curs-2 icai
DESCRIPTION
Curs-2 ICAITRANSCRIPT
-
Curs 2 Sisteme de reglare
multivariabile.
-
u(t) y(t) sys
sys u y
R.A. +
(t) E.C u(t) E.E. I.T.
T
y(t) c(t) e(t)
xR(t)
p(t) (+) reacie pozitiv
() reacie negativ
-
Regimurile fundamentale de funcionare ale S.R.A:
Regimul de funcionare a unui SRA se apreciaz dup
forma variaiei n timp a mrimii de ieire y(t)
(pentru y(t) se folosete deseori denumirea de rspuns al
SRA).
)(0)()(lim)()(lim tytytytytyy fflt
ft
s
Regimul de funcionare al unui SRA cuprins ntre dou regimuri
staionare se numete regim dinamic sau regim tranzitoriu al
sistemului de reglare automat.
Mrimea de ieire y(t) are o component forat yf(t) i o
component liber y (t), astfel c se poate scrie relaia:
)()()( tytyty fl )()()( tytyty sl
)()()( tytyty pl
-
Tabelul
Simboluri i semne convenionale ntrebuinate n schemele bloc
MRIMEA
(SEMNALUL SAU
FUNCIUNEA)
SIMBOL I SEMN
CONVENIONAL
SEMNIFICAIA
Mrimea de intrare
[u(t)]
Mrimea de ieire [y(t)]
Sgeata indic
sensul semnalului
informaional
Punct de ramificare
(punct de bifurcaie)
a unui semnal
Ramificarea
semnalului (vectorului
informaional)
n dou direcii.
Element de
comparaie pt.
dou semnale
Suma sau diferena
semnalelor
funcionale
sys u y
[x] [x]
[x]
+
(t) u(t)
xR(t)
E.C
Rxu
-
Structura funcional o reprezentare simbolic, (sau schema
funcional).
Structura funcional a unui sistem de reglare automat este acea
schem n care se indic elementele componente ale sistemului de
reglare automat (SRA) destinaia lor i legturile funcionale ntre ele.
Descrierea componenei structurale SRA:
Mrimile de timp Descriere blocuri
u(t) - mrimea de intrare;
y(t) - mrimea de ieire;
(t) - mrimea de eroare;
xR(t)- mrimea de reacie;
c(t) - mrimea de comand;
e(t) - mrimea de execuie;
E.C -element de comparaie;
R.A -regulator automat (sau algoritm
de reglare);
E.E - element de execuie;
I.A (I.T) - instalaie tehnologic;
E.M (T) - element de msurare
(traductor);
-
Problematizare S.R.A:
Problema 1) S se refac topologia sistemului (formalismul intrare-ieire)
pentru toate ieirile posibile netriviale? (nu se modific dimensiunea
sistemelor componente)
Problema 2) S se refac topologia sistemului (formalismul intrare-ieire)
pentru toate intrrile posibile netriviale?
sys u
y
Problema 1)
y1=?
y2=?
y3=?
y4=?
y5=?
=?
sys
y
Problema 2)
y1=?
y2=?
y3=?
y4=?
y5=?
=?
u
u1=?
u2=?
u3=?
u4=?
topologia
SRA = ?
-
Caracterizarea analitic a unui sistem de reglare
automat (S.R.A)- MODEL MATEMATIC
Ecuaia dinamic a unui sistem liniar, continuu i omogen
u(t) y(t) sys
liniar u1
liniar u2
liniar u1+ u2 y1+ y2
0 t
n
0kk
k
kdt
tyda
)(
jk ba ,
m
0jj
j
jdt
tudb
)(
-parametrii de sistem fizic.
t=timp continuu y1
y2
-
OBS. Dac prin transformri elementare obinem combinaii ale
parametrilor de sistem fizic, numrul acestor parametri fiind egal cu - ordinul sistemului, atunci spunem c am obinut cei parametrii de sistem.
n
n - ordinul sistemului
- variabila independent (timpul)
- indicii de variaie ai variailor succesive pentru mrimea de
ieire respectiv mrimea de intrare.
relaia de ordine care reprezint condiia de realizabilitate
fizic a sistemului. condiia sistemelor automate anticipative, (variaii simultane succesive de acelai ordin pentru mrimea de ieire, respectiv mrimea
de intrare).
n
tmn,
mn
mn
mn condiia sistemelor paranormale.
