COORDENADAS CURVILINEAS

ESPACIOS DE RIEMANN Por Javier de Montoliu Siscar, Dr. Ing. Ind. 3ª Edición. Enero 2000.

PREAMBULO

En este ensayo estudiaremos de forma elemental la

utilización de sistemas coordenados curvilíneos, y en especial la aplicación de éstos a los espacios de Riemann. Para ello seguiremos en líneas generales el orden del texto de "Elementos de Algebra Tensorial" de Lichnerowicz, aunque hoy dia esté superado.

Nuestro objeto no es profundizar en estos temas ni

hacer demostraciones, sino solamente, intentar ver si el método intrínseco de álgebra y análisis tensorial que hemos aplicado en escritos anteriores puede ser útil para el estudio de un espacio de Riemann.

El estudio está dividido en dos partes. En la primera se considera un espacio euclidiano en

general (aunque no sea propiamente euclidiano), a través de la adopción de un sistema de coordenadas curvilíneas. Esta primera parte constituye una introducción a la segunda parte, que está dedicada a los espacios riemanianos.

Barcelona febrero de 2002.

I

TABLA DE CONTENIDO PREAMBULO.................................................... 1 TABLA DE CONTENIDO........................................... I COORDENADAS CURVILINEAS. ESPACIOS DE RIEMANN................. 1 A.- COORDENADAS CURVILINEAS EN UN ESPACIO EUCLIDIANO ....... 1 1.- Generalidades. ....................................... 1 2.- Símbolos de Christoffel. ............................. 4 3.- Campo de los e→i y de los e

→i. .......................... 6 4.- Campos en general. Diferencial y derivada absoluta. . 10 5.- Campo de vectores v→. ................................ 13 6.- Campo de tensores. .................................. 15 7.- Campo escalar. ...................................... 18

B.- ESPACIOS DE RIEMANN ................................... 19 1.- Definición. ......................................... 19 2.- Espacios euclidianos y métricas tangentes. .......... 20 3.- Tensores en Vn....................................... 22 4.- Tensor de Riemann-Christoffel. ...................... 26 5.- Tensor derivada de R

→................................ 31

6.- Tensor de Ricci. .................................... 32 7.- Curvatura riemanniana escalar. ...................... 34 8.- Relación de R

→,R→

2 y R con el tensor L→ fundamental de

Gauss de 2ª especie. .................................... 35 INDICE DE EQUACIONES........................................ 39

1

COORDENADAS CURVILINEAS. ESPACIOS DE RIEMANN.

A.- COORDENADAS CURVILINEAS EN UN ESPACIO EUCLIDIANO

1.- Generalidades. 1.01.- Espacio puntual afín. Tensores de punto. Un espacio puntual afín euclidiano de dimensión n, se

caracteriza por su asociación con un espacio vectorial euclidiano de n dimensiones de manera que en cada uno de los espacios geométricos EO, EA,... , que resultan de tomar como origen los diversos puntos del espacio puntual, pueden adoptarse bases correspondientes a las de E (equipolencia) y en consecuencia puede definirse una correspondencia entre puntos y bases de E.

La correspondencia adoptada habitualmente es la de

cualquier punto del espacio afín con una misma base de E. Según sea la correspondencia elegida serán las

coordenadas de un mismo tensor de punto en un punto dado, 1.02.- Coordenadas curvilíneas. Hagamos corresponder biunívocamente a cada punto de un

espacio puntual afín euclidiano y n-dimensional un sistema arbitrario de n variables escalares {yi}.

Para ello bastará evidentemente que las coordenadas

normales de un punto usadas hasta ahora sean funciones independientes y por tanto biunívocas de las n variables {yi} correspondientes al punto.

Diremos que el sistema {yi} es un sistema de

coordenadas curvilíneas del espacio si las funciones biunívocas de las que acabamos de hablar son por lo menos tres veces diferenciables. Designando por ∂ir

→ a

∂ir→ = iy

r∂∂r

existen por tanto las siguientes derivadas respecto a estas coordenadas variables:

∂kr→; ∂jkr

→; ∂ijkr→

cuyo valor es independiente del orden en que se efectúa la derivación.

La adopción de un sistema de coordenadas curvilíneo,

corresponde a la elección como origen del punto {0,0,..,0}.

2

l.03.- Los valores yi correspondientes a cada punto del espacio son las llamadas coordenadas curvilíneas del mismo.

Llamando curvas coordenadas a los lugares geométricos

de los puntos del espacio cuyas coordenadas excepto una son las mismas, en dicho espacio tendremos n sistemas de curvas coordenadas.

Como los anteriores l. g. no son en general líneas

rectas, de aquí procede la denominación de coordenadas curvilíneas.

1.04.- Sistema natural en un punto. Dado un sistema {yi} de coordenadas curvilíneas y un

punto del espacio euclidiano n-dimensional, asociaremos a dicho punto una base {e→i} del espacio de tal manera que las derivadas direccionales que en análisis tensorial se han designado por ∂ir

→ tengan el mismo valor que las llamadas ahora de esta manera.

Ello significará pues:

iyr

∂∂r = ∂ir

→ = (e→i∇)r→ = e→i(∇⊗r→) = e→i

quedando definidos los vectores base por:

(1) e→i = ∂ir→ = iy

r∂∂r

para el punto en cuestión.

Así pues podemos escribir con referencia al punto:

(2) dr→ = dyie→i; e→jdr→ = dyj

(3) ∂jir→ = ∂ijr

→ = ∂ie→

j = ∂je→

i

(4) ∂ijkr→ = ∂jie

→k =∂ije

→k =∂ike

→j =∂kie

→j =∂kje

→i =∂jke

→i

La base {e→i} se denomina sistema natural en el punto,

del sistema {yi} de coordenadas curvilíneas. De esta manera queda establecido el espacio como un

campo de los diversos vectores base e→i y además como un campo de todos los tensores derivados de los mismos, como los vectores de las bases duales y los elementos de las matrices métricas correspondientes.

1.05.- Todos los tensores asociados al punto ó tensores

τ→ de punto se considerarán de ahora en adelante y salvo aviso en contrario, como referidos a la base natural del punto.

3

También podrán ser considerados como aplicaciones de multiplicidad n de las n coordenadas yi elegidas como independientes y en el campo de éstas se verificará:

(5) dτ→ = dyi∂iτ→

para todos los tensores de punto, incluídos los e→i, e

→i y g1j.

1.06.- El elemento lineal del espacio en cada punto, y en función de las nuevas coordenadas, será:

(6) dr→2 =ds2 =(dyie→i)(dyje→j) =(e

→ie→

j)dyidyj =gijdy

idyj 1.07.- En un cambio de sistema coordenado curvilíneo,

si las coordenadas {yi} de un punto se convierten en {yk'}, las yi son funciones tres veces diferenciables de las yk' y recíprocamente.

Se deduce fácilmente de '1.02. 1.08.- En el cambio de coordenadas á que acabamos de

referirnos, podemos escribir por (2):

dr→ =dyk'e→k' y por consiguiente:

e→i = iyr

∂∂r = i

k

yy

∂∂ ′

e→k’; e→j = jy

r∂∂r = j

h

yy

∂∂ ′

e→h’

e→ie→j = i

k

yy

∂∂ ′

j

h

yy

∂∂ ′

e→k’e→

h’

resultando la siguiente relación:

(7) gij = i

k

yy

∂∂ ′

j

h

yy

∂∂ ′

gk’h’

1.09.- Para un sistema de curvas coordenadas, hemos

deducido aquí un campo de bases vectoriales y es fácil ver que cuando el sistema de curvas coordenadas coincida con el de las coordenadas cartesianas habituales, el campo de bases será uniforme.

Existe pues una correspondencia recíproca entre

sistemas de curvas coordenadas y campos de bases vectoriales, y la elección de los unos determina a los otros.

4

2.- Símbolos de Christoffel. 2.01.- Como veremos, resulta conveniente utilizar las

siguientes expresiones características de un sistema coordenado curvilíneo en el entorno infinitesimal de un punto dado.

