejos con la selección de la relaciónde amortiguación, la frecuencia natural y la tasa de muestreo. El cero an Z: ó se introduce pa-ra controlar el error de estado permanente ante una entrada rampa.

Con I : 0.8 y @n: 26.2 rad/s, los polos complejos en el dominio z están en

2_ I- - e-('nr e-16nrnñ]¡

:0.6576/t 18.01'

:0.6253 + j0.2O34.

Lo que resta es determinar K y ó.

Recuerde que para un error de estado permanente finito ante una entrada rampa el siste-ma de lazo cerrado debe exhibir un error de estado permanente cero ante una entrada esca-lón. Es decir,

t)\7"(z) : t.

Con un error de estado permanente cero ante una entrada escalón, el error ante una entradarampa es entonces

439

3tl<__10 o,

e."(ramp)

donde las p,son los polos de T"(z)ylas z,son los ceros de T"(z). Portanto, el error de estadopermanente cero ante una entrada rampa requiere que

fr|m¿

\- .-r- - \- =-l- :0.?1-P' ?1-''

Ahora se emplea la misma estrategia utilizada en el capítulo 6 para la versión continua deT"(z)

1. Usar 6 para garantizar un error de estado permanente cero ante una entrada rampa.

2. Una vez encontrado 6, ajustar K para garantizar un error de estado permanente cero anteuna entrada escalón.

»¿l

Ku

fn

l? 1- p,

1l1-,)'

44lJ CAPíTULO l5 Control digital

Para la T"(z) de la ecuación [15,6], la fórmula para error de estado permanente cero ante

una entrada rampa se vuelve

1111 -(o + lr,))- 1 -(o - l0))-', -U

:-'

Esta expresión se puede volver a escribir como

o

2(1 -o) _ 1

{1 -o)'la2-1-ó'Al invertir ambos lados de esta última ecuaciÓn obtenemos

1-ó:(1 -o)2+toz' 2(1 -")o finalmente,

r-r (1 -o)2+a2o: t- 2(-.-\

Con los polos complejos antes determinados,

(1 - 0.6253)2 +0.20342¿i:1-ffi:0.7575.Lo que resta es encontrar K. Con ese fin

lim I"(z) : limK(z- 0.7575)

z+1 c\1t ')-t (z- 0.6526 - 10.2033X z- 0.6526 + /0.2033)

K(O.2424): or815'Si esta última expresión es igual a cero, se obtiene

K :0.749.

Ahora se podrá encontrar el compensador con la fÓrmula

G"(z): -j.--- .'"9-)'. ,.- G;(z)1-T,(z)'

Un paso intermedio necesario es encontrar

T"(z) 0.749(z- 0.7575)

1 - T"(z) - 22 - 1.25082+ 0.4325 - 0.7493(z- 0.7575)

o.749(z - 0.2575)

z2-22+10.749(z - 0.7575)

Como

T,(z\T-iá: G"(z)GoQ)

es la función de transferencia de lazo directo, este último resultado tiene sentido, porque con

retroalimentación unitaria, el error de estadc permanente cero, tanto con una entrada rampa

como escalón, requiere que G"(z)Gi(z)tenga dos integradores, es decir, dos polos afi Z:1.Esto es exactamente la factorizaciÓn obtenida.

15.4 Diseño en el plano z

El compensador en forma factorizada es

G"(z) : (z- 1)(z- 0.9802) o.7493(z- O.TsTs)0.0001987(z+ 0.9934) (z - l¡z

377 1 ( z - 0.9802)( z - 0.7 57 5)(z+ 0.9934)(z - 1)

La respuesta escalón discreta es

c(kT) : 1 .0 * 2.0965e*20eokr cos( 15.72kT - 2.068).

I

0trt

0.1 0.2trtrlm

0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 lTiempo en segudos

Esta respuesta se muestra en lafigura 15.18, junto con la respuesta de datos muestreados.Obsérvese que la respuesta de datos muestreados campanea. Esto es típico de esta clase dediseño. El control se muestra en la figura 15.19. El control aplica una onda cuadrada de granamplitud al sistema, lo que hace que éste responda a una secuencia de escalones positivos ynegativos equidistantes. Una posible solución es hacer que el compensador sea de tercer gra-do y colocar el cero agregado encima del polo afi Z: -O.ggg4. Este polo es la fuente de lasoscilaciones en el control. Ésta no es una idea muy atrayente, dados los procedimientos de di-seño más efectivos ya analizados.

5 000

2 500

0

-2 500

-5 000

-7 500

Tiempo en segundos

1.5

441

Figura r5.f B IRespuesta escalónde sistemas discreto y dedatos muestreadosen el ejemplo 15.4.1 .

