Download - פרק 4 בעיות ערך קיצון
מעודכן לשנת תשע"ג 0 לא נכשלת כל עוד לא חדלת לנסות
כתב וערך: יוסי דהן. 0 בעיות ערך קיצון -חשבון דיפרנציאלי - 4חלק
30803יחידה שלישית :
א'1חלק
פונקציה:חקירת
פונקציה מסוג פולינום , אחד חלקי איקס , שורש
'א1חלק
משוואת משיק
פונקציה מסוג פולינום , אחד חלקי איקס , שורש
2חלק
אינטגרל : פונקציה קדומה ומציאת שטח
פונקציה של פולינום בלבד
'א0חלק
מאונך מקביל ומטריה אנליטית:גיא
'ב0חלק
מעגל גיאומטריה אנליטית:
4חלק
פתרונות -בעיות קיצון :
פונקציה מסוג פולינום , אחד חלקי איקס , שורש
3חלק
בעיות מילוליות:
תנועה, קנייה ומכירה,
כתב וערך: יוסי דהן
מעודכן לשנת תשע"ג 1 לא נכשלת כל עוד לא חדלת לנסות
כתב וערך: יוסי דהן. 1 בעיות ערך קיצון -חשבון דיפרנציאלי - 4חלק
. משוואות ומספרים:1
מועד ב' קיץ תש"ע 03330מבחן בגרות : 1פר שאלה מס
24המקיימים ( גדולים מאפס)ה y –ו xמבין כל שני מספרים yx
מה צריכים להיות שני המספרים , כדי שמכפלת אחד מהם בריבוע של האחר תהיה מקסימלית? )א(
רים בריבוע של האחר( ?מהי המכפלה המקסימלית )של אחד המספ )ב(
פתרון:
y - ומספר שני x - מספר אחד סמןנ
םנתוני
44הסכום של שני מספרים הוא
פונקציית המטרה
מכפלת אחד מהם בריבוע של האחר תהיה מקסימלית
המספר השני : 16xהמספר הראשון:
: תשובה סופית
max048,2p)ב( 16: שנימספר 8: אחד )א( מספר
xyx
yx
24,
24
הפונקציה
2048
)16()16(24
16
24
32
32
p
p
x
xxp
22
2
2
24
)24(
max
xxp
xxp
yxp
נגזרת ראשונה
160
)348(0
3480
0'
348'
21
2
2
xx
xx
xx
p
xxp
נגזרת שנייה
max48)16(648)16("
min48)0(648)0("
648"
xp
xp
xp
8
)16(24
16
24
y
y
x
xy
סיכום התשובה
2048
8
max16
p
y
x
מעודכן לשנת תשע"ג 4 לא נכשלת כל עוד לא חדלת לנסות
כתב וערך: יוסי דהן. 4 בעיות ערך קיצון -חשבון דיפרנציאלי - 4חלק
מועד ב' קיץ תשס"ט 03830: מבחן בגרות 2שאלה מספר
10המקיימים ( גדולים מאפס)ה y –ו xמבין כל שני מספרים yx
מצא מה צריכים להיות שני המספרים , כדי שסכום הריבועים שלהם יהיה מינימלי. )א(
רים.מצא את סכום הריבועים המינימלי של שני המספ )ב(
פתרון:
y - ומספר שני x - מספר אחד סמןנ
נתונים 10הסכום של שני מספרים הוא
פונקציית המטרה
סכום הריבועים שלהם יהיה מינימלי
המספר השני : 5xר הראשון: המספ
: תשובה סופית
min50p )ב( 5 שנימספר 5 :אחדמספר . א()
xyx
yx
10,
10
הפונקציה
50
100)5(20)5(2
5
100202
2
2
p
p
x
xxp
100202
20100
)10(
max
2
22
22
22
xxp
xxxp
xxp
yxp
נגזרת ראשונה
5
204
2040
0'
204'
x
x
x
p
xp
נגזרת שנייה
min4" p
5
)5(10
10
10
y
y
x
xy
מעודכן לשנת תשע"ג 3 לא נכשלת כל עוד לא חדלת לנסות
כתב וערך: יוסי דהן. 3 בעיות ערך קיצון -חשבון דיפרנציאלי - 4חלק
מועד ב' קיץ תשס"ח 03330מבחן בגרות : 0שאלה מספר
502המקיימים y –ו xמבין כל שני מספרים yx
מצא את שני המספרים שסכום ריבועיהם מינימלי )א(
סכום ריבועיהם מינימלי. ומה ( ב)
פתרון: y - ומספר שני x - מספר אחד סמןנ
נתונים
502מקיימים yx .
פונקציית המטרה
. סכום ריבועיהם מינימלי
המספר השני : 20xהמספר הראשון:
:סופית תשובה
10y20x)א( (ב ) min500p
xyx
yx
250,
502
הפונקציה
500
2500)20(200)20(5
20
25002005
2
2
p
p
x
xxp
25002005
42002500
)250(
min
2
22
22
22
xxp
xxxp
xxp
yxp
נגזרת ראשונה
20
20010
200100
0'
20010'
x
x
x
p
xp
10
)20(250
20
250
y
y
x
xy
נגזרת שנייה
Max/min min10)('' xP
מעודכן לשנת תשע"ג 4 לא נכשלת כל עוד לא חדלת לנסות
כתב וערך: יוסי דהן. 4 בעיות ערך קיצון -חשבון דיפרנציאלי - 4חלק
תשס"ח 2338נובמבר מועד 03330מבחן בגרות : 4שאלה מספר
202המקיימים y -ו xמבין כל המספרים yx ,
מינימלי.הוא שסכום ריבועיהםמצא את שני המספרים )א(
סכום ריבועיהם מינימלי. ומה ( ב)
פתרון: y - ומספר שני x - מספר אחד סמןנ
נתונים
202מקיימים yx .
פונקציית המטרה
. סכום ריבועיהם מינימלי
: המספר השני 8xהמספר הראשון:
:סופית תשובה
48)א( yx (ב ) min80p
xyx
yx
220,
202
הפונקציה
80
400)8(80)8(5
8
400805
2
2
p
p
x
xxp
400805
480400
)220(
min
2
22
22
22
xxp
xxxp
xxp
yxp
נגזרת ראשונה
8
8010
80100
0'
8010'
x
x
x
P
xP
4
)8(220
8
220
y
y
x
xy
נגזרת שנייה
Max/min min10'' P
מעודכן לשנת תשע"ג 5 לא נכשלת כל עוד לא חדלת לנסות
כתב וערך: יוסי דהן. 5 בעיות ערך קיצון -חשבון דיפרנציאלי - 4חלק
.2311מועד גנוז קיץ 03830מבחן בגרות : 3שאלה מספר
75המקיימים y –ו xמבין כל המספרים החיוביים )א(. yx
yxמצא את שני המספרים שעבורם הסכום 3 .הוא מינימלי
מצא את הערך המינימלי של סכום זה . )ב(.
פתרון:
y - ומספר שני x - מספר אחד סמןנ
נתונים
75המספרים המקיימים yx
פונקציית המטרה
yxסכום 3 הוא מינימלי
המספר השני : 5xהמספר הראשון:
: תשובה סופית
155 )א(. yx .)ב( min30p
xyx
yx
75,
75
הפונקציה
30
5
75)5(3
5
753
p
p
x
xxp
xxp
yxp
753
min3
נגזרת ראשונה
55
2525
753
7530
7530
0'
753'
753'
21
2
2
2
2
2
2
2
2
xx
xx
x
x
x
x
P
x
xP
xP
15
5
75
5
75
y
y
x
xy
נגזרת שנייה
Max/min )כדי לקבוע סימן מספיק לגזור את המונה(
max30)5(6)5(''
min30)5(6)5(''
6)(''
P
P
xxP
מעודכן לשנת תשע"ג 6 לא נכשלת כל עוד לא חדלת לנסות
כתב וערך: יוסי דהן. 6 בעיות ערך קיצון -חשבון דיפרנציאלי - 4חלק
.2310מועד חורף תשע"ג 03830מבחן בגרות .6שאלה מספר
48 המקיימים z -ו x החיוביים )א(. מבין כל זוגות המספרים zx,
zxמצא את זוג המספרים שעבורם הסכום 3 .הוא מינימלי
?)ב(. מהו הסכום המינימלי
פתרון: z - ומספר שני x - מספר אחד סמןנ
נתונים
48 המקיימים המספרים zx,
פונקציית המטרה
zxסכום 3 הוא מינימלי.
