ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΑΡΙΘΜΩΝ

1. Θεωρούμε το σύνολο και μια συνάρτηση με

την ιδιότητα για κάθε Να αποδείξετε ότι το γινόμενο

είναι άρτιος αριθμός.

(Β Λυκείου, 1985) 2. Αν και να δείξετε ότι ο αριθμός είναι πολλαπλάσιο του 81. (Α Λυκείου, 1986)

3. Θεωρούμε πεντάγωνο περιγεγραμμένο σε κύκλο που οι πλευρές του έχουν μήκη ακέραιους αριθμούς, ενώ η περίμετρος του είναι άρτιος αριθμός. Να δείξετε ότι τα τμήματα στα οποία οι πλευρές του χωρίζονται από τα σημεία επαφής έχουν μήκη ακέραιους αριθμούς. (Β Λυκείου, 1986)

4. Να δείξετε ότι αν η παράσταση είναι

ακέραιος αριθμός, τότε είναι τέλειο τετράγωνο ακεραίου. (Α Λυκείου, 3η Ε.Μ.Ο., 1986) 5. Να αποδειχθεί ότι δεν υπάρχουν φυσικοί αριθμοί ώστε οι αριθμοί

να είναι τετράγωνα φυσικών αριθμών. (Α Λυκείου, 4η Ε.Μ.Ο., 1987)

6. Μία συλλογή διηγημάτων του Α.Παπαδιαμάντη περιέχει 70 διηγήματα, ένα μιας σελίδας, ένα δύο σελίδων,…, ένα 70 σελίδων και όχι αναγκαστικά με αυτή τη σειρά. Ποιος είναι ο μέγιστος αριθμός διηγημάτων που αρχίζουν από σελίδα με περιττό αριθμό; (Α Λυκείου, 5η Ε.Μ.Ο.)

7. Αν είναι ακέραιοι αριθμοί με να δείξετε ότι ο αριθμός

είναι τέλειο τετράγωνο ακέραιου αριθμού. (Α Λυκείου, 1989)

8. Να βρείτε τα τελευταία δύο ψηφία του αριθμού (Α Λυκείου, 6η Ε.Μ.Ο.,1989)

9. Για ποιες τιμές του ο αριθμός διαιρείται με το 7; (Β Λυκείου, 6η Ε.Μ.Ο., 1989)

10. Να βρεθούν όλοι οι διψήφιοι αριθμοί που έχουν την ιδιότητα: ο είναι

τετραψήφιος αριθμός της μορφής (Α Λυκείου, 7η Ε.Μ.Ο., 1990)

11. Να βρεθούν όλες οι θετικές ακέραιες λύσεις της εξίσωσης (Β Λυκείου, 7η Ε.Μ.Ο., 1990)

12. Να βρείτε το υπόλοιπο της διαίρεσης με το 10 του αριθμού (Γ Λυκείου, 7η Ε.Μ.Ο., 1990)

13. Να προσδιορίσετε όλους τους φυσικούς αριθμούς για τους οποίους ο αριθμός είναι πρώτος.

14. Με τη βοήθεια του κανόνα και του διαβήτη να διαιρέσετε σε τρία ίσα μέρη μια δοσμένη γωνία

15. Να προσδιορίσετε όλους τους φυσικούς αριθμούς για

τους οποίους ισχύει: (Β Λυκείου, Θαλής, 1994)

16. Να αποδείξετε ότι υπάρχουν φυσικοί αριθμοί που τα 4 τελευταία ψηφία τους είναι 1994 και διαιρούνται με το 1993. (Γ Λυκείου, Θαλής, 1994) 17. Στα τετράγωνα ενός πίνακα είναι γραμμένα τα ψηφία 0. (Σχ. 1) Λαμβάνουμε ένα τετράγωνο του πίνακα και στους αριθμούς που υπάρχουν προσθέτουμε το 1. Να εξετάσετε, αν μετά από μερικές φορές ο πίνακας μπορεί να γίνει όπως στο σχήμα 2.

