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Dispensa
di
Geometria
Introduzione alla Geometria
La parola ldquoGeometriardquo deriva dalle parole ldquo geordquo (terra) e ldquometronrdquo (misura)
che significa ldquomisura della terrardquo
La geometria ha origini antichissime Nel 2000 aC gli Egizi avevano
conoscenze geometriche legate piugrave che altro a necessitagrave pratiche come
misurare e costruire
Le periodiche inondazioni del Nilo costringevano infatti gli Egizi a
ridisegnare frequentemente i confini delle proprie terre e quindi a misurarle
Anche i Babilonesi abitanti della Mesopotamia(lrsquoattuale Iraq) conoscevano e
utilizzavano la geometria a fini pratici
La Geometria diventava una vera scienza quando lrsquointeresse per la
matematica non egrave piugrave soltanto utilitaristico (cioegrave legato alla necessitagrave di
risolvere problemi pratici ma rispondere a un bisogno di pura conoscenza)
Questo desiderio di pura conoscenza fu una caratteristica del pensiero greco
nel I millennio aC Le conoscenze geometriche di Egizi e Babilonesi furono
introdotte in Grecia da Talete di Mileto e Pitagora di Samo
Nei tre secoli successivi lo studio della geometria continuograve a progredire in
Grecia principalmente grazie ad Euclide il quale nellrsquo 300 aC scrisse ldquoGli
Elementirdquo una delle opere piugrave importanti della matematica Nella prima
parte del trattato che si compone di 13 volumi Euclide fissa gli assiomi della
Geometria che descrivono le relazioni tra punti e linee
Da questa varietagrave Euclide deduce 500 teoremi di Geometria piana I libri
centrali sono dedicati alla teoria dei numeri Qui si trova quello che viene
considerato ldquoIl primo esempiordquo esempio BRILLANTE di ragionamento
matematico ossia la dimostrazione che i numeri primi sono infiniti Lrsquo ultima
parte dellrsquoopera egrave dedicata allo studio della geometria ldquoSolidardquo Lrsquoopera di
Euclide ha gettato le basi per lo studio egrave lrsquoinsegnamento della Geometria per
tutti i secoli successivi fino ai giorni nostri Non a caso oggi parliamo di
Geometria EUCLIDEA La geometria parte da ldquoENTI PRIMITIVIrdquo e da
ldquoCONCETTI PRIMITIVIrdquo cioegrave che non si possono definire precisamente ma
il significato egrave ldquoINTITUIVAMENTErdquo accettabile
Gli enti primitivi sono
IL PUNTO
LA LINEA
LA RETTA
LA SUPERFICIE
IL PIANO
LO SPAZIO
I concetti primitivi invece sono
IL MOVIMENTO RIGIDO (cioegrave quello per cui una figura puograve muoversi nel
piano o nello spazio senza DEFORMARSI )
Oltre agli enti e ai concetti PRIMITIVI nello studio della Geometria
incontreremo altri termini
GLI ASSIOMI
LE DEFINIZIONI
I TEOREMI
LE DIMOST
RAZIONI
I COROLLARI
La definizione egrave una proposizione che serve a introdurre un concetto nuovo
ricorrendo ad altri concetti giagrave noti
La sioma (o posulato) egrave un affermazione che esprime una proprietagrave evidente ed
intuitivamente accettabile
La geometria poggia dunque sugli assiomi intesi come veritagrave indimostrabili
mentre tutte le altre affermazioni devono essere dimostrate
Una dimostrazione egrave un ragionamento che parte da certi affermazioni
(ipotesi) e attraverso una sequenza di passaggi logici giunge ad una
proposizione finale(tesi)
Mediante le dimostrazioni si dimostrano i teoremi ossia affermazioni che
enunciano delle proprietagrave
Le proposizioni che derivano come conseguenze immediate di un teorema
sono dette corolari
La geometria non egrave perograve solamente una scienza astratta Tutte le proporzioni
che vengono studiate trovano applicazioni sulla realtagrave
Sono moltissimi infatti gli ambiti in cui si sfruttano proprietagrave geometriche
degli esseri unicellulari in mineralogia per lo studio dei cristalli in
architettura e in ingegneria per la progettazione di ambienti in topografia per
lo studio dei frazionamenti dei teoremi Anche nella vita pratica abbiamo
spesso a che fare con forme geometriche Ad esempio un piastrellista applica
conoscenze di geometria per calcolare quante piastrelle gli occorrono per
rivestire il pavimento di un locale
Postulati fondamentali
Assiomi di appartenenza
Assioma 1
Per due punti distinti passa una e una sola retta
Assioma 2
Una retta egrave sottoinsieme del pianoessa contiene infiniti punti
Assioma 3
Se 2 punti appartengono ad un piano la retta passante per essi appartiene al
piano
Assioma 4
Tre punti distinti e non allineati appartengono a un piano
Assiomi del ordine
Assioma 1( del orientamento)
Fissati 2 punti distinti A e B su una stessa retta si ha che B ldquoseguerdquo A oppure
A ldquoseguerdquo B cioegrave la retta puograve essere orientata in due modi verso destra o
sinistra
Assioma 2(della transitivitagrave)
Fissati 3 punti distinti ABC su una retta se C ldquoseguerdquo B e B ldquoseguerdquo A allora
C ldquoseguerdquo A
Assioma3(del illimitatezza)
Se A egrave un punti di una retta esiste almeno un punto ch precede A
Assioma4(della densitagrave)
Fissati 2 punti distinti A e B sa una retta tali che C ldquoseguerdquo A esistente
almeno un punto B distinto da A e C che ldquoseguerdquo A e ldquoprecederdquo C
(compreso tra A e C )
Dagli assiomi dellrsquoordine risulta quindi che la retta egrave illuminata orientabile e
densa
Definizioni
Semiretta
Ersquo ciascuna delle 2 parti in cui una retta viene divisa da un punto O detto
origine della semiretta
Segmento Dati due punti A e B su una retta chiamiamo segmento di estremi A e B
lrsquoinsieme dei punti della retta che sono compresi tra A e B
A B
Segmenti consecutivi se hanno un solo estremo in comune
A C
B
Segmenti adiacenti se sono consecutivi e appartengono alla stessa retta
A B C
Angolo Un angolo egrave una delle due parti del piano delimitata da due semirette
aventi la stessa origine Le semirette sono i ldquolatirdquo dellrsquoangolo e lrsquoorigine egrave
il vertice dellrsquoangolo
O
vertice lato
Angolo convesso se non contiene il prolungamento dei suoi lati
O
Angolo concavo se contiene il prolungamento dei suoi lati
O
Angoli consecutivi se hanno stesso vertice un lato in comune e gli altri
due lati sono da parti opposte rispetto al lato in comune
O
Angoli adiacenti se sono consecutivi e i lati non comuni appartengono
alla stessa retta
O
Un angolo puograve essere
Angolo nullo se le due semirette coincidono
Angolo giro se egrave formato da tutti i punti del piano se i lati sono
semirette opposte
Confronto tra gli angoli
Due angoli sono congruenti se sovrapponendosi lrsquouno allrsquoaltro con un
movimento rigido i lati e il vertice
Confrontare due angoli significa stabilire se due punti
Sono congruenti
Uno egrave maggiore dellrsquoaltro
Come si stabilisce se due angoli alfa (α) e beta (β) sono congruenti oppure
uno egrave maggiore dellrsquoaltro
β
a1
o1
b
α
b1
o a
Bisogna operare un movimento rigido che porti un vertice a sovrapporsi
allrsquoaltro e un lato a sovrapporsi allrsquoaltro lato
Se anche gli altri due lati si sovrappongono allora αequivβ (sono congruenti)
Se il secondo lato di α egrave interno a β allora α egrave minore di β se invece il
secondo lato di α egrave esterno a β allora α egrave maggiore di β
Bisettrice di un angolo Egrave la semiretta uscente da O che divide lrsquoangolo in due angoli tra loro
congruenti
α
bisettrice
β
Angoli particolari Angolo retto egrave ciascuna delle due parti in cui lrsquoangolo piatto viene
diviso dalla sua bisettrice ( cioegrave la metagrave di un angolo piatto)
Angolo acuto se egrave minore di un angolo retto
Angolo ottuso se egrave maggiore di un angolo retto
Angoli complementari se la loro somma egrave un angolo retto
Angoli supplementari se la loro somma egrave un angolo piatto
Angoli esplementari se la loro somma egrave un angolo giro
Angoli opposti al vertice se i lati di uno sono i prolungamenti ei lati
dellrsquoaltro
Teorema due angoli opposti al vertice sono sempre congruenti tra loro
a c
b d
aequivb cequivd
Operazioni tra angoli Addizione egrave la somma di due angoli consecutivi aequivb bequivc
c b
a
egrave lrsquoangolo avente vertice in O e per lati i 2 lati non in comune
ab+bc=abc
La somma di due angoli non consecutivi si puograve fare solo se e possibile
rendere i due angoli consecutivi con un movimento rigido
a a1
b b1
O a O1 a1
Se a1 egrave minore di a allora possiamo determinare a1-a Per fare la sottrazione
dobbiamo operare un movimento rigido che sovrapponga lrsquoangolo minore
allrsquoangolo maggiore facendo coincidere i due vertici e un lato in modo che il
lato dellrsquoangolo minore cada allrsquointerno dellrsquoangolo maggiore
bequivb1 a1
OequivO1
a 119874119886 - O=
Linea
lsquorsquoCONCETTO PRIMITIVO che visualizziamo nella nostra mente
immaginando di far scorrere una penna sul foglio senza mai staccare la
penna dal fogliorsquorsquo
LINEA APERTA se i suoi estremi non coincidono
A
B
AneB
LINEA CHIUSA se i suoi estremi coincidono
AequivB
LINEA INTRECCIATA se interseca se stessa in almeno un suo punto
interno
LINEA NON INTRECCIATA se non interseca se stessa in nessun un suo
punto interno
FIGURA PIANA parte di piano delimitata da una linea chiusa non
intrecciata
FIGURA CONVESSA se fissati due qualsiasi punti distinti nella figura il
segmento che li congiunge appartiene tutto alla figura
FIGURA CONCAVA se esistono almeno due punti della figura tali che il
segmento che li congiunge non appartiene tutto alla figura
Poligoni
Poligonale
Egrave una linea formata da segmenti a 2 a 2 consecutivi Una
poligonale (come qualsiasi linea) puograve essere aperta chiusa
intrecciata non intrecciata
Non intrecciata
Intrecciata
Elementi caratteristici di un poligono
Vertici
Angoli (interni ed esterni)
Lati (numero dei lati)
Diagonali (nge4)
Poligono convesso
Se dato ogni lato la retta a qui appartiene il lato non contiene punti interni al
poligono il poligono si dice convesso
Poligono concavo
Un poligono si dice concavo se esiste una retta contenente un lato che
contiene punti interni del poligono
TRIANGOLI n=3
I triangoli si classifica in base ai lati e in base ai agli angoli
Classificazione rispetto ai lati
Equilatero (se ha 3 lati uguali9
Isoscele (se ha 2 lati congruenti)
Scaleno (se ha3 lati disuguali)
Classificazione rispetto agli angoli
Acutangolo (se ha 3 angoli acuti9
Ottusangolo (se ha un angolo ottuso)
Rettangolo (se ha un angolo retto)
Proprietagrave dei triangoli
La somma dei angoli interni di un triangolo egrave congruente a un angolo
piatto(cioegrave misura 180deg)
In un triangolo un lato egrave minore della somma dei altri due e maggiore
delle loro differenze
C
A B
Es AC ltAB +BC
AC gtAB -BC
In un triangolo se due angoli sono disuguali allrsquoangolo maggiori si
oppone il lato maggiore
C
A B
TEOREMA DI PITAGORA
In un triangolo rettangolo la somma dei quadrati costruiti sui cateti egrave
equivalente al quadrato costruito sul ipotenusa ( cioegrave ha la stessa area)
In simboli
C2+c2=i2
Dea questa formula si ricavano le altre formule che consentono di
determinare la misura di un lato conoscendo gli altri due Ossia in un
triangolo rettangolo il teorema di Pitagora mi consente di ricavare la misura
di un lato a partire dai altri due
i =radic1198622 + 1198882 conosco i cateti e ricavo lrsquoipotenusa
c =radic1198942 minus 1198622conosco lrsquoipotenusa e il cateto maggiore e ricavo il cateto minore
C =radic1198942 minus 1198882conosco lrsquoipotenusa e il cateto minore e ricavo il cateto maggiore
TRIANGOLI CONGRUENTI
Due triangoli si dicono congruenti se sovrapponendosi mediante un
movimento rigido coincidono perfettamente
Criteri di congruenza
1 Se due triangoli hanno due lati e lrsquoangolo compreso ordinatamente
congruente
2 Se due triangoli hanno ordinatamente congruenti un lato e due angoli
sono congruenti
3 Se due triangoli hanno i lati ordinatamente congruenti allora sono
congruenti
SEGMENTI CARATTERISTICI DI UN TRIANGOLO
Asse di un lato
Egrave la retta passante per il punto medio del lato egrave perpendicolare al lato
Ogni triangolo ha 3 assi avendo 3 lati
C
A B
Mediana relativa a un lato
Egrave il segmento che ha come estremi il punto medio del lato e il vertice
opposto
Ogni triangolo ha 3 medianoavendo 3 lati
C
A B
Bisettrice di un angolo
Egrave la semiretta uscente dal vertice dellrsquoangolo che lrsquoangolo in due parti
congruenti
Ogni triangolo ha 3 bisettrici avendo 3 vertici
C
A B
Altezza relativa a un lato
Segmento perpendicolare al lato condotto dal vertice opposto
Ogni triangolo ha 3 altezze unrsquoaltezza puograve anche essere esterna al
triangolo
C
A B
Lrsquoaltezza puograve anche essere esterna al triangolo
C
A B
PUNTI NOTEVOLI DI UN TRIANGOLO
Circocentro(C)
Egrave lrsquointersezione dei tre assi Esso egrave equidistante dai vertici del triangolo
Circocentro
Puograve essere anche esterno al triangolo
Circocentro
Ortocentro(O)
Egrave il punto di intersezione delle altezza
Ortocentro
Anche esso puograve essere esterno
Ortocentro
Incentro(I)
Egrave il punto di intersezione della bisettrice Esso egrave sempre intern o al
triangolo ed egrave equidistante dai lati
Incentro
Baricentro(G)
Egrave il punto di intersezione delle tre mediane Esso egrave sempre interno al
triangolo e divide ogni mediana in due parti di cui quella avente un
estremo nel vertice egrave doppia dellrsquoaltra
Baricentro (mediana doppia)
SIMILITUDINE
Due triangoli sono simili se hanno gli angoli ordinatamente congruenti e i lati
corrispondenti in proporzione
La similitudine si indica con il simbolo asymp
C
C
A B A B
AB ArsquoBrsquo = BC BrsquoC rsquo= CA CrsquoArsquo
T1asympT2 se AequivA1 B equiv B1 C equivC1 e se AB AprimeBprime =AC AprimeCprime = BC BprimeCprime
La proporzione possiamo anche scriverla cosi
119860119861
119860prime119861prime =
119860119862
119860prime119862prime=
119861119862
119861prime119862prime= K (rapporto di similitudine)
Significato di k
Se kgt1 significa che T2 egrave rimpicciolito rispetto a T1 oppure T1 egrave ringrandito
rispetto a T2
Se klt1 allora T2 egrave ingrandito rispetto a T1
Se k = 1 T1 e T2 sono congruenti
CRITERI DI SIMILITUDINE
Per verificare se due triangoli sono simili dobbiamo verificare la definizione
cioegrave i 2 triangoli devono avere gli angoli ordinatamente congruenti e le 3
copie di lati omologhe in proporzione
Esistono perograve tre criteri che ci consentono di semplificare questa verifica
Primo criterio Se due triangoli hanno 2 angoli ordinatamente allora
sono simili
Secondo criterio Se due triangoli hanno 2 lati ordinatamente in
proporzione e lrsquoangolo compresso congruente allora sono simili
Terzo criterioSe due triangoli hanno i lati ordinatamente in proporzione
allora asse sono simili
PROPRIETAgrave DEI TRIANGOLI SIMILI
Teorema 1
Se 2 triangoli sono simili 2 lati omologhi stano tra loro come le rispettive
altezze
C
Crsquo
A B Arsquo Brsquo
AB AprimeBprime =CH CprimeHprime
Teorema 2
Se 2 triangoli sono simili 2 lati omologhi stano tra loro come i rispettivi
perimetri
C
Crsquo
A B Arsquo Brsquo
AB AprimeBprime = PPrsquo
Teorema 3
Se 2 triangoli sono simili i quadrati di 2 lati omologhi stano tra loro come le
rispettive aree
C
Crsquo
A B Arsquo Brsquo
AB AprimeBprime = AArsquo
TEOREMI DI EUCLIDE
Data una proporzione in cui i due termini medi sono uguali ac=cd c si
chiama ldquomedio proporzionalerdquo tra a e d
Primo teorema di Euclide
In un triangolo rettangolo un cateto egrave medio proporzionale fra lrsquoipotenusa e
la proiezione del cateto sullrsquoipotenusa
C
A H B
AH = Proiezione di AC sullrsquoipotenusa AB
HB = Proiezione di BC su AB
AB AC = AC AH
Secondo teorema di Euclide
In un triangolo rettangolo lrsquoaltezza relativa allrsquoipotenusa egrave ldquomedio
proporzionalerdquo tra le proiezioni dei cateti sullrsquoipotenusa stesa
C
A H B
AHCH = CH HB
ESEMPIO
In un triangolo rettangolo ABC (angolo retto in C) le proiezioni dei cateti
sullrsquoipotenusa misurano 2cm e 8 cm Calcolare perimetro e area
C
A H B
Dati
AH =2 cm
HB =8 cm
2 X = X 8
X2 = 2 8
X2 = 16
X = 4
A = 10cm middot 4 cm
2 = 20 cm2
10cm AC = AC 2cm
AC2 = 20 cm2
AC = 44 cm
10cm BC = BC 8cm
BC2 = 80 cm2
BC = 89 cm
P =89 cm + 44 cm + 10 cm = 233cm
Introduzione alla Geometria
La parola ldquoGeometriardquo deriva dalle parole ldquo geordquo (terra) e ldquometronrdquo (misura)
che significa ldquomisura della terrardquo
La geometria ha origini antichissime Nel 2000 aC gli Egizi avevano
conoscenze geometriche legate piugrave che altro a necessitagrave pratiche come
misurare e costruire
Le periodiche inondazioni del Nilo costringevano infatti gli Egizi a
ridisegnare frequentemente i confini delle proprie terre e quindi a misurarle
Anche i Babilonesi abitanti della Mesopotamia(lrsquoattuale Iraq) conoscevano e
utilizzavano la geometria a fini pratici
La Geometria diventava una vera scienza quando lrsquointeresse per la
matematica non egrave piugrave soltanto utilitaristico (cioegrave legato alla necessitagrave di
risolvere problemi pratici ma rispondere a un bisogno di pura conoscenza)
Questo desiderio di pura conoscenza fu una caratteristica del pensiero greco
nel I millennio aC Le conoscenze geometriche di Egizi e Babilonesi furono
introdotte in Grecia da Talete di Mileto e Pitagora di Samo
Nei tre secoli successivi lo studio della geometria continuograve a progredire in
Grecia principalmente grazie ad Euclide il quale nellrsquo 300 aC scrisse ldquoGli
Elementirdquo una delle opere piugrave importanti della matematica Nella prima
parte del trattato che si compone di 13 volumi Euclide fissa gli assiomi della
Geometria che descrivono le relazioni tra punti e linee
Da questa varietagrave Euclide deduce 500 teoremi di Geometria piana I libri
centrali sono dedicati alla teoria dei numeri Qui si trova quello che viene
considerato ldquoIl primo esempiordquo esempio BRILLANTE di ragionamento
matematico ossia la dimostrazione che i numeri primi sono infiniti Lrsquo ultima
parte dellrsquoopera egrave dedicata allo studio della geometria ldquoSolidardquo Lrsquoopera di
Euclide ha gettato le basi per lo studio egrave lrsquoinsegnamento della Geometria per
tutti i secoli successivi fino ai giorni nostri Non a caso oggi parliamo di
Geometria EUCLIDEA La geometria parte da ldquoENTI PRIMITIVIrdquo e da
ldquoCONCETTI PRIMITIVIrdquo cioegrave che non si possono definire precisamente ma
il significato egrave ldquoINTITUIVAMENTErdquo accettabile
Gli enti primitivi sono
IL PUNTO
LA LINEA
LA RETTA
LA SUPERFICIE
IL PIANO
LO SPAZIO
I concetti primitivi invece sono
IL MOVIMENTO RIGIDO (cioegrave quello per cui una figura puograve muoversi nel
piano o nello spazio senza DEFORMARSI )
Oltre agli enti e ai concetti PRIMITIVI nello studio della Geometria
incontreremo altri termini
GLI ASSIOMI
LE DEFINIZIONI
I TEOREMI
LE DIMOST
RAZIONI
I COROLLARI
La definizione egrave una proposizione che serve a introdurre un concetto nuovo
ricorrendo ad altri concetti giagrave noti
La sioma (o posulato) egrave un affermazione che esprime una proprietagrave evidente ed
intuitivamente accettabile
La geometria poggia dunque sugli assiomi intesi come veritagrave indimostrabili
mentre tutte le altre affermazioni devono essere dimostrate
Una dimostrazione egrave un ragionamento che parte da certi affermazioni
(ipotesi) e attraverso una sequenza di passaggi logici giunge ad una
proposizione finale(tesi)
Mediante le dimostrazioni si dimostrano i teoremi ossia affermazioni che
enunciano delle proprietagrave
Le proposizioni che derivano come conseguenze immediate di un teorema
sono dette corolari
La geometria non egrave perograve solamente una scienza astratta Tutte le proporzioni
che vengono studiate trovano applicazioni sulla realtagrave
Sono moltissimi infatti gli ambiti in cui si sfruttano proprietagrave geometriche
degli esseri unicellulari in mineralogia per lo studio dei cristalli in
architettura e in ingegneria per la progettazione di ambienti in topografia per
lo studio dei frazionamenti dei teoremi Anche nella vita pratica abbiamo
spesso a che fare con forme geometriche Ad esempio un piastrellista applica
conoscenze di geometria per calcolare quante piastrelle gli occorrono per
rivestire il pavimento di un locale
Postulati fondamentali
Assiomi di appartenenza
Assioma 1
Per due punti distinti passa una e una sola retta
Assioma 2
Una retta egrave sottoinsieme del pianoessa contiene infiniti punti
Assioma 3
Se 2 punti appartengono ad un piano la retta passante per essi appartiene al
piano
Assioma 4
Tre punti distinti e non allineati appartengono a un piano
Assiomi del ordine
Assioma 1( del orientamento)
Fissati 2 punti distinti A e B su una stessa retta si ha che B ldquoseguerdquo A oppure
A ldquoseguerdquo B cioegrave la retta puograve essere orientata in due modi verso destra o
sinistra
Assioma 2(della transitivitagrave)
Fissati 3 punti distinti ABC su una retta se C ldquoseguerdquo B e B ldquoseguerdquo A allora
C ldquoseguerdquo A
Assioma3(del illimitatezza)
Se A egrave un punti di una retta esiste almeno un punto ch precede A
Assioma4(della densitagrave)
Fissati 2 punti distinti A e B sa una retta tali che C ldquoseguerdquo A esistente
almeno un punto B distinto da A e C che ldquoseguerdquo A e ldquoprecederdquo C
(compreso tra A e C )
Dagli assiomi dellrsquoordine risulta quindi che la retta egrave illuminata orientabile e
densa
Definizioni
Semiretta
Ersquo ciascuna delle 2 parti in cui una retta viene divisa da un punto O detto
origine della semiretta
Segmento Dati due punti A e B su una retta chiamiamo segmento di estremi A e B
lrsquoinsieme dei punti della retta che sono compresi tra A e B
A B
Segmenti consecutivi se hanno un solo estremo in comune
A C
B
Segmenti adiacenti se sono consecutivi e appartengono alla stessa retta
A B C
Angolo Un angolo egrave una delle due parti del piano delimitata da due semirette
aventi la stessa origine Le semirette sono i ldquolatirdquo dellrsquoangolo e lrsquoorigine egrave
il vertice dellrsquoangolo
O
vertice lato
Angolo convesso se non contiene il prolungamento dei suoi lati
O
Angolo concavo se contiene il prolungamento dei suoi lati
O
Angoli consecutivi se hanno stesso vertice un lato in comune e gli altri
due lati sono da parti opposte rispetto al lato in comune
O
Angoli adiacenti se sono consecutivi e i lati non comuni appartengono
alla stessa retta
O
Un angolo puograve essere
Angolo nullo se le due semirette coincidono
Angolo giro se egrave formato da tutti i punti del piano se i lati sono
semirette opposte
Confronto tra gli angoli
Due angoli sono congruenti se sovrapponendosi lrsquouno allrsquoaltro con un
movimento rigido i lati e il vertice
Confrontare due angoli significa stabilire se due punti
Sono congruenti
Uno egrave maggiore dellrsquoaltro
Come si stabilisce se due angoli alfa (α) e beta (β) sono congruenti oppure
uno egrave maggiore dellrsquoaltro
β
a1
o1
b
α
b1
o a
Bisogna operare un movimento rigido che porti un vertice a sovrapporsi
allrsquoaltro e un lato a sovrapporsi allrsquoaltro lato
Se anche gli altri due lati si sovrappongono allora αequivβ (sono congruenti)
Se il secondo lato di α egrave interno a β allora α egrave minore di β se invece il
secondo lato di α egrave esterno a β allora α egrave maggiore di β
Bisettrice di un angolo Egrave la semiretta uscente da O che divide lrsquoangolo in due angoli tra loro
congruenti
α
bisettrice
β
Angoli particolari Angolo retto egrave ciascuna delle due parti in cui lrsquoangolo piatto viene
diviso dalla sua bisettrice ( cioegrave la metagrave di un angolo piatto)
Angolo acuto se egrave minore di un angolo retto
Angolo ottuso se egrave maggiore di un angolo retto
Angoli complementari se la loro somma egrave un angolo retto
Angoli supplementari se la loro somma egrave un angolo piatto
Angoli esplementari se la loro somma egrave un angolo giro
Angoli opposti al vertice se i lati di uno sono i prolungamenti ei lati
dellrsquoaltro
Teorema due angoli opposti al vertice sono sempre congruenti tra loro
a c
b d
aequivb cequivd
Operazioni tra angoli Addizione egrave la somma di due angoli consecutivi aequivb bequivc
c b
a
egrave lrsquoangolo avente vertice in O e per lati i 2 lati non in comune
ab+bc=abc
La somma di due angoli non consecutivi si puograve fare solo se e possibile
rendere i due angoli consecutivi con un movimento rigido
a a1
b b1