המספר השני : 12xהמספר הראשון:
תשובה סופית:
412 )א( zx )ב( min24p
xzx
zx
48,
50
הפונקציה
24
12
144)12(1
12
1441
p
p
x
xxp
xxp
xxp
zxp
144
483
min3
נגזרת ראשונה
1212
144144
14410
14410
0'
1441'
1441'
21
2
2
2
2
2
2
2
xx
xx
x
x
x
p
x
xp
xp
4
12
48
12
48
z
z
x
xz
נגזרת שנייה
Max/min )כדי לקבוע סימן מספיק לגזור את המונה(
max24)12(2)12(''
min24)12(2)12(''
2)(''
P
P
xxP
מעודכן לשנת תשע"ג 7 לא נכשלת כל עוד לא חדלת לנסות
כתב וערך: יוסי דהן. 7 בעיות ערך קיצון -חשבון דיפרנציאלי - 4חלק
.0231 תשע"גקיץ א' מועד 03830מבחן בגרות .7שאלה מספר
42 המקיימים y –ו x מבין כל המספרים החיוביים yx ,
yxמצא את שני המספרים שעבורם הסכום .הוא מינימלי
פתרון:
y - ומספר שני x - מספר אחד סמןנ
נתונים
42המספרים המקיימים yx
פונקציית המטרה
yxשעבורם הסכום .הוא מינימלי
המספר השני : 2xהמספר הראשון:
תשובה סופית: 12 yx
2
2
4,
4
xyx
yx
ציההפונק
3
)2(
4)2(
2
4
2
2
p
p
x
xxp
2
4
min
xxp
yxp
נגזרת ראשונה
280
)8(0
80
810
0'
81'
81'
)(
241'
2
3
1
3
4
4
4
4
4
4
22
xxx
xx
xx
x
xx
p
x
xxp
x
xp
x
xp
1
)2(
4
2
4
2
2
y
y
x
xy
נגזרת שנייה
Max/min
)כדי לקבוע סימן מספיק לגזור את המונה(
max88)0(4)0(''
min248)2(4)2(''
84)(''
3
3
f
f
xxf
מעודכן לשנת תשע"ג 8 לא נכשלת כל עוד לא חדלת לנסות
כתב וערך: יוסי דהן. 8 בעיות ערך קיצון -חשבון דיפרנציאלי - 4חלק
.8שאלה מספר
.74 הסכום של שלושה מספרים חיוביים הוא
מהמספר הראשון. 4פי השני גדול המספר
את המספר הראשון , והבע באמצעותו את המספר השלישי. x –סמן ב )א(
שעבורו מכפלת שלושת המספרים תהיה מקסימלית. x)ב( מצא את הערך של
סימלית?קמה צריכים להיות שלושת המספרים כדי שמכפלתם תהיה מ)ג(
פתרון:
y -מספר שלישי 2x - ומספר שני x - מספר אחד סמןנ
נתונים 74 מספרים חיוביים הסכום של שלושה
פונקציית המטרה
סימליתקשלושת המספרים שתהיה משל מכפלתם
161 המספר הראשון: x
321622 : המספר השני x
: יהמספר השליש
תשובה סופית:
24,32,16( ג) 16x)ב( x372)א(
)372(),2(),(
722
xyxx
yxx
הפונקציה
288,12
)16(6)16(144
16
6144
32
32
p
p
x
xxp
32
2
6144
)372(2
max)372()2()(
xxp
xxp
xxxp
נגזרת ראשונה
160
)18288(0
182880
0'
18288'
21
2
2
xx
xx
xx
P
xxP
24)16(3723 x
נגזרת שנייה
Max/min
min288)0(36288)0(''
max288)16(36288)16(''
36288)(''
P
P
xxP
מעודכן לשנת תשע"ג 9 לא נכשלת כל עוד לא חדלת לנסות
כתב וערך: יוסי דהן. 9 בעיות ערך קיצון -חשבון דיפרנציאלי - 4חלק
.2312 קיץ תשע"ב מועד 30803בגרות מבחן: 9שאלה מספר
.18הסכום של שלושה מספרים חיוביים הוא
מהמספר הראשון. 4השני גדול פי המספר
את המספר הראשון , והבע באמצעותו את המספר השלישי. x –סמן ב )א(
שעבורו מכפלת שלושת המספרים תהיה מקסימלית. x)ב( מצא את הערך של
סימלית?קכים להיות שלושת המספרים כדי שמכפלתם תהיה ממה צרי)ג(
פתרון:
y -מספר שלישי 2x - ומספר שני x - מספר אחד סמןנ
נתונים 18 מספרים חיובייםהסכום של שלושה
פונקציית המטרה
שלושת המספרים שתהיה מכסימליתשל מכפלתם
41 המספר הראשון: x
8422 : המספר השני x
: יהמספר השליש
תשובה סופית:
6,8,4( ג) 4x)ב( x318)א(
)318(),2(),(
182
xyxx
yxx
הפונקציה
192
)4(6)4(36
4
636
32
32
p
p
x
xxp
32
2
636
)318(2
max)318()2()(
xxp
xxp
xxxp
נגזרת ראשונה
40
)1872(0
18720
0'
1872'
21
2
2
xx
xx
xx
P
xxP
6)4(3183 x
נגזרת שנייה
Max/min
min72)0(3672)0(''
max72)4(3672)4(''
3672)(''
P
P
xxP
מעודכן לשנת תשע"ג 10 לא נכשלת כל עוד לא חדלת לנסות
כתב וערך: יוסי דהן. 10 בעיות ערך קיצון -חשבון דיפרנציאלי - 4חלק
:13שאלה מספר
המורכב משני מוטות בונים מתקן מטר 18ממוט ברזל שאורכו
מאוזנים ושלושה מוטות מאונכים.
מה צריך להיות מידות הסורגמצא
כדי ששטחו יהיה מקסימלי ? )אורך ורוחב(
פתרון:
ם:נתוני
פונקציית המטרה
)אורך ורוחב( מה צריך להיות מידות הסורגמצא
כדי ששטחו יהיה מקסימלי
מטר 4.5 מטר. 3: סופית תשובה
שטח הסורג
2
3
26
)3
26(
xxp
xxp
baS
הפונקציה
2
3
26 xxp
נגזרת ראשונה
5.4
63
4
3
460
0'
3
46'
x
x
x
p
xp
נגזרת שנייה
Max/min
max4
3)('' xp
צלעות הסורג
x2 : מוטות מאוזנים
y3מוטות מאונכים:
מטר 18אורך המוט:
xy
xy
xy
yx
3
26
3
2
3
18
2183
1832
y y y
x
x
צלעות הסורג
5.4x: מוזןמוט
:מאונךמוט
3
)5.4(3
26
3
26
y
y
xy
x
מעודכן לשנת תשע"ג 11 לא נכשלת כל עוד לא חדלת לנסות
כתב וערך: יוסי דהן. 11 בעיות ערך קיצון -חשבון דיפרנציאלי - 4חלק
.11שאלה מספר
המורכב משני מוטות בונים סורג מלבני ס"מ 400ממוט ברזל שאורכו
וזנים. מאונכים וחמישה מוטות מא
מצא מה צריך להיות מידות הסורג
כדי ששטחו יהיה מקסימלי ? )אורך ורוחב(
פתרון:
נתונים:
פונקציית המטרה
)אורך ורוחב( מה צריך להיות מידות הסורגמצא
כדי ששטחו יהיה מקסימלי
:סופיתתשובה ס"מ. 50ס"מ , 40
שטח הסורג
25.2100
)5.2100(
xxp
xxp
baS
הפונקציה
1000
)20(5.2)20(100
5.2100
2
2
p
p
xxp
נגזרת ראשונה
20
1005
51000
0'
5100'
x
x
x
p
xp
נגזרת שנייה
Max/min max5)('' xp
צלעות הסורג
x5 : מוטות מאוזנים
y2: מאוזניםמוטות
ס"מ 200אורך המוט:
xy
xy
xy
yx
5.2100
2
5
2
200
52002
20025
צלעות הסורג
20x: מאוזןממוט
:ונךמוט מא
50
)20(5.2100
5.2100
y
y
xy
y
x
x
מעודכן לשנת תשע"ג 14 לא נכשלת כל עוד לא חדלת לנסות
כתב וערך: יוסי דהן. 14 בעיות ערך קיצון -חשבון דיפרנציאלי - 4חלק
.12ר שאלה מספ
מוטות אנכיים - 6המורכבת מ ס"מ בונים רשת 48מחוט ברזל שאורכו
מוטות מאוזנים ) ראה ציור( 4 - ו
המלבן ותדימה צריכים להיות מ
כדי ששיטחו יהיה מקסימלי ?)אורך ורוחב(
פתרון:
נתונים:
פונקציית המטרה
חב( )אורך ורו מה צריך להיות מידות הסורגמצא
כדי ששטחו יהיה מקסימלי
:סופיתתשובה ס"מ 6ס"מ , 4
שטח הסורג
25.112
)5.112(
xxp
xxp
baS
הפונקציה
96
)8(5.1)8(12
5.112
2
2
p
p
xxp
נגזרת ראשונה
4
123
3120
0'
312'
x
x
x
p
xp
נגזרת שנייה
Max/min max3)('' xp
צלעות הסורג
y4 : םמוטות מאוזני
x6: מאוזניםמוטות
ס"מ 48אורך המוט:
xy
xy
xy
xy
5.112
4
6
4
48
6484
4864
צלעות הסורג
4x: מאונךמוט
ן:מוט מאוז
6
)4(5.112
5.112
y
y
xy
x
y
x
מעודכן לשנת תשע"ג 13 לא נכשלת כל עוד לא חדלת לנסות
כתב וערך: יוסי דהן. 13 בעיות ערך קיצון -חשבון דיפרנציאלי - 4חלק
.10שאלה מספר
שלדה של מיטת נוער עשוי מוטות עץ.
מ"ר. 3, ששטחו ABCDלמסגרת החיצונית של השלד צורת מלבן
BCושלושה מוטות באורך AB מוטות באורך 4 -השלד מורכב מ
ר(.)ראה ציו
, ABCDמה צריכים להיות ממדי המלבן
כדי שסכום אורכי מוטות העץ שמהם עשוי השלד יהיה מינימלי?
פתרון:
נתונים
פונקציית המטרה
מינימלי הברזל יהיה מוטות ם של אורכיהסכום ש
5.12
3
2
3
y
x
xy
:סופיתתשובה
מטר 1.5מטר, 4
נתון השטח
xy
yx
yxS
3
3
סכום המוטות
xxP
xxP
DCADp
123
343
43
הפונקציה
12
)2(
12)2(3
5
123
S
P
x
xxP
נגזרת ראשונה
22
44
123
1230
1230
0'
123'
123'
21
2,1
2
2
2
2
2
2
2
2
xx
xx
x
x
x
x
P
x
xP
xP
y
X
נגזרת שנייה
Max/min כדי לקבוע סימן מספיק לגזור את המונה()
max12)2(6)5(''
min12)2(6)5(''
6)(''
p
p
xxp
x
מעודכן לשנת תשע"ג 14 לא נכשלת כל עוד לא חדלת לנסות
כתב וערך: יוסי דהן. 14 בעיות ערך קיצון -חשבון דיפרנציאלי - 4חלק
תשע"ב 2312חצב/ברק מועד 03830מבחן בגרות : 14שאלה מספר
מוטות 5 -הסורג מורכב מלאכה מייצר סורגים ממוטות ברזל בית מ
מוטות אופקיים שאורכם זהה ) ראה ציור( 3 -ומ ,המאונכים שאורכם זה
.מ"ר 15, ששטחו ABCDמלבן למסגרת החיצונית של הסורג יש צורת
את : xבאמצעות הבע x =ABסמן ב )א(
.BC( אורך המוט 1)
( סכום האורכים של כל מוטות הברזל הדרושים לייצור הסורג.4)
המוטות שמהם הרשת עשויה יהיה מינימלי
מוטות הברזל יהיה מינימלי כדי שסכום האורכים של xמצא מה צריך להיות הערך של )ב(
פתרון:
נתונים
פונקציית המטרה
מינימלי הברזל יהיה מוטות ם של אורכיהסכום ש
סופית: תשובה
( 1)אx
BCxAB15
(2)א min75
3 x
xp )ב( min5x
סכום המוטות
xxP
xxP
BCABPT
753
1553
53
הפונקציה
30
)5(
75)5(3
5
753
P
P
x
xxP
נגזרת ראשונה
55
2525
753
7530
7530
0'
753'
753'
21
2,1
2
2
2
2
2
2
2
2
xx
xx
x
x
x
x
P
x
xP
xP
y
X
נגזרת שנייה
Max/min )כדי לקבוע סימן מספיק לגזור את המונה(
max30)5(6)5(''
min30)5(6)5(''
6)(''
p
p
xxp
x
נתון השטח
xy
yx
yxS
15
15
מעודכן לשנת תשע"ג 15 לא נכשלת כל עוד לא חדלת לנסות
כתב וערך: יוסי דהן. 15 בעיות ערך קיצון -חשבון דיפרנציאלי - 4חלק
.2312 מיוחד נובמבר מועד 03330מבחן בגרות : 13שאלה מספר
בית מלאכה מייצר סורגים ממוטות ברזל.