(8) Γkji=(∂ke→i)e→j=(∂ie

→k)e→j; Γk

j

i =(∂ke→

i)e→j =(∂ie

→k)e→j

En virtud de (3) y de la definición, existe una

simetría entre índices extremos:

Γkji = Γijk; Γk

j

i = Γi

j

k

2.02.- Paso de una a otra expresión. En el campo de las variables e→i y e

→j sabemos por algebra tensorial que se verifica:

e→i = gihe→h; e→i = gi

he→h, e→j = gjhe→h; e

j = gh

je→h

y por lo tanto:

Γkji =(∂ke→i)e→j = (∂ke

→i)gjhe

→h = gjhΓk

h

i

Γk

j

i =(∂ke→i)e→j = (∂ke

→i)g

jhe→h = gjhΓkhi

Γkji =(∂ke→i)e→

j = (∂ke→

i)gj

he→h = gj

hΓkhi

Γk

j

i =(∂ke→i)e→j = (∂ke

→i)gh

je→h = gh

jΓk

h

i 2.03.- Expresión de las Γ en función de los gij. Para una variación dr→ por (5) se verifica:

dgij = dyk∂kgij = dy

k∂k(e→ie→j) = dy

k[(∂ke→

i)e→

j + (∂ke→

j)e→

i] = dyk(Γkji + Γkij)

y por lo tanto

∂kgij = Γkji + Γkij

de donde también:

∂igjk = Γikj + Γijk

∂jgki = Γjik + Γjki

Teniendo en cuenta la simetría de las Γ al sumar

miembro a miembro las dos primeras igualdades y restar la tercera, obtenemos:

5

2Γkji = ∂kgij + ∂igjk - ∂jgki Por consiguiente:

Γkji = 21(∂kgij + ∂igjk - ∂jgki)

Γk

j

i = gjhΓkhi = 2

1gjh(∂kgih + ∂ighk - ∂hgki)

2.04.- Símbolos de Christoffel. Son los algoritmos

definidos por:

Símbolo de 1ª especie: {ki,j} = 21(∂kgij + ∂igjk - ∂jgki)

Símbolo de 2ª especie: {k

j

i} = gjh {ki,h}

Teniendo en cuenta estos símbolos, los resultados

anteriores pueden expresarse así:

Γkji = {ki,j}

Γk

j

i = {k

j

i} 2.05.- Los símbolos de Christoffel, que son escalares,

también son coeficientes tensoriales pero no de un tensor de tercer orden sino del tensor ∇⊗e→i o derivada de e

→i, que es de

segundo orden, como podrá verse en '3.04 a,b. 2.06.- La importancia de los símbolos de Christoffel

deriva de la utilidad de su conocimiento para determinar diversas características de un espacio y de que a su vez son calculables, como hemos visto, a partir de los elementos de la matriz métrica, y éstos son datos de utilización habitual.

6

3.- Campo de los e→i y de los e

→i. 3.01.- Recordaremos del álgebra tensorial: Tensor I

→ de la aplicación idéntica de un vector:

I→ = e→i⊗e

→i = e→j⊗e→j Expresión de un tensor τ→ en relación con una base

{σ→i} ó {σ→j} del espacio vectorial de los tensores de su orden:

τ→ = tiσ→i = tjσ→j

ti = τ→σ→i; tj = τ→σ→j

También tendremos presente (5) y las ecuaciones

anteriores. 3.02.- Tensor diferencial de→i. a) Coeficiente contravariante relativo a e→j:

de→ie→j = [dyk(∂ke

→i)]e

→j = dykΓk

j

i b) Coeficiente covariante relativo a e→j:

de→ie→j = [dy

k(∂ke→i)]e

→j = dy

kΓkji c) Expresiones de de→i y ∂ke

→i deducidas de a) y b):

de→i = dykΓk

j

ie→j =dy

kΓkjie→j

y como tenemos por (5):

de→i = dyk∂ke→

i

podremos escribir:

∂ke→i = Γkjie

→j = Γk

j

ie→j

3.03.- Tensor diferencial de→i. a) Coeficiente covariante relativo a e→j: Se verifica:

de→i e→j = d(e→ie→j) - e

→i(de→j) = -dykΓk

i

j

puesto que e→ie→j en todo punto es o cero o uno y por tanto el primer término tiene diferencial nula y en cuanto al segundo hemos visto su valor en el párrafo anterior.

7

b) Expresión de de→i y de ∂ke

i: De la misma manera que en el párrafo anterior

obtenemos: de→i = -dykΓk

i

je→j; ∂ke

→i = -Γk

i

je→j

3.04.- ∇⊗e→i (Derivada de e

→i).

a) Coeficiente mixto relativo e e→j⊗e→k:

[(e→j∇)=∂j]: (∇⊗e→i)(e→

j⊗e→k) = (∂je

→i)e→k = Γj

k

i

b) Coeficiente covariante relativo a e→j⊗e→k:

[(e→j∇)=∂j]: (∇⊗e→i)(e→

j⊗e→

k) = (∂je→

i)e→k = Γjki

c) Expresión de ∇⊗e→i deducida de a) y b):

∇⊗e→i = Γj

k

i(e→j⊗e→k) = Γjki(e

→j⊗e→k) 3.05.- ∇⊗e→i (Derivada de e→i). El coeficiente covariante relativo a e→j⊗e→k es:

(∇⊗e→i)(e→j⊗e→

k) = (∂je→i)e→k = -(∂je

→k)e→i = -Γj

i

k

y por tanto:

∇⊗e→i = -Γj

i

k(e→j⊗e→k)

3.06.- Divergencias. Recordaremos que I

→(a→⊗b→) = a→b→, y por lo tanto:

∇e→i =I→(∇⊗e→i) = I

→Γj

k

i(e→j⊗e→k) = Γj

k

i(e→je→k) = Γk

k

i

∇e→i =I→(-Γj

i

k)(e→j⊗e→k) = -Γj

i

k(e→je→k) = -Γj

i

kgjk

3.07.- Tensores rotacionales. Como en un término aislado podemos permutar j y k,

escribiremos:

∇∧e→i = (∇⊗e→i)-(ei⊗∇) = Γjki(e→j⊗e→k) - Γjki(e

→k⊗e→j) =

= Γjki(e→j⊗e→k) - Γkji(e

→j⊗e→k) = (Γjki - Γkji)(e→j⊗e→k)

∇∧e→i = (∇⊗e→i)-(ei⊗∇) = -Γj

i

k(e→j⊗e→k) + Γj

i

k(e→k⊗e→j) =

= -Γj

i

k(e→j⊗e→k) + Γk

i

j(e→j⊗e→k) = (Γk

i

j -Γj

i

k)(e→j⊗e→k) = 0

3.08.- ∇⊗e→i es un tensor simétrico, pues acabamos de

8

ver que el tensor rotacional de e→i es nulo. En consecuencia el campo de los e→i admite potencial. Vamos a ver que el potencial relativo a e→i puede

expresarse en cada punto por su coordenada yi. Pues sabemos que se verifica:

∂jyi = j

i

yy

∂∂

= ij∂ (símbolo de Kronecker)

y tendremos:

∇(yi) = (e→j∂j)yi = e→j(∂jy

i) = e→j∂j

i = e→i Así pues e→i es el gradiente del campo de coordenadas. 3.09.- Como salvo el caso de coordenadas rectilíneas no

es simétrico el tensor ∇⊗e→i en todos los puntos del espacio, la circulación de e→i en una línea cerrada no será nula en general, y tendremos:

∫ e→idr→ ≠ 0

Por lo tanto e→idr

→ no es diferencial de una función yi de punto, lo que habremos de tener en cuenta si escribimos

e→idr→ = dyi

No existe pues, en general, un sistema coordenado {yi}

dual del original {yi}. Para evitar confusiones, de ahora en adelante no

consideraremos los símbolos ∂i, ∇i, ni sustituiremos dr→ por dyie→i.

3.10.- Relación de Γk

i

i con g = Det {gih}: Partiremos del valor de g visto al tratar del tensor

fundamental en el álgebra tensorial (10 parte D'4.05), y diferenciaremos este valor a continuación:

g= [(e→1∧e→2∧..∧e→n)’]

2 ⇔

dg = 2(e→1∧e→

2∧..∧e→n)’ [∑i(e→

1∧e→2∧..∧de→i∧..∧e→n)’]

Sustituyendo de→i por el valor dykΓk

j

ie→

j hallado anteriormente, tendremos:

= 2(e→1∧..∧e→n)’[dykΓk

j

i(e→1∧e→

2∧..∧e→j∧..∧en)’] = 2g dykΓk

i

i

pues el sumatorio respecto j solamente no se anula para j=i,

9

convirtiéndose en un sumatorio respecto i. Del último valor deducido, sabiendo que dg = dyk∂kg y

para cualquier signo de g, obtenemos:

⇒ ∂kg = 2gΓk

i

i ⇔ Γk

i

i = g2gk∂ =

|g|

|g|k∂

En consecuencia, también se verifica:

∇e→i = |g|

|g|i∂

10

4.- Campos en general. Diferencial y derivada absoluta.

4.01.- Sea un campo tensorial de tensores τ→ de

cualquier orden asociados a los puntos del espacio. Los coeficientes del tensor los supondremos siempre referidos a la base natural del punto asociado, determinada por el sistema de coordenadas curvilíneo adoptado.

Las propiedades generales de estos campos tensoriales

serán estudiadas aquí a través de tensores de segundo orden, pero podremos ver que es fácil extenderlas a tensores de cualquier orden.