OBS 1. Echilibrul asigurat de descrierea formal a ecuaiei dinamice descrie o prim form pt. modelul matematic al
unui sistem automat (descris n timp continuu).
2. Ecuaia dinamic se obine dac se realizeaz
analiza fenomenologic a sistemului.
-
Aplicaie: Rezolvarea simbolic a ecuaiei dinamice pentru sistemele de ordinul I i II:
k
k
dt
dDk
Se utilizeaz operatorul diferenial de ordin "k"
a) Ecuaia dinamic a sistemului pur dinamic (n=1, m=0):
utydt
tdyT )(
)(
T
t
euty 1)(
>>pretty(dsolve('T*Dy+y=u','y(0)=0')) u - exp(- t/T) u
b) Ecuaia dinamic a sistemului anticipativ (n=m=1):
Soluia ecuaie dinamice (n condiia iniial nul, corespunztoare sistemului
anticipativ):
dt
tduTty
dt
tdyT
)()(
)(
T
t
T
ut
T
t
edueuudu
dety
0
)()(
>> syms T u;>> y=pretty(dsolve('T*Dy+y=T*Du','y(0)=1'))
y(t)=exp(-1/T*t)*Int(diff(u(u),u)*exp(1/T*u),u=0..t)+exp(-1/T*t)
-
c) Ecuaia dinamic a sistemului pur dinamic de ordinul II (n=2, m=0):
ubtyadt
tdya
dt
tyda 0012
2
2 )()()(
Soluia ecuaie dinamice (n condiii iniiale nule):
>> syms a2 a1 a0 b0 u
>> y=dsolve('a2*D2y+a1*Dy+a0*y=b0*u','y(0)=0','Dy(0)=0')
y=1/a0*b0*u-1/2*b0*u*(a1+(a1^2-4*a2*a0)^(1/2))/(a1^2-4*a2*a0)^(1/2)/a0*exp(-
1/2*(a1-(a1^2-4*a2*a0)^(1/2))*t/a2)+1/2*b0*u*(a1-(a1^2-4*a2*a0)^(1/2))/(a1^2-
4*a2*a0)^(1/2)/a0*exp(-1/2*(a1+(a1^2-4*a2*a0)^(1/2))*t/a2
02
2
10
)4(
2
1
02
2
10
02
2
10
)4(
2
1
02
2
10
0
0
4
41
2
1
4
41
2
1)(
2
02211
2
02211
aaaa
eaaaaub
aaaa
eaaaaubu
a
bty
a
taaaa
a
taaaa
-
Reacia negativ i atenuarea perturbaiilor
OBS: Se presupune c mrimea de ieire "y(t)" depinde
de mrimea de perturbaie.
KM
KM
e(t) y(t)
p(t)
e(t) y(t)
p(t)=2
KR
6214
Efectul reaciei negative asupra perturbaiei.
-
21802 ..
805
4
141
4.
42141
43.
Concluzie: reacia negativ are efect stabilizant.
-
1. Clasificarea sistemelor dinamice dup structur:
Prin structura fundamental se nelege o reuniune de elemente ale crei proprieti nu se regsesc, ca atare,
printre proprietile elementelor componente.
Proprietile unei structuri fundamentale aparin n primul rnd
conexiunilor dintre elementele componente (elemente de
baz), respectiv reuniunii structurate a elementelor i
raporturilor dintre elementele de baz.
Dupa prezena sau absena reaciei se disting
sisteme cu structur:
deschis respectiv nchis.
-
u(t) y(t) sys
Semnale de intrare deterministe importante pentru studiul sistemelor
deterministe
aleatoare
-sinusoidale
-combinai liniare sinusoidale n
relaie armonic
-pseudoaleatoare
neperiodice
(aperiodice)
-cvasiperiodice, compuse din
sinusoide ce nu au frecvenele
n relaie armonic
-tranzitorii
SEMNALE
Clasificarea complexitii semnalelor
impulsul Dirac
impulsul treapt unitar
periodice
De regul, variaia semnalului u(t) de la intrarea unui sistem
automat este cunoscut i se reprezint printr-o funcie continu.