O a O1 a1
Se a1 egrave minore di a allora possiamo determinare a1-a Per fare la sottrazione
dobbiamo operare un movimento rigido che sovrapponga lrsquoangolo minore
allrsquoangolo maggiore facendo coincidere i due vertici e un lato in modo che il
lato dellrsquoangolo minore cada allrsquointerno dellrsquoangolo maggiore
bequivb1 a1
OequivO1
a 119874119886 - O=
Linea
lsquorsquoCONCETTO PRIMITIVO che visualizziamo nella nostra mente
immaginando di far scorrere una penna sul foglio senza mai staccare la
penna dal fogliorsquorsquo
LINEA APERTA se i suoi estremi non coincidono
A
B
AneB
LINEA CHIUSA se i suoi estremi coincidono
AequivB
LINEA INTRECCIATA se interseca se stessa in almeno un suo punto
interno
LINEA NON INTRECCIATA se non interseca se stessa in nessun un suo
punto interno
FIGURA PIANA parte di piano delimitata da una linea chiusa non
intrecciata
FIGURA CONVESSA se fissati due qualsiasi punti distinti nella figura il
segmento che li congiunge appartiene tutto alla figura
FIGURA CONCAVA se esistono almeno due punti della figura tali che il
segmento che li congiunge non appartiene tutto alla figura
Poligoni
Poligonale
Egrave una linea formata da segmenti a 2 a 2 consecutivi Una
poligonale (come qualsiasi linea) puograve essere aperta chiusa
intrecciata non intrecciata
Non intrecciata
Intrecciata
Elementi caratteristici di un poligono
Vertici
Angoli (interni ed esterni)
Lati (numero dei lati)
Diagonali (nge4)
Poligono convesso
Se dato ogni lato la retta a qui appartiene il lato non contiene punti interni al
poligono il poligono si dice convesso
Poligono concavo
Un poligono si dice concavo se esiste una retta contenente un lato che
contiene punti interni del poligono
TRIANGOLI n=3
I triangoli si classifica in base ai lati e in base ai agli angoli
Classificazione rispetto ai lati
Equilatero (se ha 3 lati uguali9
Isoscele (se ha 2 lati congruenti)
Scaleno (se ha3 lati disuguali)
Classificazione rispetto agli angoli
Acutangolo (se ha 3 angoli acuti9
Ottusangolo (se ha un angolo ottuso)
Rettangolo (se ha un angolo retto)
Proprietagrave dei triangoli
La somma dei angoli interni di un triangolo egrave congruente a un angolo
piatto(cioegrave misura 180deg)
In un triangolo un lato egrave minore della somma dei altri due e maggiore
delle loro differenze
C
A B
Es AC ltAB +BC
AC gtAB -BC
In un triangolo se due angoli sono disuguali allrsquoangolo maggiori si
oppone il lato maggiore
C
A B
TEOREMA DI PITAGORA
In un triangolo rettangolo la somma dei quadrati costruiti sui cateti egrave
equivalente al quadrato costruito sul ipotenusa ( cioegrave ha la stessa area)
In simboli
C2+c2=i2
Dea questa formula si ricavano le altre formule che consentono di
determinare la misura di un lato conoscendo gli altri due Ossia in un
triangolo rettangolo il teorema di Pitagora mi consente di ricavare la misura
di un lato a partire dai altri due
i =radic1198622 + 1198882 conosco i cateti e ricavo lrsquoipotenusa
c =radic1198942 minus 1198622conosco lrsquoipotenusa e il cateto maggiore e ricavo il cateto minore
C =radic1198942 minus 1198882conosco lrsquoipotenusa e il cateto minore e ricavo il cateto maggiore
TRIANGOLI CONGRUENTI
Due triangoli si dicono congruenti se sovrapponendosi mediante un
movimento rigido coincidono perfettamente
Criteri di congruenza
1 Se due triangoli hanno due lati e lrsquoangolo compreso ordinatamente
congruente
2 Se due triangoli hanno ordinatamente congruenti un lato e due angoli
sono congruenti
3 Se due triangoli hanno i lati ordinatamente congruenti allora sono
congruenti
SEGMENTI CARATTERISTICI DI UN TRIANGOLO
Asse di un lato
Egrave la retta passante per il punto medio del lato egrave perpendicolare al lato
Ogni triangolo ha 3 assi avendo 3 lati
C
A B
Mediana relativa a un lato
Egrave il segmento che ha come estremi il punto medio del lato e il vertice
opposto
Ogni triangolo ha 3 medianoavendo 3 lati
C
A B
Bisettrice di un angolo
Egrave la semiretta uscente dal vertice dellrsquoangolo che lrsquoangolo in due parti
congruenti
Ogni triangolo ha 3 bisettrici avendo 3 vertici
C
A B
Altezza relativa a un lato
Segmento perpendicolare al lato condotto dal vertice opposto
Ogni triangolo ha 3 altezze unrsquoaltezza puograve anche essere esterna al
triangolo
C
A B
Lrsquoaltezza puograve anche essere esterna al triangolo
C
A B
PUNTI NOTEVOLI DI UN TRIANGOLO
Circocentro(C)
Egrave lrsquointersezione dei tre assi Esso egrave equidistante dai vertici del triangolo
Circocentro
Puograve essere anche esterno al triangolo
Circocentro
Ortocentro(O)
Egrave il punto di intersezione delle altezza
Ortocentro
Anche esso puograve essere esterno
Ortocentro
Incentro(I)
Egrave il punto di intersezione della bisettrice Esso egrave sempre intern o al
triangolo ed egrave equidistante dai lati
Incentro
Baricentro(G)
Egrave il punto di intersezione delle tre mediane Esso egrave sempre interno al
triangolo e divide ogni mediana in due parti di cui quella avente un
estremo nel vertice egrave doppia dellrsquoaltra
Baricentro (mediana doppia)
SIMILITUDINE
Due triangoli sono simili se hanno gli angoli ordinatamente congruenti e i lati
corrispondenti in proporzione
La similitudine si indica con il simbolo asymp
C
C
A B A B
AB ArsquoBrsquo = BC BrsquoC rsquo= CA CrsquoArsquo
T1asympT2 se AequivA1 B equiv B1 C equivC1 e se AB AprimeBprime =AC AprimeCprime = BC BprimeCprime
La proporzione possiamo anche scriverla cosi
119860119861
119860prime119861prime =
119860119862
119860prime119862prime=
119861119862
119861prime119862prime= K (rapporto di similitudine)
Significato di k
Se kgt1 significa che T2 egrave rimpicciolito rispetto a T1 oppure T1 egrave ringrandito
rispetto a T2
Se klt1 allora T2 egrave ingrandito rispetto a T1
Se k = 1 T1 e T2 sono congruenti
CRITERI DI SIMILITUDINE
Per verificare se due triangoli sono simili dobbiamo verificare la definizione
cioegrave i 2 triangoli devono avere gli angoli ordinatamente congruenti e le 3
copie di lati omologhe in proporzione
Esistono perograve tre criteri che ci consentono di semplificare questa verifica
Primo criterio Se due triangoli hanno 2 angoli ordinatamente allora
sono simili
Secondo criterio Se due triangoli hanno 2 lati ordinatamente in
proporzione e lrsquoangolo compresso congruente allora sono simili
Terzo criterioSe due triangoli hanno i lati ordinatamente in proporzione
allora asse sono simili
PROPRIETAgrave DEI TRIANGOLI SIMILI
Teorema 1
Se 2 triangoli sono simili 2 lati omologhi stano tra loro come le rispettive
altezze
C
Crsquo
A B Arsquo Brsquo
AB AprimeBprime =CH CprimeHprime
Teorema 2
Se 2 triangoli sono simili 2 lati omologhi stano tra loro come i rispettivi
perimetri
C
Crsquo
A B Arsquo Brsquo
AB AprimeBprime = PPrsquo
Teorema 3
Se 2 triangoli sono simili i quadrati di 2 lati omologhi stano tra loro come le
rispettive aree
C
Crsquo
A B Arsquo Brsquo
AB AprimeBprime = AArsquo
TEOREMI DI EUCLIDE
Data una proporzione in cui i due termini medi sono uguali ac=cd c si
chiama ldquomedio proporzionalerdquo tra a e d
Primo teorema di Euclide
In un triangolo rettangolo un cateto egrave medio proporzionale fra lrsquoipotenusa e
la proiezione del cateto sullrsquoipotenusa
C
A H B
AH = Proiezione di AC sullrsquoipotenusa AB
HB = Proiezione di BC su AB
AB AC = AC AH
Secondo teorema di Euclide
In un triangolo rettangolo lrsquoaltezza relativa allrsquoipotenusa egrave ldquomedio
proporzionalerdquo tra le proiezioni dei cateti sullrsquoipotenusa stesa
C
A H B
AHCH = CH HB
ESEMPIO
In un triangolo rettangolo ABC (angolo retto in C) le proiezioni dei cateti
sullrsquoipotenusa misurano 2cm e 8 cm Calcolare perimetro e area
C
A H B
Dati
AH =2 cm
HB =8 cm
2 X = X 8
X2 = 2 8
X2 = 16
X = 4
A = 10cm middot 4 cm
2 = 20 cm2
10cm AC = AC 2cm
AC2 = 20 cm2
AC = 44 cm
10cm BC = BC 8cm
BC2 = 80 cm2
BC = 89 cm
P =89 cm + 44 cm + 10 cm = 233cm
Da questa varietagrave Euclide deduce 500 teoremi di Geometria piana I libri
centrali sono dedicati alla teoria dei numeri Qui si trova quello che viene
considerato ldquoIl primo esempiordquo esempio BRILLANTE di ragionamento
matematico ossia la dimostrazione che i numeri primi sono infiniti Lrsquo ultima
parte dellrsquoopera egrave dedicata allo studio della geometria ldquoSolidardquo Lrsquoopera di
Euclide ha gettato le basi per lo studio egrave lrsquoinsegnamento della Geometria per
tutti i secoli successivi fino ai giorni nostri Non a caso oggi parliamo di
Geometria EUCLIDEA La geometria parte da ldquoENTI PRIMITIVIrdquo e da
ldquoCONCETTI PRIMITIVIrdquo cioegrave che non si possono definire precisamente ma
il significato egrave ldquoINTITUIVAMENTErdquo accettabile
Gli enti primitivi sono
IL PUNTO
LA LINEA
LA RETTA
LA SUPERFICIE
IL PIANO
LO SPAZIO
I concetti primitivi invece sono
IL MOVIMENTO RIGIDO (cioegrave quello per cui una figura puograve muoversi nel
piano o nello spazio senza DEFORMARSI )
Oltre agli enti e ai concetti PRIMITIVI nello studio della Geometria
incontreremo altri termini
GLI ASSIOMI
LE DEFINIZIONI
I TEOREMI
LE DIMOST
RAZIONI
I COROLLARI
La definizione egrave una proposizione che serve a introdurre un concetto nuovo
ricorrendo ad altri concetti giagrave noti
La sioma (o posulato) egrave un affermazione che esprime una proprietagrave evidente ed
intuitivamente accettabile
La geometria poggia dunque sugli assiomi intesi come veritagrave indimostrabili
mentre tutte le altre affermazioni devono essere dimostrate
Una dimostrazione egrave un ragionamento che parte da certi affermazioni
(ipotesi) e attraverso una sequenza di passaggi logici giunge ad una
proposizione finale(tesi)
Mediante le dimostrazioni si dimostrano i teoremi ossia affermazioni che
enunciano delle proprietagrave
Le proposizioni che derivano come conseguenze immediate di un teorema
sono dette corolari
La geometria non egrave perograve solamente una scienza astratta Tutte le proporzioni
che vengono studiate trovano applicazioni sulla realtagrave
Sono moltissimi infatti gli ambiti in cui si sfruttano proprietagrave geometriche
degli esseri unicellulari in mineralogia per lo studio dei cristalli in
architettura e in ingegneria per la progettazione di ambienti in topografia per
lo studio dei frazionamenti dei teoremi Anche nella vita pratica abbiamo
spesso a che fare con forme geometriche Ad esempio un piastrellista applica
conoscenze di geometria per calcolare quante piastrelle gli occorrono per
rivestire il pavimento di un locale
Postulati fondamentali
Assiomi di appartenenza
Assioma 1
Per due punti distinti passa una e una sola retta
Assioma 2
Una retta egrave sottoinsieme del pianoessa contiene infiniti punti
Assioma 3
Se 2 punti appartengono ad un piano la retta passante per essi appartiene al
piano
Assioma 4
Tre punti distinti e non allineati appartengono a un piano
Assiomi del ordine
Assioma 1( del orientamento)
Fissati 2 punti distinti A e B su una stessa retta si ha che B ldquoseguerdquo A oppure
A ldquoseguerdquo B cioegrave la retta puograve essere orientata in due modi verso destra o
sinistra
Assioma 2(della transitivitagrave)
Fissati 3 punti distinti ABC su una retta se C ldquoseguerdquo B e B ldquoseguerdquo A allora
C ldquoseguerdquo A
Assioma3(del illimitatezza)
Se A egrave un punti di una retta esiste almeno un punto ch precede A
Assioma4(della densitagrave)
Fissati 2 punti distinti A e B sa una retta tali che C ldquoseguerdquo A esistente
almeno un punto B distinto da A e C che ldquoseguerdquo A e ldquoprecederdquo C
(compreso tra A e C )
Dagli assiomi dellrsquoordine risulta quindi che la retta egrave illuminata orientabile e
densa
Definizioni
Semiretta
Ersquo ciascuna delle 2 parti in cui una retta viene divisa da un punto O detto
origine della semiretta
Segmento Dati due punti A e B su una retta chiamiamo segmento di estremi A e B
lrsquoinsieme dei punti della retta che sono compresi tra A e B
A B
Segmenti consecutivi se hanno un solo estremo in comune
A C
B
Segmenti adiacenti se sono consecutivi e appartengono alla stessa retta
A B C
Angolo Un angolo egrave una delle due parti del piano delimitata da due semirette
aventi la stessa origine Le semirette sono i ldquolatirdquo dellrsquoangolo e lrsquoorigine egrave
il vertice dellrsquoangolo
O
vertice lato
Angolo convesso se non contiene il prolungamento dei suoi lati
O
Angolo concavo se contiene il prolungamento dei suoi lati
O
Angoli consecutivi se hanno stesso vertice un lato in comune e gli altri
due lati sono da parti opposte rispetto al lato in comune
O
Angoli adiacenti se sono consecutivi e i lati non comuni appartengono
alla stessa retta
O
Un angolo puograve essere
Angolo nullo se le due semirette coincidono
Angolo giro se egrave formato da tutti i punti del piano se i lati sono
semirette opposte
Confronto tra gli angoli
Due angoli sono congruenti se sovrapponendosi lrsquouno allrsquoaltro con un
movimento rigido i lati e il vertice
Confrontare due angoli significa stabilire se due punti
Sono congruenti
Uno egrave maggiore dellrsquoaltro
Come si stabilisce se due angoli alfa (α) e beta (β) sono congruenti oppure
uno egrave maggiore dellrsquoaltro
β
a1
o1
b
α
b1
o a
Bisogna operare un movimento rigido che porti un vertice a sovrapporsi
allrsquoaltro e un lato a sovrapporsi allrsquoaltro lato
Se anche gli altri due lati si sovrappongono allora αequivβ (sono congruenti)
Se il secondo lato di α egrave interno a β allora α egrave minore di β se invece il
secondo lato di α egrave esterno a β allora α egrave maggiore di β
Bisettrice di un angolo Egrave la semiretta uscente da O che divide lrsquoangolo in due angoli tra loro
congruenti
α
bisettrice
β
Angoli particolari Angolo retto egrave ciascuna delle due parti in cui lrsquoangolo piatto viene
diviso dalla sua bisettrice ( cioegrave la metagrave di un angolo piatto)
Angolo acuto se egrave minore di un angolo retto
Angolo ottuso se egrave maggiore di un angolo retto
Angoli complementari se la loro somma egrave un angolo retto
Angoli supplementari se la loro somma egrave un angolo piatto
Angoli esplementari se la loro somma egrave un angolo giro
Angoli opposti al vertice se i lati di uno sono i prolungamenti ei lati
dellrsquoaltro
Teorema due angoli opposti al vertice sono sempre congruenti tra loro
a c
b d
aequivb cequivd
Operazioni tra angoli Addizione egrave la somma di due angoli consecutivi aequivb bequivc
c b
a
egrave lrsquoangolo avente vertice in O e per lati i 2 lati non in comune
ab+bc=abc
La somma di due angoli non consecutivi si puograve fare solo se e possibile
rendere i due angoli consecutivi con un movimento rigido
a a1
b b1
O a O1 a1
Se a1 egrave minore di a allora possiamo determinare a1-a Per fare la sottrazione
dobbiamo operare un movimento rigido che sovrapponga lrsquoangolo minore
allrsquoangolo maggiore facendo coincidere i due vertici e un lato in modo che il
lato dellrsquoangolo minore cada allrsquointerno dellrsquoangolo maggiore
bequivb1 a1
OequivO1
a 119874119886 - O=
Linea
lsquorsquoCONCETTO PRIMITIVO che visualizziamo nella nostra mente
immaginando di far scorrere una penna sul foglio senza mai staccare la
penna dal fogliorsquorsquo
LINEA APERTA se i suoi estremi non coincidono
A
B
AneB
LINEA CHIUSA se i suoi estremi coincidono
AequivB
LINEA INTRECCIATA se interseca se stessa in almeno un suo punto
interno
LINEA NON INTRECCIATA se non interseca se stessa in nessun un suo
punto interno
FIGURA PIANA parte di piano delimitata da una linea chiusa non
intrecciata
FIGURA CONVESSA se fissati due qualsiasi punti distinti nella figura il
segmento che li congiunge appartiene tutto alla figura
FIGURA CONCAVA se esistono almeno due punti della figura tali che il
segmento che li congiunge non appartiene tutto alla figura
Poligoni
Poligonale
Egrave una linea formata da segmenti a 2 a 2 consecutivi Una
poligonale (come qualsiasi linea) puograve essere aperta chiusa
intrecciata non intrecciata
Non intrecciata
Intrecciata
Elementi caratteristici di un poligono
Vertici
Angoli (interni ed esterni)
Lati (numero dei lati)
Diagonali (nge4)
Poligono convesso
Se dato ogni lato la retta a qui appartiene il lato non contiene punti interni al
poligono il poligono si dice convesso
Poligono concavo
Un poligono si dice concavo se esiste una retta contenente un lato che
contiene punti interni del poligono
TRIANGOLI n=3
I triangoli si classifica in base ai lati e in base ai agli angoli
Classificazione rispetto ai lati
Equilatero (se ha 3 lati uguali9
Isoscele (se ha 2 lati congruenti)
Scaleno (se ha3 lati disuguali)
Classificazione rispetto agli angoli
Acutangolo (se ha 3 angoli acuti9
Ottusangolo (se ha un angolo ottuso)
Rettangolo (se ha un angolo retto)
Proprietagrave dei triangoli
La somma dei angoli interni di un triangolo egrave congruente a un angolo
piatto(cioegrave misura 180deg)
In un triangolo un lato egrave minore della somma dei altri due e maggiore
delle loro differenze
C
A B
Es AC ltAB +BC
AC gtAB -BC
In un triangolo se due angoli sono disuguali allrsquoangolo maggiori si
oppone il lato maggiore
C
A B
TEOREMA DI PITAGORA
In un triangolo rettangolo la somma dei quadrati costruiti sui cateti egrave
equivalente al quadrato costruito sul ipotenusa ( cioegrave ha la stessa area)
In simboli
C2+c2=i2
Dea questa formula si ricavano le altre formule che consentono di
determinare la misura di un lato conoscendo gli altri due Ossia in un
triangolo rettangolo il teorema di Pitagora mi consente di ricavare la misura
di un lato a partire dai altri due
i =radic1198622 + 1198882 conosco i cateti e ricavo lrsquoipotenusa
c =radic1198942 minus 1198622conosco lrsquoipotenusa e il cateto maggiore e ricavo il cateto minore
C =radic1198942 minus 1198882conosco lrsquoipotenusa e il cateto minore e ricavo il cateto maggiore
TRIANGOLI CONGRUENTI
Due triangoli si dicono congruenti se sovrapponendosi mediante un
movimento rigido coincidono perfettamente
Criteri di congruenza
1 Se due triangoli hanno due lati e lrsquoangolo compreso ordinatamente
congruente
2 Se due triangoli hanno ordinatamente congruenti un lato e due angoli
sono congruenti
3 Se due triangoli hanno i lati ordinatamente congruenti allora sono
congruenti
SEGMENTI CARATTERISTICI DI UN TRIANGOLO
Asse di un lato
Egrave la retta passante per il punto medio del lato egrave perpendicolare al lato
Ogni triangolo ha 3 assi avendo 3 lati
C
A B
Mediana relativa a un lato
Egrave il segmento che ha come estremi il punto medio del lato e il vertice
opposto
Ogni triangolo ha 3 medianoavendo 3 lati
C
A B
Bisettrice di un angolo
Egrave la semiretta uscente dal vertice dellrsquoangolo che lrsquoangolo in due parti
congruenti
Ogni triangolo ha 3 bisettrici avendo 3 vertici
C
A B
Altezza relativa a un lato
Segmento perpendicolare al lato condotto dal vertice opposto
Ogni triangolo ha 3 altezze unrsquoaltezza puograve anche essere esterna al
triangolo
C
A B
Lrsquoaltezza puograve anche essere esterna al triangolo
C
A B
PUNTI NOTEVOLI DI UN TRIANGOLO
Circocentro(C)
Egrave lrsquointersezione dei tre assi Esso egrave equidistante dai vertici del triangolo
Circocentro
Puograve essere anche esterno al triangolo
Circocentro
Ortocentro(O)
Egrave il punto di intersezione delle altezza
Ortocentro
Anche esso puograve essere esterno
Ortocentro
Incentro(I)
Egrave il punto di intersezione della bisettrice Esso egrave sempre intern o al
triangolo ed egrave equidistante dai lati
Incentro
Baricentro(G)
Egrave il punto di intersezione delle tre mediane Esso egrave sempre interno al
triangolo e divide ogni mediana in due parti di cui quella avente un
estremo nel vertice egrave doppia dellrsquoaltra
Baricentro (mediana doppia)
SIMILITUDINE
Due triangoli sono simili se hanno gli angoli ordinatamente congruenti e i lati
corrispondenti in proporzione
La similitudine si indica con il simbolo asymp
C
C
A B A B
AB ArsquoBrsquo = BC BrsquoC rsquo= CA CrsquoArsquo
T1asympT2 se AequivA1 B equiv B1 C equivC1 e se AB AprimeBprime =AC AprimeCprime = BC BprimeCprime
La proporzione possiamo anche scriverla cosi
119860119861
119860prime119861prime =
119860119862
119860prime119862prime=
119861119862
119861prime119862prime= K (rapporto di similitudine)
Significato di k
Se kgt1 significa che T2 egrave rimpicciolito rispetto a T1 oppure T1 egrave ringrandito
rispetto a T2
Se klt1 allora T2 egrave ingrandito rispetto a T1
Se k = 1 T1 e T2 sono congruenti
CRITERI DI SIMILITUDINE
Per verificare se due triangoli sono simili dobbiamo verificare la definizione
cioegrave i 2 triangoli devono avere gli angoli ordinatamente congruenti e le 3
copie di lati omologhe in proporzione
Esistono perograve tre criteri che ci consentono di semplificare questa verifica
Primo criterio Se due triangoli hanno 2 angoli ordinatamente allora
sono simili
Secondo criterio Se due triangoli hanno 2 lati ordinatamente in
proporzione e lrsquoangolo compresso congruente allora sono simili
Terzo criterioSe due triangoli hanno i lati ordinatamente in proporzione
allora asse sono simili
PROPRIETAgrave DEI TRIANGOLI SIMILI
Teorema 1
Se 2 triangoli sono simili 2 lati omologhi stano tra loro come le rispettive
altezze
C
Crsquo
A B Arsquo Brsquo
AB AprimeBprime =CH CprimeHprime
Teorema 2
Se 2 triangoli sono simili 2 lati omologhi stano tra loro come i rispettivi
perimetri
C
Crsquo
A B Arsquo Brsquo
AB AprimeBprime = PPrsquo
Teorema 3
Se 2 triangoli sono simili i quadrati di 2 lati omologhi stano tra loro come le
rispettive aree
C
Crsquo
A B Arsquo Brsquo
AB AprimeBprime = AArsquo
TEOREMI DI EUCLIDE
Data una proporzione in cui i due termini medi sono uguali ac=cd c si
chiama ldquomedio proporzionalerdquo tra a e d
Primo teorema di Euclide
In un triangolo rettangolo un cateto egrave medio proporzionale fra lrsquoipotenusa e
la proiezione del cateto sullrsquoipotenusa
C
A H B
AH = Proiezione di AC sullrsquoipotenusa AB
HB = Proiezione di BC su AB
AB AC = AC AH
Secondo teorema di Euclide
In un triangolo rettangolo lrsquoaltezza relativa allrsquoipotenusa egrave ldquomedio
proporzionalerdquo tra le proiezioni dei cateti sullrsquoipotenusa stesa
C
A H B
AHCH = CH HB
ESEMPIO
In un triangolo rettangolo ABC (angolo retto in C) le proiezioni dei cateti
sullrsquoipotenusa misurano 2cm e 8 cm Calcolare perimetro e area
C
A H B
Dati
AH =2 cm
HB =8 cm
2 X = X 8
X2 = 2 8
X2 = 16
X = 4
A = 10cm middot 4 cm
2 = 20 cm2
10cm AC = AC 2cm
AC2 = 20 cm2
AC = 44 cm
10cm BC = BC 8cm
BC2 = 80 cm2
BC = 89 cm
P =89 cm + 44 cm + 10 cm = 233cm
La geometria poggia dunque sugli assiomi intesi come veritagrave indimostrabili
mentre tutte le altre affermazioni devono essere dimostrate
Una dimostrazione egrave un ragionamento che parte da certi affermazioni
(ipotesi) e attraverso una sequenza di passaggi logici giunge ad una
proposizione finale(tesi)
Mediante le dimostrazioni si dimostrano i teoremi ossia affermazioni che
enunciano delle proprietagrave
Le proposizioni che derivano come conseguenze immediate di un teorema
sono dette corolari
La geometria non egrave perograve solamente una scienza astratta Tutte le proporzioni
che vengono studiate trovano applicazioni sulla realtagrave
Sono moltissimi infatti gli ambiti in cui si sfruttano proprietagrave geometriche
degli esseri unicellulari in mineralogia per lo studio dei cristalli in
architettura e in ingegneria per la progettazione di ambienti in topografia per
lo studio dei frazionamenti dei teoremi Anche nella vita pratica abbiamo
spesso a che fare con forme geometriche Ad esempio un piastrellista applica
conoscenze di geometria per calcolare quante piastrelle gli occorrono per
rivestire il pavimento di un locale
Postulati fondamentali
Assiomi di appartenenza
Assioma 1
Per due punti distinti passa una e una sola retta
Assioma 2
Una retta egrave sottoinsieme del pianoessa contiene infiniti punti
Assioma 3
Se 2 punti appartengono ad un piano la retta passante per essi appartiene al
piano
Assioma 4
Tre punti distinti e non allineati appartengono a un piano
Assiomi del ordine
Assioma 1( del orientamento)
Fissati 2 punti distinti A e B su una stessa retta si ha che B ldquoseguerdquo A oppure
A ldquoseguerdquo B cioegrave la retta puograve essere orientata in due modi verso destra o
sinistra
Assioma 2(della transitivitagrave)
Fissati 3 punti distinti ABC su una retta se C ldquoseguerdquo B e B ldquoseguerdquo A allora
