DINAMIČKE IGRE S POTPUNOM

INFORMACIJOM

Savršena Nash-ova ravnoteža podigre

(20.4. i 27.4.2017.)

Doc. dr. sc. Tunjo Perić

20.4.2017 1

Uvod u stablo odlučivanja

• Stablo odlučivanja predstavljeno je skupom čvorova i grana.

Čvorovi predstavljaju ili točke odlučivanja ili rezultate, dok

grane predstavljaju raspoložive odluke.

• Na slici 1 igrač 1 ima dva moguća izbora: lijevo (L) ili desno

(R). Inicijalni čvor je označen s 1 pokazujući da se radi o točki

odlučivanja igrača 1, a dvije grane L i R označavaju opcije

igrača 1.

L R

L R

Slika 1. Stablo odlučivanja jednog igrača

1

20.4.2017 2

• Čvorovi na dnu stabla nazivaju se terminalnim čvorovima, a

predstavljaju isplate igraču 1 ovisno o odabranoj opciji.

• Ravnoteža u ovoj igri je izbor one opcije koja donosi veću isplatu.

• Na sličan način u obliku stabla odlučivanja možemo predstaviti

sekvencijalnu igru dva igrača.

• Razmotrimo investicijsku igru odlučivanja. Svako od dva

poduzeća bira hoće li ili neće investirati. Investiranje omogućava

ulazak na tržište. Pretpostavimo da poduzeće 1 prvo odlučuje, a

potom poduzeće 2 promatra što je poduzeće 1 poduzelo i donosi

svoju odluku. Stablo odlučivanja prikazano je na slici 2, gdje su

grane odlučivanja označene s E (ući na tržište – investirati)

odnosno S (ne ulaziti na tržište – ne investirati). Na dnu stabla

prikazani su rezultati za različite kombinacije strategija: profit ,

gubitak (-G) ili nula profit (0). Po konvenciji prvo je prikazana

isplata prvom igraču, a potom isplata drugom igraču.

• Za nalaženje ravnoteže ove igre u ekstenzivnom obliku koristi se

tehnika povratne (inverzne) indukcije.

(P)

20.4.2017 3

• Tehnika povratne indukcije uključuje: (1) istraživanje posljednje

točke odlučivanja u igri, (2) eliminiranje akcija koje ne bi bile

igrane, (3) brisanje tih eliminiranih akcija, (4) ponovno crtanje

stabla odlučivanja i (5) ponavljanje tog procesa.

1

E S

2 2

E E SS

-G, -G 0, 0P,0 0,P

Slika 2. Sekvencijalna igra

20.4.2017 4

• Igru na slici 2 možemo riješiti povratnom indukcijom.

Pretpostavimo da su oba igrača racionalna i da oba igrača znaju

da su oba igrača racionalna. Poduzeće 1 (gledajući unaprijed i

anticipirajući racionalne izbore igrača 2) zarađuje pozitivni profit

ako investira, a profit jednak 0 ako ne investira. Dakle, ravnoteža

je postignuta kad poduzeće 1 investira i zaradi profit P, a poduzeće

2 ne investira i zaradi profit 0.

Informacijski skupovi

• U prethodnom primjeru poduzeće 2 zna prije donošenja odluke

koji je izbor poduzeća 1. Ali što ako poduzeće 2 ne zna tu odluku

unaprijed? Takav je slučaj kod simultanih igara. Da bismo nacrtali

stablo igre za simultanu igru odlučivanja, potreban nam je koncept

informacijskog skupa.

20.4.2017 5

• Definicija: Informacijski skupovi

Informacijski skup je skup čvorova odlučivanja za igrača gdje (na

koraku koji odgovara tim čvorovima) na svakom čvoru u skupu

igrač ima iste grane odlučivanja, ali igrač ne zna koji čvor jest

a koji nije postignut u igri. Igre u kojima su svi informacijski

skupovi jedinstveni (imaju jedinstvene čvorove), nazivaju se

igrama sa savršenom informacijom. Igre u kojima neki

informacijski skupovi nisu jedinstveni nazivaju se igrama s

nesavršenom informacijom.

• Slika 3 prikazuje verziju simultane igre. To je statička igra s

nesavršenom informacijom predstavljena u ekstenzivnom obliku.