-
Semnalul impulsul unitar ideal (impulsul DIRAC) (t)
1dtt
0t
0t0Rt0
t
)(
,
,\,
)(
t 0
(t) Reprezentarea convenional
(t-)
t
0
(t)
k
1/k
t 2 1 0
1/2
1/1
p(t)
Numai teoria distribuilor permite definirea corect a lui (t):
)()(lim0
ttp kk
)(1)](1[
)( tdt
tdt
(t)
Aria=1
t
1/
(1)
Fig.-Impulsul real
-
Derivata funciei treapt unitar n
punctul de discontinuitate t=0 este un
impuls Dirac localizat la t=0.
Semnalul treapt unitar ideal (funcia lui Heaviside) 1+(t)
1
t 0
1+(t)
1/2
0,1
0,2
1
0,0
)(1
t
t
t
t
Este semnalul determinist aperiodic cel mai important.
0,1
0,0)(1
t
tt
)(1)()()(10
tdt
dtdttt
t
Proprietatea de eantionare a funciei impuls unitate
sau proprietatea de filtrare a distribuiei Dirac:
)()()( 00 tudttttu
00 .0)( ttpttt
)0()()( udtttu
Dac t0 =0
-
Proprietatea de sondare a funciei delta (t): Un semnal oarecare poate fi exprimat astfel: convoluia cu (t):
)()()( ttutu
Descompunerea unei funcii u(t) n integral de funcii treapt unitate
t
dtututu0
)(1)()(1)0()(
Descompunerea unei funcii u(t) n integral de distribuii delta unitate.
dtudtutu )()()()()(
Deoarece t, pentrut,
limita superioar a integralei este "t" i cea inferioar este zero:
t t
dtudtutu0 0
)()()()()(
-
w(t) sys (t)
impuls
unitate
(excitaie)
funcia
pondere
(rspuns)
w(t-) sys (t-)
sys u()(t-)d u()w(t-)d
sys t
0
dtwuty )()()( t
0
dtutu )()()(
rspuns
excitaie
oarecare
t
0
t
0
dtwtudtwuty )()()()()(
)()()( twtuty
)()()( thtudt
dty
funcia pondere
derivata produsului de
convoluie
funcia
pondere
-
funcia
indicial
(rspuns) h(t) sys 1+(t)
treapt
unitate
(excitaie)
funcia indicial
t t
dtwdtwtthty0 0
)()()(1)()(
Schimbarea de variabil: tv, t=const., pentru:=0v=t, pentru =tv=0,
(dv=d)
0
0
)()()()(
v
tv
t
dvvwdvvwth
t
0
dttt1 )()(
funcia
indicial
(rspuns)
funcia
pondere
t
0
dwth )()()( Concluzie
-
Convoluia semnalelor
)()()( ttutu )()()( twtuty
u(t) y(t) sys
n aceast relaie facem
dou operaii reciproce:
1. Derivm pe u(t);
2. Integrm pe w(t):
)()(
)()()(0
thtu
dwtuty
t
funcia
indicial
rspuns
excitaie
derivat
excitaie
dthdt
tduty
t
)()(
)(0
derivata produsului de convoluie
)()()()0(
)()()()0()()()(
twtuthu
thtuthuthtudt
dty
-
Integrala Duhamel
t
dthuthuty
tpt
0
0
)()()()0()(
0.
t
dhtuthuty
tpt
0
0
)()()()0()(
0.
t
dthuhtuty
tpt
0
0
)()()0()()(
0.
t
dhtuhtuty
tpt
0
0
)()()0()()(
0.
derivata produsului de convoluie
)()()()(
)()()()(
)()()(
twtuth0u
thtuth0u
thtudt
dty
(Aplicaie integrala Duhamel)
-
Aplicaie- integrala Duhamel
Circuitului RC i se aplic un impuls dreptunghiular de tensiune de forma:
a) S se determine analitic y(t)=? n cazurile: (tT0) i (t>T0)
b) S se verifice soluia n interfaa Matlab-Simulink.
t
dhtuhtuty
tpt
0
0
)()()0()()(
0.
