– لألساتذة العليا المدرسة– القبة

الرياضيات قسم

4هندسة وحدة تأهيل شهادة من الخامس السداسي

المتوسط التعليم أساتذة ( LMD ) نظام

دبة األستاذ: مصطفى إعداد

الوسيطية المنحنياتتمهيد

بها تهتم التي المواضيع أهم من مادية نقطة حركة دراسة تعتبر

: نعرف كنا إذا تماما معينة المادية النقطة حركة . إناالميكانيك

1

بمعادلة الوضع يعطي ، زمنية لحظة كل في النقطة هذه * وضع

الوضع(. بشعاع الشعاع )يسمى الحركة

بمشتق السرعة تعطى زمنية لحظة كل في المادية النقطة * سرعة

.، للزمن بالنسبة

بالمشتق التسارع يعطي زمنية لحظة في المادية النقطة * تسارع

. ، للزمن بالنسبة لـ الثاني

الذي الزمن بداللة )المسار(، المنحني معادلة معرفة أن إذن نرى إننا

)الوضع الحركة عناصر تعطي حركتها أثناء المادية النقطة ترسمه

والتسارع(. والسرعة

من لجزء بتطبيق مادية نقطة كل حركة مرافقة يمكن أنه واضح

هذا دراسة إلى النقطة هذه حركة دراسة بعدئذ فترجع ، في

في يتمثل الذي المنحني وبالتالي الحركة معادلة يعطي الذي التطبيق

في تكتسيها، التي الكبرى األهمية إلى سبق ما الحركة. يلمح مسار

وسيط بداللة تعطى التي المنحنيات أو المسارات دراسة الحركة، علم

الباب هذا في أليه نرمي الذي الهدف األحيان(. إن غالب في )الزمن

عامة. بصفة الدراسة هذه تقديم هو

1 تعريف لجزء تطبيق ف. ت. أ( كل) في وسيطيا منحنيا نسمي

: المجموعة ونسمي في

وسيطا. فيسمى المتغير . أمامسار أو المنحني نقط بمجموعة

2

x

y

z

R

v

عن نقول كان مستو. وإذا إنه المنحني عن نقول كان * إذا

أيسري. إنه المنحني

مستمر، وسيطي منحن لدينا انه نقول مستمرا، التطبيق كان * اذا

قابال وسيطي منحن لدينا انه نقول لالشتقاق قابال كان إذا أما

... وهكذا لالشتقاق،

أمثلة في الوسيطي المنحني يقبل في من لجزء تطبيقا . ليكن1

بـ المعرف و هما التابع مركبتا التابع بيان كمسار

كمسارات حقيقي لمتغير الحقيقية التوابع بيانات اعتبار يمكن ومنه

يمكن في المسارات عن يقال ما كل . إذن في منحنيات

. حقيقي لمتغير الحقيقية التوابع بيانات على تطبيقه

: بـ المعرف في المنحني مسار هي . الدائرة2

. 2 )ف. ت. أ( بعده اقليدي تآلفي فضاء اآلن نعتبر

التطبيق نعرف وليكن

2 تعريف الشعاع نحو يؤول الشعاع عن نقول من نقطة لتكن

كانت (. اذا إلى يؤول التوالي )على نحو يؤول عندما

عندما0 الى تنتهي المسافة ان يعني ، نحو تؤول النقطة

مركبات ان الى (. يعود الى يؤول التوالي )على نحو تؤول

. الشعاع مركبات نحو تؤول الشعاع

مثال

تؤول عندما الشعاع نحو يؤول الشعاع

.1 نحو

3 تعريف

3

التطبيق عن نقول

نهاية يقبل الشعاع كان اذا عند لالشتقاق قابل إنه

لها ونرمز للشعاع عند المشتق تسمى النهاية وهذه لما

. بـ

و التابعين كان اذا لالشتقاق قابال التطبيق

بالعالقة يعطى عند ومشتقهما لالشتقاق، قابلين

العالية الرتب من المشتقات نعرف الطريقة وبنفس

.

