. เอกสารประกอบการสอน รายวิชา 314 211 พีชคณิตเชิงเสน .
หนา 55
บทที่ 2 ปริภูมิเวกเตอร์
2.2 ปริภูมิยอย (Subspaces)
ให (𝕍, +,⋅ ) เปนปริภูมิเวกเตอร พิจารณาเซต 𝕎 เปนเซตยอยของ 𝕍 และไมเปนเซตวาง
ภายใตการด าเนินบวกและการคูณดวยสเกลาร เชนเดียวกันกับปริภูมิเวกเตอร 𝕍 ในหัวขอนี้จะสนใจ
วา
“เมื่อไร 𝕎 ⊂ 𝕍 จะเปนปริภูมิเวกเตอร”
ซึ่งจากหัวขอ 2.1 พบวา ในการแสดงวา 𝕎 จะเปนปริภูมิเวกเตอรจะตองสอดคลองกับ (VS01)-(VS10)
ดังนั้น สามารถเปรียบเทียบสมบัติ (VS1)-(VS10) ไดดังนี้
ก าหนดให (𝕍, +,⋅ ) เปนปริภูมิเวกเตอรเหนือฟลด ℝ และให 𝕎 ⊂ 𝕍 โดยท่ี 𝕎 ≠ ∅
ภายใตการด าเนินการบวกและ การคูณดวยสเกลารเดียวกัน และ ให u, v, w ∈ 𝕎 และ a, b ∈ ℝ
(VS01) u + v ∈ 𝕍 u + v ∈ 𝕎 � ทราบ 5 ไมทราบ
เพราะ 𝕎 เปนเพียงเซตยอยของ 𝕍 อาจจะไมมีสมบัติปดก็ได
(VS02) u + v = v + u u + v = v + u 5 ทราบ � ไมทราบ
เพราะ จาก u, v ∈ 𝕎 จะไดวา u, v ∈ 𝕍
ดังนั้น u + v = v + u
(VS03) u + (v + w)= (u + v)+ w
u + (v + w) = (u + v) + w 5 ทราบ � ไม
ทราบ
เพราะ จาก u, v ∈ 𝕎 จะไดวา u, v ∈ 𝕍
ดังนั้น u + (v + w) = (u + v) + w
(VS04) มี θ𝕍 ∈ 𝕍 ซึ่งท าให θ𝕍 +u = u
มี θ𝕎 ∈ 𝕎 ซึ่งท าให θ𝕎 + u = u� ทราบ 5 ไม
ทราบ
เพราะทราบเพียง 𝕎 ⊂ 𝕍 เทานั้น ไมมีอะไรบอกวา จะมี
θ𝕎 ∈ 𝕎 ถามี θ𝕎 ∈ 𝕎 เปนจริง จะไดวา θ𝕎 =θ𝕍
(VS05) ส าหรับทุก u ∈ 𝕍 จะมี
−u ∈ 𝕍 ที่ท าให u + (−u) = θ𝕍
ส าหรับทุก u ∈ 𝕎 จะมี −u ∈ 𝕎
ที่ท าให u + (−u) = θ𝕎 � ทราบ 5 ไมทราบ
𝕍
𝕎
(𝕍, +,⋅ )
(𝕎, +,⋅ )
. เอกสารประกอบการสอน รายวิชา 314 211 พีชคณิตเชิงเสน .
หนา 56
บทที่ 2 ปริภูมิเวกเตอร์
เพราะทราบเพียง 𝕎 ⊂ 𝕍 เทานั้น
(VS06) au ∈ 𝕍 au ∈ 𝕎 � ทราบ 5 ไมทราบ
เพราะ 𝕎 เปนเพียงเซตยอยของ 𝕍 อาจจะไมมีสมบัติปดก็ได
(VS07) a(u + v) = au + av a(u + v) = au + av 5 ทราบ � ไมทราบ
เพราะ จาก u, v ∈ 𝕎 จะไดวา a ∈ ℝ
ดังนั้น a(u + v) = au + av
(VS08) (a + b)u = au + bu
(a + b)u = au + bu 5 ทราบ � ไมทราบ
เพราะ จาก u ∈ 𝕎 จะไดวา a, b ∈ ℝ
ดังนั้น (a + b)u = au + bu
(VS09) (ab)u = a(bu) (ab)u = a(bu) 5 ทราบ � ไมทราบ
เพราะ จาก u ∈ 𝕎 จะไดวา a, b ∈ ℝ
ดังนั้น (ab)u = a(bu)
(VS10) มีสเกลาร 1 ที่ท าให 1u = u มีสเกลาร 1 ที่ท าให 1u = u 5 ทราบ � ไมทราบ
เพราะ ใชฟลด ℝ เดียวกัน จึงใชสเกลาร 1 คาเดียวกัน
TutuHut
'W
. เอกสารประกอบการสอน รายวิชา 314 211 พีชคณิตเชิงเสน .