Σχ.1 Σχ.2 (Α Λυκείου, Αρχιμήδης, 1995)

18. Να εξετάσετε αν υπάρχουν ακέραιοι που ικανοποιούν την εξίσωση: (Α Λυκείου, Αρχιμήδης, 1995)

19. Να προσδιορίσετε τους πρώτους αριθμούς για τους οποίους ο αριθμός είναι πρώτος. (Β Λυκείου, Αρχιμήδης, 1995) 20. Δίνονται 81 φυσικοί αριθμοί των οποίων οι πρώτοι διαιρέτες ανήκουν στο σύνολο {2,3,5}. Να αποδείξετε ότι υπάρχουν τέσσερις αριθμοί, από τους 81, των οποίων το γινόμενο είναι τέταρτη δύναμη φυσικού αριθμού. (Αρχιμήδης, 1996)

21. Να ορίσετε το πλήθος των συναρτήσεων , με

οι οποίες ικανοποιούν τη συνθήκη: ο αριθμός είναι

περιττός. (Αρχιμήδης, 1996) 22. Δείξτε ότι κάθε θετικός ρητός αριθμός μπορεί να παρασταθεί με μοναδικό

τρόπο στη μορφή

όπου οι είναι ακέραιοι με

και

23. Να αποδείξετε ότι η εξίσωση δεν έχει ακέραια λύση. (Α Λυκείου, 57ος Ευκλείδης, 1996)

24. Έστω α,β,γ,δ τέσσερις ακέραιοι αριθμοί στη διάταξη α βγ δ

Στη διάταξη αυτή κάνουμε την εξής κίνηση: Είτε προσθέτουμε έναν ακέραιο (θετικό ή αρνητικό) σε κάθε στοιχείο μιας γραμμής, είτε προσθέτουμε έναν ακέραιο (θετικό ή αρνητικό) σε κάθε στοιχείο μιας στήλης. Δείξτε ότι από την αρχική διάταξη μπορούμε να καταλήξουμε στην:

0 00 0

αν και μόνο αν (Α Λυκείου, Ευκλείδης, 1996)

25. Έστω η γνησίως αύξουσα συνάρτηση και Αν για κάθε

ισχύει: διαιρεί το να προσδιοριστεί η συνάρτηση

(Γ Λυκείου, Ευκλείδης, 1996)

26. Να λυθεί στο σύνολο των ακεραίων αριθμών το σύστημα:

(Β Λυκείου, Ευκλείδης, 1996)

27. Να βρεθούν όλες οι ακέραιες λύσεις της εξίσωσης:

(Αρχιμήδης, μεγάλοι, 1997)

28. Ο καθηγητής έγραψε το τριώνυμο στον πίνακα. Στη συνέχεια κάποιοι μαθητές είτε πρόσθεταν 1, είτε αφαιρούσαν 1 (όχι και τα δύο ταυτόχρονα) από το συντελεστή του ή από το σταθερό όρο και μετά από λίγο εμφανίστηκε το τριώνυμο Να αποδείξετε ότι κάποιο από τα τριώνυμα που εμφανίστηκαν διαδοχικά στον πίνακα είχε ακέραιες ρίζες. (Α Λυκείου, 58ος Θαλής, 1997)

29. Αν οι φυσικοί αριθμοί είναι πρώτοι, μεγαλύτεροι του 3, να αποδείξετε ότι το 6 διαιρεί το (Α Λυκείου, 58ος Θαλής, 1997)

30. Έστω ακέραιοι αριθμοί, τέτοιοι ώστε

Να αποδείξετε ότι ο αριθμός διαιρείται με το 27. (Β Λυκείου, 58ος Θαλής, 1997)

31. Αν ο είναι πρώτος, να εξετάσετε αν ο αριθμός είναι πρώτος. (Γ Λυκείου, Θαλής, 1997)

32. Σε τετραγωνισμένο χαρτί τοποθετούμε τους αριθμούς 1,2,…,2500. Να

εξετάσετε αν είναι δυνατόν να τοποθετήσουμε τους αριθμούς αυτούς έτσι ώστε το άθροισμα των στοιχείων κάθε γραμμής και κάθε στήλης να είναι:

α) περιττός αριθμός,β) αριθμός που δεν διαιρείται με το 5. (Γ Λυκείου, Θαλής, 1997)

33. Έστω Να αποδείξετε ότι οι αριθμοί και έχουν

διαφορετικό άθροισμα ψηφίων. (Α Λυκείου, 58ος Ευκλείδης, 1998)

34. Να αποδείξετε ότι δεν υπάρχουν ακέραιοι αριθμοί και τέτοιοι ώστε να ισχύει (Α Λυκείου, 57ος Θαλής, 1996).