Isprekidana linija ukazuje na informacijski skup poduzeća 2. Dakle,

isprekidana linija ukazuje da poduzeće 2 zna da je ono na čvoru

gdje treba odlučiti između E i S, ali ne zna je li poduzeće 1 izabralo

E ili S.

20.4.2017 6

• Statičke simultane igre mogu se predstavljati na različite načine.

Na primjer možemo igrača 2 predstaviti kao onog koji prvi donosi

odluku, a igrač 1 ima informacijski skup.

1

E S

2 2

E E SS

-G, -G 0, 0P,0 0,P

Slika 3. Simultana investicijska igra

20.4.2017 7

Nesigurnost i potezi od strane prirode

• Pretpostavimo sada da u našem primjeru postoji nesigurnost

potencijalne potrošnje. Radi jednostavnosti neka budu dvije tržišne

veličine: velika (L) i srednja (M). Pretpostavimo da u velikom

tržištu oba poduzeća mogu investirati i zaraditi pozitivne profite,

dok u tržištu srednje veličine samo jedno poduzeće može

zarađivati profite. Neka je q vjerojatnost da je tržište veliko, 1- q

vjerojatnost da je tržište srednje veličine.

• Slike 4, 5, 6 i 7 prikazuju četiri moguće verzije ove igre: prve

dvije su sekvencijalne, a zadnje dvije su simultane. U sve četiri

slike koristimo pojednostavljenu notaciju upotrebljavajući znak

plus za pozitivne profite a znak minus za negativne profite.

20.4.2017 8

Slika 4. Slučajna (poznata) potražnja

N

q 1 - q

L M

1 1

E S E

E E E E

S

SS S S

2 2 2 2

+, + +, 0 0, + 0, 0 -, - +, 0 0, + 0, 0

Na slici 4 prikazana je igra

na kojoj su svi informacijski

skupovi jedinstveni

(jedinstveni čvorovi).

Dakle, u ovoj igri (1) priroda (N) na slučajan način određuje veličinu tržišta, (2)

poduzeća promatraju tržište (L ili M), (3) poduzeće 1 bira E ili S, i (4) poduzeće 2

promatra ovu odluku i potom bira E ili S.20.4.2017 9

Slika 5. Slučajna (nepoznata) potražnja

N

q 1 - q

L M

1 1

E S E

E E E E

S

SS S S

2 2 2 2

+, + +, 0 0, + 0, 0 -, - +, 0 0, + 0, 0

Na slici 5 prikazana je igra

u kojoj poduzeća imaju

sekvencijalne izbore, ali

istovremeno biraju

ignorirajući stvarnu veličinu

tržišta.

U ovom slučaju prikazano je da su oba čvora poduzeća 1 u jednom informacijskom

skupu, dok poduzeće 2 ima dva informacijska skupa. Poduzeće 2 ima jedan

informacijski skup gdje ono promatra je li poduzeće 1 odabralo E, a drugi

informacijski skup gdje ono promatra je li poduzeće 2 odabralo S, ali ponovo ne

zna veličinu tržišta.20.4.2017 10

Slika 6. Simultani potezi i poznata potražnja

N

q 1 - q

L M

1 1

E S E

E E E E

S

SS S S

2 2 2 2

+, + +, 0 0, + 0, 0 -, - +, 0 0, + 0, 0

Na slici 6 prikazana

simultana igra u kojoj oba

poduzeća poznaju veličinu

tržišta

20.4.2017 11

Slika 7. Simultani koraci i nepoznata potražnja

N

q 1 - q

L M

1 1

E S E

E E E E

S

SS S S

2 2 2 2

+, + +, 0 0, + 0, 0 -, - +, 0 0, + 0, 0

Slika 7 prikazuje

simultanu igru u kojoj

je priroda (veličina

tržišta) nepoznata.

20.4.2017 12

Ravnoteža u igrama u ekstenzivnom obliku

• Kao i statičke igre, i dinamičke igre imaju Nash-ovu ravnotežu, ali

ovaj koncept ne možemo koristiti u rješavanju dinamičkih igara jer

je nedovoljno jak.

• Da bismo razdvojili razumljive naspram nerazumljivih Nash-ovih

ravnoteža, potrebno je uvesti pojam podigre i definirati strategiju

u igri izraženoj u ekstenzivnom obliku. Nakon toga ćemo moći

izraziti ravnotežu u dinamičkim igrama.

