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UNIVERSITÄT LEIPZIGFAKULTÄT FÜR MATHEMATIK UND INFORMATIK

INSTITUT FÜR INFORMATIK

KrümmungsbasierteUnterteilungderHirnoberfläche

DiplomarbeitBetreuer:Prof.Dr.D.Saupe,PDDr.F.Kruggel

Leipzig,Juni2002 vorgelegt vonMüller, Dirk

geb. am06.01.1977StudiengangDiplom Informatik

Zusammenfassung

DieneuartigenMöglichkeitenderMedizin-undComputertechnik,insbesonderenichtin-vasive Bildgebungsverfahrenwie CT undMRI in Verbindungmit leistungsfähigenin-teraktiven 3D-Grafik-Systemen,ermöglichenesuns,Schritt für Schritt einenimmertieferenEinblick in Aufbau und FunktionsweisedesmenschlichenHirns zu bekom-men. Auch wennmancheProjektezunächstnur derGrundlagenforschungzugehörigerscheinen,existierenkurz- undmittelfristige Perspektivender Anwendungvon Ver-fahrenderBildverarbeitungin derNeuromedizin.

DieseArbeit beschreibtunduntersuchteinigederbildverarbeitendenundstatistisch-mathematischenTeilprozesse,die insgesamteinmalzurbesserenDiagnosedegenerati-ver Hirnerkrankungen,wie z.B. MorbusAlzheimer, beitragenkönnen.Siebeschäftigtsichmit demSchrittderSegmentationderHirnoberflächein Kronen-undFundusregio-nenauseinerbereitsvorliegendenTriangulierungderHirnoberfläche.Dasheutzutageim BereichderNeuromedizinmit AbstandverbreitetsteVerfahrenderKernspintomo-graphie(MRT/MRI) liefert dreidimensionaleGrauwert-VoxelbilderdesHirns,worausmanüberverschiedeneAlgorithmenDreiecksnetzealsNäherungenvon Isoflächener-haltenkann. In solchenrekonstruiertendiskretenNetzender Hirnoberflächewird lo-kal ihre Krümmung,eingebettetin denallgemeinbekanntenstetigenFall, durchver-schiedeneSchätzerbestimmt. Diesewerdenan analytischenBeispieloberflächenaufihre Qualitätgetestet.Im nächstenSchritterfolgt die Extraktionvon Kamm-undTal-Linien. AnhandderenLagegelingteineUnterteilungin Kronen-undFundusregionen.AbschließendwerdendieerhaltenenErgebnisseeingeschätzt.

Danksagung

An dieserStelle möchteich dem Max-Planck-Institutfür neuropsychologischeFor-schungin Leipzig für die Möglichkeit derNutzungvon RechentechnikundSoftwareundinsbesonderemeinenBetreuernProf.Dr.D.SaupeundPD Dr.F.Kruggelfür die je-derzeitigeBeantwortungvon Fragendanken.

DieseArbeit wurdeunterLYX, einemauf LATEX basierendemSystem,erstellt.DieAbbildungenwurdenmit dem ProgrammIPE ausdem BRIAN-Software-Paket, dasauf der Vista-Bibliothek [PL1994] aufbaut,bzw. unter Xfig generiertund dannalsEncapsulated-PostScript-Dateien(PostScriptist ein eingetragenesWarenzeichenderAdobeSystemsIncorporated)eingebunden.EigeneImplementierungensindin C/C++geschriebeneErweiterungenvonBRIAN. Die SuchenachArtikelnerfolgteweitgehendunterciteseer.nj.nec.com .

Inhaltsverzeichnis

1 Einführung 71.1 MotivationundZielsetzung. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.2 Überblick . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.3 InterneDarstellungsformenvon 3D-Objekten . . . . . . . . . . . . . 81.4 AnatomiedesHirns . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.5 Kernspintomographie. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.5.1 PhysikalischeGrundlagen:NMR . . . . . . . . . . . . . . . 111.5.2 RelaxationszeitenT1 undT2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121.5.3 Volumenselektion. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121.5.4 Gesundheitsrisiken . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131.5.5 AnwendungaufunserProjekt . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.6 Vorverarbeitung. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131.7 3D-Rekonstruktionvon Isoflächen(Triangulierung) . . . . . . . . . . 14

1.7.1 ContourLinking . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141.7.2 MarchingCubesundModifikationen . . . . . . . . . . . . . 141.7.3 ConstrainedElasticSurfaceNets. . . . . . . . . . . . . . . . 151.7.4 VergleichderVerfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

1.8 DegenerativeHirnerkrankungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

2 DasstetigeKrümmungsmodell 172.1 Kurvenin derEbene . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172.2 Flächenim Raum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172.3 DasGauß-Bonnet-Theoremunddie Integralkrümmung . . . . . . . . 202.4 AlternativeBeschreibungen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

2.4.1 Die mittlereKrümmungH . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212.4.2 Die IntegralkrümmungKges . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

2.5 Zusammenfassung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

3 DiskreteKrümmungsmodelle 233.1 Einführung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233.2 Parkettierungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

3.2.1 ZerlegungeinesPolygonzuges. . . . . . . . . . . . . . . . . 253.2.2 ParkettierungeinerPolyederoberfläche. . . . . . . . . . . . 25

3.3 KrümmungeinesPolygonsin derEbene. . . . . . . . . . . . . . . . 303.4 GaußscheKrümmungauf Polyederoberflächen. . . . . . . . . . . . 303.5 Mittlere Krümmungauf Polyederoberflächen. . . . . . . . . . . . . 32

3.5.1 Ein AnsatzüberdieMittlere-Krümmungs-Normale. . . . . . 323.5.2 Ein AnsatzüberdasDivergenztheorem . . . . . . . . . . . . 34

4

3.6 KrümmungsschätzungüberlokaleRegression. . . . . . . . . . . . . 34

4 Güte der diskretenSchätzer 374.1 Einleitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 374.2 Würfel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 374.3 Kugel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 394.4 Zylinder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 414.5 Zusammenfassung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

5 Kamm- und Tal-Linien 435.1 Überblick . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 435.2 WichtigeDefinitionen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 435.3 RauschverminderungdurchGlätten . . . . . . . . . . . . . . . . . . 445.4 Ein robusterAlgorithmusfür Kamm-undTal-Linien . . . . . . . . . 44

6 Unterteilung 476.1 Einleitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 476.2 2-Segmentation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 476.3 3-Segmentation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

7 Ergebnisse 497.1 BeispielsegmentationenanalytischerOberflächen . . . . . . . . . . . 497.2 BeispielsegmentationenvonHirnoberflächen . . . . . . . . . . . . . 517.3 Einschätzung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

Abkürzungsverzeichnis

1D, 2D, 3D ein-,zwei-,dreidimensionalBRIAN BRainImageANalysisCL ContourLinking (algorithm)CSF cerebrospinalfluid Cerebrospinalflüssigkeit;

Liquor (cerebrospinalis)CT computedtomography rechnergestütztes

schichtweisesRöntgenDiscMC DiscretizedMC (algorithm)GM grey matter graueSubstanzIPE ImageProcessingEnvironmentHF high frequency Hochfrequenz-MC MarchingCubes(algorithm)MRI magneticresonanceimaging BildgebungdurchMRTMRT magneticresonancetomograph(-y) Kernspintomograph(-ie)MT MarchingTetrahedra(algorithm)NMR nuclearmagneticresonancepixel pictureelementRMT RegularizedMT (algorithm)SNG SurfaceNetGradientBased(algorithm)voxel volumeelementVRML Virtual RealityModelling LanguageWM whitematter weißeSubstanzZNS Zentralnervensystem

Kapitel 1

Einführung

1.1 Moti vation und Zielsetzung

In letzterZeit tretendegenerativeHirnerkrankungen,wie z.B. MorbusAlzheimer, im-mer stärker auf. Die Krankheitgilt bis heuteals unheilbar, nur ein Aufschubschwe-rer Symptomeist bishermachbar. Doch dafür ist eine frühzeitigezuverlässigeDia-gnosenotwendig. Vor dembreitenklinischenEinsatzvon Schichtaufnahmen(MR-Tomogrammen)seitden1980erJahrengabeinzigeineObduktionnachdemTodedieChanceeiner Analyseder anatomischenVeränderungenim Hirn. Die erst um Jah-re verzögertauftretendenklinischenSymptomemacheneineAuswertungvon MRI-Bilddatenzur Früherkennungnotwendig.

Grundlagesoll zunächsteinekrümmungsbasierteUnterteilungderausSchichtauf-nahmengewonnenenHirnoberflächein Fundus-und Kronenregionensowie Wändesein. Mit einersolchenKlassifizierunglassensichdurchzu bestimmendeSchnittebe-neneinzelneWindungsfurchenextrahieren.Bei diesenlässtsich jeweils dasVerhält-nis vom Volumenzur Krümmungbestimmen,waseinestatistischeAuswertungdiesesQuotientenbezüglichverschiedenerStadiender Erkrankungermöglicht. Bei ausrei-chenderKorrelationdieserbeidenGrößenließesichim Umkehrschluss(evtl. verbun-denmit ExtrapolationaufgrundDatenmangelsfür frühe Stadien)auchdie Anfangs-phasederErkrankungdiagnostizieren.

1.2 Überblick

Für die im letztenAbschnittals großesZiel angegebenestatistischeAuswertungvonZeitreihenzur EntwicklungeinesPatientenoderauchzum Vergleich innerhalbeinerPatientengruppemusseszuerstgelingen,ausdem sehrreichhaltigenMaterial einerMRI-Aufnahme möglichst wenige und zugleichcharakteristischeParameterzu ex-trahieren. DiesesVorgehenist auchunter dem Schlagwort “getting numbersfromimages”[Kru2002], alsodemErhalt von ZahlenausBildern, geläufig. Man beden-ke,dassüblicheKernspintomographenlaut [WTVW1992] 3D-Bilder mit einerAuflö-sungvon 128x256x256bei einerGrauwerttiefevon 12 Bit, alsomit einerGrößevon27 28 28 12Bit 12MB liefern. EinedafürgeeigneteProzessketteist 1.1 in darge-stellt.

Die KernpunktedieserArbeit mit eigenenKapiteln sind die lokale Krümmuns-schätzung(Kapitel2,3 und4) sowiedieSegmentierung(Kapitel5und6). Alle anderen

7

8 KAPITEL 1. EINFÜHRUNG

MR−Schnittbilder

isotroper Volumendatensatz

vorverarbeiteter Volumendatensatz

Dreiecksnetz der Hirnoberfläche

Dreiecksnetz mit Krümmungswerten

segmentierte Hirnoberfläche

Schnittebenen zur Abgrenzungeinzelner Windungen

Volumina einzelnerWindungen

Krümmunsgwerte einzelnerWindungen

QuotientenVolumen/Krümmung

globalerParameter(−satz)

Interpolation und Stapeln

Filtern und Datenreduktion

Triangulierung einer Isofläche

lokale Krümmungsschätzung

Segmentierung

Ebenenanpassung

Zählen vonVoxeln

Division

gewichteteMittelung

gewichteteMittelung

Abbildung1.1: Prozesskettezur Parameterextraktion

Schrittewerdenzusammenmit wichtigenGrundlagennur überblicksartig,beginnendim Abschnitt1.6, innerhalbdiesesKapitelsbehandelt.VorhererfolgennochKurzdar-stellungenzuGrundlagen,diemir für dasweitereVerständnisalswichtig erscheinen.

1.3 Inter neDarstellungsformen von 3D-Objekten

Bei der Visualisierungund Verarbeitungvon 3D-Objektenmüssendieseimmer aufeinebestimmte,genaudefinierteArt undWeiseim SpeicherdesRechnersrepräsentiertwerden.Nach[WTVW1992] existierenprinzipiell drei verbreiteteMöglichkeitendesinternenModells, dieszubewerkstelligen:

1. OberflächenmodellHier wird dasObjekt durchseineOberflächebeschrieben.Die häufigsteFormist derenAnnäherungdurchebeneDreiecke. Ein Vorteil ist der geringerema-thematischeAufwand,der für die VerarbeitungebenerDreiecke im Vergleichzu gekrümmtenFlächenstücken betriebenwerdenmuss. Es ist immer nur ei-ne ApproximationdesObjektsmöglich. Mit einerhinreichendgroßenAnzahlverwendeterDreiecke ist sie jedoch(theoretisch)beliebiggenaumöglich. DiepraktischenGrenzenliegenin der GrößedesHauptspeichersund in der Verar-beitungsgeschwindigkeit derzurVerfügungstehendenHardware.Aus Sichtder Informatik sindein Knotenfeldmit denOrtsvektoren(Koordina-ten)derStützstellen(Knoten)sowieeinDreiecksfeldmit denjeweilsdreiIndizesderdasjeweiligeDreieckbildendenKnotennotwendig.Oft erweitertmandiesebeidenelementarenDatenstrukturendurchErgänzungvon Nachbarschaftsrela-tionen zu zwei Graphen. Dies ist für viele Algorithmenein großerVorteil inBezugauf dieSuchkomplexität.DiesesModell soll für unsereHirnoberlächeverwendetwerden,so, wie es inBRIAN in derKlassemeshimplementiertist.

1.4. ANATOMIE DESHIRNS 9

2. Solids-ModellEin andererAnsatzist die Zerlegungdes3D-Objektsin elementargeometrischeKörper (z.B. Kugel, Würfel, Zylinder, Kegel, Pyramide),so genannteSolids.Dannist die passendeDatenstruktureinfacheineListe derObjekte,die jeweilsdurcheinebestimmteZahl von Parameternbestimmtsind. Zusätzlichkönnenauf sieBewegungen(Verschiebung,Drehung,Spiegelung)sowie Ähnlichkeits-abbildungenangewandtwerden. Ein Bespielist die 3D-BeschreibungsspracheVRML.

3. VolumenmodellBeschränktman sich bei der Wahl der zugelassenenSolids ganzauf Quader,die zusätzlichnochin ein in deneinzelnendrei Koordinatenjeweils äquidistan-tes3D-Rasterpassenmüssen,gelangtmanzum Volumenmodell.Es stellt eineEntsprechungzur 2D-Rastergrafik dar. Die dort auftretendenPixel heißennunVoxel. Damit ist auchdasInnerevon Körpernrepräsentierbar. Ein 3D-Feldistdie geeigneteDatenstruktur. Mit derhöchstmöglichenEinfachheiteinesVoxelsalsFeldelementwird klar, dasseinevielfachgrößereAnzahlvonElementennö-tig ist, um eineähnlichgenaue3D-Objektbeschreibungwie bei 1. oder2. zuerhalten.In einersolchenFormkommendieDatenauseinemMRI-System.

1.4 Anatomie desHir ns

DasHirn besitzteinekomplexe Struktur, derenumfassendeBeschreibung weit überdie GrenzendieserArbeit geht. Wir belassenesdeshalbbei einerkurzenDarstellungdesGrobaufbaus,sodassverständlichwird, waszu unterteilenist.

1

2

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Abbildung1.2: GrobstrukturdesGehirnseinschließlichseinerUmgebung

1 Schädelknochen(mit Kopfhaut)2 SchutzschichtausLiquor (CSF)3 graueSubstanz(GM)4 weißeSubstanz(WM)5 Ventrikel, mit Liquor gefüllt

Tabelle1.1: Legendezu Abb.1.2


Die Abb.1.2zeigtschematischeinenSektoreinesebenenSchnittesdurchdasmensch-liche Hirn, welcheshier in der Abstraktionals isotropangenommenwird. Dies trif ftin ersterNäherungzu, nur die FortsetzungdesZNS hin zumRückenmarkbildet einenicht vernachlässigbareAusnahme.

Als Hirnoberflächewollenwir vonnunandenÜbergangzwischengrauerSubstanzundäußeremLiquor bezeichnen.DiesentsprichtderäußerenZellschichtdesHirns,dieals Hirnrindebzw. Kortex bezeichnetwird. In der NähedesÜbergangsdesHirns indasRückenmarkwird einfachabgeschnitten,oft endetauchderRohdatensatzin diesemBereich.