C ldquoseguerdquo A
Assioma3(del illimitatezza)
Se A egrave un punti di una retta esiste almeno un punto ch precede A
Assioma4(della densitagrave)
Fissati 2 punti distinti A e B sa una retta tali che C ldquoseguerdquo A esistente
almeno un punto B distinto da A e C che ldquoseguerdquo A e ldquoprecederdquo C
(compreso tra A e C )
Dagli assiomi dellrsquoordine risulta quindi che la retta egrave illuminata orientabile e
densa
Definizioni
Semiretta
Ersquo ciascuna delle 2 parti in cui una retta viene divisa da un punto O detto
origine della semiretta
Segmento Dati due punti A e B su una retta chiamiamo segmento di estremi A e B
lrsquoinsieme dei punti della retta che sono compresi tra A e B
A B
Segmenti consecutivi se hanno un solo estremo in comune
A C
B
Segmenti adiacenti se sono consecutivi e appartengono alla stessa retta
A B C
Angolo Un angolo egrave una delle due parti del piano delimitata da due semirette
aventi la stessa origine Le semirette sono i ldquolatirdquo dellrsquoangolo e lrsquoorigine egrave
il vertice dellrsquoangolo
O
vertice lato
Angolo convesso se non contiene il prolungamento dei suoi lati
O
Angolo concavo se contiene il prolungamento dei suoi lati
O
Angoli consecutivi se hanno stesso vertice un lato in comune e gli altri
due lati sono da parti opposte rispetto al lato in comune
O
Angoli adiacenti se sono consecutivi e i lati non comuni appartengono
alla stessa retta
O
Un angolo puograve essere
Angolo nullo se le due semirette coincidono
Angolo giro se egrave formato da tutti i punti del piano se i lati sono
semirette opposte
Confronto tra gli angoli
Due angoli sono congruenti se sovrapponendosi lrsquouno allrsquoaltro con un
movimento rigido i lati e il vertice
Confrontare due angoli significa stabilire se due punti
Sono congruenti
Uno egrave maggiore dellrsquoaltro
Come si stabilisce se due angoli alfa (α) e beta (β) sono congruenti oppure
uno egrave maggiore dellrsquoaltro
β
a1
o1
b
α
b1
o a
Bisogna operare un movimento rigido che porti un vertice a sovrapporsi
allrsquoaltro e un lato a sovrapporsi allrsquoaltro lato
Se anche gli altri due lati si sovrappongono allora αequivβ (sono congruenti)
Se il secondo lato di α egrave interno a β allora α egrave minore di β se invece il
secondo lato di α egrave esterno a β allora α egrave maggiore di β
Bisettrice di un angolo Egrave la semiretta uscente da O che divide lrsquoangolo in due angoli tra loro
congruenti
α
bisettrice
β
Angoli particolari Angolo retto egrave ciascuna delle due parti in cui lrsquoangolo piatto viene
diviso dalla sua bisettrice ( cioegrave la metagrave di un angolo piatto)
Angolo acuto se egrave minore di un angolo retto
Angolo ottuso se egrave maggiore di un angolo retto
Angoli complementari se la loro somma egrave un angolo retto
Angoli supplementari se la loro somma egrave un angolo piatto
Angoli esplementari se la loro somma egrave un angolo giro
Angoli opposti al vertice se i lati di uno sono i prolungamenti ei lati
dellrsquoaltro
Teorema due angoli opposti al vertice sono sempre congruenti tra loro
a c
b d
aequivb cequivd
Operazioni tra angoli Addizione egrave la somma di due angoli consecutivi aequivb bequivc
c b
a
egrave lrsquoangolo avente vertice in O e per lati i 2 lati non in comune
ab+bc=abc
La somma di due angoli non consecutivi si puograve fare solo se e possibile
rendere i due angoli consecutivi con un movimento rigido
a a1
b b1
O a O1 a1
Se a1 egrave minore di a allora possiamo determinare a1-a Per fare la sottrazione
dobbiamo operare un movimento rigido che sovrapponga lrsquoangolo minore
allrsquoangolo maggiore facendo coincidere i due vertici e un lato in modo che il
lato dellrsquoangolo minore cada allrsquointerno dellrsquoangolo maggiore
bequivb1 a1
OequivO1
a 119874119886 - O=
Linea
lsquorsquoCONCETTO PRIMITIVO che visualizziamo nella nostra mente
immaginando di far scorrere una penna sul foglio senza mai staccare la
penna dal fogliorsquorsquo
LINEA APERTA se i suoi estremi non coincidono
A
B
AneB
LINEA CHIUSA se i suoi estremi coincidono
AequivB
LINEA INTRECCIATA se interseca se stessa in almeno un suo punto
interno
LINEA NON INTRECCIATA se non interseca se stessa in nessun un suo
punto interno
FIGURA PIANA parte di piano delimitata da una linea chiusa non
intrecciata
FIGURA CONVESSA se fissati due qualsiasi punti distinti nella figura il
segmento che li congiunge appartiene tutto alla figura
FIGURA CONCAVA se esistono almeno due punti della figura tali che il
segmento che li congiunge non appartiene tutto alla figura
Poligoni
Poligonale
Egrave una linea formata da segmenti a 2 a 2 consecutivi Una
poligonale (come qualsiasi linea) puograve essere aperta chiusa
intrecciata non intrecciata
Non intrecciata
Intrecciata
Elementi caratteristici di un poligono
Vertici
Angoli (interni ed esterni)
Lati (numero dei lati)
Diagonali (nge4)
Poligono convesso
Se dato ogni lato la retta a qui appartiene il lato non contiene punti interni al
poligono il poligono si dice convesso
Poligono concavo
Un poligono si dice concavo se esiste una retta contenente un lato che
contiene punti interni del poligono
TRIANGOLI n=3
I triangoli si classifica in base ai lati e in base ai agli angoli
Classificazione rispetto ai lati
Equilatero (se ha 3 lati uguali9
Isoscele (se ha 2 lati congruenti)
Scaleno (se ha3 lati disuguali)
Classificazione rispetto agli angoli
Acutangolo (se ha 3 angoli acuti9
Ottusangolo (se ha un angolo ottuso)
Rettangolo (se ha un angolo retto)
Proprietagrave dei triangoli
La somma dei angoli interni di un triangolo egrave congruente a un angolo
piatto(cioegrave misura 180deg)
In un triangolo un lato egrave minore della somma dei altri due e maggiore
delle loro differenze
C
A B
Es AC ltAB +BC
AC gtAB -BC
In un triangolo se due angoli sono disuguali allrsquoangolo maggiori si
oppone il lato maggiore
C
A B
TEOREMA DI PITAGORA
In un triangolo rettangolo la somma dei quadrati costruiti sui cateti egrave
equivalente al quadrato costruito sul ipotenusa ( cioegrave ha la stessa area)
In simboli
C2+c2=i2
Dea questa formula si ricavano le altre formule che consentono di
determinare la misura di un lato conoscendo gli altri due Ossia in un
triangolo rettangolo il teorema di Pitagora mi consente di ricavare la misura
di un lato a partire dai altri due
i =radic1198622 + 1198882 conosco i cateti e ricavo lrsquoipotenusa
c =radic1198942 minus 1198622conosco lrsquoipotenusa e il cateto maggiore e ricavo il cateto minore
C =radic1198942 minus 1198882conosco lrsquoipotenusa e il cateto minore e ricavo il cateto maggiore
TRIANGOLI CONGRUENTI
Due triangoli si dicono congruenti se sovrapponendosi mediante un
movimento rigido coincidono perfettamente
Criteri di congruenza
1 Se due triangoli hanno due lati e lrsquoangolo compreso ordinatamente
congruente
2 Se due triangoli hanno ordinatamente congruenti un lato e due angoli
sono congruenti
3 Se due triangoli hanno i lati ordinatamente congruenti allora sono
congruenti
SEGMENTI CARATTERISTICI DI UN TRIANGOLO
Asse di un lato
Egrave la retta passante per il punto medio del lato egrave perpendicolare al lato
Ogni triangolo ha 3 assi avendo 3 lati
C
A B
Mediana relativa a un lato
Egrave il segmento che ha come estremi il punto medio del lato e il vertice
opposto
Ogni triangolo ha 3 medianoavendo 3 lati
C
A B
Bisettrice di un angolo
Egrave la semiretta uscente dal vertice dellrsquoangolo che lrsquoangolo in due parti
congruenti
Ogni triangolo ha 3 bisettrici avendo 3 vertici
C
A B
Altezza relativa a un lato
Segmento perpendicolare al lato condotto dal vertice opposto
Ogni triangolo ha 3 altezze unrsquoaltezza puograve anche essere esterna al
triangolo
C
A B
Lrsquoaltezza puograve anche essere esterna al triangolo
C
A B
PUNTI NOTEVOLI DI UN TRIANGOLO
Circocentro(C)
Egrave lrsquointersezione dei tre assi Esso egrave equidistante dai vertici del triangolo
Circocentro
Puograve essere anche esterno al triangolo
Circocentro
Ortocentro(O)
Egrave il punto di intersezione delle altezza
Ortocentro
Anche esso puograve essere esterno
Ortocentro
Incentro(I)
Egrave il punto di intersezione della bisettrice Esso egrave sempre intern o al
triangolo ed egrave equidistante dai lati
Incentro
Baricentro(G)
Egrave il punto di intersezione delle tre mediane Esso egrave sempre interno al
triangolo e divide ogni mediana in due parti di cui quella avente un
estremo nel vertice egrave doppia dellrsquoaltra
Baricentro (mediana doppia)
SIMILITUDINE
Due triangoli sono simili se hanno gli angoli ordinatamente congruenti e i lati
corrispondenti in proporzione
La similitudine si indica con il simbolo asymp
C
C
A B A B
AB ArsquoBrsquo = BC BrsquoC rsquo= CA CrsquoArsquo
T1asympT2 se AequivA1 B equiv B1 C equivC1 e se AB AprimeBprime =AC AprimeCprime = BC BprimeCprime
La proporzione possiamo anche scriverla cosi
119860119861
119860prime119861prime =
119860119862
119860prime119862prime=
119861119862
119861prime119862prime= K (rapporto di similitudine)
Significato di k
Se kgt1 significa che T2 egrave rimpicciolito rispetto a T1 oppure T1 egrave ringrandito
rispetto a T2
Se klt1 allora T2 egrave ingrandito rispetto a T1
Se k = 1 T1 e T2 sono congruenti
CRITERI DI SIMILITUDINE
Per verificare se due triangoli sono simili dobbiamo verificare la definizione
cioegrave i 2 triangoli devono avere gli angoli ordinatamente congruenti e le 3
copie di lati omologhe in proporzione
Esistono perograve tre criteri che ci consentono di semplificare questa verifica
Primo criterio Se due triangoli hanno 2 angoli ordinatamente allora
sono simili
Secondo criterio Se due triangoli hanno 2 lati ordinatamente in
proporzione e lrsquoangolo compresso congruente allora sono simili
Terzo criterioSe due triangoli hanno i lati ordinatamente in proporzione
allora asse sono simili
PROPRIETAgrave DEI TRIANGOLI SIMILI
Teorema 1
Se 2 triangoli sono simili 2 lati omologhi stano tra loro come le rispettive
altezze
C
Crsquo
A B Arsquo Brsquo
AB AprimeBprime =CH CprimeHprime
Teorema 2
Se 2 triangoli sono simili 2 lati omologhi stano tra loro come i rispettivi
perimetri
C
Crsquo
A B Arsquo Brsquo
AB AprimeBprime = PPrsquo
Teorema 3
Se 2 triangoli sono simili i quadrati di 2 lati omologhi stano tra loro come le
rispettive aree
C
Crsquo
A B Arsquo Brsquo
AB AprimeBprime = AArsquo
TEOREMI DI EUCLIDE
Data una proporzione in cui i due termini medi sono uguali ac=cd c si
chiama ldquomedio proporzionalerdquo tra a e d
Primo teorema di Euclide
In un triangolo rettangolo un cateto egrave medio proporzionale fra lrsquoipotenusa e
la proiezione del cateto sullrsquoipotenusa
C
A H B
AH = Proiezione di AC sullrsquoipotenusa AB
HB = Proiezione di BC su AB
AB AC = AC AH
Secondo teorema di Euclide
In un triangolo rettangolo lrsquoaltezza relativa allrsquoipotenusa egrave ldquomedio
proporzionalerdquo tra le proiezioni dei cateti sullrsquoipotenusa stesa
C
A H B
AHCH = CH HB
ESEMPIO
In un triangolo rettangolo ABC (angolo retto in C) le proiezioni dei cateti
sullrsquoipotenusa misurano 2cm e 8 cm Calcolare perimetro e area
C
A H B
Dati
AH =2 cm
HB =8 cm
2 X = X 8
X2 = 2 8
X2 = 16
X = 4
A = 10cm middot 4 cm
2 = 20 cm2
10cm AC = AC 2cm
AC2 = 20 cm2
AC = 44 cm
10cm BC = BC 8cm
BC2 = 80 cm2
BC = 89 cm
P =89 cm + 44 cm + 10 cm = 233cm
Postulati fondamentali
Assiomi di appartenenza
Assioma 1
Per due punti distinti passa una e una sola retta
Assioma 2
Una retta egrave sottoinsieme del pianoessa contiene infiniti punti
Assioma 3
Se 2 punti appartengono ad un piano la retta passante per essi appartiene al
piano
Assioma 4
Tre punti distinti e non allineati appartengono a un piano
Assiomi del ordine
Assioma 1( del orientamento)
Fissati 2 punti distinti A e B su una stessa retta si ha che B ldquoseguerdquo A oppure
A ldquoseguerdquo B cioegrave la retta puograve essere orientata in due modi verso destra o
sinistra
Assioma 2(della transitivitagrave)
Fissati 3 punti distinti ABC su una retta se C ldquoseguerdquo B e B ldquoseguerdquo A allora
C ldquoseguerdquo A
Assioma3(del illimitatezza)
Se A egrave un punti di una retta esiste almeno un punto ch precede A
Assioma4(della densitagrave)
Fissati 2 punti distinti A e B sa una retta tali che C ldquoseguerdquo A esistente
almeno un punto B distinto da A e C che ldquoseguerdquo A e ldquoprecederdquo C
(compreso tra A e C )
Dagli assiomi dellrsquoordine risulta quindi che la retta egrave illuminata orientabile e
densa
Definizioni
Semiretta
Ersquo ciascuna delle 2 parti in cui una retta viene divisa da un punto O detto
origine della semiretta
Segmento Dati due punti A e B su una retta chiamiamo segmento di estremi A e B
lrsquoinsieme dei punti della retta che sono compresi tra A e B
A B
Segmenti consecutivi se hanno un solo estremo in comune
A C
B
Segmenti adiacenti se sono consecutivi e appartengono alla stessa retta
A B C
Angolo Un angolo egrave una delle due parti del piano delimitata da due semirette
aventi la stessa origine Le semirette sono i ldquolatirdquo dellrsquoangolo e lrsquoorigine egrave
il vertice dellrsquoangolo
O
vertice lato
Angolo convesso se non contiene il prolungamento dei suoi lati
O
Angolo concavo se contiene il prolungamento dei suoi lati
O
Angoli consecutivi se hanno stesso vertice un lato in comune e gli altri
due lati sono da parti opposte rispetto al lato in comune
O
Angoli adiacenti se sono consecutivi e i lati non comuni appartengono
alla stessa retta
O
Un angolo puograve essere
Angolo nullo se le due semirette coincidono
Angolo giro se egrave formato da tutti i punti del piano se i lati sono
semirette opposte
Confronto tra gli angoli
Due angoli sono congruenti se sovrapponendosi lrsquouno allrsquoaltro con un
movimento rigido i lati e il vertice
Confrontare due angoli significa stabilire se due punti
Sono congruenti
Uno egrave maggiore dellrsquoaltro
Come si stabilisce se due angoli alfa (α) e beta (β) sono congruenti oppure
uno egrave maggiore dellrsquoaltro
β
a1
o1
b
α
b1
o a
Bisogna operare un movimento rigido che porti un vertice a sovrapporsi
allrsquoaltro e un lato a sovrapporsi allrsquoaltro lato
Se anche gli altri due lati si sovrappongono allora αequivβ (sono congruenti)
Se il secondo lato di α egrave interno a β allora α egrave minore di β se invece il
secondo lato di α egrave esterno a β allora α egrave maggiore di β
Bisettrice di un angolo Egrave la semiretta uscente da O che divide lrsquoangolo in due angoli tra loro
congruenti
α
bisettrice
β
Angoli particolari Angolo retto egrave ciascuna delle due parti in cui lrsquoangolo piatto viene
diviso dalla sua bisettrice ( cioegrave la metagrave di un angolo piatto)
Angolo acuto se egrave minore di un angolo retto
Angolo ottuso se egrave maggiore di un angolo retto
Angoli complementari se la loro somma egrave un angolo retto
Angoli supplementari se la loro somma egrave un angolo piatto
Angoli esplementari se la loro somma egrave un angolo giro
Angoli opposti al vertice se i lati di uno sono i prolungamenti ei lati
dellrsquoaltro
Teorema due angoli opposti al vertice sono sempre congruenti tra loro
a c
b d
aequivb cequivd
Operazioni tra angoli Addizione egrave la somma di due angoli consecutivi aequivb bequivc
c b
a
egrave lrsquoangolo avente vertice in O e per lati i 2 lati non in comune
ab+bc=abc
La somma di due angoli non consecutivi si puograve fare solo se e possibile
rendere i due angoli consecutivi con un movimento rigido
a a1
b b1
O a O1 a1
Se a1 egrave minore di a allora possiamo determinare a1-a Per fare la sottrazione
dobbiamo operare un movimento rigido che sovrapponga lrsquoangolo minore
allrsquoangolo maggiore facendo coincidere i due vertici e un lato in modo che il
lato dellrsquoangolo minore cada allrsquointerno dellrsquoangolo maggiore
bequivb1 a1
OequivO1
a 119874119886 - O=
Linea
lsquorsquoCONCETTO PRIMITIVO che visualizziamo nella nostra mente
immaginando di far scorrere una penna sul foglio senza mai staccare la
penna dal fogliorsquorsquo
LINEA APERTA se i suoi estremi non coincidono
A
B
AneB
LINEA CHIUSA se i suoi estremi coincidono
AequivB
LINEA INTRECCIATA se interseca se stessa in almeno un suo punto
interno
LINEA NON INTRECCIATA se non interseca se stessa in nessun un suo
punto interno
FIGURA PIANA parte di piano delimitata da una linea chiusa non
intrecciata
FIGURA CONVESSA se fissati due qualsiasi punti distinti nella figura il
segmento che li congiunge appartiene tutto alla figura
FIGURA CONCAVA se esistono almeno due punti della figura tali che il
segmento che li congiunge non appartiene tutto alla figura
Poligoni
Poligonale
Egrave una linea formata da segmenti a 2 a 2 consecutivi Una
poligonale (come qualsiasi linea) puograve essere aperta chiusa
intrecciata non intrecciata
Non intrecciata
Intrecciata
Elementi caratteristici di un poligono
Vertici
Angoli (interni ed esterni)
Lati (numero dei lati)
Diagonali (nge4)
Poligono convesso
Se dato ogni lato la retta a qui appartiene il lato non contiene punti interni al
poligono il poligono si dice convesso
Poligono concavo
Un poligono si dice concavo se esiste una retta contenente un lato che
contiene punti interni del poligono
TRIANGOLI n=3
I triangoli si classifica in base ai lati e in base ai agli angoli
Classificazione rispetto ai lati
Equilatero (se ha 3 lati uguali9
Isoscele (se ha 2 lati congruenti)
Scaleno (se ha3 lati disuguali)
Classificazione rispetto agli angoli
Acutangolo (se ha 3 angoli acuti9
Ottusangolo (se ha un angolo ottuso)
Rettangolo (se ha un angolo retto)
Proprietagrave dei triangoli
La somma dei angoli interni di un triangolo egrave congruente a un angolo
piatto(cioegrave misura 180deg)
In un triangolo un lato egrave minore della somma dei altri due e maggiore
delle loro differenze
C
A B
Es AC ltAB +BC
AC gtAB -BC
In un triangolo se due angoli sono disuguali allrsquoangolo maggiori si
oppone il lato maggiore
C
A B
TEOREMA DI PITAGORA
In un triangolo rettangolo la somma dei quadrati costruiti sui cateti egrave
equivalente al quadrato costruito sul ipotenusa ( cioegrave ha la stessa area)
In simboli
C2+c2=i2
Dea questa formula si ricavano le altre formule che consentono di
determinare la misura di un lato conoscendo gli altri due Ossia in un
triangolo rettangolo il teorema di Pitagora mi consente di ricavare la misura
di un lato a partire dai altri due
i =radic1198622 + 1198882 conosco i cateti e ricavo lrsquoipotenusa
c =radic1198942 minus 1198622conosco lrsquoipotenusa e il cateto maggiore e ricavo il cateto minore
C =radic1198942 minus 1198882conosco lrsquoipotenusa e il cateto minore e ricavo il cateto maggiore
TRIANGOLI CONGRUENTI
Due triangoli si dicono congruenti se sovrapponendosi mediante un
movimento rigido coincidono perfettamente
Criteri di congruenza
1 Se due triangoli hanno due lati e lrsquoangolo compreso ordinatamente
congruente
2 Se due triangoli hanno ordinatamente congruenti un lato e due angoli
sono congruenti
3 Se due triangoli hanno i lati ordinatamente congruenti allora sono
congruenti
SEGMENTI CARATTERISTICI DI UN TRIANGOLO
Asse di un lato
Egrave la retta passante per il punto medio del lato egrave perpendicolare al lato
Ogni triangolo ha 3 assi avendo 3 lati
C
A B
Mediana relativa a un lato
Egrave il segmento che ha come estremi il punto medio del lato e il vertice
opposto
Ogni triangolo ha 3 medianoavendo 3 lati
C
A B
Bisettrice di un angolo
Egrave la semiretta uscente dal vertice dellrsquoangolo che lrsquoangolo in due parti
congruenti
Ogni triangolo ha 3 bisettrici avendo 3 vertici
C
A B
Altezza relativa a un lato
Segmento perpendicolare al lato condotto dal vertice opposto
Ogni triangolo ha 3 altezze unrsquoaltezza puograve anche essere esterna al
triangolo
C
A B
Lrsquoaltezza puograve anche essere esterna al triangolo
C
A B
PUNTI NOTEVOLI DI UN TRIANGOLO
Circocentro(C)
Egrave lrsquointersezione dei tre assi Esso egrave equidistante dai vertici del triangolo
Circocentro
Puograve essere anche esterno al triangolo
Circocentro
Ortocentro(O)
Egrave il punto di intersezione delle altezza
Ortocentro
Anche esso puograve essere esterno
Ortocentro
Incentro(I)
Egrave il punto di intersezione della bisettrice Esso egrave sempre intern o al
triangolo ed egrave equidistante dai lati
Incentro
Baricentro(G)
Egrave il punto di intersezione delle tre mediane Esso egrave sempre interno al
triangolo e divide ogni mediana in due parti di cui quella avente un
estremo nel vertice egrave doppia dellrsquoaltra
Baricentro (mediana doppia)
SIMILITUDINE
Due triangoli sono simili se hanno gli angoli ordinatamente congruenti e i lati
corrispondenti in proporzione
La similitudine si indica con il simbolo asymp
C
C
A B A B
AB ArsquoBrsquo = BC BrsquoC rsquo= CA CrsquoArsquo
T1asympT2 se AequivA1 B equiv B1 C equivC1 e se AB AprimeBprime =AC AprimeCprime = BC BprimeCprime
La proporzione possiamo anche scriverla cosi
119860119861
119860prime119861prime =
119860119862
119860prime119862prime=
119861119862
119861prime119862prime= K (rapporto di similitudine)
Significato di k
Se kgt1 significa che T2 egrave rimpicciolito rispetto a T1 oppure T1 egrave ringrandito
rispetto a T2
Se klt1 allora T2 egrave ingrandito rispetto a T1
Se k = 1 T1 e T2 sono congruenti
CRITERI DI SIMILITUDINE
Per verificare se due triangoli sono simili dobbiamo verificare la definizione
cioegrave i 2 triangoli devono avere gli angoli ordinatamente congruenti e le 3
copie di lati omologhe in proporzione
Esistono perograve tre criteri che ci consentono di semplificare questa verifica
Primo criterio Se due triangoli hanno 2 angoli ordinatamente allora
sono simili
Secondo criterio Se due triangoli hanno 2 lati ordinatamente in
proporzione e lrsquoangolo compresso congruente allora sono simili
Terzo criterioSe due triangoli hanno i lati ordinatamente in proporzione
allora asse sono simili
PROPRIETAgrave DEI TRIANGOLI SIMILI
Teorema 1
Se 2 triangoli sono simili 2 lati omologhi stano tra loro come le rispettive
altezze
C
Crsquo
A B Arsquo Brsquo
AB AprimeBprime =CH CprimeHprime
Teorema 2
Se 2 triangoli sono simili 2 lati omologhi stano tra loro come i rispettivi
perimetri
C
Crsquo
A B Arsquo Brsquo
AB AprimeBprime = PPrsquo
Teorema 3
Se 2 triangoli sono simili i quadrati di 2 lati omologhi stano tra loro come le
rispettive aree
C
Crsquo
A B Arsquo Brsquo
AB AprimeBprime = AArsquo
TEOREMI DI EUCLIDE
Data una proporzione in cui i due termini medi sono uguali ac=cd c si
chiama ldquomedio proporzionalerdquo tra a e d
Primo teorema di Euclide
In un triangolo rettangolo un cateto egrave medio proporzionale fra lrsquoipotenusa e
la proiezione del cateto sullrsquoipotenusa
C
A H B
AH = Proiezione di AC sullrsquoipotenusa AB
HB = Proiezione di BC su AB
AB AC = AC AH
Secondo teorema di Euclide
In un triangolo rettangolo lrsquoaltezza relativa allrsquoipotenusa egrave ldquomedio
proporzionalerdquo tra le proiezioni dei cateti sullrsquoipotenusa stesa
C
A H B
AHCH = CH HB
ESEMPIO
In un triangolo rettangolo ABC (angolo retto in C) le proiezioni dei cateti
sullrsquoipotenusa misurano 2cm e 8 cm Calcolare perimetro e area
C
A H B
Dati
AH =2 cm
HB =8 cm
2 X = X 8
X2 = 2 8
X2 = 16
X = 4
A = 10cm middot 4 cm
2 = 20 cm2
10cm AC = AC 2cm
AC2 = 20 cm2
AC = 44 cm
10cm BC = BC 8cm
BC2 = 80 cm2
BC = 89 cm
P =89 cm + 44 cm + 10 cm = 233cm
Definizioni
Semiretta
Ersquo ciascuna delle 2 parti in cui una retta viene divisa da un punto O detto
origine della semiretta
Segmento Dati due punti A e B su una retta chiamiamo segmento di estremi A e B
lrsquoinsieme dei punti della retta che sono compresi tra A e B
A B
Segmenti consecutivi se hanno un solo estremo in comune
A C
B
Segmenti adiacenti se sono consecutivi e appartengono alla stessa retta
A B C
Angolo Un angolo egrave una delle due parti del piano delimitata da due semirette
aventi la stessa origine Le semirette sono i ldquolatirdquo dellrsquoangolo e lrsquoorigine egrave
il vertice dellrsquoangolo
O
vertice lato
Angolo convesso se non contiene il prolungamento dei suoi lati
O
Angolo concavo se contiene il prolungamento dei suoi lati
O
Angoli consecutivi se hanno stesso vertice un lato in comune e gli altri
due lati sono da parti opposte rispetto al lato in comune
O
Angoli adiacenti se sono consecutivi e i lati non comuni appartengono
alla stessa retta
