저 시- 경 지 2.0 한민

는 아래 조건 르는 경 에 한하여 게

l 저 물 복제, 포, 전송, 전시, 공연 송할 수 습니다.

l 저 물 리 목적 할 수 습니다.

다 과 같 조건 라야 합니다:

l 하는, 저 물 나 포 경 , 저 물에 적 된 허락조건 명확하게 나타내어야 합니다.

l 저 터 허가를 면 러한 조건들 적 되지 않습니다.

저 에 른 리는 내 에 하여 향 지 않습니다.

것 허락규약(Legal Code) 해하 쉽게 약한 것 니다.

Disclaimer

저 시. 하는 원저 를 시하여야 합니다.

경 지. 하는 저 물 개 , 형 또는 가공할 수 없습니다.

공학석사학 청구논문

패치 보수 시 잔류응력 측을 한 탄성 유한요소

해석의 병렬화

ParallelizationofViscoelasticFiniteElementAnalysis

forPredictionofInducedResidualStressby

RepairingthePatch

2010년 2월

인하 학교 학원

항공우주공학과

도 형 수

공학석사학 청구논문

패치 보수 시 잔류응력 측을 한 탄성 유한요소

해석의 병렬화

ParallelizationofViscoelasticFiniteElementAnalysis

forPredictionofInducedResidualStressby

RepairingthePatch

2010년 2월

지도교수 김 기 욱

이 논문을 석사학 논문으로 제출함

인하 학교 학원

항공우주공학과

도 형 수

이 논문을 도형수의 석사학 논문으로 인정함

2010년 2월

주심

부심

원

- i -

요 약

정 해석에 한 요구와 부시게 발 하는 컴퓨터 성능에 발맞추어 유

한요소 구조해석의 규모는 나날이 증 하고 있다.본 논문에서는 이러한 규모

유한요소 구조해석을 수행하기 한 병렬화 방법으로서 최근 빠르게 발 하고

있는 다 코어 CPU를 이용하여 병렬 로그래 을 가능하게 해 주는

OpenMP(Open Multi-Processing)API(Application Programming Interface)를

사용하 다.유한요소 해석은 요소 기반으로 진행되는 알고리듬의 특성상 작업

의 병렬화가 가능하고 공유 메모리 환경의 병렬 로그램에서 발생할 수 있는

데이터 이스 컨디션을 비교 쉽게 피할 수 있다.[1,2]본 연구에서는 유한요

소 해석 로그램을 병렬화하여 성능과 타당성을 검증하 다.

본 연구진은 패치 보수 시 착제의 탄성 거동과 온도 효과를 포함한 경

화과정에서 발생되는 잔류응력의 측에 한 연구를 진행한 바 있으며,이때

유도된 증 탄성 물성 방정식(Incremental Viscoelastic Constitutive

Equation)을 이용한 순환 방정식(RecursiveEquation)[3]을 병렬화 하 고,실제

해석모델의 경우 길이-두께 비율이 매우 크기 때문에 8 요소를 사용할 경

우 정확한 해석을 해서는 매우 많은 요소를 포함하게 되며,20 요소를 사

용할 경우 요소 자체의 자유도가 크기 때문에 해석 시간이 오래 걸리는 단 이

있었으나 이를 획기 으로 단축시켰다.

- ii -

ABSTRACT

Ascaleoffiniteelementanalysisforstructuralsystem isincreasingwith

a requestofhigh accuracy ofanalysis and developmentofcomputer

performance.Inthispaper,OpenMP(OpenMulti-Processing)API(Application

ProgrammingInterface)thatenablesparallelprogrammingwithmulticore

cpu which isdeveloping quickly in thesedaysisusedasamethod of

parallelizationforthislarge-scalefiniteelementanalysis.

Sincetheprogrammingprocedureoffiniteelementanalysisisbasedon

elementwise,theparallelizationoflargeportionoffiniteelementanalysisis

possibleandeasytoavoiddataraceconditionthatisoccurredinparallel

programminginenvironmentofsharedmemorysystem.Inthispaper,we

verifiedperformanceandvalidityofourparallelizedprogram.

Ourteam havebeencarriedouttheresearchaboutviscoelasticbehavior

ofadhesivetopredictinducedresidualstressduring curing process,and

derivedincrementalform ofviscoelasticconstitutiveequationwithrecursive

equation.

Becauseofaspectratioofrealmodelisverylarge,if8-nodeelementis

used,lotsofelementsisneededforaccurateanalysis,if20-nodeelementis

used,relativelyaccuratesynthesisispossiblewithlesselementsbutsame

situationishappenedaboutcomputationtimebecausedegreeoffreedom of

20-nodeelementislargerthan8-nodeelement.

Forthesereasons,parallelizationofviscoelasticfiniteelementanalysisis

important,andcomputationtimewasfinelyreducedbythiswork.

- iii -

목 차

요약 ․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․ i

ABSTRACT ․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․ ii

목차 ․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․ iii

그림 목차 ․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․ v

표 목차 ․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․ vii

1.서 론 ․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․ 1

2. 탄성 해석 ․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․ 4

2.1. 탄성 재료의 특성 ․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․ 4

2.2. 탄성 물성 방정식 ․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․ 6

2.2.1.Maxwell-KelvinCombinedModel ․․․․․․․․․․․․ 6

2.2.2.GeneralizedRelaxationModelin1-D ․․․․․․․․․․ 8

2.2.3.GeneralizedRelaxationModelin3-D ․․․․․․․․․․ 10

2.3.열유동학 단순 거동(Thermal-RheologicallySimpleBehavior) ․․․ 13

2.3.1. 성의 온도 의존성 ․․․․․․․․․․․․․․․․․․․ 13

2.3.1.1.ArrheniusModel ․․․․․․․․․․․․․․․․․ 14

2.3.1.2.Williams-Landel-FerryModel ․․․․․․․․․ 14

2.3.2.시간-온도 첩 원리(Time-TemperatureSuperposition) ․․ 14

2.3.3.열 효과(Thermaleffect) ․․․․․․․․․․․․․․․․ 15

2.3.4.열유동학 단순 거동의 탄성 물성 방정식

(ViscoelasticConstitutiveEquationofThermal-rheologicallySimpleBehavior)16

2.4.열유동학 복합 거동(Thermal-RheologicallyComplexBehavior) 16

2.5. 증 형태의 탄성 물성 방정식

(IncrementalForm ofViscoelasticConstitutiveEquation)17

2.6. 탄성 해석의 유한요소 정식화

(FiniteElementFormulationofViscoelasticAnalysis)21

- iv -

2.7.열화학 거동(Thermal-ChemicalBehavior) ․․․․․․․․․ 24

2.7.1지배방정식(GoverningEquation) ․․․․․․․․․․․․ 24

2.7.2유한요소 이산화(FiniteElementDiscretization) ․․․․․․ 25

2.7.3MassLumping ․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․ 26

2.7.4수치 시간 분법(NumericalTimeIntegration) ․․․․․․ 27

3.유한요소 해석 병렬화 ․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․ 29

3.1.OpenMP(OpenMultiProcessing) ․․․․․․․․․․․․․․ 29

3.2.IntelParallelSolver ․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․ 31

