discrete-time fourier transform - sjtumin.sjtu.edu.cn/files/wavelet/0-3_dt_fourier_transform.pdfct...
TRANSCRIPT
Discrete-Time Fourier Transform
Hongkai Xiong ็็บขๅฏ
http://min.sjtu.edu.cn
Department of Electronic Engineering Shanghai Jiao Tong University
๐ฅ๐ฅ๐๐[๐๐] โ ๐ฆ๐ฆ๐๐[๐๐] โน ๏ฟฝ ๐๐๐๐๐ฅ๐ฅ๐๐[๐๐]๐๐ โ โ ๐๐๐๐๐๐ ๐ฆ๐ฆ๐๐[๐๐]
โข If we can find a set of โbasicโ signals, such that โซ a rich class of signals can be represented as linear
combinations of these basic (building block) signals. โซ the response of LTI Systems to these basic signals are both
simple and insightful
โข Candidate sets of โbasicโ signals โซ Unit impulse function and its delays: ๐ฟ๐ฟ(๐ก๐ก)/๐ฟ๐ฟ[๐๐] โซ Complex exponential/sinusoid signals: ๐๐๐ ๐ ๐ก๐ก , ๐๐๐๐๐๐๐/๐ง๐ง๐๐, ๐๐๐๐๐๐๐๐
LTI Systems
2
CT Fourier Transform of Aperiodic Signal ๐๐(๐๐)
โข General strategy โซ approximate ๐ฅ๐ฅ ๐ก๐ก by a periodic signal ๐ฅ๐ฅ๐๐ ๐ก๐ก with infinite period ๐๐
3
๐ฅ๐ฅ ๐ก๐ก
โ๐๐1 0 ๐๐1
โน lim๐๐โโ
๐ฅ๐ฅ๐๐ ๐ก๐ก = ๐ฅ๐ฅ(๐ก๐ก) ๐ฅ๐ฅ๐๐ ๐ก๐ก
โ๐๐ โ ๐๐2
โ ๐๐1 0 ๐๐1 ๐๐2
๐๐
โฏ โฏ
CT Fourier Transform Pair โข Fourier transform (analysis equation)
๐๐ ๐๐๐๐ = โฑ{๐ฅ๐ฅ(๐ก๐ก)} = ๏ฟฝ ๐ฅ๐ฅ(๐ก๐ก)๐๐โ๐๐๐๐๐ก๐ก๐๐๐ก๐กโ
โโ
where ๐๐ ๐๐๐๐ called spectrum of ๐ฅ๐ฅ(๐ก๐ก)
โข Inverse Fourier transform (synthesis equation)
๐ฅ๐ฅ ๐ก๐ก = โฑโ1{๐๐(๐๐๐๐)} =12๐๐๏ฟฝ ๐๐ ๐๐๐๐ ๐๐๐๐๐๐๐ก๐ก๐๐๐๐
โ
โโ
Superposition of complex exponentials at continuum of frequencies, frequency component ๐๐๐๐๐๐๐ก๐ก has โamplitudeโ of ๐๐ ๐๐๐๐ ๐๐๐๐/2๐๐
4
Fourier Series of DT Periodic Signals โข Recall a periodic DT signal ๐ฅ๐ฅ[๐๐] โซ with fundamental period ๐๐, and โซ fundamental frequency ๐๐0 = 2๐๐/๐๐
โข Fourier series represent ๐ฅ๐ฅ[๐๐] in terms of harmonically related complex exponentials โซ Synthesis equation
๐ฅ๐ฅ ๐๐ = ๏ฟฝ ๐๐๐๐๐๐โ ๐๐
๐๐๐๐๐๐๐๐0๐๐ = ๏ฟฝ ๐๐๐๐๐๐โ ๐๐
๐๐๐๐๐๐2๐๐๐๐ ๐๐
โซ Analysis equation
๐๐๐๐ =1๐๐
๏ฟฝ ๐ฅ๐ฅ ๐๐ ๐๐โ๐๐๐๐๐๐0๐๐
๐๐โ ๐๐
=1๐๐
๏ฟฝ ๐ฅ๐ฅ ๐๐ ๐๐โ๐๐๐๐2๐๐๐๐ ๐๐
๐๐โ ๐๐
5
โข General strategy โซ approximate ๐ฅ๐ฅ[๐๐] by a periodic signal ๐ฅ๐ฅ๐๐[๐๐] with infinite period ๐๐
DT Fourier Transform of Aperiodic Signal ๐๐[๐๐]
6
โน lim๐๐โโ
๐ฅ๐ฅ๐๐[๐๐] = ๐ฅ๐ฅ[๐๐]
โข Step 1: โซ Let ๐ฅ๐ฅ[๐๐] be a aperiodic DT signal with supp ๐ฅ๐ฅ โ ๐๐1,๐๐2
โซ Construct a periodic extension ๐ฅ๐ฅ๐๐[๐๐] with period ๐๐ > N2 โN1 + 1
๐ฅ๐ฅ๐๐ ๐๐ = ๏ฟฝ ๐ฅ๐ฅ[๐๐ + ๐๐๐๐]โ
๐๐=โโ
DT Fourier Transform
7
โข Step 2๏ผFourier series representation for ๐ฅ๐ฅ๐๐[๐๐], ๐๐0 = 2๐๐๐๐
๐๐๐๐ =1๐๐
๏ฟฝ ๐ฅ๐ฅ๐๐ ๐๐ ๐๐โ๐๐๐๐๐๐0๐๐
๐๐โ ๐๐
=1๐๐๏ฟฝ ๐ฅ๐ฅ ๐๐ ๐๐โ๐๐๐๐๐๐0๐๐๐๐2
๐๐=๐๐1
=1๐๐๐๐(๐๐๐๐๐๐๐๐0)
โซ where we define