למסגרת החיצונית של הסורג יש צורת מלבן
מ"ר. 34ששטחו
מטר xמוטות אופקיים באורך 4 –הסורג בנוי מ
)ראה ציור( מוטות אנכיים 8 –מ ו
את האורך של מוט אנכי. x( מצא באמצעות 1. )(א)
ביטוי לסיכום של אורכי כל מוטות הברזל שבסורג. xשום באמצעות ( ר4)
כדי שסכום אורכי מוטות הברזל שמהם עשוי הסורג יהיה מינימלי ? ( מה צריכים להיות ממדי המלבן )ב
פתרון:
נתונים
פונקציית המטרה
מינימלי הברזל יהיה מוטות ם של אורכיהסכום ש
48
32
8
32
y
x
xy
: סופית תשובה
( 1)א x
32 (.2)א
xxp
2564 .)4,8)ב
נתון השטח
xy
yx
yxS
32
32
הפונקציה
64
)8(
256)8(4
8
2564
P
P
x
xxP
נגזרת ראשונה
88
6464
2564
25640
25640
0'
2564'
2564'
21
2,1
2
2
2
2
2
2
2
2
xx
xx
x
x
x
x
P
x
xP
xP
y
נגזרת שנייה
Max/min )כדי לקבוע סימן מספיק לגזור את המונה(
max64)8(8)8(''
min64)8(8)8(''
8)(''
p
p
xxp
סכום המוטות
xxP
xxP
BCABPT
2564
3284
84
מעודכן לשנת תשע"ג 16 לא נכשלת כל עוד לא חדלת לנסות
כתב וערך: יוסי דהן. 16 בעיות ערך קיצון -חשבון דיפרנציאלי - 4חלק
y .BAAB –מקביל לציר ה אורך קטע. 2 yyd
ש"ע .מועד א' קיץ ת 03830מבחן בגרות :1שאלה מספר
של הפונקציות -ו בציור נתונים הגרפים
4
2)(
xxf 2
4
1)( 2 xxg
, x f)(הוא של הפונקציה -ו . איזה מבין הגרפים)א(
? נמק.x g)(ואיזה גרף הוא של הפונקציה
היא נקודה על גרף Bו היא נקודה על גרף A. )ב(
)ראה ציור(. y –מקביל לציר ה ABכך שהקטע
, B –ו Aנקודות של ה x -מצא את שיעור ה
הוא מינימלי. ABשעבורו אורך הקטע
.AB מצא את האורך המינימלי של הקטע )ג(
:פתרון
? x g)(ואיזה גרף הוא של הפונקציה x f)(של הפונקציה הוא -והגרפיםאיזה מבין ( א)
נמק.
' אגרף x g)(' הפונקציה בגרף הישר x f)(הפונקציה
נתונים:
ByAyמשמעות yאורך הקטע בקו מקביל לציר ה
פונקציית המטרה
.הוא מינימלי B –ו Aנקודות בין אורך הקטע
תשובה סופית:
)ג( min5.0ABx (ב) x g)(= גרף x f)(= גרף (א)16
72AB
2
12
4
1
4
1
4
2
42
4
1
4
2
42
4
1
4
22
4
1
min
2
2
2
2
xxp
xxp
xxp
xxp
yyp BA
הפונקציה
167
21
412
41
21
412
41
2
2)5.0()5.0(
5.0
2
p
p
x
xxp
נגזרת ראשונה
5.0
5.025.0
25.05.00
0'
25.05.0'
x
x
x
p
xp
נגזרת שנייה
Max/min min5.0)('' xp
מעודכן לשנת תשע"ג 17 לא נכשלת כל עוד לא חדלת לנסות
כתב וערך: יוסי דהן. 17 בעיות ערך קיצון -חשבון דיפרנציאלי - 4חלק
מועד נובמבר תשס"ז 03330מבחן בגרות : 2שאלה מספר
הפרבולות:נתונים הגרפים של שתי
72
1,3
4
1 22 xyxxy
נמצאת על הפרבולה האחרת. Qנמצאת על פרבולה אחת והנקודה Pהנקודה
)ראה ציור( y -מקביל לציר ה PQהקטע
יהיה מינימלי. PQכדי שאורך הקטע Pא. מה צריכים להיות שיעורי הנקודה
.PQב. מצא את האורך המינימלי של הקטע
פתרון:
נתונים:
QP משמעות yאורך הקטע בקו מקביל לציר ה yy
פונקציית המטרה
יהיה מינימלי. PQשאורך הקטע
: סופית תשובה
min4PQ )ב9,2(P )(min )א(
7375.0
325.075.0
325.075.0
min
2
22
22
xxp
xxxp
xxxp
yyp qp
הפונקציה
4
7)2(3)2(75.0
2
7375.0
2
2
p
p
x
xxp
נגזרת ראשונה
2
35.1
35.10
0'
35.1'
x
x
x
p
xp
נגזרת שנייה
Max/min min5.1)('' xp
pנקודה
)9,2(
9
7)2(5.0
2
75.0
2
2
p
y
y
x
xy
מעודכן לשנת תשע"ג 18 לא נכשלת כל עוד לא חדלת לנסות
כתב וערך: יוסי דהן. 18 בעיות ערך קיצון -חשבון דיפרנציאלי - 4חלק
מועד א' קיץ תש"ע 03330מבחן בגרות ;0שאלה מספר
של הפונקציות –ו בציור נתונים הגרפים
4
2)(
xx f ,
xxg
4)( 0בתחוםx
x f)(הוא של הפונקציה –ו . איזה מבין הגרפים א
? נמק.x g)(ואיזה גרף הוא של הפונקציה
ה על גרף היא נקוד B –ו היא נקודה על גרף A. ב
)ראה ציור(. y –מקביל לציר ה ABכך שהקטע
B –ו Aשל הנקודות x –מצא את שיעור ה
הוא מינימלי. ABשעבורו אורך הקטע
:פתרון
? x g)(ה גרף הוא של הפונקציה ואיז x f)(הוא של הפונקציה -ואיזה מבין הגרפים ( א)
נמק.
0xגרף x g)(הפונקציה גרף הישר x f)(הפונקציה
. y –מקביל לציר ה ABכך שהקטע היא נקודה על גרף Bו היא נקודה על גרף A (ב)
שעבורו אורך הקטע הוא מינימלי. B –ו Aשל הנקודות x -מצא את שיעור ה
ByAyמשמעות yאורך הקטע בקו מקביל לציר ה
4
2)(
xxf
פונקציית המטרה
ימלי.הוא מינ B –ו Aנקודות בין אורך הקטע
תשובה סופית:
min4ABx)ב( x g)(= גרף x f)(= גרף . (א)
x
xp
x
xp
yyp BA
4
4
2
4
4
4
)2(
min
הפונקציה
2
12
)4(
4
4
2
4
)4(
4
4
4
2
4
p
p
x
x
xp
נגזרת ראשונה
44
1616
160
4
160
0'
4
161'
4
441
14
4
1'
21
2,1
2
2
2
2
2
2
2
21
2
xx
xx
x
x
x
p
x
xp
x
xp
xp
נגזרת שנייה
Max/min )כדי לקבוע סימן מספיק לגזור את המונה(
max8)4(2)4(''
min8)4(2)4(''
2)(''
p
p
xxp
מעודכן לשנת תשע"ג 19 לא נכשלת כל עוד לא חדלת לנסות
כתב וערך: יוסי דהן. 19 בעיות ערך קיצון -חשבון דיפרנציאלי - 4חלק
תשע"א 2311מועד פברואר 03330ת מבחן בגרו 4שאלה מספר
)(10הפונקציות xxf ו- x
xg9
)( נחתכות בנקודותA ו– B.
.B –ו Aמצא את שיעורי הנקודות )א(
,AB. הנמצאת על הקטע Dדרך נקודה )ב(
. הישר חותך y –העבירו ישר המקביל לציר ה
)ראה ציור( Cבנקודה xg)(את גרף הפונקציה
הוא מקסימלי.CD שעבורן המרחק Dו Cאת שיעורי הנקודות מצא
.Dו Cמצא את המרחק המקסימלי בין הנקודות )ג(
פתרון: .B –ו Aמצא את שיעורי הנקודות )א(
פונקציית המטרה
הוא מקסימלי. CD המרחק
: סופית תשובה
)1,9()9,1( (א) BA (ב) )7,3()3,3( CD
max4DC (ג)
A,Bנקודות
0910
910
/9
10
0()(
2
2
xx
xx
xx
x
xgxf
91
2
810
)1(2
)9)(1(4100)10(
21
2,1
2,1
xx
x
x
A,Bנקודות
10,9(
1109
)9,1(
9101
10)(
B
y
A
y
xxf
xxp
xxp
yyp CD
910
910
min
הפונקציה
4
)3(
910)3(
3
910
p
p
x
xxp
נגזרת ראשונה
33
99
90
90
0'
91
/19
1'
21
2,1
2
2
2
2
2
21
2
2
xx
xx
x
x
x
p
x
xp
xx
p
נגזרת שנייה
Max/min )כדי לקבוע סימן מספיק לגזור את המונה(
max6)3(2)3(''
min6)3(2)3(''
2)(''
p
p
xxp
מעודכן לשנת תשע"ג 40 לא נכשלת כל עוד לא חדלת לנסות
כתב וערך: יוסי דהן. 40 בעיות ערך קיצון -חשבון דיפרנציאלי - 4חלק
מועד חצב/ ברק תשע"א. 03830מבחן בגרות : 3שאלה מספר
xxfבציור שלפניך מתוארים גרף הפונקציה 2)( והישרxy 2
.(ראשית הצירים O) C –ו Oגרף הפונקציה והישר נחתכים בנקודות
חותך את גרף הפונקציה ואת הישר y -ישר המקביל לציר ה
xf)(היא נקודת החיתוך עם A -כך ש (,C -ו O)בין הנקודות
היא נקודת החיתוך עם הישר )ראה ציור(. B –ו
.AB. ובטא באמצעותו את אורך הקטע Bשל הנקודה x –את שיעור ה x –סמן ב )א(.
הוא מקסימלי. ABטע .שעבורה אורך הקBשל הנקודה x–מצא את שיעור ה (1) )ב(
.ABמהו האורך המקסימלי של הקטע ( 2)
פתרון
.AB. ובטא באמצעותו את אורך הקטע Bשל הנקודה x –את שיעור ה x –סמן ב )א(.
