deber 3 tipantuña cristian nrc1666
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METODOS NUMERICOS ESPETRANSCRIPT
-
Deber de Mtodos Numricos
Primer Parcial
Tipantua Cristian
28 de junio de 2015
Deber 3
ndice
1. Ejercicio 1 2
2. Ejercicio 2 2
3. Ejercicio 3 6
4. Ejercicio 4 7
5. Ejercicio 5 8
6. Ejercicio 6 9
7. Ejercicio 7 13
8. Ejercicio 8 15
9. Ejercicio 9 17
10.Ejercicio 10 18
1
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Mtodos Numricos
1. Ejercicio 1
Calcular el nmero de operaciones bsicas (sumas, restas, multiplicaciones y divisiones) enfuncin de la dimencin n, necesarias para realizar un remonte para resolver un sistema Au = B;donde Aes una matriz triangular superior.
SUMA MULTIPLICACION DIV ISION TOTAL1 1 1 32 2 1 53 3 1 7...
......
...n 1 n 1 1 2n 1
suma = 1 + 2 + 3 + . . . + n 1 = n(n1)2
multiplicacion = 1 + 2 + 3 + . . . + n 1 = n(n1)2
division = 1 + 1 + 1 + . . . + 1 = n
total = n(n1)2
+ n(n1)2
+ n = n(n 1)
2. Ejercicio 2
En el sistema siguiente, pruebe que Ax = B es equivalente al sistema triangular superiorUx = y que se da y halle su solucin.
4x1 +8x2 + 4x3 + 0x4 = 8
x1 +5x2 + 4x3 3x4 = 4x1 +44x2 + 7x3 + 2x4 = 10
x1 +83x + 0x3 2x4 = 4
4x1 +8x2 + 4x3 + 0x4 = 8
3x2 + 3x3 3x4 = 64x3 + 4x4 = 12
x4 = 2
A =
4 8 4 01 5 4 31 4 7 21 3 0 2
B =
84104
A X = BX = A1B
X =
3112
2 Tipantua Cristian
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Mtodos Numricos
Encontramos L1
M21 = M31 = M41 =14
L1 =
1 0 0 01
41 0 0
14
0 1 01
40 0 1
Despues encontramos A(2)
A(2) = L1 A
A(2) =
1 0 0 01
41 0 0
14
0 1 01
40 0 1
4 8 4 01 5 4 31 4 7 21 3 0 2
A(2) =
4 8 4 00 3 3 30 2 6 20 1 1 2
De igual manera encontramos a L2 y A(3)
M32 =23
M42 =13
L2 =
1 0 0 00 1 0 00 2
31 0
0 13
0 1
A(3) =
1 0 0 00 1 0 00 2
31 0
0 13
0 1
4 8 4 00 3 3 30 2 6 20 1 1 2
A(3) =
4 8 4 00 3 3 30 0 4 10 0 2 1
Finalmente L2y A(4)
M32 = 12
L =
1 0 0 00 1 0 00 0 11 00 0 1
21
3 Tipantua Cristian
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Mtodos Numricos
A(4) =
1 0 0 00 1 0 00 0 11 00 0 1
21
4 8 4 00 3 3 30 0 4 10 0 2 1
A(4) =
4 8 4 00 3 3 30 0 4 40 0 0 1
A(4) = U
Encontramos L
L = L11 L12 L13
L =
1 0 0 0
14
1 0 0
14
23
1 0
14
13
12
1
L Y = B
1 0 0 0
14
1 0 0
14
23
1 0
14
13
12
1
x1x2x3x4
=
8
4
10
4
y encontramos Y
Y = L1 B
Y =
86122
U X = Y
4 Tipantua Cristian
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Mtodos Numricos
4 8 4 00 3 3 30 0 4 40 0 0 1
x1x2x3x4
=
86122