1.5 Kernspintomographie

Abbildung 1.3: KernspintomographiedesHirns: eineSchichtals 2D-Bild; KnochenundLiquor wurdenbereitsbildverarbeitungstechnischentfernt

DasbildgebendeVerfahren,daswir alsDatenquellenutzenwollen,ist dieaufNMRbasierendeKernspintomographie(MRI). Die Vorteile, insbesondereim Vergleich zuCT, sind [WTVW1992] die fehlendeStrahlenbelastung1 sowie ein bessererKontrastzwischengrauerundweißerSubstanz.Vor der theoretischenFundierung1973durchP.Lauterbur unddembreitenklinischenEinsatzseit den1980erJahrenwarenNMR-Untersuchungenein Werkzeugvon ausschließlichChemikern, Biologen und Physi-kern. Es zeigtesich, dassder Schlüsselzur klinischenAnwendungin der Ermögli-chungvolumenselektiver (alsovoxelbezogener)Signalgewinnungliegt. Wir werdenim Abschnitt1.5.3aufdiesenSchrittzurückkommen.

1DeranfangsverwendeteBegriff NMR-Tomographieunddie im deutschenSprachraumauchheutenochgebräuchlicheBezeichnungKernspintomographiemachtenesteilweiserechtschwierig,misstrauischenPati-entenzuerläutern,dassbeidemVerfahrenabsolutkeineradioaktive oderRöntgenstrahlungverwendetwird.Dies trug danndazubei, dassdasN rechtschnellausdenBezeichnungenin denKliniken entferntwurde,MRT bzw. MRI setztensich(auchinternational)durch.

1.5. KERNSPINTOMOGRAPHIE 11

1.5.1 PhysikalischeGrundlagen: NMR

BewegteelektrischeLadungenerzeugenMagnetfelder. Die PhysikerE.M.Purcell undF.Bloch entdeckten1946unabhängigvoneinandermagnetischeEigenschaftenin derMaterie,dienurdenAtomkernenzugeschriebenwerdenkonnten.Darausschlossman,dassein in einerkreiselähnlichenPräzessionsbewegungresultierenderEigendrehim-pulsoderSpin2 nicht nur bei Elektronen,sondernauchbei Nukleonenauftritt. Etwasüberraschenderscheintdies für die nachaußenelektrischneutralenNeutronen.DieUrsacheliegt in der kontinuierlicherfolgendenAufnahmeund Abgabegeladenerπ-Mesonen[Str1984].

Unssoll hiernurdereinemeinzelnenProtonentsprechendeWasserstoff-Atomkern11H interessieren,dennallein auf seineWechselwirkungenberuhenMR-Bilder in derMedizin [WTVW1992]. Dasist ausreichend,da sichder menschlicheKörper haupt-sächlichausGeweben,die Wasser(H2O) undorganischeVerbindungen(Kohlen-undWasserstoffatomealsGerüst)enthalten,zusammensetzt.

DasProtonführt einePräzessionsbewegungmit derFrequenzf0, dersogenanntenLarmor-Frequenz,aus. Die AchsendieserBewegungenverlaufennormalerweiseingequantelter, aberzufälliger Richtung. Durch dasAnlegeneinesäußerenMagnetfel-deskommteszu einerDrehungderPräzessionsachsenso,dasssiedannparallelzumMagnetfeldverlaufen.Quantenmechanischsindnunnur zwei Zuständemöglich: eineenergetischgünstigeAusrichtungderProtonenin Feldrichtungsowie eineenergetischungünstigeihr entgegen.SiefolgeneinerBoltzmann-Verteilung[BrS1999]:

Ngegen

Nin exp

∆EkT (1.1)

Dabei bezeichnenT die Temperaturin Kelvin, k 1 381 10 23 JK die Boltzmann-

Konstanteund∆E die EnergiedifferenzzwischendenbeidenEnergieniveausin Joule.Für dasSendeneinesSignalsist der Übergangvon Protonenausdemhohenin dasniedrigeEnergieniveaunotwendig.DurchZufuhr von Energie mittelshochfrequenterelektromagnetischerStrahlunggelingtbeieinigenProtonendieUmkehrihrerAusrich-tunggegendie Feldrichtung(Anregungsimpuls), wobeidannProtonen,wie gewünschtunterSignalabgabe,wiederin denthermodynamischenGleichgewichtszustandzurück-kehren(Relaxation). Der Prozessist irreversibel.Die Anregunghat resonantzur Prä-zessionsbewegung,d.h.mit derLarmor-Frequenzf0 zuerfolgen.Fürsiegilt:

f0 γB0

2π ∆E

h(1.2)

Hier stehenh 6 626 10 34Js für dasPlancksche Wirkungsquantumund γ für dasgyromagnetischeVerhältnis, einersichausderspezifischenKernladungwie folgt ab-leitenden,jedemAtomkernzugeordnetenKonstanten:

γ gqq

2mq(1.3)

DasZeichenq stehtfür die LadungdesKernsin Coulomb,undmq ist die dieserLa-dungzugeordneteMassedesKernsin Kilogramm. Ohnedeng-Faktor gq lässtsichdie Gleichungmit der klassischenPhysikherleiten. Es zeigtesich jedoch,dassfürBetrachtungenzumSpinvon Elementarteilchenquantenmechanischundrelativistisch

2engl.,schnelleDrehung


bedingteeinheitenloseKorrekturfaktorennotwendigwerden3. Für denhier relevantenFall einesWasserstoffkernsist der (experimentellbestimmte)Wert gp 2 7934. WirerhaltendurchEinsetzendiesesg-Faktors,der Elementarladungundder MasseeinesProtonsin (1.3):

γp 2 793 1 602 10 19As1 673 10 27kg

2 674 108rads

T(1.4)

DiesbedeuteteineLarmor-Frequenzvon etwa 42 5MHz (alsoim Kurzwellenbereich)bei einemüblichenMagnetfeldderFlussdichte1 Tesla. Für eineweitergehendeDar-legungder physikalischenBeschreibungsmöglichkeitenvon Spinsystemensiehez.B.[Abr1961].

1.5.2 RelaxationszeitenT1 und T2

Die relevanteInformationeinesNMR-Experimentsstecktim ZeitverlaufderRelaxati-on. Dabeisindprinzipiell zwei Prozesse,die beidein exponentiellerForm verlaufen,zuunterscheiden:

1. Spin-Lattice-Relaxation, longitidunaleRelaxationDie RückkehrderdurchdenhochfrequentenAnregungspulsausgelenktenSpin-richtungenin Feldrichtungverläuftexponentiell.Die ZeitkonstantediesesVor-gangsist dieRelaxationszeitT1.

2. Spin-Spin-Relaxation, transversaleRelaxationDer Hochfrequenzpulsführt sekundärauchzu einerKohärenzderPräzessions-bewegungendereinzelnenProtonen.NachdessenAbschaltungklingt diesePha-senübereinstimmungexponentiellab. Die diesemProzesszugeordneteZeitkon-stanteist dieRelaxationszeitT25.

DiesebeidenZeitkonstantensindCharakteristikaeinesStoffesbzw. Gewebes,wobeijedochauchstarke Überlappungen[WTVW1992] auftreten,waseinesichereZuord-nungmeistunmöglichmacht.

Es wurdenviele verschiedenePulssequenzenentwickelt, um Datenzu erhalten,die in der Regel einegewichteteKombinationausT1 und T2 darstellen.Die wich-tigstenParameterzur SteuerungdieserWichtungsinddie RepetitionszeitTR, die ZeitzwischenderAbfolgevon zweiPulssequenzen,unddieEchozeitTE.

1.5.3 Volumenselektion

Für die klinische Anwendungist es nun von besondererWichtigkeit, dassdasVer-fahrenin vetretbarerZeit auf eineganze3D-Matrix (z.B. 128x256x256Voxel) ange-wendetwerdenkann. Über dasMagnetfeldsowie die Frequenzder HF-Pulseslässtsich gemäß(1.2) eine (durch dasfesteγ kernspezifische)lokal begrenzteResonanzerzielen.DurchZuschaltungvon MagnetfeldgradientenlässtsicheineDimensionko-dieren(Frequenzkodierung).In denanderenbeidenDimensionennutztmanmeistein

3Für ein Elektronist derg-Faktormit ge 2 002sehrnahebei 2, sodassdieszunächstalsmagnetome-chanischeAnomalie[Str1984] gedeutetwurde.

4Quelle:www.drusch.com/help/qm- prgf.html5Genauergesagt,ist dieszunächstdieRelaxationszeitT2*, diedie in derRealitätimmerzueinemgewis-

senTeil auftretendenInhomogenitätenim Feldundin derMagnetisierungmit beinhaltet.DurcheineunterSpinEchobekanntePulssequenzlassensichdieseStörungjedochfastvollständigunterdrücken.

1.6. VORVERARBEITUNG 13

Phasenkodierung. Durch eine inverse2D-Fouriertransformation, ergebensich danndie Orts-Informationen.ModernePulssequenzenermöglichenRepetitionszeitenvonnur 40ms, wasin einerAufnahmezeit[WTVW1992] von (obigeAuflösungangenom-men)akzeptablen40ms 256 128 21 8minresultiert.FürweitereDetailssiehez.B.[BrS1999].

1.5.4 Gesundheitsrisiken

Die Kernspintomographieist ein relativ sicheresVerfahren,ohnegroßeRisiken fürdenPatienten.Dasgrößtedabeiauftretendestehtin Verbindungmit demnotwendigenMagnetfeldgroßerStärke. MetallischeGegenständeamundim Patienten(z.B. Herz-schrittmacher)sowie in der NähedesMRI-Systemssind zu vermeiden.Sie könnensichschnellzuGeschossenentwickelnundMenschenverletzen[HBF1997].

Eine Strahlenbelastungtritt nur durchdasHF-Signal,dasim Kurzwellenbereichliegt - vgl. Abschnitt1.5.1,auf. Eskannbei intensivenPulssequenzenzu eineruner-wünschtstarkenErhitzungdesPatientenführen.Dafürgibt esgesetzlicheGrenzwerte,die beiderUntersuchungsplanungbeachtetwerdenmüssen[BrS1999].

1.5.5 Anwendungauf unserProjekt

DasVerfahrenist dasbestederzeitbreit verfügbare,um nichtinvasiv Datenzur Hir-noberflächezu erhalten. Zwar sind pathologischeVeränderungenin der Regel aufT2-gewichtetenBildern besserzu erkennen,waseineVerwendungdiesernahelegenkönnte. Doch soll in unseremFall allein ausder anatomischenStrukturherauseineDiagnoseoderDiagnoseunterstützungerfolgen,womit sich dannT1-gewichteteDa-tensätzemit demgeringerenSignal-Rausch-Verhältnis[WTVW1992] bessereignen.

1.6 Vorverarbeitung

An dieserStellegehenwir davonaus,dassunsderKernspintomographeinenGrauwert-DatensatzzumHirn einesPatientenim Volumenmodellgelieferthat.

Die erstenbeidenSchritte erleichterndie spätereWeiterverarbeitungder Daten[WTVW1992]. Viele Algorithmenwerdendurchdie IsotropiedesVolumendatensat-zes,waseinewürfelförmigeVoxelgestaltbedeutet,erheblichvereinfacht.Gebräuchli-cheMR-Tomographenliefern jedochBilderserienmit einerPixelgrößevon 0 88mm0 88mmundeinemAbstandvon1 2mmzwischenzweidirektbenachbartenSchnitten.EineErzeugungvonZwischenschichtendurchInterpolationliefert danndiegewünsch-te Eigenschaft,d.h. in diesemFall eineVoxelhöhevon ebenfalls 0 88mm. Unbedingtfestgehaltenwerdenmussdabei,dasstrotz dersoerhöhtenAnzahlvon SchnittbildernnatürlichkeinezusätzlicheInformationgewonnenwerdenkann[Zui1995].

Die Datenreduktionbeziehtsich auf eineVerringerungder Grauwerttiefevon 12Bit auf 8 Bit, dadie Isoflächenmit 256Abstufungenbei dieser(relativ geringen)Auf-lösungnoch genügendgenauerkanntwerdenkönnen. Günstigkann sich auchderEinsatzvon z.B. Medianfilternauswirken,um aufnahmespezifischeFehlerzu reduzie-ren.


1.7 3D-Rekonstruktion von Isoflächen(Triangulierung)

Erinnernwir unsandie verschiedenenMöglichkeitenvon internenModellenausAb-schnitt1.3. Leiderist esnunso,dassin unseremFall die MRI-Bilddatenim Volumen-modellvorliegen,für eineKrümmungsschätzung(nachderhier vorgesehenenProzes-skettegemäßAbb.1.1) abereineDarstellungim Oberflächenmodell,genauergesagteineTriangulierung,benötigtwird. Demwollen wir unsjetzt zuwenden.

Aufgrund desgeringerenRechenaufwandesbei der Visualisierungund Verarbei-tung von Objektenim Oberflächenmodellim Vergleichzu dembei solchenim Volu-menmodellgabesschonrechtfrüh Bestrebungen,einemöglichstgenaueAbbildung,mit gutenEigenschaftenbezüglichderEignungfür dieWeiterverarbeitung,vomVolu-menmodellins Oberflächenmodellzu erreichen.Die folgendeAbhandlunglehntsichandie in [Smi2000] vorgenommenean.

1.7.1 Contour Linking

In den1970erundfrühen1980erJahrenwurdediesehrzweifelhafteMethodedesCon-tour Linkingeingesetzt.Durch(willkürliche odergeschickte)AuswahleinerDimensi-on alsz-RichtunglassensichdieVoxel in Höheeinesjeweils festenz-WertesalsPixeleinesSchnittbildesinterpretieren.In jedemdieserSchnittbilderist mit Methodender2D-BildverarbeitungeineKonturextrahierbar, eskönnennatürlichauchmehreresein.Auf denzu jeweils einemSchnittgehörendenKonturensind nunKnotenpunktefest-legen.NachderAnisotropiedesVerfahrensstellt die vernünftigeWahl derPositionendasnächsteProblemdar. Schließlichmüssendie Knotenmengendirekt benachbarterSchichtenzu Dreiecksstreifenverbundenwerden.ErneutkannesProblemebereiten,hierdie“richtigen” (im SinneeinergutenApproximationdesVolumenmodells)KnotenüberKantenzuverbinden.ContourLinking ist kein topologieerhaltendesVerfahren.

1.7.2 Mar ching Cubesund Modifikationen

Ein ersterDurchbruchgelang1987mit der Methodeder Marching Cubes[LC1987],derersteisotrope,d.h.alledreiDimensionengleichwertigbehandelnde,Vergitterungs-Algorithmus. Fast alle heuteeingesetztenTriangulierungsalgorithmenbasierenaufMC, stellenModifikationenoderErweiterungendar, wasoft auchschonandenähnli-chenNamenerkennbarist. Bei MC wird zunächstderSchwellwert der gewünschtenIsoflächefestgelegt. Dieserteilt dieVoxelmengein zwei Klassen6 ein. In einergroßenSchleifewerdendanachalle möglichen2x2x2-Würfelvon Voxeln durchlaufen.IhreMittelpunktebilden zusammeneinenWürfel gleicherGrößewie ein Voxel. Dies istauchder Grundfür die BezeichnungdesAlgorithmus. Bei der Belegungder jeweilsachtzu betrachtendenVoxel gibt esbezüglichderbeidenKlassen28 256Möglich-keiten,derenAnzahlsichdurchSymmetrieanalogienauf16reduziert.VondiesensinddiebeidenFälle,dassjeweilsalleachtVoxel zunureinerKlassegehören,irrelevantfürdie Generierungvon Dreieckender Isofläche,denndannliegt in diesemBereichkeinKlassenübergangvor. Denverbleibenden14 FällenlassensichMusterfür die ein bisvier zu erzeugendenDreiecke zuordnen.Die genauenPositionenergebensich durchInterpolationdesIsowerteszwischenje zwei klassenverschiedenenEckendesausdenVoxelmittelpunktengebildetenWürfels. DiesgarantierteineAuflösungunterhalbderVoxelgröße.MC ist parallelisierbar, kannaberzu Topologiefehlernführen.