หนา 57
บทที่ 2 ปริภูมิเวกเตอร์
บทนิยาม 2.2.1 qก าหนดให (𝕍, +,⋅) เปนปริภูมิเวกเตอรเหนือฟลด 𝔽 และ 𝕎 ⊂ 𝕍 โดยท่ี 𝕎 ≠∅ ถา (𝕎, +,⋅ ) เปนปริภูมิเวกเตอรเหนือฟลด 𝔽 แลว 𝕎 จะเรียกวา ปริภูมิยอย (subspace) ของ 𝕍
หมายเหตุ ก าหนดให 𝕍 เปนปริภูมิเวกเตอร จะไดวา
1. {θ𝕍} เปนปริภูมิยอยของ 𝕍
2. 𝕍 เปนปริภูมิยอยของ 𝕍
ให 𝕎 ⊂ 𝕍 โดยท่ี 𝕎 ≠ ∅ จากขางตน พบวา 𝕎 สอดคลองกับสมบัติ (VS02), (VS03), (VS07),
(VS08), (VS09) และ (VS10) ดังนั้น ถาจะแสดงวา 𝕎 เปนปริภูมิเวกเตอร หรือ เปนปริภูมิยอยของ 𝕍
จะตองแสดงวาสมบัติ (VS01), (VS04), (VS05) และ (VS06) เปนจริง แตความเปนจริงแลว แสดงวา
สมบัติ (VS01) และ (VS06) เปนจริงก็เพียงพอ ซึ่งอธิบายไดดวยทฤษฏีตอไปนี้
ทฤษฎีบท 2.2.1 ก าหนดให (𝕍, +,⋅ ) เปนปริภูมิเวกเตอรเหนือฟลด 𝔽 และให 𝕎 ⊂ 𝕍 และ 𝕎 ≠
∅
จะไดวา 𝕎 เปนปริภูมิยอยของ 𝕍 ก็ตอเมื่อ
(SS1) u + v ∈ 𝕎 ส าหรับทุก u, v ∈ 𝕎
(SS2) au ∈ 𝕎 ส าหรับทุก a ∈ 𝔽 และ u ∈ 𝕎
จากทฤษฎีบท 2.2.1 พบวาในการแสดงการเปนปริภูมิยอย จะแสดงเพียง สมบัติปดการบวกของ
เวกเตอร และการคูณดวยสเกลารก็เพียงพอ ดังนั้นเพื่อความสะดวกก็สามารถรวมเปนขอเดียวไดโดย
ทฤษฎีบท 2.2.2 ตอไปนี้
ทฤษฎีบท 2.2.2 ก าหนดให (𝕍, +,⋅) เปนปริภูมิเวกเตอรเหนือฟลด 𝔽 และให 𝕎 ⊂ 𝕍 และ 𝕎 ≠∅
𝕎 จะเปนปริภูมิยอยของ 𝕍 ก็ตอเมื่อ ส าหรับทุก a, b ∈ 𝔽 และ u, v ∈ 𝕎 จะไดวา au + bv ∈𝕎
⑦
②
. เอกสารประกอบการสอน รายวิชา 314 211 พีชคณิตเชิงเสน .
หนา 58
บทที่ 2 ปริภูมิเวกเตอร์
ตัวอยาง 2.2.1 จงตรวจสอบวาเซตตอไปนี้เปนปริภูมิยอยของปริภูมิเวกเตอร ℝ2 หรือไม
i) 𝕎1 = {(x, y) ∈ ℝ2: 2x − 3y = 0}
วิธีทํา
*e* ( IR! -1,
. )
① an 190) EW, .: aw
,# ¢
901 E' MY
② ( onion autbvflw, ;ta,bt R , tu,vtµ )
9W a,b EIR Ilo : U,VEN,fav U -- H
, ,y, )
bro ! ✓ = ( Xg , Yg )ISO X
,, Xz , Y, > Yz EIR
0:46 2X, -34=0 110 : 2X
,- 3g,so
Gusto X,= Ly, in : xg = Zay,
Anson au + bit = afx, ,y,) + blxs , Ya)
= fax, tbxz , ay, + by, )
= ( Zay,t3zbyz , 91¥92)- yx
bro : 2( Lay, tf bug ) - 3/99, + bug )- -
x Y= 39g
,t 3byg - 399, - 3by, = O
dado author ElbaRufo H
,sdvddgsddovno, R2 XX
. เอกสารประกอบการสอน รายวิชา 314 211 พีชคณิตเชิงเสน .
