diseño de elementos sometidos a compresión

ESTRUCTURAS DE MADERA CAPÍTULO IV

UNIVERSIDAD MAYOR DE SAN SIMON FACULTAD DE CIENCIAS Y TECNOLOGIA64

CAPITULO 4

DISEÑO DE ELEMENTOS SOMETIDOS A COMPRESIÓN

4.1 INTRODUCCION.-

Se entiende como miembros a compresión a aquellos elementos que se encuentran

principalmente solicitados por cargas de compresión, como columnas y entramados; pero

en general un elemento estructural es solicitado por mas de un tipo de esfuerzo, por lo que

en la realidad casi todas las columnas estructurales trabajan a compresión y flexión

combinadas (flexo-compresión).

Las columnas son elementos donde las cargas principales actúan paralelas al eje del

elemento, y por lo tanto trabaja principalmente a compresión; cuya longitud es varias veces

mayor que su dimensión lateral más pequeña. El esfuerzo de compresión es muy peligroso

en este tipo de elemento estructural, por la presencia de pandeo, que es una falla por

inestabilidad.

El tipo de columna que se usa con mayor frecuencia es la columna sólida sencilla, que

consiste en una sola pieza de madera, cuya sección transversal es cuadrada u oblonga.

Las columnas sólidas de sección transversal circular son usadas con menos frecuencia. Una

columna formada por varios miembros es un ensamble de dos o más miembros cuyos ejes

longitudinales son paralelos; se impide que se toquen los elementos mediante unos bloques

separadores colocados en los extremos y punto medio de su longitud.

Otros tipos de columnas son las llamadas columnas compuestas, que están conectadas

mediante sujetadores mecánicos. Los pie-derechos en marcos ligeros de madera y en

entramados también son columnas.

En el procedimiento de diseño del “Manual de Diseño para Maderas del Grupo Andino” de

deben de seguir los siguientes pasos:

Para COMPRESIÓN AXIAL:

1. Definir las bases de cálculo.

a) Grupo estructural de la madera a utilizarse



b) Cargas a considerarse en el diseño

c) Condiciones de apoyo, y factor de longitud efectiva.

2. Determinar efectos máximos.

3. Establecer los esfuerzos admisibles, modulo de elasticidad, así como el valor

de Ck.

4. Asumir una escuadría, y extraer sus propiedades geométricas.

5. Calcular la esbeltez para cada dirección.

6. Calcular la carga admisible, y compararla con la carga solicitante.

Para FLEXOCOMPRESIÓN:

1. al 6. Se determina de la misma manera que para Compresión Axial.

7. Determinar la carga crítica de Euler.

8. Calcular el factor de amplificación de momentos km.

9. Verificar que la ecuación general de elementos a flexocompresión sea

satisfecha (que de un valor < a 1).

El diseño de elementos sometidos a compresión o flexo-compresión debe realizarse

tomando en cuenta su longitud efectiva, que será denotada por efL .La longitud efectiva es

“la longitud teórica de una columna equivalente con articulaciones en sus extremos” .Esta

longitud efectiva se obtiene multiplicando la longitud no arriostrada “L” por un factor de

longitud efectiva “k”, que considera las restricciones o grado de empotramiento que sus

apoyos extremos le proporcionan.

El Manual de Diseño para Maderas del Grupo Andino recomienda que en ningún caso se

tome una longitud efectiva menor que la longitud real no arriostrada, o sea por mas

de que el factor k sea menor que 1 de acuerdo con las condiciones extremas, se recomienda

tomar mínimamente k =1, debido al grado de incertidumbre de restricción al giro que las

uniones puedan proporcionar.

En la siguiente tabla se presentan algunos casos para la evaluación de la longitud efectiva

en función de sus restricciones.



1. Articulado en ambos extremos 1 L

2. Empotrado en un extremo y el otro impedido de rotar pero libre 1.2 1.2 L de desplazarse

3. Empotrado en un extremo y el otro parcialmente impedido de 1.5 1.5 L rotar pero libre de desplazarse

4. Empotrado en un extremo pero libre en el otro 2 2 L

5. Articulado en un extremo y el otro impedido de rotar, pero libre 2 2 L de desplazarse.

6. Articulado en un extremo y libre en el otro. -----

CONDICIONDEAPOYO ESQUEMAFACTORDELONGITUD

EFECTIVA: ' K 'LONGITUDEFECTIVA

Lef

L

1.2 L

2 L

2 L

1.5 L

Ref.: TABLA 9.1 DE Pág. 9-4 del Manual Para Diseño De Maderas Del Grupo Andino

TABLA 4.1: LONGITUD EFECTIVA DE COLUMNAS



A continuación se presenta una recomendación para la determinación del factor k que se

usará para el diseño. Los valores teóricos para el factor k que esta en función del grado de

restricción de los extremos de la columna, deben ser aumentados por el valor mostrado en

la tabla 4.2, donde puede apreciarse que la mayoración se realiza cuando existe un extremo

empotrado, ya que no existe un “empotramiento perfecto”en las estructuras de que se

construyen en la actualidad; esta recomendación es realizada por la norma americana LRFD

1996, y conviene tenerla en cuenta al momento del diseño.