6Im Falle einergeschlossenenOberfläche,wie esauchdie Hirnoberflächeist, entsprechendiesebeidenKlassendemInnerenunddemÄußeren.

1.7. 3D-REKONSTRUKTION VON ISOFLÄCHEN(TRIANGULIERUNG) 15

DiscretizedMarching Cubes[MSS1994] ist eineVereinfachungvon MC, die aufdie Interpolationverzichtet,wasunterHinnahmegeringererGenauigkeit aufeinedeut-liche Beschleunigungführt, bedingtdurchdennunmöglichenEinsatzvon Ganzzahl-Arithmetik sowie einerechtenMustertabelle(“lookup-table”). DasVerfahreneignetsichdamitbesondersfür besondersschnellzu erfolgendeBerechnungenz.B. währenddesSuchensnacheinempassendenSchwellwert.

MarchingTetrahedras[GH1995] zerlegt jedenderWürfel ausMC in je fünf Tetra-eder. Dasbeseitigtzwar die topologischenFehler, führt aberzumehrDreiecken.EineVereinfachungdesgeneriertenNetzesgelingtallerdingsrechtgut [GH1994]. MT miteinersolchennachgeschaltetenSimplifikation ist in vslimderVista-Bibliothek imple-mentiert.DasVerfahrenist nicht isotrop.

RegularizedMarching Tetrahedras [TPG1998] bindetdenVereinfachungsschritt,hier eineKnotenhaufen-Mittelung(“vertex clustering”),schonmit ein. Essollenetwa70%wenigerDreieckealsmit MC entstehen,außerdemzeichnensichdiesedurcheinehöhereRegularitätaus.DasbringtVorteilein derVisualisierung(Schattierungsmodel-le) undin derWeiterverarbeitung(auchKrümmungsschätzung)mit sich.

1.7.3 ConstrainedElastic SurfaceNets

Ein weiterer, fortgeschrittenerAnsatzist in [BVGPV1999] zufinden,wobeidasGrund-konzepterstmalsschonin [Gib1998] publiziert wurde. Zu Beginn werdendie glei-chenWürfel wie bei MC ausgewählt. Nun wird jedochnicht sofort trianguliert. DieMittelpunktederWürfel sinddie AnfangspositionenderKnotendeszu generierendenDreiecksnetzes.Im Entspannungsschrittwerdendie Knotendannentlangder jeweilsberechnetenGradienten(bei dermeinerMeinungnachbestenVarianteSNG)verscho-ben.Die Verschiebungsweiteist dabeidieüberInterpolationgeschätzteEntfernungzurIsofläche.Mit derNebenbedingung,dassderKnotendenWürfel nicht verlassendarf,wird einezugroßeAbweichungvon derwahrenIsoflächeverhindert.Erstjetzterfolgtdie Vergitterung. SNG liefert ähnlichviele Dreiecke wie MC, aberdeutlichglattereTriangulierungen[BVGPV1999].

1.7.4 Vergleich der Verfahren

Nebendenvier Kriterien Genauigkeit derRekonstruktion,GlättedesNetzes,AnzahlderDreiecke undRegularitätderDreiecke,die in [BVGPV1999] auchquantitativ de-finiert sind, werdenin Tab.1.3nochzusätzlichdie Topologieerhaltungsowie die Ge-schwindigkeit aufgeführt.Die angegebeneBewertungist nur qualitativ, da die Algo-rithmennicht selbstimplementiertund getestetwurden. Dabeistehtein ’+’ für gutundein ’-’ für schlecht.FallsdocheinegenauereAussagegetroffenwerdenkann,sindein ’++’ für sehrgut bzw. ein ’- -’ für sehrschlechtangegeben. Eine ’0’ bedeutet,dassdasbetreffendeKriterium nicht entschiedenwerdenkann. Wir sehen,dassdievon unszu nutzendeMT-ImplementierungkeineschlechteWahl darstellt,zumalderschlechtestePunktvon MT, die Anzahl der Dreiecke, durchdensich anschließendenVereinfachungsschrittdeutlichaufgewertetwird. Trotzdemhalteich die NutzungvonSNG(siehedazuauchAbschnitt4.5),alsbestesderhier genanntenVerfahren,wichtigfür zukünftigeUntersuchungen.


Verfahren Topologie- Genau- Glätte Anz. der Regularität Geschwin-Ges.-Urteil erhaltung igkeit Dreiecke derDreiecke digkeitCL: - - - - - - - 0 0 0MC: - - + - - - +DiscMC:+ - - - - - + ++MT: + + + - - - - -RMT: + + + - + ++ -SNG:++ + ++ + - ++ +

Tabelle1.3: Triangulierungsalgorithmenim Vergleich

1.8 DegenerativeHir nerkrankungen

Die unsinteressierendeKlassevon Hirnerkrankungenist mit einemSchwundvon Ge-hirnvolumenverbunden.Dabeitritt einestärkereWichtungdiesesVolumenverlustsindenFundusregionenauf, Abb.1.4. Dort vergrößertsich alsodie Krümmung. Unter-suchtmandieseEntwicklungkombiniertdurchBlick auf dasVerhältnisVolumenzuKrümmung(vgl. Abb.1.1), so ist zu erwarten,dasssich ein fortschreitendesKrank-heitsbildin einersignifikantenAbnahmediesesQuotientenniederschlägt.Dasist zuuntersuchenund gegebenenfalls für die Diagnostiknutzbarzu machen.Leider ist esso,dasseineÜberlagerungdieserpathologischenVeränderungenmit normalenAlter-serscheinungenstattfindet[HBF1997]. Ein Volumenschwundallein ist deshalbnichtnotwendigein Krankheitssymptom.Es bestehtdie Hoffnung, dassdie beschriebeneMethodeeinezuverlässigereKlassifikationalseinealleinvolumenbasierteBeurteilungermöglicht.

krankgesund

V > V

K < K

(V/K) > (V/K)

1 2

2

1 2

1

Abbildung1.4: Änderungvon VolumenV undKrümmungK sowie ihresQuotientenbeim“Verplumpen”einerWindungsfurche

Kapitel 2

DasstetigeKrümmungsmodell

2.1 Kurven in der Ebene

Seic : a b R2 eineinvertierbare,zweimaldifferenzierbareAbbildung,die einere-guläre,nachder Bogenlängeparametrisierte(d.h. c t 1) Kurve beschreibt.Die(vorzeichenfreie)KrümmunganderStellet lässtsichdanndefinierenals

κ t : c t (2.1)

D.h. die LängedesBeschleunigungsvektorsbei konstanterBahngeschwindigkeit istein Maß für die lokale Krümmung. Geometrischhat dieszwei verbreiteteInterpre-tationen. Einmal ist eine Deutungals Änderungsgeschwindigkeit der RichtungderTangentemöglich:

κ t : dθds

t (2.2)

Bei VorgabeeinerOrientierunggestattetdies die Vorzeicheneinführung.Außerdemwird dieEinheit κ ∆θ ∆s 1

1m 1m 1 etwasdeutlicheralsbeiderobigenDefinition.AndererseitskannmaneinenlokalenBerührkreisderartkonstruieren,dasser bis

zur 2.Ableitungmit derKurveübereinstimmt(Berührung2.Ordnung).Er hatdenRa-dius

r t 1 κ t (2.3)

Für eineKrümmung0 gehtr gegenunendlich.SeinMittelpunkt ist derKrümmungs-mittelpunkt,dessenLagerelativ zurKurvebeigegebenerDurchlaufrichtung(Orientie-rung)AuskunftüberdasVorzeichenvon κ gibt.

2.2 Flächenim Raum

WesentlicheBeiträgezurKrümmungstheorievonFlächenim RaumkamenvonC.F.Gauß1827.Hier folgt eineZusammenfassungderDarstellungin [Bro1979].

Sei f U einereguläre,parametrisierteFlächeim R3, also f : U R2 R3 mitdemParametervektoru u1 u2 R2 unddemOrtsvektor

P p1 u1 u2 p2 u1 u2 p3 u1 u2 !17

18 KAPITEL 2. DAS STETIGEKRÜMMUNGSMODELL

Dannsinddie beidenpartiellenAbleitungen ∂ f∂u1

u und ∂ f∂u2

u linearunabhängigundspannensomiteinenzweidimensionalenUnterraumauf. Als günstigerwiesessich,einlokaleskartesischesKoordinatensystemin der Umgebung einesPunktesP0 f u0 der Flächezu definieren,was die Betrachtungenerheblichvereinfacht. Dabei liegederUrsprungin P0 unddiez-Achseverlaufein RichtungdesEinheitsnormalenvektorsN0 : ∂1 f " u0 #%$ ∂2 f " u0 #&

∂1 f " u0 #%$ ∂2 f " u0 # & . Zunächstwählemannun zwei EinheitsvektorenE1 undE2 inder Tangentialebenezu P0, so dassein rechtshändigesx, y, z-Koordinatensystemmitdem Dreibein E1 E2 N0 ensteht. Dies liefert eine f entsprechendeum P0 lokaleHöhenfunktionz z x y . In diesemBezugssystemlautendie ersten3 GliederderTaylor-Entwicklungvonz:

z 12

∂2z 0 0∂x2 x2 ' ∂2z 0 0

∂x∂yxy ' 1

2∂2z 0 0

∂y2 y2 ')(*(+( (2.4)

DaeinegesuchteKrümmungsbeschreibunganalogzumFall derKurvein derEbenedieFlächelokal bis zu einerBerührung2.Ordnungcharakterisierensoll und der AufbaudesKoordinatensystemsaufNormalenvektorundTangentialebenedieUnabhängigkeitvonGliedern0. und1.Ordnungsicherstellt,genügtfür einecharakteristischeApproxi-mationfolgendeBilinearform:

,z x y : 1

2 - x y . ∂xxz 0 0 ∂xyz 0 0∂xyz 0 0 ∂yyz 0 0

xy (2.5)

DurcheineHauptachsentransformation,die in diesemFalle eineDrehungum N, alsodiez-Achse,bedeutet,lassensichdiegemischtenpartiellenAbleitungenbeseitigen,diederlokalenApproximations-AbbildungzugeordneteDiagonalmatrix(ohnedenFaktor1/2) ist dann:

Ω κ1 00 κ2 (2.6)

Die beidenEigenwerteκ1 undκ2 sindreell,dain dengemischtenAbleitungenzweiterOrdnungdie AbleitungsreihenfolgenachdemSatzvon Schwarzbeliebigist, wasdieSymmetriederAbbildungsmatrix,wie obenschonsogeschrieben,zur Folgehat. Siewerdendie Hauptkrümmungengenannt.Außerdemsinddie zugehörigenEigenräumehier jeweils eindimensionalund orthogonalzueinander. Sie werdenals Hauptkrüm-mungsrichtungenbezeichnet.Zusammenfassendkönnenwir für

,z im neuenKoordina-

tensystemschreiben:

,z x y/ 1

2 - κ1x2 ' κ2y2 . (2.7)

EinennochbesserenÜberblick gewinnt mandurchDefinition der GaußschenKrüm-mungK unddermittlerenKrümmungH:

2.2. FLÄCHEN IM RAUM 19

K : detΩ κ1 κ2 (2.8)

und

H : 12

tr Ω κ1' κ2

2(2.9)

Als Einheitenergebensich K 1m 2 und H 0 1m 1 ausderEinheit1m 1 derbei-denHauptkrümmungen,die selbstSchnittkurvenkrümmungensind. Die Definitionensindsinnvoll, dasowohl DeterminantealsauchSpurbasisunabhängigeCharakterisie-rungenlinearerAbbildungsmatrizensind.

Dabeiist H offenbarvonderOrientierungderNormalenN0 abhängig,währendbeiK die bei OrientierungswechselauftretendenVorzeichenänderungender Hauptkrüm-mungensich gegenseitigausgleichen.DieseUnabhängigkeit vom Bezugssystemistein großerVorteil. Im RahmendessehrallgemeinenTensorkalkülsbezeichnetmanKalsSkalarundH alsPseudoskalar.

Eine brauchbareKlassifikationder Flächenpunktekannnun anhandvon K erfol-gen:

1. K=0: WenigstenseinederbeidenHauptkrümmungenist 0. Der PunktP0 wirdparabolischgenannt.Die Umgebungverhältsichähnlichwie ein Zylinder, der,fallsauchdie andereHauptkrümmungverschwindet,zurEbeneentartet.

2. K>0: Die beidenHauptkrümmungenhabendasgleicheVorzeichen.Esliegt einelliptischerPunktvor. Im Spezialfall κ1 κ2 heißtdieserNabelpunkt,wobeidasapproximierendeEllipsoid,dannzur Kugelentartet.

3. K<0: Es liegen verschiedeneVorzeichenbei κ1 und κ2 vor. Damit wird derPunktentsprechenddemlokal ähnlichenKörperdeseinschaligenHyperboloidsalshyperbolischbezeichnet.

Wie schonobengezeigt,stehendie Hauptkrümmungsrichtungen senkrechtaufeinan-der. Für die Beschreibung der Krümmungder Flächein eine allgemeineRichtungµ cosαE1

' sinαE2 normalzu f U in P0 gilt derSatzvon Euler:

κN α κ1cos2 α ' κ2sin2 α (2.10)

Damit lässtsichzeigen,dassderBegriff dermittlerenKrümmungfür H auchalsMit-telungüberalle NormalschnittkrümmungenkN α gerechtfertigtist:

κN 21 2π0 κN α dα

2π1 2π

0 κ1cos2 α ' κ2sin2 α dα2π

1 2π0 κ1 cos2 α ' sin2 α dα ' 1 2π

0 κ2

κ1 sin2 αdα

2π


2πκ1' κ2

κ1 43 12α

14 sin2α 5 2π

0

2π

κN 2πκ1' κ2

κ1 π

2π κ1

' κ2

2 H (2.11)

2.3 DasGauß-Bonnet-Theorem und die Integralkrüm-mung

DieseszentraleErgebnisderglobalenDifferentialgeometriewird unsspätersehrnütz-lich sein.Esstellt ein sogrundlegendesResultatdar, dassdasTheoremeineneigenenkleinenAbschnittverdient.Wir wollen eshier jedochnur in einerunsnützlichenspe-ziellenForm für einegeschlosseneFlächeim Raummit topologischerÄquivalenzzurKugelbetrachten.Für Verallgemeinerungenhin zu topologischandersartigenKörpernundzu allgemeinenRiemannschenMannigfaltigkeitenim n-dimensionalenRaumsie-he[KEMa1995] bzw. [Lee1997].

