1. Distribuciones: Poisson, Rayleigh y Student Presentacin para la Clase: MATE 5400 Probabilidad Dr. Balbino Garca Bernard Hiram Negrn Ricardo Negrn Rosa E. PadillaTorres 9 de febrero de 2012

2. Distribucin Poisson 3. Simon Denis Poisson Francia, (1781 1840), fue un fsico y matemtico francs . Trabajos en el campo de la electricidad, tambin hizo publicaciones sobre la geometra diferencial y la teora de probabilidades. En 1837 publico la ecuacin de la Distribucin Poisson que fue resultados de un trabajo de investigacin 4. La distribucin Poisson describe la probabilidad de encontrar exactamente r eventos en un largo de tiempo si los eventos ocurren independientes a un ritmo constante dado por . 5. Ejemplo: Para un cable de cobre fino, se supone que la cantidad de defectos sigue una Distribucin Poisson con un promedio de 2.3 defectos por milmetros. Determinar la probabilidad que exactamente se encuentre 2 defectos por 1 milmetro. En este caso el promedio = 2.3, la cantidad de la probabilidad de defecto es r = 2. 6. Sustituyendo en la Ecuacin obtenemos: p = 2; = 2.3 = 2.32 2.3 2! = 0.265 7. Los Momentos Centrales de la distribucin Poisson son: ElValor esperado: E(x) = LaVarianza: V(x) = Tercer Momento: 3 = Cuarto Momento: 4 = ( 1- 3) 8. El coeficiente de skewness es: 1 = 1/ Ejemplo de skewness siguiente figura: 9. El coeficiente de Kurtosis es: 2 = 1/ la kurtosis es una medida de la forma o apuntamiento de las distribuciones. Si -> el Skewness y la Kurtosis tienden han cero aproximando a una Distribucin Normal. 10. La funcin es la representacin en series de potencia de la funcin generadora de probabilidad de la funcin masa de una variable aleatoria. La funcin esta dada por la siguiente sumatoria: G(z) = E( ) = =0 ! () 11. Para calcular el contenido de la Distribucin Poisson necesitamos la funcin acumulativa. Utilizando la formula recursiva p(r) = (r-1) empezando con p(0) = podemos obtener la cumulativa. 12. Al final obtenemos la funcin acumulativa : P(r) = =0 ! = 1- 0 2 (: = 2 + 2) 13. La suma de cualquier numero de una variable independiente de la Distribucin Poisson es tambin distribuida como una Distribucin Poisson. Para n variables con parmetro del promedio encontramos la siguiente funcin caracterstica: (1 + 2 rn ) = i=1 n exp{ i(e -1)} 14. En la siguiente expresin se demuestra la derivacin: = (1 ) 1 ! e 2 2()() e() ( ) (1 ) = 1 ! 1 (1 ) (1 ) ! 15. Mediante el uso de la tcnica acumulativa que forma la acumulacin por partida con y utilizando la frmula recursiva rrPrP 1)( eP )0( 16. Un nmero aleatorio a partir de una distribucin de Poisson se obtiene fcilmente utilizando un nmero aleatorio uniforme entre cero y uno. Si es una constante la generacin, con mucho, ms rpido se obtiene si el vector acumulativo preparado una vez por todas. 17. Una alternativa es obtener, en p, un nmero al azar de una distribucin de Poisson multiplicando independiente e uniforme de nmeros aleatorios hasta Para valores grandes de usar la aproximacin normal, pero ten cuidado con el que la distribucin de Poisson es una funcin de una variable discreta. 0i i e 18. Distribucin de Rayleigh 19. La distribucin de Rayleigh esta dada por para los valores positivos de la variable x y un parmetro positivo La cual lleva el nombre del fsico britnico Lord Rayleigh, tambin conocido como Barn JohnWilliam Strutt Rayleigh deTerling . Gano un premio Nobel de Fsica en 1904. 22 2 2 );( x e x xf 20. Teniendo en cuenta que el parmetro alfa es simplemente un factor de escala y que la variable y =x/ simplificado a la distribucin se obtiene A continuacin presentaremos una distribucin que tiene un modo en x = y positivamente sesgada. 2 2 )( y yeyg 21. Los momentos algebraicos estn dados por Tenemos una conexin con los momentos absolutos de la distribucin de Gauss. Usando estas el resultado es 22 2 1 0 2 || 2 1 )( x exdxxfxxE nnn n xE n n !!2 kk k 2 !2 Para n impar Para n = 2k 22. En concreto se observa que el valor esperado, la varianza, y los momentos centrales de tercera y cuarta estn dadas por los coeficientes de asimetra son as. 2)( xE 2 2 2)( xV 2 3 3 3 4 34 4 2 8 63111.0 2 3 2 3 2 2 1 24509.03 2 8 2 2 4 3 2 2 23. La distribucin acumulada, o la funcin de distribucin, se dan por donde hemos hecho la sustitucin con el fin de simplificar la integracin. Como debe ser, vemos que y . Con esto podemos calcular la mediana por M. 22 2 22 2 22 2 2 000 1 1)()( x xy edzeyedyyfxF z xx a 2 2 2 y z 17741.12ln2 2 1 )( MMF 0)0( F 1)( F 24. Los cuartiles inferior y superior se convierte en Misma tcnica es til cuando la generacin de nmeros aleatorios de la distribucin de Rayleigh como se describe a continuacin. 