digital logic systems מערכות לוגיות ספרתיות
DESCRIPTION
Digital Logic Systems מערכות לוגיות ספרתיות. נושא מס' 2: יצוג מידע בינארי חורף תשס"ט. נושאי השיעור. שיטות ייצוג מספרים, אותיות וקודים בעזרת ספרות בינריות מעבר בין שיטות יצוג שונות כללים לביצוע פעולות אריתמטיות במספרים בינריים. מקורות. M.M. Mano , Digital Design – Chapter 1 - PowerPoint PPT PresentationTRANSCRIPT
05123561 Digital Logic Systems
1. 2 Lecture
Itzik Alfy
Digital Logic Systemsמערכות לוגיות ספרתיות
' מס בינארי: 2נושא מידע יצוג
" ט תשס חורף
נושאי השיעור
שיטות ייצוג מספרים, אותיות וקודים בעזרת •ספרות בינריות
מעבר בין שיטות יצוג שונות•
כללים לביצוע פעולות אריתמטיות •במספרים בינריים
05123561 Digital Logic Systems
2. 2 Lecture
Itzik Alfy
מקורות
05123561 Digital Logic Systems
3. 2 Lecture
Itzik Alfy
• M.M. Mano, Digital Design – Chapter 1
• G. Langholtz, A. Kandel and J.L. Mott, Foundations of Digital Logic Design – Chapter 2
שיטת יצוג עשרונית
05123561 Digital Logic Systems
4. 2 Lecture
Itzik Alfy
105102101104107
5211104100725.74121012
*****
100
1*
10
1****
עצמי ערךFace value
מיקומי ערךPosition value
שיטת יצוג עשרונית
05123561 Digital Logic Systems
5. 2 Lecture
Itzik Alfy
עשרוני מספר של באופן Aערכו מספרות המורכבהבא:
}9,8,7,6,5,4,3,2,1,0{
21011
a
aaaaaa
i
mnn
1
10n
mi
i
aA iיהיה:
: הבא באופן ויסומן A10
7,4,1,2,51025.7413
210
aa i
i
ii
מספרים בבסיסים שונים
05123561 Digital Logic Systems
6. 2 Lecture
Itzik Alfy
מספר של :rבבסיס המורכב Aערכו
}1,...,0{
2111 0
ra
aaaaaa
i
mnn
1n
mi
i
raA iיהיה:
: הבא באופן ויסומן Ar
825.7413
28
i
iia
10לבסיס r המרה מבסיס
05123561 Digital Logic Systems
7. 2 Lecture
Itzik Alfy
מספרות: , rבבסיס Bמספר המורכב: הבא באופן
)1(,...,1,0
21011
r
r
b
bbbbbbB
i
mnn
1
10
n
mi
i
rbC iבבסיס : 10ערכו יהיה
Br
4.51152515250542.4021 10510123
46687
75.26
2652
10
10
10
FB65
11.11010
5134
16
2
8
05123561 Digital Logic Systems
8. 2 Lecture
Itzik Alfy
10לבסיס r המרה מבסיס
:דוגמאות
r לבסיס 10המרה מבסיס
הפרד את המספר לחלק שלם ולשבר•עבור החלק השלם:•
rחלק את המספר ב- –רשום את השארית כספרה המשמעותית הבאה–0 חזור על התהליך עם המנה עד לקבלת מנה –
עבור השבר•rהכפל את המספר ב- –רשום את החלק השלם של התוצאה כספרה הפחות –
משמעותית הבאה חזור על התהליך עם השבר של התוצאה עד לרמת –
0הדיוק המבוקשת או קבלת מנה
05123561 Digital Logic Systems
9. 2 Lecture
Itzik Alfy
2 לבסיס 10המרה מבסיס
41/2 = 20 + (1/2)20/2 = 10 + (0/2)10/2 = 5 + (0/2) 5/2 = 2 + (1/2) 2/2 = 1 + (0/2) 1/2 = 0 + (1/2)
(41)10 =(101001)2
0.513*2 = 1.0260.026*2 = 0.0520.052*2 = 0.1040.104*2 = 0.2080.208*2 = 0.4160.416*2 = 0.8320.832*2 = 1.6640.664*2 = 1.328
(0.513)10 = (0.10000011)2
05123561 Digital Logic Systems
10. 2 Lecture
Itzik Alfy
(41.513)10=(?)2
(41.513)10 =(101001.10000011)2
:דוגמא
16 לבסיס 10המרה מבסיס
15247/16 = 952 + (15/16)952/16 = 59 + (8/16)59/16 = 3 + (11/2) 3/16 = 0 + (3/2)
(15247)10=(3B8F)16
0.65625*16 = 10.50.5 *16 = 8.0
(0.65625)10 = (A8)16
05123561 Digital Logic Systems
11. 2 Lecture
Itzik Alfy
(15247. 65625)10= (?)16
(15247. 65625)10= (3B8F.A8)16
:דוגמא