Cabe remarcar lo siguiente: El valor del factor k se debe determinar correctamente, ya que

un error en su determinación (por pequeño que fuese) trae consigo en el diseño un error

grande en el cálculo de la esbeltez y de la capacidad de carga de la columna; y por

consiguiente una posible falla de la columna que trae consigo un colapso de la totalidad de

la estructura. Es por eso que si se tiene dudas en las condiciones de restricción en los

MODOSDE

PANDEO

Valor Teorico de K 0.5 0.7 1.0 1.0 2.0 2.0

Valor de K recomendadopara Diseño cuando condionesson aproximadas a las ideales

ROTACION RESTRINGIDA, TRASLACION RESTRINGIDA

ROTACION LIBRE, TRASLACION RESTRINGIDA

ROTACION RESTRINGIDA, TRASLACION LIBRE

ROTACION LIBRE, TRASLACION LIBRE

2.10 2.4

Comdiciones de Borde

0.65 0.80 1.2 1.0

TABLA 4.2 :FACTOR DE LONGITUD EFECTIVA “K” PARA DISEÑO DE COLUMNAS

Ref.: FIGURA C4.2-1 de Pág. 197 del Norma Americana para Diseño en Maderas LRFD 1996

Condiciones de Borde



extremos de las columnas se debe tomar valores de k que sean conservadores; por ejemplo

si no se esta seguro que el extremo de una columna que forma parte de un pórtico restringe

totalmente los desplazamientos laterales (esto mediante la utilización de muros de corte o

diafragmas verticales suficientemente rígidos), entonces se debe asumir que la unión no

restringe los desplazamientos laterales y por tanto le corresponde a la columna un valor de

k mayor que 1.

4.2 ESBELTEZ.-

En estructuras de madera la esbeltez de una columna maciza simple aislada es la relación

entre la longitud efectiva y la dimensión del lado menor de su sección transversal (para

columnas rectangulares; tomar el diámetro si fuese columna redonda), expresada en

ecuación sería:

d

Lef

Donde:Lef : longitud efectiva de la columna

d : Lado menor de la columna

Cuando se tenga una columna rectangular donde la longitud efectiva varié en sus dos

direcciones (de su sección transversal), se debe calcular la esbeltez para ambas direcciones,

y se debe usar para el diseño la esbeltez que sea mayor. La esbeltez para columnas macizas

simples está limitada a λ = 50; para columnas formadas por varios miembros la esbeltez

está limitada a λ = 80.



Clasificación de las columnas según su esbeltez.- Según el “Manual de Diseño para

Maderas del Grupo Andino” (Pág. 9-5) se clasifica a las columnas macizas simples en

función a su esbeltez en:

Columnas Cortas : 10

Columnas Intermedias : kC10

Donde :c

k f

E7025.0C

Columnas Largas : 50Ck

De la anterior tabla Ck es la relación de esbeltez para la cual la columna, considerada como

columna larga, tiene una carga admisible igual a dos tercios de la carga de aplastamiento:

2/3Afc , donde A es la sección transversal y fc es el esfuerzo admisible máximo a

compresión paralela a las fibras. Los valores de Ck para cada uno de los tres grupos

estructurales se presentan a continuación:

CLASIFICACION ESBELTEZ

¡NO DEBEN UTILIZARSE COMO COLUMNAS MACIZAS SIMPLES,ELEMENTOS CUYA ESBELTEZ SEA MAYOR QUE 50!

TABLA 4.3: CLASIFICACION DE LAS COLUMNAS

Ref.: TABLA 9.4 DE Pág. 9-11 del Manual Para Diseño De Maderas Del GrupoAndino

Ref.: PAG 9-5 del Manual Para Diseño para Maderas Del Grupo Andino

TABLA 4.4: RELACION DE ESBELTEZ LIMITE ENTRECOLUMNAS INTERMEDIAS Y LARGAS

GRUPO

A 17.98 20.06

B 18.34 20.20

22.47C 18.42

CkCOLUMNAS ENTRAMADOS



4.3 ESFUERZOS MÁXIMOS ADMISIBLES Y MODULO DE ELASTICIDAD.-

El Manual de Diseño para Maderas del Grupo Andino indica los esfuerzos máximos

admisibles que deben utilizarse para el diseño de elementos sometidos a compresión o

flexo-compresión, según el grupo estructural al que pertenece la madera, y estos son:

Para el diseño de columnas se debe usar los valores de módulo de elasticidad E0.05 que es el

modulo mínimo, que según el manual de diseño en maderas del grupo andino, corresponde

a una probabilidad de hasta 5% que el módulo de elasticidad este por debajo del valor

considerado; esto para el grupo estructural de madera elegido para conformar el elemento.