X = U1 Y
X =
3112
Observaciones: Si se comprob que A X = B es igual que U X = Y
5 Tipantua Cristian
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Mtodos Numricos
3. Ejercicio 3
Resolver con calculadora (a mano) el siguiente sistema de ecuaciones, aplicando la eliminacingaussiana:x1 + 8x2 5x3 =33x1 2x2 + 3x3 = 12x1 + 3x2 x3 = 4 1 8 53 2 32 3 1
x1x2
x3
= 31
4
3 2 32 3 1
1 8 5
x1x2
x3
= 14
3
M21 =
23;M31 =
13
3 2 3 12 3 1 41 8 5 3
=
3 2 3 1
0 133
3 103
0 263
6 83
M21 =
13/326/3
= 23 2 3 1
0 133
3 103
0 0 0 4
EL SISTEMA NO TIENE SOLUCIN
6 Tipantua Cristian
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Mtodos Numricos
4. Ejercicio 4
Halle la solucin del siguiente sistema lineal, con calculadora y a mano
x1 + x2 = 5
2x1 x2 + 5x3 = 93x2 4x3 + 2x4 = 192x3 + 6x4 = 21 1 0 02 1 5 00 3 4 20 0 2 6
x1x2x3x4
=
59192
M21 = 2
1 1 0 0 50 3 5 0 190 3 4 2 190 0 2 6 2
M32 =
33
= 11 1 0 0 50 3 5 0 190 0 1 2 00 0 2 6 2
M34 =
21
= 2
1 1 0 0 50 3 5 0 190 0 1 2 00 0 0 2 2
1 1 0 00 3 5 00 0 1 20 0 0 2
x1x2x3x4
=
519
02
x4 =
22
= 1
x3 = 2(1) = 2
7 Tipantua Cristian
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Mtodos Numricos
x2 =195(2)3 = 3
x1 = 5 (3) = 2
Resultados
x1 = 2; x2 = 3; x3 = 2; x4 = 1
5. Ejercicio 5
Demuestre que la inversa de una matriz triangular superior es una matriz triangular superior.a11 a12 . . . a1n0 a22 . . . a2n...
.... . .
...0 0 . . . ann
*
1 0 . . . 00 1 . . . 0...
.... . . 0
0 0 . . . 1
a11 a12 . . . a1n... 1 0 . . . 0
0 a22 . . . a2n... 0 1 . . . 0
......
. . ....
......
.... . .
...
0 0 . . . ann... 0 0 . . . 1
1 a12a11
. . . a1na11
... 1a11
0 . . . 0
0 1 . . . a2na22
... 0 1a22
. . . 0...
.... . .
......
......
. . ....
0 0 . . . 1... 0 0 . . . 1
ann
1 a12a11
. . . 0... 1
a110 . . .
(a1na11
)(1
ann
)0 1 . . . 0
... 0 1a22
. . . (
a2na22
)(1
ann
)...
.... . .
......
......
. . ....
0 0 . . . 1... 0 0 . . . 1
ann
1 a12a11
. . . 0... 1
a11(
a12a11
)(1
a22
). . .
(a1na11
)(1
ann
)+(
a12a11
)(1
a22
)(a2na22
)(1
ann
)0 1 . . . 0
... 0 1a22
. . . (
a2na22
)(1
ann
)...
.... . .
......
......
. . ....
0 0 . . . 1... 0 0 . . . 1
ann
Observaciones: Si se desmuestra que la inversa de una matriz triangular superior es una matriz
superior
8 Tipantua Cristian
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Mtodos Numricos
6. Ejercicio 6
Dada la siguiente matriz, realizar a mano la factorizacin PA = LU y comprobar con unprograma de computacin.
