08/08/59

1

นายสมควร โพธารินทร์ห้องพกั ๖ – ๒๐๓/๑

E-mail; sky_ubu@hotmail.com

Tel. ; ๐๘ - ๕๙๑๗ - ๘๘๕๗

หมวดวิชาฟิสิกส์ สาขาวิชาวิทยาศาสตร์ คณะวิทยาศาสตร์และวิศวกรรมศาสตร์มหาวิทยาลยัเกษตรศาสตร์ วิทยาเขตเฉลิมพระเกียรติ จงัหวดัสกลนคร

04825113/01420111

ฟิสิกส์ทั"วไป I (General Physics I)

https://pirun.ku.ac.th/~csnskp

Course Course DescriptionDescription0482511304825113 ฟ�สิกส�ทั่วไป ฟ�สิกส�ทั่วไป II

กลศาสตร�ของอนุภาคและวัตถุแข็งเกร็ง สมบัติของสสาร กลศาสตร�ของไหล ความร�อน การส่ัน และคล่ืน

Mechanics of particles and rigid bodies, properties of matter, fluid mechanics, heat, vibrations and waves.

0142011101420111 ฟ�สิกส�ท่ัวไป ฟ�สิกส�ท่ัวไป IIกลศาสตร� การเคลื่อนท่ีแบบฮาร�มอนิก คลื่น กลศาสตร�ของไหล อุณหพลศาสตร�

Mechanics, harmonic motion, waves, fluid mechanics, thermodynamics.

08/08/59

2

วิชาที่เกีย่วข(องวิชาที่เกีย่วข(อง� 04825114/01420113 ปฏิบัติการทางฟ�สิกส� I

ถ(าถอนวิชา ทฤษฎีทางฟ�สิกส� I ไม5จําเป8นต(องถอนรายวิชาปฏิบัติการ I

� 04825116/01420112 ทฤษฎีทางฟ�สิกส� II ต(องผ5านการเรียน วิชา ทฤษฎีทางฟ�สิกส� I จึงจะสามารถลงทะเบียนเรียนได(

แนะนําเกี่ยวกบัวิชาปฏิบัติการแนะนําเกี่ยวกบัวิชาปฏิบัติการ1. นิสิตจะต�องเข�าเรยีนตรงเวลา ถ�ามาสาย 15 นาที จะไมAอนุญาตให�เข�าห�องเรียน ถ�า

มีเหตุจําเปFนต�องมาสายให�รีบยื่นใบลาเพ่ือขอซAอมแล็ป2. นิสิตต�องนําบัตรนิสิต หรือบัตรประชาชนมาด�วยทุกครั้ง เพราะบางครั้งอาจจะมี

การตรวจบัตร3. การเข�าเรียนทุกครั้งนิสิตต�องแตAงกายให�เรียบร�อยตามระเบียบของมหาวิทยาลัย ไมA

อนุญาตให�ใสAชุดปฏิบัติการตAาง ถ�ามีเรียนพละศึกษาตAอให�เตรียมชุดมาเปลีย่นเอง4. นิสิตต�องเตรียมพร�อมกAอนเข�าเรียน ต�องอAานคูAมือการทดลองวันน้ันๆ ให�จบกAอน

เข�าเรยีน5. ทุกครั้งท่ีเข�าเรียน นิสิตจะต�องมีเครื่องคิดเลข และคูAมือประกอบการทดลอง ถ�าไมA

นํามาจะหักคะแนน** ไม5อนุญาตให�ใช�จากมือถือคูAมือซ้ือได�ท่ีห�องปฏิบัติการ ราคาประมาณ 60 บาท เริ่มจําหนAาย วันพฤหัสบดี

ท่ี 11 ส.ค. 2559 มีประมาณ 600 เลAม

08/08/59

3

แนะนําเก่ียวกับวิชาปฏิบัติการแนะนําเก่ียวกับวิชาปฏิบัติการ ((ต5อต5อ))6. เมื่อถึงเวลาเข�าเรยีนนิสติทุกคนต�องลงช่ือเข�าเรียน พร�อมรับแบบใบรายงานผลการ

ทดลอง ถ�าไมAลงช่ือเข�าเรียนจะถือวAาขาดเรียน� นิสิตทุกคนต�องจAายคAาใบรายงานผลการทดลอง คนละ 25 บาท ถ�า