05123561 Digital Logic Systems
12. 2 Lecture
Itzik Alfy
r לבסיס 10המרה מבסיס
הסבר לטכניקה
r2 לבסיס r1מעבר מבסיס
כך ש: ? C מהוא B,r1,r2בהינתן
10פיתרון: מעבר דרך בסיס
של ?8מהוא היצוג בבסיס
05123561 Digital Logic Systems
13. 2 Lecture
Itzik Alfy
CB rr 21
CA712 16
22517476412712 81016CA
:דוגמא
16,8,2המרה בין בסיסים
ע"י המרה של כל סיפרה 2המרה לבסיס סיביות 4 סיביות לבסיס אוקטלי, 3בנפרד )
לבסיס הקסאדצימאלי(
05123561 Digital Logic Systems
14. 2 Lecture
Itzik Alfy
?712 216A
?2.351 28
2השיטה פועלת גם בכיוון ההפוך )מבסיס (8,16לבסיסים
? 16 ו-8המרה בין בסיסים
05123561 Digital Logic Systems
15. 2 Lecture
Itzik Alfy
16,8,2המרה בין בסיסים
הסבר לטכניקה
יצוג מספרים בבסיסים שונים
DecimalBase 10
BinaryBase 2
OctalBase 8
HexadecimalBase 16
000000010001112001022300113340100445010155601106670111778100010891001119
10101012A11101113B12110014C13110115D14111016E15111117F
05123561 Digital Logic Systems
16. 2 Lecture
Itzik Alfy
פעולות במספרים בינריים
101101100111
+ 101101100111
-
101101
X
05123561 Digital Logic Systems
17. 2 Lecture
Itzik Alfy
:דוגמאות
מינוחים
Nibble=4 bits
Byte = 8 bits
Short Word = 16 bits
bit
MSB?LSB?
LSB?MSB?
little-endian
big-endian
05123561 Digital Logic Systems
18. 2 Lecture
Itzik Alfy
Long Word = 32 bitsDouble Word = 64 bits
Binary numbers
05123561 Digital Logic Systems
19. 2 Lecture
Itzik Alfy
ייצוג מספרים בעלי סימן
הקצאת סיפרה שמאלית ביותר, ליצוג הסימן
0יסומנו בספרה מספרים חיוביים •
05123561 Digital Logic Systems
20. 2 Lecture
Itzik Alfy
bbbbN mnr 1020
1n
mi
i
rbi בבסיס : 10ערכו יהיה
יסומנו בספרה שמאלית מספרים שליליים ויסומנו ב (r-1)בערך של
שיטות יצוג:
.1Sign Magnitude
.2 ( r-1’)s complement1’s Complement )עבור מקרה בינרי(
.3r‘s complement2’s Complement)עבור מקרה בינרי(
05123561 Digital Logic Systems
21. 2 Lecture
Itzik Alfy
ייצוג מספרים בעלי סימן
Nr
Sign Magnitude
05123561 Digital Logic Systems
22. 2 Lecture
Itzik Alfy
ייצוג מספרים בעלי סימן
bbbbN mnr
r
102)1(
bbbbN mnr 1020 עבור המספר החיובי :
המספר השלילי ייוצג באופן הבא:
05123561 Digital Logic Systems
23. 2 Lecture
Itzik Alfy
:דוגמאות
ייצוג מספרים בעלי סימן
SM
N9
SM
N2
Sign Magnitude
347.080210
N
01010112
N
(r-1’)s Complement
05123561 Digital Logic Systems
24. 2 Lecture
Itzik Alfy
ייצוג מספרים בעלי סימן
bbbbbbbN iimnnr
r
11021
bbbbN mnr 1020
עבור המספר החיובי :
המספר השלילי יחושב באחד משני האופנים:
מתקיים:
NrrN r
mn
r
NN rr
05123561 Digital Logic Systems
25. 2 Lecture
Itzik Alfy
:דוגמאות
ייצוג מספרים בעלי סימן
sC
N'9
sC
N'1
(r-1’)s Complement
347.080210
N
01010112
N
r‘s Complement
05123561 Digital Logic Systems
26. 2 Lecture
Itzik Alfy
ייצוג מספרים בעלי סימן
rN m
r
bbbbN mnr 1020
NrN r
n
r
sC(’r-1)יצוג
עבור המספר החיובי :
המספר השלילי יחושב באחד משני האופנים:
מתקיים: NN rr
05123561 Digital Logic Systems
27. 2 Lecture
Itzik Alfy
ייצוג מספרים בעלי סימן
:דוגמאות
sC
N'10
sC
N'2
r‘s Complement
347.080210
N
01010112
N
05123561 Digital Logic Systems
28. 2 Lecture
Itzik Alfy
ייצוג מספרים בעלי סימן
אורך מילה סופי
•Sign extension
-r’sCחיבור וחיסור בחיבור
אוחיסור?