Para el diseño de pie-derechos para entramados, se debe usar el valor de Epromedio, el cual es

mayor que E0.05, debido a que en un entramado los elementos actúan de una manera más

solidaria, garantizando así la seguridad.

A continuación se muestran los valores de modulo de elasticidad según su grupo

estructural:

TABLA 4.5: ESFUERZOS MAXIMOS ADMISIBLES (kg/cm2)

COMPRESION PARALELA TRACCION PARALELA FLEXIONfc ft fm

C 80 75 100

B 110 105 150

145 145 210

GRUPO

A



TABLA 4.6: MODULO DE ELASTICIDAD (kg/cm2) TABLA 3: RELACION DE ESBELTEZ LIMITE ENTRECOLUMNAS INTERMEDIAS Y LARGAS

B

E0.05

95 000

75 000

Epromedio

130 000

100 000

C 55 000 90 000

A

GRUPO



4.4 CAPACIDAD DE CARGA PARA COLUMNAS SOMETIDAS A

COMPRESIÓN (CARGA ADMISIBLE A COMPRESIÓN).-

Según el “Manual de Diseño para Maderas del Grupo Andino” la capacidad de carga varía

de acuerdo a la clasificación realizada en función de su esbeltez (Tabla 4.3), de aquí

tenemos:

Para Columnas Cortas la carga admisible a compresión se calcula como :

AfN cadm Donde:

Para Columnas Intermedias la carga admisible a compresión se calcula como :

4

kcadm C3

11AfN

Donde:

Para Columnas Largas la carga admisible a compresión se calcula como :

2admAE

329.0N

donde :

A: área de la sección transversalfc: esfuerzo máximo admisible de

compresión paralela a la fibra.Nadm: carga axial máxima admisible.

A: área de la sección transversalfc: esfuerzo máximo admisible de

compresión paralela a la fibra.esbeltez del elemento (considerar

solo la mayor).Ck: obtenido de la tabla 4.4

Nadm: carga axial máxima admisible.

A: área de la sección transversalesbeltez del elemento (considerar

solo la mayor).E: módulo de elasticidad, obtenido

de la tabla 4.6Nadm: carga axial máxima admisible.




FLEXOCOMPRESIÓN.-

Los elementos sometidos a flexocompresión deben diseñarse para cumplir la siguiente

relación:

Donde:

Los valores de N y M son conocidos (hallados del análisis de esfuerzos). El valor de

admN se halla de la misma manera que para columnas sometidas a compresión.

El valor del factor de amplificación de momentos mk se halla con la ecuación:

Donde: crN es la carga crítica de Euler en la dirección en que se aplican los momentos de

flexión. La carga crítica de Euler se halla con la ecuación:

1fZ

Mk

NN

m

m

adm

N : es la carga axial solicitanteNadm: es la carga axial admisible

km: es un factor de magnificacion de momentos debido a lapresencia de carga axial

IMI: momento flector maximo en el elemento(en valor absoluto)Z: módulo de la seccion transversal con respecto al eje del

cual se produce la flexiónfm: esfuerzo admisible en flexión sacado de tabla 4.5

cr

m

NN

5.11

1k

2ef

2

crL

IEN



I

I

c

I

b

ch

d

b

hc

Donde: efL es la longitud efectiva de la columna; I es la inercia de la sección transversal.

El valor del módulo de la sección Z depende del tipo de sección transversal y de sus

dimensiones; a continuación se muestran las propiedades geométricas de las secciones

transversales más comunes:

hbA 6

hbZ

2

I

12

hbI

3

I

12

hrI

2

hc

4

dA

2

32

dZ

3

I

64

dI

4

I

4

drI

2

dc

2

hbA

24

hbZ

2

I

36

hbI

3

I

18

hrI

3

h2c

A = área ; I =momento de inercia ; Z = módulo de la sección =c

I ; r = radio de giro =A

I

Ref.: Elaboración Propia

FIGURA 4.1: PROPIEDADES GEOMÉTRICAS DE LAS SECCIONES MAS COMUNES




FLEXOTRACCIÓN.-

Los elementos sometidos a flexotracción deben diseñarse para cumplir la siguiente

relación:

Donde:

4.7 COLUMNAS DE SECCIÓN CIRCULAR Y POSTES.-

Las columnas de madera maciza de sección transversal circular no se usan de manera

extensa en nuestro medio. En cuanto a la capacidad de carga, se puede decir que las

columnas redondas soportan las mismas cargas axiales que las columnas cuadradas, cuando

estos tengan la misma área. Esto quiere decir que si una columna cuadrada se diseña para

resistir una carga axial externa, la columna redonda de misma área transversal que la

cuadrada resistirá la misma carga sin problemas.