( Taylor-Young) تايلور-يونغ : عالقة تذكير

ليكن

نقطة ولتكن مرة باالستمرار لالشتقاق وقابلة على معرف

لدينا: أجل من من نقطة

4 تعريف

: بـ معرف في من مستمر تطبيق ليكن

هو حيث الوسيطية( الثنائية )باإلحداثيات المنحني نسمي

النقطة مسار. الوسيط هو و بواسطة لـ المباشرة الصورة

. لـ تمثيل هما و إن أيضا . نقول تمسح عندما

4

مثال

و ليكن

.1 قطرها ونصف0 مركزها للدائرة وسيطي تمثيل هو

نقطة جوار في وسيطي منحني دراسة النقطة عند وكذلك النقطة جوار في المعرف التطبيق ليكن

مستمرة. كما عالية رتب من مشتقات النقطة هذه جوار في ويقبل

.عند معدومة كلها ليست المشتقات هذه أن أخرى جهة من نفرض

المماس تعريف

مجال على لالشتقاق وقابال معرفا في وسيطيا منحنيا ليكن

فإنه ، عند لالشتقاق قابل أن . بما من ولتكن من مفتوح

: نكتب أن بإمكاننا

)*( مع

.(régulier) عادية نقطة إنها النقطة عن نقول كان أذا

.))مستقرة( شاذة نقطة إنها النقطة عن نقول كان إذا

stationnaire)

في التآلفي المستقيم ولنعتبر عادية نقطة إنها أن إذن لنفرض

: معادلته الذي

المعدوم غير الشعاع اتجاه في بالنقطة يمر الذي المستقيم أنه

مسار من النقط يبن المسافة )*( أن العالقة من . يتبن

. لهذا أمام مهملة الوسيط قيم لنفس الموافقة ونقط

وبالتالي أجل من لمسار بالمماس المستقيم يسمى السبب

5

من لمسار مماس وجود يكافئ معدوم غير مشتق وجود فإن

موجه(. )أو مدير كشعاع الشعاع المماس هذا ويقبل أجل

في وسيطيا منحنيا : ليكن الشاذة النقط حالة في المماس معادلة

من مفتوح مجال على مرة لالشتقاق وقابال معرفا

أن . لنفرض من ولتكن

و

معادلة وتعطى أجل من مماسا المنحني مسار يقبل عندئذ

بـ المماس هذا

: نكتب أن بإمكاننا فإنه ، عند لالشتقاق قابل أن بما

طايلور-يونغ مبرهنة تطبيق شروط أن نالحظ هذا من نتأكد ولكي

: وبالتالي محققة

نقطة جوار في مسار شكل الوسيطية المنحنيات حالة على هتنا بال لالشتقاق وقابال معرفا في وسيطيا منحنيا ليكن

. من ولتكن من مفتوح مجال

: أن ولنفرض

غير طبيعي عدد أصغر وليكن كلها معدومة غير عند مشتقات

. بحيث معدوم

أصغر . وليكن كلها توازي ال مع المشتقات

عندئذ ، يوازي ال بحيث يساوي أو أكبر طبيعي عدد

معدومين(. ولنضع )وغير خطيا مستقلين الشعاعان هذان

فيمكن خطيا مستقلين أن وبما

6

من جديدة، أصل كنقطة النقطة أخذنا كأساس. وإذا اعتبارهما

: على نحصل تايلور-يونغ عالقة

على هما الجديد لألساس الشعاع مركبتي فإن ومنه

: التوالي

خالصة

عدد أصغر وليكن و مسارها مع وسيطي منحني

أكبر طبيعي عدد أصغر و بحيث1 يساوي أو أكبر طبيعي

(، و وجود )لنفرض خطيا مستقلة بحيث من تماما

في أجل من اشارة من هي وإشارة إشارة من هي وإشارة

معدوم. وغير الصفر جوار

: التالية الحاالت عندئذ لدينا

إشارة من هي إشارة تكون زوجي، و فردي: األولى الحالة

جانب على يقع جوار في المسار أن يعني هذا موجبة هي وإشارة

. المماس إلى بالنسبة واحد

و اشارة من كل عندئذ تكون فردي، فردي: الثانية الحالة

النقطة في المماس يقطع مسار فإن وبالتالي اشارة من هي

7f(t)

f(t0)