r’sCחשב b-ל
חיסור
חיבור
חבר
סימן מביט מגלישה התעלם
05123561 Digital Logic Systems
29. 2 Lecture
Itzik Alfy
s a b
sign(a)=sign(b) ≠sign(s)?
כן
overflow - ל המשלים בשיטת מתקבלת rהתוצאה
s
דוגמאות
+6 0000 0110+13 0000 1101+19 0001 0011
-6+13 0000 1101 +7
+6 0000 0110 -13 -7
-6 -13 -19
05123561 Digital Logic Systems
30. 2 Lecture
Itzik Alfy
-sC’2חיבור וחיסור ב
חיבוראו
חיסור?
חיסור
חיבור
חבר
? סימן מביט גלישה כןלתוצאה 1הוסף
05123561 Digital Logic Systems
31. 2 Lecture
Itzik Alfy
-sC(’r-1)חיבור וחיסור ב
s a b
sign(a)=sign(b) ≠sign(s)?
כן
overflow - ל המשלים בשיטת מתקבלת r-1התוצאה
s
(r-1)’sCחשב b-ל
דוגמאות
+6 0000 0110+13 0000 1101+19 0001 0011
-6+13 0000 1101 +7
+6 0000 0110 -13 -7
-6 -13 -19
05123561 Digital Logic Systems
32. 2 Lecture
Itzik Alfy
-sC’1חיבור וחיסור ב
אורך מילה סופי
Fixed Point
05123561 Digital Logic Systems
33. 2 Lecture
Itzik Alfy
IF
S – Sign bitI – Bits devoted to the integer partF – Bits devoted to the fractional part
ISO/IEC TR 18037:2004 - fixed-point data types for C programming language
S
אורך מילה סופי
Floating Point
05123561 Digital Logic Systems
34. 2 Lecture
Itzik Alfy
IEEE 754-1985 - The IEEE Standard for Binary Floating-Point Arithmetic
אורך מילה סופי
05123561 Digital Logic Systems
35. 2 Lecture
Itzik Alfy
S " י ע מיוצג הסימן 0או 1ביט
Exponent- ב בטווח sC’2מיוצג חזקות לייצג ניתן עד 128^-2ולכן
מוסיפים. 127^2 החזקה .127לערך
Mantisaלפי ייצוג
אז ורק כזו לצורה יתורגם שונה שלו שהמנטיסה מספר כלה --exponentמחושב ב. מתחילים המספרים שכל לא 1כיון
. ביצוג אותו רושמים
).1(2
xxxx
Floating Point
אורך מילה סופי
05123561 Digital Logic Systems
36. 2 Lecture
Itzik Alfy
: שמורים צירופים
Floating Point
אורך מילה סופי
05123561 Digital Logic Systems
37. 2 Lecture
Itzik Alfy
דוגמא
(10000111)E01100...00M0S x
6127121-E
25.1)01.1(2M
80*25.1 26 x
Floating Point
קודים דצימאליים
05123561 Digital Logic Systems
38. 2 Lecture
Itzik Alfy
עשרונית ספרה כל דצימאלי בקודבאורך בינארי בקוד בנפרד מוצפנת
4
01010111.0010001175.3210 BCD
Binary Coded Decimal - BCD
BCDקוד
05123561 Digital Logic Systems
39. 2 Lecture
Itzik Alfy
קודים דצימאליים
קודים דצימאליים
05123561 Digital Logic Systems
40. 2 Lecture
Itzik Alfy
" הוספת י ע מקודדת ספרה כל.BCDליצוג שלה
משלים " Excess 3קוד הינוהקוד" מילת כלומר עצמי
בבסיס 0החלפת ) 2המשלימה-1ב- -1ו את( 0ב מקודדת
בבסיס המשלימה 10הספרה- ל) (.9השלמה
Excess 3קוד
00113210
Grayקוד
05123561 Digital Logic Systems
41. 2 Lecture
Itzik Alfy
DecimalValue
0123456789
101112131415
GrayCode
0000000100110010011001110101010011001101111111101010101110011000
בצופן מספר שונהכלאחת המספר בסיבית מן
שאחריו והמספר שלפניו
Grayתכונות של קוד
צופן לא משקלי )לא מתאים לפעולות אריתמטיות(•
צופן ציקלי )מרחק של סיבית אחת מתקיימת באופן •ציקלי(
(reflected)צופן בינארי משוקף •
אינו יחיד !•
05123561 Digital Logic Systems
42. 2 Lecture
Itzik Alfy
2 באורך Grayקוד
05123561 Digital Logic Systems
43. 2 Lecture
Itzik Alfy
3 באורך Grayקוד
05123561 Digital Logic Systems
44. 2 Lecture
Itzik Alfy
(a)(b)(c) Grayקוד
2באורך
(d)(e) Grayקוד
3באורך
יצוג עשרוני
יצוג בינארי
000 00 00 0 00 0 0 0
111 01 01 0 011 0 0
תוספתשיקוף
11 11 11 1 020 1 0
00 10 10 1 031 1 0
תוספתשיקוף
0 10 1 140 0 1
1 11 1 151 0 1
1 01 0 160 1 1
0 00 0 171 1 1
05123561 Digital Logic Systems
45. 2 Lecture
Itzik Alfy
Grayמעבר מיצוג בינארי לקוד
המבוקש ובקוד Grayנסמן את הספרות בקוד 1.הבינארי הנתון
וביצוג הבינארי. Grayהסיבית השמאלית ביותר שווה בקוד2.