75853.0ln2 4 3 1 Q 66511.14ln22 Q 25. Dado dos independientes coordenadas x y y de la distribucin normal con media cero y el mismo la distancia se distribuye de acuerdo a la distribucin de Rayleigh. x y y pueden ser considerados como los componentes de velocidad de una partcula que se mueve en un plano. 2 26. Comenzamos escribiendo Ya que y se distribuyen de la variable normal estndar, la suma de sus cuadrados tiene la distribucin de chi-cuadrado con 2 grados de libertad de la que nos encontramos 2 2 2 2 2 2 yxz w 2 )( 2 w ewg 22 2 222 2 2 )()( z e zzz g dz dw wgzf x y 27. La distribucin de Rayleigh puede ser comparado con el caso de tres dimensiones donde terminamos un poco con la distribucin de Maxwell. 28. Para obtener nmeros aleatorios de la distribucin de Rayleigh de una manera eficiente que hacer la transformacin una variable de cual sigue la distribucin exponencial .Un nmero aleatorio a partir de esta distribucin se obtiene fcilmente mediante la adopcin de menos el logaritmo natural de un nmero aleatorio uniforme. 2 2 2 xy y eyg )( 29. Nosotros por lo tanto podemos encontrar un nmero aleatorio r partir de una distribucin de Rayleigh por la expresin donde es un nmero aleatorio uniformemente distribuido entre cero y uno. ln2r 30. Esto podra haber sido encontrados en mquina mediante la distribucin acumulada Un resultado que es idntico ya que si e se distribuye uniformemente entre cero y uno tambin lo es 1-. )1ln(21)( 22 2 xexF x 31. Siguiendo los ejemplos anteriores es posible que tambin se han utilizado dos nmeros aleatorios independientes de una distribucin normal estndar, y para construir: Sin embargo, esta tcnica no es tan eficiente como el esbozado anteriormente 1z 2z 2 2 2 1 1 zzr 32. Distribucin t de Student 33. La distribucin t de Student est dada por: Donde: n es un parmetro entero positivo t es una variable real y B son las funciones usuales Gamma y Beta 22 1 2 1 2 2 1 2 2 , 1 2 1 2 1 );( n n n n n n t t n ntf 34. La funcin Gamma est dada por: Si n es entero positivo, entonces: dtetz tz 0 1 )( )!1()( nn 35. La distribucin Beta est dada por: Donde: Valor esperado: Varianza: 11 )1( )()( )( )( ba xx ba ba xf ba a xE ][ 2 ))(1( ][ baba ab xV 36. La siguiente grfica muestra la distribucin t para n = 1, 2, 5, con distribucin normal estndar idnticas: 37. Si cambiamos la variable y colocamos , la distribucin t se convierte en: con donde k simplemente es la constante de normalizacin y m es positivo mitad entero (nmero de la forma n+ . n t x 2 1 n m m x k mxf )1( ),( 2 2 1 2 1 2 1 2 1 , 1)( mm m k 38. Esta distribucin fue ideada u originada porWilliam SealyGosset (1876-1939). Posea un ttulo en Matemticas y Qumica de Oxford. Comenz a trabajar para Messrs. Trabaj en la destileraGuinnes en Dubln. 39. Aplic sus conocimientos estadsticos para poder seleccionar las mejor seleccin de variedades de cebada utilizando pequeos ejemplos de teora estadstica para hacer experimentos. Debido a que la compaa no permita a los empleados publicar en revistas, su trabajo sobre relacin t fue publicada bajo el seudnimo de Student 40. La distribucin t de Student es simtrica alrededor de t=0. Todos los momentos impares desaparecen. Los momentos pares son calculados utilizando la forma f(x ; m) con lo que implica una relacin entre los valores esperados n t x )( 22 rrr XEntE 41. El momento central de orden par es dado por r entero positivo: Sustituyendo: Luego de manipulacin algebraica, obtenemos: 0 2 2 2 2 2 1 2 1 );( dx x x kdx x x dxmxfx m r m r r 2 2 1 x x y y x 1 1 1 2 y y x 1 22 )1( 2 x x dy 22 1 2 1 2 11 0 , , )1( 2 1 2 3 n yrm rmr dyyk r 42. El clculo de la acumulacin de la funcin de distribucin t puede obtenerse simplemente estimando la integral para una funcin simtrica. 