Figura r5.r9 IControl aplicado asistema de datosmuestreados en elejemplo 15.4.1.

lr0.3

NA

il

F-

oU

i$*,..i*surururffi*,¡!i!::¡3:¡a.:

i0

o Respuesta escalón discreta

Respuesta escalón 7: 0.02 s

Diseño dead beat Un segundo método de diseño directo, llamado diseño "dead beat", essimilar al método deRagazzini, pero especifica c(kT),la respuesta del sistema delazocerrado

GAPíTULO 15 Control digital

a una entra da específica en eldominio del tiempo. La función de transferencia de lazo cerrado

I.(z) se encuentra aplicando la transformada Z a c(kT) y eliminando la transformada Z dela

entrada. Este método se ilustra mejor con un método.

Para el sistema

Gr(s) :4h'sea f" - 1O Hz. Se supone que la respuesta en el dominio deltiempo a una entrada de esca-

lón unitario es

c(kT\ :

Se determina cualquier entrada deseada, pero la escalÓn es por mucho la entrada de prueba

más útil. La respuesta especificada está diseñada para aproximar un poco la respuesta un po-

co subamortiguada con error de estado permanente cero a una entrada de escalón unitario,

Para realizar un diseño directo se necesita G;(z) y T"(z). Con f : 0.1 s,

Gi,G):

El siguiente paso es encontrar

0.00937(z+ 0.9355)

(z- 1)(z- 0.8187)

C(z) : 1.22-1 * 1.Oz-2 + z-3 + z-o + "':1.22-1 +z-211 +z-1 +z-'+...\

1.2 z-L-z 2z1z- 1)

1.2(z-1)+lz(z- 1)

_1.2(z-1/6).z(z - 1)

para encontrar la función de transferencia de lazo cerrado T"(z) se elimina la entrada, la que

en este caso es el escalÓn unitario. Por tanto,

1.2( z- 1 /6\T"(z):-É

como con cualquier técnica de diseño directo, el compensador es

G"(z): :] . ,'"9); ,.- G;(z)1-7"(z)'

(o conk:OI t.z con k: 1

ll.o conk>2.\-

Figura r5.2O IRespuesta escalón desistema compensado en

el ejemplo 15.4.2.

15.4 Diseño en el plano z

Por tanto, se calcula

T,(z)1 - T.(z)

1.2(z - 1 /6) 1.2(z* 1/6)z2 - 1.22+O.2 (z- 1)(z- O.2)

Ahora se escribe el compensador en forma factorizada como

G"(z) : (z- 1)(z- 0.8187) 1.2(z- 0.1667)

0.00937(z+ 0.9355) (z - 1)(z - 0.2)

1 2B(z - o.1 667)(z - 0.8 1 87)(z- o.2)(z+ 0.9355)

La respuesta escalón del sistema de datos muestreados se ilustra en la figura 15.20. El pasode integración es h:0.005. Obsérvese que c(f) se aproxima mucho a1.2y c(k7) a 1.0 conk > 1. Si el escalón de tiempo fuera más pequeño, la aproximación sería mejor. Básicamente,el sistema es correcto cuando pedimos que sea cada f s, pero oscila entre esos puntos en eltiempo. Al igual que el método de Raggazzini, el campaneo es un problema.

443

El breve contacto con el diseño directo puede ser resumido como sigue. El diseño directoconduce a compensadores de alto grado y el campaneo es un problema. Dadas las muchas otrastécnicas de diseño exitosas anlizadas, el diseño directo no es tan atractivo.

15.4.2 Diseño del lugar geométrico de las raíces en el plano zEn esta sección, se investigó por medio del diseño del lugar geométrico de las raíces en elplano z. Como con el diseño directo, este método requiere encontrar Gp(z).El ejemplo 15.4.3ilustra la técnica.

ffiSe considera una vez más

Gr(s) : *17Se diseña un compensador de bajo grado que satisfaga las siguientes especificaciones.

1. PO < 10%.

2. t- < 0.5 s.

Se utiliza la cancelación de polos para hacer que la función de transferencia de lazo ce-rrado sea tan parecida a lrr(s) como sea posible . G'p(z) puede ser determinada sólo despuésde haber seleccionado una tasa de muestreo. La frecuencia amortiguada es

Q)d: :6.28 rad/s.

Con ao:7 radlsy q: 1lrt deberá ser suficiente. La tasa de muestreo se determina con 10muestras de la frecuencia amortiguada. Como 7 rad/s corresponde a 1.11 Hz, una tasa de mues-treo de 10 Hz sería adecuada. Se selecciona una tasa de muestreo de 20 Hz, que proporcionecasi 20 muestras de un periodo de ao.

