control digital
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Control analogico y digitalTRANSCRIPT
PROYECTO FINAL - Control Digital
SE REALIZAN TRABAJOS DE CONTROL ANALOGICO, CONTROL
DIGITAL Y SEÑALES DISCRETAS
CONTACTO: 300 616 0902
GUÍA DE ACTIVIDADES
El trabajo consiste de dos actividades (una teórica y una práctica), con una sola entrega.
Actividad Teórica: La primera actividad está compuesta de una serie de ejercicios que deberán
ser desarrollados de forma analítica por cada uno de los estudiantes del grupo colaborativo.
Cada estudiante debe realizar al menos un aporte significativo por cada ejercicio propuesto en
el tema denominado Aportes al proyecto final. Para el desarrollo de la primera actividad se
propone el siguiente esquema de control:
Ejercicio 1:
a) Calcule la constante de error de posición Kp, el error en estado estacionario ante una
entrada escalón unitario y el tiempo de establecimiento para la función de
transferencia de la planta discretizada sin controlador en lazo cerrado.
b) Diseñe un controlador PID digital para que el sistema en lazo cerrado tenga un sobre
impulsó máximo de 20% y un tiempo de establecimiento menor de 2 segundos.
Suponga que el tiempo de muestreo es Ts = 0.1 segundos.
Suponga que la función de transferencia de la planta es:
DESARROLLO:
El primer análisis se realiza al sistema de control de lazo cerrado sin controlador:
De donde salen como ecuaciones:
(1)
(2)
Reemplazando (1) en (2) y aplicando operador asterisco:
[ ]*
Ahora,
[ ]*
Reemplazando (3) en (4)
Ecuación en diferencia del sistema de control:
=
Sabemos, que
Donde es el operador de transformada Z.
=
A través de la función C2DM de MATLAB que convierte sistemas continuos LTI a tiempo
discreto, se hallan los coeficientes numerador y denominador de la transformada Z.
De donde:
[nGZ]= [0 0.0045 0.0041]
[dGZ]=[1 -1.7236 0.7408]
La transformada de la planta y el retenedor de orden cero (zoh) es:
La función de transferencia de discretizada queda:
a) Calcule la constante de error de posición Kp, el error en estado estacionario ante una
entrada escalón unitario y el tiempo de establecimiento para la función de
transferencia de la planta discretizada sin controlador en lazo cerrado.
Calcule la constante de error de posición :
Calcule el error en estado estacionario ante una entrada escalón unitario:
La formula general para hallar el error de estado estacionario es la siguiente,
Pero, ya que la entrada es un escalón unitario
, y utilizando el valor de se
obtiene la formula.
Donde,
Esta fórmula permite simplificar en gran medida el cálculo del error en estado estacionario
para una entrada escalón unitario.
Calcule el tiempo de establecimiento para la función de transferencia de la planta
discretizada sin controlador en lazo cerrado.
Para hallar el tiempo de establecimiento se toma la planta y se iguala con la ecuación general
de segundo orden para hallar sus parámetros:
Entonces
De lo anterior se puede deducir:
Para calcular el tiempo de establecimiento:
b) Diseñe un controlador PID digital para que el sistema en lazo cerrado tenga un sobre
impulsó máximo de 20% y un tiempo de establecimiento menor de 2 segundos.
Suponga que el tiempo de muestreo es Ts = 0.1 segundos.
Sp= 20%
Para encontrar el área de diseño, se utilizan las siguientes ecuaciones:
Graficando esta zona de diseño se obtiene:
FIG1. Zona de diseño Controlador PID.
Contacto: 300 616 0902
La ecuación de un controlador PID
Utilizamos los datos anteriormente encontrados y hallamos la planta con el retenedor de
orden cero (Zoh).
Quedando como función de transferencia pulso:
Utilizando la ecuación anterior, y la función de transferencia pulso de un controlador PID digital , construimos el modelo de sistema de control digital en función de la transformada z para el que la función de transferencia pulso se deduce substituyendo las ecuaciones , en la ecuación:
Función de transferencia pulso de un controlador PID digital
Para desarrollar el controlador PID por métodos manuales es bastante complicado, así que
utilizaremos la herramienta sisotool de MATLAB para hallar las constantes Kp, Ki y Kd.
FIG2. Ecuación del controlador en SISOTOOL
Ecuación del controlador PID:
Se comprueba la acción del controlador mediante la herramienta SIMULINK de MATLAB.
FIG3. Diagrama SIMULINK para comprobar controlador.
Ejercicio 2:
Suponga que la función de transferencia de la planta es:
a) Calcule la constante de error de velocidad Kv, el error en estado estacionario ante una
entrada escalón unitario para la función de transferencia de la planta discretizada sin
controlador en lazo cerrado; y el margen de fase para la función de transferencia de la
planta discretizada sin controlador en lazo abierto.
Constante de error de velocidad Kv
Ahora,
De donde,
Entonces para hallar Kv:
Encontrar el error en estado estacionario ante una entrada escalón unitario para la
función de transferencia de la planta discretizada sin controlador en lazo cerrado
Tenemos que G (Z):
La ecuación para encontrar el error de estado estacionario es
De donde después de una serie de operaciones algebraicas se obtiene:
Hallar el margen de fase para la función de transferencia de la planta discretizada sin
controlador en lazo abierto.
