DIVISION DE POLINOMIOS

Antes de comenzar a esbozar la división

de polinomios, no está de más recordar

como hace la división entre dos números

enteros.

Notación:

residuo

cociente

divisordividendo

...............

cocientedivisor

dividendo=

Si el residuo de la operación es diferente

de cero, entonces la operación de la

división se puede expresar de la

siguiente manera.

divisor

residuocociente

divisor

dividendo+=

Tenga muy presente esta última notación

ya que será de gran ayuda para

simplificar integrales (en cálculo

integral) con fracciones impropias.

Ejemplo 1: Hallar el resultado de la

siguiente operación: 16208 ÷ .

También podemos expresar esta

operación de la siguiente manera.

16

208

Ahora efectuemos la operación.

0

48

48

13 16

16208

(1) 2 dividido entre 16, no está.

(2) 20 dividido entre 16, está una (1)

vez, colocamos este resultado en el

cociente.

(3) Multiplicamos 16 por 1 (resultado

anterior) y colocamos el resultado de

esta multiplicación debajo de las dos

primeras cifras de 208, es decir

debajo de las dos cifras que elegimos

para dividir en el paso 2, es decir,

debajo de 20.

(4) Restamos 20 – 16 que da como

resultado 4.

(5) Bajamos la siguiente cifra del

dividendo, es decir, 8, y la

colocamos al lado del 4 de la

operación anterior.

(6) 48 dividido entre 16, está 3 veces.

(7) Colocamos el 3 (resultado anterior)

en el cociente, justo al lado del 1 que

ya traíamos del paso 2.

(8) Multiplicamos 3 por 16 que da como

resultado 48. Colocamos este

resultado debajo del 48 que tenemos

en el residuo.

(9) Restamos 48 – 48 que da como

resultado 0.

Por lo tanto, el resultado de dividir 208

entre 26 es 13.

Ejemplo 2: Dividir 172 entre 15.

7

15

22

11 15

15172

(1) 1 dividido entre 15, no está.

(2) 17 dividido entre 15, está una vez.

Colocamos el 1 en el cociente.

(3) Multiplicamos 1 (resultado anterior)

por 15 y colocamos el resultado de

esta operación debajo de las dos

primeras cifras que tomamos del

dividendo.

(4) Restamos 17 – 15 que da como

resultado 2.

(5) Bajamos la siguiente cifra del

dividendo, es decir 2 y la colocamos

justo al lado del resultado de la

operación anterior.

(6) 22 dividido entre 15, está una vez.

Colocamos este resultado en el

cociente justo al lado del resultado

obtenido en el paso 2.

(7) Multiplicamos 15 por 1 y colocamos

este resultado debajo del 22 que

teníamos en el residuo.

(8) Restamos 22 – 15 que da como

resultado 7.

(9) No hay más cifras pendientes en el

dividendo, por lo tanto la operación

ha finalizado.

Por lo tanto, el resultado de la operación

anterior es:

15

711

15

172+=

divisor

residuocociente

divisor

dividendo+=

DIVISIÓN DE DOS POLINOMIOS Para dividir dos polinomios, se deben

seguir los siguientes pasos.

(1) Ordenar el dividendo y el divisor con

respecto a una misma letra.

(2) Si al dividendo o al divisor le hace

falta el término de alguna potencia

de la letra elegida para ordenarlos, se

inserta dicha potencia con un

coeficiente de cero.

(3) Se divide el primer término del

dividendo por el primer término del

divisor, obteniendo el primer término

del cociente.

(4) Se multiplica el resultado anterior

por TODO del divisor. El resultado

de esta multiplicación se coloca

debajo del dividendo, con signo

contrario cada término.

(5) Se resta el dividendo del resultado

anterior conservando el orden las

potencias por las cuales se ordenaron

el dividendo y el divisor.

(6) Se bajan los términos pendientes del

dividendo y se agregan al resultado

de la resta anterior.

(7) Se repite el proceso desde el paso (3)

con el nuevo dividendo.

Ejemplo 3: Hallar el resultado de la

siguiente operación:

)43()283212( 23+÷+−− xxxx

También se puede expresar de la

siguiente manera:

43

283212 22

+

+−−

x

xxx

0

2821

2821

2418

318

764 1612

432832 12

2

2

223

23

−−

+

+

−−

+−−−

++−−

x

x

xx

xx

xxxx

xxxx

Por lo tanto,

76443

283212 222

+−=

+

+−−xx

x

xxx

Ejemplo 4: Hallar el resultado de la

siguiente operación.

)32()33134( 3+÷++ xxx

Organicemos el dividendo para que nos

queden las potencias en el orden

respectivo (note como falta la potencia

de x2).

)331304( 23+++ xxx

El divisor está organizado con respecto a

las potencias de x por lo tanto lo dejamos

igual.

Ahora podemos expresar la siguiente

operación.

)32(

)331304( 23

+

+++

x

xxx

0

3322

3322

9 6

136

1132 64

3233130 4

2

2

223

23

−−

+

+

+−

+−−−

++++

x

x

xx

xx

xxxx

xxxx

Por lo tanto,

1132 )32(

)33134( 23

+−=

+

++xx

x

xx

Ejemplo 4: Hallar el resultado de la

siguiente operación.

)1()( 22uu +÷

(1) Ordenemos el divisor con respecto a

la letra u.

)1()( 22+÷ uu

(2) Tanto el dividendo como el divisor

tienen las potencias de u completas.

(3) Expresemos la operación.

122+uu

(4) Dividamos el primer término del

dividendo entre el primer término del

divisor.

12

2

=

u

u

(5) El resultado anterior lo agregamos al

cociente.

1

122+uu

(6) Multiplicamos el primer término del

cociente por TODO el divisor.

1)1(1 22+=+× uu

(7) El resultado anterior lo colocamos

debajo del dividendo, cada término

con signo contrario (conservando el

orden de las potencias).

1 1

1

2

22

−−

+

u

uu

(8) Restamos el dividendo del resultado

anterior.

1

1

2

2

−

−− u

u

(9) La operación finaliza debido a que

no hay más términos en el dividendo.

1

1 1

1

2

22

−

−−

+

u

uu

Por lo tanto, el resultado de dividir )( 2u

entre )1( 2+u se puede expresar de la

siguiente manera.

1

11

1 22

2

+

−=

+ uu

u

Recordemos que:

divisor

residuocociente

divisor

dividendo+=

Una división de un polinomio por otro es

inexacta cuando.

(i) Si después de organizar los dos

polinomios, el primer término del

dividendo no es divisible por el

primer término del divisor.

(ii) Si el último término del dividendo no

es divisible por el último término del

divisor.

(iii)Si en el primer término de algún

dividendo parcial la letra ordenatriz

tiene menor exponente que en el

primer término del divisor.

BIBLIOGRAFÍA BIRD, John. ENGINEERING

MATHEMATICS. Newnes. Fourth Edition.

2003. Pág: 44 y 45.

HUETTENMUELLER, Rhonda. ALGEBRA

DEMYSTIFIED A self teaching guide. Mc Graw

Hill. 2003. Pág 24

STROUD, K.A. ENGINEERING

MATHEMATICS. Industrial Press, Inc. Fifth

Edition. 2001. Pág 99 y 100.

__________ Notas preparadas por Juan Felipe Muñoz

Fernández (http://www.juanfelipe.net).