หนา 59
บทที่ 2 ปริภูมิเวกเตอร์
ii) 𝕎2 = {(x, y) ∈ ℝ2: x + 2y = 1}
วิธีทํา
on 0+2101=0 # I -
'
. 0,94 Nz
dish hllztsibdudogsslovoo> IR'
#
. เอกสารประกอบการสอน รายวิชา 314 211 พีชคณิตเชิงเสน .
หนา 60
บทที่ 2 ปริภูมิเวกเตอร์
ตัวอยาง 2.2.2 จงตรวจสอบวาเซตตอไปนี้เปนปริภูมิยอยของปริภูมิเวกเตอร ℝ3 หรือไม
i) 𝕌1 = {(x, 2y, 0) ∈ ℝ3: x ∈ ℝ, y ∈ ℝ}
วิธีทํา
ER ER elk
a-
⑦ rn 10,90) EU, I . UI,f- ¢
② ( Check au + be EUN's /
9W a,b E IR gU,V E Uz fav U -- H
, , 24,0 )
un : ✓ = ( Xz , 292,0 ) 18% X, ,Xz , y, ,bz
ER
Dorm author =a( x, ,2y, , o) tbfxz, 292,0)
= ( ax, tbxz , day, + 2by2 , O)
= ( ax, tbxg , 2(ay, + by, ) , o )
•
"
.
au tbv EU,
Grito Ulzidvalogseioovos IR'
xx
. เอกสารประกอบการสอน รายวิชา 314 211 พีชคณิตเชิงเสน .
หนา 61
บทที่ 2 ปริภูมิเวกเตอร์
ii) 𝕌2 = {(x, y, z) ∈ ℝ3: z = 2x − 7y, x, y ∈ ℝ}
วิธีทํา
① 10,90)EUz .
'
. Uzt¢
② ( check auxbv C- Uz )
9W a.be/R,U,tElUzsauU=lx,,yy,2x, -74 )
no : V - ( X, ,Y, ,2Xg- 792$ 180 Xp , Xz , y,> KEIR
Danson autbveafx , ,y , ,2X, -74 )tb( Xz,yz,2Xz -792)
= fax , tbxz , ay, + by, ,2aytdbxz-794-7byd-faqtbxz.ay.tbyg.sn/ax,tbq)-7fayi-byd)!.
autbv E Utz
stuff Ulzlafrrlrlgddovnooslk}
xx
. เอกสารประกอบการสอน รายวิชา 314 211 พีชคณิตเชิงเสน .
หนา 62
บทที่ 2 ปริภูมิเวกเตอร์
ตัวอยาง 2.2.3 ก าหนดให 𝕍 = {(x, y) ∈ ℝ2: y = 5x}
จงตรวจสอบวา 𝕍 เปนปริภูมิยอยของปริภูมิเวกเตอร ℝ2 หรือไม
วิธีทํา เขียน 𝕍 ใหมไดเปน 𝕍 = {(x, 5x): x ∈ ℝ}
จากโจทย (0,0) ∈ 𝕍 ดังนั้น 𝕌2 ≠ ∅
ให a, b ∈ ℝ และ (x1, 5x1), (x2, 5x2) ∈ 𝕍 เมื่อ x1, x2 ∈ ℝ
จะไดวา
a(x1, 5x1) + b(x2, 5x2) = (ax1 + bx2, 5ax1 + 5bx2)
= (ax1 + bx2), 5(ax1 + bx2)
เนื่องจาก ax1 + bx2 ∈ ℝ ดังนั้น a(x1, 5x1) + b(x2, 5x2) ∈ 𝕍
นั่นคือ 𝕍 เปนปริภูมิยอยของ ℝ2
① Vl
②checkautbvf Vl
✓
. เอกสารประกอบการสอน รายวิชา 314 211 พีชคณิตเชิงเสน .