Podigre

• Podigra je igra unutar igre.

• Definicija: Podigra je dio igre koja (a) počinje na čvoru (koji nije

terminalni) koji je jedinstveni informacijski skup, (b) sadrži sve

čvorove i grane originalne igre koja slijedi početni čvor podigre, i

(c) ne siječe niti jedan informacijski skup originalne igre (označen

isprekidanom linijom).

• Ovaj koncept možemo primijeniti na naše primjere. 20.4.2017 13

• Prema našoj definiciji sve igre imaju najmanje jednu podigru –

samu igru. Izračunajmo broj podigara (različitih od same igre) u

našim primjerima. Na slici 4 postoji 6 podigara: po jedna na

svakom jedinstvenom čvoru poduzeća 1 i po jedna za svaki

jedinstveni čvor poduzeća 2. Slika 6 ima dvije podigre (po jedna

za svaki jedinstveni čvor odlučivanja poduzeća 1), dok slike 5 i 7

nemaju podigara, pošto ne sadrže jedinstvene čvorove.

• Da bismo ilustrirali značenje zahtjeva (c) u definiciji podigre,

razmotrimo finalnu verziju igre investiranja. Pretpostavimo da

poduzeće 1 promatra veličinu tržišta, dok poduzeće 2 niti zna

veličinu tržišta niti odluku poduzeća 1. Ova igra je prikazana na

slici 8. Poduzeće 1 ima jedinstvene informacijske skupove, ali ne

postoje podigre pošto bi svaki pokušaj formiranja informacijskih

skupova doveo do presijecanja informacijskog skupa poduzeća 2.

20.4.2017 14

Slika 8. Nesavršena informacija za poduzeće 1 (2)

N

q 1 - q

L M

1 1

E S E

E E E E

S

SS S S

2 2 2 2

+, + +, 0 0, + 0, 0 -, - +, 0 0, + 0, 0

20.4.2017 15

Strategije

• U simultanim igrama strategija je jednostavno akcija. Na primjer u

igri Cournot-ovog duopola strategija poduzeća je njegov izbor

razine proizvodnje. U dinamičkim igrama, međutim, igrači

pored akcije imaju i reakciju. Osim toga, oni moraju imati

planove kako će reagirati u svim situacijama koje se mogu

pojaviti u igri. Pri definiranju strategije za igre u ekstenzivnom

obliku sve te činjenice treba imati u vidu.

• Definicija: Strategija u igri izraženoj u ekstenzivnom obliku je

sveobuhvatni plan koji određuje skup akcija koje će igrač poduzeti

na svim mogućim čvorovima odlučivanja u stablu igre. Takav plan

može biti ovisan o povijesti igre i može uključivati mješovite

strategije.

• Da bismo ilustrirali koncept strategije u igri izraženoj u

ekstenzivnom obliku, razmotrimo jednu drugu igru investiranja

(ulaza na tržište).

20.4.2017 16

• Pretpostavimo da je poduzeće 1 već na tržištu, a da poduzeće 2

treba odlučiti hoće li ili neće ući na tržište (investirati ili ne),

izabrati između E ili S. Pretpostavimo da, slijedeći odluku E

poduzeća 2, poduzeće 1 može birati između dvije strategije cijene:

visoka H i niska L. Poduzeća potom ostvaruju profite, koji će biti

pozitivni s visokim cijenama, a negativni s niskim cijenama

(poduzeće 2 ostvaruje 0 ako ne ulazi na tržište). Stablo odlučivanja

prikazano je na slici 9. Budući da numeričke vrijednosti isplata ne

utječu na našu analizu, terminalni čvorovi daju samo znak profita

poduzeća 1 i poduzeća 2.

20.4.2017 17

2

1 1

E S

H L H L

+, + -, - +, 0 -, 0Slika 9. Odluka o ulazu koja slijedi cjenovnu odluku poduzeća 1

Poduzeće 2 ima jedan čvor odlučivanja i dvije moguće akcije. Njegovi

strategijski izbori su E i S. Poduzeće 1 također ima dvije moguće akcije.