๐๐ ๐๐๐๐๐๐ = ๏ฟฝ ๐ฅ๐ฅ ๐๐ ๐๐โ๐๐๐๐๐๐โ
๐๐=โโ
DT Fourier Transform
8
๐๐๐๐๐๐ ๐๐ ๐๐๐๐๐๐
โข As ๐๐ increases, discrete frequencies are sampled more densely
๐๐๐๐ =1๐๐
๏ฟฝ ๐ฅ๐ฅ๐๐ ๐๐ ๐๐โ๐๐๐๐๐๐0๐๐
๐๐โ ๐๐
=1๐๐๏ฟฝ ๐ฅ๐ฅ ๐๐ ๐๐โ๐๐๐๐๐๐0๐๐๐๐2
๐๐=๐๐1
=1๐๐๐๐(๐๐๐๐๐๐๐๐0)
โซ where we define
๐๐ ๐๐๐๐๐๐ = ๏ฟฝ ๐ฅ๐ฅ ๐๐ ๐๐โ๐๐๐๐๐๐โ
๐๐=โโ
DT Fourier Transform
9
๐๐๐๐๐๐ ๐๐ ๐๐๐๐๐๐
โข As ๐๐ โ โ, ๐๐0 โ 0, ๐๐๐๐๐๐ approaches envelope ๐ฟ๐ฟ ๐๐๐๐๐๐
๐๐๐๐ =1๐๐
๏ฟฝ ๐ฅ๐ฅ๐๐ ๐๐ ๐๐โ๐๐๐๐๐๐0๐๐
๐๐โ ๐๐
=1๐๐๏ฟฝ ๐ฅ๐ฅ ๐๐ ๐๐โ๐๐๐๐๐๐0๐๐๐๐2
๐๐=๐๐1
=1๐๐๐๐(๐๐๐๐๐๐๐๐0)
โซ where we define
๐๐ ๐๐๐๐๐๐ = ๏ฟฝ ๐ฅ๐ฅ ๐๐ ๐๐โ๐๐๐๐๐๐โ
๐๐=โโ
DT Fourier Transform
10
๐๐๐๐๐๐ ๐๐ ๐๐๐๐๐๐
โข Step 3: Synthesis equation for DT Fourier series of ๐ฅ๐ฅ๐๐[๐๐],
๐ฅ๐ฅ๐๐ ๐๐ = ๏ฟฝ ๐๐๐๐๐๐โ ๐๐
๐๐๐๐๐๐๐๐0๐๐ = ๏ฟฝ1๐๐๐๐(๐๐๐๐๐๐๐๐0)
๐๐โ ๐๐
๐๐๐๐๐๐๐๐0๐๐
since ๐๐0 = 2๐๐/๐๐,
๐ฅ๐ฅ๐๐ ๐๐ =12๐๐
๏ฟฝ ๐๐(๐๐๐๐๐๐๐๐0)
๐๐โ ๐๐
๐๐๐๐๐๐๐๐0๐๐๐๐0
As ๐๐ โ โ โน๐๐0 โ 0, ๐ฅ๐ฅ๐๐[๐๐] โ ๐ฅ๐ฅ[๐๐],๐๐0 โ ๐๐๐๐,โ โ โซ
๐ฅ๐ฅ ๐๐ = lim๐๐โโ
๐ฅ๐ฅ๐๐[๐๐] = lim๐๐0โ0
12๐๐
๏ฟฝ ๐๐(๐๐๐๐๐๐๐๐0) ๐๐โ ๐๐
๐๐๐๐๐๐๐๐0๐๐๐๐0
=12๐๐๏ฟฝ ๐๐ ๐๐๐๐๐๐ ๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐
๐๐๐ ๐
DT Fourier Transform
11
Integration can take any period of length 2๐๐
DT Fourier Transform Pair โข DT Fourier transform (analysis equation)
๐๐ ๐๐๐๐๐๐ = โฑ{๐ฅ๐ฅ[๐๐]} = ๏ฟฝ ๐ฅ๐ฅ ๐๐ ๐๐โ๐๐๐๐๐๐โ
๐๐=โโ
โซ where ๐๐ ๐๐๐๐๐๐ called spectrum of ๐ฅ๐ฅ[๐๐], periodic with period 2๐๐
โข DT inverse Fourier transform (synthesis equation)
๐ฅ๐ฅ[๐๐] = โฑโ1{๐๐(๐๐๐๐๐๐)} =12๐๐๏ฟฝ ๐๐ ๐๐๐๐๐๐ ๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐
2๐๐
โซ frequency component ๐๐๐๐๐๐๐๐ has โamplitudeโ of ๐๐ ๐๐๐๐๐๐ ๐๐๐๐/2๐๐ โซ integrate over a frequency interval producing distinct ๐๐๐๐๐๐๐๐
12
High vs. Low Frequencies for DT Signals
โข High frequencies around (2๐๐ + 1)๐๐, low frequencies around 2๐๐๐๐
13
High vs. Low Frequencies for DT Signals
โข Discrete frequencies of periodic signals with period ๐๐ โซ evenly spaced points on unit circle โซ low frequencies close to 1, high frequencies close to โ1
14
High vs. Low Frequencies for DT Signals
15
CT Fourier Series of Periodic Signal ๐๐๐ป๐ป(๐๐)
โข Fourier Transform of a finite duration signal ๐ฅ๐ฅ[๐๐] that is equal to ๐ฅ๐ฅ๐๐[๐๐] over one period, e.g., for ๐๐1 โค ๐๐ โค ๐๐2
๐๐ ๐๐๐๐๐๐ = โฑ{๐ฅ๐ฅ[๐๐]} = ๏ฟฝ ๐ฅ๐ฅ ๐๐ ๐๐โ๐๐๐๐๐๐โ
๐๐=โโ
โข Fourier coefficients of periodic signal ๐ฅ๐ฅ๐๐[๐๐] with period ๐๐
๐๐๐๐=1๐๐
๏ฟฝ ๐ฅ๐ฅ๐๐ ๐๐ ๐๐โ๐๐๐๐๐๐0๐๐ =1๐๐๏ฟฝ ๐ฅ๐ฅ๐๐ ๐๐ ๐๐โ๐๐๐๐๐๐0๐๐๐๐2
๐๐=๐๐1๐๐โ ๐๐
=1๐๐
๏ฟฝ ๐ฅ๐ฅ ๐๐ ๐๐โ๐๐๐๐๐๐0๐๐โ
๐๐=โโ
=1๐๐๐๐(๐๐๐๐๐๐)๏ฟฝ
๐๐=๐๐๐๐0
โน proportional to equally spaced samples of the Fourier transform of ๐ฅ๐ฅ[๐๐], i.e., one period of ๐ฅ๐ฅ๐๐[๐๐]
