Descripcin matemtica de la deformacinImaginemos que se traza idealmente, dentro de un medio continuo, un vector unitario n. Este vector se ir modificando a medida que el medio se deforma. Se define como tensor de las deformaciones (unitarias) E la homografa vectorial que, aplicada al vector unitario n, da la deformacin sufrida por l. Si el tensor E se escribe bajo la forma

Los coeficientes , , representan evidentemente, como muestra la figura, las magnitudes de las deformaciones unitarias longitudinales (o elongaciones) sufridas por los vectores respectivamente; los coeficientes , , etc., representan las magnitudes de las deformaciones unitarias angulares sufridas por dichos vectores, en sentido normal al eje correspondiente al primer subndice y paralelo al eje correspondiente al segundo.Es importante establecer una relacin entre las deformaciones que acabamos de mencionar y los desplazamientos de las partculas en el interior del medio. Consideremos nuevamente un punto P y otros dos puntos A y B, a. distancias ,, siendo APB un ngulo

de lados paralelos a los ejes x, y (figura deformacin de un ngulo recto). Despus de la deformacin, P habr ido a P', A a A', B a B. Llamemos s al vector desplazamiento PP'. Considerando que las variaciones angulares y son muy pequeas, la elongacin , se escribe

Repitiendo el clculo de manera parecida para las otras elongaciones, se obtiene que

De aqu se deduce, la importante frmula

Teniendo en cuenta la definicin de deformacin angular, se obtiene, por otro lado, que

Considerando la pequeez de y , y despreciando infinitesimales de orden superior al primero, podemos escribir

Formulas anlogas se obtienen para las dems deformaciones angulares. Resulta, as, que

La matriz del tensor de las deformaciones es, entonces,

La aplicacin del tensor E al vector unitario , da como resultado

Siendo

Como en el caso de los esfuerzos, conviene a veces descomponer la deformacin E(n) en una componente longitudinal (elongacin) paralela a n y una componente angular normal a n que, se suele llamar . Tales componentes se calculan por medio de las formulas,