Ali, pošto poduzeće 1 ima 2 čvora odlučivanja, ono ima 4 (dva čvora

puta dvije akcije) moguće strategije. Strategija specificira akciju za svaku

moguću pojavu. U našem slučaju strategija za poduzeće 1 je par akcija:

prvi element određuje akciju ako poduzeće 2 ulazi na tržište , a drugi

element određuje akciju ako poduzeće 2 ne ulazi na tržište. Skup

mogućih strategija za poduzeće 1 je: S1 = {(H, H), (H, L), (L, H), (L, L)}20.4.2017 18

• Prvi element u svakom paru označava izbor poduzeća 1 ako

poduzeće 2 ulazi na tržište, a drugi broj označava izbor poduzeća 1

ako poduzeće 2 ne ulazi na tržište.

Savršena Nash-ova ravnoteža podigre (Subgame-Perfect Nash

Equilibria)

• Definicija Nash-ove ravnoteže za dinamičke igre je ista kao i za

statičke igre: Nash-ova ravnoteža je skup strategija takvih da niti

jedan igrač nema poticaja prebaciti se na drugu strategiju (svaki

igrač ostvaruje maksimum s odabranim akcijama uz dane tržišne

uvjete).

• Da bismo našli Nash-ovu ravnotežu, prikažimo ovu igru u

normalnom obliku. Neka znak ‘+’ prikazuje pozitivnu isplatu, a

znak ‘-’ negativnu isplatu, matrica koja prikazuje isplate kao

funkciju strategijskih odabira je

20.4.2017 19

gdje je podcrtan svaki najbolji odgovor poduzeća 1 i 2 prema

strategijama poduzeća 2 i 1. Dvaput podcrtani najbolji odgovori

prikazuju Nash-ovu ravnotežu. Dobili smo 3 Nash-ove ravnoteže:

, ,0

, ,0

, ,0

, ,0

Poduzeće 2

E S

Poduzeće 1

H, H

H, L

L, H

L, L

Poduzeće 1 Poduzeće 2

E1: (H,H) E

E2: (H,L) E

E3: (L,H) S

20.4.2017 20

• Premda postoje 3 Nash-ove ravnoteže u ovoj igri, dvije su

problematične. Istražimo sliku 9 i podigre E2 i E3, koje započinju

na jedinstvenom čvoru odlučivanja poduzeća 1. Na lijevom čvoru,

gdje poduzeće 2 ulazi na tržište jasno je da je H najbolja akcija

podigre za poduzeće 1. Isto je točno za podigru gdje poduzeće 2 ne

ulazi na tržište. Akcija H je dominantna za svaku od podigara, ipak

dvije Nash-ove ravnoteže stavljaju akciju L za barem jednu

podigru.

• Problem sa E2 i E3 je da te Nash-ove ravnoteže uključuju

potencijalno igranje dominiranih akcija niske cijene, koje nikad

neće biti igrane. One su još Nash-ova ravnoteža, ali su te akcije

nevjerodostojne: ako iz bilo kojeg razloga poduzeće 2 odstupi od

njegove ravnotežne strategije, za poduzeće 1 neće biti racionalno

odabrati akcije koje nisu ravnotežne jer se to kosi s racionalnošću

igrača 1 (igrač 2 vjeruje da je igrač 1 racionalan i obrnuto).

20.4.2017 21

• Sada ćemo redefinirati koncept Nash-ove ravnoteže na način da se

može primijeniti na igre u ekstenzivnom obliku. Pri tome

zahtijevamo da sve strategije budu vjerodostojne u smislu da

akcije trebaju biti optimalne u svim podigrama, na i izvan

ravnotežnog puta.

• Definicija: Skup strategija u igri u ekstenzivnom obliku je

savršena Nash-ova ravnoteža podigre ako i samo ako akcije

utvrđene tim strategijama čine Nash-ovu ravnotežu u svim

podigrama te igre.

• Dakle, baš kao što koristimo koncept Nash-ove ravnoteže za

statičke igre, mi koristimo koncept savršene Nash-ove ravnoteže

podigre za dinamičke igre.

• Treba naglasiti da su koncepti savršene Nashove ravnoteže podigre

i metoda povratne indukcije isti u igrama sa savršenom

informacijom. Bilo koja Nash-ova ravnoteža podigre preživljava

argumentaciju povratne indukcije, a bilo koja ravnoteža nađena

povratnom indukcijom je također savršena Nashova r. p. 20.4.2017 22

• Međutim, savršenost podigre je općenitiji koncept: može se

koristiti čak u igrama s nesavršenom informacijom gdje se

argumentacija povratne indukcije ne može koristiti.