Al diseñar una columna de madera de sección transversal circular, un procedimiento

sencillo es diseñar primero una columna cuadrada, y luego elegir una columna redonda con

un área de sección transversal equivalente. Para encontrar el diámetro de la columna

redonda equivalente, el lado de la sección cuadrada “d” debe multiplicarse por:

2rect dA

4

DA

2

circ

1fZ

M

fAN

mt

N : es la carga axial solicitanteA es el área de la sección transversal del elementoft: esfuerzo admisible a tracción, sacado de tabla 4.5

IMI: momento flector máximo en el elemento(en valor absoluto)Z: módulo de la seccion transversal con respecto al eje del

cual se produce la flexiónfm: esfuerzo admisible en flexión sacado de tabla 4.5

IGUALANDO d128.1D4

Dd

22



Por lo tanto se debe multiplicar por el factor 1.128 el lado de la columna cuadrada para

obtener el diámetro de la columna circular equivalente.

Los postes son piezas redondas de madera que constan de troncos descortezados de árboles

maderables. En longitudes cortas tienen un diámetro constante, pero cuando son largos

tienen forma cónica, que es la forma natural del tronco de árbol.

Para una columna cónica, una suposición conservadora para el diseño es que el diámetro

crítico de la columna el diámetro menor en el extremo de sección menor. Si la columna es

muy corta, esto es razonable. Sin embargo, para una columna esbelta, donde el pandeo se

presenta a la mitad de su altura, esto es muy conservador. Sin embargo, debido a la

ausencia común de la rectitud inicial, y a la presencia de numerosos defectos (como nudos,

rajaduras y depósitos de resina), se recomienda usar el diámetro del extremo de menor

sección para los cálculos de diseño.

El uso de los postes esta en puentes provisionales o en edificaciones, conformando

columnas o cimientos. Como cimientos, se usan como pilotes de madera, donde los postes

son encajados en el suelo mediante un martinete. Sin embargo otra forma de utilizar los

postes para cimentación consiste solo en excavar un hoyo, insertar parcialmente el poste, y

luego rellenar el hoyo alrededor del poste, con suelo o concreto, como se hace con los

postes para cercas, apoyo para anuncios y postes de uso general.

4.8 COLUMNAS FORMADAS POR VARIOS MIEMBROS.-

Un tipo de elemento estructural que algunas veces se usa en las estructuras de madera es la

columna formada por varios miembros. Este es un elemento en el cual dos o mas elementos

de madera se sujetan juntos (mediante pernos preferentemente) para compartir la carga

como una sola unidad de compresión. El diseño de estos elementos es muy complejo. A

continuación para explicar como se realiza el diseño, se desarrollará un ejemplo.

Ejemplo:

Una columna formada por varios miembros mostrada en la siguiente figura, consta de tres

piezas de almendrillo de 10×30 cm. de sección. La dimensión L1 es de 4 metros y X es de

15 centímetros. Calcular la capacidad de compresión axial.



d2L1 y L2

X

L3

d1

Bloques extremos

YX

Bloques separadores

Y X

Perno

Solución: Hay dos condiciones separadas que se deben analizar con respecto a la columna

formada por varios miembros. Se relacionan con los efectos de la esbeltez relativa en las

dos direcciones que se representan con los ejes x y y en la figura anterior. En la dirección y

la columna se comporta simplemente como un conjunto de columnas macizas. Así, el

esfuerzo está limitado por las dimensiones d2 y L2 y su cociente. Para esta condición, se

determina lo siguiente para el ejemplo.

33.1330

)400(

d

L

2

2

Al usar este valor como relación de esbeltez, se determina la capacidad de una columna

maciza, cuya sección transversal tenga un área igual a tres veces la de una columna de

10×30 cm. (no debe tomarse el área de los bloques separadores).

FIGURA 4.2: COLUMNA FORMADA POR VARIOS MIEMBROS



Entonces:

Almendrillo(Grupo A)

Como = 13.33 es mayor que 10 la columna no es corta.

De la tabla 4.4 se saca el valor de Ck, que para una columna del Grupo A vale

17.98.

Como es mayor que 10 pero menor a 17.98, la columna es intermedia.

La fórmula que corresponde para hallar la carga admisible para una columna

intermedia es :

4

kcadm C3

11AfN

k31.11735898.17

33.13

3

11)3010(31451N

4

adm

El segundo caso que se debe considerar en el ejemplo es el comportamiento con respecto al

pandeo en la dirección x, que se revisa con respecto a dos limitaciones:

1. 40d

L

1

3

2. 80d

L

1

1

Entonces usando los datos del ejemplo se tiene:

405.1810

152

400

d

L

1

3

CUMPLE!

804010

400

d

L

1

1 CUMPLE!

La capacidad de carga para esta condición depende del valor de1

1

d

L , y se determina de

manera similar, a la de la columna maciza, pero se permite mayorar la capacidad de carga

cf 145 k/cm2

E 95000 k/cm2



para columnas intermedias y largas con un factor Kx, en relación al valor de X con

respecto a la longitud total de la columna, con los siguientes valores:

Kx = 1.5 cuando X es menor o igual a L1/20

Kx = 2.0 cuando X se encuentra entre L1/20 y L1/10

Entonces:

Como 40d

L

1

1 es mayor que 10 la columna no es corta.