את יתר הסיביות משחזרים בצורה איטרטיבית משמאל לימין:3.-אם הסיבית במקום הiשווה לסיבית שלשמאלה אז , :אחרת
1101 1101 1101 1101יצוג בינארי קוד Gray 1011 101 10 1
:דוגמא
gb ii,
0bi
1bi
bibi 1
05123561 Digital Logic Systems
46. 2 Lecture
Itzik Alfy
בינארי לGrayמעבר מקוד יצוג
הנתון ובקוד הבינארי Grayנסמן את הספרות בקוד 1.המבוקש
וביצוג הבינארי. Grayהסיבית השמאלית ביותר שווה בקוד2.
את יתר הסיביות משחזרים בצורה איטרטיבית משמאל לימין:3.-משמאל לסיבית במקום ה-1אם מספר ה i :זוגי אזי :אחרת
1011 1011 1011 1011יצוג גריי 1 11 110 1101יצוג בינארי
gb ii,
gb ii
'gb ii
:דוגמא
•ASCII
- 7 bit
- ביט שמיני יכול לשמש עבור גילוי שגיאות
05123561 Digital Logic Systems
47. 2 Lecture
Itzik Alfy
Alphanumeric codes
יצוג אותיות, ספרות ותווי בקרה•
•ASCII ,ASCII-8
•EBCDIC )8 bit(
05123561 Digital Logic Systems
48. 2 Lecture
Itzik Alfy
7-ASCII
b6b5b4
b3b2b1b0
000001010011100101110111
0000NULLDLESP0@P`p0001SOHDC1!1AQaq0010STXDC2“2BRbr0011ETXDC3#3CSCs0100EOTDC4$4DTdt0101ENQNAK%5EUeu0110ACKSYN&6FVfv0111BELETB‘7GWgw1000BSCAN(8HXhx1001HTEM)9IYiy1010LFSUB*:JZjz1011VTESC+;K[k{1100FFFS'<L\l|1101CRGS-=M]m}1110SORS.>N^n~1111SIUS/?O_o
קודים לגילוי שגיאות
05123561 Digital Logic Systems
49. 2 Lecture
Itzik Alfy
מקור ביטים
משדר + מקלט
רעש
טיפול בשגיאות
ai
ECC – Error Correcting Codes: Viterbi, Reed–Salomon, Turbo
Error Detecting Codes – Checksum, Parity Checking
לגילוי שגיאות(parity)קוד זוגיות
סיבית זוגיות מתווספת לקבוצת סיביות על •מנת לאפשר גילוי שגיאות:
Even Parityאפשרות א': –" במילה שיהיה זוגי1השלמה לסך כמות ה-"
10101100 -< 0101100
Odd Parityאפשרות ב': -" במילה שיהיה אי-זוגי1השלמה לסך כמות ה-"
00101100 -< 0101100
05123561 Digital Logic Systems
50. 2 Lecture
Itzik Alfy
100 )1 ( 0101אינטרפטציות לצרוף בינארי
05123561 Digital Logic Systems
51. 2 Lecture
Itzik Alfy
95225149)01011001(168102
21)01011001(10
SM Sign magnitude representation
106)01011001(10'1
sC 1’s complement representation
107)01011001(10'2
sC
2’s complement representation
95)01011001(10
BCD
Unsigned binary
BCD representation
NACKASCII
)01011001( ASCII code with Even parity