Savršena Nash-ova ravnoteža podigre: primjer

• Do sada smo istraživali igre s diskretnim akcijama i strategijskim

prostorima. Sada ćemo sa vratiti na primjer igre dva igrača s

kontinuiranim varijablama izbora. Struktura naše igre je

jednostavna: (1) igrač 1 bira akciju x1, (2) igrač 2 promatra izbor

igrača 1 i potom bira akciju x2, i (3) igrači primaju isplate

definirane funkcijama i .

• Da bi riješili ovu igru počinjemo s podigrom u kojoj igrač 2 bira x2.

Uvjet prvog reda za igrača 2 je

Ova jednadžba implicitno definira optimalnu strategiju igrača 2.

Optimalna strategija je pravilo koje određuje x2 kao funkciju od x1.

1 1 2( , )x x 2 1 2( , )x x

2 1 2

2

( , )0.

x x

x

20.4.2017 23

• Napišimo najbolji odgovor igrača 2 na x1 kao

• Sada kad imamo strategiju igrača 2 u podigri, vraćamo se odluci

igrača 1. Pod pretpostavkom zajedničke racionalnosti, tako da igrač

1 anticipira racionalnu odluku igrača 2, možemo napisati isplatu

igrača 1 kao funkciju od x1 i od x2*:

• Izbor najbolje strategije igrača 1 nalazi se totalnom derivacijom

funkcije isplata s obzirom na x1. Uvjet prvog reda je

Ova jednadžba sadrži kako direktne tako i indirektne efekte.

Indirektni je efekt onaj koji se javlja pošto promjene u x1

mijenjaju izbor od x2, što pak mijenja . Strategijski efekt je

razlika između ravnoteže statičke igre u kojoj su izbori igrača

simultani i ravnoteže dinamičke igre sa sekvencijalnim izborima.

*

2 2 1( ).x R x

1 1 1 2 1( , ( )).x R x

1 1 2 1 1 1 2

1 1 2 1

( , ( ))0.

d x R x R

dx x x x

1

20.4.2017 24

• Numerički primjer: Pretpostavimo da su funkcije isplata igrača 1

i 2 dane s

• Funkcije najboljeg odgovora u statičkoj igri su

• Statička Nash-ova ravnoteža je nađena simultanim rješavanjem

funkcija najboljeg odgovora. Ravnotežne akcije i isplate su

• Razmotrimo sada dinamičku igru gdje igrač 1 prvi povlači potez.

Jednadžba (1) daje strategijsko pravilo igrača 2, to jest x2 je

funkcija od x1. Da bismo našli ravnotežu, supstituirajmo ovo

rješenje u funkciju isplate igrača 1. Dobivamo

2

1 1 1 1 27x x x x

2

2 2 2 1 28 .x x x x

1 1 2 2

1( ) (7 ),

2x R x x 2 2 1 1

1( ) (8 ).

2x R x x

*

1 2,x 1 4,

*

2 3,x 2 9.

(1)

2 2

1 1 2 1 1 1 1 1 1 1

1 1( , ( )) 7 (8 ) 3 .

2 2x R x x x x x x x

20.4.2017 25

• Uvjet prvog reda za igrača 1 je

• Rješavanjem ove jednadžbe, supstituiranjem u funkciju najboljeg

odgovora igrača 2, i potom supstituiranjem tih rješenja u funkcije

isplata, dobivamo rješenje dinamičke igre:

• Ako usporedimo rješenje dinamičke igre s rješenjem statičke igre,

vidimo da postoji prednost prvog poteza igrača 1. Igrač 1 zarađuje

veću isplatu, a igrač 2 manju isplatu u sekvencijalnoj igri. Pravilo

je da igrač 1 ne može dobiti nikad gore u dinamičkoj igri nego u

statičkoj igri, pošto igrač 1 uvijek ima opciju igrati Nash-ovu

ravnotežu statičke igre.

1 1 2 11

1

( , ( ))3 0.

d x R xx

dx

*

1 3,x 1 4.5, *

2 2.5,x 2 6.25.

