UNIVERSIDAD NACIONAL AUTÓNOMA DE MÉXICO FACULTAD DE INGENIERÍA

DIVISIÓN DE CIENCIAS BÁSICAS COORDINACIÓN DE MATEMÁTICAS

Abril de 2011

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CUBO DE UN BINOMIO

Introducción

El cubo de un binomio es un producto notable porque su resultado siempre

cumple con la misma regla.

Desarrollo

El producto (x+y)3 se puede expresar como

(x+y)3 = (x+y)2(x+y)

así mismo (x+y)2 es un producto notable y con esto el desarrollo es

3 2 2 2(x + y) = (x + y) (x + y) = (x + 2xy + y ) (x + y)

entonces,

2 2x + 2xy + y

x + y3 2 2x + 2x y + xy

2 2 3 x y + 2xy + y3 2 2 3x + 3x y + 3xy + y

finalmente,

(x+y)3 = x3 + 3x2y + 3xy2 + y3

Al elevar un binomio al cubo, (x+y)3, se obtiene la suma de los siguientes

términos,

x

+

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x3 el cubo del primer término del binomio

3x2y el triple del producto del primer término del binomio al cuadrado

por el segundo término del binomio

3xy2 el triple del producto del primer término del binomio por el

cuadrado del segundo término del binomio

y3 el cubo del segundo término del binomio

El resultado del producto anterior también se puede mostrar de forma gráfica

como se indica en la siguiente figura

Figura 1. Gráfico que ilustra el resultado de (a+b)3

(a+b) 3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3

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A partir de la figura 1 el volumen del cubo cuyo lado es (a+b) corresponde a la suma de:

• el volumen del cubo azul (a3)

• los volúmenes de tres paralelepípedos verdes (3a2b)

• los volúmenes de tres paralelepípedos naranjas (3ab2) y

• el volumen del cubo rojo (b3)

y que finalmente es igual al resultado de (a+b)3.

Ejemplos

Obtener el desarrollo de lo siguientes productos:

1.- ( x2n + ym) 3

Solución

(x2n)3 cubo del primer término del binomio

3x4nym el triple producto del primer término del binomio al cuadrado por

el segundo término del binomio

3x2ny2m el triple producto del primer término del binomio por el cuadrado

del segundo termino del binomio

(ym)3 el cubo del segundo término del binomio

Entonces,

(x2n+ym)3 = (x2n)3 + 3x4nym + 3x2ny2m + (ym)3 = x6n + 3x4nym + 3x2ny2m + y3m

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2.- (m-4- f1/3)3

Solución

Considerando que (m-4- f1/3)3 = (m-4 + (- f1/3))3

(m- 4)3 cubo del primer término del binomio

3(m - 4)2(-f1/3) el triple producto del primer término del binomio al cuadrado por

el segundo término del binomio

3(m-4)(-f1/3)2 el triple producto del primer término del binomio por el cuadrado

del segundo término del binomio

(-f1/3)3 el cubo del segundo término del binomio

Entonces,

(m-4- f1/3)3 = (m-4 + (- f1/3))3 = (m-4)3 + 3(m-4)2(-f1/3) + 3(m-4)(-f1/3)2 + (-f1/3)3

(m-4- f1/3)3 = (m-4 + (- f1/3))3 = m-12 - 3m-8f1/3 + 3m-4f 2/3 - f

3.- (s+2)3

Solución

s3 cubo del primer término del binomio

3(s)2(2) el triple producto del primer término del binomio al cuadrado por

el segundo término del binomio

3(s)(2)2 el triple producto del primer término del binomio por el cuadrado

del segundo término del binomio

(2)3 el cubo del segundo término del binomio

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Entonces,

(s+2)3 = s3 + 3s2(2) + 3s(2)2 + (2)3 = s3 + 6s2 + 12s + 8

Referencia de la figura :

http://commons.wikimedia.org/wiki/Image:Binomio_al_cubo.svg