Y=fq(t0)

X=fp(t0)

و إشارتا تكون عندئذ تكون زوجي، زوجي: الثالثة الحالة

من تراجع نقطة لدينا إنه عندئذ صغير. نقول أجل من موجبتين

الثاني. النمط

إشارة تكون عندئذ تكون فردي، زوجي: الرابعة الحالة

إنه عندئذ صغير. نقول أجل من إشارة من إشارة وتكون موجبة

األول. النمط من تراجع نقطة لدينا

الالنهائية الفروع

مساره )قوس( وسيطي منحني حيث ليكن

مركبات ، من ومتجانس متعامد معلم و

. في

إذا وفقط إذا نحو تؤول عندما نهائية، ال فروع تقبل أنها عن نقول

كان إذا خاصة وبصفة إلى يعود وهذا

. أو

الحالة هذه وفي ، نحو تؤول عندما النهائي فرع يقبل نقول فإننا

. نشكل

. اتجاه في مكافئ فرع يقبل فإن كان إذا.1

8

f(t)

f(t0)

Y=fq(t0)

X=fp(t0)

f(t)

f(t0)Y=fq(t0)

X=fp(t0)

y

xo

0tt

مثال

،

مالحظة خط هو معادلته الذي المستقيم فإن و كان إذا

.للمنحني مقارب

خط هو معادلته الذي المستقيم فإن و كان إذا

.للمنحني مقارب

مثالللمنحني الالنهائية الفروع ادرس

لدينا

t

ty 1()

و

t

tx ()

للمنحني. مقارب خط هو فإن ومنه

مقارب خط هو فإن ومنه و: كذلك لدينا

. للمنحني

9

y

xo

y0

y

xo x0

y

xo

y0=1

y

xo x0=2

. اتجاه في مكافئ منحني لدينا فيكون كان إذا.2

مثال

: بـ المعرف الوسيطي المنحني ليكن

،

الالنهائية. فروعها عين

يكون ومنه و لدينا

كانت إذا.3

كانت إذا نحسب

معادلته الذي المستقيم اتجاه في مكافئ فرع يقبل المنحني فإن

.

مثال

: الوسيطي المنحي ليكن

.

يكون ومنه و لدينا

في مكافئ فرع يقبل المنحي ومنه نحسب

. معادلته الذي المستقيم اتجاه

10

y

xo

y

xo

y=x

كان إذا.4

. و

مقارب. كخط معادلته الذي المستقيم يقبل المنحي فإن

بالمنحني المستقيم هذا وضعية ندرس أن يجب الحالة هذه وفي

المستقيم هل وتحديد الفرق إشارة دراسة يجب ولهذا

المنحني. أسفل أو فوق يقع

مثالبـ المعرف للمنحني الالنهائية الفروع أدرس

.

.و يكون ما عند

. لما النهائية فروع يقبل إذن

لدينا فيكون ،: الكسر نهاية نحسب

.

. معادلته الذي المستقيم اتجاه في تقارب يقبل المنحي ومنه

: نحسب ثم

أن أي

خط معادلته ( الذي) المستقيم يقبل المنحي ومنه

مائل. مقارب

11

: نحسب ومنه بالمنحني الخط هذا وضعية ندرس

تحت يقع والمنحني عندما المستقيم فوق يقع المنحني

. عندما المستقيم

مثال

بـ المعرف للمنحني الالنهائية الفروع أدرس

.

.و يكون ما عند

. لما النهائية فروع يقبل إذن

،: الكسر نهاية نحسب

لدينا فيكون

،

ومنه

. المقارب اتجاه في مكافئ يقبل المنحي ومنه

12

y

xo

2

32 xy

0t

0t

لـ الممثل المنحني ليكن)المضاعفة( : المزدوجة النقاط

مع

لـ مضاعفة أو مزدوجة نقطة إنها النقطة عن نقول

بحيث وجد إذا وفقط إذا

مثال

.: الوسيطي المنحي ليكن

: مزدوجة نقاط هناك كانت إذا بين

نحسب

ومنه لدينا

فإن أن وبما

إذن ومنه إذن

: نحسب ذلك من لتأكد

التناظر

تنــاظر إلى االنتبــاه يجب الوســيطي، المنحــني دراســة مجــال لتقليص

الوسيطي. المنحني مركبات

1 .