3.3.유한요소 해석의 병렬화 (ParallelizationofFiniteElementAnalysis) 32

3.3.1. 역 행렬의 조합 생성 병렬화 ․․․․․․․․․․․․ 32

3.3.2. 체 로그램의 성능 평가 ․․․․․․․․․․․․․․․ 36

3.4.수치 제 ․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․ 37

3.4.1.선형 정 해석(LinearStaticAnalysis) ․․․․․․․․․ 37

3.4.2.온도-변 연성 해석(Temperature-DisplacementCoupledAnalysis) 39

3.4.3.선형 탄성 해석(LinearViscoelasticAnalysis) ․․․․․ 40

4.결론 ․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․ 43

참고문헌 ․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․ 44

- v -

그림 목차

Fig.1 CreepresponseofViscoelasticMaterial ․․․․․․․․․․ 4

Fig.2 RelaxationresponseofViscoelasticMaterial ․․․․․․․․ 5

Fig.3 EffectofLoadingrate& RecoveryofViscoelasticMaterial․ 5

Fig.4 MaxwellModel ․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․ 6

Fig.5 Kelvin-VoigtModel ․․․․․․․․․․․․․․․․․․․ 6

Fig.6 Maxwell-KelvinCombinedModel ․․․․․․․․․․․․․ 7

Fig.7 GeneralizedRelaxationModel(1-D) ․․․․․․․․․․․․ 8

Fig.8 온도에 따른 시간-이완계수 그래 ․․․․․․․․․․․․․ 15

Fig.9 OpenMP의 Fork-JoinModel ․․․․․․․․․․․․․․․ 30

Fig.10 OpenMP의 WorkSharingConstruct ․․․․․․․․․․․ 30

Fig.11 일반 인 비 칭 행렬(좌)과 칭 행렬(우) ․․․․․․․․․ 31

Fig.12 8 1600요소 모델의 코어 개수에 따른 성능 비교 ․․․ 33

Fig.13 8 5400요소 모델의 코어 개수에 따른 성능 비교 ․․․ 33

Fig.14 8 9600요소 모델의 코어 개수에 따른 성능 비교 ․․․ 34

Fig.15 20 400요소 모델의 코어 개수에 따른 성능 비교 ․․․ 34

Fig.16 20 1600요소 모델의 코어 개수에 따른 성능 비교 ․․․ 35

Fig.17 20 9600요소 모델의 코어 개수에 따른 성능 비교 ․․․ 35

Fig.18 SpeedupofParallelizedProgram ․․․․․․․․․․․․ 36

Fig.19 ValidationofLinearStaticAnalysis ․․․․․․․․․․․ 38

Fig.20 ValidationofTemperature-DisplacementCoupledAnalysis ․ 39

Fig.21 변형 모델(20요소) ․․․․․․․․․․․․․․․․․․ 41

Fig.22 변형 후 모델(20요소) ․․․․․․․․․․․․․․․․․․ 41

Fig.23 20요소 모델의 CreepResponse ․․․․․․․․․․․․․ 41

Fig.24 변형 모델(640요소) ․․․․․․․․․․․․․․․․․ 42

- vi -

Fig.25 변형 후 모델(640요소) ․․․․․․․․․․․․․․․․․ 42

Fig.26 640요소 모델의 CreepResponse ․․․․․․․․․․․․․ 42

- vii -

표 목차

Table1 시스템 기본 사양 ․․․․․․․․․․․․․․․․․․․․ 29

Table2 PARDISO의 데이터 배열 형식 ․․․․․․․․․․․․․ 31

Table3 LApackDPBSV와 PARDISO의 계산 시간 비교 ․․․․․ 32

Table4 MaterialPropertiesofLinearStaticAnalysis ․․․․․․ 37

Table5 ComparisonofLinearStaticAnalysiswithABAQUS ․․ 38

Table6MaterialPropertiesofCoupled

Temperature-DisplacementAnalysis39

Table7 ComparisonofTemperature-DisplacementCoupledwithABAQUS 39

Table8 MaterialPropertiesofLinearViscoelasticAnalysis ․․․․․ 40

Table9 ComparisonofLinearViscoelasticAnalysiswithABAQUS(20Elements) 41

Table10ComparisonofLinearViscoelasticAnalysiswithABAQUS(640Elements) 42

- 1 -

1.서 론

1930년 후반 진공 을 사용한 최 의 컴퓨터가 등장한 이후,실리콘 기반

의 트랜지스터의 발명과 함께 컴퓨터는 최근까지 부신 발 을 거듭해 왔다.

그러나 그동안의 컴퓨터 로세서는 클록 속도를 빠르게 하여 성능을 개선해

왔으며 클록 속도가 빨라질수록 력 소모가 커지고 발열이 많아 로세서의

속도를 개선시키는데 물리 한계에 다다랐다.이의 안으로써 제시된 멀티 코

어 로세서는 여러 개의 코어를 탑재하기 때문에 개별 코어가 보다 낮은 주

수에서 작동할 수 있고,싱 코어에서 소모되는 력을 여러 코어에 분산시킨

다.멀티 코어 로세서의 장 은 앙 처리 장치(CPU)가 2개 이상 들어간 것

과 마찬가지이기 때문에 싱 코어 로세서에 비해서 빠른 작업 처리가 가능

하며 이론 으로 코어 개수만큼의 배수만큼의 성능이 발휘된다.