O
Un angolo puograve essere
Angolo nullo se le due semirette coincidono
Angolo giro se egrave formato da tutti i punti del piano se i lati sono
semirette opposte
Confronto tra gli angoli
Due angoli sono congruenti se sovrapponendosi lrsquouno allrsquoaltro con un
movimento rigido i lati e il vertice
Confrontare due angoli significa stabilire se due punti
Sono congruenti
Uno egrave maggiore dellrsquoaltro
Come si stabilisce se due angoli alfa (α) e beta (β) sono congruenti oppure
uno egrave maggiore dellrsquoaltro
β
a1
o1
b
α
b1
o a
Bisogna operare un movimento rigido che porti un vertice a sovrapporsi
allrsquoaltro e un lato a sovrapporsi allrsquoaltro lato
Se anche gli altri due lati si sovrappongono allora αequivβ (sono congruenti)
Se il secondo lato di α egrave interno a β allora α egrave minore di β se invece il
secondo lato di α egrave esterno a β allora α egrave maggiore di β
Bisettrice di un angolo Egrave la semiretta uscente da O che divide lrsquoangolo in due angoli tra loro
congruenti
α
bisettrice
β
Angoli particolari Angolo retto egrave ciascuna delle due parti in cui lrsquoangolo piatto viene
diviso dalla sua bisettrice ( cioegrave la metagrave di un angolo piatto)
Angolo acuto se egrave minore di un angolo retto
Angolo ottuso se egrave maggiore di un angolo retto
Angoli complementari se la loro somma egrave un angolo retto
Angoli supplementari se la loro somma egrave un angolo piatto
Angoli esplementari se la loro somma egrave un angolo giro
Angoli opposti al vertice se i lati di uno sono i prolungamenti ei lati
dellrsquoaltro
Teorema due angoli opposti al vertice sono sempre congruenti tra loro
a c
b d
aequivb cequivd
Operazioni tra angoli Addizione egrave la somma di due angoli consecutivi aequivb bequivc
c b
a
egrave lrsquoangolo avente vertice in O e per lati i 2 lati non in comune
ab+bc=abc
La somma di due angoli non consecutivi si puograve fare solo se e possibile
rendere i due angoli consecutivi con un movimento rigido
a a1
b b1
O a O1 a1
Se a1 egrave minore di a allora possiamo determinare a1-a Per fare la sottrazione
dobbiamo operare un movimento rigido che sovrapponga lrsquoangolo minore
allrsquoangolo maggiore facendo coincidere i due vertici e un lato in modo che il
lato dellrsquoangolo minore cada allrsquointerno dellrsquoangolo maggiore
bequivb1 a1
OequivO1
a 119874119886 - O=
Linea
lsquorsquoCONCETTO PRIMITIVO che visualizziamo nella nostra mente
immaginando di far scorrere una penna sul foglio senza mai staccare la
penna dal fogliorsquorsquo
LINEA APERTA se i suoi estremi non coincidono
A
B
AneB
LINEA CHIUSA se i suoi estremi coincidono
AequivB
LINEA INTRECCIATA se interseca se stessa in almeno un suo punto
interno
LINEA NON INTRECCIATA se non interseca se stessa in nessun un suo
punto interno
FIGURA PIANA parte di piano delimitata da una linea chiusa non
intrecciata
FIGURA CONVESSA se fissati due qualsiasi punti distinti nella figura il
segmento che li congiunge appartiene tutto alla figura
FIGURA CONCAVA se esistono almeno due punti della figura tali che il
segmento che li congiunge non appartiene tutto alla figura
Poligoni
Poligonale
Egrave una linea formata da segmenti a 2 a 2 consecutivi Una
poligonale (come qualsiasi linea) puograve essere aperta chiusa
intrecciata non intrecciata
Non intrecciata
Intrecciata
Elementi caratteristici di un poligono
Vertici
Angoli (interni ed esterni)
Lati (numero dei lati)
Diagonali (nge4)
Poligono convesso
Se dato ogni lato la retta a qui appartiene il lato non contiene punti interni al
poligono il poligono si dice convesso
Poligono concavo
Un poligono si dice concavo se esiste una retta contenente un lato che
contiene punti interni del poligono
TRIANGOLI n=3
I triangoli si classifica in base ai lati e in base ai agli angoli
Classificazione rispetto ai lati
Equilatero (se ha 3 lati uguali9
Isoscele (se ha 2 lati congruenti)
Scaleno (se ha3 lati disuguali)
Classificazione rispetto agli angoli
Acutangolo (se ha 3 angoli acuti9
Ottusangolo (se ha un angolo ottuso)
Rettangolo (se ha un angolo retto)
Proprietagrave dei triangoli
La somma dei angoli interni di un triangolo egrave congruente a un angolo
piatto(cioegrave misura 180deg)
In un triangolo un lato egrave minore della somma dei altri due e maggiore
delle loro differenze
C
A B
Es AC ltAB +BC
AC gtAB -BC
In un triangolo se due angoli sono disuguali allrsquoangolo maggiori si
oppone il lato maggiore
C
A B
TEOREMA DI PITAGORA
In un triangolo rettangolo la somma dei quadrati costruiti sui cateti egrave
equivalente al quadrato costruito sul ipotenusa ( cioegrave ha la stessa area)
In simboli
C2+c2=i2
Dea questa formula si ricavano le altre formule che consentono di
determinare la misura di un lato conoscendo gli altri due Ossia in un
triangolo rettangolo il teorema di Pitagora mi consente di ricavare la misura
di un lato a partire dai altri due
i =radic1198622 + 1198882 conosco i cateti e ricavo lrsquoipotenusa
c =radic1198942 minus 1198622conosco lrsquoipotenusa e il cateto maggiore e ricavo il cateto minore
C =radic1198942 minus 1198882conosco lrsquoipotenusa e il cateto minore e ricavo il cateto maggiore
TRIANGOLI CONGRUENTI
Due triangoli si dicono congruenti se sovrapponendosi mediante un
movimento rigido coincidono perfettamente
Criteri di congruenza
1 Se due triangoli hanno due lati e lrsquoangolo compreso ordinatamente
congruente
2 Se due triangoli hanno ordinatamente congruenti un lato e due angoli
sono congruenti
3 Se due triangoli hanno i lati ordinatamente congruenti allora sono
congruenti
SEGMENTI CARATTERISTICI DI UN TRIANGOLO
Asse di un lato
Egrave la retta passante per il punto medio del lato egrave perpendicolare al lato
Ogni triangolo ha 3 assi avendo 3 lati
C
A B
Mediana relativa a un lato
Egrave il segmento che ha come estremi il punto medio del lato e il vertice
opposto
Ogni triangolo ha 3 medianoavendo 3 lati
C
A B
Bisettrice di un angolo
Egrave la semiretta uscente dal vertice dellrsquoangolo che lrsquoangolo in due parti
congruenti
Ogni triangolo ha 3 bisettrici avendo 3 vertici
C
A B
Altezza relativa a un lato
Segmento perpendicolare al lato condotto dal vertice opposto
Ogni triangolo ha 3 altezze unrsquoaltezza puograve anche essere esterna al
triangolo
C
A B
Lrsquoaltezza puograve anche essere esterna al triangolo
C
A B
PUNTI NOTEVOLI DI UN TRIANGOLO
Circocentro(C)
Egrave lrsquointersezione dei tre assi Esso egrave equidistante dai vertici del triangolo
Circocentro
Puograve essere anche esterno al triangolo
Circocentro
Ortocentro(O)
Egrave il punto di intersezione delle altezza
Ortocentro
Anche esso puograve essere esterno
Ortocentro
Incentro(I)
Egrave il punto di intersezione della bisettrice Esso egrave sempre intern o al
triangolo ed egrave equidistante dai lati
Incentro
Baricentro(G)
Egrave il punto di intersezione delle tre mediane Esso egrave sempre interno al
triangolo e divide ogni mediana in due parti di cui quella avente un
estremo nel vertice egrave doppia dellrsquoaltra
Baricentro (mediana doppia)
SIMILITUDINE
Due triangoli sono simili se hanno gli angoli ordinatamente congruenti e i lati
corrispondenti in proporzione
La similitudine si indica con il simbolo asymp
C
C
A B A B
AB ArsquoBrsquo = BC BrsquoC rsquo= CA CrsquoArsquo
T1asympT2 se AequivA1 B equiv B1 C equivC1 e se AB AprimeBprime =AC AprimeCprime = BC BprimeCprime
La proporzione possiamo anche scriverla cosi
119860119861
119860prime119861prime =
119860119862
119860prime119862prime=
119861119862
119861prime119862prime= K (rapporto di similitudine)
Significato di k
Se kgt1 significa che T2 egrave rimpicciolito rispetto a T1 oppure T1 egrave ringrandito
rispetto a T2
Se klt1 allora T2 egrave ingrandito rispetto a T1
Se k = 1 T1 e T2 sono congruenti
CRITERI DI SIMILITUDINE
Per verificare se due triangoli sono simili dobbiamo verificare la definizione
cioegrave i 2 triangoli devono avere gli angoli ordinatamente congruenti e le 3
copie di lati omologhe in proporzione
Esistono perograve tre criteri che ci consentono di semplificare questa verifica
Primo criterio Se due triangoli hanno 2 angoli ordinatamente allora
sono simili
Secondo criterio Se due triangoli hanno 2 lati ordinatamente in
proporzione e lrsquoangolo compresso congruente allora sono simili
Terzo criterioSe due triangoli hanno i lati ordinatamente in proporzione
allora asse sono simili
PROPRIETAgrave DEI TRIANGOLI SIMILI
Teorema 1
Se 2 triangoli sono simili 2 lati omologhi stano tra loro come le rispettive
altezze
C
Crsquo
A B Arsquo Brsquo
AB AprimeBprime =CH CprimeHprime
Teorema 2
Se 2 triangoli sono simili 2 lati omologhi stano tra loro come i rispettivi
perimetri
C
Crsquo
A B Arsquo Brsquo
AB AprimeBprime = PPrsquo
Teorema 3
Se 2 triangoli sono simili i quadrati di 2 lati omologhi stano tra loro come le
rispettive aree
C
Crsquo
A B Arsquo Brsquo
AB AprimeBprime = AArsquo
TEOREMI DI EUCLIDE
Data una proporzione in cui i due termini medi sono uguali ac=cd c si
chiama ldquomedio proporzionalerdquo tra a e d
Primo teorema di Euclide
In un triangolo rettangolo un cateto egrave medio proporzionale fra lrsquoipotenusa e
la proiezione del cateto sullrsquoipotenusa
C
A H B
AH = Proiezione di AC sullrsquoipotenusa AB
HB = Proiezione di BC su AB
AB AC = AC AH
Secondo teorema di Euclide
In un triangolo rettangolo lrsquoaltezza relativa allrsquoipotenusa egrave ldquomedio
proporzionalerdquo tra le proiezioni dei cateti sullrsquoipotenusa stesa
C
A H B
AHCH = CH HB
ESEMPIO
In un triangolo rettangolo ABC (angolo retto in C) le proiezioni dei cateti
sullrsquoipotenusa misurano 2cm e 8 cm Calcolare perimetro e area
C
A H B
Dati
AH =2 cm
HB =8 cm
2 X = X 8
X2 = 2 8
X2 = 16
X = 4
A = 10cm middot 4 cm
2 = 20 cm2
10cm AC = AC 2cm
AC2 = 20 cm2
AC = 44 cm
10cm BC = BC 8cm
BC2 = 80 cm2
BC = 89 cm
P =89 cm + 44 cm + 10 cm = 233cm
Angolo convesso se non contiene il prolungamento dei suoi lati
O
Angolo concavo se contiene il prolungamento dei suoi lati
O
Angoli consecutivi se hanno stesso vertice un lato in comune e gli altri
due lati sono da parti opposte rispetto al lato in comune
O
Angoli adiacenti se sono consecutivi e i lati non comuni appartengono
alla stessa retta
O
Un angolo puograve essere
Angolo nullo se le due semirette coincidono
Angolo giro se egrave formato da tutti i punti del piano se i lati sono
semirette opposte
Confronto tra gli angoli
Due angoli sono congruenti se sovrapponendosi lrsquouno allrsquoaltro con un
movimento rigido i lati e il vertice
Confrontare due angoli significa stabilire se due punti
Sono congruenti
Uno egrave maggiore dellrsquoaltro
Come si stabilisce se due angoli alfa (α) e beta (β) sono congruenti oppure
uno egrave maggiore dellrsquoaltro
β
a1
o1
b
α
b1
o a
Bisogna operare un movimento rigido che porti un vertice a sovrapporsi
allrsquoaltro e un lato a sovrapporsi allrsquoaltro lato
Se anche gli altri due lati si sovrappongono allora αequivβ (sono congruenti)
Se il secondo lato di α egrave interno a β allora α egrave minore di β se invece il
secondo lato di α egrave esterno a β allora α egrave maggiore di β
Bisettrice di un angolo Egrave la semiretta uscente da O che divide lrsquoangolo in due angoli tra loro
congruenti
α
bisettrice
β
Angoli particolari Angolo retto egrave ciascuna delle due parti in cui lrsquoangolo piatto viene
diviso dalla sua bisettrice ( cioegrave la metagrave di un angolo piatto)
Angolo acuto se egrave minore di un angolo retto
Angolo ottuso se egrave maggiore di un angolo retto
Angoli complementari se la loro somma egrave un angolo retto
Angoli supplementari se la loro somma egrave un angolo piatto
Angoli esplementari se la loro somma egrave un angolo giro
Angoli opposti al vertice se i lati di uno sono i prolungamenti ei lati
dellrsquoaltro
Teorema due angoli opposti al vertice sono sempre congruenti tra loro
a c
b d
aequivb cequivd
Operazioni tra angoli Addizione egrave la somma di due angoli consecutivi aequivb bequivc
c b
a
egrave lrsquoangolo avente vertice in O e per lati i 2 lati non in comune
ab+bc=abc
La somma di due angoli non consecutivi si puograve fare solo se e possibile
rendere i due angoli consecutivi con un movimento rigido
a a1
b b1
O a O1 a1
Se a1 egrave minore di a allora possiamo determinare a1-a Per fare la sottrazione
dobbiamo operare un movimento rigido che sovrapponga lrsquoangolo minore
allrsquoangolo maggiore facendo coincidere i due vertici e un lato in modo che il
lato dellrsquoangolo minore cada allrsquointerno dellrsquoangolo maggiore
bequivb1 a1
OequivO1
a 119874119886 - O=
Linea
lsquorsquoCONCETTO PRIMITIVO che visualizziamo nella nostra mente
immaginando di far scorrere una penna sul foglio senza mai staccare la
penna dal fogliorsquorsquo
LINEA APERTA se i suoi estremi non coincidono
A
B
AneB
LINEA CHIUSA se i suoi estremi coincidono
AequivB
LINEA INTRECCIATA se interseca se stessa in almeno un suo punto
interno
LINEA NON INTRECCIATA se non interseca se stessa in nessun un suo
punto interno
FIGURA PIANA parte di piano delimitata da una linea chiusa non
intrecciata
FIGURA CONVESSA se fissati due qualsiasi punti distinti nella figura il
segmento che li congiunge appartiene tutto alla figura
FIGURA CONCAVA se esistono almeno due punti della figura tali che il
segmento che li congiunge non appartiene tutto alla figura
Poligoni
Poligonale
Egrave una linea formata da segmenti a 2 a 2 consecutivi Una
poligonale (come qualsiasi linea) puograve essere aperta chiusa
intrecciata non intrecciata
Non intrecciata
Intrecciata
Elementi caratteristici di un poligono
Vertici
Angoli (interni ed esterni)
Lati (numero dei lati)
Diagonali (nge4)
Poligono convesso
Se dato ogni lato la retta a qui appartiene il lato non contiene punti interni al
poligono il poligono si dice convesso
Poligono concavo
Un poligono si dice concavo se esiste una retta contenente un lato che
contiene punti interni del poligono
TRIANGOLI n=3
I triangoli si classifica in base ai lati e in base ai agli angoli
Classificazione rispetto ai lati
Equilatero (se ha 3 lati uguali9
Isoscele (se ha 2 lati congruenti)
Scaleno (se ha3 lati disuguali)
Classificazione rispetto agli angoli
Acutangolo (se ha 3 angoli acuti9
Ottusangolo (se ha un angolo ottuso)
Rettangolo (se ha un angolo retto)
Proprietagrave dei triangoli
La somma dei angoli interni di un triangolo egrave congruente a un angolo
piatto(cioegrave misura 180deg)
In un triangolo un lato egrave minore della somma dei altri due e maggiore
delle loro differenze
C
A B
Es AC ltAB +BC
AC gtAB -BC
In un triangolo se due angoli sono disuguali allrsquoangolo maggiori si
oppone il lato maggiore
C
A B
TEOREMA DI PITAGORA
In un triangolo rettangolo la somma dei quadrati costruiti sui cateti egrave
equivalente al quadrato costruito sul ipotenusa ( cioegrave ha la stessa area)
In simboli
C2+c2=i2
Dea questa formula si ricavano le altre formule che consentono di
determinare la misura di un lato conoscendo gli altri due Ossia in un
triangolo rettangolo il teorema di Pitagora mi consente di ricavare la misura
di un lato a partire dai altri due
i =radic1198622 + 1198882 conosco i cateti e ricavo lrsquoipotenusa
c =radic1198942 minus 1198622conosco lrsquoipotenusa e il cateto maggiore e ricavo il cateto minore
C =radic1198942 minus 1198882conosco lrsquoipotenusa e il cateto minore e ricavo il cateto maggiore
TRIANGOLI CONGRUENTI
Due triangoli si dicono congruenti se sovrapponendosi mediante un
movimento rigido coincidono perfettamente
Criteri di congruenza
1 Se due triangoli hanno due lati e lrsquoangolo compreso ordinatamente
congruente
2 Se due triangoli hanno ordinatamente congruenti un lato e due angoli
sono congruenti
3 Se due triangoli hanno i lati ordinatamente congruenti allora sono
congruenti
SEGMENTI CARATTERISTICI DI UN TRIANGOLO
Asse di un lato
Egrave la retta passante per il punto medio del lato egrave perpendicolare al lato
Ogni triangolo ha 3 assi avendo 3 lati
C
A B
Mediana relativa a un lato
Egrave il segmento che ha come estremi il punto medio del lato e il vertice
opposto
Ogni triangolo ha 3 medianoavendo 3 lati
C
A B
Bisettrice di un angolo
Egrave la semiretta uscente dal vertice dellrsquoangolo che lrsquoangolo in due parti
congruenti
Ogni triangolo ha 3 bisettrici avendo 3 vertici
C
A B
Altezza relativa a un lato
Segmento perpendicolare al lato condotto dal vertice opposto
Ogni triangolo ha 3 altezze unrsquoaltezza puograve anche essere esterna al
triangolo
C
A B
Lrsquoaltezza puograve anche essere esterna al triangolo
C
A B
PUNTI NOTEVOLI DI UN TRIANGOLO
Circocentro(C)
Egrave lrsquointersezione dei tre assi Esso egrave equidistante dai vertici del triangolo
Circocentro
Puograve essere anche esterno al triangolo
Circocentro
Ortocentro(O)
Egrave il punto di intersezione delle altezza
Ortocentro
Anche esso puograve essere esterno
Ortocentro
Incentro(I)
Egrave il punto di intersezione della bisettrice Esso egrave sempre intern o al
triangolo ed egrave equidistante dai lati
Incentro
Baricentro(G)
Egrave il punto di intersezione delle tre mediane Esso egrave sempre interno al
triangolo e divide ogni mediana in due parti di cui quella avente un
estremo nel vertice egrave doppia dellrsquoaltra
Baricentro (mediana doppia)
SIMILITUDINE
Due triangoli sono simili se hanno gli angoli ordinatamente congruenti e i lati
corrispondenti in proporzione
La similitudine si indica con il simbolo asymp
C
C
A B A B
AB ArsquoBrsquo = BC BrsquoC rsquo= CA CrsquoArsquo
T1asympT2 se AequivA1 B equiv B1 C equivC1 e se AB AprimeBprime =AC AprimeCprime = BC BprimeCprime
La proporzione possiamo anche scriverla cosi
119860119861
119860prime119861prime =
119860119862
119860prime119862prime=
119861119862
119861prime119862prime= K (rapporto di similitudine)
Significato di k
Se kgt1 significa che T2 egrave rimpicciolito rispetto a T1 oppure T1 egrave ringrandito
rispetto a T2
Se klt1 allora T2 egrave ingrandito rispetto a T1
Se k = 1 T1 e T2 sono congruenti
CRITERI DI SIMILITUDINE
Per verificare se due triangoli sono simili dobbiamo verificare la definizione
cioegrave i 2 triangoli devono avere gli angoli ordinatamente congruenti e le 3
copie di lati omologhe in proporzione
Esistono perograve tre criteri che ci consentono di semplificare questa verifica
Primo criterio Se due triangoli hanno 2 angoli ordinatamente allora
sono simili
Secondo criterio Se due triangoli hanno 2 lati ordinatamente in
proporzione e lrsquoangolo compresso congruente allora sono simili
Terzo criterioSe due triangoli hanno i lati ordinatamente in proporzione
allora asse sono simili
PROPRIETAgrave DEI TRIANGOLI SIMILI
Teorema 1
Se 2 triangoli sono simili 2 lati omologhi stano tra loro come le rispettive
altezze
C
Crsquo
A B Arsquo Brsquo
AB AprimeBprime =CH CprimeHprime
Teorema 2
Se 2 triangoli sono simili 2 lati omologhi stano tra loro come i rispettivi
perimetri
C
Crsquo
A B Arsquo Brsquo
AB AprimeBprime = PPrsquo
Teorema 3
Se 2 triangoli sono simili i quadrati di 2 lati omologhi stano tra loro come le
rispettive aree
C
Crsquo
A B Arsquo Brsquo
AB AprimeBprime = AArsquo
TEOREMI DI EUCLIDE
Data una proporzione in cui i due termini medi sono uguali ac=cd c si
chiama ldquomedio proporzionalerdquo tra a e d
Primo teorema di Euclide
In un triangolo rettangolo un cateto egrave medio proporzionale fra lrsquoipotenusa e
la proiezione del cateto sullrsquoipotenusa
C
A H B
AH = Proiezione di AC sullrsquoipotenusa AB
HB = Proiezione di BC su AB
AB AC = AC AH
Secondo teorema di Euclide
In un triangolo rettangolo lrsquoaltezza relativa allrsquoipotenusa egrave ldquomedio
proporzionalerdquo tra le proiezioni dei cateti sullrsquoipotenusa stesa
C
A H B
AHCH = CH HB
ESEMPIO
In un triangolo rettangolo ABC (angolo retto in C) le proiezioni dei cateti
sullrsquoipotenusa misurano 2cm e 8 cm Calcolare perimetro e area
C
A H B
Dati
AH =2 cm
HB =8 cm
2 X = X 8
X2 = 2 8
X2 = 16
X = 4
A = 10cm middot 4 cm
2 = 20 cm2
10cm AC = AC 2cm
AC2 = 20 cm2
AC = 44 cm
10cm BC = BC 8cm
BC2 = 80 cm2
BC = 89 cm
P =89 cm + 44 cm + 10 cm = 233cm
Confronto tra gli angoli
Due angoli sono congruenti se sovrapponendosi lrsquouno allrsquoaltro con un
movimento rigido i lati e il vertice
Confrontare due angoli significa stabilire se due punti
Sono congruenti
Uno egrave maggiore dellrsquoaltro
Come si stabilisce se due angoli alfa (α) e beta (β) sono congruenti oppure
uno egrave maggiore dellrsquoaltro
β
a1
o1
b
α
b1
o a
Bisogna operare un movimento rigido che porti un vertice a sovrapporsi
allrsquoaltro e un lato a sovrapporsi allrsquoaltro lato
Se anche gli altri due lati si sovrappongono allora αequivβ (sono congruenti)
Se il secondo lato di α egrave interno a β allora α egrave minore di β se invece il
secondo lato di α egrave esterno a β allora α egrave maggiore di β
Bisettrice di un angolo Egrave la semiretta uscente da O che divide lrsquoangolo in due angoli tra loro
congruenti
α
bisettrice
β
Angoli particolari Angolo retto egrave ciascuna delle due parti in cui lrsquoangolo piatto viene
diviso dalla sua bisettrice ( cioegrave la metagrave di un angolo piatto)
Angolo acuto se egrave minore di un angolo retto
Angolo ottuso se egrave maggiore di un angolo retto
Angoli complementari se la loro somma egrave un angolo retto
Angoli supplementari se la loro somma egrave un angolo piatto
Angoli esplementari se la loro somma egrave un angolo giro
Angoli opposti al vertice se i lati di uno sono i prolungamenti ei lati
dellrsquoaltro
Teorema due angoli opposti al vertice sono sempre congruenti tra loro
a c
b d
aequivb cequivd
Operazioni tra angoli Addizione egrave la somma di due angoli consecutivi aequivb bequivc
c b
a
egrave lrsquoangolo avente vertice in O e per lati i 2 lati non in comune
ab+bc=abc
La somma di due angoli non consecutivi si puograve fare solo se e possibile
rendere i due angoli consecutivi con un movimento rigido
a a1
b b1
O a O1 a1
Se a1 egrave minore di a allora possiamo determinare a1-a Per fare la sottrazione
dobbiamo operare un movimento rigido che sovrapponga lrsquoangolo minore
allrsquoangolo maggiore facendo coincidere i due vertici e un lato in modo che il
lato dellrsquoangolo minore cada allrsquointerno dellrsquoangolo maggiore
bequivb1 a1
OequivO1
a 119874119886 - O=
Linea
lsquorsquoCONCETTO PRIMITIVO che visualizziamo nella nostra mente
immaginando di far scorrere una penna sul foglio senza mai staccare la
penna dal fogliorsquorsquo
LINEA APERTA se i suoi estremi non coincidono
A
B
AneB
LINEA CHIUSA se i suoi estremi coincidono
AequivB
LINEA INTRECCIATA se interseca se stessa in almeno un suo punto
interno
LINEA NON INTRECCIATA se non interseca se stessa in nessun un suo
punto interno
FIGURA PIANA parte di piano delimitata da una linea chiusa non
intrecciata
FIGURA CONVESSA se fissati due qualsiasi punti distinti nella figura il
segmento che li congiunge appartiene tutto alla figura
FIGURA CONCAVA se esistono almeno due punti della figura tali che il
segmento che li congiunge non appartiene tutto alla figura
Poligoni
Poligonale
Egrave una linea formata da segmenti a 2 a 2 consecutivi Una
poligonale (come qualsiasi linea) puograve essere aperta chiusa
intrecciata non intrecciata
Non intrecciata
Intrecciata
Elementi caratteristici di un poligono
Vertici
Angoli (interni ed esterni)
Lati (numero dei lati)
Diagonali (nge4)
Poligono convesso
Se dato ogni lato la retta a qui appartiene il lato non contiene punti interni al
poligono il poligono si dice convesso
Poligono concavo
Un poligono si dice concavo se esiste una retta contenente un lato che
contiene punti interni del poligono
TRIANGOLI n=3
I triangoli si classifica in base ai lati e in base ai agli angoli
Classificazione rispetto ai lati
Equilatero (se ha 3 lati uguali9
Isoscele (se ha 2 lati congruenti)
Scaleno (se ha3 lati disuguali)
Classificazione rispetto agli angoli
Acutangolo (se ha 3 angoli acuti9
Ottusangolo (se ha un angolo ottuso)
Rettangolo (se ha un angolo retto)
Proprietagrave dei triangoli
La somma dei angoli interni di un triangolo egrave congruente a un angolo
piatto(cioegrave misura 180deg)
In un triangolo un lato egrave minore della somma dei altri due e maggiore
delle loro differenze
C
A B
Es AC ltAB +BC
AC gtAB -BC
In un triangolo se due angoli sono disuguali allrsquoangolo maggiori si