16
Convergence of DT Fourier Transform
โข Analysis equation will converge if
โซ ๐ฅ๐ฅ[๐๐] is absolutely summable
๏ฟฝ ๐ฅ๐ฅ[๐๐] < โโ
๐๐=โโ
โซ or ๐ฅ๐ฅ[๐๐] has finite energy
๏ฟฝ ๐ฅ๐ฅ[๐๐] 2 < โโ
๐๐=โโ
โข Synthesis equation in general has no convergence
issues, since the integration is taken over a finite interval
17
Example โข Unit impulse
๐ฅ๐ฅ ๐๐ = ๐ฟ๐ฟ ๐๐ โฑ
๐๐ ๐๐๐๐๐๐ = 1
โข DC signal
๐ฅ๐ฅ ๐๐ = 1 โฑ
๐๐ ๐๐๐๐๐๐ = 2๐๐ ๏ฟฝ ๐ฟ๐ฟ[๐๐ โ 2๐๐๐๐]โ
๐๐=โโ
โซ Proof:
๐ฅ๐ฅ ๐๐
=12๐๐
๏ฟฝ ๐๐ ๐๐๐๐๐๐ ๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐ =12๐๐
๏ฟฝ 2๐๐ ๏ฟฝ ๐ฟ๐ฟ[๐๐ โ 2๐๐๐๐]โ
๐๐=โโ
๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐2๐๐2๐๐
=1
2๐๐๏ฟฝ 2๐๐๐ฟ๐ฟ ๐๐ ๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐
= 1
18
Example โข One-sided Decaying Exponential
๐ฅ๐ฅ ๐๐ = ๐๐๐๐๐ข๐ข[๐๐] โฑ
๐๐ ๐๐๐๐๐๐ =1
1 โ ๐๐๐๐โ๐๐๐๐ ๐๐ < 1
๐๐ ๐๐๐๐๐๐ =1
1 โ 2 ๐๐ cos๐๐ + ๐๐2, arg๐๐ ๐๐๐๐๐๐ = โ arctan
๐๐ sin๐๐1 โ ๐๐ cos๐๐
19
Example โข Two-sided Decaying Exponential
๐ฅ๐ฅ ๐๐ = ๐๐|๐๐|๐ข๐ข[๐๐] โฑ
๐๐ ๐๐๐๐๐๐ =1 โ ๐๐ 2
1 โ 2 ๐๐ cos๐๐ + ๐๐2 ๐๐ < 1
20
Example โข Rectangular Pulse
๐ฅ๐ฅ ๐๐ = ๐ข๐ข ๐๐ + ๐๐1 โ ๐ข๐ข[๐๐ โ ๐๐1] โฑ
๐๐ ๐๐๐๐๐๐ =sin 2๐๐1 + 1
2 ๐๐
sin ๐๐2
21
Example โข Ideal Lowpass Filter ๐ฅ๐ฅ ๐๐ =
sin ๐๐๐๐๐๐๐๐
โฑ ๐๐ ๐๐๐๐๐๐ = ๏ฟฝ1, 2๐๐๐๐ โ๐๐ โค ๐๐ โค 2๐๐๐๐ + ๐๐
0, 2๐๐๐๐ + ๐๐ โค ๐๐ โค 2๐๐ + 2 ๐๐ โ๐๐
22
DT Fourier Transform of Periodic Signals
โข A periodic signal ๐ฅ๐ฅ๐๐[๐๐] with fundamental frequency ๐๐0 = 2๐๐/๐๐ has a DT Fourier series representation
๐ฅ๐ฅ๐๐[๐๐] = ๏ฟฝ ๐๐๐๐๐๐โ ๐๐
๐๐๐๐๐๐๐๐0๐๐
โน ๐๐๐๐ ๐๐๐๐๐๐ = โฑ{๐ฅ๐ฅ๐๐[๐๐]} = ๏ฟฝ ๐๐๐๐๐๐โ ๐๐
โฑ{๐๐๐๐๐๐๐๐0๐๐}
โข Question then becomes
โฑ{๐๐๐๐๐๐๐๐0๐๐} =?
23
DT Fourier Transform of Periodic Signals
โข Basic Fourier transform pair
๐ฅ๐ฅ ๐๐ = ๐๐๐๐๐๐0๐๐ โฑ
๐๐ ๐๐๐๐๐๐ = 2๐๐ ๏ฟฝ ๐ฟ๐ฟ ๐๐ โ ๐๐0 โ 2๐๐๐๐โ
๐๐=โโ
โซ ๐๐ ๐๐๐๐๐๐ has impulses at ๐๐0, ๐๐0 ยฑ 2๐๐, ๐๐0 ยฑ 4๐๐, โฆ
โข Verified using the synthesis equation
โฑโ1 ๐๐ ๐๐๐๐๐๐ =12๐๐
๏ฟฝ ๐๐ ๐๐๐๐๐๐ ๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐2๐๐
=12๐๐
๏ฟฝ ๐๐ ๐๐๐๐๐๐ ๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐
โ๐๐
=12๐๐
๏ฟฝ 2๐๐๐ฟ๐ฟ ๐๐ โ ๐๐0 ๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐ = ๐๐๐๐๐๐0๐๐ = ๐ฅ๐ฅ[๐๐]๐๐
โ๐๐
24
DT Fourier Transform of Periodic Signals
โข DT Fourier series representation
๐ฅ๐ฅ๐๐[๐๐] = ๏ฟฝ ๐๐๐๐๐๐โ ๐๐
๐๐๐๐๐๐๐๐0๐๐
โข with ๐๐๐๐๐๐0๐๐ โฑ
2๐๐โ ๐ฟ๐ฟ ๐๐ โ ๐๐0 โ 2๐๐๐๐โ๐๐=โโ , then
๐๐๐๐ ๐๐๐๐๐๐ = ๏ฟฝ๐๐๐๐โฑ{๐๐๐๐๐๐๐๐0๐๐} = ๏ฟฝ๐๐๐๐ โ 2๐๐ ๏ฟฝ ๐ฟ๐ฟ ๐๐ โ ๐๐๐๐0 โ 2๐๐๐๐โ
๐๐=โโ
๐๐โ1
๐๐=0
๐๐โ1
๐๐=0
= 2๐๐ ๏ฟฝ ๏ฟฝ ๐๐๐๐๐ฟ๐ฟ๐๐โ1