La variación que experimenta una coordenada tij de un

tensor τ→ al considerar el nuevo tensor correspondiente a un punto infinitamente próximo dado por dr→ = dyke→k con su nueva base, es evidentemente:

(9) dtij = dyk∂kt

ij como resulta de aplicar la ecuación general (5). 4.02.- Si para el segundo punto considerado hubiésemos

tomado la misma base que para el primero en vez de considerarla distinta, la variación obtenida para el coeficiente examinado sería distinta.

Esta última variación es la que se denomina diferencial

total ó absoluta del coeficiente tij del tensor de campo τ→, que aquí designaremos por dat

ij. La designación habitual es ∇tij, pero aquí no la

usaremos para evitar confusiones con el vector nabla ∇. La diferencial absoluta de un coeficiente tij de τ→ vemos

que coincide con el coeficiente de dτ→ respecto al tensor base e→

i⊗e→

j correspondiente al primer punto de referencia y por tanto podremos escribir:

(10) datij = dτ→(e→i⊗e→j) = da[τ

→(e→i⊗e→j)]

(11) dτ→ = (datij)(e→i⊗e

→j) [= (datij)(e

→i⊗e→j) = ...] como ecuaciones fundamentales para cualquier orden

tensorial. 4.03.- La diferenciación absoluta sólo tiene sentido

cuando se aplica a los coeficientes tensoriales correspondientes a tensores independientes del sistema coordenado adoptado, y sigue las reglas de la diferenciación normal.

Tendremos por ejemplo para un doble campo τ→ y σ→:

11

da(tijsnm) =da[(τ

→⊗σ→)(e→i⊗e→j⊗e→n⊗e→m)] =[d(τ

→⊗σ→)](e→i⊗e→j⊗e→n⊗e→

m)=

[(dτ→⊗σ→) + (τ→⊗dσ→)](e→i⊗e→j⊗e→n⊗e→

m) =

=[dτ→(e→i⊗e→j)]snm + tij[dσ→(e→n⊗e

→m)] = (dat

ij)snm + tij(dasnm)

4.04.- La aplicación de la regla anterior se simplifica

cuando uno de los tensores es coeficiente del tensor idéntico I→,

pues por tener dI→=0→, se verifica:

0 = dagij = dag

ij = dagj

i

o teorema de Ricci. Esto significa también, que son permutables las

operaciones diferenciación absoluta y multiplicación por un coeficiente de I

→. Ejemplo:

da(g

ijtsk) = gij(datsk)

4.05.- Derivada absoluta covariante. La derivada absoluta covariante, al igual que la

diferencial absoluta, solo tiene sentido cuando se aplica a los coeficientes tensoriales correspondientes a tensores independientes del sistema coordenado adoptado.

4.06.- Definición.- Dado un tensor de campo τ→, llamamos derivada absoluta

covariante de uno de sus coeficientes tij respecto a k en un punto dado, al valor que para el punto tiene la siguiente expresión:

(12) ∇ktij = k

ija

dytd

⇔ datij = dyk(∇kt

ij)

Puede verse fácilmente que el operador ∇k de derivación

absoluta covariante actúa sobre los productos de coeficientes tensoriales de igual manera que el operador de derivación ordinaria.

Una derivada absoluta solo tiene sentido cuando está

aplicada a un coeficiente tensorial y en virtud de la ecuación anterior o las (13),(14), ó (15) siguientes.

4.07.- Relación entre la derivada parcial de un tensor

y las derivadas absolutas covariantes. Es la siguiente:

(13) ∂kτ→ = ∂k[t

ij(e→i⊗e→j)] = (∇kt

ij)(e→i⊗e→

j) ⇒

⇒ ∂kv→ = (∇kv

i)e→i ⇒ ∂kϕ = ∇kϕ Puesto que teniendo en cuenta (5) y (11) se verifica:

(14) dτ→ =dyk(∂kτ→); dτ→ =(dat

ij)(e→i⊗e→

j)=dyk(∇kt

ij)(e→i⊗e→

j) ⇒

12

⇒ dv→ = dyk(∇kvj)e→j dϕ = dyk∇kϕ=dy

k∂kϕ 4.08.- Sea el producto contracto de una magnitud

tensorial τ→ de punto por un tensor operador tal como ∇, (∇×) ó (∇⊗) que representaremos por ϕ→(∇). Ejemplo para τ→=tij(e→i⊗e

→j).

Se verifica:

[ϕ→(∇)]τ→ =[ϕ→(e→k∂k)]τ→ =[ϕ→(e→k)]∂kτ

→ = =[ϕ→(e→k)](∇kt

ij)(e→i⊗e→

j) Aplicación a ∇⊗τ→ [ϕ→(e→k) = e→k⊗]:

(15) ∇⊗τ→ = e→k⊗(∂kτ→) = e→k⊗[∇kt

ij(e→i⊗e→

j)] = (∇ktij)(e→k⊗e→i⊗e

→j)

4.09.- Propiedades diversas. Vemos por la última ecuación que las derivadas

covariantes son los coeficientes del tensor derivada. De los casos anteriores se deduce también:

∇ktij = (dkτ

→)(e→i⊗e→j)

∇ktij = (∇⊗τ→)(e→k⊗e

i⊗e→j) 4.07.- Casos particulares. a) Si para un dominio, el campo de τ→ es uniforme, en

sus puntos se verificará:

datij = 0; ∇kt

ij = 0 b) Si para un dominio las coordenadas son rectilíneas,

en él se verificará:

datij = dtij; ∇kt

ij = ∂ktij

y recíprocamente. c) Son permutables las operaciones derivación

covariante y multiplicación por un coeficiente de I→:

∇k(gijt

kn) = gij(∇ktkn)

13

5.- Campo de vectores v→. 5.01.- Sea un campo vectorial v→=vie→i=vie

i. Vamos a estudiar sus características al adoptar un sistema de coordenadas curvilíneas.

5.02.- Diferenciales absolutas:

davi = dv→ e→i = [d(vhe→h)]e

→i = (dvh)e→he→i + vh(de→h)e

→i = = dvi + vh dykΓk

i

h = dyk(∂kv

i + vhΓk

i

h)

davi = dv→ e→i = [d(vhe

→h)]e→i = (dvh)e→he→i + vh(de

→h)e→i = = dvi - vh dy

kΓk

h

i = dyk(∂kvi - vhΓk

h

i) 5.03.- Derivadas covariantes absolutas: De las ecuaciones anteriores y de (8) deducimos:

∇kvi = ∂kv

i + vhΓk

i

h

∇kvi = ∂kvi - vhΓk

h

i 5.04.- Diferencial de v→: Como sus coeficientes son, por '4.02, las diferenciales

absolutas de los coeficientes de v→, tendremos:

dv→ = (dvi + vhdykΓk

i

h)e→

i = dyk(∂kv

i + vhΓk

i

h)e→

i

dv→ = (dvi - vhdykΓk

h

i)e→i = dyk(∂kvi - vhΓk

h

i)e→i

5.05.- Derivada de v→: Sus coeficientes son, por '4.09, las derivadas

absolutas covariantes de los coeficientes de v→, tendremos:

∇⊗v→ = ∇kvi(e→k⊗e→i) = (∂kv

i+vhΓk

i

h)(ek⊗e→i)

∇⊗v→ = ∇kvi(e→k⊗e→i) = (∂kvi-vhΓk

h

i)(ek⊗e→i)

5.06.- Divergencia ∇v→:

∇v→ = I→(∇⊗v→) = I→(∂kvi + vhΓk

i

h)(e→k⊗e→i) = ∂iv

i + vhΓi

i

h Sabiendo por '3.09 que se verifica

Γk

i

i = g2gk∂ =

|g|

|g|k∂

podemos hallar otra expresión:

14

∇v→ = ∂ivi + vh

|g|

|g|h∂ = ∂iv

i + vi|g|

|g|i∂ =

|g|

1∂i( |g| vi)

5.07.- Tensor rotacional Rot v→ = ∇∧v→ = ∇⊗v→ - v→⊗∇ Se verifica:

∇⊗v→ = (∂kvi-vhΓk

h

i)(e→k⊗e→i)

v→⊗∇ = (∂kvi-vhΓk

h

i)(e→i⊗e→k) = (∂ivk-vhΓi

h

k)(e→k⊗e→i)

Como las Γ tienen simetría i,k, al restar obtendremos:

Rot v→ = (∂kvi - ∂ivk)(e→k⊗e→i)

y por consiguiente:

Rotkiv→ = ∂kvi - ∂ivk

15

6.- Campo de tensores. Sea un campo de tensores τ→ independientes del sistema

coordenado adoptado, tensores que para mayor sencillez supondremos de 21 orden. Los resultados será fácil extenderlos a órdenes superiores.