oppone il lato maggiore
C
A B
TEOREMA DI PITAGORA
In un triangolo rettangolo la somma dei quadrati costruiti sui cateti egrave
equivalente al quadrato costruito sul ipotenusa ( cioegrave ha la stessa area)
In simboli
C2+c2=i2
Dea questa formula si ricavano le altre formule che consentono di
determinare la misura di un lato conoscendo gli altri due Ossia in un
triangolo rettangolo il teorema di Pitagora mi consente di ricavare la misura
di un lato a partire dai altri due
i =radic1198622 + 1198882 conosco i cateti e ricavo lrsquoipotenusa
c =radic1198942 minus 1198622conosco lrsquoipotenusa e il cateto maggiore e ricavo il cateto minore
C =radic1198942 minus 1198882conosco lrsquoipotenusa e il cateto minore e ricavo il cateto maggiore
TRIANGOLI CONGRUENTI
Due triangoli si dicono congruenti se sovrapponendosi mediante un
movimento rigido coincidono perfettamente
Criteri di congruenza
1 Se due triangoli hanno due lati e lrsquoangolo compreso ordinatamente
congruente
2 Se due triangoli hanno ordinatamente congruenti un lato e due angoli
sono congruenti
3 Se due triangoli hanno i lati ordinatamente congruenti allora sono
congruenti
SEGMENTI CARATTERISTICI DI UN TRIANGOLO
Asse di un lato
Egrave la retta passante per il punto medio del lato egrave perpendicolare al lato
Ogni triangolo ha 3 assi avendo 3 lati
C
A B
Mediana relativa a un lato
Egrave il segmento che ha come estremi il punto medio del lato e il vertice
opposto
Ogni triangolo ha 3 medianoavendo 3 lati
C
A B
Bisettrice di un angolo
Egrave la semiretta uscente dal vertice dellrsquoangolo che lrsquoangolo in due parti
congruenti
Ogni triangolo ha 3 bisettrici avendo 3 vertici
C
A B
Altezza relativa a un lato
Segmento perpendicolare al lato condotto dal vertice opposto
Ogni triangolo ha 3 altezze unrsquoaltezza puograve anche essere esterna al
triangolo
C
A B
Lrsquoaltezza puograve anche essere esterna al triangolo
C
A B
PUNTI NOTEVOLI DI UN TRIANGOLO
Circocentro(C)
Egrave lrsquointersezione dei tre assi Esso egrave equidistante dai vertici del triangolo
Circocentro
Puograve essere anche esterno al triangolo
Circocentro
Ortocentro(O)
Egrave il punto di intersezione delle altezza
Ortocentro
Anche esso puograve essere esterno
Ortocentro
Incentro(I)
Egrave il punto di intersezione della bisettrice Esso egrave sempre intern o al
triangolo ed egrave equidistante dai lati
Incentro
Baricentro(G)
Egrave il punto di intersezione delle tre mediane Esso egrave sempre interno al
triangolo e divide ogni mediana in due parti di cui quella avente un
estremo nel vertice egrave doppia dellrsquoaltra
Baricentro (mediana doppia)
SIMILITUDINE
Due triangoli sono simili se hanno gli angoli ordinatamente congruenti e i lati
corrispondenti in proporzione
La similitudine si indica con il simbolo asymp
C
C
A B A B
AB ArsquoBrsquo = BC BrsquoC rsquo= CA CrsquoArsquo
T1asympT2 se AequivA1 B equiv B1 C equivC1 e se AB AprimeBprime =AC AprimeCprime = BC BprimeCprime
La proporzione possiamo anche scriverla cosi
119860119861
119860prime119861prime =
119860119862
119860prime119862prime=
119861119862
119861prime119862prime= K (rapporto di similitudine)
Significato di k
Se kgt1 significa che T2 egrave rimpicciolito rispetto a T1 oppure T1 egrave ringrandito
rispetto a T2
Se klt1 allora T2 egrave ingrandito rispetto a T1
Se k = 1 T1 e T2 sono congruenti
CRITERI DI SIMILITUDINE
Per verificare se due triangoli sono simili dobbiamo verificare la definizione
cioegrave i 2 triangoli devono avere gli angoli ordinatamente congruenti e le 3
copie di lati omologhe in proporzione
Esistono perograve tre criteri che ci consentono di semplificare questa verifica
Primo criterio Se due triangoli hanno 2 angoli ordinatamente allora
sono simili
Secondo criterio Se due triangoli hanno 2 lati ordinatamente in
proporzione e lrsquoangolo compresso congruente allora sono simili
Terzo criterioSe due triangoli hanno i lati ordinatamente in proporzione
allora asse sono simili
PROPRIETAgrave DEI TRIANGOLI SIMILI
Teorema 1
Se 2 triangoli sono simili 2 lati omologhi stano tra loro come le rispettive
altezze
C
Crsquo
A B Arsquo Brsquo
AB AprimeBprime =CH CprimeHprime
Teorema 2
Se 2 triangoli sono simili 2 lati omologhi stano tra loro come i rispettivi
perimetri
C
Crsquo
A B Arsquo Brsquo
AB AprimeBprime = PPrsquo
Teorema 3
Se 2 triangoli sono simili i quadrati di 2 lati omologhi stano tra loro come le
rispettive aree
C
Crsquo
A B Arsquo Brsquo
AB AprimeBprime = AArsquo
TEOREMI DI EUCLIDE
Data una proporzione in cui i due termini medi sono uguali ac=cd c si
chiama ldquomedio proporzionalerdquo tra a e d
Primo teorema di Euclide
In un triangolo rettangolo un cateto egrave medio proporzionale fra lrsquoipotenusa e
la proiezione del cateto sullrsquoipotenusa
C
A H B
AH = Proiezione di AC sullrsquoipotenusa AB
HB = Proiezione di BC su AB
AB AC = AC AH
Secondo teorema di Euclide
In un triangolo rettangolo lrsquoaltezza relativa allrsquoipotenusa egrave ldquomedio
proporzionalerdquo tra le proiezioni dei cateti sullrsquoipotenusa stesa
C
A H B
AHCH = CH HB
ESEMPIO
In un triangolo rettangolo ABC (angolo retto in C) le proiezioni dei cateti
sullrsquoipotenusa misurano 2cm e 8 cm Calcolare perimetro e area
C
A H B
Dati
AH =2 cm
HB =8 cm
2 X = X 8
X2 = 2 8
X2 = 16
X = 4
A = 10cm middot 4 cm
2 = 20 cm2
10cm AC = AC 2cm
AC2 = 20 cm2
AC = 44 cm
10cm BC = BC 8cm
BC2 = 80 cm2
BC = 89 cm
P =89 cm + 44 cm + 10 cm = 233cm
Bisettrice di un angolo Egrave la semiretta uscente da O che divide lrsquoangolo in due angoli tra loro
congruenti
α
bisettrice
β
Angoli particolari Angolo retto egrave ciascuna delle due parti in cui lrsquoangolo piatto viene
diviso dalla sua bisettrice ( cioegrave la metagrave di un angolo piatto)
Angolo acuto se egrave minore di un angolo retto
Angolo ottuso se egrave maggiore di un angolo retto
Angoli complementari se la loro somma egrave un angolo retto
Angoli supplementari se la loro somma egrave un angolo piatto
Angoli esplementari se la loro somma egrave un angolo giro
Angoli opposti al vertice se i lati di uno sono i prolungamenti ei lati
dellrsquoaltro
Teorema due angoli opposti al vertice sono sempre congruenti tra loro
a c
b d
aequivb cequivd
Operazioni tra angoli Addizione egrave la somma di due angoli consecutivi aequivb bequivc
c b
a
egrave lrsquoangolo avente vertice in O e per lati i 2 lati non in comune
ab+bc=abc
La somma di due angoli non consecutivi si puograve fare solo se e possibile
rendere i due angoli consecutivi con un movimento rigido
a a1
b b1
O a O1 a1
Se a1 egrave minore di a allora possiamo determinare a1-a Per fare la sottrazione
dobbiamo operare un movimento rigido che sovrapponga lrsquoangolo minore
allrsquoangolo maggiore facendo coincidere i due vertici e un lato in modo che il
lato dellrsquoangolo minore cada allrsquointerno dellrsquoangolo maggiore
bequivb1 a1
OequivO1
a 119874119886 - O=
Linea
lsquorsquoCONCETTO PRIMITIVO che visualizziamo nella nostra mente
immaginando di far scorrere una penna sul foglio senza mai staccare la
penna dal fogliorsquorsquo
LINEA APERTA se i suoi estremi non coincidono
A
B
AneB
LINEA CHIUSA se i suoi estremi coincidono
AequivB
LINEA INTRECCIATA se interseca se stessa in almeno un suo punto
interno
LINEA NON INTRECCIATA se non interseca se stessa in nessun un suo
punto interno
FIGURA PIANA parte di piano delimitata da una linea chiusa non
intrecciata
FIGURA CONVESSA se fissati due qualsiasi punti distinti nella figura il
segmento che li congiunge appartiene tutto alla figura
FIGURA CONCAVA se esistono almeno due punti della figura tali che il
segmento che li congiunge non appartiene tutto alla figura
Poligoni
Poligonale
Egrave una linea formata da segmenti a 2 a 2 consecutivi Una
poligonale (come qualsiasi linea) puograve essere aperta chiusa
intrecciata non intrecciata
Non intrecciata
Intrecciata
Elementi caratteristici di un poligono
Vertici
Angoli (interni ed esterni)
Lati (numero dei lati)
Diagonali (nge4)
Poligono convesso
Se dato ogni lato la retta a qui appartiene il lato non contiene punti interni al
poligono il poligono si dice convesso
Poligono concavo
Un poligono si dice concavo se esiste una retta contenente un lato che
contiene punti interni del poligono
TRIANGOLI n=3
I triangoli si classifica in base ai lati e in base ai agli angoli
Classificazione rispetto ai lati
Equilatero (se ha 3 lati uguali9
Isoscele (se ha 2 lati congruenti)
Scaleno (se ha3 lati disuguali)
Classificazione rispetto agli angoli
Acutangolo (se ha 3 angoli acuti9
Ottusangolo (se ha un angolo ottuso)
Rettangolo (se ha un angolo retto)
Proprietagrave dei triangoli
La somma dei angoli interni di un triangolo egrave congruente a un angolo
piatto(cioegrave misura 180deg)
In un triangolo un lato egrave minore della somma dei altri due e maggiore
delle loro differenze
C
A B
Es AC ltAB +BC
AC gtAB -BC
In un triangolo se due angoli sono disuguali allrsquoangolo maggiori si
oppone il lato maggiore
C
A B
TEOREMA DI PITAGORA
In un triangolo rettangolo la somma dei quadrati costruiti sui cateti egrave
equivalente al quadrato costruito sul ipotenusa ( cioegrave ha la stessa area)
In simboli
C2+c2=i2
Dea questa formula si ricavano le altre formule che consentono di
determinare la misura di un lato conoscendo gli altri due Ossia in un
triangolo rettangolo il teorema di Pitagora mi consente di ricavare la misura
di un lato a partire dai altri due
i =radic1198622 + 1198882 conosco i cateti e ricavo lrsquoipotenusa
c =radic1198942 minus 1198622conosco lrsquoipotenusa e il cateto maggiore e ricavo il cateto minore
C =radic1198942 minus 1198882conosco lrsquoipotenusa e il cateto minore e ricavo il cateto maggiore
TRIANGOLI CONGRUENTI
Due triangoli si dicono congruenti se sovrapponendosi mediante un
movimento rigido coincidono perfettamente
Criteri di congruenza
1 Se due triangoli hanno due lati e lrsquoangolo compreso ordinatamente
congruente
2 Se due triangoli hanno ordinatamente congruenti un lato e due angoli
sono congruenti
3 Se due triangoli hanno i lati ordinatamente congruenti allora sono
congruenti
SEGMENTI CARATTERISTICI DI UN TRIANGOLO
Asse di un lato
Egrave la retta passante per il punto medio del lato egrave perpendicolare al lato
Ogni triangolo ha 3 assi avendo 3 lati
C
A B
Mediana relativa a un lato
Egrave il segmento che ha come estremi il punto medio del lato e il vertice
opposto
Ogni triangolo ha 3 medianoavendo 3 lati
C
A B
Bisettrice di un angolo
Egrave la semiretta uscente dal vertice dellrsquoangolo che lrsquoangolo in due parti
congruenti
Ogni triangolo ha 3 bisettrici avendo 3 vertici
C
A B
Altezza relativa a un lato
Segmento perpendicolare al lato condotto dal vertice opposto
Ogni triangolo ha 3 altezze unrsquoaltezza puograve anche essere esterna al
triangolo
C
A B
Lrsquoaltezza puograve anche essere esterna al triangolo
C
A B
PUNTI NOTEVOLI DI UN TRIANGOLO
Circocentro(C)
Egrave lrsquointersezione dei tre assi Esso egrave equidistante dai vertici del triangolo
Circocentro
Puograve essere anche esterno al triangolo
Circocentro
Ortocentro(O)
Egrave il punto di intersezione delle altezza
Ortocentro
Anche esso puograve essere esterno
Ortocentro
Incentro(I)
Egrave il punto di intersezione della bisettrice Esso egrave sempre intern o al
triangolo ed egrave equidistante dai lati
Incentro
Baricentro(G)
Egrave il punto di intersezione delle tre mediane Esso egrave sempre interno al
triangolo e divide ogni mediana in due parti di cui quella avente un
estremo nel vertice egrave doppia dellrsquoaltra
Baricentro (mediana doppia)
SIMILITUDINE
Due triangoli sono simili se hanno gli angoli ordinatamente congruenti e i lati
corrispondenti in proporzione
La similitudine si indica con il simbolo asymp
C
C
A B A B
AB ArsquoBrsquo = BC BrsquoC rsquo= CA CrsquoArsquo
T1asympT2 se AequivA1 B equiv B1 C equivC1 e se AB AprimeBprime =AC AprimeCprime = BC BprimeCprime
La proporzione possiamo anche scriverla cosi
119860119861
119860prime119861prime =
119860119862
119860prime119862prime=
119861119862
119861prime119862prime= K (rapporto di similitudine)
Significato di k
Se kgt1 significa che T2 egrave rimpicciolito rispetto a T1 oppure T1 egrave ringrandito
rispetto a T2
Se klt1 allora T2 egrave ingrandito rispetto a T1
Se k = 1 T1 e T2 sono congruenti
CRITERI DI SIMILITUDINE
Per verificare se due triangoli sono simili dobbiamo verificare la definizione
cioegrave i 2 triangoli devono avere gli angoli ordinatamente congruenti e le 3
copie di lati omologhe in proporzione
Esistono perograve tre criteri che ci consentono di semplificare questa verifica
Primo criterio Se due triangoli hanno 2 angoli ordinatamente allora
sono simili
Secondo criterio Se due triangoli hanno 2 lati ordinatamente in
proporzione e lrsquoangolo compresso congruente allora sono simili
Terzo criterioSe due triangoli hanno i lati ordinatamente in proporzione
allora asse sono simili
PROPRIETAgrave DEI TRIANGOLI SIMILI
Teorema 1
Se 2 triangoli sono simili 2 lati omologhi stano tra loro come le rispettive
altezze
C
Crsquo
A B Arsquo Brsquo
AB AprimeBprime =CH CprimeHprime
Teorema 2
Se 2 triangoli sono simili 2 lati omologhi stano tra loro come i rispettivi
perimetri
C
Crsquo
A B Arsquo Brsquo
AB AprimeBprime = PPrsquo
Teorema 3
Se 2 triangoli sono simili i quadrati di 2 lati omologhi stano tra loro come le
rispettive aree
C
Crsquo
A B Arsquo Brsquo
AB AprimeBprime = AArsquo
TEOREMI DI EUCLIDE
Data una proporzione in cui i due termini medi sono uguali ac=cd c si
chiama ldquomedio proporzionalerdquo tra a e d
Primo teorema di Euclide
In un triangolo rettangolo un cateto egrave medio proporzionale fra lrsquoipotenusa e
la proiezione del cateto sullrsquoipotenusa
C
A H B
AH = Proiezione di AC sullrsquoipotenusa AB
HB = Proiezione di BC su AB
AB AC = AC AH
Secondo teorema di Euclide
In un triangolo rettangolo lrsquoaltezza relativa allrsquoipotenusa egrave ldquomedio
proporzionalerdquo tra le proiezioni dei cateti sullrsquoipotenusa stesa
C
A H B
AHCH = CH HB
ESEMPIO
In un triangolo rettangolo ABC (angolo retto in C) le proiezioni dei cateti
sullrsquoipotenusa misurano 2cm e 8 cm Calcolare perimetro e area
C
A H B
Dati
AH =2 cm
HB =8 cm
2 X = X 8
X2 = 2 8
X2 = 16
X = 4
A = 10cm middot 4 cm
2 = 20 cm2
10cm AC = AC 2cm
AC2 = 20 cm2
AC = 44 cm
10cm BC = BC 8cm
BC2 = 80 cm2
BC = 89 cm
P =89 cm + 44 cm + 10 cm = 233cm
Angoli complementari se la loro somma egrave un angolo retto
Angoli supplementari se la loro somma egrave un angolo piatto
Angoli esplementari se la loro somma egrave un angolo giro
Angoli opposti al vertice se i lati di uno sono i prolungamenti ei lati
dellrsquoaltro
Teorema due angoli opposti al vertice sono sempre congruenti tra loro
a c
b d
aequivb cequivd
Operazioni tra angoli Addizione egrave la somma di due angoli consecutivi aequivb bequivc
c b
a
egrave lrsquoangolo avente vertice in O e per lati i 2 lati non in comune
ab+bc=abc
La somma di due angoli non consecutivi si puograve fare solo se e possibile
rendere i due angoli consecutivi con un movimento rigido
a a1
b b1
O a O1 a1
Se a1 egrave minore di a allora possiamo determinare a1-a Per fare la sottrazione
dobbiamo operare un movimento rigido che sovrapponga lrsquoangolo minore
allrsquoangolo maggiore facendo coincidere i due vertici e un lato in modo che il
lato dellrsquoangolo minore cada allrsquointerno dellrsquoangolo maggiore
bequivb1 a1
OequivO1
a 119874119886 - O=
Linea
lsquorsquoCONCETTO PRIMITIVO che visualizziamo nella nostra mente
immaginando di far scorrere una penna sul foglio senza mai staccare la
penna dal fogliorsquorsquo
LINEA APERTA se i suoi estremi non coincidono
A
B
AneB
LINEA CHIUSA se i suoi estremi coincidono
AequivB
LINEA INTRECCIATA se interseca se stessa in almeno un suo punto
interno
LINEA NON INTRECCIATA se non interseca se stessa in nessun un suo
punto interno
FIGURA PIANA parte di piano delimitata da una linea chiusa non
intrecciata
FIGURA CONVESSA se fissati due qualsiasi punti distinti nella figura il
segmento che li congiunge appartiene tutto alla figura
FIGURA CONCAVA se esistono almeno due punti della figura tali che il
segmento che li congiunge non appartiene tutto alla figura
Poligoni
Poligonale
Egrave una linea formata da segmenti a 2 a 2 consecutivi Una
poligonale (come qualsiasi linea) puograve essere aperta chiusa
intrecciata non intrecciata
Non intrecciata
Intrecciata
Elementi caratteristici di un poligono
Vertici
Angoli (interni ed esterni)
Lati (numero dei lati)
Diagonali (nge4)
Poligono convesso
Se dato ogni lato la retta a qui appartiene il lato non contiene punti interni al
poligono il poligono si dice convesso
Poligono concavo
Un poligono si dice concavo se esiste una retta contenente un lato che
contiene punti interni del poligono
TRIANGOLI n=3
I triangoli si classifica in base ai lati e in base ai agli angoli
Classificazione rispetto ai lati
Equilatero (se ha 3 lati uguali9
Isoscele (se ha 2 lati congruenti)
Scaleno (se ha3 lati disuguali)
Classificazione rispetto agli angoli
Acutangolo (se ha 3 angoli acuti9
Ottusangolo (se ha un angolo ottuso)
Rettangolo (se ha un angolo retto)
Proprietagrave dei triangoli
La somma dei angoli interni di un triangolo egrave congruente a un angolo
piatto(cioegrave misura 180deg)
In un triangolo un lato egrave minore della somma dei altri due e maggiore
delle loro differenze
C
A B
Es AC ltAB +BC
AC gtAB -BC
In un triangolo se due angoli sono disuguali allrsquoangolo maggiori si
oppone il lato maggiore
C
A B
TEOREMA DI PITAGORA
In un triangolo rettangolo la somma dei quadrati costruiti sui cateti egrave
equivalente al quadrato costruito sul ipotenusa ( cioegrave ha la stessa area)
In simboli
C2+c2=i2
Dea questa formula si ricavano le altre formule che consentono di
determinare la misura di un lato conoscendo gli altri due Ossia in un
triangolo rettangolo il teorema di Pitagora mi consente di ricavare la misura
di un lato a partire dai altri due
i =radic1198622 + 1198882 conosco i cateti e ricavo lrsquoipotenusa
c =radic1198942 minus 1198622conosco lrsquoipotenusa e il cateto maggiore e ricavo il cateto minore
C =radic1198942 minus 1198882conosco lrsquoipotenusa e il cateto minore e ricavo il cateto maggiore
TRIANGOLI CONGRUENTI
Due triangoli si dicono congruenti se sovrapponendosi mediante un
movimento rigido coincidono perfettamente
Criteri di congruenza
1 Se due triangoli hanno due lati e lrsquoangolo compreso ordinatamente
congruente
2 Se due triangoli hanno ordinatamente congruenti un lato e due angoli
sono congruenti
3 Se due triangoli hanno i lati ordinatamente congruenti allora sono
congruenti
SEGMENTI CARATTERISTICI DI UN TRIANGOLO
Asse di un lato
Egrave la retta passante per il punto medio del lato egrave perpendicolare al lato
Ogni triangolo ha 3 assi avendo 3 lati
C
A B
Mediana relativa a un lato
Egrave il segmento che ha come estremi il punto medio del lato e il vertice
opposto
Ogni triangolo ha 3 medianoavendo 3 lati
C
A B
Bisettrice di un angolo
Egrave la semiretta uscente dal vertice dellrsquoangolo che lrsquoangolo in due parti
congruenti
Ogni triangolo ha 3 bisettrici avendo 3 vertici
C
A B
Altezza relativa a un lato
Segmento perpendicolare al lato condotto dal vertice opposto
Ogni triangolo ha 3 altezze unrsquoaltezza puograve anche essere esterna al
triangolo
C
A B
Lrsquoaltezza puograve anche essere esterna al triangolo
C
A B
PUNTI NOTEVOLI DI UN TRIANGOLO
Circocentro(C)
Egrave lrsquointersezione dei tre assi Esso egrave equidistante dai vertici del triangolo
Circocentro
Puograve essere anche esterno al triangolo
Circocentro
Ortocentro(O)
Egrave il punto di intersezione delle altezza
Ortocentro
Anche esso puograve essere esterno
Ortocentro
Incentro(I)
Egrave il punto di intersezione della bisettrice Esso egrave sempre intern o al
triangolo ed egrave equidistante dai lati
Incentro
Baricentro(G)
Egrave il punto di intersezione delle tre mediane Esso egrave sempre interno al
triangolo e divide ogni mediana in due parti di cui quella avente un
estremo nel vertice egrave doppia dellrsquoaltra
Baricentro (mediana doppia)
SIMILITUDINE
Due triangoli sono simili se hanno gli angoli ordinatamente congruenti e i lati
corrispondenti in proporzione
La similitudine si indica con il simbolo asymp
C
C
A B A B
AB ArsquoBrsquo = BC BrsquoC rsquo= CA CrsquoArsquo
T1asympT2 se AequivA1 B equiv B1 C equivC1 e se AB AprimeBprime =AC AprimeCprime = BC BprimeCprime
La proporzione possiamo anche scriverla cosi
119860119861
119860prime119861prime =
119860119862
119860prime119862prime=
119861119862
119861prime119862prime= K (rapporto di similitudine)
Significato di k
Se kgt1 significa che T2 egrave rimpicciolito rispetto a T1 oppure T1 egrave ringrandito
rispetto a T2
Se klt1 allora T2 egrave ingrandito rispetto a T1
Se k = 1 T1 e T2 sono congruenti
CRITERI DI SIMILITUDINE
Per verificare se due triangoli sono simili dobbiamo verificare la definizione
cioegrave i 2 triangoli devono avere gli angoli ordinatamente congruenti e le 3
copie di lati omologhe in proporzione
Esistono perograve tre criteri che ci consentono di semplificare questa verifica
Primo criterio Se due triangoli hanno 2 angoli ordinatamente allora
sono simili
Secondo criterio Se due triangoli hanno 2 lati ordinatamente in
proporzione e lrsquoangolo compresso congruente allora sono simili
Terzo criterioSe due triangoli hanno i lati ordinatamente in proporzione
allora asse sono simili
PROPRIETAgrave DEI TRIANGOLI SIMILI
Teorema 1
Se 2 triangoli sono simili 2 lati omologhi stano tra loro come le rispettive
altezze
C
Crsquo
A B Arsquo Brsquo
AB AprimeBprime =CH CprimeHprime
Teorema 2
Se 2 triangoli sono simili 2 lati omologhi stano tra loro come i rispettivi
perimetri
C
Crsquo
A B Arsquo Brsquo
AB AprimeBprime = PPrsquo
Teorema 3
Se 2 triangoli sono simili i quadrati di 2 lati omologhi stano tra loro come le
rispettive aree
C
Crsquo
A B Arsquo Brsquo
AB AprimeBprime = AArsquo
TEOREMI DI EUCLIDE
Data una proporzione in cui i due termini medi sono uguali ac=cd c si
chiama ldquomedio proporzionalerdquo tra a e d
Primo teorema di Euclide
In un triangolo rettangolo un cateto egrave medio proporzionale fra lrsquoipotenusa e
la proiezione del cateto sullrsquoipotenusa
C
A H B
AH = Proiezione di AC sullrsquoipotenusa AB
HB = Proiezione di BC su AB
AB AC = AC AH
Secondo teorema di Euclide
In un triangolo rettangolo lrsquoaltezza relativa allrsquoipotenusa egrave ldquomedio
proporzionalerdquo tra le proiezioni dei cateti sullrsquoipotenusa stesa
C
A H B
AHCH = CH HB
ESEMPIO
In un triangolo rettangolo ABC (angolo retto in C) le proiezioni dei cateti
sullrsquoipotenusa misurano 2cm e 8 cm Calcolare perimetro e area
C
A H B
Dati
AH =2 cm
HB =8 cm
2 X = X 8
X2 = 2 8
X2 = 16
X = 4
A = 10cm middot 4 cm
2 = 20 cm2
10cm AC = AC 2cm
AC2 = 20 cm2
AC = 44 cm
10cm BC = BC 8cm
BC2 = 80 cm2
BC = 89 cm
P =89 cm + 44 cm + 10 cm = 233cm
Operazioni tra angoli Addizione egrave la somma di due angoli consecutivi aequivb bequivc
c b
a
egrave lrsquoangolo avente vertice in O e per lati i 2 lati non in comune
ab+bc=abc
La somma di due angoli non consecutivi si puograve fare solo se e possibile
rendere i due angoli consecutivi con un movimento rigido
a a1
b b1
O a O1 a1
Se a1 egrave minore di a allora possiamo determinare a1-a Per fare la sottrazione
dobbiamo operare un movimento rigido che sovrapponga lrsquoangolo minore
allrsquoangolo maggiore facendo coincidere i due vertici e un lato in modo che il
lato dellrsquoangolo minore cada allrsquointerno dellrsquoangolo maggiore
bequivb1 a1
OequivO1
a 119874119886 - O=
Linea
lsquorsquoCONCETTO PRIMITIVO che visualizziamo nella nostra mente
immaginando di far scorrere una penna sul foglio senza mai staccare la
penna dal fogliorsquorsquo
LINEA APERTA se i suoi estremi non coincidono
A
B
AneB
LINEA CHIUSA se i suoi estremi coincidono
AequivB
LINEA INTRECCIATA se interseca se stessa in almeno un suo punto
interno
LINEA NON INTRECCIATA se non interseca se stessa in nessun un suo
punto interno
FIGURA PIANA parte di piano delimitata da una linea chiusa non
intrecciata
FIGURA CONVESSA se fissati due qualsiasi punti distinti nella figura il
segmento che li congiunge appartiene tutto alla figura