ยากจนจริงๆ ไมAสามารถจAายได� ให�ติดตAออาจารย�สมควร โพธารินทร�7. ขณะเข�าเรียน ห�ามใช�โทรศัพท�8. ห�ามนํารายงานเกAาของรุAนพ่ีเข�ามาลอก9. ห�ามลอกรายงานเพ่ือน และห�ามให�เพ่ือนลอก10. การบันทึกและวิเคราะห�ผลการทดลองให�ยึดตามหลกัเลขนัยสําคัญทุกครั้ง11. ห�ามนิสิตเขียนรายงานด�วยดินสอ จะใช�ดินสอ สําหรับการวาดรูปและเขียนกราฟ12. นิสิตท่ีจะออกจากห�องปฏิบัติการเพ่ือทําภารกิจสAวนตัว ต�องแจ�งอาจารย�ผู�สอนกAอน

แนะนําเก่ียวกับวิชาปฏิบัติการแนะนําเก่ียวกับวิชาปฏิบัติการ ((ต5อต5อ))

จะอนุญาตให�ซAอมแล็ปเฉพาะกรณจํีาเปFนเทAาน้ัน และจะต�องซAอมแลป็ภายในสัปดาห�ท่ีมีการทดลองเรื่องน้ันๆ อยูA โดยให�นิสิตท่ีจะซAอมแล็ป จะต�องมาทําการทดลองรAวมกับหมูAเรียนอ่ืนๆ� ถ�ามาสายเพราะมเีหตุจําเปFน เชAน อุบัติเหตุ ให�ติดตAอยื่นใบลาในวันน้ันๆ � กรณีมีธุระจําเปFนต�องยื่นใบลากAอน กรณไีมAสามารถแจ�งลAวงหน�า เชAน งานศพ

หลังจากกลับมาต�องต�องยื่นทันที พร�อมรูปถAายรAวมงาน� กรณลีาป_วย ต�องมีใบรับรองแพทย�� ถ�าจะต�องเข�ารAวมกิจกรรมของทางมหาวิทยาลัย ให�สAงใบลากAอน

การยื่นใบลา ต�องให�อาจารย�ชิวาลรัตน� มาสิงบุญ เปFนผู�อนุญาต

การซ5อมแล็ป

08/08/59

4

หัวข(อที่จะเรียนปฏิบัติการหัวข(อที่จะเรียนปฏิบัติการ

บทท่ี ๑ เคร่ืองมือวัดความยาวอยAางละเอียด (เวอร�เนียร� + ไมโครมิเตอร�)บทท่ี ๒ กราฟและการวิเคราะห�ข�อมูลบทท่ี ๓ สมดุลแรงบทท่ี ๓ ตกอิสระ

บทท่ี ๕ แรงสูAศูนย�กลางบทท่ี ๖ การชนโดยลดแรงเสียดทานของการเคล่ือนท่ีบทท่ี ๗ โมเมนต�ความเฉื่อยและความเรAงเชิงมุมบทท่ี ๘ คล่ืนน่ิงบทท่ี ๙ ความหนืดบทท่ี ๑๐ กฎการเย็นตัวของนิวตัน

เรียนหลังสอบกลางภาคเรียนหลังสอบกลางภาคสอบปลายภาคสอบปลายภาค

เรียนก5อนสอบกลางภาคเรียนก5อนสอบกลางภาคสอบกลางภาคสอบกลางภาค

หัวข(อที่จะหัวข(อที่จะเรียนเรียน ฟ�สิกส�ทั่วไป ฟ�สิกส�ทั่วไป II

บทท่ี 1 บทนําบทท่ี 2 เวกเตอร�บทท่ี 3 การเคล่ือนท่ีในแนวเส�นตรงบทท่ี 4 การเคล่ือนท่ีในระนาบบทท่ี 5 แรงและกฎการเคล่ือนท่ีบทท่ี 6 งานและพลังงานบทท่ี 7 โมเมนตัมและการชน

บทท่ี 8 พลศาสตร�ของวัตถุแข็งเกร็งบทท่ี 9 การเคล่ือนท่ีแบบฮาร�มอนิกบทท่ี 10 คล่ืนบทท่ี 11 สภาพยืดหยุAนบทท่ี 12 กลศาสตร�ของไหลบทท่ี 13 ความร�อนและอุณหพลศาสตร�

สอนโดย สอนโดย ออ..สมควร สมควร โพธาโพธาริรินทร�นทร�

สอนโดยสอนโดยออ..กีรติ มณีสายกีรติ มณีสาย

08/08/59

5

อาจารย�สมควร อาจารย�สมควร โพธาโพธาริรินทร�นทร� 5050สอบกลางภาค 50การบ�าน -เข�าเรยีน/สอบยAอย -

อาจารย� กีรติ มณีสาย 50 สอบปลายภาคการบ�านเข�าเรยีน

คะแนนคะแนน

ท้ังอิงเกณฑ� และอิงกลุ5มท้ังอิงเกณฑ� และอิงกลุ5มรวมสองส5วน คะแนนรวม รวมสองส5วน คะแนนรวม 100 100 คะแนนคะแนน

เกรด A 80 คะแนน ขึ้นไปเกรด F น�อยกวAา 50 คะแนน

ถ(าได(คะแนนในส5วนแรกน(อยกว5า 30 คะแนน ควรจะพิจารณาว5าจะถอนหรือไม5 -

เกณฑ�การตัดเกรดเกณฑ�การตัดเกรด

08/08/59

6

หัวข(อ ก5อนสอบกลางภาค

บทที่ 1 บทนําบทที่ 2 เวกเตอร�บทที่ 3 การเคลื่อนที่ในแนวเส�นตรง (หน่ึงมิติ)บทที่ 4 การเคลื่อนที่ในระนาบ (สองมิติ)บทที่ 5 กฎการเคลื่อนที่ของนิวตัน (แรง)บทที่ 6 งานและพลังงานบทที่ 7 โมเมนตัมและการชน

เอกสารอ5านประกอบเอกสารอ5านประกอบ� หนังสือฟpสิกส� 1 เลAม 1 และ เลAม 2 มหาวิทยาลัยเกษตรศาสตร�

� PRINCIPLES OF PHYSICS (9th EDITION), HALLIDAY & RESNICK & JEARL WALKER, 2011.

� PHYSICS FOR SCIENCTISTS AND ENGINEERS WITH MODERN PHYSICS (9th EDITION), RAYMOND A. SERWAY & JOHN W. JEWETT, Jr., 2014.

� UNIVERSITY PHYSICS WITH MODERN PHYSICS (13Th EDITION), HUGH D. YOUNG & ROGER A. FREEDMAN, 2012.

08/08/59

7

Chapter 1 Introduction

ธรรมชาติของวิชาฟ�สิกส�

1. ความสัมพันธ�ระหวAางสสารกับพลงังาน

สAวนใหญAเก่ียวข�องกับสิ่งไมAมีชีวิต

2. ความรู�ทางฟpสิกส�เกิดจาก กระบวนการทางวิทยาศาสตร� และการสร�างแบบจําลองทางความคิด

หาความสัมพันธ�ระหวAางสิ่งตAางๆ

3. ทฤษฎีและกฎ

ทฤษฎี คือ สมมติฐานท่ีได�มีการพิสูจน�แล�ววAาเปFนจริง และมคีวามถูกต�อง ภายใต�เง่ือนไขน้ัน

กฎ คือ ทฤษฎีท่ีใช�ได� และเปFนจริงเสมอ

ฟ�สิกส� (Physics) เปFนวิทยาศาสตร� ท่ีเกิดจากการพยายามหาคําอธิบายปรากฏการณ�ทางธรรมชาติอยAางเปFนระบบ และเปFนเหตุเปFนผล

Chapter 1 Introduction (ต5อ)

1. ฟpสิกส�แผนเดิม (Classical physics) คือ ทฤษฎีตAางๆท่ีพบกAอน ศตวรรษท่ี 20

เชAน กลศาสตร� ความร�อน แมAเหลก็ไฟฟsา แสงและเสียง เปFนต�น

พิจารณาเฉพาะวัตถุท่ีมีขนาดใหญAและความเร็วต่ําๆ เทAาน้ัน

2. ฟpสิกส�ยุคใหมA (Modern physics) คือ ฟpสิกส�ท่ีค�นพบในศตวรรษท่ี 20

เปFนวิชาการท่ีจะกลAาวถึงทฤษฎีสมัพัทธภาพ ทฤษฎีควอนตัม อิเล็กตรอน อะตอม รวมถึงนิวเคลยีร�ฟpสิกส�ด�วย

เปFนการศึกษาเก่ียวกับวัตถุท่ีมีขนาดเลก็ๆ หรือวัตถุท่ีมีความเร็วสูงๆ

สาขาของฟ�สิกส� อาจแบAงเปFน 2 กลุAม คือ

08/08/59

8

Using Problem Solving Techniques

• Step 1– Determine what the problem asks you to find out.

