Corso di Fisica 1 - Ing. IndustrialeA. A. 2018/2019

Esercitazione di Cinematica 2/2

11/03/19

Problemi

Problema 1

Supponiamo che un volano passi da una velocita angolare di 20 rad/s�1 a 30 rad/s�1 in 5 minuti. Calcolarel’angolo descritto e l’accelerazione angolare. Calcolare la sua accelerazione centripeta iniziale e finale.

Problema 2

Ricavare la traiettoria di una particella che si muove con legge oraria:

~r(t) = iA cos(!t) + jB sin(!t)

Che tipo di moto e? Fare il disegno delle componenti ~rx e ~ry. Ricavare accelerazione e velocita in funzione di t.

Problema 3

Le lancette di un di un orologio si trovano a ⇡/2 una rispetto all’altra al tempo t0. Dopo quanto tempo sitroveranno tutte nella stessa posizione? Considerare solo le lancette a 2 a 2.In seguito provare a ragionare sulproblema includendo anche la lancetta delle ore. Provare a risolvere il problema graficamente con un programmadi calcolo grafico.

Problema 4 ( FACOLTATIVO)

A e B sono punti su sponde opposte di un fiume largo a e AB forma un angolo retto rispetto alla corrente delfiume. Una barca lascia B e il rematore rema con velocita costante con la prua sempre diretta verso A. Se lavelocita del fiume e uguale a quella velocita, trovare il percorso della barca.

Problema 5

Un cacciatore armato di arco e freccie va a caccia di scimmie. Supponiamo che la scimmia si trovi su un alberodistande d dal cacciatore ed ad altezza h rispetto alla punta della freccia, mentre il cacciatore prende la mira. Sela scimmia, intuito il pericolo, si lascia cadere dall’albero al momento in cui la freccia sia scoccata, verra colpitadalla freccia? Supporre che la freccia abbia abbastanza gittata per coprire d e che parta quindi con velocita ~v0.

Problema 6

Una auto sta procedendo a velocita costante lungo una strada. All’istante t = 0, il conducente lancia unabuccia di banana in direzione opposta al moto della vettura con un angolo di 3

4⇡ rispetto alla direzione delmoto. La banana finisce in faccia a un povero pedone che si trova a ⇡

4 rispetto alla posizione iniziale del lancio.Determinare il modulo della velocita della vettura supponendo che l’automobilista abbia impartito alla bananauna velocita di 10 m/s nel suo sistema di riferimento.

Problema 7

Un aeroplano si muove orizzontalmente con accellerazione costante ~at. All’istante t=0, un paracadutista silascia cadere da esso. Supponendo che l’aeroplano si muova con a t=0, con velocita ~v0 e trascurando l’attritodell’aria, si trovi:

• Il moto di caduta rispetto al sistema di riferimento solidale al suolo.

1

• Il moto di caduta rispetto al sistema di riferimento solidale all’aeroplano.

• Il moto di caduta rispetto ad entrambi i sistemi di riferimento nel caso l’aereoplano abbia velocita ~v0 = 0.

Problema 8

Un triangolo retto, scivola su un piano con accelerazione costante ~at. Un corpo P di dimensioni trascurabili,si muove sul suo lato inclinato con accelerazione ~a’ relativa al moto del cuneo. A t=0, il corpo P si trova adaltezza h rispetto al piano orizzontale. Determinare:

• L’accelerazione di P nel sistema di riferimento inerziale rispetto al suolo.

• La velocita di P nel sistema di riferimento inerziale rispetto al suolo.

• La traiettoria del punto P.

• In che punto x il punto P tocca il suolo rispetto al sistema di riferimento del suolo?

Problema 9

Un oggetto puntiforme e obbligata a seguire una traiettoria descritta da:

(r(✓) = B✓

✓(t) = At2

A Si disegni la traiettoria.

B Calcolare la velocita dell’oggetto sia in coordinate polari che cartesiane verificandone l’uguaglianza.