FIGURA CONCAVA se esistono almeno due punti della figura tali che il
segmento che li congiunge non appartiene tutto alla figura
Poligoni
Poligonale
Egrave una linea formata da segmenti a 2 a 2 consecutivi Una
poligonale (come qualsiasi linea) puograve essere aperta chiusa
intrecciata non intrecciata
Non intrecciata
Intrecciata
Elementi caratteristici di un poligono
Vertici
Angoli (interni ed esterni)
Lati (numero dei lati)
Diagonali (nge4)
Poligono convesso
Se dato ogni lato la retta a qui appartiene il lato non contiene punti interni al
poligono il poligono si dice convesso
Poligono concavo
Un poligono si dice concavo se esiste una retta contenente un lato che
contiene punti interni del poligono
TRIANGOLI n=3
I triangoli si classifica in base ai lati e in base ai agli angoli
Classificazione rispetto ai lati
Equilatero (se ha 3 lati uguali9
Isoscele (se ha 2 lati congruenti)
Scaleno (se ha3 lati disuguali)
Classificazione rispetto agli angoli
Acutangolo (se ha 3 angoli acuti9
Ottusangolo (se ha un angolo ottuso)
Rettangolo (se ha un angolo retto)
Proprietagrave dei triangoli
La somma dei angoli interni di un triangolo egrave congruente a un angolo
piatto(cioegrave misura 180deg)
In un triangolo un lato egrave minore della somma dei altri due e maggiore
delle loro differenze
C
A B
Es AC ltAB +BC
AC gtAB -BC
In un triangolo se due angoli sono disuguali allrsquoangolo maggiori si
oppone il lato maggiore
C
A B
TEOREMA DI PITAGORA
In un triangolo rettangolo la somma dei quadrati costruiti sui cateti egrave
equivalente al quadrato costruito sul ipotenusa ( cioegrave ha la stessa area)
In simboli
C2+c2=i2
Dea questa formula si ricavano le altre formule che consentono di
determinare la misura di un lato conoscendo gli altri due Ossia in un
triangolo rettangolo il teorema di Pitagora mi consente di ricavare la misura
di un lato a partire dai altri due
i =radic1198622 + 1198882 conosco i cateti e ricavo lrsquoipotenusa
c =radic1198942 minus 1198622conosco lrsquoipotenusa e il cateto maggiore e ricavo il cateto minore
C =radic1198942 minus 1198882conosco lrsquoipotenusa e il cateto minore e ricavo il cateto maggiore
TRIANGOLI CONGRUENTI
Due triangoli si dicono congruenti se sovrapponendosi mediante un
movimento rigido coincidono perfettamente
Criteri di congruenza
1 Se due triangoli hanno due lati e lrsquoangolo compreso ordinatamente
congruente
2 Se due triangoli hanno ordinatamente congruenti un lato e due angoli
sono congruenti
3 Se due triangoli hanno i lati ordinatamente congruenti allora sono
congruenti
SEGMENTI CARATTERISTICI DI UN TRIANGOLO
Asse di un lato
Egrave la retta passante per il punto medio del lato egrave perpendicolare al lato
Ogni triangolo ha 3 assi avendo 3 lati
C
A B
Mediana relativa a un lato
Egrave il segmento che ha come estremi il punto medio del lato e il vertice
opposto
Ogni triangolo ha 3 medianoavendo 3 lati
C
A B
Bisettrice di un angolo
Egrave la semiretta uscente dal vertice dellrsquoangolo che lrsquoangolo in due parti
congruenti
Ogni triangolo ha 3 bisettrici avendo 3 vertici
C
A B
Altezza relativa a un lato
Segmento perpendicolare al lato condotto dal vertice opposto
Ogni triangolo ha 3 altezze unrsquoaltezza puograve anche essere esterna al
triangolo
C
A B
Lrsquoaltezza puograve anche essere esterna al triangolo
C
A B
PUNTI NOTEVOLI DI UN TRIANGOLO
Circocentro(C)
Egrave lrsquointersezione dei tre assi Esso egrave equidistante dai vertici del triangolo
Circocentro
Puograve essere anche esterno al triangolo
Circocentro
Ortocentro(O)
Egrave il punto di intersezione delle altezza
Ortocentro
Anche esso puograve essere esterno
Ortocentro
Incentro(I)
Egrave il punto di intersezione della bisettrice Esso egrave sempre intern o al
triangolo ed egrave equidistante dai lati
Incentro
Baricentro(G)
Egrave il punto di intersezione delle tre mediane Esso egrave sempre interno al
triangolo e divide ogni mediana in due parti di cui quella avente un
estremo nel vertice egrave doppia dellrsquoaltra
Baricentro (mediana doppia)
SIMILITUDINE
Due triangoli sono simili se hanno gli angoli ordinatamente congruenti e i lati
corrispondenti in proporzione
La similitudine si indica con il simbolo asymp
C
C
A B A B
AB ArsquoBrsquo = BC BrsquoC rsquo= CA CrsquoArsquo
T1asympT2 se AequivA1 B equiv B1 C equivC1 e se AB AprimeBprime =AC AprimeCprime = BC BprimeCprime
La proporzione possiamo anche scriverla cosi
119860119861
119860prime119861prime =
119860119862
119860prime119862prime=
119861119862
119861prime119862prime= K (rapporto di similitudine)
Significato di k
Se kgt1 significa che T2 egrave rimpicciolito rispetto a T1 oppure T1 egrave ringrandito
rispetto a T2
Se klt1 allora T2 egrave ingrandito rispetto a T1
Se k = 1 T1 e T2 sono congruenti
CRITERI DI SIMILITUDINE
Per verificare se due triangoli sono simili dobbiamo verificare la definizione
cioegrave i 2 triangoli devono avere gli angoli ordinatamente congruenti e le 3
copie di lati omologhe in proporzione
Esistono perograve tre criteri che ci consentono di semplificare questa verifica
Primo criterio Se due triangoli hanno 2 angoli ordinatamente allora
sono simili
Secondo criterio Se due triangoli hanno 2 lati ordinatamente in
proporzione e lrsquoangolo compresso congruente allora sono simili
Terzo criterioSe due triangoli hanno i lati ordinatamente in proporzione
allora asse sono simili
PROPRIETAgrave DEI TRIANGOLI SIMILI
Teorema 1
Se 2 triangoli sono simili 2 lati omologhi stano tra loro come le rispettive
altezze
C
Crsquo
A B Arsquo Brsquo
AB AprimeBprime =CH CprimeHprime
Teorema 2
Se 2 triangoli sono simili 2 lati omologhi stano tra loro come i rispettivi
perimetri
C
Crsquo
A B Arsquo Brsquo
AB AprimeBprime = PPrsquo
Teorema 3
Se 2 triangoli sono simili i quadrati di 2 lati omologhi stano tra loro come le
rispettive aree
C
Crsquo
A B Arsquo Brsquo
AB AprimeBprime = AArsquo
TEOREMI DI EUCLIDE
Data una proporzione in cui i due termini medi sono uguali ac=cd c si
chiama ldquomedio proporzionalerdquo tra a e d
Primo teorema di Euclide
In un triangolo rettangolo un cateto egrave medio proporzionale fra lrsquoipotenusa e
la proiezione del cateto sullrsquoipotenusa
C
A H B
AH = Proiezione di AC sullrsquoipotenusa AB
HB = Proiezione di BC su AB
AB AC = AC AH
Secondo teorema di Euclide
In un triangolo rettangolo lrsquoaltezza relativa allrsquoipotenusa egrave ldquomedio
proporzionalerdquo tra le proiezioni dei cateti sullrsquoipotenusa stesa
C
A H B
AHCH = CH HB
ESEMPIO
In un triangolo rettangolo ABC (angolo retto in C) le proiezioni dei cateti
sullrsquoipotenusa misurano 2cm e 8 cm Calcolare perimetro e area
C
A H B
Dati
AH =2 cm
HB =8 cm
2 X = X 8
X2 = 2 8
X2 = 16
X = 4
A = 10cm middot 4 cm
2 = 20 cm2
10cm AC = AC 2cm
AC2 = 20 cm2
AC = 44 cm
10cm BC = BC 8cm
BC2 = 80 cm2
BC = 89 cm
P =89 cm + 44 cm + 10 cm = 233cm
Linea
lsquorsquoCONCETTO PRIMITIVO che visualizziamo nella nostra mente
immaginando di far scorrere una penna sul foglio senza mai staccare la
penna dal fogliorsquorsquo
LINEA APERTA se i suoi estremi non coincidono
A
B
AneB
LINEA CHIUSA se i suoi estremi coincidono
AequivB
LINEA INTRECCIATA se interseca se stessa in almeno un suo punto
interno
LINEA NON INTRECCIATA se non interseca se stessa in nessun un suo
punto interno
FIGURA PIANA parte di piano delimitata da una linea chiusa non
intrecciata
FIGURA CONVESSA se fissati due qualsiasi punti distinti nella figura il
segmento che li congiunge appartiene tutto alla figura
FIGURA CONCAVA se esistono almeno due punti della figura tali che il
segmento che li congiunge non appartiene tutto alla figura
Poligoni
Poligonale
Egrave una linea formata da segmenti a 2 a 2 consecutivi Una
poligonale (come qualsiasi linea) puograve essere aperta chiusa
intrecciata non intrecciata
Non intrecciata
Intrecciata
Elementi caratteristici di un poligono
Vertici
Angoli (interni ed esterni)
Lati (numero dei lati)
Diagonali (nge4)
Poligono convesso
Se dato ogni lato la retta a qui appartiene il lato non contiene punti interni al
poligono il poligono si dice convesso
Poligono concavo
Un poligono si dice concavo se esiste una retta contenente un lato che
contiene punti interni del poligono
TRIANGOLI n=3
I triangoli si classifica in base ai lati e in base ai agli angoli
Classificazione rispetto ai lati
Equilatero (se ha 3 lati uguali9
Isoscele (se ha 2 lati congruenti)
Scaleno (se ha3 lati disuguali)
Classificazione rispetto agli angoli
Acutangolo (se ha 3 angoli acuti9
Ottusangolo (se ha un angolo ottuso)
Rettangolo (se ha un angolo retto)
Proprietagrave dei triangoli
La somma dei angoli interni di un triangolo egrave congruente a un angolo
piatto(cioegrave misura 180deg)
In un triangolo un lato egrave minore della somma dei altri due e maggiore
delle loro differenze
C
A B
Es AC ltAB +BC
AC gtAB -BC
In un triangolo se due angoli sono disuguali allrsquoangolo maggiori si
oppone il lato maggiore
C
A B
TEOREMA DI PITAGORA
In un triangolo rettangolo la somma dei quadrati costruiti sui cateti egrave
equivalente al quadrato costruito sul ipotenusa ( cioegrave ha la stessa area)
In simboli
C2+c2=i2
Dea questa formula si ricavano le altre formule che consentono di
determinare la misura di un lato conoscendo gli altri due Ossia in un
triangolo rettangolo il teorema di Pitagora mi consente di ricavare la misura
di un lato a partire dai altri due
i =radic1198622 + 1198882 conosco i cateti e ricavo lrsquoipotenusa
c =radic1198942 minus 1198622conosco lrsquoipotenusa e il cateto maggiore e ricavo il cateto minore
C =radic1198942 minus 1198882conosco lrsquoipotenusa e il cateto minore e ricavo il cateto maggiore
TRIANGOLI CONGRUENTI
Due triangoli si dicono congruenti se sovrapponendosi mediante un
movimento rigido coincidono perfettamente
Criteri di congruenza
1 Se due triangoli hanno due lati e lrsquoangolo compreso ordinatamente
congruente
2 Se due triangoli hanno ordinatamente congruenti un lato e due angoli
sono congruenti
3 Se due triangoli hanno i lati ordinatamente congruenti allora sono
congruenti
SEGMENTI CARATTERISTICI DI UN TRIANGOLO
Asse di un lato
Egrave la retta passante per il punto medio del lato egrave perpendicolare al lato
Ogni triangolo ha 3 assi avendo 3 lati
C
A B
Mediana relativa a un lato
Egrave il segmento che ha come estremi il punto medio del lato e il vertice
opposto
Ogni triangolo ha 3 medianoavendo 3 lati
C
A B
Bisettrice di un angolo
Egrave la semiretta uscente dal vertice dellrsquoangolo che lrsquoangolo in due parti
congruenti
Ogni triangolo ha 3 bisettrici avendo 3 vertici
C
A B
Altezza relativa a un lato
Segmento perpendicolare al lato condotto dal vertice opposto
Ogni triangolo ha 3 altezze unrsquoaltezza puograve anche essere esterna al
triangolo
C
A B
Lrsquoaltezza puograve anche essere esterna al triangolo
C
A B
PUNTI NOTEVOLI DI UN TRIANGOLO
Circocentro(C)
Egrave lrsquointersezione dei tre assi Esso egrave equidistante dai vertici del triangolo
Circocentro
Puograve essere anche esterno al triangolo
Circocentro
Ortocentro(O)
Egrave il punto di intersezione delle altezza
Ortocentro
Anche esso puograve essere esterno
Ortocentro
Incentro(I)
Egrave il punto di intersezione della bisettrice Esso egrave sempre intern o al
triangolo ed egrave equidistante dai lati
Incentro
Baricentro(G)
Egrave il punto di intersezione delle tre mediane Esso egrave sempre interno al
triangolo e divide ogni mediana in due parti di cui quella avente un
estremo nel vertice egrave doppia dellrsquoaltra
Baricentro (mediana doppia)
SIMILITUDINE
Due triangoli sono simili se hanno gli angoli ordinatamente congruenti e i lati
corrispondenti in proporzione
La similitudine si indica con il simbolo asymp
C
C
A B A B
AB ArsquoBrsquo = BC BrsquoC rsquo= CA CrsquoArsquo
T1asympT2 se AequivA1 B equiv B1 C equivC1 e se AB AprimeBprime =AC AprimeCprime = BC BprimeCprime
La proporzione possiamo anche scriverla cosi
119860119861
119860prime119861prime =
119860119862
119860prime119862prime=
119861119862
119861prime119862prime= K (rapporto di similitudine)
Significato di k
Se kgt1 significa che T2 egrave rimpicciolito rispetto a T1 oppure T1 egrave ringrandito
rispetto a T2
Se klt1 allora T2 egrave ingrandito rispetto a T1
Se k = 1 T1 e T2 sono congruenti
CRITERI DI SIMILITUDINE
Per verificare se due triangoli sono simili dobbiamo verificare la definizione
cioegrave i 2 triangoli devono avere gli angoli ordinatamente congruenti e le 3
copie di lati omologhe in proporzione
Esistono perograve tre criteri che ci consentono di semplificare questa verifica
Primo criterio Se due triangoli hanno 2 angoli ordinatamente allora
sono simili
Secondo criterio Se due triangoli hanno 2 lati ordinatamente in
proporzione e lrsquoangolo compresso congruente allora sono simili
Terzo criterioSe due triangoli hanno i lati ordinatamente in proporzione
allora asse sono simili
PROPRIETAgrave DEI TRIANGOLI SIMILI
Teorema 1
Se 2 triangoli sono simili 2 lati omologhi stano tra loro come le rispettive
altezze
C
Crsquo
A B Arsquo Brsquo
AB AprimeBprime =CH CprimeHprime
Teorema 2
Se 2 triangoli sono simili 2 lati omologhi stano tra loro come i rispettivi
perimetri
C
Crsquo
A B Arsquo Brsquo
AB AprimeBprime = PPrsquo
Teorema 3
Se 2 triangoli sono simili i quadrati di 2 lati omologhi stano tra loro come le
rispettive aree
C
Crsquo
A B Arsquo Brsquo
AB AprimeBprime = AArsquo
TEOREMI DI EUCLIDE
Data una proporzione in cui i due termini medi sono uguali ac=cd c si
chiama ldquomedio proporzionalerdquo tra a e d
Primo teorema di Euclide
In un triangolo rettangolo un cateto egrave medio proporzionale fra lrsquoipotenusa e
la proiezione del cateto sullrsquoipotenusa
C
A H B
AH = Proiezione di AC sullrsquoipotenusa AB
HB = Proiezione di BC su AB
AB AC = AC AH
Secondo teorema di Euclide
In un triangolo rettangolo lrsquoaltezza relativa allrsquoipotenusa egrave ldquomedio
proporzionalerdquo tra le proiezioni dei cateti sullrsquoipotenusa stesa
C
A H B
AHCH = CH HB
ESEMPIO
In un triangolo rettangolo ABC (angolo retto in C) le proiezioni dei cateti
sullrsquoipotenusa misurano 2cm e 8 cm Calcolare perimetro e area
C
A H B
Dati
AH =2 cm
HB =8 cm
2 X = X 8
X2 = 2 8
X2 = 16
X = 4
A = 10cm middot 4 cm
2 = 20 cm2
10cm AC = AC 2cm
AC2 = 20 cm2
AC = 44 cm
10cm BC = BC 8cm
BC2 = 80 cm2
BC = 89 cm
P =89 cm + 44 cm + 10 cm = 233cm
LINEA NON INTRECCIATA se non interseca se stessa in nessun un suo
punto interno
FIGURA PIANA parte di piano delimitata da una linea chiusa non
intrecciata
FIGURA CONVESSA se fissati due qualsiasi punti distinti nella figura il
segmento che li congiunge appartiene tutto alla figura
FIGURA CONCAVA se esistono almeno due punti della figura tali che il
segmento che li congiunge non appartiene tutto alla figura
Poligoni
Poligonale
Egrave una linea formata da segmenti a 2 a 2 consecutivi Una
poligonale (come qualsiasi linea) puograve essere aperta chiusa
intrecciata non intrecciata
Non intrecciata
Intrecciata
Elementi caratteristici di un poligono
Vertici
Angoli (interni ed esterni)
Lati (numero dei lati)
Diagonali (nge4)
Poligono convesso
Se dato ogni lato la retta a qui appartiene il lato non contiene punti interni al
poligono il poligono si dice convesso
Poligono concavo
Un poligono si dice concavo se esiste una retta contenente un lato che
contiene punti interni del poligono
TRIANGOLI n=3
I triangoli si classifica in base ai lati e in base ai agli angoli
Classificazione rispetto ai lati
Equilatero (se ha 3 lati uguali9
Isoscele (se ha 2 lati congruenti)
Scaleno (se ha3 lati disuguali)
Classificazione rispetto agli angoli
Acutangolo (se ha 3 angoli acuti9
Ottusangolo (se ha un angolo ottuso)
Rettangolo (se ha un angolo retto)
Proprietagrave dei triangoli
La somma dei angoli interni di un triangolo egrave congruente a un angolo
piatto(cioegrave misura 180deg)
In un triangolo un lato egrave minore della somma dei altri due e maggiore
delle loro differenze
C
A B
Es AC ltAB +BC
AC gtAB -BC
In un triangolo se due angoli sono disuguali allrsquoangolo maggiori si
oppone il lato maggiore
C
A B
TEOREMA DI PITAGORA
In un triangolo rettangolo la somma dei quadrati costruiti sui cateti egrave
equivalente al quadrato costruito sul ipotenusa ( cioegrave ha la stessa area)
In simboli
C2+c2=i2
Dea questa formula si ricavano le altre formule che consentono di
determinare la misura di un lato conoscendo gli altri due Ossia in un
triangolo rettangolo il teorema di Pitagora mi consente di ricavare la misura
di un lato a partire dai altri due
i =radic1198622 + 1198882 conosco i cateti e ricavo lrsquoipotenusa
c =radic1198942 minus 1198622conosco lrsquoipotenusa e il cateto maggiore e ricavo il cateto minore
C =radic1198942 minus 1198882conosco lrsquoipotenusa e il cateto minore e ricavo il cateto maggiore
TRIANGOLI CONGRUENTI
Due triangoli si dicono congruenti se sovrapponendosi mediante un
movimento rigido coincidono perfettamente
Criteri di congruenza
1 Se due triangoli hanno due lati e lrsquoangolo compreso ordinatamente
congruente
2 Se due triangoli hanno ordinatamente congruenti un lato e due angoli
sono congruenti
3 Se due triangoli hanno i lati ordinatamente congruenti allora sono
congruenti
SEGMENTI CARATTERISTICI DI UN TRIANGOLO
Asse di un lato
Egrave la retta passante per il punto medio del lato egrave perpendicolare al lato
Ogni triangolo ha 3 assi avendo 3 lati
C
A B
Mediana relativa a un lato
Egrave il segmento che ha come estremi il punto medio del lato e il vertice
opposto
Ogni triangolo ha 3 medianoavendo 3 lati
C
A B
Bisettrice di un angolo
Egrave la semiretta uscente dal vertice dellrsquoangolo che lrsquoangolo in due parti
congruenti
Ogni triangolo ha 3 bisettrici avendo 3 vertici
C
A B
Altezza relativa a un lato
Segmento perpendicolare al lato condotto dal vertice opposto
Ogni triangolo ha 3 altezze unrsquoaltezza puograve anche essere esterna al
triangolo
C
A B
Lrsquoaltezza puograve anche essere esterna al triangolo
C
A B
PUNTI NOTEVOLI DI UN TRIANGOLO
Circocentro(C)
Egrave lrsquointersezione dei tre assi Esso egrave equidistante dai vertici del triangolo
Circocentro
Puograve essere anche esterno al triangolo
Circocentro
Ortocentro(O)
Egrave il punto di intersezione delle altezza
Ortocentro
Anche esso puograve essere esterno
Ortocentro
Incentro(I)
Egrave il punto di intersezione della bisettrice Esso egrave sempre intern o al
triangolo ed egrave equidistante dai lati
Incentro
Baricentro(G)
Egrave il punto di intersezione delle tre mediane Esso egrave sempre interno al
triangolo e divide ogni mediana in due parti di cui quella avente un
estremo nel vertice egrave doppia dellrsquoaltra
Baricentro (mediana doppia)
SIMILITUDINE
Due triangoli sono simili se hanno gli angoli ordinatamente congruenti e i lati
corrispondenti in proporzione
La similitudine si indica con il simbolo asymp
C
C
A B A B
AB ArsquoBrsquo = BC BrsquoC rsquo= CA CrsquoArsquo
T1asympT2 se AequivA1 B equiv B1 C equivC1 e se AB AprimeBprime =AC AprimeCprime = BC BprimeCprime
La proporzione possiamo anche scriverla cosi
119860119861
119860prime119861prime =
119860119862
119860prime119862prime=
119861119862
119861prime119862prime= K (rapporto di similitudine)
Significato di k
Se kgt1 significa che T2 egrave rimpicciolito rispetto a T1 oppure T1 egrave ringrandito
rispetto a T2
Se klt1 allora T2 egrave ingrandito rispetto a T1
Se k = 1 T1 e T2 sono congruenti
CRITERI DI SIMILITUDINE
Per verificare se due triangoli sono simili dobbiamo verificare la definizione
cioegrave i 2 triangoli devono avere gli angoli ordinatamente congruenti e le 3
copie di lati omologhe in proporzione
Esistono perograve tre criteri che ci consentono di semplificare questa verifica
Primo criterio Se due triangoli hanno 2 angoli ordinatamente allora
sono simili
Secondo criterio Se due triangoli hanno 2 lati ordinatamente in
proporzione e lrsquoangolo compresso congruente allora sono simili
Terzo criterioSe due triangoli hanno i lati ordinatamente in proporzione
allora asse sono simili
PROPRIETAgrave DEI TRIANGOLI SIMILI
Teorema 1
Se 2 triangoli sono simili 2 lati omologhi stano tra loro come le rispettive
altezze
C
Crsquo
A B Arsquo Brsquo
AB AprimeBprime =CH CprimeHprime
Teorema 2
Se 2 triangoli sono simili 2 lati omologhi stano tra loro come i rispettivi
perimetri
C
Crsquo
A B Arsquo Brsquo
AB AprimeBprime = PPrsquo
Teorema 3
Se 2 triangoli sono simili i quadrati di 2 lati omologhi stano tra loro come le
rispettive aree
C
Crsquo
A B Arsquo Brsquo
AB AprimeBprime = AArsquo
TEOREMI DI EUCLIDE
Data una proporzione in cui i due termini medi sono uguali ac=cd c si
chiama ldquomedio proporzionalerdquo tra a e d
Primo teorema di Euclide
In un triangolo rettangolo un cateto egrave medio proporzionale fra lrsquoipotenusa e
la proiezione del cateto sullrsquoipotenusa
C
A H B
AH = Proiezione di AC sullrsquoipotenusa AB
HB = Proiezione di BC su AB
AB AC = AC AH
Secondo teorema di Euclide
In un triangolo rettangolo lrsquoaltezza relativa allrsquoipotenusa egrave ldquomedio
proporzionalerdquo tra le proiezioni dei cateti sullrsquoipotenusa stesa
C
A H B
AHCH = CH HB
ESEMPIO
In un triangolo rettangolo ABC (angolo retto in C) le proiezioni dei cateti
sullrsquoipotenusa misurano 2cm e 8 cm Calcolare perimetro e area
C
A H B
Dati
AH =2 cm
HB =8 cm
2 X = X 8
X2 = 2 8
X2 = 16
X = 4
A = 10cm middot 4 cm
2 = 20 cm2
10cm AC = AC 2cm
AC2 = 20 cm2
AC = 44 cm
10cm BC = BC 8cm
BC2 = 80 cm2
BC = 89 cm
P =89 cm + 44 cm + 10 cm = 233cm
Poligoni
Poligonale
Egrave una linea formata da segmenti a 2 a 2 consecutivi Una
poligonale (come qualsiasi linea) puograve essere aperta chiusa
intrecciata non intrecciata
Non intrecciata
Intrecciata
Elementi caratteristici di un poligono
Vertici
Angoli (interni ed esterni)
Lati (numero dei lati)
Diagonali (nge4)
Poligono convesso
Se dato ogni lato la retta a qui appartiene il lato non contiene punti interni al
poligono il poligono si dice convesso
Poligono concavo
Un poligono si dice concavo se esiste una retta contenente un lato che
contiene punti interni del poligono
TRIANGOLI n=3
I triangoli si classifica in base ai lati e in base ai agli angoli
Classificazione rispetto ai lati
Equilatero (se ha 3 lati uguali9
Isoscele (se ha 2 lati congruenti)
Scaleno (se ha3 lati disuguali)
Classificazione rispetto agli angoli
Acutangolo (se ha 3 angoli acuti9
Ottusangolo (se ha un angolo ottuso)
Rettangolo (se ha un angolo retto)
Proprietagrave dei triangoli
La somma dei angoli interni di un triangolo egrave congruente a un angolo
piatto(cioegrave misura 180deg)
In un triangolo un lato egrave minore della somma dei altri due e maggiore
delle loro differenze
C
A B
Es AC ltAB +BC
AC gtAB -BC
In un triangolo se due angoli sono disuguali allrsquoangolo maggiori si
oppone il lato maggiore
C
A B
TEOREMA DI PITAGORA
In un triangolo rettangolo la somma dei quadrati costruiti sui cateti egrave
equivalente al quadrato costruito sul ipotenusa ( cioegrave ha la stessa area)
In simboli
C2+c2=i2
Dea questa formula si ricavano le altre formule che consentono di
determinare la misura di un lato conoscendo gli altri due Ossia in un
triangolo rettangolo il teorema di Pitagora mi consente di ricavare la misura
di un lato a partire dai altri due
i =radic1198622 + 1198882 conosco i cateti e ricavo lrsquoipotenusa
c =radic1198942 minus 1198622conosco lrsquoipotenusa e il cateto maggiore e ricavo il cateto minore
C =radic1198942 minus 1198882conosco lrsquoipotenusa e il cateto minore e ricavo il cateto maggiore
TRIANGOLI CONGRUENTI
Due triangoli si dicono congruenti se sovrapponendosi mediante un
movimento rigido coincidono perfettamente
Criteri di congruenza
1 Se due triangoli hanno due lati e lrsquoangolo compreso ordinatamente
congruente
2 Se due triangoli hanno ordinatamente congruenti un lato e due angoli
sono congruenti
3 Se due triangoli hanno i lati ordinatamente congruenti allora sono
congruenti
SEGMENTI CARATTERISTICI DI UN TRIANGOLO
Asse di un lato
Egrave la retta passante per il punto medio del lato egrave perpendicolare al lato
Ogni triangolo ha 3 assi avendo 3 lati
C
A B
Mediana relativa a un lato
Egrave il segmento che ha come estremi il punto medio del lato e il vertice
opposto
Ogni triangolo ha 3 medianoavendo 3 lati
C
A B