De la tabla 4.4. se saca el valor de Ck , que para una columna del Grupo A vale

17.98.

Como es mayor que 10 y mayor a 17.98, la columna es larga.

La fórmula que corresponde para hallar la carga admisible para una columna larga

es:

2admAE

329.0N

k94.1758040

3010395000329.02N

2adm

Pero como X vale 15 cm, y L1/20 = 400/20 = 20, entonces se permite mayorar la carga

admisible por el factor Kx =1.5.

Entonces:

k41.263715.194.175802N adm

La capacidad de la columna será la menor entre N1adm y N2adm, entonces como el menor

es N2adm :

k41.26371Nadm

4.9 COLUMNAS COMPUESTAS.-

Son columnas individuales formadas por varios elementos de secciones macizas. Por lo

general, las columnas compuestas tienen los elementos unidos entre sí mediante

dispositivos mecánicos, como clavos o pernos torneados.



El diseño de este tipo de columnas se lo realiza en base a la capacidad del elemento

individual. Es decir la menor capacidad de carga de la sección compuesta es la suma de las

capacidades de las partes consideradas individuales.

Las columnas compuestas más comunes son ensambles de pies derechos que se presentan

en la esquina de los muros, intersecciones de muros y los cantos de los vanos de puertas y

ventanas.

Cuando las columnas compuestas se presentan como columnas aisladas, se hace difícil la

determinación real de sus capacidades, a menos que los elementos individuales tengan una

esbeltez suficientemente baja como para considerar que tienen capacidades significativas.

Dos tipos de ensambles que tienen capacidades comprobadas como columnas compuestas

son los mostrados a continuación.

(b)(a)

En la figura (a) se muestra una columna de núcleo macizo esta envuelta por todos lados con

elementos mas delgados. La suposición común para analizar esta columna es que la esbeltez

se basa únicamente en el núcleo, pero la capacidad de compresión axial se basa en la

sección completa.

En la figura (b) se muestra una serie de elementos delgados se mantiene unida mediante dos

placas de cubierta que tienden a restringir el pandeo de los elementos del núcleo alrededor

de sus ejes poco resistentes. Para esta columna, se considera que la esbeltez se basa en el

eje más fuerte de los miembros internos. La compresión axial se basa en la suma de los

elementos internos para obtener un diseño conservador, pero es razonable incluir las placas

si están unidas mediante tornillos o pernos.

Ref.: Diseño simplificado de Estructuras de Madera, Parker-Ambrose; Pág. 143

FIGURA 4.3: COLUMNAS COMPUESTAS



Ejemplo:

En la siguiente figura se muestra la sección transversal de una columna compuesta, cuyo

núcleo es de 20×20 cm.,y las placas exteriores tienen un espesor de 5 cm.. Se pide

encontrar la altura máxima que puede tener dicha columna, para resistir una carga de 55

toneladas. Las restricciones de sus extremos se pueden asimilar en la parte inferior

empotrada, y en la parte superior la unión restringe los giros pero permite desplazamientos.

Trabajar con madera del grupo B.

30 cm

30 cm20 cm

20 cm

Solución:

Como datos del problema se tiene:

Madera del Grupo B

Lo primero que se debe hacer es encontrar la longitud efectiva que es igual a:

LkLe

De la tabla 4.2 para el modo de pandeo de la columna se recomienda para el diseño el

factor K =1.2. Entonces:

L2.1Le

Para la esbeltez solo se debe considerar el núcleo, entonces la esbeltez igual a:

L06.020

L2.1

d

Le

cf 110 k/cm2

E 75000 k/cm2



Obviamente la mayor longitud de la columna se dará cuando esta se analiza como columna

larga.

Entonces la carga admisible que puede resistir será:

2admAE

329.0N

kL

6168750000

)L06.0(

3075000329.0N

22

2

adm

Para que la columna resista la carga de 55000 k., la carga admisible debe ser por lo menos

igual a ésta, por lo tanto igualamos:

55000L

6168750000N

2adm

m35.3cm90.334L

Con esta longitud se verifica la esbeltez:

m20.120

3.351.2

20

1.2L

d

Lλ e

De la tabla 4.4 se saca el valor de Ck, que para una columna del Grupo B vale 18.34.

Como es mayor que 18.34 pero menor a 50, entonces se verifica lo asumido: la columna

es Larga.

Por lo tanto la longitud máxima de la columna deberá ser 3.35 metros.



