cours_cm_1_chapitre _2_eléments fléchis en construction métallique_08_09 version finale
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Cours de construction métallique III. Eléments fléchis en construction métallique
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Enseignant: Sami MONTASSAR(email: [email protected])
École Nationale d’Ingénieurs de Tunis, 2008-2009
Quelques éléments fléchis usuels
2
Principaux types de profilés laminés utilisés en flexion
3
IPEou IPN
HEA , HEB ou HEM Tuberectangulaire
U Cornière
Critères de choix du type de profilé laminé
La résistance : sécurité structurale.
La rigidité : elle est directement liée à l’inertie du profilé.
Le déversement : les profilés laminés en I sontparticulièrement sensibles à leur rapport Iz/Iy. (Pour une mêmerésistance en section, un profilé IPE présente une moins
4
bonne résistance au déversement qu’un profilé HEA, HEB ouHEM).
Le poids (par mètre) : a une influence sur le prix del’élément, ainsi qu’éventuellement sur son principe demontage.
La hauteur du profilé : peut être déterminante lorsqu’ils’agit de limiter son encombrement.
Déformations et contraintes dans une section fléchie
5
Planchers et couvertures
Les planchers et les couvertures des bâtiments métalliquessont réalisés en :
• plaques ondulées fibres-ciment sans ou avec amiante(généralement pour les constructions de bas de gamme :hangars agricoles, dépôts …).
6
• bacs acier nervurés en acier galvanisé (éventuellementen aluminium).
• platelage sur poutrelles (acier : tôle métallique, béton,mixte acier-béton, bois …).
Plaques ondulées fibres-ciment
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Avantages :
- bonne résistance au vieillissement (insensibilité à l’humidité).
- incombustibilité.
- grande stabilité dimensionnelle (dilatation et flèches minimes).
- coût modique
Exigences et inconvénients :
- une pente minimale de toiture de 9%.- l’adjonction de cordons d’étanchéité pour pente inférieure à16%.- une entraxe des pannes faible de 1,00 m à 1,38 mmaximum (exception : maxi-plaques qui vont à 2,25m).- aspect architectural médiocre.
- poids propre élevé (18 daN/m2).
8
- poids propre élevé (18 daN/m2).- résistance aux chocs limitée (risque de rupture brutale).
Plaques onduléesfibres-ciment
Longueur nominale des plaques (m)
Nombre d’appuis
Portée des plaques (entraxe
pannes)
Surcharge admissible (daN/m2)
Formats courants 1,522,501,25
232
1,381,181,11
308425480
Format spécial 2,50 2 2,25 308
Bacs acier (ou aluminium) nervurés
9
10
Grandes dimensions (largeur 1 m, longueur jusqu’à 12 m).
Les bacs de faible longueur portent sur 2 pannes → calculéen isostatique. Les bacs de grande longueur portent sur 3 ou4 pannes → en continuité → flèches réduites.
Fabrication : tôle laminée à chaud ou à froid et galvanisée→ plaque profilée à froid
La portée des bacs (qui détermine l’entraxe des pannes) est
11
La portée des bacs (qui détermine l’entraxe des pannes) estdéterminée en fonction :
- des charges appliquées : climatiques, de montage,isolation, étanchéité …
- des profils des bacs (répertoriés dans les catalogues desfabricants correspondant à divers moments d’inertie variables enfonction de l’épaisseur de la tôle, du pas des nervures et de lahauteur des ondes).
Les bacs sont dimensionnés :- pour présenter une flèche relative admissible [f/L]inférieure à 1/200,
- Pour supporter une charge minimale de 100 daN/m2
correspondant au poids de deux hommes et de leursmatériels.
Les bacs peuvent être posés tels quels, en couverturesèche (si la pente est supérieure à 5%) ou bien recevoir une
12
sèche (si la pente est supérieure à 5%) ou bien recevoir uneétanchéité (généralement multicouche).
Les pentes, les modes de fixation et les recouvrementssont réglementés (fixation par boulons-crochets ou vis auto-taraudeuses).
Principaux avantages : grande rapidité de pose et faiblepoids (environ 10 daN/m2 ).
Profil Critère flèche
Ep(mm)
.