פונקציית המטרה
.ABאורך המקסימלי של הקטע
י.הוא מקסימל AB.שעבורה אורך הקטע Bשל הנקודה x–מצא את שיעור ה (1ב)
: ה סופיתתשוב
xxpAB)א( 22 (1)ב max25.0 Bx max5.0 (2)ב p
xxp
xxp
yyp
AB
AB
BAAB
22
22
הפונקציה
5.0
)25.0(2)25.0(2
25.0
22
p
p
x
xxp
נגזרת ראשונה
25.0
14
410
)2()1()0(
)/(210
210
0'
21
/21
'
22
12'
222
2
1
x
x
x
x
x
x
x
p
x
xp
xx
p
xp
נגזרת שנייה
Max/min קבוע סימן מספיק לגזור את המונה()כדי ל
max225.02
2)25.0(''
2
12)(''
p
xxp
מעודכן לשנת תשע"ג 41 לא נכשלת כל עוד לא חדלת לנסות
כתב וערך: יוסי דהן. 41 בעיות ערך קיצון -חשבון דיפרנציאלי - 4חלק
פונקציות עם שטח והיקף. 0
תשע"א. 2311מועד א קיץ 03830מבחן בגרות : 1שאלה מספר
272נתון גרף הפונקציה xy רביע הראשון.ב
חותך את גרף הפונקציה x –ישר המקביל לציר ה
שנמצאת ברביע הראשון, Aבנקודה
. B בנקודה y –ואת ציר ה
.)ראה ציור( Oעם ראשית הצירים Aמחברים את הנקודה
ABמה צריך להיות אורך הקטע (א)
יהיה מקסימלי? AOBכדי ששטח המשולש
? AOBלי של משולש מהו השטח המקסימ (ב)
פתרון:
נתונים
פונקציית המטרה
יהיה מקסימלי AOBששטח המשולש
: ה סופיתתשוב
max3AB )א( max27S)ב(.
)27,( 2 xx
צלעות המשולש
270 2
xB
xAB
שטח המשולש
2
27
22
27
2
)27()(
22
33
2
xxxxp
xxp
yxhaS a
הפונקציה
27
)3(5.13)3(5.0
3
5.135.0
3
3
P
P
x
xxP
נגזרת ראשונה
33
99
5.135.1
5.135.10
0'
5.135.1'
21
2,1
2
2
2
2
xx
xx
x
x
P
xP
נגזרת שנייה
Max/min
min9)3(3)3(''
max9)3(3)3(''
3)(''
P
P
xxP
מעודכן לשנת תשע"ג 44 לא נכשלת כל עוד לא חדלת לנסות
כתב וערך: יוסי דהן. 44 בעיות ערך קיצון -חשבון דיפרנציאלי - 4חלק
מועד חצב ברק תשס"ח 03330מבחן בגרות :2שאלה מספר
122נתונה הפרבולה xy .
חותך את הפרבולה x -ישר המקביל לציר ה
)ראה ציור(. B -הנקודה y –ואת ציר ה Aבנקודות
. O -נסמן את ראשית הצירים ב
, ABמה צריך להיות אורך הקטע א.
יהיה מקסימלי? AOBכדי ששטח המשולש
? AOBי של משולש מהו השטח המקסימל ב.
פתרון:
נתונים:
פונקציית המטרה
יהיה מקסימלי AOBששטח המשולש
: סופית תשובה
max8S)ב( max2AB)א(
)12,( 2 xx
צלעות המשולש
120 2
xyB
xAB
שטח המשולש
xxp
xxxxp
xxp
yxhaS a
65.0
2
12
22
12
2
)12()(
22
3
33
2
הפונקציה
8
)2(6)2(5.0
2
65.0
3
3
P
P
x
xxP
נגזרת ראשונה
22
44
65.1
65.10
0'
65.1'
21
2,1
2
2
2
2
xx
xx
x
x
P
xP
נגזרת שנייה
Max/min
min6)2(3)2(''
max6)2(3)2(''
3)(''
P
P
xxP
מעודכן לשנת תשע"ג 43 לא נכשלת כל עוד לא חדלת לנסות
כתב וערך: יוסי דהן. 43 בעיות ערך קיצון -חשבון דיפרנציאלי - 4חלק
מועד ב' קיץ תשס"ז 03330מבחן בגרות : 0שאלה מספר
xxyהנמצאת על גרף הפונקציה , Aמנקודה 62 ,
ברביע הראשון , מורידים מהנקודה אנכים לצירים,
) ראה ציור ( . ABOCנוצר מלבן ו
Aשל הנקודה x -מה צריך להיות שיעור ה א.
כדי שהיקף המלבן יהיה מכסימלי?
.חשב את היקף המקסימלי של המלבן ב.
פתרון:
נתונים
פונקציית המטרה
היקף המקסימלי של המלבן
: ה סופיתתשוב
max5.24P )ב(. max5.3Ax )א(
צלעות המלבן
xxyB
xCB
60 2
היקף המלבן
xxp
xxxp
xxxP
yxbap
142
1222
)6(2)(2
2222
2
2
2
הפונקציה
5.24
)5.3(14)5.3(2
5.3
142
2
2
p
p
x
xxp
נגזרת ראשונה
5.3
144
1440
0'
144'
x
x
x
p
xp
נגזרת שנייה
Max/min max4)('' xp
)6,( 2 xxyx
מעודכן לשנת תשע"ג 44 לא נכשלת כל עוד לא חדלת לנסות
כתב וערך: יוסי דהן. 44 בעיות ערך קיצון -חשבון דיפרנציאלי - 4חלק
מועד חורף תש"ע 03330מבחן בגרות : 4שאלה מספר
שברביע הראשון, Aנקודה
xxyהפונקציה על גרף נמצאת 52 ,
מורידים אנכים לצירים, Aמנקודה
. ABOCונוצר מלבן
O – ציור( )ראה ראשית הצירים
Aמה צריך להיות שיעור הנקודה (א)
כדי שהיקף המלבן יהיה מכסימלי?
מצא את היקף המקסימלי של המלבן? (ב)
פתרון:
נתונים:
הפונקציית המטר
היקף המקסימלי של המלבן
: סופית תשובה
A)6,3( )א( max18P)ב(
צלעות המלבן
xxyB
xCB
50 2
היקף המלבן
xxp
xxxp
xxxP
yxbap
122
1022
)5(2)(2
2222
2
2
2
הפונקציה
18
)3(12)3(2
3
122
2
2
p
p
x
xxp
נגזרת ראשונה
3
124
1240
0'
124'
x
x
x
p
xp
נגזרת שנייה
Max/min max4)('' xP
Aנקודה
)6,3(
6
)3(5)3(
3
5
2
2
A
y
y
x
xxy
)5,( 2 xxyx
מעודכן לשנת תשע"ג 45 לא נכשלת כל עוד לא חדלת לנסות
כתב וערך: יוסי דהן. 45 בעיות ערך קיצון -חשבון דיפרנציאלי - 4חלק
ע"תש 2313מועד נובמבר 03330מבחן בגרות : 3שאלה מספר
נמצאת על גרף הפונקציה Aנקודה x
y4
ברביע הראשון.
)ראה ציור( ABOCכך שנוצר המלבן אנכים לצירים מורידים Aמהנקודה
Aשל הנקודה x –מצא את שיעורי ה )א(
שעבורו מתקבל מלבן בעל היקף מינימלי.
מצא את ההיקף המינימלי של המלבן. )ב(
:פתרון
נתונים:
פונקציית המטרה
ההיקף המינימלי של המלבן.
:סופית תשובה
8p (ב) 2x (א)
הפונקציה
8
)2(
8)2(2
2
82
p
p
x
xxp
נגזרת ראשונה
22
4
482
820
0'
82'
82'
21
2,1
22
2
2
2
2
xx
x
xx
x
p
x
xp
xp
נגזרת שנייה
Max/min )כדי לקבוע סימן מספיק לגזור את המונה(
max8)2(4)2('
min8)2(4)2('
4)('
p
p
xxp
צלעות המלבן
xyAB
xAC
4
היקף המלבן
xxp
xxP
yxbap
82
)4
(2)(2
2222
)4
,(x
x
מעודכן לשנת תשע"ג 46 לא נכשלת כל עוד לא חדלת לנסות
כתב וערך: יוסי דהן. 46 בעיות ערך קיצון -חשבון דיפרנציאלי - 4חלק
תשס"ה מועד חצב / ברק 03330מבחן בגרות : 6שאלה מספר
נתונה הפונקציה x
xxf2
1)( ( ברביע הראשוןx0)
שעל גרף הפונקציה בהורידו אנכים לצירים pמנקודה
ראשית הצירים APCO (O .)ונוצר המלבן
)ראה ציור(. pשל הנקודה x –את שיעור ה x –נסמן ב .(א)
. APCOאת היקף המלבן xבטא באמצעות
הנוצרים באופן שתואר APCOמבין כל המלבנים .(ב)
שעבורו היקף המלבן הוא מינימלי. xמצא את
:פתרון
נתונים:
פונקציית המטרה
המלבן. מינימלי שלהיקף
: סופית תשובה
)א( x
xp1
4 )ב(min5.0x
הפונקציה
4
)5.0(
1)5.0(4
5.0
14
p
p
x
xxp
נגזרת ראשונה
5.05.0
25.0
25.014
140
0'
14'
14'
21
2,1
22
2
2
2
2
xx
x
xx
x
p
x
xp
xp
נגזרת שנייה
Max/min )כדי לקבוע סימן מספיק לגזור את המונה(
max8)5.0(8)5.0(''
min8)5.0(8)5.0(''
8)(''
p
p
xxp
צלעות המלבן
xxyPC
xAP
2
1
היקף המלבן
xxp
xxxp
xxxP
yxbaP
14
2122
)2
1(2)(2
2222
O C
x
A )
2
1,(
xxxp
y
מעודכן לשנת תשע"ג 47 לא נכשלת כל עוד לא חדלת לנסות
כתב וערך: יוסי דהן. 47 בעיות ערך קיצון -חשבון דיפרנציאלי - 4חלק
.2312מועד קיץ תשע"ב 03830מבחן בגרות : 7שאלה מספר
בציור שלפניך נתון גרף הפונקציה .
2)( xxf ברביע הראשון
ל גרף הפוקציה שע Aמנקודה
ABOCמעבירים אנכים לצירים כך שנוצר המלבן
.Aשל הנקודה x –)א(. הבע את היקף המלבן באמצעות שיעור ה
x( מה צריך להיות הערך של 1)ב(. )
יהיה מינימלי ? ABOCכדי שהמלבן
( מצא את ההיקף המינימלי של המלבן.4)
:פתרון
נתונים:
פונקציית המטרה
ההיקף המינימלי של המלבן.
:תשובה סופית
422)א(. xx (1 )ב4
1x (2)ב
2
13
יההפונקצ
5.3
425.02)25.0(2
25.0
422
p
p
x
xxp
נגזרת ראשונה
25.0
416
4160
)2()4(0
)(240
0'
2
24'
2
122'
2
2
x
x
x
x
x
p
x
xp
xp
נגזרת שנייה
Max/min )כדי לקבוע סימן מספיק לגזור את המונה(
min125.02
4)25.0(''
2
14)(''
p
xxp
צלעות המלבן
2
xAB
xAC
היקף המלבן
422
)2(2)(2
2222
xxp
xxP
yxbaP
מעודכן לשנת תשע"ג 48 לא נכשלת כל עוד לא חדלת לנסות
כתב וערך: יוסי דהן. 48 בעיות ערך קיצון -חשבון דיפרנציאלי - 4חלק
2312מועד חורף 03830מבחן בגרות : 8שאלה מספר
332הפונקציה בציור שלפניך נתונה xxy
היא נקודה על גרף הפונקציה C .(א)
.Cשל הנקודה x –מצא את שיעורי ה
הוא מינימלי. Cשעבורו סכום השיעורים של
.Cמצא את הסכום המינימלי של שיעורי נקודה .(ב)
x –יר ה שמצאת בסעיף א העבירו אנך לצ Cדרך הנקודה )ג(.