C Disegnare il vettore ~v dopo che ha percorso un angolo di ⇡6 .

D Calcolare le componenti polari dell’accelerazione dell’oggetto. Disegnarle per t=3s. Ripetere il calcolo perle componenti cartesiane.

Soluzioni

Soluzione P1

L’accellerazione angolare in questo moto che e circolare uniformemente accellerato, risulta essere:

↵ =�!

�t=

(30� 20)rad/s�1

300s=

1

30

rad

s2

L’angolo totale descritto avra come forma:

✓(t) = !0t+1

2↵t2

e quindi, inserendo t = 300s otteniamo: ✓(t = 300s) = 7500rad

Soluzione P2

Le coordinate del punto P sono le componenti del vettore ~r:(rx = A cos(!t)

ry = B sin(!t)

Per ricavarne la traiettoria serve eliminare la dipendenza parametrica da t. Per farlo eleviamo al quadratoentrambe le equazioni e usiamo l’identita trigonometrica cos2(✓) + sin2(✓) = 1, da cui otteniamo:

⇣rxA

⌘2+⇣ryB

⌘2= 1

che e l’equazione di un’ellisse avente come assi di simmetria gli assi cartesiani x, y. A e B sono le lunghezze deidue semiassi dell’ellisse, orientati rispettivamente secondo x e y. La velocita sara quindi:

(vx = �!A sin(!t)

vy = !B cos(!t)

2

e l’accelerazione: (ax = �!2A cos(!t)

ay = �!2B sin(!t)

Provare a ragionare per casa sui versi di ~v e ~a. In particolare dimostrare che ~a e una accelerazione centripeta.Si veda l’esercizio 3.5 del Dalba-Fornasini per la soluzione.

Soluzione P3

Rispettivamente Poniamo la lancetta dei secondi a t = 0 a ✓s(0) = 0, quella dei minuti a ✓m(0) = ⇡2 e quella

delle ore a ✓h(0) = ⇡. Le rispettive frequenze sono !s = 2⇡60 , !m = 2⇡

3600 e !h = 2⇡43200 . A questo punto,

consideriamo solo le lancette dei minuti e dei secondi. Esse saranno sincronizzate quando ✓s(tin) = ✓m(tin).Dovremo risolvere per tin la seguente equazione:

!stin = !mtin +⇡

2

da cui otteniamotin =

⇡

2(!s � !m)

Usiamo la notazione ti�jin per indicare il tempo di incontro tra la lancetta i e la lancetta j, con i,j 2 [s,m, h] e

!i > !j . Il tm�hin ha forma:

tm�hin =

⇡

2(!m � !h)

mentre il ts�hin ha forma:

ts�hin =

⇡

(!s � !h)

Sincronizzare le tre lancette e un problema abbastanza complicato, che richiede alcune approssimazioni. Il modopiu pulito per vedere il problema e disegnarlo e risolverlo approssimativamente graficamente:

Figura 1: Problema 3. In rosso abbiamo la leggere oraria dei secondi, in blu quella dei minuti e in verde quelladelle ore.

I punti di intersezione sono i punti in cui le 3 lancette sono sincronizzate e rappresentano circa i punti in cuiabbiamo la risoluzione del problema. Non c’e una soluzione esatta analitica pertanto serve valutare il grado diapprossimazione che si vuole avere nella risoluzione.

3

ù

omi

È1.718leia Io e

MI e litracciaut dj vs t re seno

ai trofei verso

II adf.IR vetrasenantecaso

ESERCITAZIONE 11/03/19

sistema di riferimento intrinseco:

SOLUZIONE P4

NBI vtsengrtfcas.si

DI vattene daNf QQ

fare II ftp.i ffjdoIIII do FaentiniEgg

t iA Gg fdj ln µ

tuffò FI da ln caso

pIndmPrendiamo II a

cnn.tn fn9

Èfà Io lnfatti holnr.hr

II Golosoc

rlot

jfoorla.ata e a

riot II Èrlot ff.nort resent A

xii y a NY

CHE EQUAZIONE E’??

