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I prodotti notevoli sono particolari prodotti o potenze di polinomi, che si sviluppano secondo formule facilmente memorizzabili. Questi consentono di effettuare i calcoli in maniera più veloce in una qualsiasi espressione algebrica. I più comuni sono: • Il prodotto della somma di due monomi per la loro differenza; • il quadrato di un binomio; • il quadrato di un trinomio; • il cubo di un binomio 1. Prodotto della somma di due monomi per la loro differenza Es. Supponiamo di avere il seguente prodotto :

                                                                                                                                            a+ b( ) a− b( ) =    eseguendo  il  prodotto  normalmente  avremo:                                                                                                                                         a2 − ab+ ab− b2    Come  possiamo  notare    −ab  e    +ab  sono  opposti  e  quindi  si  elidono  e  ciò  che  rimane  sarà: a2 − b2 Quindi possiamo scrivere che : a+ b( ) a− b( ) = a2 − b2   Es. 3a+1( ) 3a−1( ) =    eseguendo  il  prodotto  normalmente  avremo:   9a2 −3a+3a−1 Anche qui possiamo notare che −3a    e  +3a  sono  opposti  e  quindi  si  elidono  e  ciò  che  rimarrà  sarà:                                                                                                                                                                 9a2 −1     Quindi possiamo scrivere che :     3a+1( ) 3a−1( ) = 9a2 −1  

Prodotti Notevoli

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Da qui la regola:   Attenzione E’ importante osservare che nel prodotto della somma di due monomi per la loro differenza si hanno due termini uguali e due termini opposti, per cui il risultato sarà uguale al quadrato dei termini uguali meno il quadrato dei termini opposti Es. −5ab2 +3a( ) −5ab2 −3a( ) =   25a2b4 -­‐  9a2

Termini uguali Termini opposti Es.

−a+ x5( ) a+ x5( ) =   x10 -­‐   a2

Termini uguali Termini opposti

Risolvi i seguenti esercizi: • 1+ x( ) 1− x( ) = • x + 2y( ) x − 2y( ) =

• −a2 +3b( ) −a2 −3b( ) =

• −3x2 + 2y( ) 3x2 + 2y( ) =

• a2 +3b( ) −a2 +3b( ) =

• ab−3( ) ab+3( ) =

• 14+ x

!

"#

$

%& −

14+ x

!

"#

$

%&=

• 12x + 2y

!

"#

$

%&12x − 2y

!

"#

$

%&=

• Il prodotto della somma di due monomi per la loro differenza è uguale al quadrato del primo monomio meno il quadrato del secondo

 

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2. Quadrato di un Binomio Consideriamo di avere un binomio al quadrato del tipo :

a+ b( )2                          

a+ b( )2  per  definizione  di  potenza  equivale  a:    

a+ b( ) a+ b( )    

Calcolando  il  prodotto  si  avrà:                                                                                                                                                           a2 + ab+ ab+ b2  

 Sommando  i  termini  si  otterrà:                                                                                                                                                               a2 + 2ab+ b2  

 Quindi                                                                                                                                               a+ b( )2 =   a2 + 2ab+ b2    Questa  uguaglianza  ci  dà  la  seguente  regola:

Attenzione • Per doppio prodotto  del  primo  termine    per  il  secondo s’intende 2 ⋅ a( ) ⋅ b( ) • Il  segno  del  doppio  prodotto  sarà  positivo   +( )  se  i  due  termini  del  binomio  sono  

concordi,  mentre  sarà  negativo   −( )  se  i  termini  del  binomio  sono  discordi.  Es.        Calcoliamo  il  seguente  quadrato  di  binomio:  

2x +3y2( )2=  

Seguendo  la  regola  si  avrà:    

• Il  quadrato  del  primo  termine  cioè   2x( )2 =   4x2  • ±  il  doppio  prodotto  del  primo  termine  per  il  secondo,  poiché  i  due  termini  del  

binomio  sono  concordi  il  segno  sarà  +  e  si  avrà:   2 ⋅ +2x( ) ⋅ +3y2( ) = +12xy2  • Più,  il  quadrato  del  secondo  termine  cioè:   3y2( )

2= 9y4  

                         Quindi                                                                                 2x +3y2( )2=   4x2 +12xy2 + 9y4  

 

Il  Quadrato  di  un  binomio  è  uguale  al  quadrato  del  primo  termine    il  doppio  prodotto  del  primo  termine    per  il  secondo  più  il  quadrato  del  secondo.  