35. Αν είναι ακέραιοι με να λυθεί η εξίσωση

(Β Λυκείου, Θαλής, 1996)

36. Να δείξετε ότι υπάρχει θετικός ακέραιος διαιρετός με το 1996 που το άθροισμα των ψηφίων του είναι 1996. (Νορβηγία, 1996)

37. Δίνεται το πολυώνυμο όπου οι είναι

ακέραιοι. Αν οι αριθμοί και είναι περιττοί να αποδείξετε ότι η

εξίσωση δεν έχει ακέραιες ρίζες.

38. Να δείξετε ότι ανάμεσα σε 79 διαδοχικούς φυσικούς, μπορούμε να βρούμεέναν που το άθροισμα των ψηφίων του να είναι πολλαπλάσιο του 13. Ισχύει το ίδιο για 78 διαδοχικούς φυσικούς;

39. Να δείξετε ότι από 200 φυσικούς αριθμούς μπορούμε να επιλέξουμε 100 ώστετο άθροισμά τους να διαιρείται με 100.

40. Να αποδείξετε ότι ο αριθμός είναι σύνθετος, για κάθε

(Β Λυκείου, 58ος Ευκλείδης, 1998)

41. Οι φυσικοί αριθμοί είναι τέτοιοι ώστε Να

αποδείξετε ότι καθένα από τα κλάσματα είναι φυσικός.

(Β Λυκείου, 58ος Ευκλείδης, 1998)

42. Να αποδείξετε ότι υπάρχουν άπειρες αριθμητικές πρόοδοι με όρους

των οποίων το γινόμενο είναι νιοστή δύναμη ενός φυσικού αριθμού.

(Αρχιμήδης, μεγάλοι, 1998)

43. Να βρείτε όλα τα ζευγάρια των φυσικών αριθμών που ικανοποιούν

την εξίσωση (Α Λυκείου, 1985)

44. Να δείξετε ότι υπάρχουν 10 διαδοχικοί φυσικοί οι οποίοι είναι όλοι σύνθετοι. (Κίνα, 1957)

45. Οι αριθμοί και είναι πρώτοι. Να βρείτε τον

46. Οι αριθμοί είναι πρώτοι. Να βρείτε τον

47. Να δείξετε ότι αν ένας αριθμός έχει περιττό πλήθος θετικών διαιρετών, θα είναι τέλειο τετράγωνο.

48. Αν ο αριθμός είναι πρώτος, να δείξετε ότι ο αριθμός

διαιρείται από τον

49. Να αποδειχθεί ότι δεν υπάρχουν ακέραιοι τέτοιοι ώστε

50. Να αναλυθεί ο αριθμός σε γινόμενο δύο ακεραίων παραγόντων έτσι ώστε καθένας απ’ αυτούς να είναι μεγαλύτερος από το

51. Να προσδιορίσετε τον μεγαλύτερο φυσικό ο οποίος είναι μικρότερος από τον 1000 και έχει ακριβώς 10 θετικούς διαιρέτες.

52. Να δείξετε ότι ο αριθμός είναι σύνθετος.

53. Έστω δύο ακέραιοι. Να δείξετε ότι οι αριθμοί και διαιρούνται με το 17 για τις ίδιες τιμές των (Ουγγαρία, 1894)

54. Βρείτε όλους τους θετικούς ακέραιους για τους οποίους ο διαιρείται με το 3. (Ουγγαρία, 1898)

55. Αποδείξτε ότι αν ο είναι θετικός ακέραιος τότε ο αριθμός διαιρείται με το 5 αν και μόνο αν ο δεν διαιρείται με το 4. (Ουγγαρία, 1901)

56. Να δείξετε ότι μπορούμε να βρούμε περισσότερες από 1000 τριάδες φυσικών αριθμών που ικανοποιούν τη σχέση (Μόσχα, 1977)

57. Δείξτε ότι η εξίσωση έχει άπειρες ακέραιες λύσεις για τις

οποίες (Καναδάς, 1991)58. Να βρείτε τους ακέραιους για τους οποίους ισχύει

(Μόσχα, 1945)