한편,유한요소 해석은 자동차,항공기,건설 등의 분야에서의 구조 해석 뿐

만 아니라,MEMS와 나노테크놀로지에서의 열 유동,유체 유동,자기 유동 등

의 넓은 범 에서 강력한 수치 해석의 도구가 되어 왔다. 한,CAD 시스템의

발 으로 복잡한 문제의 모델링이 가능해져,해석 결과물의 질과 개발 시간이

개선되고 있다. 유한요소 해석은 연속체(Continuum)의 이산화과정

(Discretization)을 거쳐 기본 요소들로 나 어지며, 한 요소의 선택은 해석

결과의 정확도에 한 향을 미친다. 한,일반 으로 해석 요소의 수를 늘

릴수록 정확한 결과를 기 할 수 있기 때문에 지난 수 십 년 간 컴퓨터가 부

신 발 을 거듭해 왔음에도 불구하고,유한요소 해석의 규모는 나날이 증가하여

컴퓨터의 메모리와 속도의 개선이 요구되고 있으며,이에 따라 병렬 컴퓨

(ParallelComputing)의 용이 요구되었다.

병렬 컴퓨 은 분산 메모리 환경과 공유 메모리 환경으로 나 어진다.분산

메모리 환경이란 각각의 계산 노드가 독립 인 시스템을 구축하고 있거나 어

도 CPU와 메모리를 가진 시스템을 말하며 병렬 로세스에서 네트워크를 통한

메시지 달(MessagePassing)방법을 사용한다.[4]반면 공유 메모리 환경은

- 2 -

여러 개의 CPU가 하나의 메모리를 공유하여 사용하기 때문에 각각의 CPU는

메모리에 직 인 근이 가능하다.분산 메모리 환경에서는 네트워크를 통해

정보를 교환하기 때문에 네트워크 역폭(Bandwidth)에 따라 정보 교환하는 속

도에 한계가 있으며 공유 메모리 환경에서는 시스템 메모리의 역폭이 네트워

크에 비해 비교 크기 때문에 제한이 덜하지만,공유 메모리를 사용함으로써

발생할 수 있는 CPU 간의 경합 조건(Racecondition)을 피하도록 로그램을

설계하여야 한다.멀티코어 CPU가 장착된 컴퓨터들은 공유 메모리 기반의 병렬

컴퓨 을 구 하기에 합하며,최근에는 멀티코어 CPU가 장착된 컴퓨터를 여

러 사용하여 공유 메모리 기반과 분산 메모리 기반을 동시에 활용하기도 한

다.본 논문에서는 공유 메모리 기반에서 병렬 로세싱을 가능하게 해주는 오

소스인 OpenMP를 사용하 다.

병렬화한 로그램을 항공기의 패치 보수 시에 발생하는 잔류 응력을 측

하기 해 사용하 다.패치 보수에는 베이스 패 을 착시키기 해 열경화성

수지를 이용한다.열경화성 수지는 탄성 성질을 가지고 있으며,경화 과정

동안 높은 온도의 열이 가해지게 되고 경화가 진행되면서 성이 차 어들

며 완 히 경화된 후에는 성이 사라지는 특성을 보인다.이때,경화가 완료된

후에는 수지와 베이스 패 간의 잔류 응력이 발생하게 되며,잔류 응력은 하

(pre-load)상태를 의미하므로 잔류 응력을 정확하게 측하는 것은 매우

요하다.따라서 탄성 거동에 온도와 경화도의 효과가 포함된 열유동학 복합

거동(Thermal-Rheologicallycomplexbehavior)을 여러 가지 경계 조건에 하

여 해석하 다.

기존의 해석 모듈은 8 요소를 사용하 기 때문에,실제로 매우 얇은 두

께를 가지는 수지가 포함된 모델에 한 층간 응력 등을 효과 으로 표 하기

해서는 매우 많은 요소를 필요로 하며,이것은 시간과 비용의 측면에서 비효

율 이다.따라서 은 수의 모델로 비교 더 정확한 해석을 수행할 수 있는

20 요소를 사용하도록 모듈을 확장하 으며,선형 정 해석(LinearStatic

Analysis)과 온도-변 연성 해석(Temperature-Displacement Coupled

Analysis),선형 탄성 해석(LinearViscoelasticAnalysis)을 상용 로그램인

- 3 -

ABAQUS와 비교하여 검증하 다.

- 4 -

2. 탄성 해석

2.1 탄성 재료의 특성

탄성 재료는 성과 탄성의 특성을 모두 보이는 재료를 말한다. 성은 유

체가 흐르는 것을 방해하려는 성질이며,유체에 가해지는 단력과 단 변형률

사이의 계는 성계수 를 사용하여 다음이 성립한다.[5]

(2.1)

순수 성 거동은 구 변형을 보이며 스스로 원래상태로 돌아오지 않는다.

성의 향으로 탄성 재료는 시간과 련 있는 거동을 보인다. 탄성 재료

에 일정한 응력을 가하면 시간의 흐름에 따라 변형율이 일정 수 까지 증가하

는 경향을 보이며(Creep),일정한 변형율을 가하면 시간이 지남에 따라 응력이

이완(Relaxation)되는 특성을 보인다. 한,하 이나 변 를 가하는 속도에 따

라 응력-변형률 선도의 기울기가 변화(Rateeffect)하며,하 이 제거되면 탄성

재료와 같이 변형의 일부, 는 부를 회복(Recovery)한다.[6]

Fig 1 Creep response of Viscoelastic Material

- 5 -

Fig 2 Relaxation response of Viscoelastic

Material

Fig 3 Effect of Loading rate & Recovery of Viscoelastic Material

- 6 -

2.2 탄성 물성 방정식

2.2.1Maxwell-KelvinCombinedModel

선형 탄성 거동은 스 링과 시포트의 조합으로 모사할 수 있다.조합의

방법에 따라 맥스웰 모델과 빈 모델이 있으며,맥스웰 모델은 구조 으로

탄성 재료의 크리 상을 기술할 수 없으며, 빈 모델은 완화 상을 제 로

표 해내지 못한다.반면,맥스웰- 빈 결합 모델은 크리 상과 완화 상을

모두 표 해낼 수 있다.