6.01.- Diferenciales absolutas.

dati

j = dτ→(e→i⊗e→j) = (e→i⊗e

→j)[d{tn

m(e→n⊗e→m)}] =

=(e→i⊗e→j)[dtn

m(e→n⊗e→m) + tn

m(de→n⊗e→m) + tn

m(e→n⊗de→m)] =

=dtn

m(e→ie→n)(e→je→m) +tn

m(e→ide→n)(e→je→m) +tn

m(e→ie→n)(e→jde→m)=

= dti

j + tn

j(-e→nde→i) + ti

m(e→jde→m) = = dti

j - tn

jdykΓk

n

i + ti

mdykΓk

j

m Análogamente tendríamos:

datij = dtij + tnjdykΓk

i

n + tindykΓk

j

n

datij = dtij - tnjdykΓk

n

i - tindykΓk

n

j

correspondiendo el signo positivo o negativo a la Γ con la n en posición inferior o superior respectivamente.

6.02.- Derivadas absolutas covariantes. Sustituyendo dti

j, dtij y dtij en las expresiones anteriores por sus equivalentes respectivas

dyk∂kti

j, dyk∂ktij y dyk∂ktij

y procediendo como en el campo vectorial, tendremos:

∇kti

j = ∂kti

j - tn

jΓk

n

i + ti

nΓk

j

n

∇ktij = ∂kt

ij + tnjΓk

i

n + tinΓk

j

n

∇ktij = ∂ktij - tnjΓk

n

i - tinΓk

n

j 6.03.- Diferencial de τ→. Obtendremos su expresión sustituyendo en

dτ→ = dati

j(e→i⊗e→j) = datij(e→i⊗e→j) = dat

ij(e→i⊗e→

j)

los valores hallados para las diferenciales absolutas. 6.04.- Derivada de τ→. Hemos visto su obtención en '4.08:

16

∇⊗τ→ = ∇kti

j(e→k⊗e→i⊗e→j) = ∇ktij(e→k⊗e→i⊗e

→j) = ∇ktij(e

→k⊗e→i⊗e→j) Las derivadas absolutas siempre son coeficientes de las

derivadas totales. 6.05.- Cuando el campo tensorial es uniforme, serán

evidentemente nulas las diferenciales y derivadas absolutas en todos los puntos y recíprocamente.

Tiene especial interés el campo del tensor I

→, que es

uniforme para todo espacio euclidiano. Por '6.02 tenemos para él:

0 = ∇kgi

j = ∂kgi

j - gn

jΓk

n

i + gi

nΓk

i

n

0 = ∇Kgij = ∂kg

ij + gnjΓk

i

n + ginΓk

j

n

0 = ∇kgij = ∂kgij - gnjΓk

n

i - ginΓk

n

j

y sustituyendo por '2.02 en la 1ª y 3ª ecuación, tendremos:

0 = ∂kgi

j - Γk

j

i + Γk

i

i

0 = ∂kgij - Γkji - Γkij 6.06.- El vector ∇ a los efectos de la derivación

absoluta puede considerarse como un vector uniforme ∇=∇ke→k

respecto a una base uniforme y a los símbolos ∇k como coeficientes vectoriales, y por tanto posibles objetos de derivación covariante.

Vamos a ver una aplicación de esto, a obtener la

expresión del tensor ∇⊗∇⊗v→ mediante (15) y (13):

∇⊗∇⊗v→ = ∇⊗[∇⊗v→] = e→k⊗[∇k(∇ivj)](e→i⊗e→j) = (∇kiv

j)(e→k⊗e→i⊗e→j) Una consecuencia de lo que antecede, y de que la

derivación absoluta covariante opera como la ordinaria, es que se verifica lo siguiente:

∇k(∇iv

j) = (∇k∇i)vj + ∇i(∇kv

j) 6.07.- Tensor d(∇⊗v→). A título de ejercicio práctico, vamos a obtener su

expresión de varias maneras.

a) d(∇⊗v→) = (∇⊗∇⊗v→)dr→ = (∇kivj)(e→k⊗e→i⊗e→j)dr

→ = = (∇kiv

j)(e→i⊗e→j)(e→kdr→) = dyk(∇kiv

j)(e→i⊗e→j)

b) d(∇⊗v→) = d[(∇ivj)(e→i⊗e→j)] = [da(∇iv

j)](e→i⊗e→j) =

= dyk(∇kivj)(e→i⊗e→j)

c) d(∇⊗v→) = d∇⊗v→ + ∇⊗dv→

17

Por (14) con ∇ = e→i∇i, se tiene d∇=dyk(∇k∂i)e

→i y por consiguiente:

d∇⊗v→ = [dyk(∇k∂i)e→i] ⊗ vje→j = d∇⊗v→ = dyk[(∇k∇i)v

j](e→i⊗e→j) Por otra parte, por (15) y (14), tendremos:

∇⊗dv→ = e→i⊗[dyk{∇i(∇kvj)}e→j] = dy

k[∇i(∇kvj)](e→i⊗e→j)

y sumando:

d(∇⊗v→) = dyk[(∇k∇i)vj + ∇i(∇kv

j)](e→i⊗e→j)

pero tenemos por '6.06:

(∇k∇i)vj = ∇k(∇iv

j) - ∇i(∇kvj)

y sustituyendo:

d(∇⊗v→) = dyk[∇k(∇ivj)](e→i⊗e→j) = dy

k[∇kivj](e→i⊗e→j)

18

7.- Campo escalar. Sea un campo escalar ϕ→. Tendremos pues siempre ∂kϕ = ∇kϕ. 7.01.- Gradiente ∇ϕ.

∇ϕ = (e→k∂k) ϕ = e→k(∂kϕ) = gike→i∂kϕ

y por tanto ∂kϕ es la coordenada covariante (∇ϕ)k, g

ik∂kϕ será (∇ϕ)i y (∇ϕ)(∇ϕ) tendrá el siguiente valor:

(∇ϕ)(∇ϕ) = [e→k(∂kϕ)][e→i(∂iϕ)] = (∂kϕ)(∂iϕ)g

ki 7.02.- Laplaciana ∇(∇ϕ).

∇(∇ϕ) = ∇[ek(∂kϕ)] = e→i[∇i(∂kϕ)]e

→k = [∇i(∂kϕ)]gik = [∇i(∇ϕ)k]g

ik Pero sabemos ('5.03) que se verifica:

∇i(∇ϕ)k = ∂i(∇ϕ)k - (∇ϕ)hΓi

h

k = ∂i(∂kϕ) - (∂hϕ)Γi

h

k

y por consiguiente:

∇(∇ϕ) = [∂ikϕ - (∂hϕ)Γi

h

k]gki

Podemos encontrar otra ecuación de la laplaciana

deducida de la expresión de la divergencia de un vector v→ cualquiera, aplicada a v→=(∇ϕ) ('5.05).

Llamaremos G a la raíz cuadrada del módulo de g.

∇v→ = G-1 ∂i(Gvi)

∇(∇ϕ) = G-1 ∂i[G(∇ϕ)i] = G-1 ∂i(Gg

ik ∂kϕ)

19

B.- ESPACIOS DE RIEMANN

1.- Definición. 1.01.- Consideremos una variedad puntual Vn de n

dimensiones, cuyos puntos se pueden identificar mediante sistemas arbitrarios de n coordenadas {yi}. Se denomina espacio de Riemann, cuando estos sistemas reúnen las condiciones siguientes:

1ª.- Existe una métrica que, para el sistema coordenado

elegido, corresponde en todo punto a la forma cuadrática diferencial:

ds2 = gijdy

idyj cuyos coeficientes gij son funciones de las coordenadas

del punto. Estas funciones son simétricas, de campo continuo y diferenciables hasta un orden suficientemente elevado.

2ª.- En un cambio de sistema coordenado, si las

coordenadas {yi} de un punto se convierten en {yk’}, las yi son funciones diferenciables de las yk’ hasta un orden suficientemente avanzado, y recíprocamente.

3ª.- En todo cambio de coordenadas de {yi} a {yk’} los

coeficientes gij cambian según la ley:

gij = i

k

yy

∂∂ ′

j

h

yy

∂∂ ′

gk’h’

1.02.- Los espacios de Riemann, análogamente a los

euclidianos, se denominan propiamente riemanianos cuando la forma cuadrática de su métrica sea definida positiva.

En el caso general, dicha forma puede expresarse como

suma algebraica de n cuadrados de formas diferenciales lineales y se llama signatura de la forma al conjunto de los signos + y -que preceden a estos cuadrados.

1.03.- Todos los espacios euclidianos, tanto si se

consideran respecto a coordenadas cartesianas normales o respecto a coordenadas curvilíneas en general, verifican las condiciones exigidas a los espacios de Riemann y constituyen por tanto un caso particular de estos últimos.