22 1 2 22 1 ,1 , 1 )( 2 2 2 1 2 n tn t t t u t t n du n duuf n 43. Para simplificar la integracin para hallar la funcin acumulativa, sustituimos: Tenemos: 2 un n x 22 1 2 1 2 1 , 2 2 n tn t )(tF 22 1 2 1 2 1 , 2 2 n tn t Para Para 0 x x0 44. La distribucin en F = t es dada por: Se reconoce la distribucin F con grados de libertad n y 1. Segn como , la distribucin de Student se acerca ms a la distribucin normal. 2 1 2 1 2 22 1 22 1 2 1 ,, 1 2 1 )()( n n nF Fn nf tf df dt Ff nn n n F n 45. Para una mejor aproximacin, dividimos por la raz cuadrada de la varianza. n t nt z 2 4 1 2 1 1 46. Recordemos: Donde x y y son variables aleatorias independientes distribuidas de acuerdo con la distribucin normal estndar y distribucin de Chi cuadrado con n grados de libertad. Funcin de probabilidad: Donde: n y x t 2 1 2 22 2 2 22 1 );,( n n yn x ey enyxf x 0y 47. Si cambiamos las variables a y , la distribucin t con y se convierte en: n y x t );,( ),( ),( );,( nyxf ut yx nutf yu t 0u 48. Respecto a una muestra de poblacin normal donde la media es distribuida como y ste es un ejemplo de la distribucin t de Student con n-1 grados de libertad. Es utilizada para demostrar la hiptesis de que 2 ,N X 2 2 , N 2 2 1 sn n s n sn n X X L )1( 1 2 2 X 49. Dadas dos muestras y de distribucin normal con igual varianza pero medias diferentes y respectivamente. La cantidad posee distribucin normal con y varianza igual a mxxx ,...,, 21 nyyy ,...,, 21 2 x y yxYX 0X nm 112 50. Podemos estimar la varianza agrupada como: Es una teora normal estimar con m+n-2 grados de libertad, mientras S wa indepediente de para una poblacin normal 2 2 1 2 12 nm YyXx S n i i m i i 2 X s nm yxYX t 11 51. Las observaciones realizadas en parejas para i = 1, 2, ,n. Proporcin t: Donde: y son varianzas estimadas de x y y es la covarianza entre ellos Grados de libertad 2n-2 ii yx , xyyx CSS dn 222 2 xS 2 yS xyC 52. Para demostrar el nivel de confianza o comprobar una hiptesis utilizando la distribucin t definimos desde con n grados de libertad. En caso de una muestra normal, se define a como el intervalo de confianza para nt , 1;, , dtntfntF nt 1 1,1, 22 nn S nn S tXtX 53. Utilizamos estadsticas t con el fin de probar hiptesis con respecto a la media de una poblacin. En el caso de una muestra con hiptesis nula, ser y la hiptesis alterna . Utilizamos 00 : H 01 : H n s X t 0 54. La probabilidad para rechazar la hiptesis es verdadera y as . Es llamado Error tipo I El Error tipo II implica que se acepta la hiptesis aunque estuviese errnea y la distribucin en su lugar tiene una media . El clculo depender de la eleccin de , as como el nmero de observaciones n. En el caso de dos muestras, deseamos probar la hiptesis nula comparada conyxH :0 yxH :1 1 55. Para calcular los intervalos de probabilidad o prueba de hiptesis, tenemos que ser capaces de calcular la integral de la funcin de densidad de probabilidad sobre ciertas regiones: Define la cantidad para el nivel de confidencialidad especfico. 1;, , dtntfntF nt nt , 56. Para un n par, colocamos y hacemos la sustitucin . 2 n m n t x n n n t n t t n n dt n dtntf , 2 1 2 , 1 );(1 2 2 1 n nt m x dx m m , 2 1 2 2 1 1 57. Utilizando tablas de integrales, para conveniencia, sustituimos Tenemos: Resumiendo: Utilizamos relacin recurrente (u) y comenzamos con y n t x n, 10 u n t r rr uu 2 1 1 2 1 1 1 0 2222 2 2 1 2 1 1!2 !2 12!2 2!!1 1 m r rr m xr r x x mm mmm 1 0 2 1 1 2 12 1 m r r n t n u 58. Para grados de libertad impares, colocamos y hacemos la sustitucin . Luego de manipulacin algebraica, uso de sustituciones de , y manipulacin algebraica obtenemos: 2 1 n m n t x n n n t n t t n n dt n dtntf , 2 1 2 , 1 );(1 2 2 1 n nt m x dx m m , 2 1 2 2 1 2 1 1 2 1 1 1 1 2 1 2 arctan 1 1 n r n t r n t n v 11 v n t r rr vv 2 1 1 12 1 1 59. Para generar nmeros aleatorios t para una distribucin t, necesitamos la distribucin normal y Chi cuadrado como: Donde: z es la distribucin normal estndar yn = Chi cuadrado n = grados de libertad n y z t n 60. Utilizando Mathematica Microsoft Excel 61. Walck, Christian (2000). Hand-book on STATICAL DISTRIBUTIONS for experimentalists, University of Stockholm. 62. http://rosaepadilla.blogspot.com