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19. Integrazione di funzioni razionali fratte
Davide [email protected]
Esercitazioni di Analisi Matematica 1
Funzioni razionali fratte:N(x)
D(x), con N(x) e D(x) polinomi in x.
Primo passo per calcolare∫
N(x)
D(x)dx
Se il grado di N(x) è maggiore o uguale del grado di D(x),usiamo la divisione fra polinomi.
N(x)
D(x)= Q(x)+ R(x)
D(x),
con Q(x) quoziente, R(x) restogrado di R(x) minore del grado di D(x).
Esercizio 1Usa la divisione fra polinomi per riscrivere
5x3 −x+2
x2 +1.
∫ax+b
x2 +px+qdx
Primo caso: ∆ := p2 −4q > 0x2 +px+q = 0 ha due soluzioni reali distinte x1 =α, x2 =βcioè x2 +px+q = (x−α)(x−β)
Cerco una scomposizione
ax+b
x2 +px+q= A
x−α + B
x−βcon A,B costanti reali da stabilire.
Esercizio 2
Trova∫
3x3 −3x2 +1
x2 −xdx in ]1,+∞[.
Esercizio 3
Trova∫
3x+1
x2 −5x+6dx in [0,1].
∫ax+b
x2 +px+qdx
Secondo caso: ∆ := p2 −4q = 0x2 +px+q = 0 ha una soluzione reale doppia x1 = x2 =αcioè x2 +px+q = (x−α)2
Cerco una scomposizione
ax+b
x2 +px+q= A
x−α + B
(x−α)2
con A,B costanti reali da stabilire.
Esercizio 4
Trova∫
x+2
x2 −4x+4dx in [3,4].
∫b
x2 +px+qdx
Terzo caso: ∆ := p2 −4q < 0, numeratore costante.x2 +px+q = 0 non ha soluzioni realix2 +px+q = (x+α)2 +β2 (trovo α e β2)
Uso
b
x2 +px+q= b
(x+α)2 +β2 .
Esercizio 5Scrivi x2 +4x+10 nella forma (x+α)2 +β2.
Esercizio 6
Trova∫
1
2x2 +x+1dx.
∫ax+b
x2 +px+qdx
Terzo caso: ∆ := p2 −4q < 0, numeratore di primo grado.x2 +px+q = 0 non ha soluzioni realix2 +px+q = (x+α)2 +β2 (trovo α e β2)
Cerco una scomposizione
ax+b
x2 +px+q= A
2x+p
x2 +px+q+ B
(x+α)2 +β2
con A,B costanti reali da stabilire.
Esercizio 7
Trova∫
2x+1
x2 +2x+2dx.
Esercizio 8
Trova I :=∫ −1
−2
t2 +3t +4
t2 +4t +5dt.
Denominatore di grado superiore al secondo:fattori irriducibili tutti diversi di grado 1 (con esponente 1)∫
N(x)
(x−α)(x−β)(x−γ) · · · dx
(con grado del numeratore minore del grado del denominatore)
Cerco una scomposizione
N(x)
(x−α)(x−β)(x−γ) · · · =A
x−α + B
x−β + C
x−γ +·· ·
con A,B,C, . . . costanti reali da stabilire.
Esercizio 9Trova una primitiva di
∫1
(x−1)(x−2)(x−3)dx in ]3,4[.
Esercizio 10∫1
(x−1)(x2 +3)dx =
Esercizio 11∫1
(x−1)(x−2)(x2 +3)[(x−1)2 +5
] dx =
Denominatore di grado superiore al secondo:fattori irriducibili tutti diversi di grado 1 con esponente qualsiasi∫
N(x)
(x−α)h(x−β)kdx
(con grado del numeratore minore del grado del denominatore)
Cerco una scomposizione
N(x)
(x−α)h= A1
x−α + A2
(x−α)2 +·· ·+ Ah
(x−α)h
+ B1
x−β + B2
(x−β)2 +·· ·+ Bk
(x−β)k
con A1,A2, . . .Ah,B1,B2, . . .Bk costanti reali da stabilire.
Esercizio 12∫1
(x−1)2(x−2)(x+1)3 dx =
Denominatore di grado superiore al secondo:fattori irriducibili tutti diversi di grado 1 con esponente qualsiasio di grado 2 con esponente 1∫
N(x)
(x−α)h[(x−β)2 +γ2
] dx
(con grado del numeratore minore del grado del denominatore)
Cerco una scomposizione
N(x)
(x−α)h[(x−β)2 +γ2
] = A1
x−α + A2
(x−α)2 +·· ·+ Ah
(x−α)h
+ Bx+C[(x−β)2 +γ2
]con A1,A2, . . .B,C costanti reali da stabilire.
Esercizio 13∫1
(x−1)2(x2 +3)dx =
Esercizio 14∫1
(x2 +1)2(x−1)[(x−3)2 +1
] dx =
Denominatore di grado superiore al secondo:fattori irriducibili tutti i tipi
Esercizio 15∫1
(x−1)(x−2)2[(x+1)2 +3
](x2 +1)2
dx =
Esercizio 16Ricordando che J2 :=
∫1
(1+x2)2 dx = 1
2arctanx+ 1
2
x
1+x2 +c, trova
J3 :=∫
1
(1+x2)3 dx.
Esercizio 17
Trova J4 :=∫
1
(1+x2)4 dx.
In generale,
I1 =∫
dx
x2 +a2 = 1
aarctan
x
a+ c
In+1 =∫
dx
(x2 +a2)n+1 = 1
2na2
x
(x2 +a2)n + 2n−1
2na2 In
Esercizio 18
Trova∫
dx
x(x2 +1)2 in ]0,+∞[.
Esercizio 19∫ π/2
0
sinx+cosx
1+ sinxdx =