หนา 63
บทที่ 2 ปริภูมิเวกเตอร์
ตัวอยาง 2.2.4 ก าหนดให 𝕍 = {[ x x − 2yx + y + z y − z ∈ 𝕄2×2: x, y, z ∈ ℝ} จงตรวจสอบ
วา 𝕍 เปนปริภูมิยอยของปริภูมิเวกเตอร 𝕄2×2 หรือไม
วิธีทํา
① check V f ¢ ( for ooninurononrnhvusnhrMzxz)
② check autbvf V V-a.be/R,V-U,VEVher a,b C- IR
,U,we 1142×2 for u =
n- 24
✓ = I]4+4+7, y, -a,
]
Norm au + bus⑦ E?y
. เอกสารประกอบการสอน รายวิชา 314 211 พีชคณิตเชิงเสน .
หนา 64
บทที่ 2 ปริภูมิเวกเตอร์
ตัวอยาง 2.2.5 ปริภูมิสูศูนยของเมทริกซ 𝐀 (Null space or kernel of 𝐀)
ก าหนดให AX = 0m×1 เปนระบบสมการเชิงเสนเอกพันธ โดยท่ี A เปนเมทริกซสัมประสิทธิ์อันดับ
m × n
และ X = [
x1x2⋮
xn
∈ 𝕄n×1 เปนเวกเตอรไมทราบคา เซตของผลเฉลยของระบบสมการดังกลาว คือ
Kernel(A) = {X ∈ 𝕄n×1: AX = 0m×1 } จงตรวจสอบวา Kernel(A) เปนปริภูมิยอยของ 𝕄n×1 หรือไม
วิธีทํา
หมายเหตุ
จากตัวอยาง 2.2.5 จะเรียกปริภูมิเวกเตอร Kernel(A) วาเปน ปริภูมิสูศูนยของเมทริกซ A
(A)
m.nl/n...--0mxi.....i.o:.i:::::::::::::.i:l:i:L.
Iain In. ,
e kernel CA )
ohioio Kernel ( Al f- ¢9W a,b E IR ro: X, ,[email protected]
bxz) = a AX,
+ BAX,
= a Em, ,
t O'nx ,
= Tmx , + Em × ,
= Thx lUd'd ax
,+ bxz E kernel ( A)
.
.
.Kernel CA ) NeidigDerouen Mn ,
. เอกสารประกอบการสอน รายวิชา 314 211 พีชคณิตเชิงเสน .
หนา 65
บทที่ 2 ปริภูมิเวกเตอร์
ตัวอยาง 2.2.6 จงหาปริภูมิสูศูนยของ A = 1 −5−3 15
วิธีทํา
.
Kernel CA) = { X E Mz× , / A X = Ox , }I I
¥knkernel IAI - f E Man : f ? , I, If } ) if I ] , x, y ER)
= { f } ) t IM ,× , :x - 59--0 , -3 x tHy-
- o,X, y HR}
= { I } It Man : x = sy , x.yHR)
= { ( 53 ) E IM z× , : y t IR }= {y f ? I c- Man : y HR }
( = ft f : I c- IM a× ,: t t IR))
. เอกสารประกอบการสอน รายวิชา 314 211 พีชคณิตเชิงเสน .
หนา 66
บทที่ 2 ปริภูมิเวกเตอร์
ตัวอยาง 2.2.7 จงหาปริภูมิสูศูนยของ B = 1 1 1 02 1 0 1
วิธีทํา
Kernel(B) =
wxyz
∈ 𝕄4×1: 1 1 1 02 1 0 1
wxyz
= 00
Kernel (B) = {XE Man : BX - 9,in th jms
"
2×4
Dormf- 2)R,tRz⇒Rz
( ; ; ; : : : ) rt : 's : 8) . . . . - zoo
~ ( l ll O " O
) c- 1) R2 ⇒ R20 I 2 - I :O
Tdw + x + y = O y =
- w - x
x + zy - Z= O z = Xtzy
Iww -- S,x =L,4EUR
wild w = -X - yy = - S - t
t = x -12gTW x - s
, y = t j s.tt/kZ=tt2fs- t)
IN wi - s - t ko : 2- = stzt
= - t - "
f¥darn kernel (B) ={ EM
,:S.tt/R }
. เอกสารประกอบการสอน รายวิชา 314 211 พีชคณิตเชิงเสน .