. האנכים יוצרים מרובע עם הצירים. y -ואנך לציר ה
מצא את שטח המרובע.
פתרון:
נתונים:
פונקציית המטרה
הוא מינימלי. Cסכום השיעורים של
האנכים יוצרים . y -ואנך לציר ה x –שמצאת בסעיף א העבירו אנך לציר ה Cדרך הנקודה ב.
מצא את שטח המרובע. מרובע עם הצירים.
: ה סופיתתשוב
111( ג) 2p ( ב) 1,1(C(min)א( S
שיעורי הנקודה
)33,( 2 xxyxC
Cסכום השיעורים של
32
)33()(
2
2
xxp
xxxp
yxp
הפונקציה
2
3)1(2)1(
1
32
2
2
p
p
x
xxp
נגזרת ראשונה
1
22
220
0'
22'
x
x
x
p
xp
נגזרת שנייה
Max/min min2)(" xp
שטח המרובע
111 S
y
C
x
y
C
x
שיעורי הנקודה
)1,1(
1
3)1(3)1(
33
2
2
C
y
y
xxy
מעודכן לשנת תשע"ג 49 לא נכשלת כל עוד לא חדלת לנסות
כתב וערך: יוסי דהן. 49 בעיות ערך קיצון -חשבון דיפרנציאלי - 4חלק
תשס"ו 2336מועד חורף 03330מבחן בגרות : 9שאלה מספר
272ה הפרבולה נתונ xy .
חותך את הפרבולה x -מעבירים ישר המקביל לציר ה
)ראה ציור(. B –ו Aבנקודות
Bשל הנקודה x –את שיעור ה x –סמן ב א.
) הנמצאת ברביע הראשון (,
ABאת אורך הקטע xובטא באמצעות
היא ראשית הציריםAOB ( .O )ואת שטח המשולש
,Bשל נקודה x –מה צריך להיות שיעור ה ב.
יהיה מקסימלי ? AOBכדי ששטח משולש
פתרון:
נתונים:
פונקציית המטרה
יהיה מקסימלי AOBששטח המשולש
: ה סופיתתשוב
xxSxAB )א( 272 3 max3x max54AOBS )ב(.
)27,( 2 xx
X X
צלעות המשולש
270
2
2
xyB
xxxAB
שטח המשולש
xxp
xxxxp
xxp
yxhaS a
27
2
54
2
2
2
542
2
)27()2(
2
2
2
3
33
2
הפונקציה
54
)3(27)3(
3
27
3
3
p
p
x
xxp
נגזרת ראשונה
33
99
273
2730
0'
273'
21
2,1
2
2
2
2
xx
xx
x
x
p
xp
נגזרת שנייה
Max/min
min18)3(6)3(''
max18)3(6)3(''
6)(''
p
p
xxp
מעודכן לשנת תשע"ג 30 לא נכשלת כל עוד לא חדלת לנסות
כתב וערך: יוסי דהן. 30 בעיות ערך קיצון -חשבון דיפרנציאלי - 4חלק
31שאלה מספר 227בפרבולה חוסמים xy מלבןABCD ,
)ראה ציור(. x -מונחת על ציר ה ABכך שהצלע
Cשל הנקודה xאת שיעור ה x –סמן ב ( א)
.BCו CDאת אורכי הצלעות xובטא באמצעות
יהיה מקסימלי? ABCDשעבורו שטח המלבן CDמצא את אורך הצלע )ב(.
המקסימלי של המלבן? שטחחשב את ה )ג(
פתרון:
נתונים :
פונקציית המטרה
יהיה מקסימלי ABCDשטח המלבן
: ה סופיתתשוב
2272( א) xBCxDC (ב) 6322 xCD max108S ( ג)
לבןצלעות המ
227
2
xyBC
xxxDC
מלבןשטח ה
3
2
254
)27()2(
2
xxp
xxp
yxbaS
הפונקציה
108
)3(2)3(54
3
254
3
3
p
p
x
xxp
נגזרת ראשונה
33
99
546
6540
0'
654'
21
2,1
2
2
2
2
xx
xx
x
x
p
xp
נגזרת שנייה
Max/min
min36)3(12)3(''
max36)3(12)3(''
12)(''
p
p
xxp
מעודכן לשנת תשע"ג 31 לא נכשלת כל עוד לא חדלת לנסות
כתב וערך: יוסי דהן. 31 בעיות ערך קיצון -חשבון דיפרנציאלי - 4חלק
11שאלה מספר
29החסום בין גרף הפרבולה ABCDנתון טרפז xy
נמצאת ברביע הראשון )ראה ציור(. Aכך שנקודה x -לבין ציר ה
Aשל הנקודה xאת שיעור ה x –סמן ב ( א)
AD אורך הצלע את xת ובטא באמצעו
.BCוחשב את אורך הצלע Bו Cמצא את הנקודות )ב(
יהיה מקסימלי? ABCDכדי ששטח הטרפז Aמצא את שיעורי הנקודה )ג(
. ABCDחשב את השטח המקסימלי של טרפז )ד(
פתרון:
נתונים:
פונקציית המטרה
יהיה מקסימלי ABCDשטח הטרפז
: ה סופיתתשוב
xAD( א) 2 (ב) 6BC max32S ( ד) A)8,1()ג(
צלעות הטרפז
633
9
2
2
CB
xyh
xxxAD
טרפזשטח ה
2793
9327
2
218654
2
)9)(26(
2
)(
23
32
32
2
xxxp
xxxp
xxxp
xxp
hbaS
הפונקציה
32
27)1(9)1(3)1(1
1
2793
23
23
p
p
x
xxxp
נגזרת ראשונה
13
93
6
126
)3(2
)9)(3(436)6(
9630
0'
963'
21
2,1
2
2,1
2,1
2
2
xx
xx
x
x
xx
p
xxp
נגזרת שנייה
Max/min
min126)3(6)3(''
max126)1(6)1(''
66)(''
p
p
xxp
CBנקודות
6
33
9
90
0
9
21
2
2
2
BCd
xx
x
x
y
xy
Aנקודה
)8,1(
8
)1(9
1
9
2
2
A
y
y
x
xy
מעודכן לשנת תשע"ג 34 לא נכשלת כל עוד לא חדלת לנסות
כתב וערך: יוסי דהן. 34 בעיות ערך קיצון -חשבון דיפרנציאלי - 4חלק
תשס"ו 2336מועד מרץ 03330מבחן בגרות :12שאלה מספר
32נתונה הפונקציה xy 6,5(ברביע הראשון והנקודה(C
.C, המונחת על גרף הפונקציה משמאל לנקודה Aמנקודה
)ראה ציור(B בנקודה x –מורידים אנך החותך את ציר ה
Aחשב את שיעורי הנקודה .א
יהיה מקסימלי. ABCכך ששטח המשולש
.? ABCמקסימלי של המשולש מהו השטח ה .ב
פתרון:
נתונים:
פונקציית המטרה
יהיה מקסימלי. ABCשטח המשולש
: ה סופיתתשוב
max12S ( ב) A)12,3()א(
צלעות המשולש
xh
xAB
a
5
32
שטח המשולש
5.75.15.25.0
2
15
2
3
2
5
22
3155
2
)5()3(
2
23
2332
2
xxxP
xxxxxxP
xxP
haS a
הפונקציה
12
5.7)3(5.1)3(5.2)3(5.0
3
5.75.15.25.0
23
23
P
P
x
xxxP
נגזרת ראשונה
3
13
3
45
)5.1(2
)5.1)(5.1(4255
5.155.10
0'
5.155.1'
21
2,1
2,1
2
2
xx
x
x
xx
P
xxP
נגזרת שנייה
Max/min
min45)3
1(3)
3
1(''
max45)3(3)3(''
53)(''
P
P
xxP
Aנקודה
)12,3(
12
3)3(
3
3
2
2
A
y
y
x
xy
מעודכן לשנת תשע"ג 33 לא נכשלת כל עוד לא חדלת לנסות
כתב וערך: יוסי דהן. 33 בעיות ערך קיצון -חשבון דיפרנציאלי - 4חלק
ריבוע המרחק )משפט פיתגורס(. 4
מועד חורף תשס"ט 03330מבחן בגרות : 1פר שאלה מס
43נתון הישר xy ונתונה הנקודהA(0,2)
M ציור( )ראההיא נקודה כלשהי על הישר
Mמצא על הישר הנתון את השיעורים של נקודה
A( 0, 4הקרובה ביותר לנקודה )
נמצאת על הישר הנתון ) ראה ציור ( M( y ,xנקודה )
( 2AM) כלומר AMבטא את ריבוע המרחק (א)
.M של הנקודה x –באמצעות שיעור ה
Mשל הנקודה x –מה צריך להיות שיעור ה (ב)
יהיה מינימלי ? AM שריבוע המרחקכדי
:פתרון
.Mשל הנקודה x –באמצעות שיעור ה (2AMכלומר ) AMבטא את ריבוע המרחק א()
:נתונים
המטרהפונקציית
יהיה מינימלי AM שריבוע המרחק
: סופית תשובה
363610)א( 22 xxAM )4.1,8.1()ב(M
363610
36369
)63()0(
)243()0(
2
22
22
222
xxp
xxxp
xxp
xxAM
הפונקציה
6.3
36)8.1(36)8.1(10
8.1
363610
2
2
p
p
x
xxp
נגזרת ראשונה
8.1
3620
36200
0'
3620'
x
x
x
p
xp
נגזרת שנייה
Max/min min20)('' xp
Mנקודה
)4.1,8.1(
4.1
4)8.1(3
8.1
43
M
y
y
x
xy
)43,()2,0(
)()( 2
12
2
12
2
xxMA
yyxxd
מעודכן לשנת תשע"ג 34 לא נכשלת כל עוד לא חדלת לנסות
כתב וערך: יוסי דהן. 34 בעיות ערך קיצון -חשבון דיפרנציאלי - 4חלק
מועד חצב / ברק תשס"ז 03330מבחן בגרות : 2שאלה מספר
43נתון הישר xy ונתונה הנקודהA(0,1)
נמצאת על הישר הנתון ) ראה ציור ( M( y ,xנקודה )
( 2AM) כלומר AMבטא את ריבוע המרחק (א)
.M של הנקודה x –באמצעות שיעור ה
Mשל הנקודה x –מה צריך להיות שיעור ה (ב)
יהיה מינימלי ? AM שריבוע המרחקכדי
:פתרון
.Mשל הנקודה x –ר ה באמצעות שיעו (2AMכלומר ) AMבטא את ריבוע המרחק א()
נתונים:
פונקציית המטרה
יהיה מינימלי AM שריבוע המרחק
: סופית תשובה
253010)א( 22 xxAM )5.0,5.1()ב(M
)43,()1,0(
)()( 2
12
2
12
2
xxMA
yyxxd
הפונקציה
7.7
30)5.1(30)5.1(10
5.1
253010
2
2
p
p
x
xxp
נגזרת ראשונה
5.1
3020
30200
0'
3020'
x
x
x
p
xp
נגזרת שנייה
Max/min min20)(' xp
Mדה נקו
)5.0,5.1(
5.0
4)5.1(3
5.1
43
M
y
y
x
xy
253010
25309
)53()0(
)143()0(
2
22
22
222
xxp
xxxp
xxp
xxAM
מעודכן לשנת תשע"ג 35 לא נכשלת כל עוד לא חדלת לנסות
כתב וערך: יוסי דהן. 35 בעיות ערך קיצון -חשבון דיפרנציאלי - 4חלק
מועד א' קיץ תשס"ז 03330מבחן בגרות : 0שאלה מספר
xyנתונה הפונקציה
A)0,8(נתונה הנקודה x -על ציר ה
M ראה ציור היא נקודה כלשהי על גרף הפונקציה()