Con la tasa de muestreo seleccionada,

G'oQ): O.0O1229(z+ 0.9835)(z- 1)(z- 0.e512)

Ahora considérese el dominio z equivalente de I-(s). En la tabla 14.3 la respuesta escalón derrr(s) es,

7f Jl

tp 0.5

%."(s) :ñ;#@,

444 GaPíTULO l5 Conrrol digiral

tiene el dominio z equivalente

Y"r"(z) : z(Az+ B)- (z- 1)(72 - 2e-"r(cos rr¡aT)z+ e-2or)'

donde

A:1-e-orcos@df -o u "rsena.,¿f,Q)¿

g - "-2or

¡ !-"-"' sen@dr - e-or cos@dr.Q)4

Al eliminar el escalón se obtiene

T _t z\ : =A'i B=

zz _ 2e_6r(cos¡¡.¿T)z+ g_2or,

Con una tasa de muestreo de 20 Hz y los polos complejos seleccionados s: -7 t i7,

A: 1- e-7(005) cos[7(0.05)] - s-z(oos¡sen[7(0.05)] : 0.0964,

B - e-1ag'os) + e-7(005) sen[7(0.05)] - s-z(oos¡ cos[7(0.05)] : 0.07626.

Entonces

TNrQ): )

Se debe encontrar T*(z) por la siguiente razón, Al terminar este diseño del lugar geomé-trico de las raíces, la función de transferencia de lazo cerrado obtenida se aproxima mucho aT*(z)'

Al utilizar la cancelación de polos/ceros, se elige

G"(z) : K"(z o'?stz) ',- p,

lo que hace que la función de transferencia de lazo directo total sea

G"G oQ)- 0'001 229 K"(z+ 0'9835)

.(z- 1)(z- p)

El objetivo es hacer que el lugar geométrico de las raíces pase por s: -0.6620 + i0.2416.Simplemente se satisface la condición del ángulo en los puntos deseados, un cálculo realiza-do muchas veces antes y mostrado en la figura 15.21. Por tanto,

0z:q+180"-0r. 0.2416 / ,0.2416\: tan 1

iu-* + 180' - (tao -tan- ffi): 8.35" + 180" - 144.44

:43.9".

Entonces,

o,:0.6620- #S:0.4110.

La ganancia para colocar los polos de lazo cerrado en las ubicaciones deseadas es

Jo.1T26 x ,,Fosz|+K _ - - - _-7ña

'/ 2.767 x 0.001229

Im(z)

15.4 Diseño en el plano z

0.2416

-0.9835 Pl 0.6620 0.9512 1

0.8 1.2

Tiempo en segundos

de modo que el compensador es

G"(z) : 70.8(z - 0.9512)

z- 0.4110

Al observar que la única diferencia entre T*(z) y la función de transferencia de lazo cerradoreal es que el cero de la función de transferencia de lazo cerrado real queda un poco más a laizquierda que el cero de T*(z).Por tanto, nuestra expectativa es que la respuesta real se apro-xime a la respuesta ideal.

La respuesta discreta a este escalón unitario es

c(kT): [1 + 1.4419e-7kr cos(7kf +2.337)]1(kT).

En la f igura 15.22 se muestran la respuesta discreta, la respuesta de datos muestreados y elcontrol.

445

Figura r5.2r ISatisfacción de lacondición de ángulo conz:0.6620 + j0.2416.

Figura 15.22 |Respuestas escalóncon datos discretosy muestreados en elejemplo 15.4.3.

o

b 0.8

N

; 0.6

I o.¿a(J

El procedimiento general para hacer que Tr(z) se parezca aT*2k) demostró ser eficaz en elplano z como lo fue en el plano s, el cual'se empleará de nuevo en el ejemplo 15.4.4.

Sea

Go(s) :6hSe decide que los polos dominantes del sistema cerrado tengan una relación de amortigua-ciÓn de 0.8 y una frecuencia natural de 4 rad/s. Como siempre, el sistema deberá exhibir unerror de estado permanente cero ante un escalón unitario.

446 CAPíTULO l5 Control digital

El primer paso será elegir una tasa de muestreo. Con los polos complejos especificadosen el problema, la frecuencia amortiguada a la cual el sistema de lazo cerrado oscilará en res-

puesta a una entrada escalón es

,o : rnJ1 - ( : 4\n 4.ü : 4 x o.G : 2.4 radls

: O.3B2Hz.