المجال الى تتقلص والدراسة بالنسبة متناظر

. بالنسبة متناظر . 2

13

. بالنسبة متناظر . 3

(Changement de paramétrage) التوسيط في تغيير

ــني ليكن ــيطي منح ــمي ، وس ــير نس ــيط في نغي من التوس

: ويحقق بـ معرف تطبيق كل لـ الصنف

*

تقابل*

*

الصنف من( Paramétrage admissible) مقبول توسيط نسمي

لـــ التوســيط في تغيير ويوجد بـ معرف تطبيق كل ، لـ

: بحيث

إذا الصــنف من التوســيط في تغيــيرا يكون التطبيق: نتيجة

: تحقق

*

*

أو*

:( Abscisse curviligne) الوسيطية الفاصلة

5 تعريف

على صــنف من تطــبيق كــل على وســيطية فاصلة نسمي

: بحيث

. أجل من الوسيطي التمثيل هو حيث

مالحظات

ــ إلى من المعــرف التطــبيق أن . بمــا1 ، على مســتمر بـ

بحيث وجد إذا وفقط إذا وسيطية فاصلة هو التطبيق

14

(. نضع أننا العلم )مع

: لدينا التعريف، في الترميز ذلك وحسب سبق . ومما2

)الطبيعي( : المقبول التوسيط . تغيير3

بمعــنى لـــ التوســيط تغيــير بحيث تطــبيق و مجــال ليكن

: بحيث على معرف تطبيق يوجد

*

تقابل تطبيق*

*.

. أو أن عندئذ وعلم

من تطــبيق وهــو ونضــع وســيطية فاصــلة التطــبيق ليكن

. على صنف

لدينا

أن نستنتج كان إذا

وسيطية. فاصلة هي فإن ومنه

وسيطية. فاصلة هي تكون كانت إذا الطريقة بنفس

و بحيث و على وســـيطية فاصـــلة لتكن: تعريTTف

بـــ لــه ونرمــز علىالجــبري( )الطول القوس طول نسمي ،

: يعني وهذا ، الحقيقي العدد

)الجبري( القوس لطول المطلقة القيمة وهي لـ القوس طول هو

. على

15

مثال

. بالنسبة متناظر ومنه التناظر ندرس

التناظر نأخذ ثم المجال على مسار ندرس أن يكفي إذن

. بالنسبة

. المجال على لالشتقاق قابلين و أن نالحظ

: لدينا يكون ومنه

: يلي كما التغيرات جدول يكون

مقارب. معادلته الذي المستقيم المنحني يقبلمزدوجة. النقطة تكون و ولما

1 مثالبـ المعطى )القوس( في الوسيطي المنحني ليكن

16

t

x’(t)

x(t)

y’(t)

y(t)

01

1

+

- - -0

-1

+ + + - -

1 -

0

-1 1 x

y

. و التغيرات جدول اعط.1

لهــذه بالنســبة وضــعية وحدد مسار لـ المقاربة الخطوط عين.2

الخطوط.

)مضاعقة(. مزدوجة نقطة أن بين.3

العناية. من بشئ ارسم.4

حTل

. هي التعريف مجموعة.1

لدينا

: التغيرات جدول نستنتج ومنه.2

: المائل المقارب الخط

كذلك ولدينا

يكون ومنه

17

t

x’(t)

x(t)

y’(t)

y(t)

- -1 0 1 2 +

- - -

0

-0

+

-

+

3

2

0

0

+ + - - +

-

2

1

0 +

-4

هو المائل المقارب الخط إذن

. النقطة عند المنحي مع المائل المقارب الخط يتقاطع

و أجل من )المضاعفة( هي المزدوجة النقطة

.