๐๐=0
โ
๐๐=โโ
๐๐ โ ๐๐๐๐0 โ ๐๐๐๐๐๐0
= 2๐๐ ๏ฟฝ ๏ฟฝ ๐๐๐๐+๐๐๐๐๐ฟ๐ฟ๐๐โ1
๐๐=0
โ
๐๐=โโ
๐๐ โ (๐๐ + ๐๐๐๐)๐๐0 = 2๐๐ ๏ฟฝ ๐๐๐๐๐ฟ๐ฟโ
๐๐=โโ
๐๐ โ๐๐๐๐0
25
DT Fourier Transform of Periodic Signals
โข Can also verify using synthesis equation
12๐๐
๏ฟฝ ๐๐๐๐ ๐๐๐๐๐๐ ๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐ = ๏ฟฝ ๏ฟฝ ๐๐๐๐๐ฟ๐ฟโ
๐๐=โโ
๐๐ โ ๐๐๐๐0 ๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐2๐๐โ๐๐๐๐
โ๐๐๐๐
2๐๐โ๐๐๐๐
โ๐๐๐๐
โข Only terms with ๐๐ = 0, 1, . . . ,๐๐ โ 1 in the interval of integration
๏ฟฝ ๏ฟฝ ๐๐๐๐๐ฟ๐ฟ๐๐โ1
๐๐=0
๐๐ โ ๐๐๐๐0 ๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐2๐๐โ๐๐๐๐
โ๐๐๐๐
= ๏ฟฝ๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐0๐๐๐๐โ1
๐๐=0
= ๐ฅ๐ฅ๐๐[๐๐]
โข Therefore, verified
๐ฅ๐ฅ๐๐[๐๐] =12๐๐
๏ฟฝ ๐๐๐๐ ๐๐๐๐๐๐ ๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐2๐๐
26
DT Fourier Transform of Periodic Signals
โข Recall DTFS coefficient ๐๐๐๐ is amplitude at frequency ๐๐ = ๐๐๐๐0
๐๐๐๐ =1๐๐๐๐ ๐๐๐๐๐๐๐๐0 , where ๐๐ ๐๐๐๐๐๐ = โฑ ๐ฅ๐ฅ ๐๐ , ๐๐0=
2๐๐๐๐
27
๐๐๐๐๐๐ ๐๐ ๐๐๐๐๐๐
DT Fourier Transform of Periodic Signals
โข DT Fourier transform 12๐๐๐๐๐๐ ๐๐๐๐๐๐๐๐0 is density at frequency ๐๐ = ๐๐๐๐0
๐๐๐๐ ๐๐๐๐๐๐ = 2๐๐ ๏ฟฝ ๐๐๐๐๐ฟ๐ฟโ
๐๐=โโ
๐๐ โ ๐๐๐๐0 = ๐๐0 ๏ฟฝ ๐๐(๐๐๐๐๐๐0)๐ฟ๐ฟโ
๐๐=โโ
๐๐ โ ๐๐๐๐0
28
๐๐๐๐(๐๐๐๐) ๐๐0๐๐ ๐๐๐๐๐๐
Example โข Sinusoids
๐ฅ๐ฅ ๐๐ = cos ๐๐0๐๐ + ๐๐ =๐๐๐๐๐๐
2๐๐๐๐๐๐0๐๐ +
๐๐โ๐๐๐๐
2๐๐โ๐๐๐๐0๐๐
๐๐ ๐๐๐๐๐๐ = ๏ฟฝ [๐๐๐๐๐๐๐๐๐ฟ๐ฟโ
๐๐=โโ
๐๐ โ ๐๐0 โ 2๐๐๐๐ + ๐๐๐๐โ๐๐๐๐๐ฟ๐ฟ ๐๐ + ๐๐0 โ 2๐๐๐๐ ]
29
Example โข DT Periodic Impulse Train
๐ฅ๐ฅ ๐๐ = ๏ฟฝ ๐ฟ๐ฟ ๐๐ โ ๐๐๐๐ โฑ
๐๐ ๐๐๐๐๐๐ =2๐๐๐๐
๏ฟฝ ๐ฟ๐ฟโ
๐๐=โโ
๐๐ โ ๐๐2๐๐๐๐
โ
๐๐=โโ
30
๐ฅ๐ฅ ๐๐ โฑ
๐๐ ๐๐๐๐๐๐ , ๐ฆ๐ฆ[๐๐] โฑ
๐๐(๐๐๐๐๐๐)
โข Periodicity (different from CTFT)
๐๐(๐๐๐๐(๐๐+2๐๐)) = ๐๐(๐๐๐๐๐๐) โข Linearity
๐๐๐ฅ๐ฅ[๐๐] + ๐๐๐ฆ๐ฆ[๐๐] โฑ
๐๐๐๐(๐๐๐๐๐๐) + ๐๐๐๐(๐๐๐๐๐๐)
โข Time and frequency shifting
๐ฅ๐ฅ ๐๐ โ ๐๐0 โฑ
๐๐โ๐๐๐๐๐๐0๐๐ ๐๐๐๐๐๐ , ๐๐๐๐๐๐0๐๐๐ฅ๐ฅ ๐๐ โฑ
๐๐ ๐๐๐๐ ๐๐โ๐๐0
Properties of DT Fourier Transform
31
Example: Highpass vs. Lowpass Filters
๐ป๐ปhp ๐๐๐๐๐๐ = ๐ป๐ปlp ๐๐๐๐(๐๐โ๐๐) โบ โhp ๐๐ = ๐๐๐๐๐๐๐๐โlp ๐๐ = โ1 ๐๐โlp ๐๐
โข Highpass filtering ๐ฆ๐ฆ[๐๐] = ๐ฅ๐ฅ[๐๐] โ โhp ๐๐ implemented by lowpass filter
(1) ๐ฅ๐ฅ1 ๐๐ = โ1 ๐๐๐ฅ๐ฅ ๐๐ , (2) ๐ฆ๐ฆ1 ๐๐ = ๐ฅ๐ฅ1 ๐๐ โ โlp ๐๐ , (3) ๐ฆ๐ฆ ๐๐ = โ1 ๐๐๐ฆ๐ฆ1 ๐๐
32
Example โข One-sided Decaying Exponential
๐ฅ๐ฅ ๐๐ = ๐๐๐๐๐ข๐ข[๐๐] โฑ
๐๐ ๐๐๐๐๐๐ =1
1 โ ๐๐๐๐โ๐๐๐๐ ๐๐ < 1
๐๐ ๐๐๐๐๐๐ =1
1 โ 2 ๐๐ cos๐๐ + ๐๐2, arg๐๐ ๐๐๐๐๐๐ = โ arctan
๐๐ sin๐๐1 โ ๐๐ cos๐๐
33
โข Time reversal
๐ฅ๐ฅ โ๐๐ โฑ
๐๐ ๐๐โ๐๐๐๐
โข Conjugation
๐ฅ๐ฅโ ๐๐ โฑ
๐๐โ ๐๐โ๐๐๐๐
Proof: โฑ ๐ฅ๐ฅโ[๐๐] = โ ๐ฅ๐ฅโ ๐๐ ๐๐โ๐๐๐๐๐๐โ๐๐=โโ = โ ๐ฅ๐ฅ ๐๐ ๐๐๐๐๐๐๐๐โ