Para ver si un muestreo más lento degradará el desempeño, se elige

f^u""n":5 x O3B2Hzx 2Hz'

Con f :2H2, el siguiente paso es determinar G'r(z). En este problema, Go(s) es de laforma

con a : 4. Por tanto,

La tabla 14.3 demuestra que

está emparentada con

Go(s) ::é4,

%."(s) :t qffo

a2

s(s+a),

zl0 - e-,r - aTe-rr)z+ (e-z'r - e-'r + aTe-"r)l(z- 1)(z- ¿-ar)z

Por tanto, la transformada en la tabla tendrá que multiplicarse por 1/a. Con a : 4, se obtiene

G, ( z\ _ (1 - e-qr - 4T e-ar)z+ (e-1r -- e-ar * aT e-ar) .,p\Lt - 4(z_ e_+r¡z

Con f:0.5sesentonces

, , _\ (1 - e-z - 2e-2)z+ (e-o - e-2 + 2e-2)vp\Lt - 4e_ ¿-z¡z

0.5942+ 0.1536

4(z* 0.1353)2

0.1485(z+ 0.2587)(z - 0.1353)2

Con la tasa de muestreos de 2Hz,los polos de lazo cerrado deseados del plano s se vuelven

entonces

z- e(-32ti24)T - e-l.6e+¡1.2 - 0.07316 + i0.1882.

Ahora se utiliza un compensador por adelanto/Pl con cancelaciÓn de polos para obtener

G"(z): '('-,?,'tut)1 .(z- 1)(z- p) '

El cálculo está basado en satisfacer la condición del ángulo con los ángulos mostrados en la

figura 15.2.La ecuación del ángulo es entonces

il -02: -180",o

0z: a + 180'- 0'1

. o.1BB2 o.1BB2\: tan-l ffi + 1Bo' - (reo' - tan-1 ffi): 41.03'.

Im(e)

Entonces

15.5 Resumen 447

Figura 15.23 IDescomposición deG"Gren componentesvectoriales.

Figura 15.24 |Respuesta escalónde sistema de datosmuestreados.

p, :0 0731. - *#k : -0 143

Lo que falta es encontrar

K": JCT44F+OSEf-Ftr x JoiW +oZTdF0. 1 485 x

"/OllEE2zTT33lEz4.79 --> 4.8.

5

4.75

4.5

4.25

4

3.75

Por tanto,

1

Tiempo en segundos

4.8(z- 0.1353)2

Gt)A+ o:43)G":

La respuesta del sistema de datos muestreados se ilustra en la figura 15.24. Por lo menos ensimulación la tasa de muestreo lenta parece ser adecuada. Si será adecuada o no en una im-plementación real es otra cuestión.

IO

E o.s!!o

§ 0.6(,)

d-- 0.4oa&, o.z

-

Respuesta de lazo

- -

- Control

15.5 I nesuMENEn este capítulo, se presentó el diseño de compensadores para sistemas de datos muestreados.Se utilizaron dos métodos. En el primero, se diseñó el compensador en el plano s y luego fuetrasladado al plano z con el mapeo bilineal o la transformación ad hoc. En el segundo, se realizóel diseño en el plano z, con dos técnicas diferentes. La primera fue el diseño directo, en el cualse especificó la función de transferencia de lazo cerrado Tr(z). En la segunda, se utilizó el análi-sis del lugar geométrico de las raíces. La desventaja de estas dos últimas técnicas es que Gi(z)

448

Fisura 15.25 IConfiguración deretroalimentación nounitaria.

Figura r5.26 IConfiguración deretroalimentación unitaria.

GaPíTULO l5 Control digiral

debe ser conocida. Si Go(s) es de alto grado, la búsqueda de Gik) requiere el uso de una compu-

tadora y un paquete de software como MAILAB.Se encontró que los diversos métodos para diseñar compensadores para sistemas continuos

podían ser aplicados a sistemas de datos muestreados. Se procedió con cuidado para asegurar

de tomar en cuenta los efectos del retenedor de orden cero, pero además de los métodos del lu-gar geométrico de las raíces que funcionan tan bien para sistemas continuos, también 1o hacen

para sistemas de datos muestreados.

15.6 I nnoetEMAs15.6.1 Lugar geométr¡co de las raíces en el plano zPara la configuración de retroalimentación mostrada en el plano 15.25, bosqueje el lugar geo-

métrico de las raíces y encuentre la ganancia con la cual el sistema de lazo cerrado se vuelveinestable.

r. GH(il: -!1**-92)-.r.-0'8)(z-l) 2. GH(z): --É-¿'.¿ - 1)

15.6.2 Diseño del lugar geométrico de las raíces en el plano sEn estos problemas utilice la configuración de retroalimentación de la figura 15.26. Diseñe el

compensador en el plano s conforme a las especificaciones establecidas, con la técnica del lu-gar geométrico de las raíces. Transfiera el diseño al plano z por medio de mapeo bilineal o el

mapeo ad hoc, como se indique.

R(s)

l. Sea

1

G(s) : - ! G.(s) : K"(s * zr)s*Pr

a) Tiempo para alcanzar el valor pico t, menor que I s.

b) PO de menos de I5%o.

Transfiera el diseño del compensador al plano z con el mapeo ad hoc ! f^u",t,o: 10 Hz.