A =
2 3 8 14 0 1 1016 4 2 10 7 1 5
Hallamos el valor de P para reordenar la matriz
P1 =
0 0 1 00 1 0 01 0 0 00 0 0 1
Por tanto A(1) = P1 A(1)
A(1)=
16 4 2 14 0 1 102 3 8 10 7 1 5
Encontramos L1
M21 =14;M31 = 18
L1 =
1 0 0 0
14
1 0 0
18
0 1 0
0 0 0 1
A(2) lo obtenemos multiplicando L1*A(1)
A(2) =
16 4 2 1
0 1 32
414
0 72
334
78
0 7 1 5
Encontramos P2
9 Tipantua Cristian
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Mtodos Numricos
P2 =
1 0 0 00 0 0 10 0 1 00 1 0 0
Por tanto A(2) = P2 A(2)
A(2) =
16 4 2 1
0 7 1 5
0 72
334
78
0 1 32
414
Encontramos L2:
M32 = 12 ;M42 = 17
L2 =
1 0 0 0
0 1 0 0
0 12
1 0
0 17
0 1
A(3) = L2 A(2)
A(3) =
16 4 2 1
0 7 1 5
0 0 314
278
0 0 1357210000
9535710000
Como en A(3) no es necesario cambiar las P3 es igual
P3 =
1 0 0 00 1 0 00 0 1 00 0 0 1
Por tanto A(3) = A(3) y encontramos L3
M43 =1357
775500
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Mtodos Numricos
L3 =
1 0 0 00 1 0 00 0 1 00 0 13571
775001
Por lo tanto:
A(4) = L3 A(3)
U = A(4) =
6 4 2 1
0 7 1 5
0 0 314
278
0 0 0 10126710000
Encontramos nalmente L y P
L = L11 L12 L13
L =
1 0 0 0
14
1 0 0
18
12
1 0
0 142910000
175110000
1
P = P1 P2 P3
P =
0 0 1 00 0 0 11 0 0 00 1 0 0
Exposicin de resultados calculados a MANO
L =
1 0 0 0
14
1 0 0
18
12
1 0
0 142910000
175110000
1
;U =
16 4 2 1
0 7 1 5
0 0 314
278
0 0 0 10126710000
;
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P =
0 0 1 00 0 0 11 0 0 00 1 0 0
Exposicin de resultados calculados por MATLAB
function [L U P]=fac_LUP(A)
[n n1]=size(A);
if n~=n1
error('No se puede descomponer');
end
L=eye(n);
P=eye(n);
for k=1:n-1
[m1,m2]=max(abs(A(k:n,k)));
if m1==0
disp('la matriz ingresada es singular');
end
p=k+m2-1;
A=Intercambio_Filas(A,k,p);
U=A;
P=Intercambio_Filas(P,k,p);
for k=1:n-1
for j=k+1:n
factor1=(U(j,k)/U(k,k));
U(j,k:n)=U(j,k:n)-(U(j,k)/U(k,k))*U(k,k:n);
L(j,k)=factor1;
end
end
end
end
RESULTADOS AL INGRESAR LA MATRIZ A
>> [L U P]=fac_LUP(A)
L =
1.0000 0 0 0
0 1.0000 0 0
0.1250 -0.5000 1.0000 0
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0.2500 -0.1429 0.1751 1.0000
U =
16.0000 4.0000 -2.0000 1.0000
0 7.0000 -1.0000 5.0000
0 0 7.7500 3.3750
0 0 0 -10.1267
P =
0 0 1 0
0 0 0 1
1 0 0 0
0 1 0 0
NOTA: Se pudo comprobar con el programa de MATLAB los resultados hechos a MANO
7. Ejercicio 7
Considere la funcin f(x) = x2ex2: Se pide calcular un valor aproximado para la integral de
f(x) en el intervalo [-2, 2] usando el polinomio de Lagrange, calculado a mano, que interpola f(x)en los puntos x0 = 2; x1 = 11; x2 = 0; y x4 = 2:
RESOLUCIN A MANO
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8. Ejercicio 8
Con el siguiente conjunto de nodos:
xi 40 60 80 100 120 140 160yi 0.63 1.36 2.18 3.00 3.93 6.22 8.59
