curso planificacion

8/9/2019 Curso Planificacion

1/66

Jos Delgado

Criterio de ley de corte de Lane


2/66

Jos Delgado

Por lo tanto la expresin de beneficio "B" esta dado por:

B = R - Tc = ( s - r) * Qr - c * Qc - m * Qm - f * t

Donde:

B = Beneficio econmico drante el per!odo t

t = Per!odo en el cal se #ace la e$alacin

Qm = %antidad de material a extraer en el per!odo tQc = %ant de material clasificado como mineral & 'e

es tratado en el per!odo t

Qr = %antidad de prodcto obtenido en el per!odo t


3/66

Jos Delgado

a-a- + ,T+ P.R+%+ ,T+ P.R+%

/i la mina define el ritmo de explotacin0 el per!odo t est1 dado por: t = Qm

De esta manera la le& de corte econmica ptima dada por lamina es:

2 m = c2 m = c

(s - r) * &(s - r) * &


4/66

Jos Delgado

b- %%.TR+DR ,T+ P.R+%

/i el concentrador define el ritmo de explotacin0 el per!odo t esta dadorpor:

t = Qc %

c 3 fc 3 f2c = %2c = %

(s - r) * &(s - r) * &


5/66

Jos Delgado

c- .R%+D ,T+ ,+ P.R+%c- .R%+D ,T+ ,+ P.R+%

/i el mercado define el ritmo de explotacin0 el per!odo t estadado por:

t = Qr R

2r = c

(s - r - f ) * &

R


6/66

Jos Delgado


7/66

Jos Delgado

DETERMINACIN DE LA LEY

DE CORTE PTIMA

/e bsca determinar la le& de corte 'e maximi4ael $alor presente de los fl5os de ca5a de laoperacin de n modelo 2eneral: ina0 Planta &Refiner!a0 obteni6ndose tres le&es de corteeconmicas al considerar 'e cada na de estasetapas limita por s! sola la capacidad de operacin0& tres le&es de corte de e'ilibrio al e'ilibrar las

capacidades de cada par de etapas 7na de estasseis le&es corresponde a la le& de corte ptima


8/66

8R7,+% +T.+T%+ D., D.,

.l modelo considera b1sicamente 9 etapas o procesos:

+- inaB- %oncentrador%- ercado o Refiner!a

Jos Delgado


9/66

%ada na de estas etapas poseen capacidades m1ximas dadas& costos nitarios constantes en el tiempo0 se tienen adem1scostos fi5os & totales0 precios de $enta de prodcto final & narecperacin metalr2ica 2lobal

ETAPA MATERIAL CAPACIDAD MAXIMA COSTOS UNITARIOS

Mina Mineral M m

Concentrador Concentrado C c

Refinera Producto R r

tros 8actores: f : %ostos 8i5os& : Recperacins : ;enta Prodctos

Jos Delgado


10/66

Jos Delgado

Definiciones:

:%antidad m1xima de material (est6ril & mineral) a extraer

en n a


11/66

Jos Delgado

.l ob5eti$o es maximi4ar el $alor presente de los beneficios dela operacin /e bsca na expresin para el incremento del

$alor presente de la explotacin de n per!odo %omo estoes dif!cil sponemos 'e conocemos la respesta & anali4aremosla estrctra de la solcin

/ea ;> el $alor presente m1ximo posible de los beneficios ftros

de la operacin


12/66

Jos Delgado

/ea ?> el $alor presente m1ximo posible de losbeneficios ftros desp6s de la explotacin del

per!odo T

,a le& de corte aplicable a Qm debe ser tal 'e el $alorpresente del beneficio de la explotacin de Qm 3 ? seam1ximo


13/66

%on el ob5eto de explorar la inflencia de la le& de corte en laeconom!a de la operacin se deben considerar al2nas ecacionesb1sicas como las de costo total e in2resos a partir de las cales sededce la frmla para el $alor presente0 & de estas ltimas seobtienen las le&es de corte ptimas de l!mite econmico para cadanidad prodctora

%osto Total:

Tc = m * Qm 3 c * Qc 3 r Qr 3 f * t

Renta o n2reso Brto:

R = s * Qr

Jos Delgado


14/66

Por lo tanto la expresin de beneficio "B" esta dado por:

B = R - Tc = ( s - r) * Qr - c * Qc - m * Qm - f * t

Donde:

B = Beneficio econmico drante el per!odo t

t = Per!odo en el cal se #ace la e$alacinQm = %antidad de material a extraer en el per!odo t

Qc = %ant de material clasificado como mineral & 'e

es tratado en el per!odo t

Qr = %antidad de prodcto obtenido en el per!odo t

Jos Delgado


15/66

%omo el ob5eti$o es maximi4ar el $alor presente de los beneficios 2enerados porla operacin /e re'iere de na expresin 'e permite calclar dic#o $alor presentedebido a la explotacin de la porcin Qm en el per!odo t

/ea ;0 el $alor presente m1ximo de los beneficios ftros 2enerados por laexplotacin del &acimiento completo0 ? el $alor presente m1ximo posible de los ftrosbeneficios 2enerados por la extraccin del material posterior a Qm (actali4ado al fin del

per!odo t) descento tili4ado

Jos Delgado


16/66

,a le& de corte aplicable a Qm debe ser tal 'e el $alor presente delbeneficio 'e la explotacin de Qm m1s el $alor presente de ? sea m1ximo

.n 'e d es la tasa de inter6s considerada

Desarrollando la expresin anterior se tiene:

B 3 ? = ; (@ 3 d )t

V = B +V = B + WW (1 + d)(1 + d) tt

Jos Delgado


17/66

+plicando la expresin binomial al t6rmino (@ 3 d)t se obtiene el si2iente arre2lo:

(@ 3 d)t = @ 3 t * d 3 t * (t - @) dA 3 t * (t - @) * (t - A)d9 3

A 9

Para t pe'e


18/66

$ = ; - ? = B - ; * t * d

$ : %orresponde a la expresin del incremento al $alor presente debidoa la exploracin del si2iente Qm

$ = (s - r)*Qr - c * Qc - m * Qm - (f 3 d * ;) * t

Donde el t6rmino d*; pede ser considerado como el costo de

oportnidad de extraer le&es ba5as0 cando an es posible extraer le&esaltas ,e2o se bsca maximi4ar0 adem1s del beneficio peridico0 elbeneficio total

Jos Delgado


19/66

,a ecacin in$olcra n $alor ;0 'e es desconocido De #ec#o estees el $alor presente m1ximo de los beneficios ftros de la operacin0el cal slo se pede conocer s ma2nitd cando se #a seleccionado

la le& de corte ptima .n la pr1ctica se #acen estimaciones scesi$asde ;

.sta expresin es $alidada si ; depende de las reser$as0 pero no deltiempo .sto e'i$ale a asmir precios & costos constantes .ncondiciones de inestabilidad0 el $alor presente de las reser$as pedencambiar con el tiempo & toda la teor!a pede lle2ar a ser m1s comple5a

Jos Delgado


20/66

,.E./ D. %RT. .%%+/ ,T+T./

%onsiderando la expresin de incremento del $alor presente 'e #a de serm1xima0 se #a de obtener na estrate2ia ptima de operacin para nosrecrsos finitos0 & con la expresin anterior 'e relaciona los fl5os de ca5a con

las le&es de corte es posible encontrar na expresin para determinar na le&de corte ptima cando la operacin est6 limitada por slo na etapa0 se debenidentificar tres sitaciones de las cales se deri$an tres le&es de corte llamadasle&es de corte econmicas limitantes

a-a- + ,T+ P.R+%+ ,T+ P.R+%

/i la mina define el ritmo de explotacin0 el per!odo t est1 dado por: t = Qm

Jos Delgado


21/66

& reempla4ando esta expresin en la ecacin anteriores obtiene

$m = (s - r) * Qr - c * Qc - Fm 3 (f 3 d * ;) G H * Qm

+dem1s I Qr = Qc * 2 * & Donde 2 corresponde a la le& media

reempla4ando se obtiene:

$m = (s - r) * Qc * 2 * & - c * Qc - Fm 3 (f 3 d * ;) G H * Qm$m = (s - r) * Qc * 2 * & - c * Qc - Fm 3 (f 3 d * ;) G H * Qm