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Es.        Calcoliamo  il  seguente  quadrato  di  binomio:    

43a− 72b

"

#$

%

&'2

=  

 Seguendo  sempre  la  regola  avremo:    

• Il  quadrato  del  primo  termine  cioè   43a

!

"#

$

%&2

=  169a2  

• ±  il  doppio  prodotto  del  primo  termine  per  il  secondo,  poiché  i  due  termini  del  

binomio  sono  discordi  il  segno  sarà   −( )  e  si  avrà:  2 ⋅ + 43a

"

#$

%

&'⋅ −

72b

"

#$

%

&'=  −

283ab  

• Più,  il  quadrato  del  secondo  termine  cioè:      Quindi  :                                                                                      

                                                                                        43a− 72b

"

#$

%

&'2

=169a2 − 28

3ab +   49

4b2  

    Esegui    i  seguenti  esercizi:    

•   4a− 5b( )2 =  

•   x2 − 2y( )2=  

•   −x −3( )2 =  

•   2x −1( )2  

•   3+ a( )2 =  

•   13x +3y

!

"#

$

%&2

=  

•   −6x + y( )2 =  

•   34a− 12b

"

#$

%

&'2

=  

•   a3b4 − 4a2b5( ) =  

•   14a+ 32b

!

"#

$

%&2

=  

•   −2x −1( )2 =  

•   25x +10y

!

"#

$

%&2

=  

•   −2a−3( )2 =  

•   x2 −3xy( )2=  

•   a3 − b2( )2=  

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3. Quadrato di un trinomio Consideriamo di avere il seguente trinomio al quadrato a+ b+ c( )2 =    a+ b+ c( )2 per  definizione  di  potenza  equivale  a:  

a+ b+ c( ) a+ b+ c( ) =       Calcolando  il  prodotto  si  avrà:                                                                                                               a2 + ab+ ac+ ab+ b2 + bc+ ac+ bc+ c2    Sommando  i  termini  si  otterrà:                                                                                                                           a2 + b2 + c2 + 2ab+ 2ac+ 2bc    Quindi:                                                                                                   a+ b+ c( )2 = a2 + b2 + c2 + 2ab+ 2ac+ 2bc      Questa  uguaglianza  ci  dà  la  seguente  regola:  

             

   Attenzione • Per doppio prodotto  del  primo  termine    per  il  secondo s’intende 2 ⋅ a( ) ⋅ b( ) • Per  doppio  prodotto  del  primo  termine  per  il  terzo  s’intende  2 ⋅ a( ) ⋅ c( ) • Per  doppio  prodotto  del  secondo    termine  per  il  terzo  s’intende   2 ⋅ b( ) ⋅ c( ) • Il  segno  del  doppio  prodotto  sarà  positivo   +( )  se  i  due  termini  di  cui  si  effettua  il  

prodotto    sono  concordi,  mentre  sarà  negativo   −( )  se  i  due  termini  di  cui  si  effettua  il  prodotto    sono  discordi.

Il  Quadrato  di  un  trinomio  è  uguale  al  quadrato  del  primo  termine  +  il  quadrato  del  secondo  +  il  quadrato  del  terzo  il  doppio  prodotto  del  primo  termine    per  il  secondo   il  doppio  prodotto  del  primo  per  il  terzo  termine    il  doppio  prodotto  del  secondo  per  il  terzo  termine.  