E

η

Fig 4 Maxwell Model

ηE∞

Fig 5 Kelvin-Voigt Model

- 7 -

Fig 6 Maxwell-Kelvin Combined Model

∞ (2.2)

(2.3)

(2.4)

∞ ∞∞ (2.5)

∞ (2.6)

따라서,맥스웰- 빈 모델의 구성 방정식(ConstitutiveEqn.)은 다음과 같이

표 된다.

∞≡ (2.7)

(2.8)

CreepComplianceJ(t)는 응력의 단 계단 입력(unitstepinput)에 한 변

형율의 비율로 정의 되며 맥스웰- 빈 모델의 CreepCompliance는 다음과 같

다.

- 8 -

≡

∞

∞ ∞

∞

(2.9)

여기서,는 감쇠 상수 와 탄성 계수 E의 비율로써,완화 시간(Relaxation

time)을 의미한다. 한,RelaxationModulus는 변형률의 단 계단 입력에

한 응력의 비율로 정의되며 맥스웰- 빈 모델의 RelaxationModulus는 다음과

같다.

≡

∞∞

(2.10)

2.2.2GeneralizedRelaxationModelin1-D

Fig 7 Generalized Relaxation Model (1-D)

앞 의 결과로부터 의 그림과 같은 일반 인 모델로 확장하면 다음의 구

성 방정식을 얻는다.

- 9 -

∞

(2.11)

(2.12)

lim→∞

(2.13)

식(2.12)의 미분 방정식을 풀어 식(2.11)에 입하여 정리하면 다음의 이완

함수(Relaxationfunction)을 얻을 수 있다.

∞

∞

(2.14)

여기서, 시포트에 발생하는 응력을 내부 변수 ≤ ≤ 를

도입하여 정리하면 다음과 같은 식으로 바꿀 수 있다.

∞

(2.15)

(2.16)

lim→∞

(2.17)

변형률 에 지 도 함수(StrainEnergyDensityfunction)는 다음과 같이

- 10 -

정의 된다.

≡

→

(2.18)

한,이완 시간(Relaxationtime),을 다음과 같이 정의한다.

≡

(2.19)

(2.20)

식(2.18)을 식(2.15)에 입하고,식(2.19)와 식(2.20)을 식(2.16)에 입하여 정

리하면 다음의 식을 얻는다.

(2.21)

(2.22)

2.2.3GeneralizedRelaxationModelin3-D

3차원 모델로의 확장을 고려하자.3차원에서의 변형률 텐서는 다음과 같이

체 변형률(Volumetricstrain)과 편차 변형률(Deviatoricstrain)로 나 수 있

다.

е

(2.23)

- 11 -

(2.24)

е

(2.25)

여기서 dev[],e는 편차 변형률(Deviatoricpart)를 의미하며 는 체 변형

률을 의미한다.변형률의 분리함에 따라 변형률 에 지 도 함수도 다음과 같

이 분리된다.

(2.26)

:Deviatoricpart

:Volumetricpart

3차원에서의 탄성 물성 방정식은 다음과 같이 표 된다.

(2.27)

(2.28)

lim→∞

(2.29)

식(2.28)의 우변 등식은 체 이완이 발생하지 않는다는 가정으로부터 성립

한다.식(2.27)의 는 indexnotation을 사용하여 다시 쓸 수 있다.

- 12 -

(2.30)

⇒

(2.31)

식(2.28)을 분하여 정리하면 다음의 식을 얻을 수 있다.

∞

(2.32)

식(2.31)과 식(2.32)를 식(2.27)에 입하여 분하고 정리하면 다음과 같은

분 형태의 탄성 물성 방정식을 얻을 수 있다.

- 13 -

∞

∞

(2.33)

여기서

∞

이므로 식(2.33)의 우변 두 번째 항을 분항

으로 변환하여 정리하면 다음의 식을 얻는다.

∞

∞

(2.34)

∞

(2.35)

g(t)는 nomalizedrelaxationfunction으로서 다음과 같다.

∞

(2.36)

2.3 열유동학 단순 거동(Thermal-Rheologically Simple

Behavior)

2.3.1 성의 온도 의존성

일반 으로 성은 압력의 변화에는 매우 둔감하나,온도의 변화에는 단히

민하다.따라서 탄성 해석에서 온도가 일정하지 않은 상황이라면 온도의 효

과를 반드시 고려하여야 한다. 성은 일반 으로 온도의 증가에 따라 감소하는

상을 보인다.

- 14 -

2.3.1.1ArrheniusModel

Arrhenius모델은 분자동역학의 ArrheniusEquation의 가정을 이용한다.[7]

(2.37)

T는 온도이며, E는 활성 에 지(Activation energy), R은 기체상수

(Universalgasconstant)를 나타낸다. 는 물질에 따른 상수이다.

2.3.1.2Willliams-Landel-FerryModel

Williams-Landel-Ferry모델은 일반 으로 합체(Polymer)의 용융이나 유

리 이온도(Glasstransitiontemperature)를 갖는 유체에서 사용된다.

(2.38)

T는 온도,C1,C2,Tr, 는 실험으로부터 경험 으로 얻어지는 매개 변수를

사용한다.

2.3.2시간-온도 첩 원리(Time-TemperatureSuperposition)

시간- 탄성 물성함수 곡선은 로그 스 일의 그래 에서 온도 변화에 하

여 수평축으로 병진 이동된 형태를 보인다.이것은 Leaderman이 제안한 시간-

온도 등가설[8]이며,Schwarzl과 Staverman은 이러한 특성을 “열유동학 단

순 거동(Thermal-rheologicallysimplebehavior)[9]”이라고 하 다.따라서 어

떤 온도 T0에서 탄성 물성 값을 알고 있다면,임의의 온도 T2,T3에서의 물성

값은 수평축을 로그 시간 변수로 하는 그래 에서 이동함수(ShiftingFunction)

의 로그 값 만큼 이동시킴으로서 구할 수 있다.여기서 식(2.37),식(2.38)

- 15 -

이 이동함수로써 많이 사용되며 물성 값을 구할 때 실제 시간은 일정한 경화도

에서 이동함수를 이용하여 온도 의존 등가 시간(Reducedtime) 로 바 다.

(2.39)

log(t)

log(E(t))

T1T2T3

T3 > T2 > T1

Fig 8. 도에 른 시간- 계수 그래프

(2.39)의 분은 다음과 같이 계산한다.