Para hallar el margen de Fase se aplica la transformada bilineal:
Entonces:
De donde al final se obtiene:
El siguiente paso es graficar en MATLAB y calcular en el diagrama de bode el valor del
margen de fase:
Para mayor facilidad de cálculo se cambio la W por la S, para manejarlo en matlab.
FIG4. Margen de fase
Como se puede observar el margen de fase es de PM= 48.3º que no está lejos del PM pedido
por el numeral (b) por esta razón hay que compensar.
b) Diseñe un compensador digital en adelanto-atraso para que el sistema en lazo cerrado
tenga un margen de fase de 50º y la constante de error de velocidad sea Kv= 2.
Suponga que el tiempo de muestreo es Ts = 0.2 segundos.
Condiciones de diseño:
Hay que ajustar el margen de fase de 90º a 60º, afectando el estado transitorio.
Kv es una condición de diseño que afecta el estado estable.
Para este caso s e va a utilizar un compensador de primer orden por su facilidad y pronto
entendimiento:
Donde la ganancia Kd debe ser
Para diseñar se deben tener las siguientes consideraciones:
Para que no afecte la respuesta de estado estacionario o el polo (zp) debe ser un valor real dentro del círculo unitario.
Para un adelanto de fase, el cero es mayor que el polo (zo > zp) y Kd es mayor que 1 (Kd > 1).
Se tiene a como:
Para el sistema de control completo es necesario incluir el controlador , dando como
resultado:
Para el sistema de control se deben estipular una región de diseño del compensador, el
enunciado nos da un Ts=0.2, pero es necesario también tener un factor de amortiguamiento
por esta razón se asumirá un factor de amortiguamiento de ξ=0.5.
Como condiciones de la zona de diseño se tiene:
Evaluamos para las condiciones de diseño:
Y para facilitar el análisis manual hacemos ZPK de matlab a G(Z), quedando una ecuación de
polos y ceros más fácil de entender:
Para compensar en fase no se puede hacer solo con ganancia, ya que el aporte en fase del
compensador seria de 0º.
El margen de fase en este caso está en 57.66º, se necesitan compensar 7.66º,Y se tiene que
pasar de un Kv=0 a un Kv=2.
Uno de los métodos más utilizados para compensar es ayudado del compensador atraso o
adelanto, eliminar un polo de la función de transferencia y con el polo que queda del
compensador, compensar el faltante de margen de fase.
Elimine el polo localizado en Z=0.8086 y para encontrar el Zp y Kd se utilizara SISOTOOL de
MATLAB.
FIG5. Margen de fase y LGR controlador.
En la figura anterior se observa que las condiciones de margen de fase han sido superadas,
ahora en la siguiente figura se observara, el valor del polo Zp y la ganancia K.
De esta manera el compensador adelanto-atraso tiene la forma:
1.2. Actividad Práctica: La segunda actividad está compuesta de una serie de ejercicios que
MATLAB®. Cada estudiante debe realizar al menos un aporte significativo por cada ejercicio
propuesto en el tema denominado Aportes al proyecto final. Para el desarrollo de la segunda
actividad se utilizará el mismo esquema de control de la primera actividad.
Ejercicio 3:
Con los valores del Ejercicio 1 de la Actividad Teórica, utilice MATLAB® para:
a) Dibujar la respuesta de la planta
en lazo cerrado sin controlador
ante una entrada escalón unitario ¿los valores de y corresponden a los
encontrados en el inciso (a)?
Para dibujar la planta en lazo cerrado se utiliza el siguiente código en MATLAB
Los valores de de y en lazo cerrado, verifican el correcto desarrollo del inciso (a) del
punto 1 en la parte teórica.
FIG6. Lazo cerrado PLANTA
b) Dibujar la respuesta del sistema con controlador en lazo cerrado ante un escalón
unitario. ¿Los valores de tiempo de establecimiento y sobre impulso corresponden a
los encontrados en el inciso (b)?
Para dibujar controlador y planta en lazo cerrado se utiliza el siguiente código en
MATLAB
Los valores de de tiempo de establecimiento y sobre impulso en lazo cerrado,
verifican el correcto desarrollo del inciso (b) del punto 1 en la parte teórica.
FIG7. Lazo cerrado planta vs Controlador
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Ejercicio 4:
a) Con los valores del Ejercicio 2 de la Actividad Teórica, utilice MATLAB® para Dibujar el
diagrama de Bode de la planta ¿El margen de fase corresponde al encontrado en
el inciso (a) del segundo punto?
Para dibujar el diagrama de bode de , se utilizo el siguiente código:
De donde se obtuvo:
FIG8. Margen de fase en MATLAB
Con un de , que es muy similar pero no igual al margen de fase encontrado en el
inciso a) del segundo punto; no son iguales por algunos pequeños errores de cálculo.
b) Dibujar el diagrama de Bode del sistema compensado. ¿El margen de fase corresponde
al encontrado en el inciso (b) del segundo punto?
Para dibujar el diagrama de bode de , del sistema compensado se utilizo el siguiente
código:
FIG9. Diagrama de Bode y margen de fase
Para este punto el margen de fase corresponde a 50.7º, muy similar al margen de fase del
inciso (b) del segundo punto, se pudieron presentar errores de cálculo.
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