• Step 2– Identify the information you are given.

• Step 3– Identify laws or relationships.

• Step 4– Apply the given information and the relationships.

ทบทวนคณิตศาสตร์พื(นฐาน

08/08/59

9

สัญลกัษณ์ เครื"องหมายทางวิทยาศาสตร์

a เท่ากบั b

a b

a b

a b

a b

a b

a b

a b

a b

a b

a b

=≠>≥>><≤<<≈∝

a ไม่เท่ากบั b

a มากกวา่ ba มากกวา่หรือเท่ากบั b

a มากกวา่ b มากๆ

a นอ้ยกวา่ ba นอ้ยกวา่หรือเท่ากบั b

a นอ้ยกวา่ b มาก

a แปรผนักบั b

a มีค่าประมาณ b

พชีคณติเบื0องต้น: การคูณเศษส่วน

a c a c

b d b d

⋅⋅ =⋅

ตวัอยา่งเช่น 2 4 2 4 8

3 5 3 5 15

⋅ ⋅ = = ⋅

2 8

3 4 ⋅ =

2 8

3 4

16

12

⋅⋅

=

08/08/59

10

พชีคณติเบื0องต้น: การหารเศษส่วน

a b a d

c d c b

⋅=⋅

ตวัอยา่งเช่น 10 5 10 2 20

20 2 20 5 100

⋅= =⋅

พชีคณติเบื0องต้น: การบวกเศษส่วน

ตวัอยา่งเช่น 5 10 5 4 2 10 405

2 4 4 2 8

⋅ + ⋅+ = = =⋅

a c a d b c

b d bd

⋅ ± ⋅± =

08/08/59

11

ค่าเฉลี"ย และฟังก์ชั"น

1 2 31

...

! 1 2 3 4

( )

n

i ni

x x x x x

n n

y x

=

= + + + +

= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

∑

หมายถึง เป็นฟังกช์ั4นของ หรือ ขึ(นกบัตวัแปร xxy y

2. ( ) 2 5 9

(1)

Exp y x x x

y

= + += 22(1) 5(1) 9 16+ + =

พชีคณติเบื0องต้น

สมการเชิงเส้น (Linear equation)

0 ax b+ =เมื4อ และ เป็นจาํนวนจริงa b

2 0, -9 0, 4 12 0, 4 02

xx x x= = + = − =

พีชคณิต เปFนการศึกษาเก่ียวกับโครงสร�าง ความสัมพันธ� และจํานวน โดยศึกษาเก่ียวกับการบวกลบคูณและหาร ยกกําลัง และการถอดราก

08/08/59

12

พชีคณติเบื0องต้น

, -9 0, 4 12 0, 2 4 00 2

xx

x x= == + − =

ในการหาค่า x ตอ้งให ้ x อยูอ่ยา่งเดียวดาย

2 0

2 0

2 2

x

x

=

=2 0

02 2

x = = 0x =

การแก้สมการตัวแปรเดียว

2 0, , 4 12-9 0 0, 4 02

xx x x= + = − ==

ในการหาค่า x ตอ้งให ้ x อยูอ่ยา่งเดียวดาย

9 0

9 9 0 9

9

x

x

x

− =− + = +

=

0 99 99x = ++ =−

08/08/59

13

การแก้สมการตัวแปรเดียว

42 0, -9 0, , 4 0122

0xx

x x= = −= =+

ในการหาค่า x ตอ้งให ้ x อยูอ่ยา่งเดียวดาย

4 12 0x + =

4 12

4 43

x

x

= −

= −

4 12 12 0 12

4 12

x

x

+ − = −= −

การแก้สมการตัวแปรเดียว

ในการหาค่า x ตอ้งให ้ x อยูอ่ยา่งเดียวดาย

57

3x =

73

3 3

5 5

5x = ⋅⋅⋅ 21

5x =

08/08/59

14

พชีคณติเบื0องต้น: สมการกําลงัสองที"ไม่ทราบค่าตัวแปร

2 0ax bx c+ + =สามารถแยกตัวประกอบได�ในรูป (x + m)(x + n) โดย m + n = b และ m× n = c