( 2AM) כלומר AMבטא את ריבוע המרחק (א)
.M של הנקודה x –באמצעות שיעור ה
Mשל הנקודה x –מה צריך להיות שיעור ה (ב)
יהיה מינימלי ? AM שריבוע המרחקכדי
MAחשב את ריבוע המרחק המינימלי של (ג)
:פתרון
נתונים:
פונקציית המטרה
יהיה מינימלי AM ריבוע המרחק
: סופית תשובה
64152)א( xxp )73.2,5.7( )ב(M )75.7)גp
),()0,8(
)()( 2
12
2
12
2
xxMA
yyxxd
הפונקציה
75.7
64)5.7(15)5.7(
5.7
6415
2
2
p
p
x
xxp
נגזרת ראשונה
5.7
152
1520
0'
152'
x
x
x
p
xp
נגזרת שנייה
Max/min
min2)('' xp
6415
6416
)0()8(
2
2
222
xxp
xxxP
xxAM
מעודכן לשנת תשע"ג 36 לא נכשלת כל עוד לא חדלת לנסות
כתב וערך: יוסי דהן. 36 בעיות ערך קיצון -חשבון דיפרנציאלי - 4חלק
"טתשס 2339מרץ מועד 30303מבחן בגרות : 4שאלה מספר
xxfנתון גרף הפונקציה )(
)0,9(נתונה הנקודה x –על ציר ה 21A
B )היא נקודה כלשהיא על גרף הפונקציה )ראה ציור
. Bשל הנקודה x -מה צריך להיות שיעור ה )א(
יהיה מינימלי. ABכדי שריבוע המרחק
.ABוע המרחק המינימלי של חשב את ריב )ב(
:פתרון
יהיה מינימלי ? MAכדי שהמרחק Mשל הנקודה x –מה צריך להיות שיעור ה א()
נתונים:
פונקציית המטרה
.ABריבוע המרחק המינימלי של
:סופית תשובה
min25.92)ב( 9Bx)א( AB
25.9018
25.9019
)0()5.9(
2
2
222
xxp
xxxP
xxAB
הפונקציה
25.9
25.90)9(18)9(
9
25.9018
2
2
p
p
x
xxp
נגזרת ראשונה
9
182
1820
0'
182'
x
x
x
p
xp
נגזרת שנייה
Max/min min2)(' xf
x
y
)0,9(21A
),( xxB
),()0,5.9(
)()( 2
12
2
12
2
xxBA
yyxxd
מעודכן לשנת תשע"ג 37 לא נכשלת כל עוד לא חדלת לנסות
כתב וערך: יוסי דהן. 37 בעיות ערך קיצון -חשבון דיפרנציאלי - 4חלק
תש"ע 2313מועד פברואר 03330מבחן בגרות 3שאלה מספר
ס"מ. 10הוא קטע שאורכו ABבציור שלפניך
ABDAABCBנתון
E היא נקודה על הקטעAB כך שמתקיים
DAAECBEB
. AEאת אורך הקטע x –נסמן ב
.CBואת האורך של DAאת האורך של xבטא באמצעות ( 1) (א)
את xבטא באמצעות ( 2) 2CE .2DEואת
כדי שהסכום xמה צריך להיות הערך של . (ב)22 CEDE ? יהיה מינימלי
מצא את הערך המינימלי של הסכום (ג)22 CEDE
פתרון:
נתונים:
פונקציית המטרה
סכום22 CEDE יהיה מינימלי
: סופית תשובה
xCBxDA( 1א) 200402,2( 2א) ,10 2222 xxCExDE
10022 )ג( 5x ( ב) CEDE
אורך הקטעים
xCB
xDA
10
2DE
22
222
2xDE
xxDE
הפונקציה
100
200)5(40)5(4
5
200404
2
2
S
S
x
xxp
נגזרת ראשונה
5
408
4080
0'
408'
x
x
x
P
xP
נגזרת שנייה
Max/min min8)('' xp
2CE
200402
2010020100
)10()10(
22
222
222
xxCE
xxxxCE
xxCE
סכום22 CEDE
200404
2004022
2
2222
xxp
xxxCEDE
מעודכן לשנת תשע"ג 38 לא נכשלת כל עוד לא חדלת לנסות
כתב וערך: יוסי דהן. 38 בעיות ערך קיצון -חשבון דיפרנציאלי - 4חלק
תשע"א. 2311מועד ב קיץ 03830מבחן בגרות : 6שאלה מספר
( הוא צלע משותפתx –) המסומן ב BCהקטע
)ראה ציור( BEFCושל המלבן ABCDשל הריבוע
ס"מ. 10הוא AEאורך הקטע נתון כי
.BEאת אורך הקטע xהבע באמצעות (1) (א)
)ריבוע האלכסון המלבן( 2CEאת xהבע באמצעות ( 2)
22שעבורו הסכום BCאורך הקטע מצא את (ב) CEAC הוא מינימלי
22מצא את הערך המינימלי של הסכום (ג) CEAC
פתרון:
נתונים:
מטרהפונקציית ה
סכום22 CEDE יהיה מינימלי
ה סופיתתשוב
xBE (1)א 10 100202 (2)א 22 xxCE ()5.2 בBC (ג )7522 CEAC
אורך הקטעים
22
222
22
222
222
2
100202
20100
)10(
10
xAC
xxAC
xxCE
xxxCE
xxCE
xBE
הפונקציה
75
100)5.2(20)5.2(4
5.2
100204
2
2
p
p
x
xxp
נגזרת ראשונה
5.2
208
2080
0'
208'
x
x
x
p
xp
נגזרת שנייה
Max/min min8)('' xp
2+CE
2AC
100204
1002022
2
22
xxp
xxxP
x
x
x10
x
x x10
מעודכן לשנת תשע"ג 39 לא נכשלת כל עוד לא חדלת לנסות
כתב וערך: יוסי דהן. 39 בעיות ערך קיצון -חשבון דיפרנציאלי - 4חלק
מועד ב' קיץ תשס"ד 03330מבחן בגרות : 7שאלה מספר
C =090זווית ABCבמשולש ישר זווית
.AC ,a =BC= 6אורכי הניצבים הם :
D היא נקודה כלשהי על הניצבAC ראה ציור()
. Cמקדקוד Dאת מרחק הנקודה x –נסמן ב
את סכום ריבועי המרחקים a –ו x. הבע באמצעות א
.C –, ו A ,Bמשלושת הקדקודים Dשל נקודה
, הסכום שהבעת בסעיף א הוא מינימלי. xזה ערך של . מצא עבור איב
פתרון:
נתונים:
פונקציית המטרה
סכום ריבועי המרחקים הוא מינימלי
: ה סופיתתשוב
22 )א( 36123 axxp min2x ( ב)
CDריבוע המרחק 22 xCD
סכום ריבועי המרחקים
22
222
2222
222
36123
12362
)()()6()(
axxP
axxxP
axxxP
DBADCDP
הפונקציה
2
22
22
24
36)2(12)2(3
2
36123
aP
aP
x
axxP
נגזרת ראשונה
2
126
1260
0'
126'
x
x
x
P
xP
נגזרת שנייה
Max/min min6)('' xP
a
A
B C
x
D 6
ADריבוע המרחק 22 )6( xAD
DBריבוע המרחק 222 )()( axDB
a
A
B
D
D
C
x
מעודכן לשנת תשע"ג 40 לא נכשלת כל עוד לא חדלת לנסות
כתב וערך: יוסי דהן. 40 בעיות ערך קיצון -חשבון דיפרנציאלי - 4חלק
צורות הנדסיות. 3
מועד ב' קיץ תשס"ה 03330מבחן בגרות : 1ספר שאלה מ
הצורה המוצגת בציור מורכבת משני ריבועים
ס"מ ) ראה ציור ( 10המונחים זה על זה. גובה הצורה הוא
את xוהבע באמצעות צלע הריבוע התחתון את x -סמן ב)א(
שטח הריבוע העליון ואת שטח הריבוע התחתון.
ריך להיות אורך הצלע של הריבוע התחתון כדי ששטחמה צ)ב(
הצורה יהיה מינימלי ?
פתרון:
נתונים:
פונקציית המטרה
הצורה יהיה מינימלי שטח
: סופית תשובה
2xS)א( 2)10( xS )ב(min5x
שטח הריבוע העליון2)10( xS
צורהשטח ה
100202
20100
)10(
2
22
22
xxP
xxxP
xxS
הפונקציה
50
100)5(20)5(2
5
100202
2
2
P
P
x
xxP
נגזרת ראשונה
5
204
5.12040
0'
204'
x
x
xx
P
xP
נגזרת שנייה
Max/min min4'' P
שטח הריבוע התחתון2)(xS
10 x
x10
x
מעודכן לשנת תשע"ג 41 לא נכשלת כל עוד לא חדלת לנסות
כתב וערך: יוסי דהן. 41 בעיות ערך קיצון -חשבון דיפרנציאלי - 4חלק
תשס"ט 2339מועד אוקטובר 03330מבחן בגרות : 2שאלה מספר
בציור שלפניך שני מלבנים
.KLMNומלבן ABCDמלבן
.KLאת אורך הצלע x -נסמן ב
KLABנתון 2 ,
. 10הוא KLMNהיקף המלבן
.KLMNמהיקף המלבן 4גדול פי ABCDהיקף המלבן
את אורכי הצלעות של שני המלבנים. xת בטא באמצעו .(א)
כדי שסכום השטחים של שני המלבנים יהיה מקסימלי. x. מה צריך להיות הערך של (ב)
השטח המקסימלי חשב את ( ג)
פתרון:
נתונים:
פונקציית המטרה
שסכום השטחים של שני המלבנים יהיה מקסימלי
: סופית תשובה
2,)210(( 1)א xx (2א) )5(, xx )ב(max5.2x (ג)max25.31S
A
D C
B K
N M
L x
KLMNמלבן
xb
xb
bx
xa
bap
15
2102
2210
22
סכום השטחים
2
22
525
4205
)210()2()5()(
xxP
xxxxP
xxxxP
baS
הפונקציה
25.31
)5.2(5)5.2(25
5.2
525
2
2
P
P
x
xxP
נגזרת ראשונה
5.2
2510
10250
0'
1025'
x
x
x
P
xP
ABCDמלבן
xb
xb
bx
xa
bap
210
4202
22220
2
22
נגזרת שנייה
Max/min max10)('' xP
x5
N
K
M
L x
A
D C
B x2
x210
מעודכן לשנת תשע"ג 44 לא נכשלת כל עוד לא חדלת לנסות
כתב וערך: יוסי דהן. 44 בעיות ערך קיצון -חשבון דיפרנציאלי - 4חלק
מועד א' קיץ תשס"ט 03830מבחן בגרות : 0שאלה מספר
xבציורים שלפניך מוצגים ריבוע שצלעו
yומשולש שווה צלעות שצלעו
14צלע הריבוע בצלע המשולש היא מכפלת
.xבאמצעות yבטא את (.1)(א)
את הסכום של היקף הריבוע והיקף המשולש. xבטא באמצעות (. 2)
הסכום של היקף הריבוע xמצא עבור איזה ערך של (ב)
( הוא מינימלי.4והיקף המשולש ) שהבעת בתת סעיף א )
ינימלימה ההיקף חשב את ( ג)
פתרון:
נתונים
פונקציית המטרה
סכום של היקף הריבוע והיקף המשולש הוא מינימלי.