- 16 -

∆

∆

그러면 식 (2.39)는 다음과 같이 쓸 수 있다.

∆

∆

2.3.3열 효과(Thermaleffect)

온도의 변화에 따라 재료에는 열 효과(Thermaleffect)가 나타난다.온도가

증가하면 재료가 팽창하며,온도가 감소하면 재료는 수축한다.재료의 열변형률

은 다음과 같다.

∆ (2.40)

열 변형은 매우 작기 때문에 일반 으로 무시할 수 있으나,구속된 구조물에

해서는 열 변형이 일어나지 못하며 이에 따라 발생된 열응력은 무시할 수 없

다.

- 17 -

2.3.4열유동학 단순 거동의 탄성 물성 방정식

(Viscoelastic Constitutive Equation forThermal-rheologically Simple

Behavior)

성에 한 온도의 향과 재료의 열 효과를 고려한다.기계 변형률은

체 변형률에서 열 변형률을 뺀 나머지이며,이동함수를 이용하여 실제시간 t는

등가시간 로 체된다.따라서 식(2.33)은 다음과 같이 바 다.

∞

∞

′′

′

′

(2.41)

2.4 열유동학 복합 거동(Thermal-Rheologically Complex

Behavior)

열경화성 수지는 높은 온도에서의 경화과정을 수반한다. 성은 온도가 높을

수록 감소하는 경향을 보이나 열경화성 수지의 성 성질은 경화과정이 진행

됨에 따라 차 감소하며,완 히 경화된 후에는 성 성질은 사라진다. 한,

경화과정에는 열경화성 수지의 화학 반응열이 발생한다. 탄성 모델의 물성

치는 경화과정 에 계속 으로 변화하며 매우 복잡한 형태를 가진 열유동학

복합 거동(Thermal-rheologicallycomplexbehavior)을 하게 된다.

열유동학 복합거동에서의 이동함수는 온도와 경화도의 함수로 나타나게

되고, 탄성 물성 방정식은 실제 탄성 재료에 한 실험을 통해서 얻어진 식

으로 표 되어야 한다.일반 으로 상용 로그램은 이에 한 해석 모듈을 제공

하지 않기 때문에 사용자가 직 로그램을 개발하여야 한다.경화도와 온도의

효과를 모두 고려하면 식(2.41)은 다음과 같이 바 다.

- 18 -

∞

∞

′′

′

′(2.42)

시간에 따른 온도와 경화도를 구하여 식(2.42)에 입하게 된다.이것은 2.7

에서 알아본다.

2.5 증 형태의 탄성 물성 방정식(IncrementalForm of

ViscoelasticConstitutiveEquation)

로그래 의 측면에서 식(2.42)를 풀기 해서는 재료의 반응에 한 과

정의 값들을 필요로 하므로 비효율 인 면이 있다.이것을 증 형태의 식으

로 유도하면 이 시간 tn에서 구해진 값만 알면 재 시간 tn+1에서의 값을 구

할 수 있다.

변형률 에 지 도 함수를 Matrixform을 이용하여 다음과 같이 나타낼 수

있다.

(2.43)

식(2.43)에서 [D]와 {e}T[D]{1},{1}T[D]{1}는 다음과 같다.

- 19 -

(2.44)

(2.45)

(2.46)

따라서,변형률 에 지 도 함수는 다음과 같이 다시 쓸 수 있다.

(2.47)

식(2.47)을 체 변형률과 편차 변형률에 하여 각각 편미분하면 다음과 같

다.

(2.48)

- 20 -

식(2.48)을 식(2.33)에 입하면 다음의 식을 얻을 수 있다.

∞ ≡

≡

∞

(2.49)

식(2.49)를 tn과 tn+1로 분리하고 ∆ 가 충분히 작다고 가정하면 다음의

증 형태의 탄성 물성 방정식이 얻어진다.

∞

(2.50)

응력은 변형률 에 지 도 함수와 총 변형률을 이용하여 두 부분으로 나

수 있다.

여기서,

따라서,

- 21 -

(2.51)

식(2.51)을 이용하여 식(2.50)을 다시 정리하면 다음과 같다.

∞

(2.52)

식(2.52)를 간단한 형식으로 나타내면 다음과 같다.

(2.53)

CT는 알고리듬 강성계수(Algorithmicmodulus)라고 정의하며, 은 재

단계에서 구하고자 하는 변형률,sn은 이 단계에서 구한 응력 증분을 의미한

다.식(2.52)를 이용하면 체 시간에 걸쳐 시간의 증가에 따라 응력을 구할 수

있다.이때,선형 탄성 해석에서 시간 증분 가 일정하면 알고리듬 강성계수

CT는 시간에 하여 독립 이며 체 해석 과정에서 일정한 값을 갖게 되므로

각 시간 증분에서의 반복 계산이 필요하지 않다.

열유동학 단순 거동에서는 온도 효과와 등가 시간이 식에 포함되며,CT는

매 등가시간 증분마다 반복 계산 되어야 한다.

∞

(2.54)

- 22 -

열유동학 복합 거동에서는 경화도의 향도 식에 포함되어야 한다.매 시

간 증분마다 온도와 경화도를 구해 식에 입한다.

∞

(2.55)

2.6 탄성 해석의 유한요소 정식화

(FiniteElementFormulationofViscoelasticAnalysis)

시간 에서의 가상일의 원리를 이용한 평형방정식은 다음과 같다.

∇

∙

∙ (2.56)

여기서,∇ 는 변형률의 symmetricpart를 의미하며,와 는 각각 부피와

면 이며 는 변 를 ,는 체 력(BodyForce),는 표면력(SurfaceTraction)

을 각각 의미한다.이때,시간 에서의 변 변화율 값은 0으로 주어지게

된다.

시간 에서의 증 구성 방정식(IncrementalConstitutiveequation)은

다음과 같다.

(2.57)

식을 식(2.56)에 입하여 정리하면 다음의 순환 방정식(Recursive

Equation)을 얻을 수 있다.

- 23 -

∇

∙

∙

∇

∇

(2.58)

변 와 변형률은 형상함수를 사용하여 행렬형태인 식(2.59)과 같이 나타낼

수 있으며,이를 식(2.58)에 입하면 식(2.60)을 얻을 수 있다.