Poids (kg/m2)
Nbre appuis
Portée (m) pour une charge (daN/m2) de
100 115 125 150 175 200 250
1/200
0,75 6,74 23
2,452,95
2,352,80
2,302,70
2,152,50
2,052,35
1,952,20
1,801,95
1,00 8,99 2 2,70 2,60 2,55 2,40 2,25 2,15 2,00
Bacs nervurés en acier galvanisé
13
Plein
1/200 1,00 8,99 23
2,703,25
2,603,10
2,553,00
2,402,80
2,252,70
2,152,50
2,002,25
1/300
0,75 6,74 23
2,152,60
2,052,45
2,002,35
1,852,20
1,702,05
1,651,95
1,501,80
1,00 8,99 23
2,352,95
2,252,80
2,202,70
2,052,50
1,952,30
1,852,20
1,702,00
Platelage en tôles métalliques
Les tôles métalliques constituant le platelage du plancherd’un ouvrage en construction métallique sont posées etsoudées sur les semelles des poutrelles.
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tH H
HHf
Qn
L
Le platelage travaille simultanément à la flexion et à latraction .
Le choix de l’épaisseur du platelage est fonction de la flècherelative admissible [f/L] = 1/150 – 1/200 et des chargesnominales Qn ≤≤≤≤ 40 kN/m 2 .
Ces valeurs peuvent être adoptées :
15
t = 6 – 8 mm pour Qn ≤ 10 kN/m2
t = 8 – 10 mm pour 10 < Qn ≤ 20 kN/m2
t = 10 – 12 mm pour 20 < Qn ≤ 30 kN/m2
t = 12 – 14 mm pour 30 < Qn ≤ 40 kN/m2
( )
−
+
=
2
4
1.
..721
.15
.4
νnQ
Lf
E
Lft
L
La travée du platelage peut être ensuite estimée par :
La force de poussée latérale H (par unité de longueur) estapprochée par :
16
approchée par :
( )2
22
1..
4..
νπ
−
= E
L
ftCH p
= 4/3 pour les charges permanentes défavorables= 1 pour les charges permanentes favorables= 3/2 pour une seule charge variable= 17/12 pour deux charges variables différentes appliquées simultanément= 4/3 pour trois charges variables différentes appliquées simultanément
La gorge utile a (l’épaisseur du cordon de soudure d’attacheplatelage/membrure) peut être enfin calculée selon l’EC 3 parla formule suivante (le calcul des assemblages soudés feral’objet d’un chapitre dans le cadre de ce cours) :
uMWW f
Hla
2... .
longueur de unité 1
γβ=Σ=
43421
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Nuance d’acier γγγγMW ββββW γγγγMW.ββββW
fy (MPa) fu (MPa)
235275355
360430510
1,251,301,35
0,800,850,90
1,001,101,20
Application 1 : calcul d’un platelage en tôles d’acier d’un plancher.
Poutre principale
Poutrelle de platelage
Poteau
18
Poutrelle de
1501
t/m2
S.235
platelage
2
=
=
L
f
Qn
Déversement des éléments fléchis
Le phénomène du déversement se manifeste lorsqu’unélément fléchi selon son axe fort n’est pas tenu latéralement .La partie comprimée de sa section peut alors éventuellementse dérober.
Un tel phénomène peut être assimilé au flambement de lapartie comprimée de la section entre deux points d’appui
19
partie comprimée de la section entre deux points d’appuilatéraux.
20
Selon l’EC3, on utilise la procédure suivante pour vérifier ledéversement des éléments fléchis :
1) Calcul du moment critique de déversement
( )
( ) ( ) ( )
−−−++
=
jgjgz
t
z
w
w
zcr
zCzCzCzCIE
IGLk
I
I
k
k
Lk
IECM
......
....
..
...
322
322
22
2
2
1
π
π
21
zzw IEIk ..π
• Le facteur k concerne larotation d’extrémité dans leplan de chargement. Il estanalogue au rapport longueurde flambement sur longueurréelle d’un élément comprimé.