; x m x n= − = −

พหุนามในรูปกําลังสองสมบูรณ� คือ พหุนามท่ีเขียนในรูป หน�า2 + 2(หน�า)(หลัง) + หลัง2 = (หน�า + หลัง)2

หรือ หน�า2 – 2(หน�า)(หลัง) + หลัง2 = (หน�า - หลัง)2

เชAน x2 + 8x + 16 = x2 + 2(x)(4) + 42 = (x + 4)2

x2 – 10x + 25 = x2 – 2(x)(5) + 52 = (x – 5)2

พชีคณติเบื0องต้น: สมการกําลงัสองที"ไม่ทราบค่าตัวแปร

พหุนามในรูปผลต5างกําลังสอง คือ พหุนามซ่ึงเขียนในรูป หน�า2 – หลัง2 เชAน x2 – 121 = x2 - 112

สามารถแยกตัวประกอบผลตAางกําลังสองโดยใช�สูตร หน�า2 – หลัง2 = (หน�า + หลัง)(หน�า - หลัง)

08/08/59

15

พชีคณติเบื0องต้น: สมการกําลงัสองที"ไม่ทราบค่าตัวแปร

22 5 1 0x x+ + =

25 5 4 2 1

2 2x

− ± − ⋅ ⋅=⋅

2 0ax bx c+ + =

2 4

2

b b acx

a

− ± −=

5 170.22

4

5 172.28

4

x

x

− += ≈ −

− −= ≈ −

22( 0.22) 5( 0.22) 1 0.0032 0− + − + = − ≈

พหุนามในรูปผลบวกกําลังสาม คือ พหุนามท่ีเขียนในรูปหน�า3 + หลัง3 เชAน X3 + 8 = X3 + 23

สามารถแยกตัวประกอบโดยใช�สูตร หน�า3 + หลัง3 = (หน�า + หลัง)(หน�า2 – หน�าหลัง + หลัง2 )

พหุนามในรูปผลต5างกําลังสาม คือ พหุนามท่ีเขียนในรูป หน�า3 - หลัง3 เชAน X3 – 1,000 = X3 – 103

สามารถแยกตัวประกอบโดยใช�สูตร หน�า3 – หลัง3 = (หน�า - หลัง)(หน�า2 + หน�าหลัง + หลัง2 )

พชีคณติเบื0องต้น: การแยกตัวประกอบของพหุนามดีกรีสูงกว5าสอง

08/08/59

16

การแก้สมการสองตัวแปร

0ax by c+ + =

� แทนคAาตัวแปรหน่ึง ในรูปของอีกตัวแปรหน่ึง� กําจัดตัวแปร โดยการคูณสมการ

มีอย5างน(อย 2 สมการ จึงจะหาคําตอบได(

การแก้สมการสองตัวแปร

2 3 9 0

1 82 3 9

3

3 8

2 16

1 0;

1 8

3

16 9 29

3 31

3 93 3

x y

y

x y

yx

y y

y

y

y

y

+ − =+ + =

− − =+= ⇒

+ = −

+ =

=

+

� แทนค5าตัวแปรหน่ึง ในรูปของอีกตัวแปรหน่ึง

08/08/59

17

การแก้สมการสองตัวแปร

[ ] [ ]3 8 1 0;

2 3 8 1 0

2 3 9 0

3 2 3 9 0

6 16 2 0 6 9 2 0 7

x y

x y

x y

x

y

y

x yx

− − =⋅ − − =

− −

+ − ==

+=⋅ + −

− =

� กําจัดตัวแปร โดยการคูณสมการเมื่อพิจารณาสมการทั้งสองแล(ว ตัดสินใจว5าจะกําจัดตัว

แปรไหนก5อน จากน้ันหา ค.ร.น มาคูณ ทั้งสอง

เอาสองสมการมาลบกนั ( ) ( )6 9 276 16 2 0

25 25

1

x y

y

y

y

x− − − =− = −

=

+ −

พชีคณติเบื0องต้น: ตัวคูณร่วม, การแยกตัวประกอบ

( )ax ay az a x y z+ + = + +ตวัคูณร่วม:

( ) ( )( )

× − × =×

11 10

12

22 10 20 10?