Soluie:
)(1)(1)(
)(1)(1)(
11)0(
111)(,
1)(
00
00
0
2
TttUtu
TttUtu
Re
Rh
eCR
eRCR
heR
th
RC
RCRCRC
t
-
t
RC
t
RC
RC
t
TtdTteCR
U
TtdteCR
U
TttR
U
deCR
TttU
RTttUtity
0
002
0
0
02
0
00
2
0
00
00
)(,)(1
)(,)(1
)(1)(1
1)(1)(1
1)(1)(1)()(
Cazul (tT0):
1)(1)(1
)(1)(1
1
1)(1)(1
)(1)(1)(1
)0()1()(1)(1)(
2
00
0
0
2
00
0
0
2
00
0
0
0
2
00
0
0
2
0
0
2
00
0
RC
t
RCRC
t
t
RC
t
RC
t
RC
t
RC
eCR
UTtt
R
U
eeCR
UTtt
R
U
e
RC
CR
UTtt
R
U
Tt
t
t
deCR
UTtt
R
U
deCR
Ude
CR
UTtt
R
Uti
-
Cazul (t>T0):
0
0
0
2
0
0
0
0
0
2
00
0
0
0
02
0
0
2
0
0
0
1)(1)(11
)(1)(1)(1
)(1)(1)(1)(
Tt
RC
RC
tTt
RCRC
t
t
RC
t
RC
eRCCR
U
eR
UTtt
R
Ude
CR
Ue
R
U
TttR
UdTte
CR
U
dteCR
UTtt
R
Uti
11)(1)(10
000
0 RC
Tt
RC
t
eR
Ue
R
UTtt
R
U
-
)(1)(1)(1)(1
)(1)(1)(1)(1
)(11
)(11)(1)(1)(
0
0
0
0
0
0
00
0
00
0
0
0
0
00
00
0
TteteR
UTt
R
UTte
R
U
tR
Ute
R
UTt
R
Ut
R
U
TteR
U
teR
UTt
R
Ut
R
Uti
RC
Tt
RC
t
RC
Tt
RC
t
RC
Tt
RC
t
Exemplul numeric: R=330k, C=2.2F, U0=1, T0 =0.5s
t=0:0.001:0.5;
y1=(1/330000)*exp(-t/0.726);plot(t,y1);grid
t=0.5:0.0001:1;
y2=-(1/330000)*(1-exp(-0.5/0.726))*exp(-(t-0.5)/0.726);
plot(t,y2);grid
-
Aplicaie: cazul (tT0), y1(t)
Aplicaie: cazul (t>T0), y2(t)
-
Aplicaie: i(t)
Structura sistemului de verificare a rspunsului i(t)
-
Elemente de calcul operaional- Transformata Laplace
)(tf )(sForiginal imagine
0
stdtetftfLsF )()()( )(L)(
-1sFtf
js Proprietile funciei original:
0,0)( ttf
tsMetf 0)(
)(tf original )(tf continu )(0,1
0,0)(1 sF
t
tt
s
1e
s
1
s
duedtet1t1
0
st
u
0ustu
u
t
0t
st
)()(L
Exemple importante de transformate Laplace:
s
1e
t L s
constconst
..L 1t )(L
j
j
st0
0
dsesFj2
1tf
)()(
L
-
Teoreme ale transformatei Laplace:
T1: Transformata Laplace este o transformat liniar.