Zunächstist eineglobaleGrößefür einesolchegeschlosseneFlächeF zu definie-ren.Diesist die IntegralkrümmungKges:

Kges F : 7686F

KdA (2.12)

Die Größehatdie Einheit Kges9 K % dA0 1m 2 1m2 1. Die AussagedesTheo-remsist nun, dassdie Integralkrümmungeiner topologischzur Kugel äquivalenten(d.h.Existenzeinerinjektiven,stetigenAbbildungauf eineKugel)geschlossenenFlä-chestetsgleich4π ist:

Kges F / 4π (2.13)

Eine AnpassungdesIntegrationsgebietesermöglichtaußerdemdie Angabeeinesre-gionalenKrümmungsparametersfür diesesGebiet. Dann ist F als ein Flächenstückzu betrachten.DurchDifferenzierenvon (2.12)erhältmaneinenweiterenZugangzurKrümmungim PunktP0:

K P0 dKges F dA

mit P0 F (2.14)

Auchfür Kurvenin derEbenesindanalogeBetrachtungenmöglich.Die Integralkrüm-mungκges einergeschlossenenKurveC ist dann:

κges C : 7:C

κ s ds (2.15)

wobei der Parameters die Bogenlängebezeichnet.Es gilt κges;< κ = ds> 1m 1 1m 1 ( DerentsprechendeSatzdazuist derUmlaufsatzvonHopf. Er besagt,dasseinepositiv orientierte,invertierbareKurvec stetseineIntegralkrümmungvon2π besitzt:

κges C 2π (2.16)

Plausibelwird diesbei Betrachtungvon ? cκ s ds 1 2π0

dθds s ds 1 2π

0 dθ 2π unterVerwendungvon (2.2). Für einenBeweissiehe[Lee1997]. Falls c nur ein bestimmtes

2.4. ALTERNATIVE BESCHREIBUNGEN 21

Kurvenstückbezeichnet,ergibt sich natürlich die GesamtkrümmungdiesesKurven-stückes.AuchhiererhältmandurchDifferenzierenvon(2.15)eineweitereFormelfürκ im PunktP0:

κ P0 dκges C ds

mit P0 C (2.17)

2.4 Alter native Beschreibungen

2.4.1 Die mittler e Krümmung H

EineninteressantenAnsatzfür die Charakterisierungvon H abseitsderDefinition fin-det manin [BaS2001]. Die mittlere Krümmungkanndanachals DivergenzdesEin-heitsnormalenvektorfeldesbetrachtetwerden:

H div N0 (2.18)

Im trivialen flachenFall weisenall Normalendie gleicheRichtungauf. Damit wirdihre Divergenzwie behauptetnull. In der anderenRichtunggehenwir von einemGebietmit H @ 0 aus.Dasist nachderDefinition von z.B. [Kre1968] lokal eineMi-nimalfläche.Anschaulichist auch,dassderFlussalsAusgleichvon Potentialdifferen-zenin einerMinimalflächeverschwindet.Somit ist laut [KEMa1995] dasVektorfeldim betrachtetenGebietquellenfrei,d.h. div N0 @ 0. Die Charakterisierungist mit H div N0 9BAC ∂ui

∂xi D 1m 1 einheitenkorrekt.

2.4.2 Die Integralkrümmung Kges

In der Arbeit [PS1998] wird zur Beschreibungder IntegralkrümmungKges einesFlä-chenstückesdieGauß-Abbildung,auchbekanntunterdemBegriff dersphärischenAb-bildung,g : R2 E S2 genutzt.Dabeiwird jedemPunktP derFlächef F U G seinEinheits-normalenvektorN0 zugeordnet.DasBild einesParametergebietesU H R2 ist alsoeinTeil derOberflächederEinheitskugelg F U G . Der Raumwinkel diesesBildes,derdemZahlenwertnachder Flächeauf der Einheitskugelentspricht,ist ein Maß für die In-tegralkrümmungdesFlächenstückes. Auch dieseSichtweiseist einheitenkorrekt,dasowohl Raumwinkel alsauchIntegralkrümmungdieEinheit1 besitzen.

Für einenFlachpunktist die Normalenrichtungin seinerUmgebung immer kon-stant. Damit wird dasBild derGauß-Abbildungnur ein Punktmit demMaßnull aufder Einheitskugel.Dasist in Übereinstimmungmit der verschwindendenGaußschenKrümmungin diesemPunkt,dieaucheineGesamtkrümmungvon null derUmgebungdesPunktesinduziert. Außerdemergebensich für elliptischePunktekorrekterweisepositiveÜberdeckungswinkel,währendbeihyperbolischenPunktenzwangsweiseeinederbeidenHauptkrümmungsrichtungeneinenegativeOrientierungaufderEinheitsku-geloberflächehervorruft, sodassderüberdeckteRaumwinkel in ÜbereinstimmungzurDefinition negativ wird.1

1Da hier nur eineUmgebungbetrachtetwird, sindnacheinemGrenzübergangin (2.12)die VorzeichenvonK undKgesübereinstimmend.EsgenügensomitBetrachtungenzumVorzeichenvonKges.


2.5 Zusammenfassung

Wir sind nun in der Lage,die Gaußscheund die mittlere Krümmungals einekonse-quenteFortsetzungdesKrümmungsbegriffsvonKurvenin derEbenezucharakterisie-ren.

AllgemeinbeschreibteineKrümmungin einemPunktdie ÄnderungderRichtungdesTangentialraumesin derUmgebungdiesesPunktes.Qualitativ heißteineschnelleÄnderungeinestarkeKrümmung.Währendfür Kurvenin derEbenedazueineinzigerKrümmungswertgenügt,sind für Flächenim Raumzwei Werte notwendig,genau-er gesagteine2x2-Matrix, die jedemPunktder TangentialebenedenOrtsvektor derÄnderungsratederEinheitsnormalenzuordnet.DiagonalisierenderMatrix durchBa-siswechselliefert die beidenHauptkrümmungen,woraussich nachobigenDefinitio-nen(2.8)(2.9)die beidenParameterergeben.Für weiterführendeErläuterungendazuundVerallgemeinerungenauf RiemannscheMannigfaltigkeitensiehe[Car1992] bzw.[Lee1997].

Kapitel 3

DiskreteKrümmungsmodelle

3.1 Einführung

Mit derseitden1970erJahrengeschehenenVerbreitungvon RechentechnikundPro-grammen,die auch komplexe dreidimensionaleObjekte darstellenund verarbeitenkönnen,hat sich die triangulierteOberflächeals Standardrepräsentationvon Flächenim Raumdurchgesetzt.Günstigerwiesensich die hoheFlexibilität durch DreieckebeliebigerGrößeundGestaltsowie die guteAbbildbarkeit desModellsmit Standard-datenstrukturen,was hoheVerarbeitungsgeschwindigkeitenermöglicht. Dabei wirdeinegeschlosseneFlächemit derEuler-Poincaré-Charakteristikχ I 2, d.h. ohneLö-cherbzw. topologischäquivalentzur Kugel, wie esdasHirn1 auchist, durcheinenPolyedermit e Ecken, f Flächen,hier speziellDreiecke,undk Kantengenähert.NachdemEulerschenPolyedersatzgilt e J f K k I χ, in unseremSpezialfall erhaltenwir:

k I 32

f

e I f2

J 2 (3.1)

EswerdensomitstückweiselineareNäherungenderglattenOriginaleverwendet.Ex-akteAnwendungderDefinitionsformeln(2.1),(2.8)und(2.9)im GrenzübergangliefertjeweilsgegenunendlichgehendeKrümmungenandenEcken(beiκ undK) bzw. Kan-ten(beiH) undnichtvorhandeneKrümmungenaufdenlinearenStücken(d.h. aufdenStreckenundFlächenbzw. nuraufdenFlächen).DiesenMakel gilt esdurchsinnvolleAusgleicheauf dasgesamtePolygon2 bzw. Polyederzu beseitigen.

Die Grundideeder meistenhier betrachtetendiskretenKrümmungsmodelleist esalso,zunächstdie IntegralkrümmungenandennichtglattenStellen,d.h andenEckenund Kanten,möglichstexakt zu bestimmenunddanndurchDivision durchzugeord-neteLängenbzw. Flächendie Schätzerfür die Krümmungin diesemGebietzu erhal-ten. DasentsprichteinergleichmäßigenVerteilungder in Mengenmit demMaßnullkonzentriertenMassenauf zugeordneteUmgebungen,mansprichtauchvon einerlo-kalenMittelung. SiehedazuauchAbb.3.1, wo deranschaulicheeindimensionaleFall

1Wir gehendavon aus,dasskeine Löcher im Gehirn vorkommen. Mit den in Kapitel 1 gemachtenAngabenüberAnatomieundVergitterungsalgorithmusist diesgewährleistet.In derPraxiskannesjedochvorkommen,dassKorrekturennotwendigsind.

2UntereinemPolygonwollen wir ab jetzt, falls nicht ausdrücklichandersangegeben,ein ebenesn-Eckverstehen.Man beachteim UnterschieddazueinenPolygonzug, dernichtnotwendiggeschlossenist.

23

24 KAPITEL 3. DISKRETEKRÜMMUNGSMODELLE

verdeutlichtwird. Erläuterungenzu denBezeichnungensind im nächstenAbschnittzu finden. In der Literaturherrschtdabeibei denFormelnzur Krümmungκ undzurGaußschenKrümmungK einegrößereÜbereinstimmungalsbei denenfür die Schät-zungdermittlerenKrümmungH.

Interessantist nun,dassdie Integralkrümmungenan denSprungstellendererstenAbleitung exakt bestimmtwerdenkönnen. Der Näherungsschrittbestehtdannin derZuordnungderEinflussbereiche,diesentsprichteinerParkettierungdesPolygonsbzw.Polyeders.

s

k(s)

s s10s

k(s)

s s10s

k(s)

s s10

LLLLLLLLLLLLLL

MMMMMMMMMMMMMM

NNNNNNNNNNNNNN

OPOOPOOPOOPOOPOOPOOPOOPOQPQQPQQPQQPQQPQQPQQPQQPQ

RPRPRRPRPRRPRPRRPRPRRPRPRRPRPRRPRPRRPRPRRPRPRSPSPSSPSPSSPSPSSPSPSSPSPSSPSPSSPSPSSPSPSSPSPS

TPTPTPTPTTPTPTPTPTTPTPTPTPTTPTPTPTPTTPTPTPTPTTPTPTPTPTUPUPUPUPUUPUPUPUPUUPUPUPUPUUPUPUPUPUUPUPUPUPUUPUPUPUPU

VPVPVVPVPVVPVPVVPVPVVPVPVVPVPVVPVPVWPWPWWPWPWWPWPWWPWPWWPWPWWPWPWWPWPW

XX YY ZZ[[P P P P0 1 2 3 D D D D0 1 2 3

Kges

lokale MittelungDiskretisierung

K1 K2 K3 K4

Abbildung3.1: DiskretisierungundlokaleMittelung im 1D-Fall

3.2 Parkettierungen

Von entscheidenderBedeutungfür die Qualität unsererSchätzerist also die Umge-bungszuordnung.Klar ist zunächst,dassdieseeineZerlegungderDomäneD mit demMaß A : D E R darstellenmuss,um die korrekteIntegralkrümmungder Kurve bzw.Flächenicht zu verändern.SeienPi die n nicht glattenStellenmit denMassenmi undDi derenUmgebungen.Die Gesamtmassemsoll eineErhaltungsgrößesein,umgloba-le Sätzewie (2.13)und(2.16)zusichern.WeiterhinseiM : I dm

dA dieMassendichtealsAbleitungvonm nachdemMaßA. Danngilt:

m I n\i ] 1

mi

Mi I mi

A F Di GM I m

A F D GUmstellender zweitenGleichungnach mi und Einsetzenin die ersteliefert durchGleichsetzenmit dernachm umgestelltendrittenGleichung:

n\i ] 1

MiA F Di GI MA F D G

3.2. PARKETTIERUNGEN 25

Darausergibt sichmit der intuitiv klarenForderung,dassM dasgewichteteMittel derMi seinsoll, sofort A F D G^I`_ n

i ] 1A F Di G , d.h. der Domänemüssenüberdeckendundpaarweisedisjunktn Umgebungenzugeordnetwerden,alsoeineZerlegungmit:

nai ] 1

Di I D

Di b D j I /0 c i dI j (3.2)

Damitgenügtes,in derDomänedieZellengrenzenzwischendenUmgebungenfestzu-legen.Manspricht,besondersbeiFlächen,auchvonParkettierungen.

3.2.1 Zerlegung einesPolygonzuges

Bei einemPolygonzugist es die naheliegendsteVariante,als ZellengrenzenjeweilsdieMittelsenkrechtenzwischenzweidirektbenachbartliegendenEckpunktenzuwäh-len. Die EindimensionalitäteinessolchenStreckenzugesmachtkaum eine andereWahlplausiblel.SeiendieEckenPi ihrerNachbarschaftentsprechendangeordnet,d.h.e Fgf i K j fhI 1Gji e=k

PiPj lml c i n j. Danndefinierenwir:

Di : Ipo P q PiPi r 1 f PiP s PiPi r 1

2 tvu o P q Pi w 1Pi f PiP x Pi w 1Pi

2 t (3.3)

Dabeiist die ZuordnungderZellengrenzenselbstjeweils willkürlich, dadiesnur end-lich vielemit demMaßnull sind,alsoauchinsgesamtdasMaßnull haben.DenhäufigauftretendenFall einesPolygons(geschlossenerPolygonzug)kannmanleicht durchSetzendesEndpunktesauf denAnfangspunktmit einbetten.SieheauchAbb.3.2.

P0

P1

P2

P3

P4

P5

P6

P7

D1

D0

D2

D3

D4

D5

D6

D7

M(P P )0 1

M(P P )7 0

Abbildung3.2: ZerlegungeinesPolygons

3.2.2 Parkettierung einer Polyederoberfläche

Etwasschwierigerwerdendie Verhältnisseauf derzweidimensionalenOberflächeei-nesPolyeders,der in den R3eingebettetist. Alle folgendenBetrachtungenkönnensich glücklicherweiseauf Dreiecksgraphenin der Ebenereduzieren,da die Dreieckeselbstlaut Konstruktionalle ebensind undkein Gebrauchvom Parallelenaxiomoder


derGrößedesVollwinkelsvon2π o.ä.aufdieeuklidischeEbenebeschränktenDingenGebrauchgemachtwird.

Allgemeinmusszunächstgefordertwerden,dassdieZellengrenzenzweierbenach-barterDreieckesichim gleichenPunktandergemeinsamenKantetreffen.Allesanderewürdezueinernur schwerzubegründendenInhomogenitätderZellenführen.Analogzur Wahl diesesPunktesim ebenenFall bei Polygonensind die KantenmittelpunktedamitschonStützstellenSj : I M

ePiPj l für diezubestimmendenZellengrenzen,d.h.a

j y N1 z i o P q PiPj f PiP x PiPj

2 t| Di (3.4)

DabeistehtN1 F i G für die IndexmengederdirektenNachbarnvon Pi . Erneutist dieZu-ordnungderZellengrenzen(mit demMaßnull) willkürlich. EsbleibtnochderVerlaufderGrenzeninnerhalbdereinzelnenDreiecke zu diskutieren.Hier drängensichDrei-eckstransversalenvon denSeitenmittelpunktenzu dengemeinsamenSchnittpunktenauf, da nur diesedie gewünschteSymmetrieeigenschaftenbezüglichaller drei Eck-punkteaufweisen.ZusätzlicheBedingungist, dassdieserVerbindungsmittelpunktVj

nicht außerhalbdesDreiecksliegendarf,dennsonstwürdenFlächenstücke außerhalbderdirektenNachbarschaftvon Pi mit zu seinerUmgebunggerechnetwerden,waszuneuenKonfliktenbeimgehäuftenlokalenAuftretendiesesSachverhaltsführenwürde.Sei nun n : I # ~ j f j q N1 F i G die Anzahl der direktenNachbarecken und damit auchdie deranliegendenKantenbzw. Dreiecke von Pi . SeiweiterhinO : ~ 1 n!**n n E N1 F i GeineOrdnungderIndexmenge,sodassje zweidirekteNachbarnPO z j undPO z j r 1 (zy-klisch)undPi selbstjeweilsdieEckeneinesNachbardreiecksbilden(im mathematischpositivenDrehsinn).DasabgrenzendePolygon∂Di unddie Zelle Di selbstsindalso,in nochrechtallgemeinerForm,(sieheAbb.3.3):

∂Di : I aj y N1 z i SO z j VO z j a VO z j SO zz j r 1 modn (3.5)

Di : I aj y N1 z i Di j I a

j y N1 z i SO z j VO z j Pi u VO z j SO z*z j r 1 modn Pi (3.6)

DabeigeltenfolgendeNebenbedingungen:

Sj : I MePiPj l (3.7)

VO z j q Ti j : I PO z j PO zz j r 1 modn Pi (3.8)

Weiterwird definiert:

Ti : I aj y N1 z i Ti j (3.9)

Die weitereUntersuchungreduziertsich nun auf die einzigenbeidenmir bekanntenFällevonDreieckstransversalendurchdieSeitenmittelpunkte.DiessinddieSeitenhal-bierendenunddieMittelsenkrechten.