2 مثالبـ المعطى )القوس( في الوسيطي والمنحني ليكن

. المنحني من إلى من القوس طول أحسب

الحل

. على الوسيطية الفاصلة هي لتكن

: أجل من لدينا

18

y

x

y=

لدينا إذن

ومنه

.المطلوب وهو

تمTTارين

: بــ المعر|فf التابع أدرس :1 تمرين

b) f(x)= a) f(x) =

19

+f(x) = -x . : بــ المعرفf بيان أرسم: 2 تمرين

) وad-bc≠0 وc≠0 بحيثIR منa,b,c,d ليكن : 3 تمرين

Γ :)هل (Γ)أكتبصحيح, الجواب كان ما حالة في ؟ظرتنا مركز له

)هم(. مركباتـ

: الوسيطي لمنحنيل انعطاف نقطة أوجد : 4 تمرين

(,)

: الوسيطي لمنحنيل انعطاف نقطة ثم المستقرة النقط أوجدو

(,)

: الوسيطي لمنحنيل المتضاعفة والنقطة المستقرة النقطة وعين

, ln(1+t2))

)المنحني( األقواس عرف ،المعادلتين بينt المتغير بحذف :5 تمرين

: التالية الوسيطية

b) a)

: التالية الوسيطية األقواس أدرس :6 تمرين

d) c) b) a)

20

: بـ المعرف التطبيقIR2 f : I و;+I = [-1 [ ليكن :7 تمرين

I, f(t) = t

أرسم f.

أن بين fمن مستمرو تقابل Iنحو f(I)، غير العكسي التطبيق أن غير

مستمر.

: بـ المعرفG المنحنى أرسم: 8 تمرين

من نقطة كمبدأG بأخذ ،G من نقطة كل في المنحنية الفاصلة أحسب ثم

.t=1 لـ المنتسبة

(. المجال على تكامل )أستعملG لــ للحلقة L الطول أحسب

-مسارهf )القوس( الوسيطي والمنحني ليكن: 9 تمرين

بـ - المعرف

. على الوسيطية الفاصلةS عين.1

.t = 2 إلىt = 0 من القوس طول أحسب.2

بـ المعطى في )القوس( الوسيطي المنحنيf ليكن : 10 تمرين

.و تغيرات جدول أعط.1

.f(1) النقطة جوار - فيf مسار – شكل عين.2

لهــذه بالنســبة وضــعية وحــدد لـــ المقاربــة الخطــوط عين.3

الخطوط.

)مضاعفة(. مزدوجة نقطة(6, 5) أن بين.4

العناية. من بشئ أرسم.5

21

مسارهf )القوس( الوسيطي والمنحني ليكن: 11 تمرين

بـ المعرف

ــتنتج . ثمأن بين.3 ــار أن أس ــع المس بين يق

و عين ثم ، و : الـــدائرتين

.

اإلحداثيات محوري أحد إلى بالنسبة متناظر المسار أن بين.4

. المجال علىf دراسة اقتصار يمكن وأنه

عين ، المجال على y(t) و x(t) تغيرات جدول أعط.5

شكل عين ثم ،: القيم أجل من ممسات

. النقطة جوار في المسار

. المسار أرسم.6

. المسار طول أحسب.7

المراجع

1. O. ARINO ; C .DELODE ; J. GENET : Géométrie affine et

euclidienne, DUNOD, Paris , 2000

2. P. Florent ; G. Lauton ; M. Lauton : Calcul vectoriel,

géométrie analytique , tomes 1 et 2, Vuibert, Paris, 1981.

3. J. Lelong-Ferand ; J.M. Arnaudiès : Géométrie et

cinématiques, tome 3, 2e édition, Dunod, Paris, 1977.

4. M. Postnikov : Leçons de géométrie, tome1,edition Mir,

Moscou,1981.

5. A.Doneddu : espaces euclidiens et hermitiens, Géométries ,

nouveau cours de mathematiques, tome3, Vuibert, PARIS?

1980.

22

6. B. Calvo, J.Doyen : Cours d'analyse, tome 3, collection U ,

Paris,1977.

7. P. Martin : Applications de l'algèbre et de l'analyse à la

géométrie, collection U , Paris,1967.

المحتويات2...................................................................................................الوسيطية المنحنيات6...................................................................نقطة جوار في وسيطي منحني دراسة

7................................................................................نقطة جوار في مسار شكل17.........................................(Changement de paramétrage) التوسيط في تغيير

25................................................................................................................تمــارين28.............................................................................................................المراجع

23