2. Sea

I _ __ s-lzrGp(s): , y G.(s):Krr+;.

a\ Tiempo para alcanzar el valor pico trmenor que 0.5 s.

b) PO de menos de 107o.

Transfiera el diseño del compensador al plano z con el mapeo ad hoc y f^u"rtro: 10 Hz.

15.6 Problemas 449

3. Sea

Gp(s) : . s*:ly C, (s) - K,---s]-'pts(s * 4)

a) Tiempo para alcanzar el valor pico trmenor que I s.

b) PO de menos de l5Vo.Transfiera el diseño del compensador al plano z con el método ad hoc y .f_urrt,o :20Hz

15.6.3 Diseño del lugar geométrico de las raíces en el plano zPara la configuración de retroalimentación mostrada en la figura 15.27, primero encuentre G1(z)y luego diseñe el compensador conforme a las especificaciones establecidas.

Sea G,(s) : +..s'

a) Compensador por adelanto.b) Ír,r"r,rr: lo Hz.c) r- < 0.5 s.'t'-

d) PO < lOVo.

SeaG,(s) : +.a) Compensador por adelanto.b) f,nurr,ro :40H2.c) ¡,,, < 0.3 s.

d) PO < lOVo.

SeaG,(s): +.a) Compensador por adelanto.

b) frurrrro: 50 Hz.c) @d:6 rad/s.d) ( : 0.8.

SeaGo(s): fGJ-, + I).a) Compensador por adelanto.

b) f*r"rrro: 50 Hz.c) to<ls.d) PO <20Vo.

5. Sea G, (s ) : ,2,------ y G, (: ) - r( (: - 9'8)s(s r.7 z-ba) f,nu"r,rr: 10 Hz.b) C:ll./2,Y a,:30.c) Encuentre el tercer polo de lazo cerrado.d) Encuentre la respuesta de tiempo explícito mediante expansión en fracciones parciales.

SeaGr(s) : ,g!q t G,(z): *=g».a) fnu"r,ro: 100 Hz.b) (:Il"/2 Y a,:30\/-2.c) Encuentre el tercer polo de lazo cerrado.

d) Encuentre la respuesta de tiempo explícito mediante expansión en fracciones parciales.

Figura 15.27 |Configuración deretroalimentación.

1.

2.

3.

4.

6.

450 CAPíTULO f 5 Controldigital

7. SeaGr(s) : #T Y G(z) :a) f^urrrro - 10 Hz'b) Polos de lazo cerrado complejos con (:0.8 y on:4.0 rad/s.

c) El polo pl del compensador equivale a un polo en s : 20.

8. SeaGr(s) : #T y G(z) : ff- fl, de modo que

a) Compen-sador PD.

b) f^urrrro: 10 Hz'

c) Polos delazocerrado complejos (:0.8 Y @n:4.Orad/s.

d) El polo pldel compensador equivale a un.polo en '§ : -oo.

s. Sean Gp(s) : #T y G(z): EFP-a) /.r.r*o: 10 Hz.

b) Polos de lazo cerrado complejos con (:0'8 y an:4.0 rad/s.

c) Un polo de Gr(z) equivalente a un polo en.l = -oo.d) El sistema de lazo cerrado es de segundo grado.

e) Encuentre la respuesta escalón del sistema de lazo cerrado.

10. sean Gr(s) : #T y G(z):ffffifi,demodoquea) 4nr.r,r"o - l0Hz'b) Polos de lazo cenado complejos con (: 0.8 y on:4.0 rad/s.

c) El polo p1 del compensador equivale a un polo en .§ : -oo.d) El sistema delazo cerrado es de tercer grado.

e) El sistema tiene un error de estado permanente cero ante una entrada rampa.

f) Encuentre la respuesta escalón del sistema de lazo cerrado.

(s*4)2 r v\t,,- (r-pr)(z-l)a) Polos de lazo cerrado complejos con (: 0.8 Y @r:4.0 rad/s.

b) 4nu".,."o elegida de modo que la respuesta del sistema de lazo cerrado a un escalón sea

müéitiéada por lo menos 10 veces por ciclo (con base en la frecuencia amortiguada).

12. Sean Gr(s) : ,G+7¡ y G(¡) : X9U.í'.a) Polos de lazo cerrado complejos con ( - 0.8 y a;, - 4.0 rad/s'

b) Telegida de modo que la respuesta del sistema de lazo cerrado a un escalón sea muestreada

por 1o menos cinco veces por ciclo (con base en la frecuencia amortiguada especificada).

13. Sea Gr(s): ,G+11.a) Polos de lazo cenado complejos con (:0.8 Y @n:5.0 rad/s.

b) La función de transferencia de lazo cerrado Tr(z) tiene sólo un cero, el de G'r(z).

c) Error de estado permanente cero ante una entrada escalón.

d) flnu".t "o

- 40H2.