4 0 è PARABOLA

X a 4 0 2

Efh rtoEtfgti

EslHrsGtfgtirt.rrdo

Er Es vir rido

posizione della frecciagenerica:

posizione dellascimmietta:

NB: la freccia deve avere abbastanza gittata,maggiore di d

noi abbiamo che la scimmia verrà colpita a un certo t se e solo se Questo lo vediamo da:

Soluzione P5

FÈ

i

Supponendo che abbiamo stessa direzione:l'impatto avviene quando hanno anche stesso modulo:

⇒ il moto relativo della scimmia rispetto alla faccia è indipendentedalla forza di gravitàȾ stessa situazione di un moto rettilineo uniforme

Il sistema S’ si muove con velocità , rispetto al sistema S, solidale con il pedone. Le leggi di trasformazione ci diconoche sul nuovo sistema di riferimento S' vale:

Soluzione P6

II E T.rrt.ro Tl E i

è vi caso v cosa V

I vi sene v seno j.mnsonov'andavano

I riposo.tn caso

v'frenai.mg eV2v1diIsI

ojjXo0Yoo

Traiettoriae va E y fg4 e degli voi

PARABOLA

V può far cambiaresegno alla velocità

pertanto se Ap ha 45 ° rispetto alla retta di V

SOLUZIONE P7

sistema S solidale al terreno

v'è presa rispetto a S'

II o xd.no Ya D

E g à xke aj.ee4 ll Igt

lo

5 4 io E I441 gr

S C fae

l'ftp.tµ

retta parallela l 8 ènè g a e di

p

7 èil

a

è À tout

Sistema S’

A t=0, P si trova ad altezza h

1)

Supponiamo che l’aeroplano sia in quiete al tempo

P ha dimensioni trascurabiliS solidale al terrenoS' solidale al cuneo in movimento

SOLUZIONE P8

a ai cosa e ai

Ay a sera

a fattotiatastatentoTÈ int

A omaggia cinesea casa

a fai diora ricordiamoci che è non dipende daltempo

rt è 2 vice D a

il modulo di a sarà:

L'angolo di inclinazione rispetta all'orizzonte sara dato da:

2) La sua velocità sarà data da:

E fàde fà l cose

a Rio E o h cost 5h

è che Ieri casa e fatti4 Ir fa e a h h faseniori

È E

2 donator

44 h al senodosata

he'cosa aI

a 44 o

a µ ahial caso Rt

3) La traiettoria del punto P sara data da

Ⱦ Traiettoria rettilinea

blasonataa'seno

i

rlq.bgnei.AE iritrae niente aeIt AE volt ear Bar c

E sarei cabrioiii ÉTAT aabrpt

qnjf.fi

Ieii aar aslAryABE senlarY

È offrono runoff

Soluzione P9 (soluzione 1 in fondo)2) La traiettoria segue le coordinate polari

dove nel nostro caso particolare:

COORDINATE CARTESIANE

ridotti daI seno trono IIe

ineffettivitàoffrimi.info FIeFF rvI

41mF 3 8 30 Io Al E TÈve dff.FI 3.267 mia

Ny 8.760 MA

prendiloA 1 Be 2

4 è tirar tinga

dfzintvrdffi djei.tnDÌÌn II wxuirtrdjhrdfwxnifzni.IE

nitriamo effetti

Io rlzitnii.EE eirIIfi.aA

1rodi B 2mmoler Fier II a

g e dj.ee DI _ede

µ rete nii f.er.ee irriguiasrjnitfeotfniia.FI

Per comodità riprendiamo i conti partendo da

per l is D 1 rad

tal È 20 am

siardm sag lo misi

iÈ

andate darti era orientean anni t eri erosionetal È

in coordinate cartesiane: