6.- banda finita usando b-splines s

Analisis de placas y lamina 41

66..-- BBAANNDDAA FFIINNIITTAA UUSSAANNDDOO BB--SSPPLLIINNEESS La terminología de la función ‘B-spline’ fue introducida por Schoenberg [9] para referirse a las curvas básicas de esplines, utilizadas para solventar ciertos problemas de adecuación de datos. Inicialmente, los B-splines fueron utilizados en problemas de aproximación como adecuación de superficies, diseño de curvas e interpolación. Recientemente, se han extendido para solventar ecuaciones diferenciales y se han aplicado en el cálculo de placas y láminas. Una buenas referéncias de los B-splines se pueden encontrar en deBoor [10] y Schumaker [11]. 66..11..-- PPRROOPPIIEEDDAADDEESS DDEE LLOOSS BB--SSPPLLIINNEESS Los B-splines tienen dos ventajas útiles en el trabajo numérico. Una ventaja es que son las funciones interpoladoras polinomiales que con más suavidad interpolan un conjunto de datos. Se puede citar, por ejemplo, que el espline cúbico tiene continuidad C2, mientras que las funciones interpoladoras cúbicas de Lagrange o las cúbicas de Hermite tienen solo continuidad C0 y C1, respectivamente. Otra ventaja de los B-splines es que tienen definición local, es decir, cada función B-spline tiene valores distintos de cero en muy pocos intervalos de la malla. Por lo tanto la matriz de rigidez resultante es estrictamente en banda. 66..22..-- DDEEFFIINNIICCIIÓÓNN DDEE LLAASS FFUUNNCCIIOONNEESS BB--SSPPLLIINNEESS Supongamos k un número entero fijo que representa el orden de los esplines, y T como una secuencia bi-infinita de números reales: La función truncadora se define con respecto a las variables arbitrarias Ti como Una aproximación computacional a los B-splines se basa en incrementos diferenciales de la función truncadora. Las funciones B-splines normalizadas )(, yB ki se definen como las diferencias de );( TyGk en T sobre T1,……,Ti+k , para una y fijada, La importancia de los B-splines, particularmente para la aplicación numérica, fue altamente impulsada por el descubrimiento de la relación recursiva (DeBoor [12]) en la cual los B-splines de orden k pueden ser generados a partir de B-splines de orden k-1. Entonces la expresión de la función B-spline Bi,k se define por la expresión recursiva siguiente : (algoritmo de Cox-de Boor)

(6.1)

(6.2)

(6.3)

·············· 21012 ≤≤≤≤≤≤ −− TTTTT

[ ])(

);(,.........)1()( 1

,iki

kkik

ki TTTyGTT

yB−

−=

+

+

TyTyTy

TyTyGk

kk <

≥

−

=−=−

−+ 0

)()();(

11


y donde (Ti,……,Ti+k) son los puntos de control. Entonces si se dan los puntos de control (T0, T1……, Tn, Tn+k) el B-spline normalizado asociado Bi,k se define por la ecuación (6.4) en i=0,1,…..,n. Tal cosa significa que un B-spline de orden k, puede ser expresado por un B-spline de orden k-1, tal y como se había dicho. La expresión de las derivada del B-spline de orden k también puede ser escrito en términos de dos B-splines de orden inferior donde (j) denota el orden de la derivada. El uso de la relación recursiva tiene ciertas ventajas. En primer lugar evita la perdida de precisión en las operaciones numéricas, y en segundo lugar, permite incluir múltiples puntos de control en un punto dado. Este último aspecto es una característica que conviene destacar, ya que será la permitirá el desarrollo de una nueva discretización con esplines no periódicos en la formulación de la banda finita. Las generalidades de esta interpolación con esplines no periódicos se pueden ver en el Anejo II. El espline periódico, B3-spline periódico, es la función cúbica C2 que se muestra en Figura 6.1, por conveniencia se escribe kiki B ,2, −=φ . Los intervalos paramétricos, o puntos de control, T , en los cuales esta definida la base de la función, son iguales a una constante h, este es el motivo por el cual se llaman esplines uniformes o periódicos. El conjunto de puntos de control forma un vector de componentes orden creciente. La función está centrada en Ti y toma el valor cero para y< Ti-2 y y< Ti+2. La porción no nula de la función está compuesta de cuatro polinomiales cúbicas. Un B3-spline periódico (o uniforme) de una secuencia de puntos de control (Ti-2, Ti-1 ,Ti, Ti+1, Ti+2) se expresa Figura 6.1 B3-spline periódico (o uniforme) (fuente [13]).

(6.4a)

(6.4b)

(6.5)

otros

TyTparayB

ii

i

1

1,0

1)(

+≥≥

=

2)()(

)()(

)()(

)( 1,11

1,1

, ≥−−

+−

−= −+

++

+−

−+

kparayBTT

yTyB

TTTy

yB kiiki

kiki

iki

iki

−+

−−−=

++

−−+

−+

−−

)()(

)()(

)()1()(1

)1(1,1

1

)1(1,)(

,iki

jki

iki

jkij

ki TTtB

TTyB

jkkyB L


Las expresiones de la primera y segunda derivada de la función B3-splines, que nos serán necesarias en la formulación de la banda finita son:

La formulación de banda finita usando B3-Splines es análoga a la Banda Finita Clásica. Las etapas a seguir son las mismas que se vieron en el apartado 4.3. Se va a desarrollar su formulación para un caso general, presuponiendo como conocido el desarrollo del método general de la banda finita. Luego se aplicará al análisis de placas rectangulares.

66..33..-- IINNTTEERRPPOOLLAACCIIÓÓNN CCOONN BB33-- SSPPLLIINNEESS EENN BBAANNDDAA FFIINNIITTAA

Se empieza, entonces, con la discretización de los desplazamientos, en este caso se sustituyen las expresiones en sumatorios, que se tenían en banda finita clásica, por su forma equivalente en matrices. Se tiene que recordar que ahora las funciones aproximadoras, en las dos direcciones del elemento de banda, son discretizadas por

(6.7)

(6.8)

(6.6)

≤≤≤

≤≤≤≤≤≤

≤

−−−−+−+

−−−+−+−

=

+

++

+

−

−−

−

+

−+−+

−−−

−

yTTyT

TyTTyTTyT

Ty

yTtTyThyThh

TyTyhTyhhTy

h

i

ii

ii

ii

ii

i

i

ii

iii

i

i

2

21

1

1

12

2

32

31

211

23

31

211

23

32

34,

0)(

)(3)(3)(3)(3)(3)(3

)(0

61φ

≤≤≤

≤≤≤≤≤≤

≤

−−−+−−−

−−−+−

=

+

++

+

−

−−

−

+

++

−−

−

yTTyT

TyTTyTTyT

Ty

yTyTyThh

TyTyhhTy

h

i

ii

ii

ii

ii

i

i

ii

ii

i

i

2

21

1

1

12

2

22

211

2

211

2

22

34,

0)(3

)(9)(63)(9)(63

)(30

61'φ

≤≤≤

≤≤≤≤≤≤

≤

−−++−

−

=

+

++

+

−

−−

−

+

+

−

−

yTTyT

TyTTyTTyT

Ty

yTTyhTyh

Ty

h

i

ii

ii

ii

ii

i

i

i

i

i

i

2

21

1

1

12

2

2

1

1

2

34,

0)(61818618186

)(60

61''φ


funciones polinómicas. Los desplazamientos, ara un elemento de banda de n nodos se escriben:

donde [ ] T

nni aaaaaa 121 ...... −= es el vector que contiene los

desplazamientos para nodo, y a su vez cada ( )liy

lix

lii θθw ,,=a , contiene el conjunto de

amplitudes de los desplazamientos para los distintos puntos de control AL. La matriz [ ]C ,que contiene las funciones de forma, solo depende de la dirección x, y discretiza esta dirección transversal, su expresión es

Finalmente [ ]φ es la matriz de los esplines aproximadores de la dirección longitudinal, solo dependen de la dirección y, de forma análoga a lo que hacían las funciones trigonométricas o hiperbólicas en la formulación clásica. La matriz [ ]φ se escribe como

donde cada [ ]iφ es un vector de m+3 componentes: .

siendo m+1 en número total de puntos de control Tl que se tienen dentro de la dimensión que ocupa la dirección longitudinal. Dos puntos de control virtuales hacen falta fuera de la dimensión longitudinal de la banda. Con ellos se obtienen las 1−φ y

1+mφ que requiere la discretización. Pero las funciones 1−φ y 1+mφ no formaran parte del sistema por estar fuera de la longitud física de la dirección longitudinal. Estos puntos de control, se simplifican al aplicar las condiciones de contorno. Donde las funciones 1−φ y

1+mφ desparecen y las funciones 0φ y 1φ o 1−mφ y mφ cambian según las restricciones que se tengan en los extremos

[ ] [ ] aφCaRa ⋅⋅=⋅= ∑=

lm

l

lyx1

),(

[ ]

=

22

11

0.....0

0.....0

NN

NNC

[ ]

[ ]

[ ]

[ ]

=

n

i

φ

φ

φ

...

...

1

φ

[ ] [ ]101 ... +−= mmi φφφφφ

(6.9)

(6.10)

(6.11)

(6.12)


Figura 6.2 Series de B3-splines periódicos (o uniformes) (fuente [13]). La discretización con B3-splines para una banda de dos nodos se muestra de forma gráfica en la Figura 6.3. Para este caso, y utilizando, por ejemplo, la teoría de Reisner-Mindlin en un elemento de placa (3 GDL) el campo de desplazamientos queda como: Figura 6.3 Banda finita de dos nodos utilizando B3-splines (fuente [14]).

[ ][ ]

[ ][ ]

[ ][ ]

=

2

2

1

1

2

1

6

5

4

3

2

1

33

22

11

0000

0000

0000

),(

y

x

y

x

w

w

NN

NN

NN

yx

θ

θ

θ

θ

φ

φ

φ

φ

φ

φ

a

(6.13)


66..33..11..-- TTrraattaammiieennttoo ddee llaass ccoonnddiicciioonneess ddee ccoonnttoorrnnoo

En la dirección longitudinal de la banda, las funciones B3-splines tienen que

satisfacer las condiciones de contorno geométricas de los extremos transversales (Figura 5.7) Esto se alcanza modificando las funciones B3-spline en los intervalos paramétricos inicial y final.

Por ejemplo, una banda simplemente apoyada en un extremo (en y=y0) puede ser modificada imponiendo la condición que la flecha es cero y que la rotación no lo es:

Luego es obvio que 1−α puede ser escrita en términos de los otros α’s. Si las

longitudes de las tres secciones consecutivas son las mismas, se tiene: Las funciones espline se modifican entonces como

Se puede observar que 1−α ha sido eliminada y las funciones 0φ y 1φ modificadas,

según las condiciones de contorno, a 0~φ y 1

~φ . De la misma forma, para el soporte simplemente apoyado en el otro borde (en y=b) se obtiene

Otras condiciones de contorno pueden ser tratadas de misma forma. La Figura 6.4

muestra las operaciones de cambio que tienen que sufrir las funciones B3-splines en los extremos, en función de las condiciones de contorno en los bordes transversales de la banda.

0)()()( 011000011 =++−− yyy φαφαφα (6.14)

101 4 ααα +−=

[ ] [ ] )()()()(4)(1

2101100 yyyyy i

n

iiφαφφαφφαδ ∑

+

=−− +−+−=

)()(~)(~ 1

21100 yyy i

n

iiφαφαφαδ ∑

+

=

++=

[ ])()(~1111 yy mmmm +−−− −= φφαφ

[ ])(4)(~1 yy mmmm +−= φφαφ

(6.15)

(6.16)

(6.17a)

(6.17b)


Figura 6.4 Series de B3-splines periódicos (o uniformes) (fuente [14]).

Se puede ver que la formulación en B3-splines facilita la introducción de

distintas condiciones de contorno de forma más sencilla y sistemática. Esto es una gran ventaja frente a la necesidad de usar distintas funciones armónicas, para distintas condiciones de contorno, que había en la formulación clásica.

Además, como ya se había comentado, la matriz de rigidez no va a quedar llena

del todo, sino con un ancho de banda limitado. Esto es debido a que las funciones lφ están definidas a trozos en 4 intervalos y nos da dependencia entre los esplines contiguos en los puntos de control longitudinales. En la Figura 6.2 se puede visualizar esta interacción entre los dominios que comprende cada espline.

La matriz de rigidez global no será desacoplada, como lo era el caso

simplemente apoyado en banda finita clásica, pero si será simétrica y con una banda formada por 7 matrices de rigidez elementales. Al resolver las integrales para hallar los coeficientes de la matriz de rigidez de la banda se producirá un acoplamiento limitado de los dominios de estas funciones. Por ejemplo, para m=7 puntos de control en la dirección longitudinal (y) y n=7 nodos en la dirección transversal (x), la matriz de rigidez total va a quedar como

Para un número de puntos de control (m) superior, esta banda es ínfima

comparado con el coste que supondría una matriz llena.

=

77767574

6766656463

575655545352

47464544434241

363534333231

2524232221

14131211

kkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkk

kkkkkkkkkkk

kkkk

K(6.18)


66..44..-- AANNÁÁLLIISSIISS DDEE PPLLAACCAASS RREECCTTAANNGGUULLAARREESS PPOORR EELL MMÉÉTTOODDOO DDEE LLAA BBAANNDDAA FFIINNIITTAA YY EELL UUSSOO DDEE BB33--SSPPLLIINNEESS

En el caso de discretizar con esplines las matrices de deformación resultantes son

las mismas que en la formulación de la banda finita clásica, vista en el apartado 4.3.2. Simplemente se sufre el cambio de la función que aproxima la dirección longitudinal, que se convierte de Sl a lφ . Se tiene que tener en cuenta, para la formulación de la banda finita con la teoría de Reissner-Mindlin (formulación con 3GDL), que los cambios en las funciones B3-spline en el contorno serán las que precise la variable nodal w ,θx o θy, en particular. Es decir, no se tendrán las mismas funciones 0φ y 1φ o 1−mφ y mφ para las tres variables. Para que quede claro, en el caso simplemente apoyado, w y θx precisaran unas funciones 0φ y 1φ o 1−mφ y mφ que se anulen en los extremos (y=0, y=b), en cambio θy tendrá condición de extremo libre, no anulándose en el borde restringido. Esta peculiaridad penaliza la formulación en elementos delgados con la teoría de Reissner-Mindlin, cuando se utilizan B3-splines, pero al mismo tiempo es ideal para la nueva formulación con elementos sin rotación (capítulo 5). En ella solo se tiene la flecha w como variable nodal (1GDL), y por lo tanto, solo se necesita una transformación de las funciones B3-splines en los extremos. Esta única transformación también nos basta cuando se utiliza Kirchhoff. No obstante en este caso tenemos dos variables por nodo (2GDL). 66..44..11..-- OObbtteenncciióónn ddee llaa mmaattrriizz ddee rriiggiiddeezz ddeell ssiisstteemmaa Por lo que se ha expuesto, la mejor apuesta es la aplicación de los B3-splines al nuevo método de la banda finita con elementos sin rotación. Análogamente al proceso desarrollado en el capítulo 5, se obtiene la matriz de deformación (5.33) para la nueva formulación con el uso de esplines, como:

se desarrollan cada uno de sus términos :

se tiene que x

xp ∂

∂=

θχ entonces se puede utilizar el elemento CCB en la

obtención del primer término del vector deformaciones generalizadas como

∂

∂+

∂∂

−

∂

∂−

∂∂

−

==

xy

y

x

yx

y

x

f

θθ

θ

θ

ˆˆ

[ ] [ ] [ ] lm

l

lpl

m

ll

lx

l

m

l

lx

x

xx

xxx

yxwB ⋅⋅−=⋅

∂∂

−=⋅∂∂

−=∂

∂− ∑∑∑

=== 111

)()(

),(φφ

θφθ

θ(6.20)

(6.19)


para el segundo término se aplica la simplificación hecha en el apartado 5.1 por las hipótesis de Kirchhoff .

Finalmente los términos cruzados se completan como donde [ ]lφ son las funciones B3-splines de (6.6), (6.7) y (6.8), l

pB es la matriz de

curvatura de (5.12), lw el vector de desplazamientos nodales del dominio del elemento

le de (5.13) para el armónico l , en cambio liw es la amplitud nodal de la flecha para el

nodo i y el armónico l. Para las expresiones anteriores se ha realizado la sustitución de los movimientos dependientes de x, por la interpolación clásica de elementos finitos de (5.4). Finalmente para simplificar el giro que nos queda en la curvatura en (5.17) se realiza la aproximación según las ecuaciones (5.9) y (5.10):

Para simplificar la expresión de la matriz de deformación resultante se considera

que todos los elementos tienen la misma longitud: e∀ aal ee == )( Entonces se tiene donde y

[ ] [ ] [ ] [ ]

[ ] [ ][ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]

⋅−−∂∂

−+∂∂

−−

⋅−⋅−

−−

=

'22

''2

''2

'

0''''02222

ˆ

φφφφφφ

φφ

φφφφ

aNj

aNi

xNj

aNj

xNi

aNi

NjNiaaaa 2222

lpB

(6.25)

[ ] [ ] [ ]∑∑∑∑= ===

⋅⋅−=⋅∂

∂−=⋅

∂∂

−=∂

∂−

m

l

n

i

liil

lm

l

ll

m

l

ly wxNxwy

yxwyy

yx

1 111

)('')()('')(),(

φφφθ

[ ] [ ] [ ]∑∑∑∑= ===

⋅⋅−=⋅∂

∂−=⋅

∂∂

−=∂

∂−

m

l

n

i

lixil

m

l

lx

ll

m

l

lx

x xNxy

yx

yyyx

1 111)(')(

)()(

),(θφθ

φφθ

θ

[ ] [ ] [ ] li

m

l

ill

m

l

ly

l

m

l

ly wdx

xNx

xxw

xxyx

⋅∂⋅−=⋅

∂

∂−=⋅

∂∂

−=∂

∂− ∑∑∑

=== 111

)(''

)(')(

),(φφ

θφ

θ

(6.21)

(6.22)

(6.23)

li

m

l

lp

ix aBε ∑∑

= =

⋅=1

2

1)(ˆˆ (6.24)

[ ]211 ,,, ++−= iiiili wwwwa (6.26)


como se ha dicho, [ ]φ es la función B3-spline y [ ]'φ y [ ]''φ sus respectivas primera y segunda derivada (6.6), (6.7) y (6.8). Con la matriz (6.24) se sustituye en la expresión de la matriz de rigidez de la banda

Al realizar el producto de las matrices se obtienen los productos cruzados de los

B3-splines y sus derivadas . Se tienen las siguientes integrales: Deben resolverse dichas integrales para encontrar la matriz de rigidez del

sistema. Para las [J], se trata de las funciones de forma lineales del elemento unidimensional de dos nodos. Se hace integración reducida en un solo punto de la

banda, el punto medio, entonces se pueden tomar los valores 21

=iN y ( ))(

1e

ii

axN −

=∂∂

.

Para las integrales [I], con los esplines, cabe destacar, en primer lugar que [ ] [ ]lrlr II 32 ≠ . Entonces, no se tiene simetría en las matrices de rigidez elementales desacopladas, pero si en la de rigidez global.

Estas integrales se pueden resolver de forma analítica o numérica. No obstante,

al ser funciones polinómicas definidas a trozos, la resolución analítica encontrando la expresión en cada intervalo, se presenta más sencilla y directa que la realización de una complicada subrutina para el cálculo de la integración numérica. Esto sucede porque se integra un producto de funciones polinómicas, que cambian en cada intervalo y además, tienen expresiones distintas en los extremos 0φ y 1φ , 1−mφ y mφ .

Se puede observar que las matrices de rigidez elementales para los intervalos

paramétricos de los extremos son las que comportan el máximo coste operacional debido a estos productos de integración de los B3-splines, que son particulares para cada caso.

∫ ∫ ⋅⋅=)( )(

ˆˆ]ˆ[][ )(

e eb

rp

a

Tlp

elrp dxdyBDBK (6.27)

[ ] dxNNJ j

a

i ⋅∂⋅∂= ∫0

1

[ ] dxNNJ j

a

i ⋅⋅= ∫0

2

[ ] dxNNJ j

a

i ⋅∂⋅= ∫0

3

[ ] dxNNJ j

a

i ⋅⋅∂= ∫0

4

[ ] [ ] [ ] dxIr

b

llr ⋅⋅= ∫ φφ0

4

[ ] [ ] [ ] dxIr

b

llr ⋅⋅= ∫ φφ0

3 ''

[ ] [ ] [ ] dxIr

b

llr ⋅⋅= ∫ ''0

5 φφ

[ ] [ ] [ ] dxIr

b

llr ⋅⋅= ∫ ''0

2 φφ

(6.28) (6.29)

[ ] [ ] [ ] dxIr

b

llr ⋅⋅= ∫ ''''0

1 φφ


66..44..22..-- IImmppoossiicciióónn ddee llaass ccoonnddiicciioonneess ddee ccoonnttoorrnnoo Las matrices que se presentan a continuación son análogas a las que se han escrito en el apartado 5.3, para los elementos libres de rotación. Estas condiciones de contorno son las que se dan en los lados o bordes longitudinales de la banda, en el eje y.

La matriz de deformación o de curvaturas que se ha presentado en el apartado anterior (6.24) sirve para elementos de banda interiores, enlazados en sus dos extremos junto a otros elementos, capaces de formar dominios de 3 elementos. En los bordes, en cambio, se tiene que considerar una formulación concreta según las condiciones de contorno que se tiene: bordes libres, simplemente apoyados o empotrados.

66..44..22..11..-- BBordes libres o simplemente apoyados Borde izquierdo libre o simplemente apoyado:

Figura 6.5 Dominio de control con un nodo libre o simplemente apoyado en el borde izquierdo (fuente [8]).

En este caso el giro nodal se modifica para el nodo i, de forma que :

se encuentra la expresión de la matriz de deformación para el extremo izquierdo apoyado o libre como: ( e∀ aal ee == )( )

[ ] [ ] [ ]

[ ] [ ][ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]

−−∂

∂−++

∂∂

−

−−

−−

=

aNj

aNi

xNj

aNj

aNi

xNi

NjNiaaa 222

lp

2'''

2'''0

0''''022

0

ˆ

φφφφφφ

φφ

φφφ

B

eii

i lww

xw −

=

∂∂ +1

eii

i

lix l

wwxw −

=

∂∂

= +1θ

(6.30)

(6.31)

(6.32)


Borde derecho libre o simplemente apoyado:

Figura 6.6 Dominio de control con un nodo libre o simplemente apoyado en el borde derecho (fuente [8]).

En este caso el giro nodal se modifica para el nodo i+1, de forma que:

la matriz de deformación para el extremo derecho apoyado o libre es: ( e∀ aal ee == )( )

66..44..22..22..-- BBordes empotrados

Si los bordes están empotrados las matrices de deformación se dividen en dos para un solo elemento transversal, de forma que: Empotramiento en el borde izquierdo:

[ ] [ ] [ ]

[ ] [ ][ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]

−−∂

∂−+

∂∂

−+

−−

−−

=

0'2

''''2

'

0''''0

022

aNj

aNi

xNj

aNj

xNi

aNi

NjNiaaa 222

lp

φφφφφφ

φφ

φφφ

B

eii

i lww

xw −

=

∂∂ +

+

1

1

eii

i

lxi l

wwxw −

=

∂∂

= +

++

1

11θ

(6.33)

(6.34)

(6.35)


Figura 6.7 Dominio de control con un nodo empotrado en el borde izquierdo

(fuente [8]).

( e∀ aal ee == )( )

Empotramiento en el borde derecho: Figura 6.8 Dominio de control con un nodo empotrado en el borde derecho (fuente [8]).

[ ] [ ] [ ]

[ ] [ ][ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]

−−∂

∂−++

∂∂

−

−−

−−

=

aNj

aNi

xNj

aNj

aNi

xNi

NjNiaaa 222

lp

2'''

2'''0

0''''0

120

1

φφφφφφ

φφ

φφφ

B

lp

Tlpp

a22

2 ˆ2

BDBK ⋅⋅=

lp

Tlpp

a11

1 ˆ2

BDBK ⋅⋅=

[ ] [ ]

[ ] [ ][ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]

−−∂

∂−++

∂∂

−

−−

−+

=

aNj

aNi

xNj

aNj

aNi

xNi

NjNiaa 22

lp

2'''

2'''0

0''''0

0220

2

φφφφφφ

φφ

φφ

B

21pp

lp KKK +=

(6.36)

(6.37)

(6.38)


( e∀ aal ee == )( )

66..44..33..-- OObbtteenncciióónn ddeell vveeccttoorr ddee ffuueerrzzaass nnooddaalleess eeqquuiivvaalleenntteess ddee uunn eelleemmeennttoo ddee bbaannddaa

En el caso de B3-splines el vector fuerzas se calcula utilizando: a) Carga linealmente distribuida a lo largo de la dirección y ,desde y1 a y2 (Figura 6.5):

[ ] [ ] { }

[ ] [ ] [ ] [ ]∫∫∫∫

∫ ∫⋅−−+⋅=

−−+=)(

2

1

)(2

1

)(2

1

011201

1121)(

)())()(()()(

))((ee

e

a Ty

y

Ta Ty

y

T

a

o

y

y

TTe

dxNdyyyqqdxNdyq

dxdyyyqqqNF

φφ

φ

(6.42)

[ ] [ ] [ ]

[ ] [ ][ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]

−−∂

∂−+

∂∂

−+

−−

+−+

=

0'2

''''2

'

0''''0

02

1

aNj

aNi

xNj

aNj

xNi

aNi

NjNiaaa 222

lp

φφφφφφ

φφ

φφφ

B

[ ] [ ]

[ ] [ ][ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]

−−∂

∂−+

∂∂

−+

−−

−+

=

0'2

''''2

'

0''''0

0220

2

aNj

aNi

xNj

aNj

xNi

aNi

NjNiaa 22

lp

φφφφφφ

φφ

φφ

B

lp

Tlpp

a22

2 ˆ2

BDBK ⋅⋅=

lp

Tlpp

a11

1 ˆ2

BDBK ⋅⋅=21pp

lp KKK +=

(6.41)

(6.39)

(6.40)


Figura 6.9 Carga uniformemente distribuida sobre un elemento de banda finita (fuente [14]).

b) Carga concentrada largo en una línea de la dirección y: Se recomienda situar una de las líneas nodales longitudinales en el lugar de

aplicación de la carga. Sino, el efecto de la carga solo puede transferido, de forma aproximada, a sus dos líneas nodales a través de la interpolación polinomica de la función desplazamiento asumida. Para una carga concentrada P, momentos Mx, y My en los puntos y1 , y2 y y3 de la línea nodal i respectivamente (Figura 6.6) El vector de fuerzas aplicadas será:

Figura 6.10 Cargas concentradas en una línea nodal de un elemento de banda finita (fuente [14]).

En el caso de la teoría de banda finita de Reissner-Mindlin, donde tenemos

3GDL, la primera componente del vector corresponde al desplazamiento vertical y las siguientes a los giros. Para la nueva formulación en un grado de libertad los momentos aplicados precisan de las derivadas de la función B3-spline en la dirección y (para My) y de la transformación adecuada, análoga a la aplicada en los elementos sin rotación, para el momento Mx.

[ ] [ ] [ ]

+

+

=

MyyMxy

PyF TTTe

i 00

)(0

0)(

00)( 321

)( φφφ (6.43)

6.- banda finita usando b-splines s

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