๐๐=โโโ = ๐๐โ (๐๐โ๐๐๐๐)
โข Conjugate Symmetry โซ ๐ฅ๐ฅ[๐๐] real โบ ๐๐(๐๐โ๐๐๐๐) = ๐๐โ(๐๐๐๐๐๐) โซ ๐ฅ๐ฅ[๐๐] even โบ ๐๐(๐๐๐๐๐๐) even, ๐ฅ๐ฅ[๐๐] odd โบ ๐๐(๐๐๐๐๐๐) odd โซ ๐ฅ๐ฅ[๐๐] real and even โบ ๐๐(๐๐๐๐๐๐) real and even โซ ๐ฅ๐ฅ[๐๐] real and odd โบ ๐๐(๐๐๐๐๐๐) purely imaginary and odd
Properties of DT Fourier Transform
34
Example โข Two-sided Decaying Exponential
๐ฅ๐ฅ ๐๐ = ๐๐|๐๐|๐ข๐ข[๐๐] โฑ
๐๐ ๐๐๐๐๐๐ =1 โ ๐๐ 2
1 โ 2 ๐๐ cos๐๐ + ๐๐2 ๐๐ < 1
35
Differencing and Accumulation โข First (backward) difference
๐ฅ๐ฅ ๐๐ โ ๐ฅ๐ฅ ๐๐ โ 1 โฑ
(1 โ ๐๐โ๐๐๐๐)๐๐(๐๐๐๐๐๐)
โข Accumulation (Running sum)
๏ฟฝ ๐ฅ๐ฅ[๐๐]๐๐
๐๐=โโ
โฑ
11 โ ๐๐โ๐๐๐๐
๐๐(๐๐๐๐๐๐) + ๐๐๐๐(๐๐๐๐0) ๏ฟฝ ๐ฟ๐ฟ(๐๐ โ 2๐๐๐๐)โ
๐๐=โโ
โซ first term from differencing property
โซ second term is DTFT of DC component โฑ ๏ฟฝฬ ๏ฟฝ๐ฅ , ๏ฟฝฬ ๏ฟฝ๐ฅ = 12๐๐(๐๐๐๐0)
โข Example: since ๐ฟ๐ฟ[๐๐] โฑ
1,
๐ข๐ข ๐๐ = ๏ฟฝ ๐ฟ๐ฟ[๐๐]๐๐
๐๐=โโ
โฑ
11 โ ๐๐โ๐๐๐๐
+ ๐๐ ๏ฟฝ ๐ฟ๐ฟ(๐๐ โ 2๐๐๐๐) โ
๐๐=โโ
36
Time Expansion โข Recall time and frequency scaling property of CTFT
๐ฅ๐ฅ ๐๐๐ก๐ก โฑ 1
๐๐๐๐
๐๐๐๐๐๐
,๐๐ โ 0
โข But in DT case, โซ ๐ฅ๐ฅ[๐๐๐๐] makes no sense if ๐๐ โ โค โซ for ๐๐ โ โค, if ๐๐ โ ยฑ1, problems still exist, e.g., let ๐๐ = 2, ๐ฅ๐ฅ[2๐๐] misses odd values of ๐ฅ๐ฅ[๐๐]
โข We can โslowโ a DT signal down by inserting consecutive zeros, for a positive integer ๐๐ โซ ๐ฅ๐ฅ(๐๐)[๐๐] obtained by inserting ๐๐ โ 1 zeros between two successive
values of ๐ฅ๐ฅ[๐๐]
37
Time Expansion โข Formally, for a positive integer ๐๐, define ๐ฅ๐ฅ(๐๐) ๐๐ by
๐ฅ๐ฅ(๐๐) ๐๐ = ๏ฟฝ๐ฅ๐ฅ ๐๐/๐๐ , if ๐๐ is multiple of ๐๐ 0, otherwise
โข If
๐ฅ๐ฅ ๐๐ โฑ
then
๐ฅ๐ฅ(๐๐) ๐๐ โฑ
๐๐ ๐๐๐๐๐๐๐๐ โข Proof: โฑ ๐ฅ๐ฅ(๐๐)[๐๐] = โ ๐ฅ๐ฅ(๐๐) ๐๐ ๐๐โ๐๐๐๐๐๐โ
๐๐=โโ = โ ๐ฅ๐ฅ ๐๐ ๐๐โ๐๐๐๐๐๐๐๐โ๐๐=โโ = ๐๐(๐๐๐๐๐๐๐๐)
38
Example
39
Differentiation in Frequency
๐ฅ๐ฅ ๐๐ โฑ
๐๐ ๐๐๐๐๐๐
โข Differentiation in frequency
๐๐๐ฅ๐ฅ ๐๐ โฑ
๐๐๐๐๐๐(๐๐๐๐๐๐)๐๐๐๐
โข Proof:
๐๐ ๐๐๐๐๐๐ = ๏ฟฝ ๐ฅ๐ฅ[๐๐]๐๐โ๐๐๐๐๐๐โ
๐๐=โโ
differentiate both sides, ๐๐๐๐๐๐
๐๐ ๐๐๐๐๐๐ = โ๐๐ ๏ฟฝ ๐๐๐ฅ๐ฅ[๐๐]๐๐โ๐๐๐๐๐๐โ
๐๐=โโ
40
For a DT Fourier transform pair ๐ฅ๐ฅ ๐๐ โฑ
๐๐ ๐๐๐๐๐๐
๏ฟฝ ๐ฅ๐ฅ ๐๐ 2โ
๐๐=โโ
= 1
2๐๐๏ฟฝ ๐๐(๐๐๐๐๐๐) 2๐๐๐๐
2๐๐= ๏ฟฝ ๐๐ ๐๐๐๐๐๐ 2 ๐๐๐๐
2๐๐
2๐๐
โข Note: ๐๐ is angular frequency and ๐๐ = ๐๐/2๐๐ is frequency
โข Interpretation: Energy conservation โซ โ ๐ฅ๐ฅ ๐๐ 2โ
๐๐=โโ : total energy
โซ ๐๐ ๐๐๐๐๐๐ 2: energy per unit frequency, called energy-density
spectrum
Parsevalโs Relation
41
โข For a DT Fourier transform pair ๐ฅ๐ฅ ๐๐ โฑ
๐๐ ๐๐๐๐๐๐
๏ฟฝ ๐ฅ๐ฅ ๐๐ 2โ
๐๐=โโ
= 1
2๐๐๏ฟฝ ๐๐(๐๐๐๐๐๐) 2๐๐๐๐
2๐๐= ๏ฟฝ ๐๐ ๐๐๐๐๐๐ 2 ๐๐๐๐
2๐๐
2๐๐
โข Proof:
๏ฟฝ ๐ฅ๐ฅ ๐๐ 2โ