15.6.4 Diseño directoEn cada problema utilice el método deRagazzini o técnicas de diseño aperiódico, como se in-

dique, para encontrar la compensación que satisfaga las especificaciones establecidas.

t. Gr(s): fG+T.a) Diseño aperiódico.

b) Gr(z) de tercer grado.

15.6 Problemas 451

c) /.r"rt."o: loHz'ü tp:o'2s'e) f : 0.6.

f) Error de estado permanente cero ante una entrada escalón.

2. Gr(s): U1;+a.a) Método de Ragazzini

b) flnuestreo: 10 Hz.

c) Error de estado permanente cero ante una entrada escalón.

ü Error de diez por ciento ante una entrada de rampa unitaria.

e) Polos complejos de lazo cerrado cot\ on: 4 radls y ( : 0.6.

3. Gr(s) : GO, *rrr.

a) Método de Ragazzini

b) Error de estado permanente cero ante una entrada escalón.

c) Error de diez por ciento ante una entrada de rampa unitaria.

d) [nr".,.".,: 1o Hz'

e) Polos complejos de lazo cerrado corr on: 4 rad/s y I : 0.6.

4. Gots): ,1;+11.a) Método de Ragazzini

b) /.nu.ro.o : 5o Hz'

c) Tiempo para alcanzar el valor pico to: 0.2 s.

d) Relación de amortiguación (: 0.8.

e) Error de estado permanente cero ante una entrada rampa.

5. Gr(s): rG+T.a) Método deRagazzini

b) /*u".,r.o : 50 Hz'

c) Tiempo para alcanzar el valor pico tr: 0.2 s.

d) f : 0.8.

e) Error de estado permanente cero ante una entrada rampa.

f) K,: loo.

15.6.5 Diseño de BodeEn estos problemas utilice el método de Bode para diseñar el compensador conforme a las es-pecificaciones establecidas. Suponga la configuración de retroalimentación de la figura 15.26.

1. G,(s) : ,crzÍft +lT).a) Tasa de muestreo:f,r"*,."., Í 50H2.

b) 4 > 100.

c) I4l,'!l =o.ozcon

¿, < 1 radls.lR("lr¿)l

d) l9fY,.)l < 0.0s con @ > 2oo rudls.'lR(ia)le) Frecuencia de cruce a.r, de por lo menos 10 rad/s.

f) Margen de fase de por 1o menos 50".

8) G.(s) : ft*#3, con el grado del compensador tan bajo como sea posible.

Transfiera el diseño al plano z con el mapeo bilineal.

452 GAPíTULO l5 Control digital

Z. G,,(s):;5¡ffia) Tasa de muestreo: lou.r,."o < 50 Hz.b) 1(, > 100.

c) ffi<0.01 con.,<1radls.

d) ]€831-|

< 0.1 con a; > 5oo radls.

e) Frecuencia de cruce a,l. de por lo menos 10 rad/s.

f) Margen de fase de por lo menos 50o.

g) G-(s) : K*Fl:r (s + 1¡) . con el grado del compensador tan bajo como sea posible.o, vc\r.,r _ fll:,(s + p¡)

Transfiera el diseño al plano z con el mapeo ad hoc y coloque los ceros en el infinito efl z : - l.3. Gr(s) : s(sTZñ + To)'

a) Tasa de muestreo: lr.,r.r,..o < 50 Hz.b) K, > 100.

c) ffi<O.ozcon@<lradlsd\ lC( jt»)l < 0.1 con r¿ > 400 rad/s.' wr¡'fr -e) Frecuencia de cruce a.r. de por lo menos 20 radls.

f) Margen de fase de por lo menos 50".

s) G.(s) : ffiJ*$, con el grado del compensador tan bajo como sea posible.

Transfiera el diseño al plano z con el mapeo bilineal.s0(s f 2)4. Gnk):¡;ffi0¡.

Tasa de muestreo: de 50 Hz o menos.K, > 100.

ffi < o-02 con a)< 1 radls.

lC( i,oo),l

ffi < 0.1 con a > 120 radls.

Frecuencia de cruce ar. de por lo menos 15 rad/s.Margen de fase de por lo menos 50o.

G.(s) : fi*H#, con el grado del compensador tan bajo como sea posible.

Transfiera el diseño al plano z con el mapeo bilineal.

- / \ 50(s*2)uP(s) : ilsTlbxs+5oJ.Tasa de muestreo de 100 Hz o menos.K,, > 100.

ffi <o'o2con,,<1rad/s.

lqll'¿l < o.o5 con ¿, > 2oo rad/s.lR(i r¡)l -

e) Frecuencia de cruce a;, de por lo menos 15 rad/s.

f) Margen de fase de por lo menos 50".

g) G.(s) - ffi$}fl, con el grado del compensador tan bajo como sea posible.