Bisettrice di un angolo
Egrave la semiretta uscente dal vertice dellrsquoangolo che lrsquoangolo in due parti
congruenti
Ogni triangolo ha 3 bisettrici avendo 3 vertici
C
A B
Altezza relativa a un lato
Segmento perpendicolare al lato condotto dal vertice opposto
Ogni triangolo ha 3 altezze unrsquoaltezza puograve anche essere esterna al
triangolo
C
A B
Lrsquoaltezza puograve anche essere esterna al triangolo
C
A B
PUNTI NOTEVOLI DI UN TRIANGOLO
Circocentro(C)
Egrave lrsquointersezione dei tre assi Esso egrave equidistante dai vertici del triangolo
Circocentro
Puograve essere anche esterno al triangolo
Circocentro
Ortocentro(O)
Egrave il punto di intersezione delle altezza
Ortocentro
Anche esso puograve essere esterno
Ortocentro
Incentro(I)
Egrave il punto di intersezione della bisettrice Esso egrave sempre intern o al
triangolo ed egrave equidistante dai lati
Incentro
Baricentro(G)
Egrave il punto di intersezione delle tre mediane Esso egrave sempre interno al
triangolo e divide ogni mediana in due parti di cui quella avente un
estremo nel vertice egrave doppia dellrsquoaltra
Baricentro (mediana doppia)
SIMILITUDINE
Due triangoli sono simili se hanno gli angoli ordinatamente congruenti e i lati
corrispondenti in proporzione
La similitudine si indica con il simbolo asymp
C
C
A B A B
AB ArsquoBrsquo = BC BrsquoC rsquo= CA CrsquoArsquo
T1asympT2 se AequivA1 B equiv B1 C equivC1 e se AB AprimeBprime =AC AprimeCprime = BC BprimeCprime
La proporzione possiamo anche scriverla cosi
119860119861
119860prime119861prime =
119860119862
119860prime119862prime=
119861119862
119861prime119862prime= K (rapporto di similitudine)
Significato di k
Se kgt1 significa che T2 egrave rimpicciolito rispetto a T1 oppure T1 egrave ringrandito
rispetto a T2
Se klt1 allora T2 egrave ingrandito rispetto a T1
Se k = 1 T1 e T2 sono congruenti
CRITERI DI SIMILITUDINE
Per verificare se due triangoli sono simili dobbiamo verificare la definizione
cioegrave i 2 triangoli devono avere gli angoli ordinatamente congruenti e le 3
copie di lati omologhe in proporzione
Esistono perograve tre criteri che ci consentono di semplificare questa verifica
Primo criterio Se due triangoli hanno 2 angoli ordinatamente allora
sono simili
Secondo criterio Se due triangoli hanno 2 lati ordinatamente in
proporzione e lrsquoangolo compresso congruente allora sono simili
Terzo criterioSe due triangoli hanno i lati ordinatamente in proporzione
allora asse sono simili
PROPRIETAgrave DEI TRIANGOLI SIMILI
Teorema 1
Se 2 triangoli sono simili 2 lati omologhi stano tra loro come le rispettive
altezze
C
Crsquo
A B Arsquo Brsquo
AB AprimeBprime =CH CprimeHprime
Teorema 2
Se 2 triangoli sono simili 2 lati omologhi stano tra loro come i rispettivi
perimetri
C
Crsquo
A B Arsquo Brsquo
AB AprimeBprime = PPrsquo
Teorema 3
Se 2 triangoli sono simili i quadrati di 2 lati omologhi stano tra loro come le
rispettive aree
C
Crsquo
A B Arsquo Brsquo
AB AprimeBprime = AArsquo
TEOREMI DI EUCLIDE
Data una proporzione in cui i due termini medi sono uguali ac=cd c si
chiama ldquomedio proporzionalerdquo tra a e d
Primo teorema di Euclide
In un triangolo rettangolo un cateto egrave medio proporzionale fra lrsquoipotenusa e
la proiezione del cateto sullrsquoipotenusa
C
A H B
AH = Proiezione di AC sullrsquoipotenusa AB
HB = Proiezione di BC su AB
AB AC = AC AH
Secondo teorema di Euclide
In un triangolo rettangolo lrsquoaltezza relativa allrsquoipotenusa egrave ldquomedio
proporzionalerdquo tra le proiezioni dei cateti sullrsquoipotenusa stesa
C
A H B
AHCH = CH HB
ESEMPIO
In un triangolo rettangolo ABC (angolo retto in C) le proiezioni dei cateti
sullrsquoipotenusa misurano 2cm e 8 cm Calcolare perimetro e area
C
A H B
Dati
AH =2 cm
HB =8 cm
2 X = X 8
X2 = 2 8
X2 = 16
X = 4
A = 10cm middot 4 cm
2 = 20 cm2
10cm AC = AC 2cm
AC2 = 20 cm2
AC = 44 cm
10cm BC = BC 8cm
BC2 = 80 cm2
BC = 89 cm
P =89 cm + 44 cm + 10 cm = 233cm
Poligono concavo
Un poligono si dice concavo se esiste una retta contenente un lato che
contiene punti interni del poligono
TRIANGOLI n=3
I triangoli si classifica in base ai lati e in base ai agli angoli
Classificazione rispetto ai lati
Equilatero (se ha 3 lati uguali9
Isoscele (se ha 2 lati congruenti)
Scaleno (se ha3 lati disuguali)
Classificazione rispetto agli angoli
Acutangolo (se ha 3 angoli acuti9
Ottusangolo (se ha un angolo ottuso)
Rettangolo (se ha un angolo retto)
Proprietagrave dei triangoli
La somma dei angoli interni di un triangolo egrave congruente a un angolo
piatto(cioegrave misura 180deg)
In un triangolo un lato egrave minore della somma dei altri due e maggiore
delle loro differenze
C
A B
Es AC ltAB +BC
AC gtAB -BC
In un triangolo se due angoli sono disuguali allrsquoangolo maggiori si
oppone il lato maggiore
C
A B
TEOREMA DI PITAGORA
In un triangolo rettangolo la somma dei quadrati costruiti sui cateti egrave
equivalente al quadrato costruito sul ipotenusa ( cioegrave ha la stessa area)
In simboli
C2+c2=i2
Dea questa formula si ricavano le altre formule che consentono di
determinare la misura di un lato conoscendo gli altri due Ossia in un
triangolo rettangolo il teorema di Pitagora mi consente di ricavare la misura
di un lato a partire dai altri due
i =radic1198622 + 1198882 conosco i cateti e ricavo lrsquoipotenusa
c =radic1198942 minus 1198622conosco lrsquoipotenusa e il cateto maggiore e ricavo il cateto minore
C =radic1198942 minus 1198882conosco lrsquoipotenusa e il cateto minore e ricavo il cateto maggiore
TRIANGOLI CONGRUENTI
Due triangoli si dicono congruenti se sovrapponendosi mediante un
movimento rigido coincidono perfettamente
Criteri di congruenza
1 Se due triangoli hanno due lati e lrsquoangolo compreso ordinatamente
congruente
2 Se due triangoli hanno ordinatamente congruenti un lato e due angoli
sono congruenti
3 Se due triangoli hanno i lati ordinatamente congruenti allora sono
congruenti
SEGMENTI CARATTERISTICI DI UN TRIANGOLO
Asse di un lato
Egrave la retta passante per il punto medio del lato egrave perpendicolare al lato
Ogni triangolo ha 3 assi avendo 3 lati
C
A B
Mediana relativa a un lato
Egrave il segmento che ha come estremi il punto medio del lato e il vertice
opposto
Ogni triangolo ha 3 medianoavendo 3 lati
C
A B
Bisettrice di un angolo
Egrave la semiretta uscente dal vertice dellrsquoangolo che lrsquoangolo in due parti
congruenti
Ogni triangolo ha 3 bisettrici avendo 3 vertici
C
A B
Altezza relativa a un lato
Segmento perpendicolare al lato condotto dal vertice opposto
Ogni triangolo ha 3 altezze unrsquoaltezza puograve anche essere esterna al
triangolo
C
A B
Lrsquoaltezza puograve anche essere esterna al triangolo
C
A B
PUNTI NOTEVOLI DI UN TRIANGOLO
Circocentro(C)
Egrave lrsquointersezione dei tre assi Esso egrave equidistante dai vertici del triangolo
Circocentro
Puograve essere anche esterno al triangolo
Circocentro
Ortocentro(O)
Egrave il punto di intersezione delle altezza
Ortocentro
Anche esso puograve essere esterno
Ortocentro
Incentro(I)
Egrave il punto di intersezione della bisettrice Esso egrave sempre intern o al
triangolo ed egrave equidistante dai lati
Incentro
Baricentro(G)
Egrave il punto di intersezione delle tre mediane Esso egrave sempre interno al
triangolo e divide ogni mediana in due parti di cui quella avente un
estremo nel vertice egrave doppia dellrsquoaltra
Baricentro (mediana doppia)
SIMILITUDINE
Due triangoli sono simili se hanno gli angoli ordinatamente congruenti e i lati
corrispondenti in proporzione
La similitudine si indica con il simbolo asymp
C
C
A B A B
AB ArsquoBrsquo = BC BrsquoC rsquo= CA CrsquoArsquo
T1asympT2 se AequivA1 B equiv B1 C equivC1 e se AB AprimeBprime =AC AprimeCprime = BC BprimeCprime
La proporzione possiamo anche scriverla cosi
119860119861
119860prime119861prime =
119860119862
119860prime119862prime=
119861119862
119861prime119862prime= K (rapporto di similitudine)
Significato di k
Se kgt1 significa che T2 egrave rimpicciolito rispetto a T1 oppure T1 egrave ringrandito
rispetto a T2
Se klt1 allora T2 egrave ingrandito rispetto a T1
Se k = 1 T1 e T2 sono congruenti
CRITERI DI SIMILITUDINE
Per verificare se due triangoli sono simili dobbiamo verificare la definizione
cioegrave i 2 triangoli devono avere gli angoli ordinatamente congruenti e le 3
copie di lati omologhe in proporzione
Esistono perograve tre criteri che ci consentono di semplificare questa verifica
Primo criterio Se due triangoli hanno 2 angoli ordinatamente allora
sono simili
Secondo criterio Se due triangoli hanno 2 lati ordinatamente in
proporzione e lrsquoangolo compresso congruente allora sono simili
Terzo criterioSe due triangoli hanno i lati ordinatamente in proporzione
allora asse sono simili
PROPRIETAgrave DEI TRIANGOLI SIMILI
Teorema 1
Se 2 triangoli sono simili 2 lati omologhi stano tra loro come le rispettive
altezze
C
Crsquo
A B Arsquo Brsquo
AB AprimeBprime =CH CprimeHprime
Teorema 2
Se 2 triangoli sono simili 2 lati omologhi stano tra loro come i rispettivi
perimetri
C
Crsquo
A B Arsquo Brsquo
AB AprimeBprime = PPrsquo
Teorema 3
Se 2 triangoli sono simili i quadrati di 2 lati omologhi stano tra loro come le
rispettive aree
C
Crsquo
A B Arsquo Brsquo
AB AprimeBprime = AArsquo
TEOREMI DI EUCLIDE
Data una proporzione in cui i due termini medi sono uguali ac=cd c si
chiama ldquomedio proporzionalerdquo tra a e d
Primo teorema di Euclide
In un triangolo rettangolo un cateto egrave medio proporzionale fra lrsquoipotenusa e
la proiezione del cateto sullrsquoipotenusa
C
A H B
AH = Proiezione di AC sullrsquoipotenusa AB
HB = Proiezione di BC su AB
AB AC = AC AH
Secondo teorema di Euclide
In un triangolo rettangolo lrsquoaltezza relativa allrsquoipotenusa egrave ldquomedio
proporzionalerdquo tra le proiezioni dei cateti sullrsquoipotenusa stesa
C
A H B
AHCH = CH HB
ESEMPIO
In un triangolo rettangolo ABC (angolo retto in C) le proiezioni dei cateti
sullrsquoipotenusa misurano 2cm e 8 cm Calcolare perimetro e area
C
A H B
Dati
AH =2 cm
HB =8 cm
2 X = X 8
X2 = 2 8
X2 = 16
X = 4
A = 10cm middot 4 cm
2 = 20 cm2
10cm AC = AC 2cm
AC2 = 20 cm2
AC = 44 cm
10cm BC = BC 8cm
BC2 = 80 cm2
BC = 89 cm
P =89 cm + 44 cm + 10 cm = 233cm
TRIANGOLI n=3
I triangoli si classifica in base ai lati e in base ai agli angoli
Classificazione rispetto ai lati
Equilatero (se ha 3 lati uguali9
Isoscele (se ha 2 lati congruenti)
Scaleno (se ha3 lati disuguali)
Classificazione rispetto agli angoli
Acutangolo (se ha 3 angoli acuti9
Ottusangolo (se ha un angolo ottuso)
Rettangolo (se ha un angolo retto)
Proprietagrave dei triangoli
La somma dei angoli interni di un triangolo egrave congruente a un angolo
piatto(cioegrave misura 180deg)
In un triangolo un lato egrave minore della somma dei altri due e maggiore
delle loro differenze
C
A B
Es AC ltAB +BC
AC gtAB -BC
In un triangolo se due angoli sono disuguali allrsquoangolo maggiori si
oppone il lato maggiore
C
A B
TEOREMA DI PITAGORA
In un triangolo rettangolo la somma dei quadrati costruiti sui cateti egrave
equivalente al quadrato costruito sul ipotenusa ( cioegrave ha la stessa area)
In simboli
C2+c2=i2
Dea questa formula si ricavano le altre formule che consentono di
determinare la misura di un lato conoscendo gli altri due Ossia in un
triangolo rettangolo il teorema di Pitagora mi consente di ricavare la misura
di un lato a partire dai altri due
i =radic1198622 + 1198882 conosco i cateti e ricavo lrsquoipotenusa
c =radic1198942 minus 1198622conosco lrsquoipotenusa e il cateto maggiore e ricavo il cateto minore
C =radic1198942 minus 1198882conosco lrsquoipotenusa e il cateto minore e ricavo il cateto maggiore
TRIANGOLI CONGRUENTI
Due triangoli si dicono congruenti se sovrapponendosi mediante un
movimento rigido coincidono perfettamente
Criteri di congruenza
1 Se due triangoli hanno due lati e lrsquoangolo compreso ordinatamente
congruente
2 Se due triangoli hanno ordinatamente congruenti un lato e due angoli
sono congruenti
3 Se due triangoli hanno i lati ordinatamente congruenti allora sono
congruenti
SEGMENTI CARATTERISTICI DI UN TRIANGOLO
Asse di un lato
Egrave la retta passante per il punto medio del lato egrave perpendicolare al lato
Ogni triangolo ha 3 assi avendo 3 lati
C
A B
Mediana relativa a un lato
Egrave il segmento che ha come estremi il punto medio del lato e il vertice
opposto
Ogni triangolo ha 3 medianoavendo 3 lati
C
A B
Bisettrice di un angolo
Egrave la semiretta uscente dal vertice dellrsquoangolo che lrsquoangolo in due parti
congruenti
Ogni triangolo ha 3 bisettrici avendo 3 vertici
C
A B
Altezza relativa a un lato
Segmento perpendicolare al lato condotto dal vertice opposto
Ogni triangolo ha 3 altezze unrsquoaltezza puograve anche essere esterna al
triangolo
C
A B
Lrsquoaltezza puograve anche essere esterna al triangolo
C
A B
PUNTI NOTEVOLI DI UN TRIANGOLO
Circocentro(C)
Egrave lrsquointersezione dei tre assi Esso egrave equidistante dai vertici del triangolo
Circocentro
Puograve essere anche esterno al triangolo
Circocentro
Ortocentro(O)
Egrave il punto di intersezione delle altezza
Ortocentro
Anche esso puograve essere esterno
Ortocentro
Incentro(I)
Egrave il punto di intersezione della bisettrice Esso egrave sempre intern o al
triangolo ed egrave equidistante dai lati
Incentro
Baricentro(G)
Egrave il punto di intersezione delle tre mediane Esso egrave sempre interno al
triangolo e divide ogni mediana in due parti di cui quella avente un
estremo nel vertice egrave doppia dellrsquoaltra
Baricentro (mediana doppia)
SIMILITUDINE
Due triangoli sono simili se hanno gli angoli ordinatamente congruenti e i lati
corrispondenti in proporzione
La similitudine si indica con il simbolo asymp
C
C
A B A B
AB ArsquoBrsquo = BC BrsquoC rsquo= CA CrsquoArsquo
T1asympT2 se AequivA1 B equiv B1 C equivC1 e se AB AprimeBprime =AC AprimeCprime = BC BprimeCprime
La proporzione possiamo anche scriverla cosi
119860119861
119860prime119861prime =
119860119862
119860prime119862prime=
119861119862
119861prime119862prime= K (rapporto di similitudine)
Significato di k
Se kgt1 significa che T2 egrave rimpicciolito rispetto a T1 oppure T1 egrave ringrandito
rispetto a T2
Se klt1 allora T2 egrave ingrandito rispetto a T1
Se k = 1 T1 e T2 sono congruenti
CRITERI DI SIMILITUDINE
Per verificare se due triangoli sono simili dobbiamo verificare la definizione
cioegrave i 2 triangoli devono avere gli angoli ordinatamente congruenti e le 3
copie di lati omologhe in proporzione
Esistono perograve tre criteri che ci consentono di semplificare questa verifica
Primo criterio Se due triangoli hanno 2 angoli ordinatamente allora
sono simili
Secondo criterio Se due triangoli hanno 2 lati ordinatamente in
proporzione e lrsquoangolo compresso congruente allora sono simili
Terzo criterioSe due triangoli hanno i lati ordinatamente in proporzione
allora asse sono simili
PROPRIETAgrave DEI TRIANGOLI SIMILI
Teorema 1
Se 2 triangoli sono simili 2 lati omologhi stano tra loro come le rispettive
altezze
C
Crsquo
A B Arsquo Brsquo
AB AprimeBprime =CH CprimeHprime
Teorema 2
Se 2 triangoli sono simili 2 lati omologhi stano tra loro come i rispettivi
perimetri
C
Crsquo
A B Arsquo Brsquo
AB AprimeBprime = PPrsquo
Teorema 3
Se 2 triangoli sono simili i quadrati di 2 lati omologhi stano tra loro come le
rispettive aree
C
Crsquo
A B Arsquo Brsquo
AB AprimeBprime = AArsquo
TEOREMI DI EUCLIDE
Data una proporzione in cui i due termini medi sono uguali ac=cd c si
chiama ldquomedio proporzionalerdquo tra a e d
Primo teorema di Euclide
In un triangolo rettangolo un cateto egrave medio proporzionale fra lrsquoipotenusa e
la proiezione del cateto sullrsquoipotenusa
C
A H B
AH = Proiezione di AC sullrsquoipotenusa AB
HB = Proiezione di BC su AB
AB AC = AC AH
Secondo teorema di Euclide
In un triangolo rettangolo lrsquoaltezza relativa allrsquoipotenusa egrave ldquomedio
proporzionalerdquo tra le proiezioni dei cateti sullrsquoipotenusa stesa
C
A H B
AHCH = CH HB
ESEMPIO
In un triangolo rettangolo ABC (angolo retto in C) le proiezioni dei cateti
sullrsquoipotenusa misurano 2cm e 8 cm Calcolare perimetro e area
C
A H B
Dati
AH =2 cm
HB =8 cm
2 X = X 8
X2 = 2 8
X2 = 16
X = 4
A = 10cm middot 4 cm
2 = 20 cm2
10cm AC = AC 2cm
AC2 = 20 cm2
AC = 44 cm
10cm BC = BC 8cm
BC2 = 80 cm2
BC = 89 cm
P =89 cm + 44 cm + 10 cm = 233cm
TEOREMA DI PITAGORA
In un triangolo rettangolo la somma dei quadrati costruiti sui cateti egrave
equivalente al quadrato costruito sul ipotenusa ( cioegrave ha la stessa area)
In simboli
C2+c2=i2
Dea questa formula si ricavano le altre formule che consentono di
determinare la misura di un lato conoscendo gli altri due Ossia in un
triangolo rettangolo il teorema di Pitagora mi consente di ricavare la misura
di un lato a partire dai altri due
i =radic1198622 + 1198882 conosco i cateti e ricavo lrsquoipotenusa
c =radic1198942 minus 1198622conosco lrsquoipotenusa e il cateto maggiore e ricavo il cateto minore
C =radic1198942 minus 1198882conosco lrsquoipotenusa e il cateto minore e ricavo il cateto maggiore
TRIANGOLI CONGRUENTI
Due triangoli si dicono congruenti se sovrapponendosi mediante un
movimento rigido coincidono perfettamente
Criteri di congruenza
1 Se due triangoli hanno due lati e lrsquoangolo compreso ordinatamente
congruente
2 Se due triangoli hanno ordinatamente congruenti un lato e due angoli
sono congruenti
3 Se due triangoli hanno i lati ordinatamente congruenti allora sono
congruenti
SEGMENTI CARATTERISTICI DI UN TRIANGOLO
Asse di un lato
Egrave la retta passante per il punto medio del lato egrave perpendicolare al lato
Ogni triangolo ha 3 assi avendo 3 lati
C
A B
Mediana relativa a un lato
Egrave il segmento che ha come estremi il punto medio del lato e il vertice
opposto
Ogni triangolo ha 3 medianoavendo 3 lati
C
A B
Bisettrice di un angolo
Egrave la semiretta uscente dal vertice dellrsquoangolo che lrsquoangolo in due parti
congruenti
Ogni triangolo ha 3 bisettrici avendo 3 vertici
C
A B
Altezza relativa a un lato
Segmento perpendicolare al lato condotto dal vertice opposto
Ogni triangolo ha 3 altezze unrsquoaltezza puograve anche essere esterna al
triangolo
C
A B
Lrsquoaltezza puograve anche essere esterna al triangolo
C
A B
PUNTI NOTEVOLI DI UN TRIANGOLO
Circocentro(C)
Egrave lrsquointersezione dei tre assi Esso egrave equidistante dai vertici del triangolo
Circocentro
Puograve essere anche esterno al triangolo
Circocentro
Ortocentro(O)
Egrave il punto di intersezione delle altezza
Ortocentro
Anche esso puograve essere esterno
Ortocentro
Incentro(I)
Egrave il punto di intersezione della bisettrice Esso egrave sempre intern o al
triangolo ed egrave equidistante dai lati
Incentro
Baricentro(G)
Egrave il punto di intersezione delle tre mediane Esso egrave sempre interno al
triangolo e divide ogni mediana in due parti di cui quella avente un
estremo nel vertice egrave doppia dellrsquoaltra
Baricentro (mediana doppia)
SIMILITUDINE
Due triangoli sono simili se hanno gli angoli ordinatamente congruenti e i lati
corrispondenti in proporzione
La similitudine si indica con il simbolo asymp
C
C
A B A B
AB ArsquoBrsquo = BC BrsquoC rsquo= CA CrsquoArsquo
T1asympT2 se AequivA1 B equiv B1 C equivC1 e se AB AprimeBprime =AC AprimeCprime = BC BprimeCprime
La proporzione possiamo anche scriverla cosi
119860119861
119860prime119861prime =
119860119862
119860prime119862prime=
119861119862
119861prime119862prime= K (rapporto di similitudine)
Significato di k
Se kgt1 significa che T2 egrave rimpicciolito rispetto a T1 oppure T1 egrave ringrandito
rispetto a T2
Se klt1 allora T2 egrave ingrandito rispetto a T1
Se k = 1 T1 e T2 sono congruenti
CRITERI DI SIMILITUDINE
Per verificare se due triangoli sono simili dobbiamo verificare la definizione
cioegrave i 2 triangoli devono avere gli angoli ordinatamente congruenti e le 3
copie di lati omologhe in proporzione
Esistono perograve tre criteri che ci consentono di semplificare questa verifica
Primo criterio Se due triangoli hanno 2 angoli ordinatamente allora
sono simili
Secondo criterio Se due triangoli hanno 2 lati ordinatamente in
proporzione e lrsquoangolo compresso congruente allora sono simili
Terzo criterioSe due triangoli hanno i lati ordinatamente in proporzione
allora asse sono simili
PROPRIETAgrave DEI TRIANGOLI SIMILI
Teorema 1
Se 2 triangoli sono simili 2 lati omologhi stano tra loro come le rispettive
altezze
C
Crsquo
A B Arsquo Brsquo
AB AprimeBprime =CH CprimeHprime
Teorema 2
Se 2 triangoli sono simili 2 lati omologhi stano tra loro come i rispettivi
perimetri
C
Crsquo
A B Arsquo Brsquo
AB AprimeBprime = PPrsquo
Teorema 3
Se 2 triangoli sono simili i quadrati di 2 lati omologhi stano tra loro come le
rispettive aree
C
Crsquo
A B Arsquo Brsquo
AB AprimeBprime = AArsquo
TEOREMI DI EUCLIDE
Data una proporzione in cui i due termini medi sono uguali ac=cd c si
chiama ldquomedio proporzionalerdquo tra a e d
Primo teorema di Euclide
In un triangolo rettangolo un cateto egrave medio proporzionale fra lrsquoipotenusa e
la proiezione del cateto sullrsquoipotenusa
C
A H B
AH = Proiezione di AC sullrsquoipotenusa AB
HB = Proiezione di BC su AB
AB AC = AC AH
Secondo teorema di Euclide
In un triangolo rettangolo lrsquoaltezza relativa allrsquoipotenusa egrave ldquomedio
proporzionalerdquo tra le proiezioni dei cateti sullrsquoipotenusa stesa
C
A H B
AHCH = CH HB
ESEMPIO
In un triangolo rettangolo ABC (angolo retto in C) le proiezioni dei cateti
sullrsquoipotenusa misurano 2cm e 8 cm Calcolare perimetro e area
C
A H B
Dati
AH =2 cm
HB =8 cm
2 X = X 8
X2 = 2 8
X2 = 16
X = 4
A = 10cm middot 4 cm
2 = 20 cm2
10cm AC = AC 2cm
AC2 = 20 cm2
AC = 44 cm
10cm BC = BC 8cm
BC2 = 80 cm2
BC = 89 cm
P =89 cm + 44 cm + 10 cm = 233cm
TRIANGOLI CONGRUENTI
Due triangoli si dicono congruenti se sovrapponendosi mediante un
movimento rigido coincidono perfettamente
Criteri di congruenza
1 Se due triangoli hanno due lati e lrsquoangolo compreso ordinatamente
congruente
2 Se due triangoli hanno ordinatamente congruenti un lato e due angoli
sono congruenti
3 Se due triangoli hanno i lati ordinatamente congruenti allora sono
congruenti
SEGMENTI CARATTERISTICI DI UN TRIANGOLO
Asse di un lato
Egrave la retta passante per il punto medio del lato egrave perpendicolare al lato
Ogni triangolo ha 3 assi avendo 3 lati
C
A B
Mediana relativa a un lato
Egrave il segmento che ha come estremi il punto medio del lato e il vertice
opposto
Ogni triangolo ha 3 medianoavendo 3 lati
C
A B
Bisettrice di un angolo
Egrave la semiretta uscente dal vertice dellrsquoangolo che lrsquoangolo in due parti
congruenti
Ogni triangolo ha 3 bisettrici avendo 3 vertici
C
A B
Altezza relativa a un lato
Segmento perpendicolare al lato condotto dal vertice opposto
Ogni triangolo ha 3 altezze unrsquoaltezza puograve anche essere esterna al
triangolo
C
A B
Lrsquoaltezza puograve anche essere esterna al triangolo
C
A B
PUNTI NOTEVOLI DI UN TRIANGOLO
Circocentro(C)
Egrave lrsquointersezione dei tre assi Esso egrave equidistante dai vertici del triangolo
Circocentro
Puograve essere anche esterno al triangolo
Circocentro
Ortocentro(O)
Egrave il punto di intersezione delle altezza
Ortocentro
Anche esso puograve essere esterno
Ortocentro
Incentro(I)
Egrave il punto di intersezione della bisettrice Esso egrave sempre intern o al
triangolo ed egrave equidistante dai lati
Incentro
Baricentro(G)
Egrave il punto di intersezione delle tre mediane Esso egrave sempre interno al
triangolo e divide ogni mediana in due parti di cui quella avente un
estremo nel vertice egrave doppia dellrsquoaltra
Baricentro (mediana doppia)
SIMILITUDINE
Due triangoli sono simili se hanno gli angoli ordinatamente congruenti e i lati
corrispondenti in proporzione
La similitudine si indica con il simbolo asymp
C
C
A B A B
AB ArsquoBrsquo = BC BrsquoC rsquo= CA CrsquoArsquo
T1asympT2 se AequivA1 B equiv B1 C equivC1 e se AB AprimeBprime =AC AprimeCprime = BC BprimeCprime
La proporzione possiamo anche scriverla cosi
119860119861
119860prime119861prime =
119860119862
119860prime119862prime=
119861119862
119861prime119862prime= K (rapporto di similitudine)
Significato di k
Se kgt1 significa che T2 egrave rimpicciolito rispetto a T1 oppure T1 egrave ringrandito
rispetto a T2