Obtener el valor de la funcin para x = 90, con un polinomio de 2do: grado, utilizando lossiguientes mtodos:a) Por interpolacin polinomial simple.b) Por interpolacin de Lagrange. (Aplicando el programa)c) Construya solo la matriz de diferencias divididas para aproximar todos los puntos de la tabla.d) Evaluar el polinomio interpolador de Newton, de tercer grado, para x=1.75.RESOLUCIN A MANO
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16 Tipantua Cristian
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En el literal b tenemos la Funcin en Matlab
function [ cont ] = interpolLagrange( x,fx )
%UNTITLED2 Summary of this function goes here
% Detailed explanation goes here
s1=length(x);
s2=length(fx);
cont=0;
for k=1:s1
cont=cont+fx(k)*lagrange(x,k);
end
end
y anmente aplicamos a la pantallla de comandos
x=[40 60 80 100 120 140 160]
x =
40 60 80 100 120 140 160
>> fx=[0.63 1.36 2.18 3 3.93 6.22 8.59]
fx =
0.6300 1.3600 2.1800 3.0000 3.9300 6.2200 8.5900
>> [ cont ] = interpolLagrange( x,fx )
cont =
-0.0000 0.0000 -0.0000 0.0015 -0.0911 2.9206 -37.1100
17 Tipantua Cristian
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9. Ejercicio 9
El polinomio P (x) = 2 (x + 1) + x(x + 1) 2x(x + 1)(x 1) interpola los primeros cuatronodos de la tabla:
x -1 0 1 2 3y 2 1 2 -7 10
Aada un trmino a P de tal forma que el polinomio resultante interpole la tabla entera.
RESOLUCIN A MANO
10. Ejercicio 10
La ecuacin x 9x = 0 tiene una solucin en el intervalo [0; 1]. Utilice la teora de interpola-cin polinomial en los nodos x0 = 0, x1 = 0,5, x2 = 1, para encontrar una solucin aproximada x
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de la ecuacin. (Aplicar los programas)Primero vamos a realizar la tabla con los puntos
x 0 0.5 1y -1 1/6 8/9
Los programas que vamos a utilizar son las siguientes funciones
function [ C ] = newtonInterpolacion2( x,f )
%UNTITLED3 Summary of this function goes here
% Detailed explanation goes here
m=length(x);
A=zeros(m,m);
A(:,1)=f';
for j=2:m
for k=j:m
A(k,j)=(A(k,j-1)-A(k-1,j-1))/(x(k)-x(k-j+1));
end
end
C=A(m,m);
for k=m-1:-1:1
C=conv(C,poly(x(k)));
mm=length(C);
C(mm)=C(mm)+A(k,k);
end
end
luego para resolver el polinomio de segundo grado un simple programa de ecuaciones de segundogrado.
function [ X1,X2 ] = Ec_2do_grado( a,b,c )
%UNTITLED Summary of this function goes here
% Detailed explanation goes here
X1=(-b+ sqrt(b^2-4*a*c) )/2*a;
X2=(-b- sqrt(b^2-4*a*c) )/2*a;
fprintf('X1= %5.3f \n',X1);
fprintf('X2= %5.3f \n',X2);
end
19 Tipantua Cristian
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y nalmente la ejecucin en Matlab en Command Window es la siguiente
x=[0 0.5 1]
x =
0 0.5000 1.0000
>> f=[-1 1/6 8/9]
f =
-1.0000 0.1667 0.8889
>> [ C ] = newtonInterpolacion2( x,f )
C =
-0.8889 2.7778 -1.0000
>> a=-0.8889
a =
-0.8889
>> b=2.7778
b =
2.7778
>> c=-1
c =
-1
>> [ X1,X2 ] = Ec_2do_grado( a,b,c )
X1= 0.328
X2= 2.141
20 Tipantua Cristian
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X1 =
0.3280
X2 =
2.1412
y nalmente tenemos la solucion en el intervalo [0,1] es la x1 = 0,3280
21 Tipantua Cristian