Transfiera el diseño al plano z con el mapeo ad hoc.

6. Go(s):6TZ#TT.,.Tasa de muestreo de 50 Hz o menos.K, > 100.lE( il,¿\l

ffi <0.02cono<lrad/s.

lc=\i,r!l < 0.1 con ar > 100 radls.lRUa.,)l -Frecuencia de cruce a,l. de por 1o menos 15 rad/s.

5.

a)b)

c)

d)

e)

f)8)

a)b)

c)

ü

a)b)

c)

d)

e)

* s/21X1 i slz2)

15.6 Problemas

de conformidad con

453

f) Margen de fase de por lo menos 50".

g) G.(s) : ffiS,fl, con el grado del compensador tan bajo como seaposible.

Determine Gr(z) con el mapeo bilineal.

7. Gr(s): rG+T, y G.(s) : q f * slpr)(l * slpr)a)

b)

c)

d)

e)

f)

b)

c)

d)

e)

f)

K > 100.

E(ja)R(ja) < 0.1 con a.¡

< 0.1 con a.¡

< 0.1 rad/s.

> 30 rad/s.

60.Margen defase: Q*>frr".t."o: 10 Hz'

Frecuencia de cruce, o¡^ > 3 rad/s e incrementada al mdximo de conformidad con lasespecificaciones a-e.

c(ja)R(ja)

E(ja)R(jo)c(ja)R(ja)

E(ja)R(j'¿)C(ja) I . O.rR(rr¿) | -

< 0.02 con úd < 1 rad/s.

< 0.05 con crt > 200 rad/s.

8' Go@): (s +-5t;-3O' Diseñe un compensador

G.(s) : K :: !'t"!\: !'t:r).' (1 + slpr)(l f slpr)

que satisfaga estas especificaciones:a\ K > 100.

Margen de fase: ó*> 55.

/mrestreo < 10 Hz.

Frecuencia de cruce, otr> l0 rad/s e incrementada al máximolas especifi caciones a- e.

e' Gr(s) : 6a3;1r1;36¡ v G,(s): v,(1(1 + s/21)(1

+ slp¡O+i7l»'+ s/zz)

a)

b)

c)

d)

e)

f)

K > 100.

<0.02con@<1rad/s.

con ¿, > 400 rad/s.

Margen de fase: Q^> 50.

[ru".t.eo < 10 Hz'

Frecuencia de cruce. a, > 20 rad/s e incrementada al máximo de conformidad conlas especificaciones a-e.

15.6.6 Problemas adicionales1. Dibuje una figura que muestre las ubicaciones de los polos con 0.5 < e < 0.8 y 7 r /l0T <

an < 9t f l0T fanto en el plano .s como en el plano z.

2. Demuestre analíticamente que si G(s) no tiene polos en,s : 0 y lo trasferimos al plano zcon el mapeo bilineal

,:?z-1.T z*l'

entonces G(s) y G(z) tienen la misma ganancia de cd.

3. Considere ofra vez el problema de control de misiles "inteligentes" introducido por primera'{ez en el capítulo 7, como se muestra en la figura 15.28. El misil tiene una antena de TV en sunariz que envía una imagen al piloto. El piloto luego dirige el misil centrando el blanco en unapantalla en la cabina de mando con un controlador. La señal del piloto hace que el sistema deguía del misil se mueva hacia el blanco. Sea la dinámica del misil y su sistema de control

454

Figura r5.28 ISistema de bombardeointeligente.

Figura r5.29 IDiagrama de bloques delcontrol de velocidad deun automóvil.

GAPíTULO l5 Control digital

-':ry#---'t/."é

200Gp(s) :

s(st5)(s+15)Para la configuración de compensación en cascada con retroalimentación unitaria utilizada

en este capítulo, diseñe el compensador G. conforme a estas especificaciones:

f <25H2.r mueslreo -K > 100.v-

< 0.01 para a < 0.2 rad/s.

< 0.1 para @ > ot, ar, cuánpequeño sea posible.

e) ó*> 50o.

f) PO < 107o.

g) Tiempo de elevación a90%o del valor final de < 0.2 s.

Resuelva otravez el problema 3, con estas especificaciones:

a) flnu.rtr"o < 100 Hz.

0.01 con o < 0.2 rad/s.

0.1 con a.r > 100 radls.

e) Q * -50"'

f) PO < ll%o.

g) Ganancia del compensador tan baja como sea posible.