1. Seitenhalbierende(baryzentrischeParkettierung)Elementargeometrischist bekannt,dasssichdie SeitenhalbierendeneinesDrei-ecks im Schwerpunkt3 schneiden. Er liegt als arithmetischesMittel der drei

3daherderNamebaryzentrisch;Baryzentrum,grch.Schwerpunkt


Pi

PO(1)

PO(2)

PO(3)

PO(4)

PO(5)

S

S

S

S

O(1)

O(2)

O(3)

O(4)

O(5) SV

V

V

V

O(1)

O(2)

O(4)

O(5)

T

T

T

T

T

D

DD

DD

iO(1)

iO(1)

iO(2)

iO(2)iO(3)

iO(3)

iO(4)

iO(4)

iO(5)

iO(5)

VO(3)

Abbildung 3.3: Parkettierung einer Polyederoberflächein Umgebung einer Ecke(o.B.d.A.ebenerFall)

Eckpunkteimmer im InnerndesDreiecks,dennein Dreieckist immerkonvex.Die Nebenbedingung(3.8) ist damit automatischerfüllt. Von Interesseist derAnteil derZellenflächeA Di j anderDreiecksflächeA Ti j . DabeigenügteineBetrachtungfür ein Dreieck,daesin allenanderenanalogsogilt. Zum Schlussist nur nocheineAufsummierungüberalle Dreieckenötig.Esgilt:

A Di baryzentrisch j N1 i A Di j baryzentrisch

j N1 i 13

A Ti j 13

A Ti (3.10)

DassderZellenteil jeweils genauein Drittel derDreiecksflächeeinnimmt,siehtmansehrschnellmit Abb.3.4, in der die üblichenBezeichnungenim Dreieckgewählt wurden. AufgrundderSymmetrieunddesfestenFaktors 1

3 sinddabeikeineMissverständnissemöglich.Die Seitenhalbierendenschneidensich im Verhältnis2:1, alsoMCS 1

3MCC.NachdemStrahlensatzgilt diesesVerhältnisauchfür dengleichliegendenHö-hensbschnitt:h ABS 1

3h ABC. Mit MC als Mittelpunkt von AB gilt AMC 12AB Also folgt nachderFlächenformelfürs Dreieckdie BeziehungA AMCS 12AB1

3h ABC 16A ABC. Eine analogeRechnungist für jedesder sechsdurch

die SeitenhalbierendengebildetenTeildreiecke möglich. Damit ist die gesuchteFlächeAAMCSMB A AMCS A ASMB 1

3A ABC. DerBeweisist erbracht.

2. Mittelsenkrechte(Voronoi-Zellen)Verwendetmandie Abschnitteder MittelsenkrechtenzwischendenSeitenmit-telpunktenunddemUmkreismittelpunktalsZellengrenzen,entstehenVoronoi-Zellen. Der Umkreismittelpunktliegt nun nicht immer, Bedingung(3.8) erfül-lend, im Dreieck,sondernnur bei spitz-unddemGrenzfall der rechtwinkligenDreiecke,wo eralsFolgederUmkehrungdesSatzesdesThalesdieHypotenusehalbiert.Betrachtenwir zunächstden anschaulicherenFall der stumpfwinkligenDrei-


A B

C

a

b

cMC

M A

M B

1 1H

hC

C

1

2

1

2

S

hC3

Dij,baryzentrisch

Abbildung3.4: Zur FlächedesSektorseinerbaryzentrischenZelle

ecke. Hier wird die orthogonaleProjektionvon V j auf die längsteSeitedesDreiecks,alsodiedemstumpfenWinkel gegenüberliegende,alsErsatzgewählt.Die Projektionslinieverläuft dabeientlangder MittelsenkrechtendieserSeite,womit dasBild V j identischmit demMittelpunkt derdemstumpfenWinkel ge-genüberliegendenSeitewird (Abb.3.5). Im Dreieckgibt esnunnur nochzweiTrennstrecken,die je zweiSeitenmittelpunktemiteinanderverbinden.NachdemÄhnlichkeitssatzSWSsinddie beidendadurchabgegrenztenDreiecke mit demFaktor 1

2 ähnlich zum ganzenDreieck, besitzensomit jeweils 14 der Gesamt-

fläche,für dasParallelogrammmit demstumpfenDreiecksinnenwinkel bleibt12A Ti j . DemZellenstückDi j wird dannderTeil, in demPi (in unsereSkizzeA,B oderC) liegt, zugeschlagen,alsoim FalleseinesstumpfenInnenwinkelsvonTi j beiPi diehalbe,sonsteinViertelderDreiecksflächeA Ti j .

A B

C

M B MA

M C

M

1 1

2

Projektion

Abbildung3.5: stumpfwinkligesDreieckTi j mit zugehörigemTeilstückeinerVoronoi-Zelle: FlächenderTeilstückeverhaltensichwie 1:2:1

Wendenwir unsnundemkomplizierterenFall spitzwinkligerDreiecke zu. Be-trachtenwir dazuAbb.3.6. Als Bezeichnungenwurdenerneutdie allgemeinüblichengewählt. Aufgabeist es,dieFlächedesVierecksAMCMMB zubestim-


men. Nachdem KongruenzsatzSWS für Dreiecke gilt AMCM I MCBMund AMMB I MBMC, dieDreieckeliegensogarsymmetrischzur jeweiligenMittelsenkrechten.Nunist M derUmkreismittelpunktundAB ist SehnedesUm-kreises.Der Zentriwinkel AMB hatnachdemZentri-PeripheriewinkelsatzdiedoppelteGrößedeszugehörigenPeripheriewinkelsγ. Dasbedeutetfür denWin-kel AMMC aufgrundobengenannterSymmetriedieGrößevon γ. Damit erhältmanfür dieAnkatheteMCM im rechtwinkligenDreieck AMCM dieBeziehungMCM I AMC cotγ I c

2 cotγ n woraussichsofortdie FlächedeserstenTeildrei-

ecksA F AMCM G/I c2 c

2 cotγ2 I c2 cotγ

8 ergibt. AnalogeBetrachtungenführenfür

daszweiteTeildreieckauf A F AMMB GI b2 cotβ8 , und für die gesuchteFläche

desViereckserhaltenwir schließlichfolgenderechteinfacheFormel:

A F AMCMMB GI b2cotβ J c2cotγ8

(3.11)

EineSummierungvon(3.11)überallen anPi anliegendenDreiecke liefert danndie Flächeeiner Voronoi-Zelle,wobei in der Summierungder Sonderfall derstumpfwinkligenDreieckeextra aufgeführtwerdenmuss:

A F Di VoronoiGI \j y N1 z i

b2j cotβ j r c2

j cotγ j

8 fallsα j n β j n γ j x π2

12A F Ti j G falls α j π

214A F Ti j G falls β j π

2oderγ j π2

(3.12)

Dabeibeziehensichdie indiziertenüblichenSeiten-undWinkelbezeichnungenjeweils auf dasDreieckTi j mit α j : I8 PO z j PiPO zz j r 1 modn . SiehedazuauchAbb.3.6.

M

A B

C

M C

MAM B

c/2 c/2

Dij,Voronoi

b/2

b/2

Abbildung 3.6: spitzwinkligesDreieckTi j mit zugehörigemTeilstückeinerVoronoi-Zelle


3.3 Krümmung einesPolygonsin der Ebene

Die TangentenrichtunganeinerEckeB mit denNachbareckenA undC ändertsichvonABauf BC. DieserWinkel seimit ∆θ bezeichnet.Dannist sofortersichtlich,dass

κgesF BGI ∆θ I π K β (3.13)

mit β alsInnenwinkel CABgilt. Diesstehtin Übereinstimmungmit demUmlaufsatzvon Hopf (2.16),wie die folgendeRechnungfür einn-EckEn zeigt:

κges F En GI n\i ] 1

κges F Bi GI nπ K n\i ] 1

βi I nπ K¡F n K 2G π I 2π

Dabeiwird dieelementargeometrischeFormelfür dieInnenwinkelsummeeinesn-EcksschnelldurchZerlegungin n K 2 Dreieckeklar.

Die Frage,aufwelchenTeil desPolygonsdieseGesamtkrümmungzuverteilenist,wurdeschonim letztenAbschnittbeantwortet, die Polygonelementewerdenjeweilshalbiert.Damitergibt sichderSchätzer:¢

κ F BGI 2 F π K£ CABGAB J BC

(3.14)

3.4 GaußscheKrümmung auf Polyederoberflächen

Wir werdennun versuchen,ähnlich gearteteSchätzerauchfür Polyederoberflächenanzugeben.FürdieGaußscheKrümmungK überlegenwir zunächst,wo aufderstück-weiselinearenOberflächenicht verschwindendeGesamtkrümmungenKges auftreten.Durch eine Zuordnungvon Einflußbereichen,die eine Partitionierungder gesamtenOberflächedarstellen,undanschließendeDivisiondurchdieFlächedesjeweiligenBe-reichslässtsichein lokalerSchätzerkonstruieren.

Zunächstist K innerhalballer Dreiecksflächenselbstgleich null, dennalle Nor-malschnittemit einerEbenesind Geradenmit einerKrümmungvon null. Damit giltκ1 I κ2 I 0 undK I κ1κ2 I 0. Auf denKantentritt ebenfallskeineGaußscheKrüm-mungauf, denneinederbeidenHauptkrümmungsrichtungenverläuft in RichtungderKante,alsoauf einerGeraden,und ist erneutnull. Bleibenalsonochdie Ecken desPolyeders.Dort gehtK jeweils gegen ¤ ∞, dadie Fläche,in dersichdieseKrümmungkonzentriert,infinitesimalklein ist. Mehr SinnmachtderBlick auf die Integralkrüm-mungKges andenEcken,analogzumVorgehenbeidenEckeneinesPolygons.

In [PS1998] wurdedafüreineFormelangegeben.Die IntegralkrümmunganeinerPolyederecke ist gleichdemExzessdesEckenwinkels,d.h. ein Vollwinkel minusdieSummealler anderEckeanliegendenDreiecksinnenwinkel.

KgesF E GI 2π K θ F E G>I 2π K m\i ] 1

θi F E G (3.15)

Qualitativ erscheintdie Formelkorrekt. Im flachenFall liegenalle anliegendenDrei-ecke in einundderselbenEbene,damitwird dieWinkelsummegeradederVollwinkel.Die Gesamtkrümmungist alsonull. DurchschrittweisesVerkleinerneinesodermeh-rererInnenwinkel werdeneinzelneDreiecke nachund nachauf eineSeiteder bishereinheitlichenEbenegedrückt. Es entstehtein elliptischerPunkt, wofür die Formel

3.4. GAUSSSCHEKRÜMMUNG AUF POLYEDEROBERFLÄCHEN 31

mit einerWinkelsummekleineralsderVollwinkel völlig richtig einepositive Integral-krümmungliefert. SchließlichlassensichdieWinkel auchvergrößern.Diesführt zumAusscherenanliegenderKantenzu beidenSeitenderbisherigenEbene.DerEckpunktwird hyperbolisch,undmit dergrößerenSummeerhaltenwir auchformelmäßigeinedazupassendenegativeIntegralkrümmung.Abschließendsollenauchnochdiemögli-chenGrenzfällebetrachtetwerden.Die Winkelsummeist eineSummeendlichvieler4

Dreiecksinnenwinkel θi F E Gq¦¥ 0;π § , alsogilt θ F E Gq¨¥ 0;∞ G . Insgesamtergibt sich:KgesF E Gq¨F!K ∞;2π § (3.16)

D.h. in etwa, dassdie Integralkrümmungeiner Polyederecke nur endlich elliptisch(nämlichim Fall einer’Spitze’), aberbeliebigstarkhyperbolisch(manstellesichz.B.einenFächermit einerhinreichendgroßenZahl von dreieckigenFächergliedernvor)werdenkann.Dasist durchausanschaulich.

Für einenochnotwendigequantitative ÜberprüfungderGleichungempfiehltsichdasGauß-Bonnet-Theorem(2.13). Eine Einbettungin denstetigenFall gelängemitErfüllung der GleichungdesTheoremsauchim diskretenFall. Wir müssenalsodieIntegralkrümmungdesPolyedersPE durchAufsummierenüberalle seineEcken be-stimmen:

KgesF PE GI e\i ] 1

KgesF Ei G/I e 2π K e\i ] 1

m\j ] 1

θ j F Ei GI 2eπ K f\

i ] 1

F αi J βi J γi GIF 2e K f G π IF f J 4 K f G πI 4π (3.17)

Man beachtedabeidie verwendetenGleichungen(3.15)und(3.1) sowie die Summie-rungsumformungderDreiecksinnenwinkel vom Bezugauf eineEcke hin zumBezugauf eineFläche,alsodasDreieck,wo siedannwie gewöhnlichmit α, β undγ bezeich-netwerden.

EineBegründungfür (3.15)überdieGauß-Abbildungwird ansatzweisein [PS1998]angegeben. Das Bild einer Polyederecke ist danachdie sphärischekonvexe Hülleder Einheitsnormalenvektorenaller anliegendenDreiecksflächen.Der dadurchauf-gespannteRaumwinkel korreliertmit derGesamtkrümmungderEcke. Klar wird dies,wennmansich überlegt, dassein Abrundender Kantenan der Polyederecke geradedemBilden der sphärischenkonvexenHülle auf der Oberflächeder EinheitskugelS2

entspricht.Alle weiterenmir bekanntenSchriften(z.B. [MDSB2001] und[Smi2000])verwendenebenfallsdieseFormelfür die IntegralkrümmunganeinerPolyederecke.

Wie wir im Abschnittim letztenAbschnittgesehenhaben,existierennunzweiver-nünftigeAnsätzefür die Zuordnungder Einflussbereichezu denEcken (3.10)(3.12).Diesresultiertin zwei,möglicherweiseunterschiedlichguten,Schätzernfür dieGauß-scheKrümmunganeinerPolyedereckemit m anliegendenDreiecken:¢

Kbaryzentrisch F E G/I 2π K _ mi ] 1 θi F E G

13 _ m

i ] 1A© i(3.18)¢

KVoronoi F E GI 2π K¨_ mi ] 1 θi F E G

A F DE VoronoiG (3.19)

4TheoretischmöglicheTriangulierungenmit unendlichvielen Dreiecken sollenhier nicht mit betrach-tet werden.Schonallein deshalb,weil unendlicheEcken- oderFlächenmengenzur obenerwähntengutenDarstellbarkeit mit Standarddatenstrukturenim Widerspruchstehen.


Untersuchungenzur QualitätderSchätzerverschiebenwir jedochauf später, zunächstsindweitereSchätzerzukonstruieren.