: סופית תשובה
( 1)אx
y12
(2א) xx
P 436
)ב(min3x (ג)min24P
.xבאמצעות yבטא את
xy
yx
12
12
סכום ההיקפים
xxp
xxp
bap
364
)12
(3)(4
34
הפונקציה
24
)3(
36)3(4
3
364
p
p
x
xxp
נגזרת ראשונה
33
99
364
3640
0'
364'
364'
21
2,1
2
2
2
2
2
2
xx
xx
x
x
p
x
xp
xp
x
x
y y
y
נגזרת שנייה
Max/min )כדי לקבוע סימן מספיק לגזור את המונה(
max24)3(8)3(''
min24)3(8)3(''
)(8)(''
p
p
xxp
מעודכן לשנת תשע"ג 43 לא נכשלת כל עוד לא חדלת לנסות
כתב וערך: יוסי דהן. 43 בעיות ערך קיצון -חשבון דיפרנציאלי - 4חלק
.2310מועד פברואר תשע"ג 03830מבחן בגרות . 4שאלה מספר
.ABCבציור שלפניך נתון משולש
AD הוא הגובה לצלעBC.
.BC +ADס"מ = 14נתון כי
.ADאת אורך x( נסמן ב 1)א( )
.BCאת אורך הצלע xהבע באמצעות
כדי ששטח xו של ( מה צריך להיות ערכ4)
יהיה מקסימלי ? ABC המשולש
?ABC )ב( מהו שטחו המקסימלי של משולש
פתרון:
נתונים
פונקציית המטרה
ABCשטחו המקסימלי של משולש
תשובה סופית:
xBC( 1א) 14 ( 1)בmax7x ( 2)בmax5.24S
.xבאמצעות yבטא את
xBC
BCx
xAD
BCAD
14
14
14
סימלימקשטח
2
22
5.07
22
14
2
14
2
)14(
2
xxp
xxxxp
xxp
baS
הפונקציה
5.24
)7(5.0)7(7
7
5.07
2
2
p
p
x
xxp
נגזרת ראשונה
7
70
0'
7'
x
x
p
xp
נגזרת שנייה
Max/min max1)('' xp
מעודכן לשנת תשע"ג 44 לא נכשלת כל עוד לא חדלת לנסות
כתב וערך: יוסי דהן. 44 בעיות ערך קיצון -חשבון דיפרנציאלי - 4חלק
מועד א' קיץ תשס"ט 03330ת מבחן בגרו: 3שאלה מספר
למר ישראלי חלקת אדמה בצורת מלבן
מטר . 300ורוחבו מטר 400שאורכו
מר ישראלי רוצה לקצר את האורך של החלקה
מטר x –מטר , ולהאריך את רוחבה ב x –ב
כך שתתקבל חלקה חדשה ) השטח המקווקו בציור (
את השטח החדש xהביע באמצעות )א(
שעבורו שטח החלקה החדשה יהיה מקסימלי. xמצא את הערך של ()ב
מקסימליהשטח החלקה החדשה חשב את ( ג)
פתרון:
נתונים:
פונקציית המטרה
מקסימליהשטח החלקה החדשה
: סופית תשובה
1200001002)א( xxST max500,122S(ג) max50x)ב(
אורך החדשx400
מקסימלי השטח החדש
2
2
100000,120
300400000,120
)300()400(
xxP
xxxP
xxP
baS
הפונקציה
500,122
)50()50(100000,120
50
100000,120
2
2
P
P
x
xxP
נגזרת ראשונה
50
1002
21000
0'
2100'
x
x
x
P
xP
רוחב חדשx300
נגזרת שנייה
Max/min max2)(' xP
044
מטר
044
מטר
x
x
מעודכן לשנת תשע"ג 45 לא נכשלת כל עוד לא חדלת לנסות
כתב וערך: יוסי דהן. 45 בעיות ערך קיצון -חשבון דיפרנציאלי - 4חלק
תשע"ב 2312 פברואר מועד 03330מבחן בגרות : 6שאלה מספר
.DCס"מ = BC ,40ס"מ = 50שבו ABCDנתון מלבן
ס"מ. 2x –ב BCס"מ , ומקצרים את הצלע x –ב DCמאריכים את הצלע
)כמתואר בציור (. FCEGכך שנוצר מלבן
.FCEGשל המלבן FC –ו EC את אורכי הצלעות xא באמצעות בט א.
.FCEGאת שטח המלבן xבטא באמצעות ב.
הוא מקסימלי . FCEGשעבורו שטח המלבן xהערך של מצא את (1ג. )
ששטחו מקסימלי . FCEGמצא את שטח המלבן (2)
פתרון:
נתונים:
פונקציית המטרה
הוא מקסימלי FCEGן שטח המלב
:תשובה סופית
xFCxEC)א( 1000102)ב( 20250 2 xxSFCEG
5.1012S( 4)ג 5.2x( 1)ג
FCרך אוx20
השטח החדש
2
2
210000,1
24050000,1
)20()250(
xxP
xxxP
xxP
baS
הפונקציה
5.102,1
)5.2(2)5.2(10000,1
5.2
210000,1
2
2
P
P
x
xxP
נגזרת ראשונה
5.2
104
4100
0'
410'
x
x
x
P
xP
ECאורך x250
נגזרת שנייה
Max/min max4)('' xP
044
מטר
A
D
B
C
E G
F
20
x2
x
50
מעודכן לשנת תשע"ג 46 לא נכשלת כל עוד לא חדלת לנסות
כתב וערך: יוסי דהן. 46 בעיות ערך קיצון -חשבון דיפרנציאלי - 4חלק
מועד א' קיץ תשס"ד 03330מבחן בגרות : 7שאלה מספר
ס"מ נמצא מלבן פנימי 74ו בתוך מלבן חיצוני שהיקפ
רוחב השוליים לצלעות המלבן החיצוני. שצלעותיו מקבילות
ס"מ מכל צד, ורוחב השוליים 4הצרים
ס"מ מכל צד ראה ציור. 3הרחבים הוא
.(את רוחב המלבן החיצוני ) כמסומן בציור xנסמן ב .א
מלבן הפנימי.את אורך המלבן החיצוני ואת שטח ה xהבע באמצעות
שעבורו שטח המלבן הפנימי הוא המקסימלי. xמצא את . ב
פתרון:
נתונים:
פונקציית המטרה
שטח המלבן הפנימי הוא המקסימלי
: סופית תשובה
xy)א( 36 120342 xxS )ב(max17x
ן החיצוניאורך המלב
xb
xb
bx
xa
bap
36
2
272
2272
22
שטח המלבן הפנימי
12034
412030
)30()4(
2
2
xxP
xxxP
xxP
הפונקציה
169
120)17(34)17(
17
12034
2
2
p
p
x
xxp
נגזרת ראשונה
17
342
3420
0'
342'
x
x
x
p
xp
נגזרת שנייה
Max/min max2'' p
שטח מלבן הפנימי
)30()4( xxS
baS
2
2
0 0 x
x36
מעודכן לשנת תשע"ג 47 לא נכשלת כל עוד לא חדלת לנסות
כתב וערך: יוסי דהן. 47 בעיות ערך קיצון -חשבון דיפרנציאלי - 4חלק
מועד אוקטובר תשס"ז 03330מבחן בגרות : 8שאלה מספר
מטר. 140של מגרש משחקים שצורתו מלבן הוא היקפו
במרכזו בנו ארגז חול בצורת מלבן ומסביב לארגז החול
שתלו דשא בכל שטח המגרש שנותר כמתואר בסרטוט.
.(רבציו החיצוני )כמסומן מגרשאת רוחב ה xנסמן ב (א)
החיצוני מגרש את אורך ה xהבע באמצעות
ארגז החול.ואת שטח
מה צריכים להיות האורך והרוחב של מגרש המשחקים (א)
כדי ששטח ארגז החול יהיה מקסימלי ?
מהו השטח המקסימלי של ארגז החול ? (ב)
פתרון:
נתונים
קציית המטרהפונ
שטח המלבן הפנימי הוא המקסימלי
:סופית תשובה
מ"ר 784)ב( מטר 06מטר , 04)א(
אורך המלבן החיצוני
xb
xb
bx
xa
bap
70
2
2140
22140
22
ארגז החולשטח
51272
851264
)64()8(
2
2
xxp
xxxp
xxp
הפונקציה
784
512)36(72)36(
36
51272
2
2
p
p
x
xxp
נגזרת ראשונה
36
722
7220
0'
722'
x
x
x
p
xp
נגזרת שנייה
Max/min max2'' p
שטח ארגז החול
)64()8( xxS
baS
0
0
0 0 x
x70
0
0
0 0 x ארגז חול
מעודכן לשנת תשע"ג 48 לא נכשלת כל עוד לא חדלת לנסות
כתב וערך: יוסי דהן. 48 בעיות ערך קיצון -חשבון דיפרנציאלי - 4חלק
תשס"ח . 2338מועד פברואר 03330מבחן בגרות 9שאלה מספר
סמ"ר 800 ששטחהבמרכז כרזה מלבנית
מדפיסים תמונה ) השטח המקווקו בציור(
ס"מ. 4רוחב השוליים בראש הכרזה ובתחתיתה הוא
ס"מ ) ראה ציור( 4ורוחב השוליים בצדי הכרזה הוא
.x –נסמן את רוחב הכרזה ב
.(בציור את רוחב המלבן החיצוני )כמסומן xנסמן ב (א)
את אורך המלבן החיצוני xהבע באמצעות
ואת שטח המלבן הפנימי.