4.10 EJEMPLOS DEL CAPÍTULO

Ejemplo 1:

Un miembro de madera sometido a compresión tiene una sección transversal de

15cm15cm, y es de almendrillo. Encontrar la capacidad de carga a compresión axial

(carga admisible) para longitudes efectivas de:

a) 2 metros

b) 6 metros

c) 10 metros

Solución:

Como datos del problema se tiene:

Dimensiones:

Almendrillo(Grupo A)

a) Se tiene una esbeltez igual a : 33.1315

200

d

L

Como es mayor que 10 la columna no es corta.


17.98.

Como es mayor que 10 pero menor a 17.98, la columna es intermedia.


intermedia es:

4

kcadm C3

11AfN

k58.2933998.17

33.13

3

11)1515(145N

4

adm

Base (b) = 15 cm

Altura (h) = 15 cm

cf 145 k/cm2

E 95000 k/cm2



b) Se tiene una esbeltez igual a : 0.4015

600

d

L



17.98.

Como es mayor que 10 y mayor a 17.98, pero menor que 50, la columna es

larga.


larga es :

2admAE

329.0N

k23.439540

1595000329.0N

2

2

adm

c) Se tiene una esbeltez igual a : 67.6615

1000

d

L

Como es mayor que 50, entonces NO DEBE UTILIZARSE ESTA

COLUMNA; para usarse se debe aumentar su sección transversal.

Por lo tanto para que esta columna tenga 10 metros de largo se debe aumentar su

sección a por lo menos 2020 ó 22.522.5 cm.



Ejemplo 2:

En la siguiente figura se muestra a una viga de madera Quebracho, de 2035 cm de

sección, que soporta una carga distribuida de 1 tonelada por metro. Esta viga esta soportada

por 2 columnas de madera, que transmiten la carga hacia el suelo a través de zapatas

aisladas de HºAº. Se pide diseñar las columnas de madera para que resistan las cargas a las

que se ven sometidas. Suponer para el diseño que la unión de viga-columna restringe los

desplazamientos pero permite la rotación. Utilizar para el diseño madera del Grupo A.

4 m

1m

35

20

5 m

ZAPATAS

COLUMNAS

VIGA



Esquema Estructural:

PESO PROPIO

q = 1 t/m5 m

5 m

El Quebracho corresponde a una madera del Grupo A; por lo tanto la viga como las

columnas son del mismo grupo estructural.

Grupo A

El peso propio de la viga, que es igual a :

hb pP

Pp = 800 k/m3 . 0.20 m . 0.35 m = 56 k/m

La carga total es igual a:

PpqCT

CT = 1000+56 = 1056 k/m

Las reacciones de apoyo de las vigas serán igual a:

Según fórmula de Anexo de capítulo 2:

k26402

51056

2

LCR T

cf 145 k/cm2

E 95000 k/cm2

800 k/m3



Los extremos de las columnas actuarían como articulado – articulado; en la parte inferior

debido a que la zapata aislada restringe los desplazamientos pero no garantiza una total

restricción de la rotación. Para la unión viga columna, en el enunciado se mencionó que se

podía suponer como articulado dicha unión.

La siguiente gráfica muestra como actúan las columnas:

5 m5 m

2640 k 2640 k

5 m

2640 k 2640 k

q = 1 t/m

Pp = 56 k/m

Como existe simetría geométrica como simetría de cargas, solo se analizara una columna,

ya que la otra deberá ser exactamente igual.

Para el diseño de la columna se debe tantear una sección, y hallar su carga admisible, que

deberá ser mayor a la carga externa actuante. Para tantear con una sección que sea muy

próxima a la necesaria se recurre a las tablas o ábacos para el diseño de columnas (ver

Anexo del Cáp. 4).



Para tantear con la Tabla A4-1(Tabla de anexos de capítulo IV), se entra con :

Longitud efectiva, que como las condiciones de borde en los apoyos de

la columna, se obtiene de la tabla 4.1 un valor de k = 1, por lo tanto la

longitud efectiva es igual a la longitud real no arriostrada = a 5 metros.

La carga a resistir, que para este caso será 2640 kilogramos.

Entonces:

De la tabla se observa que la sección mas pequeña cuya longitud efectiva es 5 metros y

cuya carga admisible es mayor a 2640 kilogramos es la sección 1515 cm. Pero porque la

carga admisible de la sección de 1515 cm es mucho mayor a 2640 kilogramos, nos

vemos obligados por razones económicas a buscar una sección que sea más pequeña.