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Es.        Calcoliamo  il  seguente  quadrato  di  trinomio:

                                                                                                                                                a− 2b+3c( )2 =    Seguendo  la  regola  avremo:    

• Il  quadrato  del  primo  termine    cioè:   a( )2 = a2  

• Il  quadrato  del  secondo  termine  cioè:   −2b( )2 = +4b2  

• Il  quadrato  del  terzo  termine  cioè:   3c( )2 = 9c2  • ± doppio prodotto  del  primo  termine    per  il  secondo  cioè:  2 ⋅ a( ) ⋅ −2b( ) = −4ab  • ± doppio prodotto  del  primo  termine    per  il  terzo  cioè:   2 ⋅ a( ) ⋅ +3c( ) = +6ac  • ± doppio prodotto  del  secondo  termine  per  il  terzo  cioè:  2 ⋅ −2b( ) ⋅ +3c( ) = −12bc  

 Quindi  :                                                                                                   a− 2b+3c( )2 = a2 +4b2 +9c2 −4ab +6ac −12bc      Esegui    i  seguenti  esercizi:    

•   3x − 2y+3z( )2 =  

•   1− x2 + x4( )2=  

•   a3 − x3 + y3( )2=  

•   2x − y+1( )2 =  

•   x +3y− 4( )2 =  

•   3a3 + 2a2 + a( )2=  

•   x + ay− 2( )2 =  •   2ax − y−1( )2 =  

•   x2 − y2 +3( )2=  

•   − 34x2 − 1

2xy+ 2

3y2

"

#$

%

&'2

=  

                 

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4. Cubo di un Binomio Consideriamo di avere il seguente cubo di binomio :

a+ b( )3 a+ b( )3possiamo  scriverlo  sotto  forma  di  quadrato  di  binomio  per  il  binomio  stesso  cioè:    

a+ b( )2 ⋅ a+ b( )    

Calcolando  si  avrà:  a2 + 2ab+ b2( ) ⋅ a+ b( )  

 Moltiplicando  avremo:

a3 + a2b+ 2a2b+ 2ab2 + ab2 + b3    

Sommando  i  termini  simili  si  avrà:    

a3 +3a2b+3ab2 + b3    

Quindi                                                                                                                               a+ b( )3=   a3 +3a2b+3ab2 + b3    Questa  uguaglianza  ci  dà  la  seguente  regola:  

               

Seguendo  l’ordine  della  suddetta  regola  ,  per  quanto  riguarda  i  segni  si  avrà:    • Se  i  termini    del  cubo  di  binomio  sono  entrambi  positivi  come  ad  es.     a+ b( )3  

tutti  i  termini  dello  sviluppo  saranno  positivi.    

• Se  i  termini    del  cubo  di  binomio  sono  entrambi  negativi  come  ad  es.   −a− b( )3  tutti  i  termini  dello  sviluppo  saranno  negativi.    

• Se  i  termini    del  cubo  di  binomio  sono  discordi  come  ad  es.   a− b( )3  tutti  i  termini  dello  sviluppo  saranno  a  segni  alterni  partendo  dal  segno  +  se   a è  positivo,  dal  segno  meno  se  a  è  negativo.  

Il  Cubo  di  un  binomio    è  uguale:    • al  cubo  del  primo  termine  • al  triplo  prodotto  del  quadrato  del  primo  termine  per  il  secondo  • al    triplo  prodotto  del  quadrato  del  secondo  termine  per  il  primo  • al  cubo  del  secondo  termine  

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Es.    Calcoliamo   a+ 2b( )3    Cominciamo  il  nostro  calcolo  seguendo  la  regola.  Intanto  poiché  i  due  termini  del  polinomio  sono  entrambi  positivi,    siamo  in  grado  di  dire  che  tutti  i  termini  dello  sviluppo  saranno  tutti  positivi.  

 1. Il  cubo  del  primo  termine  e  cioè   a( )3 = a3  2. Il  triplo  prodotto  del  quadrato  del  primo  termine  per  il  secondo  cioè:  3⋅ a( )2 ⋅2b = 6a2b  3. Il  triplo  prodotto  del  quadrato  del  secondo  termine  per  il  primo  cioè:  

3⋅ 2b( )2 ⋅a = 3⋅ 4b2( ) ⋅a =12ab2  4. Il  cubo  del  secondo  termine  cioè:   2b( )3 = 8b3  