∇

(2.59)

∙

∙

(2.60)

여기서,과 는 형상함수 행렬과 변 -변형률 행렬이다. 과 는

각각 시간 에서의 변 벡터와 온도 증분을 의미한다.강성 행렬 와 힘 벡

터 는 다음과 같이 주어진다.

(2.61)

- 24 -

∙

∙

(2.62)

(2.63)

식 (2.63)을 주어진 경계 조건을 용하여 풀면 시간 에서의 변 ,변형

률 응력을 얻을 수 있다.

2.7열화학 거동(Thermal-ChemicalBehavior)

2.7.1지배방정식(GoverningEquation)

열유동학 복합 거동에는 온도 효과가 포함되며 한,경화도는 온도에 종

속 이다.따라서 열유동학 복합 거동의 해석을 해서는 임의의 시간 t에서

온도와 경화도를 구해야 한다.

열경화성 수지는 경화과정을 수반한다.경화과정은 경화가 히 이 지도

록 하는 온도 이력곡선을 따라 온도가 가해지며 이에 따라 경화가 진행된다.열

경화성 수지의 경화과정 에는 화학 반응열이 발생하므로 이것이 고려되어

야 한다.열역학 제1법칙과 퓨리에 법칙으로부터 유도된 열화학 거동의 지배

방정식은 다음과 같다[10].

2Unknowns;T,c

(2.64)

- 25 -

,

밀도 비열 단위질량당반응열

열전도도 기체상수 경화도

2.7.2유한요소 이산화(FiniteElementDiscretization)

지배방정식을 변분 약형(Variationalweakform)으로 바꾼 후 정리하면 다음

과 같다.

(2.65)

식(2.65)를 유한요소 이산화하여 정리하면 다음의 식을 얻을 수 있다.

( )T R c T h h

c c

Hr- + + =

=

C T C c K K T P

C c P

& &

& (2.66)

∞

식(2.66)을 행렬 식으로 쓰면 다음과 같다.

(2.67)

- 26 -

2.7.3MassLumping

식(2.66)의 와 는 질량을 의미한다.일반 으로 consistentmass

matrix를 사용하면 더 정확한 수치 해를 얻을 수 있지만,특별한 경우 mass

lumping이 필요하며,식(2.64)가 그러한 경우이다.Consistencemassmatrix를

사용할 경우 경화도가 음의 값으로 나올 수 있으며,이는 실 으로 이치에 맞

지 않는다.따라서 masslumping은 열-화학 거동을 유한요소 해석을 이용하

여 수치 해를 구할 때 매우 요한 과정이며 반드시 포함되어야 한다.

식(2.66)의 두 번째 식을 n개의 을 가진 요소에서 lumping된 행렬로 표

하면 다음과 같다.

(2.68)

(2.69)

이제 식(2.66)의 첫 번째 식에서 열 도와 류가 일어나지 않는다고 가정하

면 온도 변화는 오직 경화과정에서 발생하는 경화열에 의해서만 일어난다.

- 27 -

(2.70)

식(2.70)이 만족하기 해서는 다음과 같은 각화된 형태를 가져야 한다.

(2.71)

(2.72)

Masslumping방법으로는 HRZscheme이 사용되었다.HRZscheme은

consistentmatrix의 각 항들에 scalefactor를 곱하여 각 행렬을 만든다.따

라서,는 다음과 같이 계산된다.

(2.73)

2.7.4수치 시간 분법(NumericalTimeIntegration)

식(2.67)은 수치 시간 분 방법으로 풀 수 있다.시간 에서의 와 시

간 에서의 사이에는 일반화된 사다리꼴 법칙(generalizedtrapezoid

- 28 -

rule)[11]으로 다음과 같이 계 지을 수 있다.

∆ (2.74)

식(2.67)을 시간 ti일 때와 ti+1일 때로 나 어 써 보면 다음과 같다.

(2.75)

(2.76)

식(2.75)에 (1-β)를 곱하고 식(2.76)에 β를 곱해서 두 식을 더한뒤 정리하면

다음의 식이 얻어진다.

∆ ∆

(2.77)

식(2.77)은 t=0일 때의 기 조건이 주어지면 U1을 구할 수 있으며,U1을 이용

하여 다음 단계의 해를 구할 수 있다.이때, <

이면 수치해가 안정(stable)

하기 해 ∆는 다음을 만족하여야 한다.

∆

(2.78)

는 에서의 가장 큰 고유값(Eigenvalue)이다.만약,

≥

이면,해는 ∆의 크기에 계없이 안정하다.(unconditionallystable)

- 29 -

3.유한요소 해석 병렬화

3.1OpenMP(OpenMultiProcessing)

본 논문에서는 계산 작업의 병렬화를 하여 오 소스인 OpenMP를 인텔

사의 XEON 로세서 기반의 서버 컴퓨터에서 사용하 다.시스템 사양은 다

음의 표 1과 같다.

CPU Intel XEON E5450 × 2 (4×2=8 Cores)

Main Memory FB-Dimm 32 Gbytes

Table 1. 시스 본 사

OpenMP는 공유 메모리 기반의 병렬 컴퓨 에 사용되는 응용 로그래 인

터페이스(API)이다.OpenMP는 유닉스/리 스 시스템이나 도우즈 이외에도

다양한 랫폼을 지원하며,C/C++과 Fortran컴 일러에서 사용 가능하다.컴

일러 지시자를 사용하여 OpenMP를 이용하는 역을 구분하며 OpenMP를 이

용하도록 디자인된 로그램이라 하더라도 그것을 지원하지 않는 시스템에서

실행시키면 컴 일러 지시자는 무시되고 병렬 작업을 수행하지 않을 뿐, 로그

램은 문제없이 실행된다.[12]

OpenMP는 컴 일러 지시문(Directives)와 런타임 라이 러리(Run-time

Library),환경 변수(EnvironmentVariables)들로 구성되어 있다.이를 이용하

여 직 쓰 드 로그래 을 작성하는 것보다 비교 쉽게 멀티 쓰 딩을 구

할 수 있지만,OpenMP가 모든 것을 자동으로 구성해 주는 것은 아니며 메모

리를 효율 으로 사용하면서 높은 성능을 실 하기 해서는 로그래머의

극 인 참여가 요구된다.