59. Να δείξετε ότι η εξίσωση δεν έχει ακέραιες λύσεις. (Μόσχα, 1946)

60. Να δείξετε ότι σε μια συγκέντρωση 285 ατόμων, τουλάχιστον ένας θα δώσει άρτιο αριθμό από χειραψίες. (Ισπανία, 1977)

61. Να βρείτε τα δύο τελευταία ψηφία της διαφοράς (Ουγγαρία, 1978)

62. Να δείξετε ότι κάθε κύβος ακεραίου είναι διαφορά δύο τετραγώνων ακεραίων. (Νορβηγία, 1987)

63. Σε κάθε θετικό ακέραιο κ αντιστοιχούμε έναν μη αρνητικό αριθμό έτσι

ώστε να ισχύουν:

α) για κάθε

β) αν το τελευταίο ψηφίο του κ (στο δεκαδικό σύστημα αρίθμησης)

είναι το 3

γ)

Να δείξετε ότι για κάθε (Ελλάδα, 1986)

64. Από τους αριθμούς 1,2,…,200 παίρνουμε 101 τυχαίους. Να δείξετε ότι ανάμεσά τους υπάρχουν δύο που ο ένας διαιρεί τον άλλο. (Μόσχα, 1941)

65. Να δείξετε ότι ο αριθμός έχει τη μορφή και διαιρείται με το 6000. (Τσεχοσλοβακία, 1963)

66. Να δείξετε ότι η παράσταση είναι ακέραιος που διαιρείται με το

24 για κάθε (Ισπανία, 1975)

67. Να αποδειχθεί ότι κάθε ακέραιος είναι άθροισμα δύο σύνθετων αριθμών.

68. Βρείτε όλους τους θετικούς ακέραιους για τους οποίους ο αριθμός είναι κύβος ενός θετικού ακεραίου. (Σουηδία, 1989)

69. Μια συνάρτηση έχει την ιδιότητα για κάθε

θετικό ακέραιο Αν να βρείτε το (Εσθονία, 1997)

70. Είναι δυνατόν να διαμερίσουμε το σύνολο {1,2,…,33} σε 11 ξένα μεταξύ τους σύνολα καθένα με τρία στοιχεία, έτσι ώστε σε καθένα από αυτά σύνολα ένα από τα στοιχεία να είναι το άθροισμα των άλλων δύο στοιχείων;

(Σουηδία, 1999)

71. Έστω α,β,γ πρώτοι αριθμοί μεγαλύτεροι του 3. Να αποδείξετε ότι ο αριθμός είναι σύνθετος.

72. Δείξτε ότι ανάμεσα σε πέντε ακεραίους, μπορούμε πάντα να διαλέξουμε τρεις έτσι ώστε το άθροισμά τους να διαιρείται με το 3.

73. Δείξτε ότι αν ο ρ είναι ρητός και ο είναι ακέραιος τότε

74. Δείξτε ότι ο αριθμός δεν είναι ακέραιος.

75. Αποδείξτε ότι ο αριθμός διαιρείται με 5.

76. Έστω ν ένας πενταψήφιος αριθμός και έστω μ ο τετραψήφιος που σχηματίζεται απ’ τον ν αν διαγράψουμε το μεσαίο ψηφίο του. Βρείτε όλους

τους ν για τους οποίους ο είναι ακέραιος.

77. Αποδείξτε ότι για κάθε θετικό ακέραιο ο αριθμός διαιρείται με 10.

78. Αποδείξτε ότι ο αριθμός διαιρείται με το 33 για κάθε

79. Ποιος είναι ο μέγιστος κοινός διαιρέτης των αριθμών του συνόλου

;

80. Πόσοι αριθμοί από το 1 έως το δεν είναι ούτε τέλεια τετράγωνα, ούτε τέλειοι κύβοι, ούτε τέλειες πέμπτες δυνάμεις;

81. Αποδείξτε ότι η εξίσωση έχει ακριβώς 2006 λύσεις.

82. Αποδείξτε ότι ο αριθμός είναι σύνθετος για .

83. Αποδείξτε ότι για ο αριθμός δεν είναι τέλειο τετράγωνο.