Por lo tanto como el tanteo de las secciones se realiza pulgada por pulgada (debido a que en

el comercio se vende así), probar con la sección:

Entones:

Se tiene una esbeltez igual a : 0.405.12

500

d

Lef


Longitud efectiva (metros)Dimensiones Area (cm) (cm

2)

10 100 7813.75 5000.80 3472.78 2551.43 1953.44 1543.46 1250.2015 150 11720.63 7501.20 5209.17 3827.14 2930.16 2315.19 1875.3020 200 15627.50 10001.60 6945.56 5102.86 3906.88 3086.91 2500.4015 225 29337.33 24598.47 17580.94 12916.61 9889.28 7813.75 6329.14 5230.6920 300 39116.45 32797.96 23441.25 17222.14 13185.70 10418.33 8438.85 6974.2625 375 48895.56 40997.45 29301.56 21527.68 16482.13 13022.92 10548.56 8717.8220 400 56150.69 53485.08 48637.86 40655.47 31255.00 24695.31 20003.20 16531.5725 500 70188.36 66856.35 60797.32 50819.34 39068.75 30869.14 25004.00 20664.4630 600 84226.03 80227.62 72956.79 60983.21 46882.50 37042.96 30004.80 24797.3625 62530 750

Sección de columna

2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 5.5hb

TABLA A4.1 CAPACIDAD DE CARGA PARA COLUMNAS SUJETAS ACOMPRESIÓN (kilogramos) PARA MADERAS DEL GRUPO A

Base (b) = 12.5 cm

Altura (h) = 12.5 cm



De la tabla 4.4 se saca el valor de Ck, que para una columna del Grupo A vale 17.98.

Como es mayor que 10 y mayor a 17.98, la columna es larga.

La fórmula que corresponde para hallar la carga admisible para una columna larga es :

2admAE

329.0N

k25.305240

5.1295000329.0N

2

2

adm

Como Nadm es mayor que 2640 kilogramos, entonces SECCIÓN RESISTE.

Ejemplo 3:En la siguiente figura se muestra a una viga de madera Almendrillo, de 3050 cm de

sección, que soporta un muro de ladrillo gambote de 18 cm de espesor y de 3 metros de

altura (cuya longitud es igual a la longitud total de la viga). La viga esta soportada por 2

columnas de madera de 15×15 cm de sección y, que transmiten la carga hacia el suelo a

través de zapatas aisladas de HºAº. Se pide encontrar la máxima distancia “L” que puede

tener la combinación viga-muro, para que las columnas del pórtico resistan las

solicitaciones actuantes. Suponer para el diseño que la unión de viga-columna restringe los

desplazamientos pero permite la rotación. Utilizar para las columnas madera del Grupo B.

COLUMNAS

VIGA

50

30

3 m

5 m

1m

ZAPATAS



Esquema Estructural:

L

PESO PROPIO

qLad

6 m

El Almendrillo corresponde a una madera del Grupo A; por lo tanto para la viga:

Grupo A

El peso propio de la viga, que es igual a :

hb pP

Pp = 800 k/m3 . 0.30 m . 0.50 m = 120 k/m

La carga qLad , que se debe al peso del muro de ladrillo es igual a :

Ladrillo Gambote

alturaespesorqLad

mk

972318.01800qLad

La carga total es igual a:

PpqCT

CT = 972+120 = 1092 k/m

800 k/m3

1800 k/m3



Las reacciones de apoyo de las vigas serán igual a:

Según formula de Anexo de cap2:

kL5462

L1092

2

LCR T

El peso propio de cada columna, que es igual a :

hbPp

Columnas(Grupo B)

Pp = 750 k/m3 . 0.15 m . 0.15 m . 6 m = 101.25 k 102 k

Los extremos de las columnas actuarían como articulado – articulado; en la parte inferior

debido a que la zapata aislada restringe los desplazamientos pero no garantiza una total

restricción de la rotación. Para la unión viga columna, en el enunciado se mencionó que se

podía suponer como articulado dicha unión.

La siguiente gráfica muestra como actúan las columnas:

L

546L k

6 m 6 m

546L k

PESO PROPIO

q = 0.97 t/m

(546L+102) k (546L+102) k

750 k/m3



Como existe simetría geométrica como simetría de cargas, solo se analizara una columna,

ya que la otra deberá ser exactamente igual.

Ahora el siguiente paso es establecer la carga admisible de la columna dato: 1515 cm y 6

metros de longitud efectiva (igual a la longitud real debido a que k es igual a 1), y

perteneciente al Grupo B. Para el valor de la carga admisible de una manera rápida se

puede usar las tablas o graficas de diseño de columnas (ver Anexo del Cáp. 4).

Usando la grafica de diseño correspondiente al Grupo B y a la escuadría: 1515 cm:

GRAFICA PARA DISEÑO DE COLUMNAS - GRUPO B

0.00

5 000.00

10 000.00

15 000.00

20 000.00

25 000.00

30 000.00

35 000.00

40 000.00

2 3 4 5 6 7

LONGITUD EFECTIVA (metros)

CA

PAC

IDA

D D

E C

AR

GA

(kilo

gram

os)

10*1010*1510*2015*1515*2015*25

ESCUADRIAS

3450


0.00

5 000.00

10 000.00

15 000.00

20 000.00

25 000.00

30 000.00

35 000.00

40 000.00

2 3 4 5 6 7


CA

PAC

IDA

D D

E C

AR

GA

(kilo

gram

os)

10*1010*1510*2015*1515*2015*25

ESCUADRIAS


0.00

5 000.00

10 000.00

15 000.00

20 000.00

25 000.00

30 000.00

35 000.00

40 000.00

2 3 4 5 6 7


CA

PAC

IDA

D D

E C

AR

GA

(kilo

gram

os)

10*1010*1510*2015*1515*2015*25

ESCUADRIAS



Entonces:

Nadm = 3450 = 546L+102

L = 6.13 metros

Aproximadamente: la longitud de la viga no debe exceder de 6 metros para que las

columnas RESISTAN.