1.04.- Un ejemplo típico de espacio de Riemann de n

dimensiones, es el espacio puntual cuyos puntos representan cada una de todas las configuraciones posibles en un sistema dinámico con n grados de libertad.

Un ejemplo más sencillo, es el conjunto de puntos de

una superficie en el espacio geométrico ordinario, que puede considerarse como un espacio de Riemann de 2 dimensiones.

20

2.- Espacios euclidianos y métricas tangentes. 2.01.- Definición y ejemplo de espacio euclidiano

tangente en un punto. Relacionemos un espacio Vn de Riemann con un espacio

euclidiano En de iguales dimensiones y signatura, de manera que a cada punto de Vn corresponda un único punto de En y que a toda línea contínua del espacio de Riemann corresponda una línea contínua del espacio euclidiano.

Impongamos a esta correspondencia la condición de que

si tenemos en Vn un punto M0 y dos puntos próximos tales como M y M’, de imágenes m0, m y m' respectivamente, al tender a 0 las distancias M0M, M0M’ y MM’, tiende a verificarse:

M0M = m0m; M0M’ = m0m’; MM’ = mm’

y que cuando M0M y M0M’ son infinitésimos de primer orden, las diferencias de estas distancias con las de sus imágenes son infinitesimales de tercer orden.

Se demuestra que en general siempre hay un espacio

euclidiano que verifica las condiciones mencionadas con cualquier par de puntos infinitamente próximos a M0. A este espacio lo llamamos espacio euclidiano tangente al espacio riemanniano en el punto M0.

Un ejemplo de espacio euclidiano tangente lo tenemos para un punto M de una superficie en el espacio geométrico ordinario, cuando proyectamos ortogonalmente los puntos de la superficie sobre el plano tangente en M.

2.02.- Métricas tangentes y osculatrices en un punto. Las imágenes de las curvas coordenadas de Vn forman n

sistemas de curvas en el espacio euclidiano tangente en M. Si en este espacio tangente adoptamos un sistema de

coordenadas curvilíneas tal, que las curvas coordenadas correspondientes a m sean tangentes a las curvas imagen de las curvas coordenadas correspondientes a M, diremos que la métrica euclidiana resultante es tangente en M a la métrica de Riemann

Las métricas tangentes se caracterizarán pues por

coincidir los coeficientes gij en m con los coeficientes gij propios de M.

Si las curvas adoptadas para m no sólo hubiesen sido

tangentes sino osculatrices a las curvas imagen, tendríamos una métrica euclidiana denominada osculatriz en M a la métrica de Riemann.

Una métrica euclidiana osculatriz no solo tiene en m

unos valores comunes gij con la métrica riemanniana en M sino que

21

tiene también valores comunes para sus derivadas ∂kgij y en consecuencia lo mismo ocurre con los símbolos de Christoffel.

2.03.- Espacio tangente a una línea de Vn. Se demuestra que si tenemos una línea C cualquiera en

un espacio de Riemann, podemos construir un espacio euclidiano que sea tangente a la vez en todos los puntos de C.

La imagen de C en este espacio euclidiano es una línea

llamada carta o desarrollo de C sobre el espacio euclidiano. En la teoría elemental de superficies tenemos un

ejemplo de carta: Sea C una curva trazada sobre una superficie S y consideremos la superficie desarrollable circunscrita a S a lo largo de C. Si la desarrollable se aplica sobre un plano, C determina en el plano una curva que es la carta de C.

2.04.- Métrica euclidiana de aplicabilidad. Se demuestra que sobre un espacio euclidiano tangente a

una línea de Vn es posible construir una métrica que no sólo sea tangente sino que sea osculatriz de la métrica riemanniana en todos los puntos de la línea. Se denomina métrica euclidiana de aplicabilidad a lo largo de la línea.

2.05.- Geodésicas. Sea en Vn una línea cuyos puntos vienen dados en

función de un parámetro escalar t que llamaremos tiempo. Tomando un modelo cinemático, podremos definir a la línea como trayectoria de un punto.

Llamamos geodésica a la trayectoria del punto cuando la

aceleración es nula. Por tanto, la ecuación diferencial de la geodésica es:

dtrdr = Constante

y una línea es geodésica cuando su carta es una línea recta.

2.06.- Distancias extremales. La distancia sobre Vn entre dos de sus puntos A y B es

extremal cuando se mide sobre una geodésica. Llamando dr→ al vector de módulo ds definido en un

espacio euclidiano tangente, común a todos los puntos de la línea ab imagen de AB, diremos que la longitud del segmento ab de la imagen del segmento AB perteneciente a Vn es:

I = ∫b

ads = ⎮⌡

⌠b

a

dtdtds

= dtdtrd

dtrd

b

a⎮⌡⌠

rr

22

siendo s el escalar distancia longitud desde el punto a inicial.

Para determinar el valor extremal de esta integral,

recurriremos a la fórmula variacional de Euler, que en su forma vectorial es la siguiente:

f→r - dt

df→

r’ = 0→

En nuestro caso tendremos:

dtrd

dtrd

dtds

frr

== ⇒ ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=dtrd

ddtrd

f1

dfrr

⇒ f→

r=0→; f

→r’=f

1dtrdr

y por consiguiente la condición de extremal es:

0→ =

dtd

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

dtrd

f1

r =

dtd

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

dtrd

dsdt

r =

dtd

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛dsrdr

⇔ dsrdr = Constante

Por consiguiente, la condición de extremal es que la

carta sea rectilínea, al igual que la condición de geodésica. 3.- Tensores en Vn. 3.01.- Decimos que en un espacio de Riemann tenemos un

campo de tensores, cuando para cada uno de sus puntos M queda definido un tensor del espacio euclidiano tangente a M aplicado a la imagen m.

Para comparar los tensores de un espacio de Riemann

correspondientes a dos puntos distintos, sólo es posible, y así se hace, utilizando un espacio euclidiano tangente a una línea que contenga dichos puntos, pero deberemos tener en cuenta que los resultados no tienen por qué ser los mismos si utilizamos

líneas distintas. 3.02.- Para una determinada línea, sí que coincidirán

los resultados si integramos las variaciones diferenciales obtenidas al pasar de un punto de la línea a otro

infinitamente próximo, calculadas sobre el espacio euclidiano tengente a la línea.

Al cálculo de las coordenadas de diferenciales y

derivadas de un tensor con referencia a un sistema coordenado riemanniano deberemos aplicar en el espacio euclidiano tangente una métrica osculatriz.

El conocimiento de los símbolos de Christoffel, comunes

a ambos espacios nos permite determinar las Γ y con ello el campo en el entorno infinitesimal de cada punto.

23

Tanto diferenciales y derivadas normales de tensores como diferenciales y derivadas absolutas de coeficientes definidas en el campo euclidiano tangente, se consideran también definidas en el espacio de Riemann.

3.03.- Consecuencia que podemos deducir de los párrafos

anteriores, es que un espacio de Riemann es euclidiano si y sólo si para cualquier campo vectorial v→ y cualquier línea cerrada se verifica:

∫ dv→ = 0→

Cuando esta condición solamente se verifica en el

entorno infinitesimal de un punto, decimos que en este punto el espacio riemanniano es localmente euclidiano.

3.04.- Tensores simbólicos ∇⊗∇ y ∇∧∇. Consideremos el operador tensorial ∇⊗∇, cuyo segundo

factor a los efectos de derivación afecta a algún tensor, y cuyo primer factor, a los efectos de derivación, actúa sobre el mismo tensor y además sobre el segundo factor

Este tensor se ha estudiado en relación con un espacio

vectorial euclidiano y bajo la hipótesis de que en éste no importa el orden en que se efectúe una doble derivación resulta ser un tensor simétrico.

Vamos a estudiarlo ahora en relación con un espacio de

Riemann, prescindiendo por tanto de la hipótesis mencionada. Se verificará:

∇⊗∇ = e→i∂i ⊗ e→j∂j = e→i⊗[(∂ie

→j)∂j] + (e→i⊗e→j)∂ij =

y sustituyendo ∂ie

→j por su valor dado en A '3.03b :

= - e→i⊗(Γi

j

ke→k∂j) + (e

→i⊗e→j)∂ij = y permutando k por j en el primer término:

= - e→i⊗(Γi

k

je→j∂k) + (e

→i⊗e→j)∂ij = (e→i⊗e→j)(-Γi

k

j∂k + ∂ij) Por la simetría de Γ, es simétrico el primer sumando

del coeficiente de ∇⊗∇ y por lo tanto ∇⊗∇ será simétrico si y sólo si también lo es el segundo sumando, o sea que para cualquier tensor τ→ se verifique:

∂ijτ→ = ∂jiτ

→ ⇔ ∂i(∂jτ→) = ∂j(∂iτ

→) Esta igualdad que es cierta en los espacios euclidianos

no lo es para todos los puntos de un espacio riemanniano no euclidiano. Así pues, en un espacio riemanniano, en general no se

24

anula el tensor antisimétrico diferencia entre ∇⊗∇ y su transpuesto, diferencia que por definición es el tensor ∇∧∇, cuya expresión será:

∇∧∇ = (e→i⊗e→j)∂ij-ji Por consiguiente, ∇⊗∇ sólo será simétrico y ∇∧∇ sólo

será nulo, en los puntos en que el espacio es localmente euclidiano.