84. Αν α,β,γ,δ είναι θετικοί ακέραιοι με , δείξτε ότι ο αριθμός

είναι σύνθετος. (Γερμανία)

85. Καθένας από τους φυσικούς αριθμούς διαιρείται απ’ τον ο οποίος είναι επίσης φυσικός. Αποδείξτε ότι (Λένινγκραντ, 1988)

86. Βρείτε έναν 100-ψήφιο φυσικό αριθμό με μη μηδενικά ψηφία ο οποίος διαιρείται από το άθροισμα των ψηφίων του. (Λένινγκραντ, 1988)

87. Βρείτε δύο εξαψήφιους αριθμούς έτσι ώστε ο δωδεκαψήφιος αριθμός που προκύπτει αν γράψουμε τον έναν μετά τον άλλο να διαιρείται από το γινόμενό τους. (Λένινγκραντ, 1989)

88. Βρείτε όλες τις τριάδες ακεραίων ώστε και

(Λένινγκραντ, 1990)

89. Αποδείξτε ότι δεν υπάρχουν θετικοί ακέραιοι και έτσι ώστε οι αριθμοί και να είναι τέλεια τετράγωνα. (Ουγγαρία-Ισραήλ, 1990)

90. Αν είναι ένας θετικός ακέραιος, μπορεί ο αριθμός να είναι η 7η

δύναμη ενός ακεραίου; (ΗΠΑ, 1994)

91. Βρείτε όλους τους θετικούς ακέραιους για τους οποίους οι αριθμοί είναι πρώτοι. (ΗΠΑ, 1996)

92. Βρείτε όλους τους θετικούς ακέραιους για τους οποίους ο είναι πολλαπλάσιο του (ΗΠΑ, 1996)

93. Οι είναι ακέραιοι τέτοιοι ώστε οι και να είναι τέλεια τετράγωνα. Αποδείξτε ότι καθένας απ’ τους είναι πολλαπλάσιο του 3. (ΗΠΑ, 1998)

94. Βρείτε όλους τους θετικούς ακέραιους για τους οποίους ο είναι τέλειο τετράγωνο. (ΗΠΑ, 2000)

95. Βρείτε τα ζεύγη μη αρνητικών ακεραίων για τους οποίους

(ΗΠΑ, 2000)

96. Για κάθε θετικό ακέραιο θα συμβολίζουμε με το άθροισμα των

ψηφίων του.

α) Αποδείξτε ότι δεν υπάρχει ώστε

β) Βρείτε όλους τους ώστε (ΗΠΑ, 2002)

97. α) Αν καθένας από τους ακεραίους είναι άθροισμα δύο τελείων τετραγώνων ακεραίων, να δείξετε ότι το ίδιο ισχύει και για το γινόμενό τους. β) Αποδείξτε ότι ο αριθμός είναι το άθροισμα δύο τελείων τετραγώνων ακεραίων. (ΗΠΑ, 2003)

98. Κάθε θετικός ακέραιος χρωματίζεται είτε κόκκινος είτε μπλε. Να δείξετε ότι υπάρχουν τρεις θετικοί ακέραιοι με το ίδιο χρώμα ώστε (ΗΠΑ, 2003)99. Αποδείξτε ότι αν ο αριθμός είναι πολλαπλάσιο του16 όπου οι

είναι ακέραιοι, τότε ο αριθμός είναι πολλαπλάσιο του 64. (ΗΠΑ, 2003)100. Αποδείξτε ότι ανάμεσα σε οποιουσδήποτε 39 διαδοχικούς φυσικούς αριθμούς υπάρχει κάποιος το άθροισμα των ψηφίων του οποίου διαιρείται δια του 11. (ΕΣΣΔ, 1961)

101. Ένας εξαψήφιος αριθμός θα λέγεται «τυχερός» αν το άθροισμα των τριών

πρώτων ψηφίων του ισούται με το άθροισμα των τριών τελευταίων ψηφίων του. Αποδείξτε ότι το άθροισμα όλων των «τυχερών» αριθμών διαιρείται με το 13. (ΕΣΣΔ, 1965)

102. Να βρείτε όλα τα ζεύγη των ακεραίων αριθμών τα οποία επαληθεύουν

την εξίσωση (ΕΣΣΔ, 1967)

103. Να βρείτε τον μέγιστο ακέραιο αριθμό ώστε ο αριθμός να

είναι τέλειο τετράγωνο. (ΕΣΣΔ, 1972)

104. Να αποδειχθεί ότι ο αριθμός είναι διαιρετός με το 1930.