                                                                                           Quindi  lo  sviluppo  di   a+ 2b( )3 =   a3 +6a2b +12ab2 +8b3    

  Es.    Calcoliamo   −a− 2b( )3    Questa  volta  i  termini  del  binomio  sono  entrambi  negativi  quindi  ,  seguendo  la  regola,  tutti  i  termini  dello  sviluppo  saranno  negativi.  Cominciamo  il  calcolo    1. Il  cubo  del  primo  termine  cioè:   −a( )3 = −a3  2. Il  triplo  prodotto  del  quadrato  del  primo  termine  per  il  secondo  cioè:  

3⋅ −a( )2 ⋅ −2b( ) = 3⋅ +a2( ) ⋅ −2b( ) = −6a2b  3. Il  triplo  prodotto  del  quadrato  del  secondo  termine  per  il  primo  cioè:  

3⋅ −2b( )2 ⋅ −a( ) = 3⋅ +4b2( ) ⋅ −a( ) = −12ab2  

4. Il  cubo  del  secondo  termine  cioè:   −2b( )3 = −8b3                                                                                Quindi  lo  sviluppo  di   −a− 2b( )3=  −a3  −6a2b  −12ab2  −8b3  

                     Es.    Calcoliamo     a− 2b( )3                        Questa  volta  i  termini  del  binomio  sono  discordi  quindi  tutti  i  termini  dello  sviluppo                            saranno  a  segni  alterni  partendo  dal  segno  +  perché   a è  positivo.  Cominciamo  il  calcolo:    

1. Il  cubo  del  primo  termine  cioè:   +a( )3 = a3  2. Il  triplo  prodotto  del  quadrato  del  primo  termine  per  il  secondo  cioè:  

3⋅ +a( )2 ⋅ −2b( ) = 3⋅ +a2( ) ⋅ −2b( ) = −6a2b  3. Il  triplo  prodotto  del  quadrato  del  secondo  termine  per  il  primo  cioè:  

3⋅ −2b( )2 ⋅ +a( ) = 3⋅ +4b2( ) ⋅ +a( ) = +12ab2  

4. Il  cubo  del  secondo  termine  cioè:   −2b( )3 = −8b3            

                                                       Quindi  lo  sviluppo  di   a− 2b( )3 =  + a3 −6a2b +12ab2 −8b3    

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Es.    Calcoliamo   − 12x2 +3xy2

"

#$

%

&'3

=  

 

1. Il  cubo  del  primo  termine  cioè:   − 12x2

"

#$

%

&'3

= −18x6  

2. Il  triplo  prodotto  del  quadrato  del  primo  termine  per  il  secondo  cioè:    

  3⋅ − 12x2

#

$%

&

'(2

⋅ +3xy2( ) = 3⋅ + 14 x4#

$%

&

'(⋅ 3xy2( ) = + 94 x

5y2  

3.      Il  triplo  prodotto  del  quadrato  del  secondo  termine  per  il  primo  cioè:  

  3⋅ +3xy2( )2⋅ −

12x2

#

$%

&

'(= 3⋅ +9x2y4( ) ⋅ − 12 x

2#

$%

&

'(= −

272x4y4  

4.        Il  cubo  del  secondo  termine  cioè:   +3xy2( )3= +27x3y6  

 

                               Quindi  lo  sviluppo  di   − 12x2 +3xy2

"

#$

%

&'3

=  −18x6 + 9

4x5y2 − 27

2x4y4 +27x3y6  

   Come  possiamo  notare,  poiché  i  due  termini  del  polinomio  sono  discordi,  i  segni  dello  sviluppo  sono  alternati  a  partire  dal  segno  meno  in  quanto  il  primo  termine  è  negativo      Esegui    i  seguenti  esercizi:    • x − 2y( )3 =  

• −x + 2y( )3 =  • −1− a( )3 =  

• x2 + y( )3=  

• 3x − x2( )3=  

• x − 4y( )3 =  

• 2a+3b( )3 =  

• −x2 − 2( )3=  

• −1+ a2( )3=  

• 12a− 2b

"

#$

%

&'3

=  

• 3a+ 13b

!

"#

$

%&3

=  

• 2x2 − 23xy

"

#$

%

&'3

=