Podremos expresar ∇∧∇ indicando con un subíndice el

orden de derivación sucesiva sobre un mismo tensor, de la manera siguiente:

∇∧∇ = ∇2⊗∇1 - ∇1⊗∇2

3.05.- Por todo lo que antecede, tenemos finalmente:

(∇∧∇)⊗τ→ = e→i⊗e→j⊗∂ij-jiτ→ = e→i⊗e→j⊗[∂i(∂jτ

→) - ∂j(∂iτ→)]

Siendo así que según el álgebra tensorial se verifica

para vectores normales cualesquiera:

a→⊗b→ = 21[(a→⊗b→ + b→⊗a→) + (a→∧b→)]

y que por tanto la componente antisimétrica de a→⊗b→ es 2(a→∧b→), y la de ∇⊗∇ es 2∇∧∇, la componente con antisimetría 1,2 de

∇⊗∇⊗τ→ es:

21[(∇∧∇)⊗τ→]

3.06.- Para un campo escalar α en un espacio de

Riemann, evidentemente no existe diferencia en la variación de α según se siga un camino u otro. Por consiguiente:

(∇∧∇)α = 0→; ∂ij-jiα = 0 y en consecuencia para cualquier sistema coordenado

riemanniano determinado se tendrá:

∂ij-jighs = 0 = ∂ij-ji(e→he→

s)

∂ij-jiΓ = 0 = ∂ij-ji[∂re→

s)e→

t] = ∂ij-ji[(∂re→

s)e→t]

3.07.- En un doble campo τ→,σ→, se verificará;

∂ij-ji(τ→σ→) = ∂i[∂j(τ

→σ→)] - ∂j[∂i(τ→σ→) =

= ∂i[(∂jτ→)σ→ + (∂jσ

→)τ→] - ∂j[(∂iτ→)σ→ + (∂iσ

→)τ→] =

25

= (∂ijτ→)σ→ + (∂jτ

→)(∂iσ→) + (∂ijσ

→)τ→ + (∂jσ→)(∂iτ

→) - -(∂jiτ

→)σ→ - (∂iτ→)(∂jσ

→) - (∂ijσ→)τ→ - (∂iσ

→)(∂jτ→) =

= (∂ij-jiτ→)σ→ + τ→(∂ij-jiσ

→) Cuando τ→ y σ→ son de igual orden se tendrá:

∂ij-ji(τ→σ→) = 0→; (∂ij-jiτ

→)σ→ = - τ→(∂ij-jiσ→)

3.08.- Un espacio riemanniano es euclídeo si y sólo si

para cualquier campo vectorial v→ ( y por lo tanto para cualquier campo tensorial de orden mayor que uno), la variación del vector de campo a lo largo de cualquier línea cerrada es nula. Ello equivale a decir que es nula la variación a lo largo de cualquier línea cerrada infinitamente próxima a un punto cualquiera.

Vamos a expresar esta variación: El vector diferencial dl

→ es un elemento de línea

orientado, de segundo orden infinitesimal, y sabemos por cálculo tensorial que esta variación se puede representar por:

∫ dv→ = ∫ [(∇⊗∇⊗v→)r→]dl→ = (∇⊗∇⊗v→)dσ→

en cuya expresión, dσ→ es el tensor superficie:

dσ→ = ∫ (r→ ⊗ dl→)

correspondiente a la línea cerrada.

Sabemos por cálculo tensorial que en la expresión de

dσ→, r→ representa el vector infinitesimal de posición del elemento infinitesimal de segundo orden dl→ de la línea cerrada orientada en el sentido de la integración.

Como también sabemos por cálculo tensorial, que dσ→ es

un tensor totalmente antisimétrico cualquiera, podremos sustituir en la expresión de ∫•dv→ el tensor ∇⊗∇⊗v→ por su componente antisimétrica 1,2 que hemos visto que es 2(∇∧∇)⊗v→ y obtenemos finalmente:

(1) ∫ dv→ = 21[(∇∧∇)⊗v→]dσ→

Vemos pues que ∫•dv→ será nulo para cualquier v→ y

cualquier dσ→ si y sólo si ∇∧∇ es nulo, es decir, ∂ij = ∂ji.

26

4.- Tensor de Riemann-Christoffel. 4.01.- Expresión de la variación de un vector base e→i a

lo largo de una línea cerrada infinitamente próxima a un punto. Por lo dicho en el párrafo anterior se tiene:

∫ de→i = 21 [(∇∧∇)⊗e→i]dσ

→

siendo dσ→ el tensor superficie correspondiente a la

línea cerrada. 4.02.- Vamos a estudiar la expresión ∂rs-sre

→i.

Partiremos de la base que a) Las derivadas del tensor fundamental son nulas.

dI→ = d(e→t⊗e

t) = d(e→t⊗e→t) = 0 b) Las derivadas ∂rs-sr de un producto de dos vectores

son nulas.

∂rs-sr(e→te→i) = ∂rs-sr(e

→te→i) = 0 Subrayando la parte afecta al operador ∂rs-sr podremos

escribir:

e→i = e→i(e→t⊗e→t) = (e→ie

→t)e→t = e→i(e

→t⊗e→t) = -e→i(e

→t⊗e→t)

e→i = e→i(e→t⊗e→t) = (e

→ie→t)e→t = e

→i(e→t⊗e→t) = -e

→i(e→t⊗e→t)

Estas igualdades nos permiten escribir:

2∫ dei = {(∇∧∇)⊗[e→i(e→t⊗e→t)]}dσ→ = {[(∇∧∇)⊗e→t⊗e

→t]dσ→}e→i

2∫ dei = {(∇∧∇)⊗[e→i(e→t⊗e→t)]}dσ

→ = {[(∇∧∇)⊗e→t⊗e→t]dσ→}e→i

2∫ dei = {(∇∧∇)⊗[-e→i(e→t⊗e→t)]}dσ→ = -{[(∇∧∇)⊗e→t⊗e

→t]dσ→}e→i

2∫ dei = {(∇∧∇)⊗[-e→i(e→t⊗e→t)]}dσ

→ = -{[(∇∧∇)⊗e→t⊗e→t]dσ→}e→i

4.03.- Denominamos tensor de Riemann-Christoffel al

tensor

(2) R→ = (∇∧∇)⊗e→t⊗e

→t

con lo que la expresión de la variación de e→i queda así:

27

(3) ∫ de→i = 21(R→dσ→)e→i

4.04.- En general, en los textos no se cita el tensor

dσ→ y se aplica la fórmula del tensor de Riemann-Christoffel al caso de que la línea cerrada sea un paralelogramo en el espacio tangente (cuasi paralelogramo en el espacio de Riemann).

Vamos a ver que los resultados coinciden, al adaptar la

ecuación (3) a un paralelogramo.

Por cálculo tensorial sabemos que refiriéndonos a un vértice de un triángulo, el tensor superficie de éste es:

21(dx→∧dy→)

y que para hallar el tensor de un paralelogramo podemos componer dos triángulos con el siguiente resultado:

dσ→ = 21 (dx→∧dy→ + dy→∧dz→) = 2[dx→∧(dx→+dz→) + (dx→+dz→)∧dz→] =

= 21 (dx→∧dz→ + dx→∧dz→) = dx→∧dz→

Pero como dx→∧dz→ es el componente antisimétrico de 2(dx→

⊗dz→), y dσ→ viene multiplicado por R→ que tiene antisimetría 1,2, en la expresión de la variación de e→i podemos sustituir dσ

→ por 2(dx→⊗dz→), con lo cual la expresión de la variación es

∫ de→i = [R→(dx→⊗dz→)]e→i

que corresponde a la fórmula habitual.

4.05.- Simetrías en el tensor R

→ de Riemann Christoffel.