3.5 Mittler eKrümmung auf Polyederoberflächen

Mit den Überlegungenzu den Hauptkrümmungenaus dem letzten Abschnitt wirdschnellklar, dasseinevon null verschiedenemittlereKrümmungnur auf denKantendesPolyedersauftritt. ZumSchätzendesWertesbeziehenwir unsaufdiein [Smi2000]angegebeneMethode.Betrachtenwir die gemeinsameSeiteBD der beidenDreiecke ABD und BCD. Sei κ1 die Hauptkrümmungentlangder Kanteund κ2 diejenigesenkrechtdazu. Offenbargilt κ1 I 0 und mit (2.9) und (3.13)erhältmanfolgendenSchätzer:

¢H I κ1 J κ2

2I κ2

2I θ ª l

2I θ

2l(3.20)

Dabeibezeichnenθ denWinkel zwischendenbeidenDreiecksnormalenundl dieLän-gedesEinflussbereichsderKante.Nun gilt ausSymmetriegründen:

l I h© ABD

3J h© BCD

3(3.21)

Die Höhen,die sichnatürlichjeweilsauf die SeiteBD beziehen,ergebensichelemen-targeometrischüberdieDreiecksflächen:

h© ABD I A© ABD

2BD

h© BCD I A© BCD

2BD(3.22)

FortlaufendesEinsetzenvon (3.22)und(3.21)in (3.20)liefert schließlich:¢H I 3 F N© ABD n N© BCD G BD

A© ABD J A© BCD(3.23)

Ein NachteildiesesAnsatzesfür diepraktischeNutzungist, dasserdieSchätzwertedermittlerenKrümmungkantenbezogenliefert, wobei in denverwendetenDatenstruktu-ren meistnur der Ecken-und der Flächengraphauftreten.Eine daraufbezogeneZu-ordnunglässtsichjedochleichtdurchMittelwertbildungüberjeweilsalleanliegendenKantenerreichen.ZumbesserenVerständnissieheauchAbb.3.7.

3.5.1 Ein Ansatzüber die Mittler e-Krümmungs-Normale

Einealternative Methode,die zentralauf demGaußschenTheoremzur UmwandlungeinesGebiets-in ein LinienintegralberuhtundeineneckenbezogenenH-Schätzerlie-fert, ist in [MDSB2001] angegeben. FolgendeFormel zur Schätzungder mittlerenKrümmunganeinerEckemit demOrtsvektorxi ist dort angegeben:««« ¢H F xi G ««« I¬¬¬ _ j y N1 z i F cotαi j J cotβi j GhF x j K xi G ¬¬¬4A F Di VoronoiG (3.24)

DabeibezeichnenA F Di VoronoiG dieFlächederVoronoi-Zelleum dieEckexi undN1 F i Gdie Indexmengeder1-Ring-NachbarschaftderEcke xi , d.h. eswird jeweils überalle

3.5. MITTLERE KRÜMMUNG AUF POLYEDEROBERFLÄCHEN 33

k

k2

1® ® ® ® ® ® ® ® ® ® ® ® ® ® ® ® ® ® ® ® ® ® ® ® ®® ® ® ® ® ® ® ® ® ® ® ® ® ® ® ® ® ® ® ® ® ® ® ® ®® ® ® ® ® ® ® ® ® ® ® ® ® ® ® ® ® ® ® ® ® ® ® ® ®® ® ® ® ® ® ® ® ® ® ® ® ® ® ® ® ® ® ® ® ® ® ® ® ®® ® ® ® ® ® ® ® ® ® ® ® ® ® ® ® ® ® ® ® ® ® ® ® ®® ® ® ® ® ® ® ® ® ® ® ® ® ® ® ® ® ® ® ® ® ® ® ® ®® ® ® ® ® ® ® ® ® ® ® ® ® ® ® ® ® ® ® ® ® ® ® ® ®¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯

° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° °° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° °° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° °° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° °° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° °° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° °° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° °° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° °± ± ± ± ± ± ± ± ± ± ± ± ± ± ± ± ± ± ± ± ± ± ± ± ± ± ± ± ±± ± ± ± ± ± ± ± ± ± ± ± ± ± ± ± ± ± ± ± ± ± ± ± ± ± ± ± ±± ± ± ± ± ± ± ± ± ± ± ± ± ± ± ± ± ± ± ± ± ± ± ± ± ± ± ± ±± ± ± ± ± ± ± ± ± ± ± ± ± ± ± ± ± ± ± ± ± ± ± ± ± ± ± ± ±± ± ± ± ± ± ± ± ± ± ± ± ± ± ± ± ± ± ± ± ± ± ± ± ± ± ± ± ±± ± ± ± ± ± ± ± ± ± ± ± ± ± ± ± ± ± ± ± ± ± ± ± ± ± ± ± ±± ± ± ± ± ± ± ± ± ± ± ± ± ± ± ± ± ± ± ± ± ± ± ± ± ± ± ± ±± ± ± ± ± ± ± ± ± ± ± ± ± ± ± ± ± ± ± ± ± ± ± ± ± ± ± ± ±

² ² ² ² ² ² ²² ² ² ² ² ² ²² ² ² ² ² ² ²² ² ² ² ² ² ²² ² ² ² ² ² ²³ ³ ³ ³ ³ ³ ³³ ³ ³ ³ ³ ³ ³³ ³ ³ ³ ³ ³ ³³ ³ ³ ³ ³ ³ ³³ ³ ³ ³ ³ ³ ³ ´ ´ ´ ´ ´ ´ ´´ ´ ´ ´ ´ ´ ´µ µ µ µ µ µ µµ µ µ µ µ µ µ

A

B

C

hABD

hBCD

D

nABD

nBCD

ABD

h

3

3

h

BCD

Abbildung3.7: mittlereKrümmunganeinerKante

x i

x j

ij ij

Abbildung3.8: mittlereKrümmunganeinerEckenach[MDSB2001]

Ecken,dieübereineKantemit derBezugseckeverbundensind,summiert.Die Winkelαi j undβi j sinddie jeweilsgegenüberliegendenWinkel in denbeidenandieKantevonxi nachx j anliegendenDreiecke (sieheAbb.3.8).Zu beachtenist außerdem,dassder Summierungim Zähler eine VektoradditionzuGrundeliegt. DasVorzeichendesSummenvektorswird übernommen.FormelmäßigbedeutetdiesErgänzungdesVorzeichensderskalarenMultiplikation desSummenvek-torsmit demNormalenvektorin xi , umdievorzeichenbehaftetemittlereKrümmungzuerhalten.

Das hier betriebeneVorgehenerscheintinsoferninteressant,dassversuchtwird,analogzum Vorgehenbei der Gaußschen-Krümmungs-Schätzung, eineArt “gesamte


mittlereKrümmung”zudefinieren,die in (3.24)im Zählerauftritt. Klar ist, dassdieseGrößedieDimensioneinerLängehabenmuss,um durchDivisondurcheinezugeord-neteFlächeeineeinheitenkorreteH-Schätzungerhaltenzukönnen.

3.5.2 Ein Ansatzüber dasDivergenztheorem

In [BaS2001] wird ebenfallsdie UmwandlungeinesGebiets-in ein Linienintegralge-nutzt, diesmalüber dasDivergenztheorem.Grundlageist die obenerwähnte(2.18)möglicheCharakterisierungdermittlerenKrümmungH alsDivergenzderEinheitsnor-malenvektoren.Diesliefert in derdiskretenVersionfolgenden,rechteinfachgebautenSchätzer: ¢

H I¶K _ mi ] 1 · Ni n ni ¸ ∆l i_ m

i ] 1A© i(3.25)

Dabeibezeichnetm erneutdie AnzahlderdirektenNachbareckenbzw. -dreiecke. ImNennerstehtsomitdieGesamtflächeder1-Ring-Nachbarschaft.Ni ist derEinheitsnor-malenvektorderFlächeanderEcke i, welchernachStandardmethodenberechnetwird.DasPolygonim Raum,gebildetausdenBasen∆l i der anliegendenDreiecke mit dergemeinsamenSpitze,habealsKurve im Raumdie nachaußenzeigendenEinheitsnor-malenvektorenni (sieheauchAbb.3.9). · *n! ¸ stehtwie gewöhnlich für dasStandard-skalarprodukt.

l i

Ni

ni

Abbildung3.9: mittlereKrümmunganeinerEckenach[BaS2001]

3.6 Krümmungsschätzungüber lokale Regression

Abschließendsei noch auf eine ebenfalls wichtige und verbreiteteArt von Krüm-mungsschätzernverwiesen. Sie ist z.B. in [KLM1998] überblicksmäßigdargestellt.ZunächstwähltmansicheineUmgebungdesKnotens,derbetrachtetwerdensoll. Üb-lich sind 1- oder2-Ringe. Die Mengealler Knotenin einersolchenUmgebungdientdannalsBasisfür eineRegression.Die Modellannahmewird hierbeiübereineKlassevonOberflächengemacht,dieeinesolchenPunktwolkein jedemFalleausreichendge-nauannähernkönnensoll. BewährthatsicheineFläche2.Ordnungmit derGleichung

3.6. KRÜMMUNGSSCHÄTZUNG ÜBERLOKALE REGRESSION 35

(in lokalenKoordinaten)

z I f F x n yG/I ax2 J bxy J cy2 J dx J ey J f (3.26)

Sie hat 6 Parameter. Um alsodieseeindeutigbestimmenzu können,sind 6 Punktenötig,genauergesagtnur5, dadasAbsolutglied f keineAuswirkungenaufdieKrüm-mungseigenschaftenhat. Liegen wenigerKnoten, kann z.B. so langeeine größereUmgebunggewählt werden,bis dieseMindestzahlerreichtist. Bei einemÜberschusswird deslineareGleichungssystemüberbestimmt.Mit derMethodederkleinstenQua-dratelassenich dannjedochLösungs-6-Tupel finden,die denquadratischenAbwei-chungsfehlerminimieren,d.h. in diesemSinneoptimaldenDatengenügen.Schließ-lich dienendie exakt berechenbarenKrümmungseigenschaftenderapproximierendenanalytischenOberflächealsSchätzerfür die dergegebenenFläche.EineRotationdesKoordinatensystemsso, dassdie z-Achsein Normalenrichtungverläuft, sammeltdieInformationenin nurdrei neuenParameternA, B undC:

z I f F x n yG/I Ax2 J Bxy J Cy2 (3.27)

AuseinersolchenDarstellunglassensichnunleichtdieexaktenKrümmungswertedesParaboloids,die hier als Schätzungendienen,gemäßdem stetigenFall (2.5), (2.8),(2.9)gewinnen:

¢KlR I 4AC K B2 (3.28)

¢HlR I A J C (3.29)

DieseSchätzmethodeist auchim Vista-Systemim Befehl vmopimplementiert.Dortwerdenalle Knoteninnerhalbeines2-Ringsals Eingabegenutzt. Ihre Gütewird zu-sammenmit anderenerwähntenAnsätzenim nächstenKapitel diskutiert. Für einedetailliertereDarstellungseiauf [SW1992] verwiesen.

Kapitel 4

Güte der diskretenSchätzer

4.1 Einleitung

Ein wichtiger Schritt ist es nun, die konstruiertenSchätzerzu testen. Dort, wo dietheoretischenWertebekanntsind, ist selbstverständlichdie relative AbweichungvondiesenWerten,die möglichstklein seinsoll, ein Qualitätskriterium.Dasist meistnurbei analytischenKörpern,wie z.B. KugelnundTori, derFall. Auch die StreuungderSchätzwerteum die theoretischen(wahren)Wertesoll minimal werden.Dasbedeutetz.B., dassbei Kugelnals Oberflächenkonstanterpositiver GaußscherKrümmungdieWerte im Idealfall einerEinpunktverteilungoderwenigstenseinerNormalverteilungmit sehrkleinerStandardabweichungσ folgensollen.

Anderssiehtes in der Praxisaus. Vom natürlichenObjekt der Gehirnoberflächekennenwir nicht ihr quantitativesKrümmungsverhalten,diesist geradezubestimmen.Allerdingsist eineintuitiveEinteilungin Fundusregionen(konkaveBereiche),Kronen-regionen(konvexe Bereiche)undWände(Übergangkonkav-konvex) möglich. DieseKlassifikationlässtdanneinenVergleich mit der rechnergestützterbrachtenzu. DiesowiesonotwendigeVerifikationstellt zugleicheinenTeil dergestelltenAufgabedar.Dazumehrim Kapitel 7.

4.2 Würfel

Betrachtenwir zunächstalssehreinfachesBeispieleineTriangulierungderOberflächeeinesEinheitswürfels(a I 1mG mit 12 paarweisekongruentenDreiecken. D.h. also,dassjedequadratischeSeitenflächedesWürfels durchgenauzwei rechtwinkligeundgleichschenkligeDreiecke repräsentiertwird, vgl. Abb.(4.1). Dannentstehenjeweilsgenauvier Eckenmit fünf undmit vier anliegendenDreiecken. Siesollenanjetzt mitE5 undE4 bezeichnetwerden.

DerOberflächeninhaltbeträgtAges I 6a2 I 6m2, dasVolumenVges I a3 I 1m3, dieIntgegralkrümmungist laut (2.13)Kges I 4π. Alle 8 Ecken sind lokal identisch,d.h.die Integralkrümmungverteilt sich gleichmäßigauf sie, KgesF E GI 4π

8 I π2 . Intuitiv

optimal ist, dasssichdie zugeordneteFlächeebenfallsgleichmäßigverteilt. DanngiltA F E G;I 6m2

8 I 34m2. FüreinenoptimalenSchätzererhältmanmit derdiskretenVersion

von (2.14)

¢Koptimal F E GI Kgesz E

A z E I π2 :

e34m2 l I 2

3πmw 2 ¹ 2 n 09mw 2. Haltenwir diesalserstenVergleichswertfest.

37

38 KAPITEL 4. GÜTEDERDISKRETENSCHÄTZER

SeinundieserWürfel eine(sehrgrobe)NäherungseinerUmkugelmit demhalb-

enRadiusseinerRaumdiagonalenr I»º 3a2 I»º 3

2 m. Dannergibt sich für dieseKugeleinekonstanteGaußscheKrümmungvon K I 1

r2 I 43mw 2 ¹ 1 n 33mw 2 ihrer Oberflä-

che. Klar ist, dassdieserWert von obigerFormelüberschätztwird, dadie EckenhierStützstellensind und die Sehnenflächenals Polygonevon Stützstellenimmer einenkleinerenFlächeninhaltalsdie entsprechendenTeile derglatteOberflächehaben,vgl.Abb.4.2. Der Fehlerwird natürlichmit wachsenderAnzahl von Stützstellenimmerkleiner, so dasser dannvernachlässigtwerdenkann. In unseremsehrkünstlichenBeispiel mit nur acht Stützstellenist es besser, so zu triangulieren,dassdie Drei-ecke die glatteOberflächedurchstoßen1. Wählenwir z.B. eineKugelmit demRadius

r I rInkugelr rUmkugel2 I a

2 r¼ 32 a

2 Iº 3r 14 a I8º 3r 1

4 m, ergibt sicheineGaußscheKrümmungvon K I 1

r2 I<F 16 K 8 ½ 3G mw 2 ¹ 2 n 14mw 2. Für einesolcheKugel ist unserEinheits-würfel im Hinblick auf eineguteKrümmungsschätzungeinesehrguteNäherung,derrelative Fehlerbeträgtnur etwa 2 n 3%. Aufgrund dieserUnwägbarkeitenwollen wirdieQualitätderSchätzeraufdenobennotiertenintuitiv optimalenSchätzerbeziehen.

5

54

4 5

4 5

4

2 Voronoi-Zellen 2 baryzentrische Zellen

Abbildung 4.1: Schrägbildund Netz einestrianguliertenWürfels mit zwei Möglich-keitenderParkettierung

Wollen wir nun sehen,wie gut die Ergebnissesind, die (3.18) und (3.19) bei unse-remWürfel liefern. Alle Dreiecke habendengleichenFlächeninhaltA© I a2

2 I 12m2.

Für einebaryzentrischeZelle ist eineUnterscheidungzwischendenbeidenEckenty-

pennötig. Man erhält

¢Kbaryzentrisch F E4GI 2π w 2π

2 w 2π4

134A¾ I π

223m2 I 3π

4 mw 2 ¹ 2 n 35mw 2 und¢Kbaryzentrisch F E5GI 2π w π

2 w 4π4

135A¾ I π

256m2 I 3π

5 mw 2 ¹ 1 n 88mw 2. Die relativenFehlerdieser

Schätzungenbetragen(bezogenauf denoptimalenSchätzer)sind12n 5%und10%.Wie in Abb.4.1zu erkennenist, setztsich eineVoronoi-Zelleausvier Dreiecken

und einemQuadrat(bei E5) bzw. zwei Dreiecken und zwei Quadraten(bei E4) zu-sammen.Symmetriebetrachtungen(Kantenmittelpunkte)ergebeneinevom EckentypunabhängigeFlächeeiner Voronoi-Zelle von AVoronoi F E G¿I 3 a

2 a2 I 3

4m2. Diesentsprichtder beim optimalenSchätzerjederEcke zugeordnetenFläche. Da die In-

1Daranwird auchdeutlich,dassderTriangulierungs-Algorithmus,insbesonderebei nur wenigenEckenund damit Dreiecken, einengroßenEinflussauf die Güte der Krümmungsschätzungenhat. SiehedazuAbschnitt1.7.