Se klt1 allora T2 egrave ingrandito rispetto a T1
Se k = 1 T1 e T2 sono congruenti
CRITERI DI SIMILITUDINE
Per verificare se due triangoli sono simili dobbiamo verificare la definizione
cioegrave i 2 triangoli devono avere gli angoli ordinatamente congruenti e le 3
copie di lati omologhe in proporzione
Esistono perograve tre criteri che ci consentono di semplificare questa verifica
Primo criterio Se due triangoli hanno 2 angoli ordinatamente allora
sono simili
Secondo criterio Se due triangoli hanno 2 lati ordinatamente in
proporzione e lrsquoangolo compresso congruente allora sono simili
Terzo criterioSe due triangoli hanno i lati ordinatamente in proporzione
allora asse sono simili
PROPRIETAgrave DEI TRIANGOLI SIMILI
Teorema 1
Se 2 triangoli sono simili 2 lati omologhi stano tra loro come le rispettive
altezze
C
Crsquo
A B Arsquo Brsquo
AB AprimeBprime =CH CprimeHprime
Teorema 2
Se 2 triangoli sono simili 2 lati omologhi stano tra loro come i rispettivi
perimetri
C
Crsquo
A B Arsquo Brsquo
AB AprimeBprime = PPrsquo
Teorema 3
Se 2 triangoli sono simili i quadrati di 2 lati omologhi stano tra loro come le
rispettive aree
C
Crsquo
A B Arsquo Brsquo
AB AprimeBprime = AArsquo
TEOREMI DI EUCLIDE
Data una proporzione in cui i due termini medi sono uguali ac=cd c si
chiama ldquomedio proporzionalerdquo tra a e d
Primo teorema di Euclide
In un triangolo rettangolo un cateto egrave medio proporzionale fra lrsquoipotenusa e
la proiezione del cateto sullrsquoipotenusa
C
A H B
AH = Proiezione di AC sullrsquoipotenusa AB
HB = Proiezione di BC su AB
AB AC = AC AH
Secondo teorema di Euclide
In un triangolo rettangolo lrsquoaltezza relativa allrsquoipotenusa egrave ldquomedio
proporzionalerdquo tra le proiezioni dei cateti sullrsquoipotenusa stesa
C
A H B
AHCH = CH HB
ESEMPIO
In un triangolo rettangolo ABC (angolo retto in C) le proiezioni dei cateti
sullrsquoipotenusa misurano 2cm e 8 cm Calcolare perimetro e area
C
A H B
Dati
AH =2 cm
HB =8 cm
2 X = X 8
X2 = 2 8
X2 = 16
X = 4
A = 10cm middot 4 cm
2 = 20 cm2
10cm AC = AC 2cm
AC2 = 20 cm2
AC = 44 cm
10cm BC = BC 8cm
BC2 = 80 cm2
BC = 89 cm
P =89 cm + 44 cm + 10 cm = 233cm
SEGMENTI CARATTERISTICI DI UN TRIANGOLO
Asse di un lato
Egrave la retta passante per il punto medio del lato egrave perpendicolare al lato
Ogni triangolo ha 3 assi avendo 3 lati
C
A B
Mediana relativa a un lato
Egrave il segmento che ha come estremi il punto medio del lato e il vertice
opposto
Ogni triangolo ha 3 medianoavendo 3 lati
C
A B
Bisettrice di un angolo
Egrave la semiretta uscente dal vertice dellrsquoangolo che lrsquoangolo in due parti
congruenti
Ogni triangolo ha 3 bisettrici avendo 3 vertici
C
A B
Altezza relativa a un lato
Segmento perpendicolare al lato condotto dal vertice opposto
Ogni triangolo ha 3 altezze unrsquoaltezza puograve anche essere esterna al
triangolo
C
A B
Lrsquoaltezza puograve anche essere esterna al triangolo
C
A B
PUNTI NOTEVOLI DI UN TRIANGOLO
Circocentro(C)
Egrave lrsquointersezione dei tre assi Esso egrave equidistante dai vertici del triangolo
Circocentro
Puograve essere anche esterno al triangolo
Circocentro
Ortocentro(O)
Egrave il punto di intersezione delle altezza
Ortocentro
Anche esso puograve essere esterno
Ortocentro
Incentro(I)
Egrave il punto di intersezione della bisettrice Esso egrave sempre intern o al
triangolo ed egrave equidistante dai lati
Incentro
Baricentro(G)
Egrave il punto di intersezione delle tre mediane Esso egrave sempre interno al
triangolo e divide ogni mediana in due parti di cui quella avente un
estremo nel vertice egrave doppia dellrsquoaltra
Baricentro (mediana doppia)
SIMILITUDINE
Due triangoli sono simili se hanno gli angoli ordinatamente congruenti e i lati
corrispondenti in proporzione
La similitudine si indica con il simbolo asymp
C
C
A B A B
AB ArsquoBrsquo = BC BrsquoC rsquo= CA CrsquoArsquo
T1asympT2 se AequivA1 B equiv B1 C equivC1 e se AB AprimeBprime =AC AprimeCprime = BC BprimeCprime
La proporzione possiamo anche scriverla cosi
119860119861
119860prime119861prime =
119860119862
119860prime119862prime=
119861119862
119861prime119862prime= K (rapporto di similitudine)
Significato di k
Se kgt1 significa che T2 egrave rimpicciolito rispetto a T1 oppure T1 egrave ringrandito
rispetto a T2
Se klt1 allora T2 egrave ingrandito rispetto a T1
Se k = 1 T1 e T2 sono congruenti
CRITERI DI SIMILITUDINE
Per verificare se due triangoli sono simili dobbiamo verificare la definizione
cioegrave i 2 triangoli devono avere gli angoli ordinatamente congruenti e le 3
copie di lati omologhe in proporzione
Esistono perograve tre criteri che ci consentono di semplificare questa verifica
Primo criterio Se due triangoli hanno 2 angoli ordinatamente allora
sono simili
Secondo criterio Se due triangoli hanno 2 lati ordinatamente in
proporzione e lrsquoangolo compresso congruente allora sono simili
Terzo criterioSe due triangoli hanno i lati ordinatamente in proporzione
allora asse sono simili
PROPRIETAgrave DEI TRIANGOLI SIMILI
Teorema 1
Se 2 triangoli sono simili 2 lati omologhi stano tra loro come le rispettive
altezze
C
Crsquo
A B Arsquo Brsquo
AB AprimeBprime =CH CprimeHprime
Teorema 2
Se 2 triangoli sono simili 2 lati omologhi stano tra loro come i rispettivi
perimetri
C
Crsquo
A B Arsquo Brsquo
AB AprimeBprime = PPrsquo
Teorema 3
Se 2 triangoli sono simili i quadrati di 2 lati omologhi stano tra loro come le
rispettive aree
C
Crsquo
A B Arsquo Brsquo
AB AprimeBprime = AArsquo
TEOREMI DI EUCLIDE
Data una proporzione in cui i due termini medi sono uguali ac=cd c si
chiama ldquomedio proporzionalerdquo tra a e d
Primo teorema di Euclide
In un triangolo rettangolo un cateto egrave medio proporzionale fra lrsquoipotenusa e
la proiezione del cateto sullrsquoipotenusa
C
A H B
AH = Proiezione di AC sullrsquoipotenusa AB
HB = Proiezione di BC su AB
AB AC = AC AH
Secondo teorema di Euclide
In un triangolo rettangolo lrsquoaltezza relativa allrsquoipotenusa egrave ldquomedio
proporzionalerdquo tra le proiezioni dei cateti sullrsquoipotenusa stesa
C
A H B
AHCH = CH HB
ESEMPIO
In un triangolo rettangolo ABC (angolo retto in C) le proiezioni dei cateti
sullrsquoipotenusa misurano 2cm e 8 cm Calcolare perimetro e area
C
A H B
Dati
AH =2 cm
HB =8 cm
2 X = X 8
X2 = 2 8
X2 = 16
X = 4
A = 10cm middot 4 cm
2 = 20 cm2
10cm AC = AC 2cm
AC2 = 20 cm2
AC = 44 cm
10cm BC = BC 8cm
BC2 = 80 cm2
BC = 89 cm
P =89 cm + 44 cm + 10 cm = 233cm
C
A B
Lrsquoaltezza puograve anche essere esterna al triangolo
C
A B
PUNTI NOTEVOLI DI UN TRIANGOLO
Circocentro(C)
Egrave lrsquointersezione dei tre assi Esso egrave equidistante dai vertici del triangolo
Circocentro
Puograve essere anche esterno al triangolo
Circocentro
Ortocentro(O)
Egrave il punto di intersezione delle altezza
Ortocentro
Anche esso puograve essere esterno
Ortocentro
Incentro(I)
Egrave il punto di intersezione della bisettrice Esso egrave sempre intern o al
triangolo ed egrave equidistante dai lati
Incentro
Baricentro(G)
Egrave il punto di intersezione delle tre mediane Esso egrave sempre interno al
triangolo e divide ogni mediana in due parti di cui quella avente un
estremo nel vertice egrave doppia dellrsquoaltra
Baricentro (mediana doppia)
SIMILITUDINE
Due triangoli sono simili se hanno gli angoli ordinatamente congruenti e i lati
corrispondenti in proporzione
La similitudine si indica con il simbolo asymp
C
C
A B A B
AB ArsquoBrsquo = BC BrsquoC rsquo= CA CrsquoArsquo
T1asympT2 se AequivA1 B equiv B1 C equivC1 e se AB AprimeBprime =AC AprimeCprime = BC BprimeCprime
La proporzione possiamo anche scriverla cosi
119860119861
119860prime119861prime =
119860119862
119860prime119862prime=
119861119862
119861prime119862prime= K (rapporto di similitudine)
Significato di k
Se kgt1 significa che T2 egrave rimpicciolito rispetto a T1 oppure T1 egrave ringrandito
rispetto a T2
Se klt1 allora T2 egrave ingrandito rispetto a T1
Se k = 1 T1 e T2 sono congruenti
CRITERI DI SIMILITUDINE
Per verificare se due triangoli sono simili dobbiamo verificare la definizione
cioegrave i 2 triangoli devono avere gli angoli ordinatamente congruenti e le 3
copie di lati omologhe in proporzione
Esistono perograve tre criteri che ci consentono di semplificare questa verifica
Primo criterio Se due triangoli hanno 2 angoli ordinatamente allora
sono simili
Secondo criterio Se due triangoli hanno 2 lati ordinatamente in
proporzione e lrsquoangolo compresso congruente allora sono simili
Terzo criterioSe due triangoli hanno i lati ordinatamente in proporzione
allora asse sono simili
PROPRIETAgrave DEI TRIANGOLI SIMILI
Teorema 1
Se 2 triangoli sono simili 2 lati omologhi stano tra loro come le rispettive
altezze
C
Crsquo
A B Arsquo Brsquo
AB AprimeBprime =CH CprimeHprime
Teorema 2
Se 2 triangoli sono simili 2 lati omologhi stano tra loro come i rispettivi
perimetri
C
Crsquo
A B Arsquo Brsquo
AB AprimeBprime = PPrsquo
Teorema 3
Se 2 triangoli sono simili i quadrati di 2 lati omologhi stano tra loro come le
rispettive aree
C
Crsquo
A B Arsquo Brsquo
AB AprimeBprime = AArsquo
TEOREMI DI EUCLIDE
Data una proporzione in cui i due termini medi sono uguali ac=cd c si
chiama ldquomedio proporzionalerdquo tra a e d
Primo teorema di Euclide
In un triangolo rettangolo un cateto egrave medio proporzionale fra lrsquoipotenusa e
la proiezione del cateto sullrsquoipotenusa
C
A H B
AH = Proiezione di AC sullrsquoipotenusa AB
HB = Proiezione di BC su AB
AB AC = AC AH
Secondo teorema di Euclide
In un triangolo rettangolo lrsquoaltezza relativa allrsquoipotenusa egrave ldquomedio
proporzionalerdquo tra le proiezioni dei cateti sullrsquoipotenusa stesa
C
A H B
AHCH = CH HB
ESEMPIO
In un triangolo rettangolo ABC (angolo retto in C) le proiezioni dei cateti
sullrsquoipotenusa misurano 2cm e 8 cm Calcolare perimetro e area
C
A H B
Dati
AH =2 cm
HB =8 cm
2 X = X 8
X2 = 2 8
X2 = 16
X = 4
A = 10cm middot 4 cm
2 = 20 cm2
10cm AC = AC 2cm
AC2 = 20 cm2
AC = 44 cm
10cm BC = BC 8cm
BC2 = 80 cm2
BC = 89 cm
P =89 cm + 44 cm + 10 cm = 233cm
PUNTI NOTEVOLI DI UN TRIANGOLO
Circocentro(C)
Egrave lrsquointersezione dei tre assi Esso egrave equidistante dai vertici del triangolo
Circocentro
Puograve essere anche esterno al triangolo
Circocentro
Ortocentro(O)
Egrave il punto di intersezione delle altezza
Ortocentro
Anche esso puograve essere esterno
Ortocentro
Incentro(I)
Egrave il punto di intersezione della bisettrice Esso egrave sempre intern o al
triangolo ed egrave equidistante dai lati
Incentro
Baricentro(G)
Egrave il punto di intersezione delle tre mediane Esso egrave sempre interno al
triangolo e divide ogni mediana in due parti di cui quella avente un
estremo nel vertice egrave doppia dellrsquoaltra
Baricentro (mediana doppia)
SIMILITUDINE
Due triangoli sono simili se hanno gli angoli ordinatamente congruenti e i lati
corrispondenti in proporzione
La similitudine si indica con il simbolo asymp
C
C
A B A B
AB ArsquoBrsquo = BC BrsquoC rsquo= CA CrsquoArsquo
T1asympT2 se AequivA1 B equiv B1 C equivC1 e se AB AprimeBprime =AC AprimeCprime = BC BprimeCprime
La proporzione possiamo anche scriverla cosi
119860119861
119860prime119861prime =
119860119862
119860prime119862prime=
119861119862
119861prime119862prime= K (rapporto di similitudine)
Significato di k
Se kgt1 significa che T2 egrave rimpicciolito rispetto a T1 oppure T1 egrave ringrandito
rispetto a T2
Se klt1 allora T2 egrave ingrandito rispetto a T1
Se k = 1 T1 e T2 sono congruenti
CRITERI DI SIMILITUDINE
Per verificare se due triangoli sono simili dobbiamo verificare la definizione
cioegrave i 2 triangoli devono avere gli angoli ordinatamente congruenti e le 3
copie di lati omologhe in proporzione
Esistono perograve tre criteri che ci consentono di semplificare questa verifica
Primo criterio Se due triangoli hanno 2 angoli ordinatamente allora
sono simili
Secondo criterio Se due triangoli hanno 2 lati ordinatamente in
proporzione e lrsquoangolo compresso congruente allora sono simili
Terzo criterioSe due triangoli hanno i lati ordinatamente in proporzione
allora asse sono simili
PROPRIETAgrave DEI TRIANGOLI SIMILI
Teorema 1
Se 2 triangoli sono simili 2 lati omologhi stano tra loro come le rispettive
altezze
C
Crsquo
A B Arsquo Brsquo
AB AprimeBprime =CH CprimeHprime
Teorema 2
Se 2 triangoli sono simili 2 lati omologhi stano tra loro come i rispettivi
perimetri
C
Crsquo
A B Arsquo Brsquo
AB AprimeBprime = PPrsquo
Teorema 3
Se 2 triangoli sono simili i quadrati di 2 lati omologhi stano tra loro come le
rispettive aree
C
Crsquo
A B Arsquo Brsquo
AB AprimeBprime = AArsquo
TEOREMI DI EUCLIDE
Data una proporzione in cui i due termini medi sono uguali ac=cd c si
chiama ldquomedio proporzionalerdquo tra a e d
Primo teorema di Euclide
In un triangolo rettangolo un cateto egrave medio proporzionale fra lrsquoipotenusa e
la proiezione del cateto sullrsquoipotenusa
C
A H B
AH = Proiezione di AC sullrsquoipotenusa AB
HB = Proiezione di BC su AB
AB AC = AC AH
Secondo teorema di Euclide
In un triangolo rettangolo lrsquoaltezza relativa allrsquoipotenusa egrave ldquomedio
proporzionalerdquo tra le proiezioni dei cateti sullrsquoipotenusa stesa
C
A H B
AHCH = CH HB
ESEMPIO
In un triangolo rettangolo ABC (angolo retto in C) le proiezioni dei cateti
sullrsquoipotenusa misurano 2cm e 8 cm Calcolare perimetro e area
C
A H B
Dati
AH =2 cm
HB =8 cm
2 X = X 8
X2 = 2 8
X2 = 16
X = 4
A = 10cm middot 4 cm
2 = 20 cm2
10cm AC = AC 2cm
AC2 = 20 cm2
AC = 44 cm
10cm BC = BC 8cm
BC2 = 80 cm2
BC = 89 cm
P =89 cm + 44 cm + 10 cm = 233cm
Baricentro(G)
Egrave il punto di intersezione delle tre mediane Esso egrave sempre interno al
triangolo e divide ogni mediana in due parti di cui quella avente un
estremo nel vertice egrave doppia dellrsquoaltra
Baricentro (mediana doppia)
SIMILITUDINE
Due triangoli sono simili se hanno gli angoli ordinatamente congruenti e i lati
corrispondenti in proporzione
La similitudine si indica con il simbolo asymp
C
C
A B A B
AB ArsquoBrsquo = BC BrsquoC rsquo= CA CrsquoArsquo
T1asympT2 se AequivA1 B equiv B1 C equivC1 e se AB AprimeBprime =AC AprimeCprime = BC BprimeCprime
La proporzione possiamo anche scriverla cosi
119860119861
119860prime119861prime =
119860119862
119860prime119862prime=
119861119862
119861prime119862prime= K (rapporto di similitudine)
Significato di k
Se kgt1 significa che T2 egrave rimpicciolito rispetto a T1 oppure T1 egrave ringrandito
rispetto a T2
Se klt1 allora T2 egrave ingrandito rispetto a T1
Se k = 1 T1 e T2 sono congruenti
CRITERI DI SIMILITUDINE
Per verificare se due triangoli sono simili dobbiamo verificare la definizione
cioegrave i 2 triangoli devono avere gli angoli ordinatamente congruenti e le 3
copie di lati omologhe in proporzione
Esistono perograve tre criteri che ci consentono di semplificare questa verifica
Primo criterio Se due triangoli hanno 2 angoli ordinatamente allora
sono simili
Secondo criterio Se due triangoli hanno 2 lati ordinatamente in
proporzione e lrsquoangolo compresso congruente allora sono simili
Terzo criterioSe due triangoli hanno i lati ordinatamente in proporzione
allora asse sono simili
PROPRIETAgrave DEI TRIANGOLI SIMILI
Teorema 1
Se 2 triangoli sono simili 2 lati omologhi stano tra loro come le rispettive
altezze
C
Crsquo
A B Arsquo Brsquo
AB AprimeBprime =CH CprimeHprime
Teorema 2
Se 2 triangoli sono simili 2 lati omologhi stano tra loro come i rispettivi
perimetri
C
Crsquo
A B Arsquo Brsquo
AB AprimeBprime = PPrsquo
Teorema 3
Se 2 triangoli sono simili i quadrati di 2 lati omologhi stano tra loro come le
rispettive aree
C
Crsquo
A B Arsquo Brsquo
AB AprimeBprime = AArsquo
TEOREMI DI EUCLIDE
Data una proporzione in cui i due termini medi sono uguali ac=cd c si
chiama ldquomedio proporzionalerdquo tra a e d
Primo teorema di Euclide
In un triangolo rettangolo un cateto egrave medio proporzionale fra lrsquoipotenusa e
la proiezione del cateto sullrsquoipotenusa
C
A H B
AH = Proiezione di AC sullrsquoipotenusa AB
HB = Proiezione di BC su AB
AB AC = AC AH
Secondo teorema di Euclide
In un triangolo rettangolo lrsquoaltezza relativa allrsquoipotenusa egrave ldquomedio
proporzionalerdquo tra le proiezioni dei cateti sullrsquoipotenusa stesa
C
A H B
AHCH = CH HB
ESEMPIO
In un triangolo rettangolo ABC (angolo retto in C) le proiezioni dei cateti
sullrsquoipotenusa misurano 2cm e 8 cm Calcolare perimetro e area
C
A H B
Dati
AH =2 cm
HB =8 cm
2 X = X 8
X2 = 2 8
X2 = 16
X = 4
A = 10cm middot 4 cm
2 = 20 cm2
10cm AC = AC 2cm
AC2 = 20 cm2
AC = 44 cm
10cm BC = BC 8cm
BC2 = 80 cm2
BC = 89 cm
P =89 cm + 44 cm + 10 cm = 233cm
SIMILITUDINE
Due triangoli sono simili se hanno gli angoli ordinatamente congruenti e i lati
corrispondenti in proporzione
La similitudine si indica con il simbolo asymp
C
C
A B A B
AB ArsquoBrsquo = BC BrsquoC rsquo= CA CrsquoArsquo
T1asympT2 se AequivA1 B equiv B1 C equivC1 e se AB AprimeBprime =AC AprimeCprime = BC BprimeCprime
La proporzione possiamo anche scriverla cosi
119860119861
119860prime119861prime =
119860119862
119860prime119862prime=
119861119862
119861prime119862prime= K (rapporto di similitudine)
Significato di k
Se kgt1 significa che T2 egrave rimpicciolito rispetto a T1 oppure T1 egrave ringrandito
rispetto a T2
Se klt1 allora T2 egrave ingrandito rispetto a T1
Se k = 1 T1 e T2 sono congruenti
CRITERI DI SIMILITUDINE
Per verificare se due triangoli sono simili dobbiamo verificare la definizione
cioegrave i 2 triangoli devono avere gli angoli ordinatamente congruenti e le 3
copie di lati omologhe in proporzione
Esistono perograve tre criteri che ci consentono di semplificare questa verifica
Primo criterio Se due triangoli hanno 2 angoli ordinatamente allora
sono simili
Secondo criterio Se due triangoli hanno 2 lati ordinatamente in
proporzione e lrsquoangolo compresso congruente allora sono simili
Terzo criterioSe due triangoli hanno i lati ordinatamente in proporzione
allora asse sono simili
PROPRIETAgrave DEI TRIANGOLI SIMILI
Teorema 1
Se 2 triangoli sono simili 2 lati omologhi stano tra loro come le rispettive
altezze
C
Crsquo
A B Arsquo Brsquo
AB AprimeBprime =CH CprimeHprime
Teorema 2
Se 2 triangoli sono simili 2 lati omologhi stano tra loro come i rispettivi
perimetri
C
Crsquo
A B Arsquo Brsquo
AB AprimeBprime = PPrsquo
Teorema 3
Se 2 triangoli sono simili i quadrati di 2 lati omologhi stano tra loro come le
rispettive aree
C
Crsquo
A B Arsquo Brsquo
AB AprimeBprime = AArsquo
TEOREMI DI EUCLIDE
Data una proporzione in cui i due termini medi sono uguali ac=cd c si
chiama ldquomedio proporzionalerdquo tra a e d
Primo teorema di Euclide
In un triangolo rettangolo un cateto egrave medio proporzionale fra lrsquoipotenusa e
la proiezione del cateto sullrsquoipotenusa
C
A H B
AH = Proiezione di AC sullrsquoipotenusa AB
HB = Proiezione di BC su AB
AB AC = AC AH
Secondo teorema di Euclide
In un triangolo rettangolo lrsquoaltezza relativa allrsquoipotenusa egrave ldquomedio
proporzionalerdquo tra le proiezioni dei cateti sullrsquoipotenusa stesa
C
A H B
AHCH = CH HB
ESEMPIO
In un triangolo rettangolo ABC (angolo retto in C) le proiezioni dei cateti
sullrsquoipotenusa misurano 2cm e 8 cm Calcolare perimetro e area
C
A H B
Dati
AH =2 cm
HB =8 cm
2 X = X 8
X2 = 2 8
X2 = 16
X = 4
A = 10cm middot 4 cm
2 = 20 cm2
10cm AC = AC 2cm
AC2 = 20 cm2
AC = 44 cm
10cm BC = BC 8cm
BC2 = 80 cm2
BC = 89 cm
P =89 cm + 44 cm + 10 cm = 233cm
CRITERI DI SIMILITUDINE
Per verificare se due triangoli sono simili dobbiamo verificare la definizione
cioegrave i 2 triangoli devono avere gli angoli ordinatamente congruenti e le 3
copie di lati omologhe in proporzione
Esistono perograve tre criteri che ci consentono di semplificare questa verifica
Primo criterio Se due triangoli hanno 2 angoli ordinatamente allora
sono simili
Secondo criterio Se due triangoli hanno 2 lati ordinatamente in
proporzione e lrsquoangolo compresso congruente allora sono simili
Terzo criterioSe due triangoli hanno i lati ordinatamente in proporzione
allora asse sono simili
PROPRIETAgrave DEI TRIANGOLI SIMILI
Teorema 1
Se 2 triangoli sono simili 2 lati omologhi stano tra loro come le rispettive
altezze
C
Crsquo
A B Arsquo Brsquo
AB AprimeBprime =CH CprimeHprime
Teorema 2
Se 2 triangoli sono simili 2 lati omologhi stano tra loro come i rispettivi
perimetri
C
Crsquo
A B Arsquo Brsquo
AB AprimeBprime = PPrsquo
Teorema 3
Se 2 triangoli sono simili i quadrati di 2 lati omologhi stano tra loro come le
rispettive aree
C
Crsquo
A B Arsquo Brsquo
AB AprimeBprime = AArsquo
TEOREMI DI EUCLIDE
Data una proporzione in cui i due termini medi sono uguali ac=cd c si
chiama ldquomedio proporzionalerdquo tra a e d
Primo teorema di Euclide
In un triangolo rettangolo un cateto egrave medio proporzionale fra lrsquoipotenusa e
la proiezione del cateto sullrsquoipotenusa
C
A H B
AH = Proiezione di AC sullrsquoipotenusa AB
HB = Proiezione di BC su AB
AB AC = AC AH
Secondo teorema di Euclide
In un triangolo rettangolo lrsquoaltezza relativa allrsquoipotenusa egrave ldquomedio
proporzionalerdquo tra le proiezioni dei cateti sullrsquoipotenusa stesa
C
A H B
AHCH = CH HB
ESEMPIO
In un triangolo rettangolo ABC (angolo retto in C) le proiezioni dei cateti
sullrsquoipotenusa misurano 2cm e 8 cm Calcolare perimetro e area
C
A H B
Dati
AH =2 cm
HB =8 cm
2 X = X 8
X2 = 2 8
X2 = 16
X = 4
A = 10cm middot 4 cm
2 = 20 cm2
10cm AC = AC 2cm
AC2 = 20 cm2
AC = 44 cm
10cm BC = BC 8cm
BC2 = 80 cm2
BC = 89 cm
P =89 cm + 44 cm + 10 cm = 233cm
PROPRIETAgrave DEI TRIANGOLI SIMILI
Teorema 1
Se 2 triangoli sono simili 2 lati omologhi stano tra loro come le rispettive
altezze
C
Crsquo
A B Arsquo Brsquo
AB AprimeBprime =CH CprimeHprime
Teorema 2
Se 2 triangoli sono simili 2 lati omologhi stano tra loro come i rispettivi
perimetri
C
Crsquo
A B Arsquo Brsquo
AB AprimeBprime = PPrsquo
Teorema 3
Se 2 triangoli sono simili i quadrati di 2 lati omologhi stano tra loro come le
rispettive aree
C
Crsquo
A B Arsquo Brsquo
AB AprimeBprime = AArsquo
TEOREMI DI EUCLIDE
Data una proporzione in cui i due termini medi sono uguali ac=cd c si
chiama ldquomedio proporzionalerdquo tra a e d
Primo teorema di Euclide
In un triangolo rettangolo un cateto egrave medio proporzionale fra lrsquoipotenusa e
la proiezione del cateto sullrsquoipotenusa
C
A H B
AH = Proiezione di AC sullrsquoipotenusa AB
HB = Proiezione di BC su AB
AB AC = AC AH
Secondo teorema di Euclide
In un triangolo rettangolo lrsquoaltezza relativa allrsquoipotenusa egrave ldquomedio
proporzionalerdquo tra le proiezioni dei cateti sullrsquoipotenusa stesa
C
A H B
AHCH = CH HB
ESEMPIO
In un triangolo rettangolo ABC (angolo retto in C) le proiezioni dei cateti
sullrsquoipotenusa misurano 2cm e 8 cm Calcolare perimetro e area
C
A H B
Dati
AH =2 cm
HB =8 cm
2 X = X 8
X2 = 2 8
X2 = 16
X = 4
A = 10cm middot 4 cm
2 = 20 cm2
10cm AC = AC 2cm
AC2 = 20 cm2
AC = 44 cm
10cm BC = BC 8cm
BC2 = 80 cm2
BC = 89 cm
P =89 cm + 44 cm + 10 cm = 233cm
TEOREMI DI EUCLIDE
Data una proporzione in cui i due termini medi sono uguali ac=cd c si
chiama ldquomedio proporzionalerdquo tra a e d
Primo teorema di Euclide
In un triangolo rettangolo un cateto egrave medio proporzionale fra lrsquoipotenusa e
la proiezione del cateto sullrsquoipotenusa
C
A H B
AH = Proiezione di AC sullrsquoipotenusa AB
HB = Proiezione di BC su AB
AB AC = AC AH
Secondo teorema di Euclide
In un triangolo rettangolo lrsquoaltezza relativa allrsquoipotenusa egrave ldquomedio
proporzionalerdquo tra le proiezioni dei cateti sullrsquoipotenusa stesa
C
A H B
AHCH = CH HB
ESEMPIO
In un triangolo rettangolo ABC (angolo retto in C) le proiezioni dei cateti
sullrsquoipotenusa misurano 2cm e 8 cm Calcolare perimetro e area
C
A H B
Dati
AH =2 cm
HB =8 cm
2 X = X 8
X2 = 2 8
X2 = 16
X = 4
A = 10cm middot 4 cm
2 = 20 cm2
10cm AC = AC 2cm
AC2 = 20 cm2
AC = 44 cm
10cm BC = BC 8cm
BC2 = 80 cm2
BC = 89 cm
P =89 cm + 44 cm + 10 cm = 233cm
ESEMPIO
In un triangolo rettangolo ABC (angolo retto in C) le proiezioni dei cateti
sullrsquoipotenusa misurano 2cm e 8 cm Calcolare perimetro e area
C
A H B
Dati
AH =2 cm
HB =8 cm
2 X = X 8
X2 = 2 8
X2 = 16
X = 4
A = 10cm middot 4 cm
2 = 20 cm2
10cm AC = AC 2cm
AC2 = 20 cm2
AC = 44 cm
10cm BC = BC 8cm
BC2 = 80 cm2
BC = 89 cm
P =89 cm + 44 cm + 10 cm = 233cm