Use el diseño de Bode en el plano s y ffansfiera el compensador al plano z con el mapeo bilineal'

5. La figura 15.29 muestra un diagrama de bloques del controlador de velocidad de un auto-

móvil que consideramos en el capítulo 7, donde

a)

b)

c)

ü

E(ja)R(ja)c(ja)R(.i,»)

4.

l0G.p¿.(s):

(s * 3)(s +3.2)G"u.(s) :

s * 2.5'

Diseñe un controlador G, que satisfaga estas especificaciones:

a) lnu.rrr"o < 2oHz'

b\ K>10.' p-c) Tiempo de elevación a 63%o del valor final de menos de 0.3 s.

ü La respuesta a una entrada escalón está críticamente amortiguada.

Encuentre G'r(z) con MATLAB. Luego diseñe el compensador en el plano z con el diseño

del lugar geométrico de las raíces.

15.6 Problemas

6. Considere otravez el sistema mostrado en la figura 15.30, considerado por primeravez en

el capítulo 7, donde la planta tiene un lazo de retroalimentación. Sea

l20s + 100Gz\s): ,, ¡ 12, *U.

455

Figura r5.3O IControl de múltiples lazos.

Figura r5.3r IControl del cabeceo deun avión.

Fisura 15.32 IControl de la rotación deun misil.

1G1(s): -

Diseñe un controlador G. que satisfaga estas especificaciones:

a) lru".o"o < 50 Hz.b\ r <ls.' p-c) PO<30Vo.

Encuentre G'r(z) con MATLAB. Luego diseñe el compensador en el plano z con el métododel lugar geométrico de las raíces.

7. La figura 15.31 muestra un Lazo de retroalimentación unitaria para el control de cabeceo

de un avión considerado por primera vez en el capítulo 7, donde

4 000Ga",u(s):(r+g)

(s*6)(s+15)s(s*3-jtz)(s+3+j12)Gp(s) :

Diseñe un compensador que satisfaga estas especificaciones:a\ K > 130.

b) PO < l5Vo.

c) r <0.7s.' p-

ü for.r,."o < 1oo Hz.

Encuentre G' ,(z) y diseñe el compensador en el plano z con el método del lugar geométri-co de las raíces.

8. En el capítulo 7 consideramos las características de rotación de un misil en tomo a su eje longitu-dinal, como se muesffa en la figura 15.32.La dinámica en torno al eje longitudinal eslá dada por

G.(s) :s(s * 15)

456

Figura 15.33 IControl de rotación de untren de levitaciónmagnética.

caPíTuLo 15 controldigital

Diseñe otra vez el compensador Grcon los métodos de este capítulo para satisfacer estas espe-

cificaciones.a) /*u".t

"o < 50 Hz.

b\ K > 150.

ffil : o.o, con a; < 0.2 rad/s.

ü lC(ja¡) I . O.t con a,¡ > 100 radls.lE(E)le) Q*> 55".

c)

f) Ganancia del compensador tan baja como sea posible.

Use el diseño de Bode en el plano s y ajuste para la fase negativa de la retención de grado

cero. Transfiera el compensador al plano z con el mapeo bilineal.9. Considere otravez el tren de levitación magnética de alta velocidad de la figura 15.33, con-

siderado por primera vez et el capítulo 7. En las curvas se desea inclinar el tren hacia la

curva. El diagrama de bloques muestra cómo se podría lograr esto con un giroscopio.

Sección transversal del tren

Riel magnético

Como el tren flota, su dinámica se modeló como1

G.uel.r(s) : JrT

donde J es el momento de inercia del tren. Suponga que la relaciónK,j

es conocida. Diseñe otravez el sistema de control G. con estas especificaciones:

a) fru.rt "o

< 25 Hz'b) 4> 100.

c)

a

E(jr,¡)R(ja¡)c(ir,»)R(ia)

< 0.01 con ¿0 < 1.0 rad/s.

< 0.1 con a; Z 600 radls.

e) ó*> 70".

f) K,lJ < 50.

Transfiera el compensador al plano z con el mapeo bilineal.

LECTURAS AD¡CIONALESAstrom, Karl J. y Bjorn Wittermark (1997), Computer Controlled Systems-Theory and De-

sign,3a. ed. Saddle River, NJ: Prentice Hall.Cadzow, James A. (1973), Discrete Time Systems-An Introduction with Interdisciplinary Ap-

plications. Englewood Cliffs, NJ: Prentice Hall.Franklin, Gene F., J. David Powell y Michael L. Workman (1998), Digital Control of Dynamic

Systems,3a. ed., Menlo Park, CA: Addison-Wesley.Houpis, Constantine H. y Gary B. Lamont (1992), Digital Control Systems-Theory, Hardwa-

re, S oftw are, 2a. ed., Nueva York: McGraw-Hill.Saucedo, Roberto y Earl E. Schiring (1968), Introduction to Continuous And Digital Control

Sy stems. Nueva York: MacMillan.