Jos Delgado


22/66

Para encontrar la le& de corte econmica limitable 'emaximice los beneficios0 con la restriccin indicada (mina)0debemos obtener la primera deri$ada con respecto a 22 de laexpresin

d $m = F(s - r) * 2 * & - c H * dQc - Fm 3 (f 3 d * ;) H * dQm

d2 d2 d2

Dado n Qm0 la le& de corte slo afecta a Qc0 por lo 'e laexpresin a maximi4ar es:

dQm = J d2

Jos Delgado


23/66

d $m = F(s - r) * 2 * & - c H * dQc

d2 d2

.l menor $alor aceptable de 2 es a'el 'e #ace

d $m = J d2

De esta manera la le& de corte econmica ptima dada por la mina es:

2 m = c2 m = c

(s - r) * &(s - r) * &

Jos Delgado


24/66

Donde:

2m : .s la le& 'e da el m1ximo aporte al $alor presente en el caso 'ela mina defina el ritmo de extraccin

.n otras palabras 2m es i2al al costo $ariable de tratamiento pornidad de mena tratada0 di$idido por el precio neto de prodccinrecperado por nidad de prodcto mineral

,a frmla para 2m fe calclada en el pnto de e'ilibrio econmico.ste es efecti$amente el mismo concepto de e'ilibrio econmico 'e

es sado en las otras determinaciones de le&es de corteI el materialminerali4ado deber!a ser clasificado como mena toda $e4 'e s $alorimpl!cito (s - r)* & * 2m excede el costo de procesamiento adicional c

Jos Delgado


25/66

Ka& dos caracter!sticas importantes en la frmla para 2m:

Primero0 si2nifica 'e el $alor impl!cito del material minerali4adonecesita slo cbrir el costo de tratamiento (desp6s de la debidareba5a del costo de mercado - refiner!a r) ,os costos de tiempo no

son rele$antes ni tampoco lo es el costo de desarrollo & explotacin.sto es as! por'e la frmla #a sido deri$ada sobre la sposicin'e la decisin &a #a sido tomada para continar operando m1s all1del #ori4onte actal /i no fera tomada la decisin de esta manera0se aplican consideraciones diferentes

/e2ndo0 no in$olcra nin2na referencia a los $alores presentes.sto si2nifica 'e na mina limitada por s capacidad de explotacino de desarrollo0 deber!a ser operada sobre na base t1ctica m1s bien'e sobre na estrate2ia

Jos Delgado


26/66

b- %%.TR+DR ,T+ P.R+%

/i el concentrador define el ritmo de explotacin0 el per!odo t esta dadorpor:

t = Qc

%

c 3 (f 3 d * ;)c 3 (f 3 d * ;)

2c = %2c = %

(s - r) * &(s - r) * &

2c es i2al al costo $ariable de tratamiento m1s el costo fi5o nitario tododi$idido por el precio neto del prodcto recperado tese 'e a estale& el $alor neto recperable exactamente cbre el costo $ariable detratamiento m1s el costo fi5o nitario0 o sea0 esta le& es tambi6n na le&de e'ilibrio econmico

Jos Delgado


27/66

,a frmla para 2c0 es diferente de cal'ierotra frmla tradicional debido a la presencia delt6rmino d; el 'e peda ser m& importantetese 'e la le& de corte dismin&e a medida de

'e ;*d dismin&e 'e es lo 'e scede candona mina se #ace m1s $ie5a

/in el t6rmino costo de oportnidad (d * ;)

la frmla dar!a n $alor menor 'e esprobablemente similar a a'ellas deri$adas de losan1lisis de le& de corte tradicional 'e no tomanen centa la maximi4acin contina de $alorpresente neto

Jos Delgado


28/66

c- .R%+D ,T+ ,+ P.R+%c- .R%+D ,T+ ,+ P.R+%

/i el mercado define el ritmo de explotacin0 el per!odo t estadado por:

t = Qr

R

2r = c

F(s - r) - (f 3 ; * d)H * &

R

2r es i2al al costo $ariable nitario de tratamiento di$idido por elprodcto de la recperacin por el precio neto nitario del prodcto

menos los costos fi5os nitariosJos Delgado


29/66

tese 'e a esta le& el $alor neto recperable descontando el costo fi5o nitarioexactamente cbre el costo $ariable de tratamiento0 o sea0 es na le& de e'ilibrioeconmico