• kw concerne le gauchissement d’extrémité. Sauf dispositionsparticulières prises pour empêcher tout mouvement auxextrémités, on prendra kw = 1.
sag zzz −=
Coordonnée suivant z du point d’application de la charge
Coordonnée du centre de cisaillement
22
( )y
Asj I
Azyzzz
∫ +−=
d5,0 22
( )ν+=
12E
G
• It est le moment d’inertie de torsion
• Iz est le moment d’inertie de flexion suivant l’axe de faibleinertie
• L est la longueur de la poutre entre points latéralementmaintenus
• I est le moment d’inertie de gauchissement
23
• Iw est le moment d’inertie de gauchissement
2
2
−= f
zw
thII
• C1, C2 et C3 sont donnés par les tableaux suivants
Cas de moments d’extrémités
24
Cas de charges transversales
25
Mcr doit être calculé avec les caractéristiques de la sectionbrute. Pour les sections de classe 4, le calcul de Mcr sera faiten considérant que la constante de torsion uniforme It estnulle.
comparaison du moment critique élastique d'un profil encaisson (qui possède une rigidité de flexion et de torsionélevée) avec des profils ouverts de diverses formes.
26
2) Calcul du paramètre d’élancement réduit
cr
yyplwLT
M
fW .. ,βλ =
3 classe deest section la si
2et 1 classe deest section la si 1
,yel
w
W
W=
=β
27
4 classe deest section la si
3 classe deest section la si
,
,
,
ypl
yeff
ypl
W
W
W
=
=
tdéversemendu compte tenir de nécessaire pasest n' il
4,0 si ⇒≤LTλ
3) 4,0 si >LTλ
( )[ ]22,015,0 LTLTLTLT λλα +−+=Φ
Le facteur d’imperfection pour le déversement (=0,21 pour les profiléslaminés et 0,49 pour les profilés reconstitués soudés)
28
1 mais 1
22≤
−Φ+Φ= LT
LTLTLT
LT χλ
χ
Le coefficient de réduction à appliquer à la capacité plastique ouélastique de la section (≤1)
Le moment de flexion maximal Mf doit être inférieur aumoment ultime de déversement :
1, ...
M
yyplwLTf
fWM
γβχ≤
γM1coefficient partiel de sécurité de résistance deséléments aux instabilités
=1,1
29
Il n’est pas nécessaire de vérifier la résistance audéversement d’une poutre si sa semelle comprimée est tenuelatéralement sur toute sa longueur.
C’est par exemple le cas des solives d’un planchersolidarisés à la dalle béton ou au platelage en tôles d’acier.
Calcul de Mcr – Quelques cas particuliers :
Poutres en I à section transversale constante mono-symétrique et à semelles inégales :
( ) 2..1. syffw hII ββ −=
fcf II
I
+=β
hs = h – t f : distance entre les centres decisaillement des semelles.
30
ftfcf II +
Moment d’inertie de flexion de lasemelle comprimée suivant l’axede faible inertie de la section
Moment d’inertie de flexion de lasemelle tendue suivant l’axe defaible inertie de la section
Les approximations suivantes peuvent être utilisées pourcalculer zj :
( )2
.1.2.8,0 alors 50 Lorsque - sfjf
hβz,β −=>
( )2
.1.2 alors 50 Lorsque - sfjf
hβz,β −=<
Poutres à section transversale constante et
31
Poutres à section transversale constante etdoublement symétrique :
Sections transversales doublement symétriques ⇒ zj = 0.
( )( ) ( )
−++
= gg
z
t
z
w
w
zcr zCzC
IE
IGLk
I
I
k
k
Lk
IECM ..
..
.....
.
... 2
222
22
2
2
1 ππ
- Dans le cas de chargement par momentsd’extrémité (C2 = 0) ou de charges transversalesappliquées au centre de cisaillement (zg = 0) :
( )( )
z
t
z
w
w
zcr
IE
IGLk
I
I
k
k
Lk
IECM
..
.....
.
...
2
22
2
2
1 ππ +
=
- Lorsque de plus k = kw = 1 (pas d’encastrement
32
- Lorsque de plus k = kw = 1 (pas d’encastrementaux extrémités) :
z
t
z
wzcr
IE
IGL
I
I
L
IECM
..
...
...