Ejemplo 4:

Para la columna mostrada en la siguiente figura se pide determinar la escuadría para que

resista la solicitación actuante. Considerar para el diseño que la longitud efectiva es igual a

la longitud no arriostrada. Diseñar el miembro para la especie verdolago.

10 cm4 m

20 ton

DE la grafica se aprecia que la carga axial es de 20 toneladas, y debido a la excentricidad

de 10 cm, genera un momento igual a 2000 kg.m., por lo tanto diseñar a flexocompresión.

El Verdolago corresponde a una madera del Grupo B; por lo tanto:

Grupo B

Asumir una sección:

Predimensionando solo con la carga axial (con ábacos o tablas), una sección de 20×20

cumple, entonces:

cf 110 k/cm2

mf 150 k/cm2

E 75000 k/cm2

Base (b) = 20 cm

Altura (h) = 20 cm



Se tiene una esbeltez igual a: 2020

400

d

L



Como es mayor que 10 y mayor a 18.34, pero menor que 50, la columna es larga.


larga es:

2admAE

329.0N

k2467520

2075000329.0N

2

2

adm

Lo que sigue es hallar el factor de magnificación de momentos Km.:

Donde: Ncr es la carga critica de Euler:

El modulo resistente de la sección es:

cr

m

NN

5.11

1k

2ef

2

crL

IEN

k03.6168540012

2075000N

2

42

cr

947.1

03.61685

200005.11

1k m

332

cm33.13336

20

6

hbZ



Verificando a la flexocompresión:

Entonces aumentamos la sección:

Se tiene una esbeltez igual a: 1625

400

d

L



Como es mayor que 10 y menor a 18.34, la columna es intermedia.


intermedia es:

4

kcadm C3

11AfN

k95.5548434.18

16

3

11)2525(110N

4

adm

Lo que sigue es hallar el factor de magnificación de momentos Km:

Donde: Ncr es la carga critica de Euler:

1fZ

Mk

NN

m

m

adm

FALLA176.215033.1333

200000947.1

24675

20000

Base (b) = 25 cm

Altura (h) = 25 cm

cr

m

NN

5.11

1k

2ef

2

crL

IEN



El modulo resistente de la sección es:

Verificando a la flexocompresión:

Por lo tanto la sección de 25×25 resiste las solicitaciones externas.

Ejemplo 5:

En la siguiente figura se ilustra una condición de carga para un miembro de la cuerda

inferior de una armadura. La sección de el miembro es de 7.5×15 cm, y la madera utilizada

es para su construcción es Quebracho. Se pide analizar el miembro y determinar si es

adecuado para las condiciones de carga mostradas.

1 t1 t

10 t10 t

4 m

1 m 1 m

k21..15059840012

2575000N

2

42

cr

249.1

21.150598

200005.11

1k m

332

cm17.26046

25

6

hbZ

1fZ

Mk

NN

m

m

adm

CUMPLE1999.015017.2604

200000249.1

95.55484

20000



Solución:

El elemento esta sometido a flexotracción, para lo cual se debe verificar que:

El Quebracho corresponde a una madera del Grupo A; por lo tanto:

Grupo A

Sección

La tracción actuante es:

k10000N

El momento actuante máximo en el miembro es:

kcm100000mk100011000aPMmax

El modulo resistente de la sección es :

Verificando la relación del elemento a flexotracción:

1fZ

M

fAN

mt

tf 145 k/cm2

E 95000 k/cm2

800 k/m3

mf 210 k/cm2

Base (b) = 7.5 cm

Altura (h) = 15 cm

322

cm25.2816

155.7

6

hbZ

1fZ

M

fAN

mt

!CUMPLE168.021025.281

100000145155.7

10000



EJERCICIO PROPUESTO.-

En la lectura de capítulo dar especial importancia a los siguientes conceptos:

Compresión Axial

Flexocompresión

Flexotracción

Longitud efectiva - Esbeltez

Postes

PROBLEMAS PROPUESTOS.-

Diseñar una columna circular que soportará un tanque de agua de hormigón armado

de 5 metros cúbicos de capacidad. Considerar el espesor de las paredes del tanque

como constante y de 7.5 centímetros. La altura a la que se encontrará el tanque será

de 5 metros.

Realizar una planilla electrónica (tipo Excel) de diseño para los diferentes grupos

de maderas utilizando secciones circulares.

diseño de elementos sometidos a compresión

Engineering