OpenMP는 Fork-Join모델을 이용한다.그림 8에서 보는 것과 같이 컴 일

러 지시문으로 표시된 병렬 역을 만나면 지정된 수만큼의 쓰 드로 이루어진

을 구성하며 정해진 방법으로 병렬 역의 작업을 분배하여 실행한다.할당된

작업이 끝나면 다시 로세스로 합쳐지며 로그램의 실행 병렬 역을 만

- 30 -

날 때 마다 이 과정이 반복된다.각 병렬 역은 그림 9와 같은 세 가지의 작업

공유 구조(WorkSharingConstruct)를 가질 수 있다.‘DO/FOR’는 Loop의 반

복 횟수를 병렬 역에 참여하는 로세스의 개수로 나 어 자동으로 작업을

할당한다.‘SECTIONS’는 여러 개의 독립 인 작업을 로세스가 각각 수행하

도록 하며,‘SINGLE’은 단일 로세스가 작업하고 나머지 로세스는 기시

킬 수 있다.본 논문에서는 ‘DO/FOR’를 주로 이용하여 병렬 작업을 구성하

다.이론 으로는 CPU의 개수의 배수만큼의 작업 속도 향상을 기 할 수 있으

나,작업 부하 밸런싱과 동기화 작업,메모리 역폭의 공유 등의 문제로 이론

인 속도 향상은 불가능하다.때문에 로그래머가 으로 병렬 역에서의

데이터 복사,공유,락(Lock)등을 리하여야 하며 이것이 병렬 효율을 높이기

한 키포인트이다.

Fig 9. OpenMP Fork-Join Model

Fig 10. OpenMP Work Sharing Construct

- 31 -

3.2IntelParallelSolver

선형 시스템의 솔버로써 인텔 MathKernelLibrary에 포함되어 있는 병렬

솔버인 PARDISO(ParallelSparseDirectLinearSolver)를 사용하 다.일반

으로 n개의 이 3개의 자유도를 가질 경우 체 행렬은 9n2개의 원소를 가

지게 된다.PARDISO 는 그 값을 가지는 원소만을 배열에 장하므로 매우

은 양의 메모리만 사용하며[13]속도 면에서도 단일 로세서만 사용하는

LApack등의 솔버보다 훨씬 빠르다.

Fig 11. 반 비대칭 행렬( )과 대칭 행렬(우)

Table 2. PARDISO 데 배열 형식(Fig 11 참 )

- 32 -

Quadratic-Hexa(20node) LApack (DPBSV) PARDISO(8-CORE)

400 Elements

2189 Nodes16.2 sec 0.44 sec

1600 Elements

8169 Nodes575.32 sec 1.9535 sec

Table 3. LApack DPBSV PARDISO 계산 시간 비

3.3유한요소 해석의 병렬화 (ParallelizationofFiniteElement

Analysis)

3.3.1 역 행렬의 조합 생성 병렬화

유한요소 해석은 선형 시스템,즉,[K]{U}={F}의 식으로 만드는 과정을 포

함하며, 로그래 의 에서 요소 기반으로 반복문이 실행되고 각각의 반복

작업이 독립 이므로 병렬화에 합한 특성을 가지고 있다. 역 강성 행렬을

조합하는 과정은 요소마다 지역 강성 행렬을 생성하는 과정을 포함하며,이때,

분과 행렬 곱의 계산 과정을 포함하므로, 로그램을 병렬화 함으로써 계산

속도의 향상을 꾀할 수 있다. 체 로그램에는 여러 번의 역 행렬들을 조합

하는 과정이 포함된다.열화학 거동 해석에서는 시간 t에서의 온도와 경화도

를 구하기 해 역 행렬들을 생성하게 되며,여기서 구해진 경화도와 온도를

고려한 역 강성 행렬을 다시 생성시킨다. 역 행렬을 조합하는 과정을 매 스

텝마다 여러 번 수행하므로 작업 병렬화를 통해 계산 시간을 획기 으로

다.여러 가지 모델에 하여 시간을 측정한 결과에 한 속도 향상을 다음의

그래 로 나타내었다.왼쪽의 그래 는 단일 코어의 성능에 하여 몇 배의 성

능을 보여주는 지를 나타내는 그래 이며,오른쪽의 그래 는 이론 성능에

한 비율을 나타내는 병렬 지수 그래 이다.코어의 개수를 늘여감에 따라 계산

성능이 향상되는 경향을 보여 다.공유된 메모리의 주소에 한 데이터 경합

상태(Dataracecondition)[14]을 방지하기 하여 병렬 역에 ‘CRITICAL’

역을 지정함으로써 코어 개수가 늘어날수록 로세스 기 시간이 길어져 병렬

성능을 해하는 요소로 작용한다.

- 33 -

Fig 12. 8 1600 델 코어 개수에 른 능 비

Fig 13. 8 5400 델 코어 개수에 른 능 비

- 34 -

Fig 15. 20 400 델 코어 개수에 른 능 비

Fig 14. 8 9600 델 코어 개수에 른 능 비

- 35 -

Fig 17. 20 9600 델 코어 개수에 른 능 비

Fig 16. 20 1600 델 코어 개수에 른 능 비

- 36 -

Fig 18. Speed up of Parallelized Program

3.3.2 체 로그램의 성능 평가

로그램의 체 인 측면에서 체 로그램 수 에서 CPU 개수의 배수만

큼의 성능을 기 하기는 어렵다. 체 로그램에서 병렬 로그래 을 용할

수 없는 경우가 많으며,병렬 로그래 을 성공 으로 수행했다 하더라도

SMP(SymmetricMulti-Processing)을 사용하는 시스템의 특성상 메모리 역

폭의 제한과 작업 분할,작업 동기화 등의 병렬 성능을 해시키는 요소가 존재

하기 때문에 N배의 성능을 실 하기가 어렵다.

Amdahl'sLaw 는 병렬화된 알고리듬과 직렬(단일 로세스)알고리듬의

계를 말해주는 법칙이다. 를들어, 체 알고리듬의 50% 를 병렬화 할 수 있

다면,기 할 수 있는 최 의 속도 향상은 직렬 알고리듬에 비해 1/(1-0.5)=2배

이다.[15]즉, 로세서의 개수와 상 없이 최 의 속도 향상은 2배 이다.

본 연구에서는 역 행렬들의 계산과 조합,응력과 변형률의 갱신 등의 알고

리듬에서 병렬화를 수행하 으며, 체 로그램 수 에서 얻은 속도 향상을 다

음의 그래 에 나타내었다.