.stas tres le&es de corte econmico dependen directamente de los precios0 costos &capacidades0 pero slo0 indirectamente del $alor presente ; & de la distribcin dele&es del &acimiento Por lo tanto son estables0 en el sentido 'e $ar!an poco drante la$ida del &acimiento0 por e5emplo 2m no $ar!a nada dado 'e no esta en fncin de ;

Jos Delgado


30/66

,.E./ D. %RT. D. .Q7,BR ,.E./ D. %RT. D. .Q7,BR

Leneralmente0 nin2na de las 9 le&es

anteriormente mencionadas pede ser la le& de corteeconmica a emplear Debido a 'e la capacidad deoperacin no est1 slo por na etapa necesariamente0sino 'e0 pede estar limitada por dos &especialmente por las tres +dem1s las le&es de corte

econmicas feron dedcidas asiendo referencia acostos0 precios & capacidades & no considerandocomo $ar!an las le&es en el &acimiento 'e se est1explotando

Jos Delgado


31/66

Por esto se deben determinar leyes de corte

de equilibrio las cuales son independientes de los

factores econmicos y dependiente de la

distribucin del yacimiento y por lo tanto pueden

permanecer constantes o variar ampliamente

durante la vida del yacimiento. Estas son leyes decorte que hacen que cada par de etapas estn en

conjunto trabajando a su mxima capacidad.

Jos Delgado


32/66

%onsiderando las relaciones de capacidad entre las

distintas etapas0 obtendremos las le&es de corte de e'ilibriosi2ientes:

2mc = ra4n mena : material = %G 2rc = ra4n prodcto : material = RG% 2mr = ra4n prodcto : mena = GR

.l material minerali4ado consistir1 de n ran2o de le&es el cal0en la pr1ctica0 #abr1 sido estimado por n proceso de mestreo

Jos Delgado


33/66

7na distribcin de le& pede ser constitida paraeste material mestreado calclando las proporciones

'e exceden n ran2o de l!mites de le& .l resltado esn 2r1fico llamado Distribcin +cmlati$a de le&'e tiene la forma ilstrada en la prxima fi2rab$iamente @JJM del material excede na le& de cortecero pero la proporcin declina continamente candoel l!mite de le& amenta a partir de este $alor.

Jos Delgado


34/66

7na mina a ra5o abierto tiene na capacidad m1xima para mo$er material impesta por el tama


35/66

Mineral tratado

por unidad de

material

mineralizadoominado

Razn C/M

Cap. tratamiento / Cap. Explotacin

Corte del Balanceo Fsico

1.0

gmcLe

FIGURA ! "#$%R#B&C#'( )C&M&L)%#*) "E LE+ ,)R) L) R)-'(%R)%)M#E(%' E,L'%)C#'(

Jos Delgado


36/66

Retornando al 2r1fico de la Distribcin +cmlati$a de le&0por'e este declina continamente0 debe #aber n pnto a lo lar2o de slon2itd en el cal el porcenta5e de material minerali4ado sobre la

correspondiente le&0 exactamente i2al ra4n %G ,a le& en este pnto0es llamada la ,e& de %orte de balanceado f!sico minaGplantatratamiento>0 denotada 2mc por'e al operar a este corte mantiene estasdos componentes simlt1neamente a capacidad m1ximaI esto es0 candola mina me$e nidades de material por a


37/66

.sto se mestra en la fi2ra anterior .nconsecencia0 la proporcin dada por %G representala cantidad de mena tratada pro$eniente de na nidadde material minerali4ado minado ,os resltados de lamisma mestra permiten el c1lclo0 no solamente delas proporciones de material minerali4ado sobre nran2o de l!mites de le&0 sino tambi6n los contenidos demineral recperable de estas proporciones .ste