20.4.2017 26

Dvoetapne igre

• To su igre u kojima jedna igra slijedi drugu. U mnogim

ekonomskim aplikacijama prva igra uspostavlja uvjete ili definira

okolinu u kojoj će se druga igra igrati. Na primjer u prvoj etapi

poduzeća mogu birati kvalitetu proizvoda (ili proizvodne

kapacitete) a u drugoj etapi bi poduzeća birala cijene. Prva etapa

determinira profitne posljedice druge etape u kojoj se donose

odluke o cijenama. Dvoetapne igre se također pojavljuju u teoriji

međunarodne trgovine. U prvoj etapi vlade biraju trgovinske

politike za drugu etapu u kojoj poduzeća odlučuju o uvozu i

izvozu.

• Ovdje će se analiza usmjeriti na igre koje su simultane unutar etapa

a sekvencijalne kroz etape. Također pretpostavljamo kontinuirane

(nasuprot diskretnih) akcijske prostore. U prvoj etapi igrači 1 i 2

simultano biraju akcije x1 i x2. Igrači 3 i 4 promatraju te akcije, a

potom u drugoj etapi simultano biraju njihove akcije x3 i x4.

20.4.2017 27

• Savršenstvo podigre zahtijeva da ravnoteža u igri uključi Nash-ovu

ravnotežu druge etape podigre. Ta podigra druge etape uzima x1 i

x2 kao dane. Prema tome, igrači 3 i 4 biraju njihove akcije x3 i x4 s

ciljem maksimizacije njihovih funkcija isplata, koje su

i

• Uvjeti prvog reda za te igrače su

i

• Simultanim rješavanjem tih uvjeta prvog reda dobivamo ravnotežu

druge etape kao funkcije koje ovise o akcijama prve etape. Ta se

rješenja mogu napisati kao

i

• Sada se vraćamo na prvu etapu. Igrači 1 i 2 anticipiraju da

ravnoteža u drugoj etapi ovisi o izborima u prvoj etapi.

3 3 1 2 3 4( , , , )x x x x 4 4 1 2 3 4( , , , ).x x x x

3

3

0x

4

4

0.x

*

3 3 1 2( , )x R x x *

4 4 1 2( , ).x R x x

20.4.2017 28

• Isplate za igrače 1 i 2 su

• Uvjeti prvog reda za svakog od tih igrača uključuju funkciju isplata

3 puta – jednom direktno i dvaput indirektno. Uvjeti prvog reda su

• Ravnoteža prve etape je par strategija koji predstavlja

simultano rješenje uvjeta prvog reda.

• Postoji razlika između jednostavne statičke igre igrača 1 i 2 i

dinamičke igre u kojoj igrači 1 i 2 biraju u prvoj etapi. Razlika je u

tome što dinamička igra uključuje indirektne ili strateške efekte

izbora u prvoj etapi na odluke u drugoj etapi.

1 1 1 2 3 1 2 4 1 2( , , ( , ), ( , ))x x R x x R x x

2 2 1 2 3 1 2 4 1 2( , , ( , ), ( , ))x x R x x R x x

31 1 1 1 4

* *

1 1 3 1 4 1

0Rd R

dx x x x x x

32 2 2 2 4

* *

2 2 3 2 4 2

0Rd R

dx x x x x x

* *

1 2( , )x x

20.4.2017 29

• Opće rješenje igre je savršena Nash-ova ravnoteža podigre – skup

strategija koje zadovoljavaju uvjete prvog reda za četiri igrača. Tu

ravnotežu pišemo kao

• Ovdje se eksplicitno vidi da ravnoteža u drugoj etapi direktno ovisi

o prvoj etapi.

Trgovinska politika i oligopoli

• Mada postoje mnogi oblici trgovinske politike, ovdje ćemo se

fokusirati na model koji analizira izvozne poticaje. Razvit ćemo

dvoetapnu igru. U prvoj etapi vlade određuju trgovinsku politiku, a

u drugoj etapi poduzeća donose odluke o izvozu. Igra je riješena

povratno. Prvo modeliramo odluku poduzeća na trgovinsku

politiku, a potom rješavamo prvu etapu kojom se određuju

optimalne trgovinske politike.