- 37 -

3.4수치 제

본 논문에서는 해석 요소의 개수를 이고 실제 모델에 더 가까운 모사를

하여 20 요소를 사용할 수 있도록 확장하 다.20 요소의 유효성을

확인하기 하여 선형 정 해석,온도-변 연성 해석,선형 탄성 해석을 수

행하여 ABAQUS의 결과와 비교하여 검증하 다.

3.4.1선형 정 해석(LinearStaticAnalysis)

다음 그림과 같은 평 모델에 하여 선형 정 해석을 수행하여

ABAQUS와 비교하 다.모델의 윗면에 분포하 을 가하 으며,경계조건은 네

면 둘은 고정시켰으며(Fixed)나머지 둘은 각각 x방향과 y방향으로 구속

하여 그림에 표시된 의 상하 운동이 자유로울 수 있도록 주었다.변형 과

변형 후의 모습은 그림과 같으며,ABAQUS와 비교해서 결과가 잘 맞는 것을

알 수 있다.

Young's Modulus 10 MPa

Poisson's Ratio 0.3

Table 4. Material Properties of Linear Static Analysis

- 38 -

Fig 19. Validation of Linear Static Analysis

Displacement(Z-DIR) Difference(%)

ABAQUS 1.33484e-003

PRESENT 1.31020e-003 1.85

Table 5. Comparison of Linear Static Analysis with ABAQUS

- 39 -

3.4.2온도-변 연성 해석(Temperature-DisplacementCoupledAnalysis)

그림과 같은 보 모델에 온도에 의한 열응력을 잘 나타내는지 확인하 다.

기온도 0도 일 때,100도의 열을 가하여 열 변형률을 확인하 다.ABAQUS와

비교하여 정확한 해석이 가능함을 확인하 다.

Young's Modulus 10,000 Pa

Poisson's Ratio 0.483333

Thermal Expansion ×

Table 6. Material Properties of Coupled

Temperature-Displacement Analysis

Fig 20. Validation of Temperature-Displacement Coupled Analysis

Displacement (x-dir) Difference(%)

ABAQUS 0.01

PRESENT 0.01 0

Table 7. Comparison of Temperature-Displacement Coupled with ABAQUS

- 40 -

3.4.3선형 탄성 해석(LinearViscoelasticAnalysis)

그림과 같은 보 모델에 한 선형 탄성 해석을 수행하여 ABAQUS와 비

교하 다.분포 하 과 경계조건을 그림과 같이 가하 고 요소 수를 늘려 해가

수렴하는 것을 확인하 다.일정한 분포 하 에 하여 시간이 지날수록 변 가

증가하는 Creepresponse를 확인하 다.

Young's Modulus 10,000 Pa (Instantaneous)

Poisson's Ratio 0.483333

Thermal Expansion ×

Viscoelastic Prony Prony Prony

0.901001 0 0.989989

Table 8. Material Properties of Linear Viscoelastic Analysis

- 41 -

Fig 21. 변형 델(20 )

Fig 22. 변형 후 델(20 )

Fig 23. 20 델 Creep Response

50sec (5000 steps) Final Displacement(x-dir) Difference(%)

ABAQUS 1.01002e-002

PRESENT 9.99239e-003 1.07

Table 9. Comparison of Linear Viscoelastic Analysis with ABAQUS (20 Elements)

- 42 -

Fig 24. 변형 델(640 )

Fig 25. 변형 후 델(640 )

그림 26 640 델 Creep Response

50sec (5000 steps) Final Displacement(x-dir) Difference(%)

ABAQUS 9.93841e-003

PRESENT 9.93945e-003 0.0105

Table 10. Comparison of Linear Viscoelastic Analysis with ABAQUS (640 Elements)

- 43 -

4.결 론

본 연구에서는 패치 보수 시 발생되는 잔류응력 측을 한 탄성 유한요

소 해석 로그램을 병렬화 하 다.온도와 경화도의 향을 고려한 일반화된 3

차원 탄성 모델로부터 얻어진 증 형태의 물성 방정식을 통한 경화 과정

의 시뮬 이션은 많은 계산 과정을 포함하며 실제 모델은 두께-길이 비율이 매

우 크기 때문에 해석을 해서 8 요소를 사용할 경우 많은 수의 요소가 필

요하며 계산 시간은 기하 수 으로 증가한다.이에 20 요소를 사용할 수

있도록 로그램을 확장 시켰으며,20 요소를 사용하면 비교 은 요소로

정확한 해석을 수행할 수 있고,곡선의 기하를 표 할 수 있는 등의 이 이 있

으나,요소의 자유도와 가우스 포인트가 많아 계산 과정이 늘어난다.

따라서,OpenMP를 이용한 병렬 로그래 을 이용하여 계산 시간의 상당

부분을 차지하는 역 행렬들의 계산과 조합하는 과정과 매 시간 증분 마다 응

력과 변형률을 갱신하는 과정을 병렬화하 으며,인텔의 PARDISO와 함께

STL의 리스트 컨테이 를 사용함으로써 멀티코어 CPU가 장착된 시스템에서

메모리 효용성을 크게 늘리고 계산 시간을 획기 으로 다.

20 요소를 이용한 해석 로그램의 타당성과 유효성을 검증하기 하여,

선형 정 해석과 온도-변 연성 해석,선형 탄성 해석을 수행하 으며,상

용 해석 로그램인 ABAQUS와 비교해 본 결과,20 요소를 사용한 해석이

의 해석을 비교 정확하게 수행하는 것을 확인하 다.

항공기 패치 보수 시 발생되는 잔류응력을 측하는 것은 매우 요하나 시

되고 있는 상용 해석 로그램은 열유동학 복합 거동에 한 해석 모듈을

제공하고 있지 않기 때문에 이러한 해석 로그램의 개발은 큰 의미가 있으며,

향후,열유동학 단순 거동에 하여 상용 로그램을 이용하여 검증을 수행하

고 탄성 재료에 한 실험을 통해 열유동학 복합 거동에 한 해석 로그

램의 검증을 수행한다면 항공 분야에 크게 기여할 수 있을 것으로 기 된다.

- 44 -

참고문헌

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Proceedings of Failure of engineering Materials and Structures, UET Taxila, pp.

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