2
2
2
2
1 ππ +=
Application 2 : déversement d’une poutre
Q = 400 kN
g (kN/m)
33
6 m
S.235HEA 400
( ) 0,, /3/ MvyRdplRdcEd AfVVV γ==≤
Aire de cisaillement
Av
Effort tranchant γM0coefficient partiel desécurité de matériau
=1,0 si l’acier utilisé est agrée=1,1 sinon
34
35
la résistance des sections au moment fléchissant n’est pasaffectée par la présence de l’effort tranchant si
RdplEd VV ,21 ≤
Dans le cas contraire, il y a une réduction qu’il faut prendre en
Moment fléchissant
36
Dans le cas contraire, il y a une réduction qu’il faut prendre en compte.
Le risque de déversement est négligeable et n’a pas à êtrepris en compte lorsque
,40 ≤LTλ
4 cas peuvent être rencontrés
RdcEd MM , ≤
Pour les sections de classe 1 ou 2 :Mc,Rd=Mpl,Rd=Wpl.fy/γγγγM0 : Moment résistant plastique
Pour les sections de classe 3 :Mc,Rd=Mel,Rd=Wel.fy/γγγγM0 : Moment résistant élastique
≤
≤
4,021
cas 1 ,er
LT
RdplEd VV
λ
37
Mc,Rd=Mel,Rd=Wel.fy/γγγγM0 : Moment résistant élastique
Pour les sections de classe 4 :Mc,Rd=Weff.fy/γγγγM1 : Moment résistant au voilement local
≤
>
4,021
cas 2 ,ème
LT
RdplEd VV
λRdvEd MM , ≤
Mv,Rd est le moment résistant plastique réduit du fait del’effort tranchant, déterminé en utilisant une limite d’élasticitéréduite pour l’aire de cisaillement seule
( ) yred ff ρ−= 1
2
,
12
−=
Rdpl
Ed
V
Vρ
38
, RdplV
- Pour les sections transversales en I à semelles égales etfléchies suivant l’axe de forte inertie
0
2
, 4 M
y
w
vplRdv
f
t
AwM
γρ
−=
>
≤
4,021
cas 3 ,ème
LT
RdplEd VV
λRdbEd MM , ≤
1
,,
M
yyplwLTRdb
fWM
γβχ=
39
>
>
4,021
cas 4 ,ème
LT
RdplEd VV
λ( )RdvRdbEd MMM ,, ;min ≤
Valeurs usuelles de flèches (calcul à l’E.L.S.)
40
Type de structure Valeur limite
toitures en général f < l/200
planchers en général f < l/250
planchers supportant des poteaux f < l/400
poteaux de portiques en général ∆∆∆∆ < l/300
poteaux de portiques avec pont roulant ∆∆∆∆ < l/500
Application 3 : calcul d’une poutre laminée
Poutre principale
Poutrelle de platelage
Poteau
Poutre
secondaire
41
1 m
12 m
6 m
secondaire
1
3001
10
t/m2
S.235
platelage de poutrelle
platelage
2
=
==
f
L
f
mmt
Qn
42
5001
3001
principale poutre
secondaire poutre
=
=
L
f
L
f
Dimensionnement des poutres reconstituées soudées (P.R.S.)
G
Astfs
σs
vs
Axe neutre
43
G
Aitfi
d0
σi
vi
h
élastique
Les poutres reconstituées soudées sont généralementdes poutres élancées utilisées comme poutres de grandesportées en bâtiment ou poutres de ponts.
Une portée et des conditions de charge bien définies
Un moment donné
44
Section optimale
⇔
Poids minimal et modules de résistance maximaux
Section totale : wis tdAA .++=Ω
Position de l’axe neutre élastique (équilibre desmoments statiques par rapport à cet axe neutre) :
( ) ( )w
fiifiiiw
fssfsss t
tvtvAt
tvtvA .
22..
22.
22 −+
−=
−+
−
⇒ t et t << v , v et h ⇒
45
⇒ tfi et tfs << vs, vi et h ⇒
wi
iiws
ss tv
vAtv
vA .2
..2
.22
+=+
or h = vi + vs ⇒ la position de G et de l’axe neutre élastique :
+Ω
=2.