๐๐=โโ
= ๏ฟฝ ๐ฅ๐ฅ ๐๐ ๐ฅ๐ฅโ[๐๐]โ
๐๐=โโ
= ๏ฟฝ ๐ฅ๐ฅ ๐๐12๐๐
๏ฟฝ ๐๐ ๐๐๐๐๐๐2๐๐
๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐โโ
๐๐=โโ
= ๏ฟฝ ๐ฅ๐ฅ ๐๐12๐๐
๏ฟฝ ๐๐โ ๐๐๐๐๐๐2๐๐
๐๐โ๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐โ
๐๐=โโ
=12๐๐
๏ฟฝ ๐๐โ ๐๐๐๐๐๐ ๏ฟฝ ๐ฅ๐ฅ[๐๐]๐๐โ๐๐๐๐๐๐โ
๐๐=โโ2๐๐๐๐๐๐
=12๐๐
๏ฟฝ ๐๐โ ๐๐๐๐๐๐ ๐๐(๐๐๐๐๐๐)2๐๐
๐๐๐๐ =12๐๐
๏ฟฝ ๐๐(๐๐๐๐๐๐) 2
2๐๐๐๐๐๐
Parsevalโs Relation
42
๐ฆ๐ฆ[๐๐] = ๐ฅ๐ฅ[๐๐] โ โ[๐๐] โฑ
๐๐ ๐๐๐๐๐๐ = ๐๐ ๐๐๐๐๐๐ ๐ป๐ป(๐๐๐๐๐๐)
โข Note: dual of multiplication property of CTFS
๐ฅ๐ฅ ๐ก๐ก ๐ฆ๐ฆ ๐ก๐ก โฑ๐ฎ๐ฎ
๏ฟฝ ๐๐๐๐โ
๐๐=โโ๐๐๐๐โ๐๐
โข Note: Similar to CTFT, applicable when formula is well-defined
โข Proof:
๐๐ ๐๐๐๐๐๐ = ๏ฟฝ ๐ฆ๐ฆ[๐๐]๐๐โ๐๐๐๐๐๐โ
๐๐=โโ
= ๏ฟฝ ๐ฅ๐ฅ[๐๐] โ โ[๐๐]๐๐โ๐๐๐๐๐๐โ
๐๐=โโ
= ๏ฟฝ ๏ฟฝ ๐ฅ๐ฅ[๐๐]โ ๐๐ โ ๐๐โ
๐๐=โโ
๐๐โ๐๐๐๐๐๐โ
๐๐=โโ
= ๏ฟฝ ๐ฅ๐ฅ[๐๐] ๏ฟฝ โ ๐๐ โ ๐๐โ
๐๐ โ
๐๐โ๐๐๐๐๐๐โ
๐๐ โ
Convolution Property of DTFT
43
Frequency Response of LTI Systems โข Fully characterized by impulse response โ[๐๐]
๐ฆ๐ฆ[๐๐] = ๐ฅ๐ฅ[๐๐] โ โ[๐๐]
โข Also fully characterized by frequency response ๐ป๐ป ๐๐๐๐๐๐ =โฑ{โ ๐๐ }, if ๐ป๐ป ๐๐๐๐๐๐ is well defined โซ BIBO stable system: โ โ ๐๐ < โโ
๐๐=โโ โซ other systems: e.g., accumulator โ[๐๐] = ๐ข๐ข[๐๐]
โข Convolution property implies โซ instead of computing ๐ฅ๐ฅ[๐๐] โ โ ๐๐ in time domain, we can analyze
a system in frequency domain ๐ฆ๐ฆ[๐๐] = ๐ฅ๐ฅ[๐๐] โ โ[๐๐]
โ
๐๐ ๐๐๐๐๐๐ = ๐๐ ๐๐๐๐๐๐ โ ๐ป๐ป ๐๐๐๐๐๐ , ๐ป๐ป ๐๐๐๐๐๐ =๐๐ ๐๐๐๐๐๐
๐๐ ๐๐๐๐๐๐= ๐ป๐ป ๐๐๐๐๐๐ ๐๐๐๐๐๐๐ ๐๐๐๐๐๐
44
Example โข Determine the Response of an LTI system with impulse response โ[๐๐] = ๐๐๐๐๐ข๐ข[๐๐], to the input ๐ฅ๐ฅ[๐๐] = ๐๐๐๐๐ข๐ข[๐๐], where ๐๐ < 1, ๐๐ < 1
โข Method 1: convolution in time domain ๐ฆ๐ฆ[๐๐] = ๐ฅ๐ฅ[๐๐] โ โ[๐๐]
โข Method 2: solving the difference equation with initial rest condition ๐ฆ๐ฆ ๐๐ โ ๐๐๐ฆ๐ฆ[๐๐ โ 1] = ๐๐๐๐๐ข๐ข[๐๐]
โข Method 3: Fourier transform
๐ป๐ป ๐๐๐๐๐๐ =1
1 โ ๐๐๐๐โ๐๐๐๐,๐๐ ๐๐๐๐๐๐ =
11 โ ๐๐๐๐โ๐๐๐๐
โน ๐๐ ๐๐๐๐๐๐ =1
(1 โ ๐๐๐๐โ๐๐๐๐)(1 โ ๐๐๐๐โ๐๐๐๐)
โซ If ๐๐ โ ๐๐,๐๐ ๐๐๐๐๐๐ = ๐๐/(๐๐โ๐๐)1โ๐๐๐๐โ๐๐๐๐
โ ๐๐/(๐๐โ๐๐)1โ๐๐๐๐โ๐๐๐๐
โน ๐ฆ๐ฆ[๐๐] = 1๐๐โ๐๐
๐๐๐๐+1 โ ๐๐๐๐+1 ๐ข๐ข[๐๐]
โซ If ๐๐ = ๐๐,๐๐ ๐๐๐๐๐๐ = ๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐ ๐๐
๐๐๐๐1
1โ๐๐๐๐โ๐๐๐๐โน ๐ฆ๐ฆ ๐๐ = ๐๐ + 1 ๐๐๐๐๐ข๐ข[๐๐]
45
Example โข Determine the Response of an LTI system with impulse response โ[๐๐] = ๐๐๐๐๐ข๐ข[๐๐], to the input ๐ฅ๐ฅ[๐๐] = cos(๐๐0๐๐), where ๐๐ < 1
โข Frequency response:
๐ป๐ป ๐๐๐๐๐๐ =1
1 โ ๐๐๐๐โ๐๐๐๐
โข Method 1: using eigenfunction property
๐ฅ๐ฅ[๐๐] =12๐๐๐๐๐๐0๐๐ +
12๐๐โ๐๐๐๐0๐๐
๐ฆ๐ฆ[๐๐] =12๐ป๐ป ๐๐๐๐๐๐0 ๐๐๐๐๐๐0๐๐ +