(Α Λυκείου, Θαλής, 1995)

105. Έστω ακέραιοι τέτοιοι ώστε

Αποδείξτε ότι ο αριθμός διαιρείται με

106. Έστω δύο διαφορετικοί επταψήφιοι αριθμοί που αποτελούνται από τα

ψηφία 1,2,3,4,5,6,7 χωρίς επαναλήψεις. Να αποδείξετε ότι ο δεν είναι πολλαπλάσιο του

107. Αν είναι τρεις φυσικοί αριθμοί με , να αποδειχθεί ότι ο αριθμός είναι πολλαπλάσιο του 3.

108. Ονομάζουμε έναν αριθμό «ωραίο» αν μπορεί να γραφεί ως γινόμενο δύο

πρώτων αριθμών. Να βρείτε το μέγιστο πλήθος διαδοχικών αριθμών οι οποίοι να είναι όλοι «ωραίοι».

109. Έστω ένας πρώτος και όπου

πρώτοι μεταξύ τους. Να αποδείξετε ότι ο διαιρεί τον

110. Να βρείτε τα τελευταία τρία ψηφία του αριθμού

111. Να αποδειχθεί ότι ο αριθμός είναι πολλαπλάσιο του 7.

112. Να υπολογισθεί το υπόλοιπο της διαίρεσης του διά του 8.

113. α) Να βρείτε όλους τους φυσικούς ν για τους οποίους ο διαιρείται με

το 7. β) Να αποδείξετε ότι δεν υπάρχει φυσικός ν για τον οποίο ο να διαιρείται με το 7. (6η ΔΜΟ, 1964)

114. Να βρεθούν οι λύσεις της εξίσωσης όπου

φυσικοί.

115. Να λυθεί η εξίσωση όπου ακέραιοι με

116. Θεωρούμε τον αριθμό γραμμένο στο δεκαδικό σύστημα και έστω Α το άθροισμα των ψηφίων του. Έστω Β το άθροισμα των ψηφίων του Α. Να βρείτε το άθροισμα των ψηφίων του Β. (17η ΔΜΟ, 1975)

117. Να λυθεί στους ακεραίους η εξίσωση

118. Δείξτε ότι αν οι και είναι τέλεια τετράγωνα, (όπου ), τότε ο διαιρείται με το 40.

119. Έστω το γινόμενο όλων των διαιρετών του (συμπεριλαμβανομένων

του 1 και του ), όπου και ακέραιος. Βρείτε το μικρότερο για τον οποίο ισχύει

120. Είναι δυνατόν να πάρουμε ανά δύο τους αριθμούς 1,2,3,…,50 με τέτοιο τρόπο ώστε το άθροισμα των αριθμών κάθε ζεύγους να είναι ένας διαφορετικός πρώτος αριθμός;

121. Υποθέτουμε ότι διατάσσουμε κατά αύξουσα σειρά όλα τα ανάγωγα κλάσματα μεταξύ 0 και 1 και με παρανομαστή το πολύ 99. Να βρείτε τα δύο

γειτονικά κλάσματα του σ’ αυτή τη σειρά των κλασμάτων.

122. Βρείτε όλους τους θετικούς ακεραίους με την ιδιότητα: Η τρίτη ρίζα τους προκύπτει παραλείποντας τα τρία τελευταία ψηφία τους.

123. Με τα ψηφία 1,4,6,9 και μόνο γράφουμε δύο τυχαίους φυσικούς αριθμούς με αυθαίρετο πλήθος ψηφίων. Να αποδείξετε ότι ανάμεσα σε αυτούς τους αριθμούς δεν υπάρχουν δύο έτσι ώστε ο ένας να διαιρείται με τον άλλο, και το πηλίκο να είναι ίσο με 17.

124. Στο άθροισμα να αντικαταστήσετε κάθε αστέρι με ένα διαφορετικό ψηφίο εκτός του μηδενός ώστε το άθροισμα να γίνει αριθμός όσο γίνεται πιο κοντά στο 1500.