1ª.- De las expresiones obtenidas para R

→ se deduce

inmediatamente la antisimetría 1,2 así como la antisimetría 3,4. 2ª.- Indicando los factores de R

→ en la forma (1234), el

tensor R→ tiene la simetría especial:

(1234) + (2431) + (4132) = 0→

Pues sustituyendo ∇∧∇ por ∇2⊗∇1 - ∇1⊗∇2, se tiene:

(1234) = ∇2⊗∇1⊗e→

t⊗e→t - ∇1⊗∇2⊗e

→t⊗e→t

dz→

dx→

dy→

28

(2431) = ∇1⊗e→t⊗e→t⊗∇2 - ∇2⊗e

→t⊗e→t⊗∇1

(4132) = e→t⊗∇2⊗e→

t⊗∇1 - e→t⊗∇1⊗e

→t⊗∇2

Teniendo en cuenta que, según hemos visto al estudiar

las coordenadas curvilíneas en espacios euclidianos, la derivada ∇1⊗e

→t es un tensor simétrico y por lo tanto un tensor no varía al permutar ∇1 por e

→t, al sumar miembro a miembro las tres igualdades, vemos que los términos del segundo miembro se anulan entre sí.

Como por la primera simetría tenemos (1234) = (2143),

la última simetría también se verificará a partir de (2143) con lo que obtenemos:

(2143) + (3241) + (1342) = 0→

así como se verificarán las igualdades que resulten de efectuar en cada término las mismas transposiciones sea sobre la ecuación anterior o sobre esta última.

3ª.- Simetría (1234) = (3412). Podemos escribir por la 20 simetría:

(1234) = -(2431)-(4132) (1234) = -(2314)-(3124)

y sustituyendo los valores:

-(2431) = (3412) + (1423) -(3124) = (3241) + (3412)

al sumar miembro a miembro tendremos:

2(1234) = 2(3412) + (1423) - (4132) - (2314) + (3241)

Pero por la 1ª simetría (1234) = (2143) y por tanto,

cambiando el orden de estas dos formas de igual manera también tendremos:

(2314) = (1423); (4132) = (3241);

con lo que la anterior igualdad se reduce a 2(1234) = 2(3412) ⇔ (1234) = (3412) 4ª.- Las simetrías demostradas permiten su

generalización, pues como por ellas se verifica:

(1234) = (2143) = (3412) = (4321)

29

también se verificará:

(3412) + (4213) + (2314) = 0→

(4321) + (3124) + (1423) = 0→

así como todas las igualdades que se puedan deducir de estas últimas o de las anteriores por transposición de factores tensoriales.

4.06.- Coeficientes del tensor de Riemann-Christoffel. El coeficiente Rrsij se acostumbra a representar por

Rij,rs. Teniendo presente que ∂rs-sr sobre un producto de

vectores es nulo, se puede calcular así:

Rrsij = [(∇∧∇)⊗e→t⊗e→t)](e→r⊗e

→s⊗e→i⊗e→

j) =

[(∇∧∇)(e→r⊗e→s)](e

→te→j)(e→

te→i) = (∂rs-sre

→t)e→j(e→te→

i) =

= -(∂rs-sre→j)e→t(e→te

→i) = -(∂rs-sre

→j)[e

→i(e→t⊗e→t)] =

-(∂rs-sre→

j)e→i = (∂rs-sre

→i)e→j

4.07.- Estas cordenadas pueden ponerse en función de

las Γ de la siguiente manera:

Rij,rs = (∂rs-sre→i)e→j = ∂rΓsji -∂sΓrji +Γs

h

jΓrhi -Γr

h

jΓshi

Ri

j

,rs = (∂rs-sre→i)e→j = ∂rΓs

j

i -∂sΓr

j

i +Γs

h

iΓr

j

h -Γr

h

iΓs

j

h Pues sabemos por álgebra tensorial que I

→(a→⊗b→)=a→b→ y por

tanto tenemos:

(∂rse→i)e→j = [∂r(∂se

→i)]e

→j = ∂r[(∂se

→i)e→

j] - (∂se→

i)(∂re→

j) =

= ∂rΓsji - I→(∂se

→i⊗∂re

→j) = ∂rΓsji -(e

→h⊗e→h)(∂se

→i⊗∂re

→j) =

= ∂rΓsji - [(∂se→

i)e→

h][(∂re→

j)e→h] = ∂rΓsji - ΓshiΓr

h

j Teniendo en cuenta que (∂re

→j)e→h = - (∂re→h)e→j, obtendríamos

análogamente:

(∂rse→

i)e→j = ∂rΓs

j

i + Γs

h

iΓr

j

h Restando de estas expresiones las que resultan de

permutar r por s, obtenemos inmediatamente las fórmulas indicadas.

30

4.08.- Además de la expresión de R

→ utilizada hasta

ahora se utiliza también la siguiente:

R→ = e→i⊗e→j⊗e→t⊗ ∂ij-jie

→t

que se obtiene inmediatamente de la anterior. 4.09.- De los párrafos anteriores resulta evidente que

un espacio riemanniano es euclídeo si y sólo si R→=0→.

4.10.- Variación de un vector de campo v→ en un circuito

cerrado infinitamente próximo a un punto dado. Es:

∫ dv→ = 21 (R

→ dσ→)v→

y tiene la misma forma que la variación hallada para e→i.

Puesto que se verifica (1):

∫ dv→ = 21 [(∇∧∇)⊗v→]dσ→ =

21vi[(∇∧∇)⊗e→i]dσ

→ = vi∫ de→i =

= 21vi(R

→ dσ→)e→i = 2

1 (R

→ dσ→)v→

4.11.- ∇rs-srv

h = Rm

h

,rs vm

Efectivamente. Teniendo en cuenta que respecto al

operador ∇∧∇ se verifica: v→ = (v→et)e

→t

y que las derivadas absolutas son los coeficientes de la derivada espacial, podremos escribir:

∇rs-srvh = [(∇∧∇)⊗v→](e→r⊗e

→s⊗e→h) = [(∇∧∇)⊗e→t](e→r⊗e

→s⊗e→h)(v→e→t)=

=[(∇∧∇)⊗e→t⊗e→t](e→r⊗e→s⊗e→h⊗v→) =[(∇∧∇)⊗e→t⊗e→t](e

→r⊗e→

s⊗e→h⊗e→m)v

m =

= [(∇∧∇)⊗e→t⊗e→t](e→r⊗e

→s⊗e→

m⊗e→h)vm = Rm

h

,rs vm

31

5.- Tensor derivada de R

→

Lo expresaremos por:

∇⊗R→ = e→k∂k ⊗ e→i ⊗ e→j ⊗ e→t ⊗ ∂ij-jie→t

Como sea que sabemos que se verifica:

e→sΓk

t

s = e→s[(∂ke

→s)e→t] = -e→s[(∂ke

→t)e→s] = -∂ke→t

e→sΓks

t = e→s[(∂ke

→t)e→s] = ∂ke

→t(e→s⊗e→s) = ∂ke

→t

podemos escribir:

a) ∂ke→i⊗∂ij-jie

→t = (-Γk

i

se→s)⊗∂ij-jie

→t =

y permutando i con s:

= ei ⊗ (-Γk

s

i∂sj-jse→t)

b) ∂ke→j⊗∂ij-jie

→t = ej ⊗ (-Γk

s

j∂is-sie→t)

c) ∂ke→t⊗∂ij-jie

→t = Γk

s

te→s ⊗∂ij-jie

→t = e→s⊗ ∂ij-ji(e→tΓk

s

t)

y permutando s con t:

= e→t ⊗ ∂ij-ji(e→sΓk

t

s) =

= - et ⊗ ∂ij-ji(∂ke→t) = - e→t ⊗ (∂ijk-jike

→t)

d) ∂k(∂ij-jie→t) = ∂kij-kjie

→t Por lo tanto ∇⊗R→ es igual a

(e→k⊗e→i⊗e→j⊗e→t⊗et)(-Γk

s

i∂sj-js-Γk

s

j∂is-si-∂ijk-jik+∂kij-kji) Expresando de esta menera la derivada, se ve fácilmente

que verifica la siguiente simetría:

(12345) + (23145) + (31245) = 0→

y en consecuencia:

∇kRrs,ij + ∇iRrs,jk + ∇jRrs,ki = 0

y esta es la expresión de las identidades llamadas de Bianchi.

32

6.- Tensor de Ricci. Examinemos los tensores que resultan de las

contracciones del tensor de Riemann-Christoffel:

R→ = ∇2⊗∇1⊗e

→t⊗e→t - ∇1⊗∇2⊗e

→t⊗e→t = e→i⊗e→j⊗e→t⊗∂ij-jie

→t 6.01.- Contracciones 1-2 y 3-4. Son nulas, pues R

→ tiene antisimetrías 1,2 y 3,4.

6.02.- Contracción 1-4. Da lugar al tensor de Ricci, expresado por R

→2.