2r1fico toma na forma similar al anterior0 & es comoen la si2iente fi2ra

Jos Delgado


38/66

gm Le

,roducto mineral

Recuperado por

unidad de material

mineralizadoRazn R/M

Cap. Mercado / Cap. ExplotacinCorte del Balanceo Fsico

1..0

FIGURA ! "#$%R#B&C#'( )C&M&L)%#*) "E LE+ ,)R) L) R)-'( MERC)"' E,L'%)C#'(

Jos Delgado


39/66

De ne$o el 2r1fico declina continamente por'e dentro de na cantidaddada de material minerali4ado0 mientras m1s alto es el l!mite de le& menos prodctomineral lo excede (el contenido de mineral total no deber!a ser confndido con elcontenido de mineral promedio0 el ltimo amentar1 cando el l!mite de le& amenta)

/i la capacidad del mercado es R nidades de prodcto mineral $endible por a0denotada 2mr0 'e es tambi6n mostrado en la 8i2ra anterior

Jos Delgado


40/66

.l 2r1fico de la relacin del prodcto mineral $endible a la proporcinde mena es efecti$amente n 2r1fico de le&es de cabe4a promedio ,adiferencia es la incorporacin de n factor de recperacin .n estecaso0 como se mencion en el p1rrafo pre$io0 el 2r1fico amenta

continamente %ando el 2r1fico alcan4a la ra4n RG%0 las doscomponentes la P,+T+ & el .R%+D est1n balanceadas & lacorrespondiente le& a la cal esto ocrre es la ,e& de %orte debalanceado f!sico planta tratamientoGmercado> Denotada 2cr

Por tanto las capacidades existentes del sistema minero limitan elran2o de seleccin de las posibles le&es de corte para el balanceadof!sico & de a'! efecti$amente estas capacidades describen laeleccin

Jos Delgado


41/66

,roducto mineral

recuperale por

unidad de mena

Razn R/C

Cap. mercado / Cap. tratamiento

Corte del Balanceo Fsico

gc Le

1.0

FIGURA! "#$%R#B&C#'( )C&M&L)%#*) "E LE+ ,)R) L) R)-'( MERC)"' %R)%)M#E(%'

Jos Delgado


42/66

,as le&es de corte de e'ilibrio actalmente tienen A elementos0 elestrat62ico & el t1ctico0 entendi6ndose por estrat62ico al ni$el promedio'e lo2re n e'ilibrio al lar2o pla4o & t1cticos son los cambios 'esemana a semana o mes a mes sean necesarios para tomar las

decisiones a corto pla4o respecto del material minerali4ado disponiblepara la explotacin Por lo tanto na fncin de la planificacin de minases desarrollar planes 'e consideren tales $ariaciones de corto pla4o enel inter6s de na condccin eficiente de la misma Pero los cerposminerali4ados no son siempre tratables de esa forma0 de a'! entoncesse obtienen 'e las le&es de e'ilibrio son par1metros din1micos

dependientes de la distribcin mineral del &acimiento

Jos Delgado


43/66

,.E./ D. %RT. PT+

,a le& de %orte ptima se determina de al2na de las seis le&esdeterminadas anteriormente0 o sea las tres de l!mite econmico & las tres

de e'ilibrio Para poder anali4ar en me5or forma el estdio del ptimo0se debe re$isar cada par de etapas en forma indi$idal0 las 'e secomponen de la si2iente manera:

ina - %oncentrador

ina - Refiner!a

%oncentrador - Refiner!a

Jos Delgado


44/66


45/66

a- .T+P+ : + - %%.TR+DR

.n el !tem correspondiente a las ,e&es de %orte de l!mite econmico0 seobt$ieron expresiones para el amento de $alor $m (9N@A) & $c (9N@O)0en fncin de distintas capacidades de prodccin & ,e&es de %ortes

+l $ariar la ,e& de %orte0 tambi6n lo #acen Qm & Qc0 enconsecencia $m & $c toman ne$os $alores Para ,e&es de %ortes ba5as$m es ma&or 'e $c0 & en caso contrario0 cando existen ,e&es de %ortes

altas0 $m es m1s pe'e


46/66

/i se representan 2r1ficamente ambas cr$as ($m & $c)0 seencentran tres pntos sin2lares0 'e son:

2m : ,e& de %orte .conmica dada por la mina

2c : ,e& de %orte .conmica dada por el

concentrador

2mc: nterseccin de ambas cr$as (le& de %orte en

.'ilibrio)