. wis
tdA
hv
Moment d’inertie (par rapport à l’axe neutre élastique) :
12222
322222 dttAtAt
dvdt
tvA
tvAI wfiifss
fiiwfi
iifs
ss
+++
−−+
−+
−=
⇒ tfi et tfs << h ⇒ d ≅ h
+−
+≅ iw
siw A
hthvA
hthI
232
46
Section des semelles : As et Ai sont minimales lorsque lescontraintes admissibles sur les fibres extrêmes auront atteintles limites admissibles.
( )isis
iiss
M
Ivvh
M
Iv
M
Iv
σσ
σσ
+=+=⇒
==
.
. ; .
is
ss
is
hv
h
M
I
σσσ
σσ +=⇒
+=⇒
.
- En utilisant l’expression de l’inertie, on trouve :
−−=
−−=
iws
i
sw
ii
th
h
MA
th
h
MA
σσ
σ
σσ
σ
2.6.
.
2.6.
.
47
ss
s h σσ2.
6.
- Le premier terme représente la section que devrait avoirchaque membrure, si l’âme était infiniment mince. Chacuneserait en effet soumise à l’effort normal ±M/h.
- Le second terme représente la collaboration de l’âme à larésistance de la section à la flexion.
Cas particulier : section symétrique à semelles égales
isis AA σσ == et
3.2.2
et 6
w
y
w
yis
h.t
h.f
MΩ
h.t-
h.f
MAA +===⇒
Section de l’âme : l’effort tranchant doit rester inférieur àl’effort tranchant résistant
48
y
Mv
M
vyR f
VA
AfVV 0
0
.3..3
. γγ
≥⇒=≤
- Connaissant les élancements admissibles courants despoutres :
w
néc
tWh
L
h.1,1 avec
151
251 ≤<<
on détermine h en fonction de la portée l ⇒ l’épaisseur del’âme tw peut être calculée par :
h
At vw =
Vérification de la flèche : elle s’effectue à l’E.L.S. (tous lescalculs précédents de dimensionnement et de résistance ontété conduits à l’E.L.U).
Autres vérifications à faire :
Vérification de l’interaction entre l’effort tranchant et lemoment fléchissant.
Vérification de la stabilité de la poutre au
49
Vérification de la stabilité de la poutre audéversement.
Vérification du voilement local et détermination desraidisseurs d’âme.
Application 4 : Prédimensionnement et calcul d’une P.R.S.
Données :
P.R.S de 50m de portée, isostatique, en acier S.355, recevant une surcharge de 50 kN/m.
50
S.355, recevant une surcharge de 50 kN/m.
L’épaisseur de l’âme est prise égale à tw = 2 cm pour éviter la corrosion.
Voilement d’âme par cisaillement
Le risque de voilement d’âme (qui est un risque d’instabilitégéométrique) est provoqué par l’effort tranchant VEd.
Dans le cas d’une âme de poutre munie de raidisseurstransversaux, l’effort tranchant développe :
- des contraintes de cisaillementet
51
et- des contraintes normales de traction et de compression orientées à 45°lorsque
l’effort tranchant sollicitant est inférieur à l’effort tranchant critique.
Le voilement apparaît lorsque la contrainte de cisaillement(et par conséquent la contrainte principale de compressioninduite) dépasse un certain seuil τcr donné par (dans le casd’un panneau articulé sur son contour) :
( )2
2
2
.1.12
.
−=
d
tEk w
cr νπτ τ
- pour les âmes avec raidisseurs transversaux au droit des appuis mais
52
sans aucun raidisseur transversal intermédiaire : kτ = 5,34;- Pour les âmes comportant des raidisseurs transversaux intermédiaires :
1 si 4
34,5
1 si 34,5
4
2
2
≥
+=
<
+=
d
a
da
k
d
a
da
k
τ
τ
ww t
d=λ On définit : l’élancement de l’âme
τελλ
kw
w ..4,37= l’élancement réduit de l’âme
Le risque de voilement par cisaillement est négligeable si :
Vérification selon l’EC3
53
ελ 69<w pour des âmes sans raidisseurs
30 τελ kw < pour des âmes avec raidisseurstransversaux intermédiaires
Dans les cas contraires, la résistance de l’âme auvoilement doit être vérifiée.
Les profilés laminés du type HEA, HEB, IPE ne présententpas de risque de voilement d’âme par cisaillement. Lephénomène est surtout critique pour les profilés reconstituéssoudés dont les âmes sont en général très élancées.