)(L)(L)()(L tgtftgtf
)(L)(L tfAtfA
Aditivitate:
omogenitate:
22
tjtjtjtj
s
s
js
1
2
1
js
1
2
1
2
e
2
e
2
eet
LLL)cos(L
j
e
j
e
j
eet
tjtjtjtj
222)sin(
LLLL22
1
2
11
2
1
sjsjjsj
T2: Teorema asemnrii originalului
sF
1def
1
defdtetftf
0
s
0
st
0t
st
)(
)()()(L
sF
1tfL
-
1s
st
2 )cos(L
1s
1t
2 )sin(L
222
s
s
1s
s
1sFt
1)cos(L
T3: Teorema ntrzierii originalului tfesFetf ss LL
0
kss
0
ks
0
kss
sksks
0
st
0
st
dkekfedkekfdkekfe
dkeekfdkekfdtetf
kt
k0t
dkdt
kt
dtetftf
)(
,
,L
0,0)( ttf
-
02
,0
20,
)(0
tT
TtA
tu
)()()( 02010 tututu
2
Ts
2
Ts
02010
e1s
Ae
s
A
s
A
tututu )(L)(L)(L
2
Ts
00 e1s
AtusU )(L)(
-
)()()( 001 Ttututu
sT2T
sTs
00
0011
e1e1s
AesUsU
TtututusU
)()(
)(L)(L)(L)(
Pentru impulsul dublu dreptunghiular cu
factorul de umplere () i perioad (T), forma compact este:
))((1)(1)(1)(1)(1 TtATtAtAtAtu
sTssT0
sT
001
e1e1s
Ae1sU
esUsUsU
)(
)()()(
-
0k
0000 TktuT2tuTtututu )()()()()(
s2
TTs
s2
T
Ts0
Ts2
0
Ts
00
0k
kTs
0
uioriginalulintrzieriteorema
0k
0
0k
0
e1
1
s
A
e1
e1
s
A
e1
1sUesU
esUsUesU
TktuTktutusU
)()(
)()()(
)(L)(L)(L)(
1 sTeqq1
1
Ts
0
e1
sUtusU
)()(L)(
T
0
sT
Tsdtetu
e1
1tusU )()(L)(
-
Aplicaie
-
ssUttu
1)()(1)( 11
se
ssUttu
2
)()1(12)( 22
se
sssUsU
21
)()( 21
se
ssUttu
2
33
1)()2(1)(
s
ee21e
s
1e
s
2
s
1sUsUsU
s2ss2s
321
)()()(
-
ses
sU 1
1)(1
ss ees
sU 1
1)(2
sss ees
es
sUsU 1
11
1)()( 21
T4: Teorema deplasrii imaginii: qsFtfeqt L )()()(L )( qsFdtetfdtetfetfe tqs
0
st
0
qtqt
)()cos(L 1sFtet
1s
stsF
2 )cos(L)(
2s2s1s
11s
1s1sFte
22
t
)()cos(L
-
T5: Teorema derivrii originalului: )(L 0fssFtf
)()(
)()(L
tfvtdfdv
dtsedueu
vduuvudv
dtedt
tdfdtetftf
stst
0
st
0
st
)()0()(lim)()0()(
)()()()()(
0
00
00
)(
)0(
ssFftfessFfefe
dtetfstfedtsetftfetdfe
st
t
ss
stststst
tf
f
st
)()()()()(
)()(
L)(
LL
0f0sfsFs0f0fssFs
0fdt
tdfs
dt
tfdtf
2
2
2
)()()()(L )()()( 0f0fs0fssFstf 1n12n1nnn
-
T6: Teorema derivrii imaginii )(L)( tftsF
)()(L)()( tftsF nn
s
1e
tL
2t
s
1
s
1
ds
det
L
2
t
s
1et
L
1n
tn
s
net
!L
1nn
s
nt
!L
T7: Teorema integrrii originalului:
s
sFdttf
t
0
)()(L
-
s
sFdttfe
s
1dttfe
s
1df
s
e
dttfduudf
es
1dtev
dtedv
dtedttfdttf
0
st
0
st
0
t
0
st
t
0
stst
st
st
0
t
0
t
0
)()()()(
)(,)(
)()(L
T8: Teorema integrrii imaginii:
)()()(L)(
)(L)(L)(
)(L)()()()()(
tftttts
t
tfts
tfsFssdssFs
st
tfdssF
)(L)(
-
T9: Teorema produsului a dou imagini (produsul de convoluie):
t
0
tgfsGsF )()(L)()(
tfgtgf
)(L)( tfsF
)(L)( tgsG
dtetgf
dtdtgfeddtetgf
tgsGesGdefsGsF
st
0
00
st
0
st