, כדי ששטח התמונה יהיה מקסימלי. xלהיות מה צריך )ב(
מהו גודל השטח המקסימלי של התמונה ? )ג(
פתרון:
נתונים:
פונקציית המטרה
.שטח המקסימלי של התמונה
: סופית תשובה
)א( x
b800
x
xS3200
8832 )ב(max20x )512)גS
אורך המלבן החיצוני
xb
bx
baS
800
800
ונההתמשטח
xxP
xxP
xx
x
xP
xxP
32008832
323200
8800
328004
8800
)8800
()4(
הפונקציה
512
)20(
3200)20(8832
20
32008832
P
P
x
xxP
נגזרת ראשונה
2020
400400
32008
320080
320080
0'
32008'
32008'
21
2,1
2
2
2
2
2
2
2
2
xx
xx
x
x
x
x
P
x
xP
xP
תמונהשטח
)8800
()4(
xxS
baS
0
0
2 2
x
x
800
נגזרת שנייה
Max/min )כדי לקבוע סימן מספיק לגזור את המונה(
max320)20(16)20(''
min320)20(16)20(''
)(16)(''
P
P
xxP
מעודכן לשנת תשע"ג 49 לא נכשלת כל עוד לא חדלת לנסות
כתב וערך: יוסי דהן. 49 בעיות ערך קיצון -חשבון דיפרנציאלי - 4חלק
מועד חורף תשס"ה 03330מבחן בגרות : 13שאלה מספר
E ,F , Gהנקודות ABCDבריבוע
בהתאמה, AB ,BC ,DCנמצאות על הצלעות
)ראה ציור ( CG =CF -ו BF =BE –כך ש
ס"מ. 6נתון כי האורך של צלע הריבוע הוא
xוהבע באמצעות BEואת BFאת x –סמן ב ( א)
)השטח המקווקו ( FCG –ו EBFאת הסכום של שטחי המשולשים
שעבורו סכום שטחי המשולשים הוא מינימלי. xמצא את ( 1) (ב)
חשב את הסכום המינימלי של שטחי המשולשים.( 2)
פתרון:
נתונים
פונקציית המטרה
סכום שטחי המשולשים מינימלי
: סופית תשובה
1862)א( xxST min9S(2)ב min3x( 1)ב
ABFשטח משולש
2
2
2
2xS
xxS
haS
ABF
a
סכום שטחי המשולשים
186
2
36122
2
1236
)2
1236()
2(
2
2
22
22
xxP
xxP
xxxp
xxxp
הפונקציה
9
18)3(6)3(
3
186
2
2
P
P
x
xxP
נגזרת ראשונה
3
62
620
0'
62'
x
x
x
P
xP
GCFמשולש שטח
2
1236
2
6636
2
)6)(6(
2
2
xxS
xxxS
xxS
GCE
נגזרת שנייה
Max/min min2)('' xP
A B
C D
F
E
G
x
x
6
x
x
מעודכן לשנת תשע"ג 50 לא נכשלת כל עוד לא חדלת לנסות
כתב וערך: יוסי דהן. 50 בעיות ערך קיצון -חשבון דיפרנציאלי - 4חלק
תשע"א 2311 מועד נובמבר 03330מבחן בגרות 11שאלה מספר
אדם הזמין לביתו מרצפות , כל מרצפת היא בצורת מלבן,
ס"מ . 40ס"מ ורוחבה 60אורכה
המרצפת שהוזמנה מורכבת מחרסינה אפורה )השטח האפור שבציור(
זכוכית לבנה בצורת מלבן במרכז וחרסינה לבנה בפינות בצורת משולשים זהים שווה שוקיים.
(x0כמתואר בציור )ס"מ xשאורך השוק שלהם הוא
.x –בטא את סך כל השטח הלבן שבמרצפת באמצעות ה (1א. )
במרצפת יהיה מקסימלי ? האפורהכדי ששטח החרסינה xמה צריך להיות הגודל של ( 2)
מהו השטח המקסימלי שיכול להיות לחרסינה האפורה במרצפת ? ב.
פתרון:
פונקציית המטרה
יהיה מקסימלי האפורהששטח החרסינה
תשובה סופית:
24002006( 1)א 2 xxS ( 2)א3216x )ג( max1666
32S
שטח משולש אחד
2
2
2
2xS
xxS
haS a
סך כל השטח הלבן
24002006
420024002
2
22
xxS
xxxST
הפונקציה
3
21666
)16(200)16(6
16
2006
322
32
32
2
P
P
x
xxP
נגזרת ראשונה
3
216
20012
200120
0'
20012'
x
x
x
P
xP
השטח האפור
xxp
xxp
xxp
2006
240020062400
)24002006(4060
2
2
2
נגזרת שנייה
Max/min max12)('' xP
x
x
x
x
x
x
משולשים 4שטח
22
22
4x
xST
שטח המלבן הלבן
2
2
42002400
4120802400
)260()240(
xxS
xxxS
xxS
מעודכן לשנת תשע"ג 51 לא נכשלת כל עוד לא חדלת לנסות
כתב וערך: יוסי דהן. 51 בעיות ערך קיצון -חשבון דיפרנציאלי - 4חלק
מועד חורף תשס"ח 03330מבחן בגרות : 12שאלה מספר
ס"מ xובסיסה ריבוע, שאורך צלעו ס"מ, yיבה. גובה בונים ת
ס"מ 18היקף של הפאה הצדדית שווה ל
yאת גובה התיבה xהבע באמצעות ( א)
? מה צריך להיות האורך של צלע הבסיס כדי שנפח התיבה יהיה מקסימלי ( ב)
פתרון:
פונקציית המטרה
מקסימלינפח התיבה
: סופית תשובה
),()9()א( xx )ב(max6x (ג)min108V
.xבאמצעות yבטא את
xy
xy
yx
bap
9
2182
2218
22
נפח התיבה
329
)9()()(
xxP
xxxV
hbaV
הפונקציה
108
)6()6(9
6
9
32
32
P
P
x
xxP
נגזרת ראשונה
60
)318(0
3180
0'
318'
21
2
2
xx
xx
xx
P
xxP
נגזרת שנייה
Max/min
max18)6(618)6(''
min18)0(618)0(''
)(618)(''
P
P
xxP
מעודכן לשנת תשע"ג 54 לא נכשלת כל עוד לא חדלת לנסות
כתב וערך: יוסי דהן. 54 בעיות ערך קיצון -חשבון דיפרנציאלי - 4חלק
תשס"ה 2333מועד נובמבר 03330מבחן בגרות 10שאלה מספר
)ראה ציור ( שבסיסה ריבוע 'ABCDA'B'C'Dרוצים לבנות תיבה
ס"מ. 15( הוא 'BC +BBשל גובה התיבה ושל צלע הבסיס ) סכום האורכים
'BBאת גובה התיבה xהבע באמצעות ( א)
? מה צריך להיות האורך של צלע הבסיס כדי שנפח התיבה יהיה מקסימלי ( ב)
חשב את הנפח המקסימלי ( ג)
פתרון:
נתונים
פונקציית המטרה
נפח התיבה מקסימלי
: סופית תשובה
),()15()א( xx )ב(max10x (ג) 500V
.xבאמצעות yבטא את
xBB
xBB
xBC
BCBBS
15'
'15
'
נפח התיבה
3215
)15()()(
xxP
xxxV
hbaV
הפונקציה
500
)10()10(15
10
15
32
32
P
P
x
xxP
נגזרת ראשונה
100
)330(0
3300
0'
330'
21
2
2
xx
xx
xx
P
xxP
נגזרת שנייה
Max/min
max30)10(630)10(''
min30)0(630)0(''
)(630)(''
P
P
xxP
x
מעודכן לשנת תשע"ג 53 לא נכשלת כל עוד לא חדלת לנסות
כתב וערך: יוסי דהן. 53 בעיות ערך קיצון -חשבון דיפרנציאלי - 4חלק
תשע"ב 2312מועד קיץ מועד ב' 03330מבחן בגרות : 14שאלה מספר
'ABCDA'B'C'Dלפניך תיבה
BCס"מ = xנתון :
2BC =AB
ראה ציור()
CC' +BC +AB= 18בתיבה מתקיים
.'CCאת גובה התיבה x)א( הבע באמצעות
שעבורו נפח התיבה הוא מקסימלי. xמצא את הערך של )ב(
)ג( מצא את הנפח המקסימלי
פתרון:
נתונים:
פונקציית המטרה
נפח התיבה מקסימלי
:תשובה סופית
192)ג( 4x)ב( x318א( )
'CCגובה התיבה בטא את
xCC
CCxx
CCBCAB
318'
18'2
18'
נפח התיבה
32
2
636
)318(2
)318()2()(
xxP
xxP
xxxV
hbaV
הפונקציה
192
)4(6)4(36
4
636
32
32
P
P
x
xxP
נגזרת ראשונה
40
)1872(0
18720
0'
1872'
21
2
2
xx
xx
xx
P
xxP
נגזרת שנייה
Max/min
max72)4(3672)10(''
min72)0(3672)0(''
)(3672)(''
P
P
xxP
x2
מעודכן לשנת תשע"ג 54 לא נכשלת כל עוד לא חדלת לנסות
כתב וערך: יוסי דהן. 54 בעיות ערך קיצון -חשבון דיפרנציאלי - 4חלק
תשס"ז 2337מועד חורף 03330מבחן בגרות : 13שאלה מספר
מ"ר 4500ששטחה , ABCDחלקת אדמה מלבנית
.לחומה )ראה ציור ( מודה בצדה האחד צ
.CD -ו ABואת צדיה BCמגדרים את חזית החלקה ,
שקלים למטר , 16( הוא BCחיר ההתקנה של גדר בחזית החלקה ) הקטע מ
שקלים למטר. 10( הוא .CD -ו ABומחיר ההתקנה של גדר בצדדים ) הקטעים
מה צריך להיות האורך של חזית החלקה,
? מינימלי כדי שמחיר התקנת הגדר יהיה
פתרון:
פונקציית המטרה
מינימלייהיה נת הגדרהתקשמחיר
:תשובה סופית
75BCאורך החזית )א(
x16
x
450010
x
450010
אורך החזיתxBC
סך כל מחיר התקנת הגדר
xxP
xxP
000,9016
000,45216
הפונקציה
2400
75
000,90)75(16
75
000,9016
P
P
x
xxP
נגזרת ראשונה
7575
56255625
000,9016
000,90160
000,90160
0'
000,9016'
000,9016'
21
2
2
2
2
2
2
2
2
xx
xx
x
x
x
x
P
x
xP
xP
DC, ABאורך הדופן
xAB
ABx
ABBCS
4500
4500
מחר התקנת דופן
x
450010
מחיר התקנת החזיתx16
נגזרת שנייה
Max/min )כדי לקבוע סימן מספיק לגזור את המונה(
max2400)75(32)75(''
min2400)75(32)75(''
)(32)(''
p
p
xxP