2 10

( ) ( )( )

× − × =×

11 11

11

22 10 2.0 10?

20 10

( )− × =×

11

11

22 2.0 101

20 10

08/08/59

18

เรขาคณติเบื0องต้น: พื0นที"

b

h

1

2b h⋅

r

2rπพื(นที4วงกลมรัศมี r

พื(นที4สามเหลี4ยม

r

2 rπเสน้รอบวงกลมรัศมี r

เรขาคณติเบื0องต้น: มุม

θ

θ

θθ

θ

08/08/59

19

เรขาคณติเบื0องต้น: มุม

θ α

180α θ+ = o

θθ

θ

เรขาคณติเบื0องต้น: มุมภายในสามเหลี"ยม

α γ

β180α β γ+ + = o

08/08/59

20

เรขาคณติเบื0องต้น: สามเหลี"ยมคล้าย

α γ

β1a1c

1b

α γ

β2a2c

2b

1 1 1

2 2 2

a b c

a b c= =

สามเหลี่ยมคล(าย คือ สามเหล่ียมท่ีมีมุมเทAากันท้ังสามมุม

อัตราสAวนของด�านตรงข�ามมุมท่ีเทAากัน จะมีคAาเทAากัน

เรขาคณติเบื0องต้น: สามเหลี"ยมเหลี"ยมมุมฉาก

a

bc

θ 90o

90 θ−o

2 2 2c a b= +

sin( )b

cθ =

cos( )a

cθ =

tan( )b

aθ =

08/08/59

21

เรขาคณติ: สามเหลี"ยมเหลี"ยมมุมฉาก

a

bc

θ 90o

90 θ−o

2 2 2c a b= +

2 2 2 22 2

2

2

2

sin( ) cos( )

1

a b a b

c c c

c

c

θ θ + + = + =

=

sin( )b

cθ = cos( )

a

cθ =

2 2sin( ) cos( ) 1θ θ+ =

เรขาคณติเบื0องต้น: กฎของ sines,cosines

α γ

βac

b

sin( ) sin( ) sin( )

a b c

α β γ= =

กฎของ sines

2 2 2 2 cos( )c a b ab γ= + −

กฎของ cosines

08/08/59

22

เรขาคณติเบื0องต้น: กฎของ sines,cosines

α γ

βac

b

sin( ) sin( ) sin( )

a b c

α β γ= =

กฎของ sines

2 2 2 2 cos( )c a b ab γ= + −

กฎของ cosines

ตรีโกณมิติ: เอกลักษณ์ตรีโกณที"สําคญั

08/08/59

23

ตรีโกณมิติ: เอกลักษณ์ตรีโกณที"สําคญั

ตรีโกณมิติ: เอกลักษณ์ตรีโกณที"สําคญั

08/08/59

24

สัญลกัษณ์ เครื"องหมายทางวิทยาศาสตร์

ปริมาณท่ีมีขนาดใหญAมากหรอืน�อยมากเพ่ือความสะดวกจะเขียนแทนด�วยสัญกรณ�ทางวิทยาศาสตร� (Scienctific Notation)

3 6

2 52 5

10 10 10 10 10 1,000,000

1 1 1 110 0.01 10 0.00001

10 100 10 100,000− −

= × × =

= = = = = =

5

4

299,000 2.99 100,000 2.99 10

0.00099 9.9 0.0001 9.9 10−

= × = ×= × = ×

สัญลกัษณ์ เครื"องหมายทางวิทยาศาสตร์

คําอุปสรรค คือ คําท่ีใช�ใสAนําหน�าหนAวยการวัดปริมาณตAางๆซึ่งจะใช�ในกรณีท่ีคAาท่ีได�จากการวัดมีคAามากหรือน�อยเกินไป

08/08/59

25

ฟังก์ชันเลขยกกาํลัง

เลขสิบยกกาํลงั ถา้คูณกนัเอาเลขชี(กาํลงับวกกนั ถา้หารกนัเอาเลขชี(กาํลงัมาลบกนั

2 3

4

6

10 10 10 Exp. (2.5 10 ) (2.0 10 )=

10 5.0 1010 Exp.

