Cyklické kódy

Přednáška 6

Perfektní kód

A. Opravuje největší množství chyb

B. Má nejvíce kódových slov

C. Má nejlepší poměr počet chyb/délka kódu

Golayův binární kód má délku

A. 7

B. 12

C. 23

D. 37

Hammingův kód neexistuje délky

A. 63

B. 127

C. 1025

D. 4095

Opakovací kód je perfektní?

A. Ano

B. Ne

Cyklický kód

• Speciálním případem lineárního kódu je cyklický kód. Cyklické kódy se vyznačují tím, že cyklickou záměnou kódového slova opět dostáváme kódové slovo.

• Pokud je kódové slovo, tak také je kódové slovo.

1 2( , ,..., )na a a

2 3 1( , ,..., )a a a

Polynomy

• Každý polynom stupně n-1 lze reprezentovat jako uspořádanou n-tici jeho koeficientů .

• Pokud polynom vynásobíme polynomem a spočítáme zbytek po dělení polynomem dostaneme polynom .

• Tuto operaci budeme značit g.

1

0 10

( ,..., )n

ii n

i

f a x a a

1

0

ni

ii

f a x

1nx x

1

1 1 1 0 21

( , ,..., )n

in i n n

i

f a a x a a a

Zjištění

• Problém nalezení cyklického kódu je tedy převeden na otázku, zda lze nalézt podmnožinu množiny všech polynomů, která je současně vektorovým prostorem a současně odolná vůči operaci g, tzn. pokud f je polynom reprezentující kódové slovo, tak také g(f) reprezentuje kódové slovo.

IdeálTuto podmínku můžeme přeformulovat tak, že pokud [ ] /( 1)nC T x x je

množina kódových slov a ,a b C a [ ]c T x , tak také a b C a

mod( 1)na c x C .Množinu splňující tyto podmínky nazýváme ideálem okruhu

[ ] /( 1)nT x x . Cyklické kódy tedy tvoří ideály okruhu [ ] /( 1)nT x x .

Z teorie ideálů víme, že ideály okruhu [ ] /( 1)nT x x jsou tvořeny všemi násobky

pevně zvoleného polynomu f modulo 1nx (tento polynom nazýváme generující).

Pokud chceme, aby námi vytvořený kód opravoval nějaké chyby, nesmí obsahovat

všechna kódová slova, a proto je nutné volit f tak, aby ( ,( 1)) 1.nNSD f x

Příklad

Zkonstruujeme sedmimístný cyklický kód nad dvouprvkovým tělesem. Polynom

7 3 3 21 ( 1)( 1)( 1)x x x x x x má osm různých dělitelů. Polynomy 1a 1nx jsou

triviální dělitelé a pro konstrukci kódu je nebudeme využívat (zamyslete se proč).

Jako generující polynom zvolíme polynom 3 4 3 2( 1)( 1) 1x x x x x x . Kódová

slova námi vytvořeného cyklického kódu tvoří slova (0,0,1,1,1,0,1) , (0,1,1,1,0,1,0) ,

(1,1,1,0,1,0,0) a všechny jejich lineární kombinace. Takto vytvořený cyklický kód má

tedy osm kódových slov a je schopen opravovat jednu chybu.

Generující matice

Nechť C je lineární cyklický kód délky n generovaný polynomem

1 1 0...n k n k n k n kf a x a x a stupně n k . Potom báze kódu C je tvořena vektory

reprezentujícími polynomy 2 1, , ,..., kf x f x f x f , kód C má tedy dimenzi k a jeho

generující matice je tvořena (jako řádky) právě uvedenými vektory báze.

Způsob kódování

Pokud chceme odeslat pomocí kódu C slovo 1( ,..., )ka a , zakódujeme ji pomocí

vektoru reprezentujícího polynom 11 2 ... k

ka f a x f a x f .

Kontrolní matice

Jelikož polynom dělí f polynom 1nx , existuje polynom h stupně k takový, že

. 1nf h x . Vektory reprezentující polynomy 2 1, , ,..., n kh x h x h x h jsou kolmé na

všechny vektory kódu C a tvoří (jako řádky) kontrolní matici kódu C.

Pozorování

Kontrolní matice kódu C je ale současně generující maticí cyklického kódu

generovaného polynomem h . Kódy generované polynomy f a h jsou navzájem

kolmé a současně báze f a h tvoří dohromady bázi celého prostoru. Kódy, které

splňují tuto podmínku nazýváme kódy duální.

Cyklické kódy

• Cyklické kódy se dále dělí podle toho, jakým způsobem je volen generující polynom. Nejznámější cyklické kódy se nazývají podle svých objevitelů BCH (Bose-Chaudhuriho-Hocquenghemovy) kódy. BCH kódy volí jako generující polynom nejmenší společný násobek zvoleného počtu minimálních polynomů. Ale i BCH kódy se dále dělí. Nejznámější podtřídu BCH kódů tvoří Reed-Solomonovy kódy, které nacházejí široké uplatnění v mnoha technických aplikacích. Reed-Solomonovy kódy jsou využívány pro ochranu informací uložených na CD a DVD, ale také v rámci nové technologie Blu-ray Disk. Pomocí Reed-Solomonových kódů je zabezpečen přenos dat v technologiích DSL a WiMAX, ale i přenos televizního signálu ve formátech DVB a ATSC.

Slovníček pojmů

• ATSC– Advanced Television Systems Committee

(ATSC) je formát digitální televize nahrazující původní analogový standard NTSC v zemích severní Ameriky (v USA od 2009 a Kanadě od roku 2011).

Slovníček pojmů

• Blue-ray disk– Disk patřící ke třetí generaci optických

datových disků. Kapacita disku může dosahovat až 80 GB (u oboustranné dvouvrstvé varianty), této kapacity je dosaženo díky velice malému příčnému odstupu stop (pouze 0,35 μm). Pro čtení disků Blu-ray se používá laserové světlo s vlnovou délkou 405 nm.

Slovníček pojmů

• CD– Kompaktní disk (compact disc) je optický disk

určený pro ukládání digitálních dat. CD může obsahovat digitální zvukovou nahrávku (tzv. audio CD) nebo (počítačem čitelná) data (CD-ROM). Pro čtení kompaktních disků se používá laserové světlo s vlnovou délkou 785 nm a příčný rozestup stop je 1,6 μm.

Slovníček pojmů

• DSL– Digital subscriber line (DSL) je souhrnné

označení pro skupinu technologií využívaných pro přenos dat prostřednictvím telefonních linek. Do skupiny DSL technologií patří například technologie ADSL využívané v ČR.

Slovníček pojmů

• DVB– Digital Video Broadcasting (DVB) je

mezinárodní standard pro přenos digitálního televizního signálu. Nejznámější standardy jsou DVB-S pro satelitní vysílání, DVB-C pro vysílání kabelových televizí a DVB-T pro televizní pozemní vysílání.

Slovníček pojmů

• DVD– Digital Versatile Disc (DVD) je optický disk

určený pro ukládání digitálních dat. Disky DVD jsou podobné CD diskům, mají však větší kapacitu, neboť pro čtení používají laserové světlo s vlnovou délkou 660 nm a mají menší příčný odstup stop 0,74 μm.

Slovníček pojmů

• WiMAX– Worldwide Interoperability for Microwave

Access (WiMAX) je technologie pro bezdrátový přenos dat, jedná se o obdobu DSL technologie pro kabelové přenosy.