• Pretpostavke modela su:

* * * * * * * *

1 2 3 3 1 2 4 4 1 2, , ( , ), ( , ) .E x x x R x x x R x x

20.4.2017 30

1. Postoje 3 zemlje: x, y i z.

2. Svaka država x i y ima po jedno poduzeće koja proizvode homogeni

proizvod. Nema proizvodnje u državi z.

3. Svako poduzeće ima funkciju ukupnih troškova TCi = ciqi, gdje je i

= x ili y.

4. Države x i y ne troše proizvod: cijela proizvodnja se izvozi u državu

z.

5. Prodajna cijena u državi z je P = a – Q, gdje je Q = qx + qy.

6. Države x i y dodjeljuju po jedinici proizvoda izvozne poticaje sx i sy

njihovim poduzećima. Država z prakticira slobodnu trgovinu, tj.

nema poreza niti uvoznih poticaja.

• Pod tim pretpostavkama profit poduzeća x i y je( ) .x x x x x x x y x x x x xPq c q s q a q q q c q s q

( ) .y y y y y y x y y y y y yPq c q s q a q q q c q s q

20.4.2017 31

• Uvjeti prvog reda za maksimizaciju profita su

• Istovremenim rješavanjem jednadžbi dobivamo rješenja o količini

proizvodnje poduzeća x i y, a supstituiranjem tih vrijednosti

dobivamo vrijednost ukupne proizvodnje i prodajnu cijenu:

2 0xx y x x

x

a q q c sq

2 0y

x y y y

y

a q q c sq

*2 2

3

x x y y

x

a c s c sq

*2 2

3

y y x x

y

a c s c sq

* * *2

3

x y x y

x y

a c c s sQ q q

* * .3

x y x ya c c s sP a Q

20.4.2017 32

• Dobivena rješenja su ravnoteža iz druge etape igre. Ona su funkcija

trgovinske politike i parametara iz prve etape igre.

• Vraćamo se na prvu etapu igre u kojoj države x i y biraju

trgovinsku politiku da bi maksimizirale njihove respektivne razine

ekonomskog bogatstva.

• Privatna dobit svake države od izvoza proizvoda izražava se kroz

profit poduzeća iz te države. Neto dobit svake države jednaka je

razlici profita poduzeća iz te države i ukupnih troškova izvoznih

poticaja.

• Funkcije ekonomskog bogatstva (neto dobiti) za države x i y jesu

• Supstituiranjem rješenja iz druge etape igre dobivamo bogatstvo

kao funkciju parametara i trgovinske politike za obje države:

( ) ( ) .x x x x x x x x x x xw s q P c s q s q P c q

2 2 2

3 3

x y x y x x y y

x

a c c s s a c s c sw

( ) ( ) .y y y y y y y y y y yw s q P c s q s q P c q

20.4.2017 33

• Svaka država maksimizira bogatstvo odabirom njezine trgovinske

politike. Uvjet prvog reda za državu x je:

odnosno

• Na sličan način dobivamo uvjet prvog reda za državu y:

• Rješenje gornjeg sustava daje

2 2 2

3 3

y x y x y y x x

y

a c c s s a c s c sw

1( 1( 2 2 ) 2( 2 )) 0

9

xx x y y x y x y

x

wa c s c s a c c s s

s

4 2 .x y x ys s a c c

4 2 .x y x ys s a c c

*3 2

5

x y

x

a c cs

*3 2

5

y x

y

a c cs

20.4.2017 34

• Može se pokazati da ako obje države izvoze pozitivne količine,

onda su obje poticajne stope pozitivne. To se pokazuje

supstituiranjem ravnotežnih stopa poticaja u ravnotežna rješenja za

količine proizvodnje iz druge etape igre.

• Pretpostavimo da su isti proizvodni troškovi za poduzeća iz obje

države. Pozitivne ravnotežne stope poticaja u izboru trgovinske

politike reflektiraju se kao zatvorenikova dilema. Pošto svako

poduzeće zarađuje pozitivne profite, svaka država ima unilateralnu

težnju za poticajima da bi povećala tržišni udjel i profite. Međutim,

kad obje države daju poticaje, svako poduzeće još uvijek ostaje na

pola tržišnog udjela i profita. Poduzeća zarađuju veće profite, ali

zbog pada cijena troškovi poticaja moraju nadmašiti profitne

gubitke. Prema tome, ukupno ekonomsko bogatstvo u izvoznim

zemljama se smanjuje. Stvarni pobjednik u ovoj poticajnoj igri je

zemlja uvoznik z, njeni potrošači plaćaju manje cijene koje su

poticane.

