Diferencia finitaDe Wikipedia, la enciclopedia libreSaltar a: navegación, búsqueda

Una diferencia finita es una expresión matemática de la forma f(x + b) − f(x +a). Si una diferencia finita se divide por b − a se obtiene una expresión similar al cociente diferencial, que difiere en que se emplean cantidades finitas en lugar de infinitesimales. La aproximación de las derivadas por diferencias finitas desempeña un papel central en los métodos de diferencias finitas del análisis numérico para la resolución de ecuaciones diferenciales.

Contenido

 [ocultar]  1 Diferencias anterior, posterior y central 2 Relación con las derivadas 3 Cálculo de diferencias finitas 4 Derivadas de órdenes mayores 5 Métodos de diferencias finitas 6 Véase también 7 Referencias

8 Bibliografía complementaria

[editar] Diferencias anterior, posterior y central

Diferencias finitas.

Sólo se consideran normalmente tres formas: la anterior, la posterior y la central.

Una diferencia progresiva, adelantada o posterior es una expresión de la forma

Dependiendo de la aplicación, el espaciado h se mantiene constante o se toma el limite h → 0.

Una diferencia regresiva, atrasada o anterior es de la forma

Finalmente, la diferencia central es la media de las diferencias anteriores y posteriores. Viene dada por

[editar] Relación con las derivadas

La derivación de la función f en un punto x está definida por el límite

Si h tiene un valor fijado no nulo, en lugar de aproximarse a cero, el término de la derecha se convierte en

Por lo tanto, la diferencia anterior dividida por h aproxima a la derivada cuando h es pequeño. El error de esta aproximación puede derivarse del teorema de Taylor. Asumiendo que f es continuamente diferenciable, el error es

La misma fórmula es válida en la diferencia posterior:

Sin embargo, la diferencia central lleva a una aproximación más ajustada. Su error es proporcional al cuadrado del espaciado (si f es dos veces continuamente diferenciable).

[editar] Cálculo de diferencias finitas

La diferencia anterior puede considerarse un operador diferencial que hace corresponder la función f con Δf. El teorema de Taylor puede expresarse por la fórmula

Donde D denota el operador derivada, que hace corresponder con su derivada , es

decir,

Formalmente, invirtiendo la exponencial,

Esta fórmula sigue siendo válida en el sentido de que ambos operadores dan el mismo resultado cuando se aplican a un polinomio. Incluso para funciones analíticas, las series de la derecha no convergen con seguridad, sino que puede tratarse de una serie asintótica. Sin embargo, pueden emplearse para obtener aproximaciones más precisas de la derivada. Por ejemplo, Los dos primeros términos de la serie llevan a:

El error de la aproximación es del orden de h2.

Las fórmulas análogas para los operadores posterior y central son

[editar] Derivadas de órdenes mayores

De forma análoga se pueden obtener aproximaciones en diferencias finitas para derivadas de orden mayor y operadores diferenciales. Por ejemplo usando la fórmula de

la diferencia central mostrada anteriormente con un espaciado de para

y y aplicando la fórmula de diferencia central a la

derivada de en x, obtenemos la aproximación de la diferencia central de la segunda derivada de f:

[editar] Métodos de diferencias finitas

Otro aspecto importante es que las diferencias finitas aproximan cocientes diferenciales a medida que h se acerca a cero. Así que se pueden usar diferencias finitas para aproximar derivadas. Esta técnica se emplea a menudo en análisis numérico, especialmente en ecuaciones diferenciales numéricas ordinarias, ecuaciones en

diferencias y ecuación en derivadas parciales. Los métodos resultantes reciben el nombre de métodos de diferencias finitas.

Las aplicaciones habituales de los métodos de diferencias finitas son en los campos de la computación y áreas de la ingeniería como ingeniería térmica o mecánica de fluidos.

Método de las diferencias finitasDe Wikipedia, la enciclopedia libreSaltar a: navegación, búsqueda

Plantilla:Mate-esbozo

En análisis numérico, el método de las diferencias finitas es un método utilizado para calcular de manera aproximada las soluciones a las ecuaciones diferenciales usando ecuaciones diferenciales finitas para aproximar derivadas.

[editar] Ejemplo básico de ecuación de diferencias finitas en economía

Una ecuación sencilla en diferencias finitas

La solución se ensaya por tanteo o aproximación

Sustituyendo en la ecuación inicial

La solución será

Resolvemos

Comprobamos si la solución es correcta

Escribimos la solución general

expresa una combinación lineal de la solución

Si analizamos el Wronskiano de soluciones particulares obtendremos para t=0 y t=1

Si el Wronskiano es cero, no podemos determinar una solución correcta.El método para resolver

es idéntico pero la solución general se escribe en función del número e.

[editar] Bibliografía

METODO DE DIFERENCIAS FINITAS

INTRODUCCION

El método de diferencias finitas es un clásica aproximación para encontrar la solución numérica de las ecuaciones que gobiernan el modelo matemático de un sistema continuo. Es valioso familiarizarse con ésta aproximación porque tal conocimiento reforzará la comprensión de los procedimientos de elementos finitos.

Básicamente, en una solución por diferencias finitas, las derivadas son reemplazadas por aproximaciones en diferencias finitas, convirtiendo entonces un problema de ecuaciones diferenciales en un problema algebraico fácilmente resoluble por medios comunes (especialmente matriciales).

METODO DE EXPANSION DE TAYLOR

El método de expansión de Taylor es una forma alternativa de obtener aproximaciones de diferencia. Este método no solo deduce las fórmulas de diferencia sistemáticamente, sino que también deduce los términos de error.

Para una derivada de p-ésimo orden, el número mínimo de puntos de datos requeridos

para deducir una aproximación de diferencia es , así por ejemplo una aproximación de diferencia para la primera derivada de una función necesita por lo menos de dos puntos de datos. Consideremos la deducción de la

aproximación de diferencia para

en términos de

. La expansión de Taylor de

alrededor de

es (1). Resolviendo la ecuación anterior para la primera derivada, tenemos

(2). Si ignoramos todos los términos con excepción del primero del miembro derecho de la ecuación (2), obtendremos la aproximación por diferencia hacia adelante. Los términos que se ignoran constituyen el error de truncado, representado por el término inicial,

. Los demás términos desaparecen más rápidamente que el inicial cuando disminuye. La aproximación de diferencia hacia adelante, con el error de truncado incluido,

se expresa como

(3), dónde

. El término

indica que el error es aproximadamente proporcional al intervalo de la retícula

. El error también es proporcional a la segunda derivada

.

De la misma manera podemos expandir

alrededor de

en la forma (4), y resolviendo nuevamente para la primera derivada, tenemos

y aquí de la misma manera

(5), dónde . Esta aproximación se denomina de diferencia hacia atrás.

Tomemos ahora ambas aproximaciones y restemos (4) de (1):

(6), expresión de la cual se ha eliminado el término

. Resolviendo para

, obtenemos (7).

Con el término de error incluido, la aproximación de diferencia central se expresa como

(8), dónde .

Resulta interesante observar que gracias a la cancelación del término

, el error de la aproximación es proporcional al cuadrado de

y no a

. Entonces, reduciendo reducimos el error con mayor rapidez que con las otras aproximaciones.

Como ya se expuso, una aproximación de diferencia de

requiere al menos puntos de datos. Aumentando el número de puntos de datos puede obtenerse una aproximación de diferencia mas exacta.

Como ilustración de lo anterior, deduciremos una aproximación de diferencia para la

primera derivada

utilizando tres puntos de datos , de modo que tenemos un punto mas del mínimo requerido. Las expansiones para

se escriben:

(9).

(10).

Con éstas dos ecuaciones es posible cancelar los términos de la segunda derivada, de modo que el término inicial de los errores de truncado es el término de la derivada de tercer orden. Por otro lado, si se eliminaran los términos de la tercera derivada de las ecuaciones (9) y (10) en lugar de los de la segunda derivada, la aproximación de diferencia obtenida sería menos exacta porque el término del error inicial sería de segundo orden en lugar de ser de tercer orden.

Multiplicado la (9) por 4 y restándole la (10), obtenemos

(11). Resolviendo para :

(12), dónde el término de error está dado por

. La (12) es la aproximación de diferencia hacia adelante de tres puntos. Su error es del mismo orden que el de la aproximación por diferencia central de dos puntos.

Análogamente, la aproximación de diferencia hacia atrás de tres puntos puede deducirse

utilizando

(13), dónde .

Las aproximaciones de diferencia para la segunda derivada se deducen aplicando el mismo principio, el cual consiste en eliminar la primera derivada y el mayor número posible de derivadas de orden dos ó superior.

Como ilustración deduciremos la aproximación de diferencia para

en términos de

. Las expansiones de Taylor de

y están dadas por las ecuaciones (4) y (1) respectivamente. Sumando ambas obtenemos:

ó de forma equivalente

. Entonces si truncamos después del término

y reacomodamos los términos tendremos

(14). La ecuación anterior es la aproximación de diferencia central para

, dónde el error está representado por .

Podemos deducir otra aproximación de diferencia para

en términos de

(el número mínimo de puntos de datos para

es 3). Si multiplicamos por 2 la expansión de Taylor de

y la restamos de , el resultado será:

.

Resolviendo la anterior para la segunda derivada:

(15), en la cual el error está dado por .

La ecuación (15) es la aproximación de diferencia hacia atrás para . El orden de su error de truncado es menor que el de la aproximación de diferencia central, dada por (14). De éste modo la mayor exactitud pertenece a la aproximación de diferencia central.

De forma similar podemos obtener aproximaciones de diferencia para derivadas superiores, pero la deducción se hace cada vez mas laboriosa al aumentar tanto el número de términos como el orden de la derivada.

Sería útil por lo tanto el desarrollo de algoritmos computacionales que permitan hallar automáticamente la aproximación de diferencia para un conjunto dado de datos.

No obstante, seguidamente damos las expresiones de diferencias, cuyo uso es frecuente.

Primera derivada

Aproximaciones de diferencia hacia adelante

Aproximaciones de diferencia hacia atrás

Aproximaciones de diferencia centrales

Segunda derivada

Aproximaciones de diferencias hacia adelante

Aproximaciones de diferencia hacia atrás

Aproximaciones de diferencia centrales

Tercera derivada

Aproximaciones de diferencia hacia adelante

Aproximaciones de diferencia hacia atrás

Aproximaciones de diferencia centrales

APROXIMACION DE DIFERENCIA PARA DERIVADAS PARCIALES

Las fórmulas de aproximación de diferencia para derivadas parciales de funciones multidimensionales son esencialmente iguales a las de diferenciación de funciones unidimensionales.

Consideremos una función bidimensional . La aproximación de diferencia para la derivada parcial con respecto a

, por ejemplo, puede deducirse fijando

en un valor constante

y considerando como una función unidimensional. Por tanto, las aproximaciones de diferencia hacia adelante, central y hacia atrás para éstas derivadas parciales se pueden escribir, respectivamente:

(16).

Las aproximaciones de diferencia central para las segundas derivadas de

en están dadas por:

(17).

DIFERENCIAS FINITAS EN UNA DIMENSION

Supongamos estar frente a un simple problema unidimensional de contorno, esto es,

queremos determinar una función

, la cual satisfaga una ecuación diferencial dada en una región

, junto con condiciones de contorno apropiadas es

y .

Como ejemplo, consideremos el análisis de una barra uniforme (módulo elástico

longitudinal

y área de sección transversal ) como la mostrada en la figura.

La ecuación diferencial que corresponde a la formulación de éste problema es

(18), con las siguientes condiciones de contorno:

Tomamos por simplicidad la función de carga longitudinal (variación lineal).

Para resolver el problema vía diferencias finitas, comenzamos por diferenciar la variable independiente

, esto es, construimos un conjunto (ó grilla ó malla) de

puntos de grilla discretos, igualmente espaciados

sobre el rango (ó dominio)

, dónde .

El siguiente paso es reemplazar los términos de la ecuación diferencial que involucran diferenciación por términos que involucren solo operaciones algebraicas. Este proceso, necesariamente, involucra una aproximación y puede lograrse haciendo uso de aproximaciones de diferencias finitas (deducidas anteriormente por medio de las expansiones de Taylor).

Sustituyendo la aproximación de diferencia central de la segunda derivada en un punto en (18), obtenemos:

(19), dónde

es la carga

en el punto de grilla

y puede pensarse como la carga total aplicada sobre la estación de diferencia finita.

Tomando ahora las condiciones de contorno:

(20)

(21), en la cual hemos tomado las estaciones extremas y la aproximación de diferencia

central para la primera derivada. El punto de grilla en sólo se coloca con el fin de imponer la condición de contorno.

Para la solución por diferencias finitas aplicamos (19) a todas las estaciones y utilizando las condiciones de contorno anteriores, obtenemos:

(22) (los elementos no mostrados de la matriz son nulos). Aquí

y .

De modo matricial podemos escribir (22) de la forma (23), dónde evidentemente:

.

La ecuación (22) es idéntica a la que se hubiera derivado utilizando una serie de n

elementos de resorte, cada uno de rigidez

. Las cargas en los puntos de grilla correspondientes a se obtendrían usando el valor de carga distribuida en el punto de grilla l y multiplicando ese

valor por la longitud de contribución (h para los puntos de grilla internos y para el punto de grilla final).

Tal vez con éste ejemplo no se aprecie la utilidad de las diferencias finitas, pues la naturaleza de la formulación diferencial hace que su resolución analítica sea viable por métodos de uso común. No obstante, lo importante de recalcar y que es conclusión general es que hemos reemplazado un problema de determinación de una función

continua desconocida por un problema de resolución de una ecuación matricial para un conjunto de

valores discretos . Esta es la esencia del método.

Debe recordarse que la solución

sólo aproxima a la solución exacta del problema porque hemos reemplazado derivadas por diferencias.

La solución exacta corresponde a: .

Se deja como ejercicio plantear el problema con números crecientes de puntos de grilla y ver como evoluciona el error comparando los resultados obtenidos con los que se obtienen a partir de la solución exacta.

Es evidente que el error decrece a medida que se aumenta el número de puntos de grilla. Esto es conclusión inmediata de la formulación de las aproximaciones de diferencia por medio de las expansiones de Taylor.

DIFERENCIAS FINITAS EN MAS DE UNA DIMENSION

El problema de aproximación de ecuaciones diferenciales en dos ó más variables independientes es obviamente un poco más comprometido, aunque los principios utilizados son idénticos a los de una dimensión.

Consideremos un problema de torsión elástica de una barra prismática (región rectangular) , regido por la ecuación diferencial siguiente:

(24). Aquí

es el módulo elástico transversal

, dónde es el módulo elástico longitudinal y

es la relación de Poisson;

es el ángulo de torsión de cada sección y

es la función de tensión que satisface la condición en los contornos.

El momento torsor

está dado por y la tensión tangencial en una dirección cualquiera

en la sección se obtiene a partir de .

Para aplicar el método de diferencias finitas en ésta situación, procedemos exactamente de la misma manera que en el caso unidimensional. A tal fin, construimos un conjunto de

puntos de grilla

, igualmente espaciados en el rango

con

, y también un conjunto de puntos de grilla igualmente espaciados

sobre el rango

, con .

La región en la cual se requiere la solución está entonces cubierta por una grilla

rectangular de diferencias finitas, a través del trazado de líneas paralelas al eje

a través de cada punto

; y de la misma forma, trazando paralelas al eje

a través de cada punto .

Un punto típico de grilla está dado entonces por las coordenadas . El método de diferencias finitas es ahora aplicable a la ecuación (24), lo que significa que nuevamente reemplazaremos los términos que involucran ahora derivadas parciales por sus correspondientes aproximaciones de diferencias finitas.

Aplicaremos a la resolución de la siguiente barra prismática, utilizando la grilla que vemos a continuación:

Por condiciones de simetría, la solución necesita ser obtenida sólo para una cuarta parte de la sección, como se muestra en la figura anterior. Utilizaremos una malla de tamaño

. Notamos que el valor de la función de tensión

debe ser proporcional a la constante

, y por simplicidad tomamos .

Utilizando las aproximaciones por diferencia (17), tenemos que, para un punto como el

:

(25).

El uso de las condiciones de simetría requiere que a lo largo del eje

y que similarmente

a lo largo del eje .

Aplicando ésta condición por ejemplo en el punto como el , tenemos que la aproximación de diferencia central de la primera derivada era

(despreciando el término de error). Entonces las condiciones son:

De igual manera se aplican en todos los puntos situados en el contorno de la región , llegándose a condiciones similares en todos los casos.

Planteando ecuaciones de tipo (25) para todos los puntos interiores de la región, tenemos:

Las anteriores, han sido planteadas sistemáticamente, siguiendo solamente la regla de la aproximación de diferencia de la segunda derivada. Aplicando los criterios de simetría, y

las condiciones de contorno sobre los límites , las anteriores se reducen al siguiente conjunto:

Disponiendo las anteriores de forma matricial, con

, tenemos:

(26).

Nuevamente tenemos un sistema del tipo , el que puede resolverse para el vector incógnita por cualquier método adecuado. Resolviendo, entonces se tiene que

como solución del sistema de ecuaciones (26).

Para evaluar el momento torsor, se utiliza la regla trapezoidal en un dominio bidimensional,

obteniéndose

, valor que puede compararse con la solución exacta

. Similarmente, la máxima pendiente está en el punto y una posible aproximación al valor absoluto de la máxima tensión de corte es

, utilizando la aproximación de diferencia hacia atrás para la derivada

. Nuevamente podemos comparar con el valor exacto dado por

(error:). La aproximación obtenida por el uso de la fórmula de diferencia hacia atrás es de menor orden de exactitud que la aproximación utilizada para la formulación principal del

problema. Podemos mejorar nuestra aproximación de utilizando tres valores de la función de tensión sobre la sección central como sigue.

Denotando el punto

,

y , podemos escribir, según la expansión de Taylor:

, dónde D está en la línea AB.

, dónde E está en AC.

De ambas es posible eliminar el término de , obteniendo entonces:

. Utilizando el primer término del lado derecho como aproximación, el error cometido es entonces del mismo orden que el cometido en la aproximación de la ecuación que gobierna el problema.

Insertando adecuadamente los valores, tenemos

(error: ). Obviamente este resultado presenta mayor exactitud que el obtenido con la aproximación de diferencia hacia atrás.

APROXIMACION Y CONVERGENCIA

Las soluciones uni y bidimensionales para ecuaciones diferenciales parciales ordinarias derivadas anteriormente por procedimientos numéricos de diferencias finitas, ilustran las posibilidades de la discretización. El aparentemente inabordable (ó a lo sumo matemáticamente dificultoso) problema de resolución de ecuaciones diferenciales en derivadas parciales ha sido reemplazado por un problema puramente algebraico en el cual debe resolverse un cierto número de ecuaciones simultáneas. Para problemas pequeños es viable una resolución manual, pero es conveniente desarrollar algoritmos computacionales para automatizar las operaciones de cálculo. Lo importante es comprender que existe una posibilidad de solución, aunque ésta involucre una aproximación.

Hemos mostrado ya que el error en las aproximaciones de diferencias finitas decrece incrementando la densidad del mallado. Para aplicar el proceso a una situación en la cual no disponemos de la solución exacta, es necesario estudiar la convergencia del método de acuerdo al refinamiento de la malla, en un intento por estimar la magnitud de los errores ocurridos al producirse una aproximación.

Si, por ejemplo, el error de una aproximación es del orden de

, entonces los resultados de dos soluciones sobre grillas de espaciado

pueden extrapolarse como se detalla a continuación. Digamos que

y

corresponden a las soluciones para las grillas anteriores 1 y 2 respectivamente y que corresponde a la solución exacta en el punto que estamos considerando. De ésta forma, aún cuando no conocemos la magnitud del error, podemos escribir:

, de la cual podemos extraer la solución exacta.

Esta relación se conoce como extrapolación de Richardson, y proporciona un método para mejorar la solución a partir de los resultados obtenidos para dos grillas de distinto tamaño de espaciado. Es aplicable también a casos bidimensionales y tridimensionales.

Bibliografía

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K-J. Bathe; Finite Element Procedures; Prentice Hall; 1996.

J.N. Reddy & M.L. Rasmussen; Análisis Matemático Avanzado; Limusa; 1992.

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