4.3. KUGEL 39

APolygone

Aglatt >

Abbildung4.2:FehlerbeiderTriangulierungeinerglattenOberflächeüberStützstellen

tegralkrümmungfehlerfrei geschätztwird, ist schnellersichtlich,dass ÀKVoronoi E ÁÀKoptimal E gilt. Für unserenEinfachstfall einesEinheitswürfelsmit nur 12 Dreieckenin derTriangulierungist derK-Schätzermit Voronoi-Parkettierung(3.19)optimal imSinnederhomogenenVerteilungderKrümmungauf die achtEcken. Späterwird mansehen,ob die kompliziertereFlächenformeleinerVoronoi-Zelle(3.12)allgemein,undnicht nur in diesemkonstruiertenBeispiel, bessereResultateals die baryzentrischeVariante(3.10) liefert. Angemerktsei noch,dassein Testder im Folgendenmit ein-bezogenenMethodeder lokalenRegressionhier nicht durchgeführtwird, da die dortverwendetengrößerenUmgebungensichamzwölfknotigenWürfel jeweilsselbstüber-schneiden,wasschonaußerhalbderintuitivenSinnhaftigkeitsgrenzenliegt.

4.3 Kugel

Im nächstenSchrittsollenunsvier verschiedengenaueTriangulierungenderOberflä-cheeinerEinheitskugel(r Á 1m) interessieren.Die VergitterungenderEinheitskugelresultierenausdemProgrammvspherederVista-Bibliothek. Die theoretischzuerwar-tendenWerteliegensomitbei K Á 1

r2 Á 1mÂ 2 undH Á¶Ã K Á 1mÂ 1, die Kugelober-flächeist überallin alle Richtungengleichstarkgekrümmt.Verglichenwerdensollendie rechtausführlichdiskutiertenzu denParkettierungengehörendenFormeln(3.18),(3.19)und(3.24)einschließlichdersichdirekt aus(3.24)ergebendenbaryzentrischenVarianteeinesH-Schätzers:ÄÄÄ ÀHbaryzentrisch xi ÄÄÄ ÁÆÅÅÅ Ç j È N1 É i Ê cotαi j Ë cotβi j x j Ì xi ÅÅÅ4A Í Di Î baryzentrisch Ï (4.1)

Außerdemdienenalsdritte Variantedie hier nur amRandeerwähnten,jedochhäufigimplementierten,auf (3.26)beruhendenAnsätzeübereinelokaleRegression.Für denTestdiesesAnsatzeswurdedasProgrammvmopausVista genutzt,währendich selbstdie beidenanderenVariantenimplementierthabe. Die beidenTabellen4.1 und 4.2fassendieErgebnissemit jeweilsangegebenemMittelwertµ undStandardabweichungσ zusammen.Dabeiwurdeauf eineextra Aufführungder relativenFehlerverzichtet,dasichdiesedurchdie Normierungbei derverwendetenEinheitskugelsofortablesenlassen.


K-Schätzungen baryzentrisch Voronoi lokaleRegression

100Knoten,196Dreiecke µ I 1 n 04mw 2 µ I 1 n 03mw 2 µ I 1 n 42mw 2

σ I 0 n 06mw 2 σ I 0 n 00mw 2 σ I 0 n 15mw 2







Tabelle4.1: Gütevon K-Schätzernbei verschiedenenTriangulierungenderEinheits-kugel

H-Schätzungen baryzentrisch Voronoi lokaleRegression









Tabelle4.2: Gütevon H-Schätzernbei verschiedenenTriangulierungenderEinheits-kugel

Auffallendist die Überlegenheitder Voronoi-Methode(3.19)und (3.24). Sie ist,wie schonbeim Einheitswürfel,die besteund auchabsolutgeseheneine sehrguteWahl. Völlig ungeeigneterscheintdie lokale Regression.Die Methodeenthält,wiein [KLM1998] erklärt,einensystematischenFehlerfür KugelnundZylinder, denndasRotationsparaboloidnimmt in der Spitze,wo der Schätzwertdannentnommenwird,seinemaximaleKrümmungan,waszueinermethodischbedingtenÜberschätzungderKrümmungvon z.B. Kugelnführt. JemehrDreiecke zur Approximationgenutztwer-den,destomehrähnelndie zur SchätzunggenutztenUmgebungenEbenen,wasdenEinflussdiesesVerfahrensfehlerseindämmt. In allen betrachtetenFällen ist Voronoibesseralsbaryzentrisch.

Für die feinstegetesteteVergitterungist allerdingseineUmkehrungdesTrendszubeobachten.Alle Verfahrenwerdenauf einmalschlechtbis sehrschlecht,wobei dielokaleRegressionnocham bestenabschneidet.Die ersteTatsachelässtsichauf einestarkangestiegeneInhomogenitätderTriangulierung,wasletztendlichein signifikan-tesRauschenin Bezugauf eineidealeKugeloberflächedarstellt,zurückführen.DieseStörungenwirkenschwächerauf die nur nochsehrschwachdurchdenmethodischenFehlerbelastetelokaleRegression,dadiesemit dem2-Ringvon KnoteneinegrößerelokaleUmgebungfür dieSchätzungverwendet.

Zusammenfassendmussmansagen,dassVoronoi erneutinsgesamtdiebestenNo-tenerhält.

4.4. ZYLINDER 41

4.4 Zylinder

Die nächsteTestoberflächeseieinZylindermantelvomRadiusr I 1m. Damitwird dieeineHauptkrümmungin tangentialerRichtungκ1 I 1mw 1, währenddie anderealsκ2

verschwindet,da eineGeradedie ErzeugendedieserRotationsfigurdarstellt. Für dietheoretischzu erwartendenWerteerhältmansofortK I 0 undH I 0 n 5mw 1. Die Ver-gitterungerfolgtedurchein selbstgeschriebenesHilfsprogramm,dasdie Anzahl derStützstellenn auf einemKreisumlaufalsParameternimmt. Äquidistantverteilt ergibtsich darausein n-Eck als uniformeSchnittfigur. Gleichliegenden-Ecke werdendannjeweils zwischenzwei direkt benachbartliegendenSchnittendurch2n paarweisekon-gruente,rechtwinkligeDreieckezueinertrianguliertenOberflächeerweitert,Abb.4.3.

Abbildung4.3: AusschnittderVergitterungeinesZylindermantels

Erneutwurdendie drei VerfahrendesletztenAbschnittsauf die Testoberflächeange-wandt. Zu beachtenist dabeidie strengeUniformität derUmgebungen2, wasjeglichestatistischeUntersuchungendurchdie implizierte Gleichartigkeit der Ergebnisseent-behrlichmacht.Somitist jeweilsnurdereinzigauftretendeWert angegeben.

(H;K) baryzentrisch Voronoi lokaleRegression

n I 10 F 0 n 50mw 1;0 n 00mw 2 G F 0 n 50mw 1;0 n 00mw 2 G F 0 n 10mw 1; K 1 n 91mw 2 Gn I 30 F 0 n 50mw 1;0 n 00mw 2 G F 0 n 50mw 1;0 n 00mw 2 G F 0 n 43mw 1; K 0 n 19mw 2 Gn I 50 F 0 n 50mw 1;0 n 00mw 2 G F 0 n 50mw 1;0 n 00mw 2 G F 0 n 48mw 1; K 0 n 05mw 2 GTabelle4.3: Gütevon KrümmungsschätzernaneinerEinheitszylinder-Oberfläche

Zuerstsieht man, dasssowohl baryzentrisch als auchVoronoi für alle Stufenndasexakte, theoretischzu erwartendeResultatliefern. Baryzentrischeund Voronoi-Zellen habenhier jeweils die gleicheFläche,nämlichein Drittel der Flächensumme

2Ausgeschlossenbleibenmüssenbei der Auswertungdie obenund untenauftretendenRanddreiecke.Dies ist zulässig,und stellt keineVerfälschungder Ergebnissedar, da unsereTestoberflächeein unendli-cher,ausder RotationeinerGeradenum eineim Abstandr parallel liegendeRotationsachseentstandenerZylindermantel,seinsoll.


der jeweils sechsNachbardreiecke. Da dieseEigenschaftim baryzentrischenFall all-gemeingültigist (3.10),musssienurnochfür diespezielleVoronoi-Zellegezeigtwer-den. Abb.4.4 verdeutlichtdie Beziehung. Sie gilt auchfür den allgemeinerenFallvon Dreiecken, die paarweiseRechtecke statt Quadrateformen, da sich danndurchdie Streckungalle Flächenim gleichenVerhältnis,demStreckungsfaktor, ändern.DieWerteder lokalenRegressionkonvergierenmit steigendemn nur sehrlangsamgegendiekorrekten.Bei derGaußschenKrümmungtritt durchweg dasnichtkorrektenegati-veVorzeichenauf.

Abbildung4.4: Voronoi-Zellein derabgerolltenTriangulierungeinerZylinderoberflä-che

4.5 Zusammenfassung

Wir habenfestgestellt,dassVoronoidastheoretischbestederdreiuntersuchtenVerfah-renist. In derPraxissinddie Verhältnissejedochetwasanders.Eszeigtsich,dassderVergitterungsalgorithmus(sieheKapitel 1.7) einenstarken Einflussauf die Anwend-barkeit von diskretenKrümmungsschätzernhat. Die nicht-glatte,blockige Strukturder Triangulierungen,zu der alle MC-basiertenVerfahrenführen,machtdenEinsatzvon Voronoi bzw. baryzentrisch sehrfragwürdig. Geradeweil sie so exakteErgeb-nisseliefern, sindsie in der realenWelt etwasungeeignet.WahrscheinlichsinddieseVerfahrenbesserfür die glatteren,durch SNG erzeugtenNetzebrauchbar. Für un-serMT-Verfahrenist jedochder Einsatzder wenigerlokalen(2-Ring statt1-RingalsUmgebung), eine Glättungschonenthaltendenlokalen Regressionangebracht.Daspassiertauchim nächstenKapitel.

Kapitel 5

Kamm- und Tal-Linien

5.1 Überblick

Mit dennunvorliegendenKrümmungsschätzern,sollteesmöglichsein,Linien maxi-malerbetragsmäßigerKrümmung,alsoKamm-undTal-Linien,auseinertrianguliertenOberflächezu extrahieren.Auf ihrer Basissollte sich späterdie Segmentierungvor-nehmenlassen.DabeiwerdennatürlicherweisedieKammlinienalsZentral-LinienderKronenbereichesowie dieTal-LinienalssolchederFundusregionendienen.Weiteristzu sehen,inwieweit sich die Wandbereicheals Übergängeebenfalls charakterisierenlassen.

Mit (2.1)wird klar, dassmandabeidieNullstellenoder-linien derdrittenAbleitun-genderKurvebzw. desBildesfür dasFindenlokalerExtremaderKrümmungbetrach-tenmuss.Vom theoretischenStandpunktaussinddabeikeinegroßenSchwierigkeitenzu erwarten.Allerdingswerdenin derPraxismit verschiedenenFehlernbehafteteDa-tenverwendet(besonderstrotzFilterungin derVorverarbeitungverbleibendeMessfeh-ler ausdemMR-Bild sowieDiskretisierungsfehlersowohlausderBildgebung- bedingtdurchdiebegrenzteVoxelauflösung1 - alsauchausdemnachfolgendenVerarbeitungs-schritt derTriangulierungderOberläche).Leider tritt somit immerein Rauschenauf,dassbeimBild selbstkaumstörenmag,jedochnachdemdreimaligenaufrauendenVer-fahrendesDifferenzierensfastimmerzuunerwünschtenStörungen(Artefakten)führt.Die Fehlerschaukelnsichin dieHöhe.

Eine LösungdiesesProblemskannzwei- odereinstufiggeschehen:durcheinenVorverarbeitungsschrittdesGlättensoderdurchVerwendenvonrobusten(alsorauschto-leranten)Algorithmen.Davor sindabernocheinpaarDefinitionennotwendig.

5.2 Wichtige Definitionen

SeiG F V n E G ein gerichteterGraphmit einerendlichen,nichtleerenKnotenmengeV |R3, derenn ElementeTripel reellerZahlen,die denOrtsvektorender Knotenim eu-klidischenRaumentsprechen,sind. Dannist die KantenmengeE H V Ð V ebenfallsendlich(sie habem Elemente),und für die beidenMengenkönnenIndizesvergebenwerden:

V I¶~ vi f 1 s i s n (5.1)1Die üblicheVoxelgrößeliegt im Momentbei Ñ 1mmÒ 3 amlebendenProbanden.Am totenHirn lässtsie

sichauf Ñ 0 Ó 25mmÒ 3 senken[Kru2002], bedingtdurchdienunmöglicheLangzeitfixierung.

43

44 KAPITEL 5. KAMM- UND TAL-LINIEN

E IÔ ej f 1 s j s m Õ (5.2)

Eine solcherGraphG eignetsich offenbar, um einenKörper im Oberlächenmodell(vgl. Abschnitt1.3) mathematischzu beschreiben.Allerdings wird dasModell hiernur knotenbezogen,ohneBezugauf die Dreiecksflächenbetrachtet.Dasist jedochfürdie anschließendzu führendenBetrachtungenausreichend.Weiterergibt sich,dassinunseremspeziellenAnwendungsfall derRepräsentationeinertrianguliertenOberflächeals Knotengraph,dieserzusammenhängend (da nur ein Objekt betrachtetwird) undmit der Topologie-AnnahmeausAbschnitt3.1 auchplanar ist. AußerdemverlaufendieKantenbidirektional,dadenDreiecksseitenkeineOrientierungenzugeordnetsind,d.h.eswird eigentlicheinungerichteterGraphsimuliert.

Ein Weg vom Knotenv1 zumKnotenvk ist eineFolgevon Knotenv1 Ö! vk, wobeidiesernuraufKantenverlaufendarf,d.h. ¥ vi × vi Ø 1 §0Ù E × i Ú 1 !Ö k Û 1. Mit einerKosten-funktion P : E Ü RØ kannzunächstjederKanteein nicht negatives,reellesGewichtzugeordnetwerden. Die Länge einesWeges ist die Summenaller unterwegs auftre-tendenKosten: l Ý v1 Þ!ÞÖÞ vk ß Ú¶à k á 1

i â 1 P Ýgã vi × vi Ø 1 ä ß . Dannist derkürzesteWeg von v1 zuvk derjenige,derdie unterwegserhobenenKostenminimiert: l Ý v1 ÞÖÞ!Þ vk ß Ü min. DenWert der Längenfunktionan der Minimalstellebezeichnenwir als Abstandd Ý v1 × vk ßzwischenv1 undvk im GraphenG mit derKostenfunktionP.

5.3 Rauschverminderung durch Glätten

Der sehrdirekteAnsatzderLösungdes’Rauschproblems’durcheinenvorgeschalte-tenVerarbeitungsschritthateinigeSchwächen.In derPraxiswird essosein,dassun-terschiedlichevorgelegteTriangulierungenein verschiedenstarkesRauschenmit sichbringen.DamitmussjedesmalneudieFragenachderStärkedesGlättensbeantwortetwerden. Wannverschwindennur die unerwünschtenArtefakte,wanngehenwesent-liche Informationenmit verloren? Natürlich sind in einemgewissenMaßeadaptiveAlgorithmenvorstellbar, diedasProblemwohl teilweiselösenkönnten,dochprinzipi-ell ist einsolchesVorgehenkeineguteLösung.