12๐ป๐ป ๐๐โ๐๐๐๐0 ๐๐โ๐๐๐๐0๐๐ = โโฏ ๐ป๐ป ๐๐๐๐๐๐0 ๐๐๐๐๐๐0๐๐
=1
1 โ 2๐๐ cos๐๐0 + ๐๐2cos ๐๐0๐๐ โ arctan
๐๐ sin๐๐0
1 โ ๐๐ cos๐๐0
46
Example โข Method 2: using Fourier transform
๐ฅ๐ฅ[๐๐] =12๐๐๐๐๐๐0๐๐ +
12๐๐โ๐๐๐๐0๐๐
โน ๐๐ ๐๐๐๐๐๐ = ๏ฟฝ [๐๐๐ฟ๐ฟ ๐๐ โ ๐๐0 + 2๐๐๐๐ + ๐๐๐ฟ๐ฟ ๐๐ + ๐๐0 + 2๐๐๐๐ ]โ
๐๐=โโ
๐๐ ๐๐๐๐๐๐ = ๐๐ ๐๐๐๐๐๐ ๐ป๐ป ๐๐๐๐๐๐ = ๏ฟฝ ๐๐๐ป๐ป ๐๐๐๐(๐๐0โ2๐๐๐๐) ๐ฟ๐ฟ ๐๐ โ ๐๐0 + 2๐๐๐๐โ
๐๐=โโ
+ ๏ฟฝ ๐๐๐ป๐ป ๐๐โ๐๐(๐๐0+2๐๐๐๐) ๐ฟ๐ฟ ๐๐ + ๐๐0 + 2๐๐๐๐โ
๐๐=โโ
โน ๐ฆ๐ฆ[๐๐] =12๐ป๐ป ๐๐๐๐๐๐0 ๐๐๐๐๐๐0๐๐ +
12๐ป๐ป ๐๐โ๐๐๐๐0 ๐๐โ๐๐๐๐0๐๐
47
Example: Ideal Bandstop Filter
48
๐๐
๐ฅ๐ฅ ๐๐ โ ๐ฆ๐ฆ ๐๐ โฑ
12๐๐
๐๐ ๐๐๐๐๐๐ โ ๐๐ ๐๐๐๐๐๐ =12๐๐
๏ฟฝ ๐๐ ๐๐๐๐๐๐ ๐๐ ๐๐๐๐ ๐๐โ๐๐ ๐๐๐๐2๐๐
โข Note: dual of periodic convolution property of CTFS
๐ฅ๐ฅ ๐ก๐ก โ ๐ฆ๐ฆ ๐ก๐ก โฑ๐ฎ๐ฎ
๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐
โข Proof:
โฑ ๐ฅ๐ฅ ๐๐ ๐ฆ๐ฆ[๐๐] = ๏ฟฝ ๐ฅ๐ฅ[๐๐]๐ฆ๐ฆ[๐๐]๐๐โ๐๐๐๐๐๐โ
๐๐=โโ
= ๏ฟฝ12๐๐
๏ฟฝ ๐๐ ๐๐๐๐๐๐ ๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐2๐๐
๐ฆ๐ฆ[๐๐]๐๐โ๐๐๐๐๐๐โ
๐๐=โโ
=12๐๐๏ฟฝ ๐๐ ๐๐๐๐๐๐
2๐๐๏ฟฝ ๐ฆ๐ฆ[๐๐]๐๐โ๐๐(๐๐โ๐๐)๐๐โ
๐๐=โโ
๐๐๐๐
=12๐๐๏ฟฝ ๐๐ ๐๐๐๐๐๐ ๐๐ ๐๐๐๐ ๐๐โ๐๐ ๐๐๐๐
2๐๐
Multiplication Property of DTFT
49
Example โข ๐ฅ๐ฅ ๐๐ = ๐ฅ๐ฅ1 ๐๐ ๐ฅ๐ฅ2[๐๐], where ๐ฅ๐ฅ1 ๐๐ = sin( 3๐๐๐๐/4)
๐๐๐๐, ๐ฅ๐ฅ2 ๐๐ = sin( ๐๐๐๐/2)
๐๐๐๐
๐๐ ๐๐๐๐๐๐ =12๐๐
๐๐1 ๐๐๐๐๐๐ โ ๐๐2 ๐๐๐๐๐๐ =12๐๐
๐๐๏ฟฝ1 ๐๐๐๐๐๐ โ ๐๐2 ๐๐๐๐๐๐
50
periodic aperiodic
Example โข ๐ฅ๐ฅ ๐๐ = ๐ฅ๐ฅ1 ๐๐ ๐ฅ๐ฅ2[๐๐], where ๐ฅ๐ฅ1 ๐๐ = sin( 3๐๐๐๐/4)
๐๐๐๐, ๐ฅ๐ฅ2 ๐๐ = sin( ๐๐๐๐/2)
๐๐๐๐
12๐๐
๐๐1 ๐๐๐๐๐๐ โ ๐๐2 ๐๐๐๐๐๐ =12๐๐
๐๐๏ฟฝ1 ๐๐๐๐๐๐ โ ๐๐2 ๐๐๐๐๐๐ =12๐๐
๏ฟฝ ๐๐2๐๐๐๐ ๐๐๏ฟฝ1 ๐๐๐๐๐๐ โ ๐๐๏ฟฝ2 ๐๐๐๐๐๐โ
๐๐=โโ
51
periodic aperiodic aperiodic
Example โข ๐ฅ๐ฅ ๐๐ = ๐ฅ๐ฅ1 ๐๐ ๐ฅ๐ฅ2[๐๐], where ๐ฅ๐ฅ1 ๐๐ = sin( 3๐๐๐๐/4)
๐๐๐๐, ๐ฅ๐ฅ2 ๐๐ = sin( ๐๐๐๐/2)
๐๐๐๐
12๐๐
๐๐1 ๐๐๐๐๐๐ โ ๐๐2 ๐๐๐๐๐๐ =12๐๐
๐๐๏ฟฝ1 ๐๐๐๐๐๐ โ ๐๐2 ๐๐๐๐๐๐ =12๐๐
๏ฟฝ ๐๐2๐๐๐๐ ๐๐๏ฟฝ1 ๐๐๐๐๐๐ โ ๐๐๏ฟฝ2 ๐๐๐๐๐๐โ
๐๐=โโ
52
periodic aperiodic aperiodic
Example: DT Modulation ๐ฆ๐ฆ ๐๐ = ๐ฅ๐ฅ ๐๐ ๐๐ ๐๐ , where ๐๐ ๐๐ = cos(๐๐๐๐๐๐)
โข No overlap between replicas:
๏ฟฝ๐๐๐๐ > ๐๐๐๐ ๐๐๐๐ + ๐๐๐๐ < ๐๐ โน๐๐๐๐ <
๐๐2
53
Example: DT Modulation ๐ง๐ง ๐๐ = ๐ฆ๐ฆ ๐๐ ๐๐ ๐๐ , where ๐๐ ๐๐ = cos ๐๐๐๐๐๐
โข Recover ๐๐ ๐๐๐๐๐๐ by lowpass filtering ๐๐ ๐๐๐๐๐๐ with ๐๐ โ (๐๐๐๐, 2๐๐๐๐ โ ๐๐๐๐)
54
Duality in Fourier Analysis โข CTFT: Both time and frequency functions are continuous and
aperiodic in general, identical form except for โซ different signs in exponent of complex exponential โซ constant factor 1/2๐๐
๐ฅ๐ฅ ๐ก๐ก =1
2๐๐๏ฟฝ ๐๐ ๐๐๐๐ ๐๐๐๐๐๐๐ก๐กโ
โโ๐๐๐๐
โฑ ๐๐ ๐๐๐๐ = ๏ฟฝ ๐ฅ๐ฅ(๐ก๐ก)๐๐โ๐๐๐๐๐ก๐ก
โ
โโ๐๐๐ก๐ก
โข Suppose two functions are related by
๐๐ ๐๐ = ๏ฟฝ ๐๐(๐๐)๐๐โ๐๐๐๐๐๐โ