L’EC3 propose deux méthodes de vérification de voilementsous cisaillement :
La méthode post-critique simple qui peut s’appliquer danspresque tous les cas aux âmes de poutre à section en double té
54
presque tous les cas aux âmes de poutre à section en double téavec ou sans raidisseurs intermédiaires mais à condition qu’il y aitdes raidisseurs transversaux au droit des appuis. Elle estparticulièrement recommandée lorsque le rapport a/d > 3 ; dans lecas contraire, elle est conservative.
La méthode du champ diagonal de traction qui s’applique auxpanneaux courants des âmes ayant des raidisseurs intermédiaireset vérifiant 1 ≤ a/d ≤ 3.
Méthode post-critique simple
1, /.. MbawRdbaEd tdVV γτ=≤Résistance post-critique simple au cisaillement
Limite élastique de l’âme
55
( )[ ]
w
ywbaw
ywwbaw
ywbaw
f
f
f
λτλ
λτλ
τλ
.3
.9,0 alors 2,1 si
38,0.625,01 alors 2,10,8 si
3 alors 8,0 si
=≥
−−=<<
=≤
Méthode du champ diagonal de traction
( ) ( )[ ]1
,sin....9,0..
M
bbwbbwRdbbEd
tgtdVV γφστ +=≤
Résistance au voilement par cisaillement
Résistance initiale au voilement par cisaillement
Résistance dite du champ diagonal de traction développée à l’intérieur d’une bande inclinée de largeur g de l’âme
56
Détermination de τbb :
( )[ ]
31
alors 25,1 si
38,0.8,01 alors 25,10,8 si
3 alors 8,0 si
2yw
w
bbw
ywwbbw
ywbbw
f
f
f
=≥
−−=<<
=≤
λτλ
λτλ
τλ
57
w λ
Détermination de σbb :
ψψτσ −+−= 222 3 bbywbb f
φτψ 2sin..5,1 bb=
On a θ /2 ≤ φ ≤ θ où θ = arctan(d/a). Il est recommandé deprendre φ = θ/1,5.
La largeur g du champ diagonal de traction est donnée par :
( ) φφ sin.cos. tc ssadg −−−=
Longueurs d’ancrage du champ diagonal de traction le long de la
semelle comprimée
Longueurs d’ancrage du champ diagonal de traction le long de la semelle tendue
sc et st sont calculés à partir de la formule suivante :
58
ast
Ms
bbw
RkNf ≤= mais .sin
2 ,
σφ
Moment de résistance plastique réduit de la semelle
Pour calculer MNf,Rk, on commence par considérer que l’effortaxial NEd et le moment fléchissant MEd sont repris uniquementpar les semelles
Soit Nf,Ed l’effort longitudinal résultant dans la semelle. Parexemple pour une section soumise à un effort axial decompression et un moment fléchissant positif, on a :
( )
( )f
EdEdEdf
f
EdEdEdf
td
MNN
td
MNN
+−=
++=
2)inférieure (semelle
2)supérieure (semelle
,
,
59
Après on calcule MNf,Rk :
−=
2
,
,2
, 1.4
..
Rdf
EdfyfRkNf N
NftbM
4 classe de sections lespour ..
3ou 2 1, classe de sections lespour ..
1,
0,
M
yfeffRdf
M
yfRdf
ftbN
ftbN
γ
γ
=
=
Vérification des raidisseurs transversaux
Il faut d’abord s’assurer que le raidisseur transversalintermédiaire dispose de l’inertie suffisante Is en vérifiant :
3
2
33
..75,0 alors 2da si
..5,1 alors 2d
a si
ws
ws
tdI
a
tdI
≥≥
≥<
60
d ws
Ensuite, on vérifie la résistance du raidisseur auflambement (voir chapitre éléments comprimés) en retenantcomme effort de compression NS dans le raidisseur l’effortdonné par la formule :
0 mais ..1
≥−= SM
bbwEdS NtdVN γ
τ
Interaction entre effort tranchant, moment fléchissant et effort axial
Elle ne fait pas partie de ce cours (voir EC3 ou cours deconstruction métallique 2).
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