5.4 Ein robusterAlgorithmus für Kamm- und Tal-Linien

FortgeschritteneAlgorithmenenthaltenschonselbsteineRauschunterdrückung.Einsehrmodernerund mathematischrechtanspruchsvoller Ansatzüber anisotropeDif-fusion ist u.a. in [DR2000] zu finden. Damit gelingt weitgehendein Ausfiltern desRauschensbeigleichzeitigerBeibehaltungscharferKanten.

Hier wollen wir unsjedochauf eineneherklassischenAnsatzüberkürzesteWegein Graphen,wie in [BaS2001] geschehen,beschränken. Die Idee ist so einfachwieerfolgversprechend.Schon1959wurdevon Dijkstra dasProblemkürzesterWege inGraphengelöst. Für die GenerierungeinerKammliniewählemanalsoeinfacheinengeeignetenStart-undEndknotensowie eineKostenfunktionP, dieBerge’belohnt’ undTäler’bestraft’. Dannist derkürzesteWeg alseinguterVorschlagfür eineKammliniezu erwarten. Wie bei [BaS2001] wählenwir die mittlere KrümmungH als zu extre-mierendeGröße.Siestreutals arithmetischesMittel der HauptkrümmungenwenigeralsderenProduktK2, ist alsoim SinnederRauschunterdrückungbesser. Die Vorgabe

2DashatsichauchbeiunserenTestsderdiskretenSchätzerin Abschnitt4 gezeigt.

5.4. EIN ROBUSTERALGORITHMUS FÜRKAMM- UND TAL-LINIEN 45

einesNormwertesM für diemittlereKrümmungführt mit einerstärkerenGewichtunggrößererAbweichungendirektauf

PV Ý vi ß : Ú2åjæH Ý vi ß Û M ç 2(5.3)

DieseKostenfunktionist knotenbezogen,dochüberdieBijektion zwischenZielknotenundKantewird siesehrleicht kantenbezogen,wie esfür einenDijkstra-Algorithmusnotwendigist:

P Ý ei Úã v j × vk ä ß : Ú PV Ý vk ß (5.4)

Es bleibennochdie Probleme,wasals NormwertM sowie als Start-und Zielknotenzu wählenist. Möglich, aberbei einerstarkstrukturiertenkomplettenHirnoberflächewenigpraktikabel,ist vielmaligesAnklickenderjeweiligenbeidenKnotenin der3D-Ansicht am Bildschirm. Wünschenswertist einevollautomatischeExtraktion. Dieskannz.B.übereinelokaleExtremwertsuchein denverschiedenenTeilenderHirnober-flächegeschehen,wobei dannExtremadirekt benachbarterRegionenüberminimalePfadeverbundenwerden. Dabei ist der Standardansatz,die drei DimensionenHöhe,Breite undTiefe desdie KnotenmengeumschließendenQuadersjeweils gleichmäßigin p Abschnitteaufzuteilen.Dies führt zunächstauf die bezüglichder Algorithmen-komplexität rechtungünstigeZahlvon p3 Regionen.Allerdingskönnenvieledavon inder Praxisschnellausgeschlossenwerden. Zu erwähnensind dabeidie Abwesenheitvon Knotenüberhauptsowie ein zu geringerAnteil von Knotenmit vorzeichenkor-rekterKrümmung. Die Symmetrieder Kostenist durchdie Definition in (5.4) zwarverletzt,allerdingsgenügtesin derAnwendung,Pfadenur vom Knoteni zumKnotenj undnichtauchnochin umgekehrterRichtungzuberechnen.Als NormwertM schla-ge ich denMittelwert ausdenSchätzernder mittlerenKrümmungam Start-und amZielknotenvor.

Für die Tal-Linien gehemananalogvor. Essind danndie entgegengesetztenEx-tremain denjeweiligenRegionenalsRandknotenderLinien zuverwenden.

Im ErgebnisdiesesSchrittesliegendannzwei disjunkteTeilmengender Knoten-mengevor, die jeweilsallezu Kamm-bzw. Tal-Linien gehörendenKnotenumfassen:

VKammlinien è V

VTall inien è V (5.5)

Dernächste,sichanbietendeSchrittist dieErweiterungdieserbeidenMengenso,dasssiezusammendieKnotenmengeauchüberdecken,alsoeineZerlegungdieservorliegt.Dasuntersuchenwir im nächstenKapitel.

46 KAPITEL 5. KAMM- UND TAL-LINIEN

Kapitel 6

Unterteilung

6.1 Einleitung

Mit demim letztenAbschnitteingeführtenKonzeptderKamm-undTallinien ist einemöglicheGrundlagefür diebeabsichtigteUnterteilungderHirnoberflächegeschaffen.Die KnotenmengeV soll in ÄquivalenzklassenVi von Knotenzerlegt werden,wobeidiesepaarweisedisjunktunddieMengeV überdeckendsind:é

i

Vi Ú /0êi

Vi Ú V (6.1)

Zunächstist derenAnzahlzu diskutieren.Wünschenswertwäreeine3-Segmentationin Kronen-,Fundus-undWandregionen,dochdiesist im allgemeinenFall möglicher-weisenur schwerzu realisieren.Also begnügenwir unszunächstmit einerVernach-lässigungderÜbergangsbereiche- diesentsprichteiner2-Segmentationausschließlichin Kronen- und Fundusregionen. In diesemeinfacherenFall könnenzugleichauchallgemeineProblemederUnterteilungverständlicherwerden.

6.2 2-Segmentation

Als einenplausiblenIndikatorfür dieZuordnungzu einerKronen-oderFundusregionwählenwir dasVorzeichender Differenzder Abständezur nächstenKamm-und zurnächstenTal-Linie, wobeidie bei GleichheitderAbständewillkürlich, aberfest (hierderKronenregion)zugeordnetwird:

vi Ù VKrone ë d Ý vi × VKammlinien ß Û d Ý vi × VTall inien ßì 0

vi Ù VKrone ë d Ý vi × VKammlinien ß Û d Ý vi × VTall inien ßí 0 (6.2)

Die KostenfunktionPSegm ordnetjederKanteihre euklidischeLängezu. Der AbstandeinesKnotenszueinerMengeist definiertalsdasMinimum seinesAbstandeszuallenKnotenderMenge.Formalkönnenwir diessofesthalten:

PSegm Ý ei Úã v j × vk ä ß : Úpîî v j Û vk îî (6.3)

47

48 KAPITEL 6. UNTERTEILUNG

d Ý vi × W ß : Ú minw ï W ð V

d Ý vi × wß (6.4)

Alle anderenBegrifflichkeitenwurdenschonhinreichendgenauim Abschnitt5.2 er-klärt. Der erneutverwendeteDijkstra-Algorithmuskannabgebrochenwerden,sobaldeineTal- bzw. Kammlinieerreichtist, denner ist sokonstruiert,dassdieKnotenschonnachihrenAbständengeordnetausgegebenwerden.

Befindetsich ein Kamm in größererNäheals dasnächsteTal, bejahenwir dieHypothesedesZuschlagszu einerKronenregion - im umgekehrtenFall kanndie Al-ternativhypothesederZugehörigkeit zueinerFundusregionangenommenwerden.DieZweiwertigkeit der Entscheidunglässtunssofort zum einzig sinnvollen SchwellwertNull kommen.

6.3 3-Segmentation

Will manfür die fortgeschritteneStufeder3-Gruppen-UnterteilungwiederumdieAb-standsdifferenzzur nächstenKamm-undTal-Linie nutzen,tritt die Schwierigkeit desFindenspassenderSchwellwerte oder andersartigerAbgrenzungenauf. Wann kannmanvon einemÜbergangsbereich,einerWand,sprechen?Für einenspeziellenDa-tensatzkanndie FrageübereinenRegelkreisunterEinbeziehungdesMenschenrechtgut gelöstwerden.UnserZiel waresjedoch,denSegmentationsprozessauf möglichstallgemeingültigerEbenezuautomatisieren.

Kapitel 7

Ergebnisse

In denAbbildungen7.1 bis 7.5 sinddie extrahiertenFundusbereichein rotenunddieKronenbereichein grauenFarbtönendargestellt.

7.1 BeispielsegmentationenanalytischerOberflächen

Abbildung7.1: SegmentationeineseinzelnenBerges

Die GleichungderFlächedesin Abb.7.1einzelnenBergesist:

zÝ x × yß Ú 59expÛñÝ x Û 30ß 2 Û¡Ý y Û 30ß 2

100(7.1)

DerRotationskörperin Abb.7.2wurdeüberfolgendenRadius-Höhen-Zusammenhangkonstruiert:

r Ý zß Ú 5sinz

2 × 5 (7.2)

49

50 KAPITEL 7. ERGEBNISSE

Abbildung7.2: SegmentationeinesRotationskörpers

Die kuppenartigeFlächederAbb.7.3wurdemittelsfolgenderGleichunggeneriert:

Abbildung 7.3: SegmentationeinesSystemsvon Kuppenmit p Ú 10 Unterteilungs-schritten

zÝ x × yß Ú 14sinÝ x Û 16ß 2 ò Ý y Û 16ß 2

10(7.3)

Außer bei der letzten,etwas komplexerenOberfläche,stimmendie berechnetenUnterteilungenstetsgut mit unserenintuitiven Vorstellungenvon Fundus-und Kro-nenregionenüberein. Klar wird hierbei,dassdie Anzahl der Unterteilungsschrittep

7.2. BEISPIELSEGMENTATIONEN VON HIRNOBERFLÄCHEN 51

für die FeinstrukturderKuppenin Abb.7.3zu geringgewählt wurde.Problemetratenhierbeimit dermehrereStundenlangenRechenzeitauf.

7.2 Beispielsegmentationenvon Hir noberflächen

Abbildung7.4: SegmentationderHirnoberflächeaus10kDreieckenmit p Ú 15Unter-teilungsschritten

(a) (b)

Abbildung7.5: SegmentationeinesHirnausschnittsaus20k Dreiecken: (a) unserAl-gorithmusmit p Ú 10 Unterteilungsschritten,(b) einfacheSchwellwert-TrennungbeiH Ú 0 alsVergleich

Es ist zu erkennen,dassSegmentationenrealer, nichtkünstlicherDatennur un-befriedigendgelingen.Zwar werdendie meistenTalabschnitteextrahiert,dochtretenauchLückenundunerwünschteÜberbrückungenvonSättelnauf. Möglicherweisesinddie Anzahlender Unterteilungenjeweils nochzu geringgewählt. Eine Nachbearbei-

52 KAPITEL 7. ERGEBNISSE

tungzumSchließenderLückenundzur EliminationderSättelstellt einenmöglichenAusweg dar. Andererseitsist die deutlicheÜberlegenheitdesVerfahrensgegenübereinfacherSchwellwert-Trennunggut sichtbar.

Die Rechenzeitenlagenjedochschonso im BereichganzerNächte,so dassei-ne weiter gehendeUntersuchungzum einenrechtmühsamist und andererseitsauchwenig sinnvoll im Hinblick auf denpraktischenNutzenerscheint,da bei solch lan-genRechenzeiteneinenurhalbautomatischeSegmentationin jedemFall schnellerundauchzuverlässigergelingensollte.Evtl. kanndasVerfahrenin bestimmtenSituationenunterstützendeingesetztwerden.

7.3 Einschätzung

DasanfangsgestelltesehrehrgeizigeZiel einerkrümmungsbasiertenDiagnosezumStadiumvon Hirnerkrankungenkonnteim RahmendieserArbeit nicht erreichtwer-den.AllerdingswurdenwichtigeAspektederKrümmungsschätzungauf trianguliertenOberflächenaufgezeigt,sowie ein daraufbasierendesSegmentationsverfahrenfür dieHirnoberflächevorgestelltundgetestet.

Die beidenangesprochenenProbleme,mangelndeRobustheitund zu langeRe-chenzeiten,sind bei Segmentations-Ansätzenweit verbreitet[Zui1995]. Durch Op-timierungenscheinteine Verkürzungder Rechenzeitenmöglich. Der aufwendigsteSchritt, die Berechnungder Kamm- und Kronenlinien,kannevtl. durcheinenande-renAnsatz(z.B. einendenTriangulierungsschrittübergehenden,direkt amRasterbildarbeitenden[TG1992]) ersetztwerden.

Tabellenverzeichnis

1.1 LegendezuAbb.1.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.3 Triangulierungsalgorithmenim Vergleich . . . . . . . . . . . . . . . 16

4.1 Güte von K-Schätzernbei verschiedenenTriangulierungender Ein-heitskugel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

4.2 Güte von H-Schätzernbei verschiedenenTriangulierungender Ein-heitskugel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

4.3 Gütevon KrümmungsschätzernaneinerEinheitszylinder-Oberfläche. 41

53

Abbildungsverzeichnis

1.1 Prozesskettezur Parameterextraktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.2 GrobstrukturdesGehirnseinschließlichseinerUmgebung . . . . . . 91.3 KernspintomographiedesHirns: eineSchichtals 2D-Bild; Knochen

undLiquor wurdenbereitsbildverarbeitungstechnischentfernt . . . . 101.4 Änderungvon VolumenV undKrümmungK sowie ihresQuotienten

beim“Verplumpen”einerWindungsfurche. . . . . . . . . . . . . . . 16

3.1 DiskretisierungundlokaleMittelung im 1D-Fall . . . . . . . . . . . 243.2 ZerlegungeinesPolygons. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253.3 ParkettierungeinerPolyederoberflächein UmgebungeinerEcke(o.B.d.A.

ebenerFall) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273.4 Zur FlächedesSektorseinerbaryzentrischenZelle . . . . . . . . . . 283.5 stumpfwinkligesDreieckTi j mit zugehörigemTeilstückeinerVoronoi-

Zelle: FlächenderTeilstückeverhaltensichwie 1:2:1 . . . . . . . . . 283.6 spitzwinkligesDreieckTi j mit zugehörigemTeilstückeinerVoronoi-

Zelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 293.7 mittlereKrümmunganeinerKante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 333.8 mittlereKrümmunganeinerEckenach[MDSB2001] . . . . . . . . . 333.9 mittlereKrümmunganeinerEckenach[BaS2001] . . . . . . . . . . 34

4.1 Schrägbildund Netz einestrianguliertenWürfels mit zwei Möglich-keitenderParkettierung. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

4.2 FehlerbeiderTriangulierungeinerglattenOberflächeüberStützstellen 394.3 AusschnittderVergitterungeinesZylindermantels. . . . . . . . . . . 414.4 Voronoi-Zellein derabgerolltenTriangulierungeinerZylinderoberfläche42

7.1 SegmentationeineseinzelnenBerges. . . . . . . . . . . . . . . . . . 497.2 SegmentationeinesRotationskörpers. . . . . . . . . . . . . . . . . . 507.3 SegmentationeinesSystemsvon Kuppenmit p Ú 10 Unterteilungs-

schritten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 507.4 SegmentationderHirnoberflächeaus10kDreieckenmit p Ú 15Unter-

teilungsschritten. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 517.5 SegmentationeinesHirnausschnittsaus20k Dreiecken: (a) unserAl-

gorithmusmit p Ú 10Unterteilungsschritten,(b)einfacheSchwellwert-TrennungbeiH Ú 0 alsVergleich . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

54

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Erklärung

Ich versichere,dassich die vorliegendeArbeit selbständigundnur unterVerwendungderangegebenenQuellenundHilfsmittel angefertigthabe.

Ort Datum Unterschrift

diplomarbeit - htw dresdenmuellerd/diplomarbeit.pdf · 2007. 5. 16. · diese arbeit wurde unter...

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