0
s
0
s
)()()()(
)(L)()()()()(
0,)()()()(
0,0
))((
00
tdtfgdtgf
t
tgf tt
-
T11: Teorema I-a de dezvoltare a lui Heaviside:
n
n
k
k
ss
C
ss
C
ss
C
ss
C
sP
sPsY
2
2
1
1
2
1
)(
)()(
0,)(
)();(Re)(
1 12
1
tesP
sPsssYezty
n
k
tsn
kk
kk
st k
)(
)()(
)(lim)(
)(
)(lim
2
1
2
1
2
1
2
1
k
k
ss
kk
sskk
ssk
sP
sP
ds
dP
sP
sP
sssP
sP
sPssC
k
kk
tsn
1kk2
k1
k
n
1kk2
k1
k
n
1kk2
k111
kesP
sP
ss
1
sP
sP
ss
1
sP
sPsYty
)(
)(L
)(
)(
)(
)(L)(L)(
-1
k
n
kk
k
sssP
sP
sP
sPsY
1
)(
)(
)(
)()(
12
1
2
1
0)(lim
sYs
-
T12: Teorema II-a de dezvoltare a lui Heaviside:
Dac polul sk are ordinul de multiplicitate qk, k=1, 2, , n, atunci:
)(
)(lim
!)(
sP
sPess
ds
d
1q
1ty
2
1stq
k1q
1q
ss
n
1k k
k
k
k
k
Dac Y(s) este o fracie raional cu un pol n origine,
atunci ea este imaginea funciei original:
ts1n
1kk3k
k1
3
1
3
1
2
1 kesPs
sP
0P
0P
sPs
sP
sP
sPsY
)(
)(
)(
)(L
)(
)(
)(
)()(
1
1
2
2
1
10
2
1
)(
)()(
n
n
k
k
ss
C
ss
C
ss
C
ss
C
s
C
sP
sPsY
)(
)(
)(
)(lim
2
1
2
1
k
kk
ssk
sP
sP
sP
sPssC
k
)0(
)0(
)(
)(lim
3
1
3
1
00
P
P
sPs
sPsC
s
-
)0()0()()()()()( 3233232 PPsPssPsPsPssP
0)()()()()( 33332
kkkkkkk sPsPssPssPsP
k
n
kkk
k
k
n
kk
k
sssPs
sP
sP
P
sssP
sP
Ps
P
sPs
sP
sP
sPsY
1
)(
)(1
)0(
)0(
1
)(
)(
)0(
)0(
)(
)(
)(
)()(
1
13
1
3
1
1
12
1
3
1
3
1
2
1
Exemplul
0,)(
222
4
aass
asY
ais
E
ais
D
ais
C
ais
B
s
AsY
22)()(
)(
1)(lim0
sYsAs
4
)()(lim2 ai
sYaisBias
2
1)()(lim
2
sYais
ds
dC
ias
4
)()(lim2 ai
sYaisDias
2
1)()(lim
2
sYais
ds
dE
ias
-
ilaplace(-a*j/4/(s+a*j)^2)ans =-1/4*i*a*t*exp(-i*a*t)
ilaplace(a*j/4/(s-a*j)^2)ans =1/4*i*a*t*exp(i*a*t)
simplify(ilaplace(-a*j/4/(s+a*j)^2)+ilaplace(a*j/4/(s-a*j)^2))
ans =-1/2*a*t*sin(a*t) ilaplace(a^4/s/(s^2+a^2)^2)
ans =a^4*(1/a^4-1/a^4*cos(a*t)-1/2/a^3*t*sin(a*t))
iatiatiatiat
1
2
1
2
1
1
2
11
e2
1e
4
iate
2
1e
4
iat1
ais
2
1
ais
4
ai
ais
4
ai
ais
2
1
ais
4
ai
s
1ty
L)(
L)(
L
L)(
LL)(
)sin(2
)cos(1)( atat
atty
-
syms a s
Y=a^4/s/(s^2+a^2)^2;
A=limit(s*Y,s,0)
B=limit((s+a*i)^2*Y,s,-a*i) B=-1/4*i*a
C=limit(diff((s+a*i)^2*Y),s,-a*i) C=-1/2
D=limit((s-a*i)^2*Y,s,a*i) D=1/4*i*a
E=limit(diff((s-a*i)^2*Y),s,a*i)
T13: Teorema valorii finale: ))((lim)(lim)(
0sFstff
st
dtedt
dffsFs
st
T
T
0
lim)0()(
)()(lim
limlimlimlim)()(lim
0ffdt1dt
df
dtedt
dfdte
dt
df0fsFs
T
0T
T
st
0s0
T
st
T
0T0s0s
-
T14: Teorema valorii iniiale:
0)),((lim)(lim)0(0
tsFstffst
dtedt
df0fsFs
dt
df stT
0T
lim)()(L
)(limlimlim
limlim)()(lim
0fdt0dt
dfdte
dt
df
dtedt
df0fsFs
T
0T
T
st
s0
T
st
T
0Tss