diagonales hacia un encuentro mÁgico con los irracionales
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DIAGONALES
HACIA UN ENCUENTRO MÁGICO
CON LOS IRRACIONALES
El Placer del Encuentro: Mirar, Ver y ReconocerEl Placer del Encuentro: Mirar, Ver y Reconocer
Cuando emprendas tu viaje a Ítaca pide que el camino sea largo, lleno de aventuras, lleno de experiencias.
Pide que el camino sea largo. Que muchas sean las mañanas de verano en que llegues -¡con qué placer y alegría!- a puertos nunca vistos antes.
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Ten siempre a Ítaca en tu mente. Llegar allí es tu destino. Mas no apresures nunca el viaje.
LA DIAGONALLA DIAGONAL
Una diagonal es todo segmento que une dos vértices no consecutivos de un polígono o de un poliedro.
EtimologíaLa palabra diagonal proviene del griego (diagonios), utilizada tanto por Estrabón como por Euclides para referirse al segmento que conecta dos vértices de un rombo o de un cuboide, y está formada por dia- ("a través") y gonia ("ángulo", relacionada a gony, "rodilla"). Luego fue adoptada por el latín como diagonus ("recta enfocante").
EN EL TRIÁNGULOEN EL TRIÁNGULO
Un triángulo (tres ángulos) no tiene diagonales.
La figura nos introduce en el concepto de DEMOSTRACIÓN:
la suma de los tres ángulos de cualquier triángulo es siempre 180º.
Se trata de un INVARIANTE de la forma triangular.
B
A
C
B C
Alternos internos
B+A+C=180º
EN EL CUADRADOEN EL CUADRADO
El cuadrado tiene dos diagonales IGUALES que se cortan en el punto medio
(esto caracteriza al rectángulo)
PERPENDICULARMENTE (que lo cuadra)
1 1
1
La EscuadraLa Escuadra
X
DATOS e INCÓGNITA
Formulación matemática del problema:
El Teorema de PitágorasEl Teorema de Pitágoras
La medida indirecta (mediante el uso de FÓRMULAS –Teorema de
Pitágoras-) conduce a 2
1
2
2 es un NÚMERO que multiplicado por sí mismo da 2
LA RAÍZ DE DOSLA RAÍZ DE DOS
Y, según cuenta la leyenda, Hipaso fue el culpable (si se me permite la expresión) de un descubrimeinto que paralizó la matemática griega durante un siglo.
Al parecer Hipaso se planteó el problema de medir la diagonal de un cuadrado utilizando el lado como unidad de medida. Por plantear el problema de la forma más simple posible, tomemos un cuadrado de lado 1. En esta situación la pregunta que según parece se realizó Hipaso fue: ¿cuánto mide la diagonal de este cuadrado?
Teniendo en cuenta la condición de pitagórico de Hipaso, es posible que él mismo esperara que la medida de esta diagonal pudiera expresarse como un número natural o una fracción… pero en realidad no fue así. Hipaso se dio cuenta de que esta medida no podía expresarse ni como un número natural ni como una fracción formada por números naturales. Ahora sabemos que esta diagonal mide raíz de dos, y que es un número de los conocidos como irracionales.
Al menos esto cuenta la leyenda, esto es, que Hipaso fue el descubridor de este hecho. Lo que parece más cercano a la realidad fue que el propio Hipaso comunicó este descubrimiento fuera de la comunidad pitagórica… y esto fue lo que significó el final de Hipaso. Según algunas fuentes, los pitagóricos lo arrojaron al mar por revelar fuera de la secta esta catástrofe pitagórica, aunque otras aseguran que lo que hicieron los pitagóricos fue organizar un simulacro de funeral, con tumba incluida, que simbolizaba que para ellos Hipaso pasaba a estar muerto.
El encuentro con lo IrracionalEl encuentro con lo Irracional
La demostración MÁS HERMOSA
La Irracionalidad enLa Irracionalidad en
Partiendo de un formato de lados a y b, el formato superior tendrá 2a por b, para que la proporción entre sus lados sea la misma tendrá que cumplirse que:
EL RECTÁNGULO MOD EL RECTÁNGULO MOD
¿Qué rectángulo es semejante a su mitad?
El DIN A = Mod El DIN A = Mod
Es el rectángulo de módulo
que le hace imprescindible como
formato de papel de fotocopiadora:
es el único que permite hacer
cuadernillos de hojas sueltas sin
tener que recortar los márgenes.
EN EL PENTÁGONOEN EL PENTÁGONO
El pentágono tiene cinco diagonales que son del mismo tipo: conforman la Estrella Pitagórica,
Pentalfa, Pentagrama o Pentáculo.
Triángulos SublimesTriángulos Sublimes
Triángulos ISÓSCELES sublimes
(Tienen los ángulos en proporción 3:1:1 y 1:2:2 respectivamente)
¡LA CLAVE ESTÁ EN EL CINCO!
11
Estos dos triángulos son semejantes(existe una homotecia que tranforma uno en otro)
Tienen ángulos iguales como se demuestra a continuación
Figuras semejantesFiguras semejantes
α
α
α
La clave está en el cincoLa clave está en el cincoA
BC
Teniendo en cuenta que los ángulos inscritos que abarcan el mismo arco de circunferencia
son iguales tenemos que la diagonal en rojo es bisectriz del ángulo B. Es decir, los ángulos del triángulo isósceles ABC están en proporción de 1:2:2.
ABC BCD
Luego ABC y BCD tienen dos ángulos homólogos iguales, y, por tanto, SON SEMEJANTES.
D
2α2α
α
2α
2α
α
¿Cuánto vale α?
2α α
Triángulo isósceles sublime
Teorema de TalesTeorema de Tales
Seguidamente, aplicamos el Terorema de Tales:
“Los tiángulos semejantes tienen los lados proporcionales”
1
X
1
X-1
1
1
1 x
x
Y, para finalizar, un poco de
álgebra nos conduce a que2
51xX2 – X – 1 = 0
Lado igual del grande
Lado desigual del grande=
Lado igual del pequeño
Lado desigual del pequeño
EL NÚMERO DE OROEL NÚMERO DE ORO
2
51
1
EL NÚMERO DE OROEL NÚMERO DE ORO
125
1
Un número con nombre propioUn número con nombre propio
SECCIÓN AÚREASECCIÓN AÚREAEl punto C divide al
segmento AB“en media y extrema razón”
Es decir
“El total es a la parte mayor, como la parte mayor es la
parte menor”
A
B
CElEl NÚMERO NÚMERO DE ORODE ORO
2
51
CB
AC
AC
AB
……que desvela la irracionalidadque desvela la irracionalidad
LA DIVINA PROPORCIÓNLA DIVINA PROPORCIÓN
Todo parece indicar [Boyer] que fue en figuras como ésta donde los griegos tuvieron la intuición de la irracionalidad (en este caso de Ф) Además, si aplicamos el algoritmo de Euclides para calcular el máximo común divisor de dos números a Ф y 1, veremos palpa-blemente que son inconmensurables. Contemplaremos, además, como aparecen los cocientes parciales de su desarrollo en fracción continúa y cómo se delata el aspecto recursivo que tiene Ф visto como razón de una progresión geométrica tal que un término cualquiera es la suma de los dos anteriores. Teniendo en cuenta que Ф – 1 = 1/Ф, y dividiendo reiteradamente por Ф, se tiene que:
1 1 1 1 1 1 1 … Cocientes
Ф 1 1/Ф 1/Ф2 1/Ф3 1/Ф4 1/Ф5 1/Ф6 …
1/Ф 1/Ф2 1/Ф3 1/Ф4 1/Ф5 1/Ф6 1/Ф7 … … Restos
Algoritmo de Euclides para el cálculo del
máx. c. d.
Ф = 1/Ф + 1/Ф2 + 1/Ф3 + 1/Ф4 + 1/Ф5 + 1/Ф6 + …
La Irracionalidad de La Irracionalidad de ΦΦ
Consideremos la sucesión de término general: . Si calculamos los primeros términos, podemos
observar una curiosa relación entre ellos. Calculando primero algunas potencias
podemos concluir que la sucesión dada se convierte en
En efecto, el secreto de Φ es que es razón de la única progresión geométrica que también es `sumativa´
que presagia la estrecha relación de Ф con la Sucesión de Fibonacci
1, Ф, Ф2, Ф3, Ф4, … 1 + Ф = Ф2, Ф + Ф2 =Ф3, …
La Autosemejanza: La Autosemejanza: El Secreto de El Secreto de ФФ
b
a
a
ba
Crecimiento gnomónico del Rectángulo Áureo
La respuesta es que ese rectángulo es un rectángulo que tiene sus lados en Razón
Áurea y por eso recibe el nombre de Rectángulo Áureo.
Nos preguntamos ahora qué rectángulo tiene como gnomón un cuadrado.
De la figura
se desprende que:
El Rectangulo más BelloEl Rectangulo más Bello
El crecimiento homotéticoEl crecimiento homotético
La sucesión de Fibonacci: 1, 1, 2, 3, 5, 8,13, 21, 34, 55…
Tiene un término general
“sorprendente” 5
)( nn
nF
EN EL HEXÁGONOEN EL HEXÁGONO
El hexágono tiene diagonales (¿cuántas?) de dos tipos.
EN EL HEXÁGONOEN EL HEXÁGONO
Empezamos por ésta.
LadoLado = Radio
60º
EN EL HEXÁGONOEN EL HEXÁGONO
60º60º
1
2
EN EL HEXÁGONOEN EL HEXÁGONO
EN EL HEXÁGONOEN EL HEXÁGONO
Seguimos por ésta
1
1
2
EN EL HEXÁGONOEN EL HEXÁGONO
1
3
EN EL HEXÁGONOEN EL HEXÁGONO
plegando
Rectángulo módulo 3
desplegando
EL RECTÁNGULO MOD EL RECTÁNGULO MOD 3
1
Rombo
Triánguloequilátero
Cartabón
DESPIECEDESPIECE
23
1
LA RAÍZ DE TRESLA RAÍZ DE TRES
EN EL HEPTÁGONOEN EL HEPTÁGONO
El heptágono tiene también dos tipos de diagonales,
que por primera vez no llevan a ninguna raíz
1
Constucciones con regla y compásConstucciones con regla y compás
La construcción con regla y compás es el trazado de puntos, segmentos de recta y ángulos usando exclusivamente una regla y compás idealizados. A la regla se le supone longitud infinita, carencia de marcas que permitan
medir o trasladar distancias, y un solo borde. Del compás se supone que se cierra súbitamente cuando se separa del papel, de manera que no puede
utilizarse directamente para trasladar distancias, porque "olvida" la separación de sus puntas en cuanto termina de trazar la circunferencia. Esta restricción del compás parece muy incómoda para los usuarios de compases
reales, pero carece por otro lado de importancia matemática, porque el traslado de distancias se puede realizar de forma indirecta.
Los problemas más famosos que se propusieron para su resolución "con regla y compás" son la proverbial cuadratura del círculo, la duplicación
del cubo y la trisección del ángulo, a los que a veces se añade la construcción del heptágono regular: el primero de los infinitos
polígonos regulares imposibles de trazar mediante regla y compás. Tienen en común ser de resolución imposible: está matemáticamente demostrado que no se puede cuadrar el círculo, ni duplicar el cubo, ni trisecar el ángulo, ni trazar un heptágono regular usando exclusivamente la regla y el compás
idealizados de la geometría griega.
EN EL OCTÓGONOEN EL OCTÓGONO
El octógono tiene tres tipos de diagonales
y volvemos a encontrarnos con y sus versiones 1+
1
NÚMERO DE ORO
NÚMERO DE PLATINO 3
Simetría pentámera:característica de la vida.
Simetría 6, 8, 10, 12: propia del crecimiento cristalino.
El Podium de los Irracionales AlgebraicosEl Podium de los Irracionales Algebraicos
NÚMERO DE PLATA
PENTÁGONO
HEXÁGONO OCTÓGONO
EN EL CÍRCULO: EN EL CÍRCULO: un polígono de infinitos ladosun polígono de infinitos lados
El círculo tiene infinitas diagonales IGUALES
que se llaman DIÁMETROS
EN EL CÍRCULOEN EL CÍRCULO
Estudiaremos, en este caso, la razón (L/d) entre la longitud de una circunferencia=L y
su diámetro=d.
La definición de un número:La definición de un número:
Cted
L
Los geómetras habían constatado, desde muy antiguo, que la relación entre la longitud de la circunferencia y su diámetro se mantenía constante,
independientemente del tamaño de la misma.
Euclides fue el primero en demostrar que las razones así definidas en distintas circunferencias forman proporción, es decir,
es una cantidad constante que no depende del tamaño.
Con el tiempo, a ese número, que muchos siglos más tarde se demostró
que era irracional, le llamaron π (pi).
cuántas veces cabe el diámetro d de una circunferencia en lalongitud L de su perímetro. L
En definitiva, cuenta
= 3,1415… d
d/10
Esta frase nos da las diez primeras cifras decimales de π:
Con 1 hilo y 5 mariposas, se pueden hacer mil cosas.
Se denomina cuadratura del círculo al problema matemático consistente en
hallar —sólo con regla y compás— un cuadrado que posea un área que sea igual a
la de un círculo dado.
Como se muestra en la figura adjunta, cuadrar un círculo equivale a construir π
mediante regla y compás, es decir, a demostrar que π es euclideano.
La cuadratura del círculoLa cuadratura del círculo
La resolución de este problema trató de abordarse repetidas veces, sin éxito, desde la antigüedad clásica hasta el siglo XIX, momento en que se demostró que este problema no tiene solución, lo que es equivalente a demostrar qe π es un número trascendente.
Hablando en sentido figurado, se dice de algo que es la "cuadratura del círculo" cuando representa un problema muy difícil o imposible de resolver.
En 1882, el matemático alemán Ferdinand Lindemann probó que π es un número trascendente, lo
que implica que es imposible cuadrar el círculo usando regla y compás,
resolviendo completamente el problema. Las pruebas usuales usan álgebra
(teoría de Galois por ejemplo) y variable compleja.
Los Irracionales TranscendentesLos Irracionales Transcendentes
LA VESÍCA PISCISLA VESÍCA PISCIS
La vesica piscis (vejiga de pez en latín) es un símbolo hecho con dos círculos del mismo radio que se intersecan de manera que el
centro de cada círculo está en la circunferencia del otro. Esta forma se denomina también mandorla (que significa "almendra" en italiano).
Era un símbolo conocido en las antiguas civilizaciones de Mesopotamia, África y Asia.
HISTORIAHISTORIA
En diversos periodos de la historia ha sido tema de especulaciones místicas; probablemente los primeros fueron los Pitagóricos, que la consideraban una figura sagrada. La razón matemática de su anchura (medida por los puntos
extremos del "cuerpo", sin incluir la "cola") por su altura fue aproximada por el cociente 265:153. Esta razón, que da 1,73203, se consideró un número sagrado
llamado la medida del pez.