10 2.0 10

n m n m

nn m

m

+

−

× = × × ××= =×

55.0 10 ×

22.5 10−×

n m n m

nn m

m

x x x

xx

x

+

−

⋅ =

=

ฟังก์ชันเลขยกกาํลัง

ทุกจาํนวนเมื4อยกกาํลงัดว้ย ศูนย ์จะมีค่าเท่ากบั หนึ4ง

0

0

1

0

1

10 1

1000

1

1

10 = 10

x

x x

==

==

08/08/59

26

สมบัติของเลขยกกาํลังที"สําคัญ

2 5

1

4 1

( )

( )

1

(10 ) 10

n m m nx x

x x

xx

⋅

−

−

==

=

=

10

-4 ( )

1

1/

n m n m

n n

nn n

x x

x x x

x x

x z xz

+

==

=

=

ฟังก์ชันลอการิทมึ

( )

log 1 0

log log

log log log

log log log

log 1

a

ua a

a a a

a a a

a

b u b

uu v

v

uv u v

a

=

=

= −

= +=

ถ(า ถ(า aayy = x = x แทนด(วยแทนด(วย y = log y = log aax x

และ และ a > a > 00

08/08/59

27

ฟังก์ชันลอการิทมึ

( )

10

10

10

10

10

log1

log

l

log 1 0

log

log

log

log

og log

log log

log11 100

ub

u

v

uv

u b

u v

u v

= =

=

= −

=+

==

ถ(า ถ(า a = a = 10 10 log log 1010 แทนด(วย แทนด(วย loglog

ฟังก์ชันลอการิทมึ

( )

log 1 0

log

log

log

log 1

ln1

ln

ln ln

ln ln

ln

e

ue

e

e

e

b

u

v

u

u b

u v

u v

e

v

e

= =

=

=

+==

−

=

ถ(า ถ(า a = e a = e

log log ee แทนด(วย แทนด(วย lnlne = e = 22..7182871828… …

08/08/59

28

แคลคูลสัเบื0องต้น

อนุพันธ�ของฟ̂งก�ชัน

ถ�า y เปFนฟ{งก�ชันของ x อนุพันธ�ของ y เทียบกับ x หรือ คือ คAาความชันของเส�นตรงท่ีเชื่อม 2 จุด (x1,y1) กับ (x2,y2) บนเส�นกราฟ y(x) เม่ือผลตAางตามแนวนอนของคูAอันดับ หรือ มีลิมิตเข�าใกล�ศูนย�

dy

dx

2 1x x x∆ = −

( ) ( )0 0

lim limx x

y x x y xdy x

dx y x→ →

+ ∆ −∆= =∆ ∆

ถ�าให�คAา x2 เข�าใกล� x1 มากข้ึนเรื่อยๆ เส�นตรงท่ีเชื่อมจุดท้ังสองจะกลายเปFนเส�นสัมผัสเส�นกราฟท่ีจุด (x1,y1) ดังนั้น เราพูดได�อีกอยAางหนึ่งวAา อนุพันธ�ของ y เทียบกับ x ท่ีจุด (x1,y1) คือ ความชันของเส�นตรงท่ีสัมผัสกราฟท่ีจุดนั้น

แคลคูลสัเบื0องต้น

( ) ( )0 0

lim limx x

y x x y xdy x

dx y x→ →

+ ∆ −∆= =∆ ∆

08/08/59

29

แคลคูลสัเบื0องต้น

n1

2

0; c = constant

dx

dx( )

( )

( )

( )

n

dc

dx

nx

u u x

v v x

d u v du dv

dx dx dxd uv dv du

u vdx dx dx

u dv dud u vv dx dx

dx v

−

=

=

==

+ = +

= +

−

=

แคลคูลสัเบื0องต้น

การอินทิเกรต เปFนการกระทํากลบักันหรือตรงข�ามกันกับอนุพันธ�

1

1

nn x

x dx cn

+

= ++∫

2

1

2 1( ) ( ) ( ) ( )x

x

y x f x dx y x y x= = −∫

การอินทิเกรต แบบไมAใสAลิมิต

การอินทิเกรต แบบมีขอบเขต หรอืมีลิมิต