Peden darse tres casos0 los 'e se ilstran en las fi2ras si2ientes:

Jos Delgado


47/66

gmc gm gc

!m

!c

FIGURA " M#$% m#t% &% '%c#*$

#ncrementodel1alorpresente

Le de corte

Jos Delgado


48/66

gm gmc gc

!m

!c

FIGURA" E,#-#' M#$% . C'$c$t%d'


Le de corte

Jos Delgado


49/66

gm gc gmc

!m

!c

FIGURA" C'$c$t%d' m#t% &% '%c#*$


Le de corte

Jos Delgado


50/66

,or lo oserado en las 2i3uras anteriores4 se

puede decir 5ue!

Si mc ! m" entonces #mc $ m. La

mina es cuello de botella.

Si mc % c" entonces #mc $ c. El

concentrador es cuello de botella.

En otro caso #mc $ mc Existe equilibrio

Jos Delgado


51/66

B- .T+P+: + - R.8.Ri+B- .T+P+: + - R.8.Ri+

/e calcla $m (A@A) & $r (9NA) para diferenciar ,e&es de %orte0& de modo similar al caso anterior se tiene 'e:

/i 2mr 2m0 entonces Lmr = 2m ,a mina es cello debotella

/i 2mr 2r0 entonces Lmr = 2mr ,a refiner!a es cellode botella

.n otro caso Lmr = 2mr .xiste e'ilibrio

Jos Delgado


52/66

%- .T+P+: %%.TR+DR - R.8.R+%- .T+P+: %%.TR+DR - R.8.R+

/e calcla $c & $r para diferentes ,e&es de %orte & de modo similara los casos anteriores se tiene 'e:

/i 2rc 2r0 entonces Lmc = 2r ,a refiner!a es cellode botella

/i 2rc 2c0 entonces Lrc = 2r .l concentrador escello de botella

.n otro caso Lrc = 2rc .xiste e'ilibrio

Jos Delgado


53/66

En resumen" para cada distinto par de

componentes" la ley de corte ptima para ese par

es la ley de balanceado f&sico a los l&mitessuperior e inferior definidos por las dos leyes de

corte econmico de esas componentes.

Jos Delgado


54/66

,a le& de corte ptima efecti$a 2lobal0 para todo el comple5o minero(limitado por las tres componentes) es a#ora na de las tres0 Lmc0 Lmr &Lcr0 la 'e maximi4ar1 la tilidad descontada total del in$entariominerali4ado ,a posicin pede de ne$o ilstrarse 2r1ficamente

.l amento m1s 2rande en el $alor presente 'e pede lo2rarse acal'ier le& de corte0 teniendo en centa las restricciones de capacidad0del comple5o total0 es actalmente lo menor de $m0 $r & $c

Jos Delgado


55/66

,a le& de corte ptima efecti$a 2lobal siempre ocrre en el$alor intermedio de Lmc0 Lmr & Lcr .l ennciado matem1tico es:

,a ,e& de %orte ptima .fecti$a Llobal Lmcr es i2al al $alorintermedio de los tres $alores inter-etapas (Lmc0 Lmr0 Lcr)

Jos Delgado


56/66

gm gc gmc gm g gc

!m

!c

!#ncrementodel1alorpresente

FIGURA" LEY DE CORTE OPTIMA

Jos Delgado

% t


57/66

Jos Delgado

%ostos

m mina @ SGton

c concentracion A SGton

r refineria SGlibra

f costo fi5os 9JJ SGa


58/66

Jos Delgado

2m J@

2c J

2r J@N


59/66

Jos Delgado


60/66

Jos Delgado


61/66

Jos Delgado


62/66

Jos Delgado

3 mc 6 0.70

3 cr 6 0.80

3 mr 6 0.978

"eterminacin lees econmicas para alancear las operaciones


63/66

Jos Delgado


64/66

Jos Delgado

,a mediana de los tres $alores es J


65/66

Jos Delgado

Por lo tanto la le& media ser1 JU

Qm=@JJJ tonQc= NJJ tonQr= AJ ton

+plicando las capacidades

Tc = NJJGJ = @A a


66/66

curso planificacion

Documents