derivatif - · pdf fileturunan fungsi f adalah fungsi yang nilainya di setiap bilangan...
TRANSCRIPT
DERIVATIF
BAB 2
Turunan secara intuisi
Perhatikan grafik dari fungsi f dengan
dengan l garis lurus yang melalui titik dan
)(xfy
),( 00 yxP
),( 00 yyxxQ
)(xfy
ada
)(limlim bila
)(
jadi
)(
)(
00
0x0x
00
00
00
00
x
xfxxf
x
y
x
xfxxf
x
y
xfxxfy
xfy
xxfyy
)(xfy Maka limit tesebut dinamakan hasil bagi differensial atau derivatif
atau turunan dari fungsi f dengan di titik P(x0,y0) adalah:
)(')(
' 0
00
0 xxfdx
xdf
dx
dyy
xxxx
xx
Definisi
Turunan fungsi f adalah fungsi yang nilainya di setiap bilangan
sebarang x di dalam daerah asal f diberikan oleh :
Jika limit ini ada, turunan fungsi f dilambangkan dgn f’
x
xfxxff'(x)
x
)(lim
0
Jika x1 suatu bilangan tertentu di dalam daerah asal f maka :
Cth
Jika diketahui maka dengan menggunakan
definisi carilah f ’
x
xfxxf) f'(x
x
)(lim 11
01
123)( 2 xxf
Continue…
• Perhatikan
Jika diambil
Maka
Ex.Kerjakan soal di atas untuk x=2
x
xfxxf) f'(x
x
)(lim 11
01
11 ~0 xxxxxx
1
1
11
)()(lim)('
xx
xfxfxf
xx
Teorema
Bila dan masing-masing merupakan fungsi
yang kontinu dan mempunyai turunan pertama pada
domain D maka berlaku :
)(xu )(xv
)(')('
)()(
')()()()( .1
xvxu
dx
xdv
dx
xdu
xvxuxvxudx
d
)(')(
')()(konstan,.3
)()(')(')(
)()(
)()(
')().()().( .2
xkudx
xduk
xkuxkudx
dk
xvxuxvxu
dx
xduxv
dx
xdvxu
xvxuxvxudx
d
2
2
'
)(
)(')()()('
)(
)()(
)()(
)(
)(
)(
)(.4
xv
xvxuxvxu
xv
dx
xdvxu
dx
xduxv
xv
xu
xv
xu
dx
d
dydxdx
dyxfxfy
dx
du
du
dy
dx
dyxguufy
1)( invers mempunyai )( jika.6
)(),( jika.5
1
Proses penghitungan turunan f ’ dari f diferensiasi
Jika fungsi f mempunyai turunan di x1 maka dikatakan fungsi f diferensiabel
di x1
Dkl. Fungsi f diferensiabel di x1 jika f ‘(x1) ada
Jika suatu fungsi f diferensiabel di setiap bilangan riil dalam Df nya maka f
dinamakan fungsi diferensiabel
1
1
)('0,,)( jika
)(',)( jika .7
nn
nn
nxxfxZnxxf
nxxfZnxxf
Latihan
Teorema :
jika f diferensiabel di x1 maka f kontinu di x1
Ex. Periksa apakah kontinu di x=0 dan diff di x=0?xxf )(
)0(0)(lim.
0)(lim,0)(lim
???)(lim.
00)0(.
)(
0
00
0
fxfiii
xfxf
xfii
fi
xxf
x
xx
x
ada tidak )0('limlim
1lim)0(',0
1lim)0(',0
lim)0('
0)0(,)(
)0()0(lim)0('
00
0
0
0
0
fx
x
x
x
x
xfx
x
xfx
x
xf
fxxf
x
fxff
xx
x
x
x
x
Definisi
Jika fungsi f didefinisikan di x1 maka turunan kanan dari f
di x1 yang dinotasikan dengan )( 1
' xf
1
11
'11
01
' )()(lim)(
)(lim)(
1 xx
xfxfxf
x
xfxxfxf
xxx
Jika fungsi f didefinisikan di x1 maka turunan kiri dari f di
x1 yang dinotasikan dengan )( 1
' xf
)()( jika di diff
)()(lim)(
)(lim)(
1
'
1
'
1
1
11
'11
01
'
1
xfxfxf
xx
xfxfxf
x
xfxxfxf
xxx
Turunan Fungsi Polinomial
Bukti
Turunan Fungsi Implisit
Latihan . Tentukan y’
822 yxyx
Solusi
Turunan Tingkat Tinggi
SOLUSI
Contoh
Latihan
• Fungsi trigonometri ( sinus dan cosinus )
merupakan fungsi kontinu, sehingga limit fungsi
sinus dan cosinus di setiap titik sama dengan nilai
fungsinya, yaitu :
• Turunan sinus dan kosinus dapat diturunkan dari
definisi yaitu sbb:
ax
ax
ax
ax
coscoslim
sinsinlim
OR