20.4.2017 35

• Ispitajmo još kako stope poticaja ovise o proizvodnim troškovima.

Koja zemlja će davati veće poticaje? Pretpostavimo da je cx = c, a

cy = c + , gdje = cy – cx > 0 predstavlja prednost u troškovima

proizvodnje države x. Onda stope poticaja izgledaju kao

• Stopa poticaja je veća u državi s kompetitivnom prednošću, tako da

je neto rezultat kombiniranih poticaja pojačavanje kompetitivne

prednosti. Veći su poticaji racionalni s točke gledišta individualne

države kad država ima niže troškove proizvodnje od ostalih

izvoznika: izvozna politika promovira pobjednike prije nego da

štiti gubitnike.

• S različitim proizvodnim troškovima može se promijeniti priroda

zatvorenikove dileme u prvoj etapi igre.

* 3 2( ) 2

5 5x

a c c a cs

* 3( ) 2 3

5 5y

a c c a cs

20.4.2017 36

• Kad je razlika u proizvodnim troškovima dovoljno velika, država s

komparativnom prednošću ostvaruje neto dobit (bogatstvo) od

poticajne igre. Suprotno, država s višim troškovima uvijek će imati

smanjenje bogatstva. Točne uvjete pod kojima država s nižim

troškovima ostvaruje povećano bogatstvo moguće je izračunati, ali

je izračun kompliciran. Ovdje je ekonomska intuicija takva da

dovoljno velika komparativna prednost, podržana poticajima,

stavlja državu s nižim proizvodnim troškovima na još povoljniju

poziciju u konačnoj ravnoteži.

• Numerički primjer. Pretpostavimo da vrijede sve pretpostavke

našeg modela. Države x i y proizvode homogeni proizvod čija je

prodajna cijena funkcija potražnje P = 100 – Q, gdje je Q = qx + qy.

Izračunajmo ravnotežnu proizvodnju, ravnotežne poticaje, ukupno

neto bogatstvo država x i y ako su (a) marginalni troškovi

konstantni i jednaki 10 kn za poduzeća iz obje države, i (b)

marginalni troškovi konstantni i iznose 10 kn za državu x, a 20 kn

za državu y.20.4.2017 37

• Rješenje: (a) Najprije rješavamo drugu etapu igre u kojoj poduzeća

x i y maksimiziraju svoje funkcije isplata i određuju ravnotežne

količine koje su funkcije parametara ekonomske politike iz prve

etape igre. Koristeći naprijed navedeno dobivamo:

• Uvjet prvog reda za maksimum funkcija i daje

• Prelazimo na prvu etapu. Funkcije bogatstva država x i y jesu:

• Uvjet prvog rada za funkcije i nakon uključivanja i

daje sustav od dvije linearne jednadžbe s dvije nepoznanice, čijim

rješavanjem dobivamo i

( ) (100 10 ) (90 )x x x x x y x x x y x xP c s q q q s q q q s q

( ) (100 10 ) (90 )y y y y x y y y x y y yP c s q q q s q q q s q

x y

*90 2

,3

y x

x

s sq

*

90 2.

3

x y

y

s sq

(90 ) ,x x x x x y xw s q q q q (90 ) ,y y y y x y yw s q q q q

xwyw

*

xq*

yq

* 18xs * 18.ys

20.4.2017 38

• Uključivanje vrijednosti za i u funkcije i daje

Sada nije teško izračunati P* = 28,

• b) Na sličan način izračunavamo tražene vrijednosti ravnoteže iz

prve i druge etape igre u slučaju kad se troškovi proizvodnje po

jedinici proizvoda razlikuju, kod nas je cx = 10, a cy = 20. Dobili

smo sljedeće ravnotežne količine i ravnotežne poticaje:

Potrebne zaključke izvedite samostalno. Vrijede li tvrdnje iz

teorijskog dijela teksta?

*

xs *

ys*

xq*

yq* * 36.x yq q 1296,x y

648,x yw w 72.Q

* 44,xq * 24,yq * 44 24 68,Q * 100 44 24 32,P

* 22,xs * 12,ys * 1936,x

* 576,y * 968,xw * 288.yw

20.4.2017 39