โโ๐๐๐๐
โซ Let ๐๐ = ๐ก๐ก, and ๐๐ = ๐๐, โน ๐๐ ๐ก๐ก โฑ
๐๐ ๐๐
โซ Let ๐๐ = โ๐๐, and ๐๐ = ๐ก๐ก,โน ๐๐ ๐ก๐ก โฑ
2๐๐๐๐ โ๐๐
โข Duality: ๐ฅ๐ฅ ๐ก๐ก โฑ
๐๐ ๐๐๐๐ โบ ๐๐(๐ก๐ก) โฑ
2๐๐๐ฅ๐ฅ(โ๐๐๐๐)
55
Example of Duality in CTFT
๐ข๐ข ๐ก๐ก + ๐๐ โ ๐ข๐ข ๐ก๐ก โ ๐๐ โฑ
2 sin(๐๐๐๐)
๐๐
2 sin(๐๐๐ก๐ก)
๐ก๐ก โฑ
2๐๐[๐ข๐ข ๐๐ + ๐๐ โ ๐ข๐ข ๐๐ โ ๐๐ ]
56
Duality between DTFT and CTFS
57
๐๐ ๐๐๐๐๐๐ = ๏ฟฝ ๐ฅ๐ฅ[๐๐]๐๐โ๐๐๐๐๐๐โ
๐๐=โโ
= ๐๐(๐๐๐๐ ๐๐+2๐๐ )
๐ฅ๐ฅ ๐๐ =1
2๐๐๏ฟฝ ๐๐(๐๐๐๐๐๐)๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐2๐๐
๐ฅ๐ฅ ๐ก๐ก = ๏ฟฝ ๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐0๐ก๐กโ
๐๐=โโ
= ๐ฅ๐ฅ ๐ก๐ก + ๐๐ ,๐๐0 =2๐๐๐๐
๐๐๐๐ =1๐๐๏ฟฝ ๐ฅ๐ฅ ๐ก๐ก ๐๐โ๐๐๐๐๐๐๐๐๐ก๐ก๐๐๐ก๐ก
๐๐,๐๐0 =
2๐๐๐๐
LCCDEs โข Determine the frequency response of an LTI system described by
๏ฟฝ๐๐๐๐๐ฆ๐ฆ[๐๐ โ ๐๐]๐๐
๐๐=0
= ๏ฟฝ๐๐๐๐๐ฅ๐ฅ[๐๐ โ ๐๐]๐๐
๐๐=0
โข Method 1: using the eigenfunction property
let ๐ฅ๐ฅ[๐๐] = ๐๐๐๐๐๐๐๐ โ ๐ฆ๐ฆ[๐๐] = ๐ป๐ป ๐๐๐๐๐๐ ๐๐๐๐๐๐๐๐
substitution in to the difference equation yields
๏ฟฝ๐๐๐๐๐ป๐ป ๐๐๐๐๐๐ ๐๐๐๐๐๐(๐๐โ๐๐)๐๐
๐๐=0
= ๏ฟฝ๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐(๐๐โ๐๐)๐๐
๐๐=0
๐ป๐ป ๐๐๐๐๐๐ =โ ๐๐๐๐๐๐โ๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐=0
โ ๐๐๐๐๐๐โ๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐=0
58
LCCDEs โข Method 2: taking the Fourier transform of both sides
โฑ ๏ฟฝ๐๐๐๐๐ฆ๐ฆ[๐๐ โ ๐๐]๐๐
๐๐=0
= โฑ ๏ฟฝ๐๐๐๐๐ฅ๐ฅ[๐๐ โ ๐๐]๐๐
๐๐=0
โข By linearity and time shifting property
๏ฟฝ๐๐๐๐๐๐โ๐๐๐๐๐๐๐๐(๐๐๐๐๐๐) =๐๐
๐๐=0
๏ฟฝ๐๐๐๐๐๐โ๐๐๐๐๐๐๐๐(๐๐๐๐๐๐)๐๐
๐๐=0
๐ป๐ป ๐๐๐๐๐๐ =โ ๐๐๐๐๐๐โ๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐=0
โ ๐๐๐๐๐๐โ๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐=0
โข ๐ป๐ป ๐๐๐๐๐๐ is a rational function of ๐๐โ๐๐๐๐, i.e., ratio of polynomials
59
Example
๐ฆ๐ฆ ๐๐ โ34๐ฆ๐ฆ ๐๐ โ 1 +
18๐ฆ๐ฆ[๐๐ โ 2] = 2๐ฅ๐ฅ[๐๐]
โข Frequency response
๐ป๐ป ๐๐๐๐๐๐ =2
1 โ 34 ๐๐
โ๐๐๐๐ + 18 ๐๐
โ๐๐2๐๐
โซ Using partial fraction expansion
๐ป๐ป ๐๐๐๐๐๐ =2
(1 โ 12 ๐๐
โ๐๐๐๐)(1 โ 14 ๐๐
โ๐๐๐๐)=
4
1 โ 12 ๐๐
โ๐๐๐๐โ
2
1 โ 14 ๐๐
โ๐๐๐๐
โซ Taking inverse Fourier transform to find impulse response
โ ๐๐ = 412
๐๐
๐ข๐ข ๐๐ โ 214
๐๐
๐ข๐ข[๐๐]
60
Example
๐ฆ๐ฆ ๐๐ โ34๐ฆ๐ฆ ๐๐ โ 1 +
18๐ฆ๐ฆ[๐๐ โ 2] = 2๐ฅ๐ฅ[๐๐]
โข Determine zero-state response to ๐ฅ๐ฅ ๐๐ = 14
๐๐๐ข๐ข[๐๐]
๐๐ ๐๐๐๐๐๐ = ๐ป๐ป ๐๐๐๐๐๐ ๐๐ ๐๐๐๐๐๐ =2
(1 โ 12 ๐๐
โ๐๐๐๐)(1 โ 14 ๐๐
โ๐๐๐๐)โ
1
1 โ 14 ๐๐
โ๐๐๐๐
โซ Using partial fraction expansion ๐๐ ๐๐๐๐๐๐ = โ
4
1 โ 14 ๐๐
โ๐๐๐๐โ
2
1 โ 14 ๐๐
โ๐๐๐๐2 +
8
1 โ 12 ๐๐
โ๐๐๐๐
โซ Taking inverse Fourier transform to find output
๐ฆ๐ฆ ๐๐ = โ414
๐๐
โ 2 ๐๐ + 114
๐๐
+ 812
๐๐
๐ข๐ข[๐๐]
61
62
Many Thanks
Q & A