Exactamente, la razón geométrica de estas dimensiones es la raíz cuadrada de 3, o 1,73205... (ya que si se traza la línea recta que une los centros de ambos círculos, junto con los dos puntos donde los círculos se intersecan, se obtienen
dos triángulos equiláteros unidos por un lado). El cociente 265:153 es una aproximación a la raíz cuadrada de 3, y tiene la propiedad de que no se
puede obtener ninguna aproximación mejor con números más pequeños.
El número 153 aparece en el Evangelio de Juan (21:11) como el número de peces que Jesús hizo que se capturaran en la milagrosa captura de los peces, lo que algunos consideran como una referencia cifrada de las creencias pitagóricas.
Coventry Patmore escribió un poema titulado Vessica Piscis, en la parte XXIV del Libro I de su ciclo The Unknown Eros (El Eros desconocido, 1877)
PERÍMETROPERÍMETRO
1
3
4]12[
3
2 2 Perímetro
1
DIAGONALDIAGONAL
La diagonal de Vésica Piscis es la diagonal del rombo
del hexágono inscrito en el círculo 3
Doble cuadrado
Ver al MirarVer al Mirar
VÉ
SIC
A P
ISC
ISV
ÉS
ICA
PIS
CIS
EL T
EM
PLO
DE L
OS
IR
RA
CIO
NA
LES
EL T
EM
PLO
DE L
OS
IR
RA
CIO
NA
LES
Comprender al VerComprender al Ver
Compendio de IRRACIONALESCompendio de IRRACIONALES
1 = La Unidad
3
4Perímetro
3Diagonal
2doDiagCuadra
5uadDiagDobleC
La Spira MiriabilisLa Spira Miriabilis
El número e es la base de los logaritmos naturales o neperianos. Es el único número real cuyo logaritmo natural es 1. El número e fue descubierto por Leonhard Euler, matemático suizo del siglo XVIII. Es el límite de la sucesión de término general (1+1/n)n. Es un número irracional: posee infinitas cifras decimales no periódicas que no siguen ningún patrón repetitivo (e = 2, 71828...). También es un número trascendente o trascendental: no proviene de una simple relación algebraica sino que se define como una propiedad fundamental de las matemáticas. Es trascendente porque no es raíz de ningún polinomio (no nulo) con coeficientes racionales. La espiral logarítmica está generada por el número e, la constante de Euler, desde una fórmula abierta que crece exponencialmente hacia el infinito en progresión geométrica.
En Número En Número
El Podium de los FamososEl Podium de los Famosos
Primer Día Segundo Día Tercer Día
Cuarto Día Quinto Día Sexto Día
El Todo se sirvió del NúmeroEl Todo se sirvió del Número
… … para Crear todo cuanto para Crear todo cuanto existe.existe. Platón
Todo es Vibración (Todo es Vibración (Geometría)Geometría)
La permanencia de ondas da la ilusión de solidez que es la segregación del momentum que hace posible el nacimiento de la materia. La anidación ocurre donde las ondas convergen. Dan Winter
La Geometría Sagrada La Geometría Sagrada
La Geometría Sagrada es una expresión planteada en el esoterismo y el gnosticismo basada en la creencia de que existen relaciones
relevantes entre la geometría, las matemáticas y la realidad.
La Semilla de la VidaLa Semilla de la Vida
El Árbol de la VidaEl Árbol de la Vida
La TetractoLa Tetracto
LA UNIDADLA UNIDAD
LA DUALIDADLA DUALIDAD
LA FORMALA FORMA
LA MATERIALA MATERIA
11
22
33
44
1010
La Flor de la VidaLa Flor de la Vida
La Fruta de la VidaLa Fruta de la Vida
El Cubo de Metatrón
El Principio HolográficoEl Principio Holográfico
La información es lo único universal en nuestro universo holográmico, cada parte contiene la información del todo. Leonard Susskind.
El Hombre de VitruvioEl Hombre de Vitruvio
Polluelo áureo estirándose para salir del huevo pentagonododecaédrico que acaba de eclosionar.