R→2 =(∇2e

→t)(∇1⊗e→t)-(∇1e

→t)(∇2⊗e→t) =[(∇2e

→t)∇1]⊗e→t-[(∇1e→t)∇2]⊗e→t=

[(∇2⊗∇1)e→t]⊗e→t - [(∇1⊗∇2)e

→t]⊗e→t = [(∇∧∇)e→t] ⊗ e→t

y en otra forma:

R→2 = (e

→j⊗e→t)[e→i(∂ij-jie

→t)] 6.03.- Contracción 2-3. Por la simetría (1234)=(2143) del tensor de Riemann

también dará lugar al tensor de Ricci, para el que tendremos una nueva expresión:

R→

2 =(e→je→t)(e

→i⊗∂ij-jie→t) =e→i⊗∂ij-ji[e

→t(e→je→t)] =e→i⊗∂ij-jie

→j 6.04.- Contracciones 1-3 y 2-4. Dan lugar al tensor -R

→2 pues para el tensor de Riemann

tenemos (1234) = -(1243) 6.05.- El tensor de Ricci es simétrico. Queda evidente al obtener el tensor de Ricci por

contracción 2-3 en la forma (1234) del tensor de Riemann y 1-4 en la forma (3412):

R→2 = (e

→je→t)(e→i⊗∂ij-jie

→t) = (e→te→j)(∂ij-jie

→t⊗e→i) 6.06.- Coordenadas del tensor de Ricci. Se deducen fácilmente de la expresiones anteriores así

como de la contracción de coordenadas del tensor de Riemann-Christoffel:

Ris = Ri

r

,rs = (∂rs-sre→

i)e→r =

33

= ∂rΓs

r

i -∂sΓr

r

i +Γs

h

iΓr

r

h -Γr

h

iΓs

r

h

Rj

s = Rs

j = gijRis = (∂rs-sre→j)e→r

34

7.- Curvatura riemanniana escalar. 7.01.- Es el escalar R que resulta de la contracción

del tensor de Ricci. Tendremos pues:

R = [(∇∧∇)e→t]e→t = (∇∧∇)(e→t⊗e→t)

así como también:

R = [(e→i⊗e→j)∂ij-jie→t]e→t = [(∂ij-jie

→t)e→i](e→je→t) =

= -[(∂ij-jie→i)e→t](e→je→t) = -(∂ij-jie

→i)e→j = (∂ij-jie→j)e→i

y también

R = (R2)

i

i = Rji

,ij 7.02.- Relación entre el tensor de Ricci y la curvatura

riemanniana escalar. Podemos obtener una relación interesante entre R

→2 y R,

a partir de las identidades de Bianchi:

∇⊗e→i⊗e→j⊗e→t⊗∂ij-jie→t + e→j⊗∇⊗e→i⊗e→t⊗∂ij-jie

→t +

+ e→i⊗e→j⊗∇⊗e→t⊗∂ij-jie→t = 0

→

en las que cada ∇ afecta al resto del término.

Aplicando las contracciones 2-4 y 3-5, resulta:

∇(e→ie→t)[(∂ij-jie→t)e→j] + e→j(∇e→t)[(∂ij-jie

→t)e→i] +

+ e→i(e→je→t)[(∂ij-jie→t)∇] = 0

Pero teniendo en cuenta las expresiones de R y R

→2, y la

simetría del tensor de Ricci, podremos escribir:

∇(e→ie→t)[(∂ij-jie→t)e→j] = ∇[(∂ij-jie

→i)e→j] = -∇R

e→j(∇e→t)[(∂ij-jie→t)e→i] = ∇[(e→t⊗e

→j)][(∂ij-jie→

t)e→i] = ∇R→2

e→i(e→je→t)[(∂ij-jie→t)∇] = ∇[(∂uj-jie

→j)⊗e→i] = ∇R→2 Y sumando miembro a miembro tendremos:

0 = -∇R + 2∇R→2 ⇔ ∇R→2 - 21(∇I→)R = 0 ⇔ ∇(R→2 - 2

1I→R) = 0

35

8.- Relación de R

→,R→

2 y R con el tensor L→ fundamental

de Gauss de 2ª especie. Consideraremos un espacio de Riemann (n-1)-dimensional,

sumergido en un espacio propiamente euclidiano de dimensión n, de manera que el primero pueda considerarse una superficie (n-1)-dimensional del segundo y adoptaremos un sistema coordenado curvilíneo con arreglo a las siguientes condiciones:

1ª.- Todos los puntos del espacio de Riemann, tienen,

además de las coordenadas elegidas para el mismo, otra coordenada más, yn, con igual valor en todos sus puntos.

2ª.- Las bases elegidas para los puntos del espacio de

Riemann quedan ampliadas con un nuevo vector base e→n, unitario y ortogonal a los restantes vectores base del mismo punto.

8.01.- De acuerdo con el sistema coordenado que

acabamos de establecer, en cada punto del espacio de Riemann se verificará:

e→n = e→n

∂ie→n = ∂ie

→n

(i≠n): (∂ie→n)e→n = (∂ie

→n)e→n = (∂ie→

n)e→n = (∂ie

→n)e→n = 0

(i≠n): Γinn = Γi

n

n = 0 También se verificará:

(∂ie→n)e→j = (∂ie

→n)e→

j ⇔ Γi

n

j = Γinj 8.02.- Como el tensor R

→ del espacio euclidiano es nulo

en cada punto del espacio euclidiano, también lo será cuando coincida con un punto del espacio de Riemann. La coordenada Ri

j

,rs euclidiana de tal punto, cuando i,j,r,s correspondan a coordenadas del espacio de Riemann, será:

0 = ∂rΓs

j

i - ∂sΓr

j

i + Γs

h

iΓr

j

h - Γr

h

iΓs

j

h Refiriendo dicha coordenada al espacio de Riemann, su

expresión tendrá los mismos sumandos que la anterior, exceptuando aquellos en que h toma el valor n y por lo tanto podremos escribir:

0 = Ri

j

,rs + Γs

n

iΓr

j

n - Γr

n

iΓs

j

n y esta es la expresión de la condición por la que la

coordenada añadida a las del espacio de Riemann lo convierte en un espacio euclidiano.

36

8.03.- Por definición, el tensor L→ de segundo orden,

llamado tensor fundamental de Gauss de 2ª especie, verifica:

Lis = (∂isr→)e→n = (∂ie

→s)e→n = Γi

n

s

y por tanto es simétrico con Lis=Lsi. En cada punto de la superficie ó espacio de Riemann tendremos:

Lis = (∂ie→s)e

n = -(∂ie→n)e→s = -(∂ie

→n)e→s = -Γisn

Lr

j = Lrsgjs = [(∂re

→s)e→n]gjs = (∂re

→j)e→n = -(∂re→n)e→j = -Γr

j

n = Lj

r Pero como tenemos:

Ri

j

,rs = -Γs

n

iΓr

j

n + Γr

n

iΓs

j

n

sustituyendo valores se obtiene:

Ri

j

,rs = LisLr

j - LirLj

s

o sea que el tensor R→ de Riemann-Christoffel es la diferencia

entre entre las permutaciones 2,4 y 2,3 del tensor L⊗L. 8.04.- Por sucesivas contracciones obtenemos:

(j=r): (R2)is = LisLr

r - LirLr

s ⇔ (R2)i

s = Li

sLr

r - Li

rLr

s

(s=i): R = Li

iLr

r - Li

rLr

i Observando que Li

i es la traza de L→ y que Li

rLr

i es la norma de L

→, con I

→ como tensor fundamental de 2º orden, podremos

escribir:

R = (L→I→)2 - L

→L→

y llamando λ2 al segundo invariante del tensor L

→, que es

simétrico, resulta:

R = 2λ2 Pues si por ser L

→ simétrico adoptamos su matriz

diagonal, podremos escribir:

R = (∑ai)(∑aj) - ∑[(ai)2] = (i≠j): ∑(2aiaj) = 2∑(aiaj) = 2λ2

8.05.- Si el espacio de Riemann es bidimensional,

podemos considerarlo como una superficie del espacio geométrico ordinario.

Entonces λ2 coincide con el determinante de L

→, y como

sabemos que este determinante es el producto de las curvaturas principales, la magnitud escalar R será el doble de este producto.

37

8.06.- El tensor L

→ de Gauss, para todos los puntos de

la superficie, coincide con el tensor -(∇⊗e→n). Pues para ∇⊗e→n se verifica:

a) Componente covariante relativa a e→j⊗e→k = Γjkn

b) Componente mixta relativa a e→j⊗e→k = Γj

k

n Por tanto:

-L→ = (∇⊗e→n) = Γjkn(e

→j⊗e→k) = Γj

k

n(e→j⊗e→k)

39

INDICE DE EQUACIONES (1)......... 2, 25 (10)........... 10 (11)........... 10 (12)........... 11 (13)........... 11

(14) .......... 12 (15) .......... 12 (2) ........ 2, 26 (3) ........ 2, 27 (4) ............ 2

(5) ............ 3 (6) ............ 3 (7) ............ 3 (8) ............ 4 (9) ........... 10