หนา 67
บทที่ 2 ปริภูมิเวกเตอร์
2.3 ผลการแผของเซตของเวกเตอร
2.3.1 ผลรวมเชิงเสน
ให 𝕍 เปนปริภูมิเวกเตอร และ ให v1, v2, v3, … , vn เปนเวกเตอรใน 𝕍 จะกลาววาเวกเตอร
u เปน ผลรวมเชิงเสน (linear combination) ของเวกเตอร v1, v2, v3, … , vn ถามีสเกลาร
c1, c2, c3, … , cn ท่ีท าให
u = c1v1 + c2v2 + c3v3 + ⋯ + cnvn
ตัวอยาง 2.3.1 เวกเตอร (1,2) ∈ ℝ2 เปนผลรวมเชิงเสนของเวกเตอร (2,1), (3,1) หรือไม
วิธีทํา
Tw C, .cz ER
farm(1,2) = d,( 2,1) t Cz ( 3,1 ) = ( 24,47+134,4)
= @C , -13g , d , tf )
TN Id,t 3£ = I-①
C,t Cz =L - ②
C-2) x@ ; -2C , -2£= - 4 - ③
① + ③ j d,=-3 no :9or 4=5
Gusto ( n,2) = 5 ( 2,1 ) - 3 ( 3,1 )
Gmtv ( n,2) shfrwosiwro, rohan (2,1)
"N : 13,1) *
. เอกสารประกอบการสอน รายวิชา 314 211 พีชคณิตเชิงเสน .
หนา 68
บทที่ 2 ปริภูมิเวกเตอร์
ตัวอยาง 2.3.2 เวกเตอร (1,2) ∈ ℝ2 เปนผลรวมเชิงเสนของเวกเตอร (2,1), (4,2) หรือไม
วิธีทํา
9W C, , Cz EIR
Farm(1,2) = C
,( 2,17 + { ( 4,2)
= ( 2C , -144 , C , -124)
HLd, +44
= l -①
C,-124--2 - @
"o :9N 20×2 ,2C
,-144=4
Blohm ①
dat fi ,2)YNNrworwrohNVrb 12,131W :( 4,2)
*
. เอกสารประกอบการสอน รายวิชา 314 211 พีชคณิตเชิงเสน .
หนา 69
บทที่ 2 ปริภูมิเวกเตอร์
ตัวอยาง 2.3.3 เวกเตอร (0,0) ∈ ℝ2 เปนผลรวมเชิงเสนของเวกเตอร (2,1), (3,1) หรือไม
วิธีทํา
①Quiz # s
⑦ bonbonof 10,07 EIRE of voor>wedge Evasionnor (2, 17,14,2)UPON
X +3g - O
x=-⑦X -15--0
X = - 5
. เอกสารประกอบการสอน รายวิชา 314 211 พีชคณิตเชิงเสน .
หนา 70
บทที่ 2 ปริภูมิเวกเตอร์
2.3.2 ผลการแผ
เซตของผลรวมเชิงเสนท้ังหมดของ v1, v2, v3, … , vn เรียกวา ผลการแผ (span) ของเซตของ
เวกเตอร {v1, v2, v3, … , vn} เขียนแทนดวย Span{v1, v2, v3, … , vn} กลาวคือ
span{v1, v2, v3, … , vn} = {c1v1 + c2v2 + ⋯ + cnvn| c1, c2, … , cn ∈ ℝ}
ในกรณีท่ัวไป ส าหรับ S ⊂ V และ S ไมเปนเซตวาง นิยามให
spanS = {c1v1 + c2v2 + ⋯ + cnvn | v1, v2, … , vn ∈ S, c1, c2, … , cn ∈ ℝ และ n ∈ ℕ}
ตัวอยาง 2.3.6 จงหา span{(2,1), (3,1)}
วิธีทํา
Span 411,27 } = { ta , d ) : t t IR }
¥" """
span } ( 2,11 , 13,114 = { 512,1 ) t 'll 3,1 ) : s, t EIR }= { ( IS -13T , St t ) : s
,t t IR Y
. เอกสารประกอบการสอน รายวิชา 314 211 พีชคณิตเชิงเสน .
หนา 71
บทที่ 2 ปริภูมิเวกเตอร์
ตัวอยาง 2.3.7 จงหา span{(2,1,0), (3,1,0)}
วิธีทํา
ตัวอยาง 2.3.8 ก าหนดให e1 = (1,0,0), e2 = (0,1,0) และ e3 = (0,0,1) เปนเวกเตอรใน ℝ3
(i) จงแสดงวา span{e1, e2} = {(a, b, 0) ∶ a, b ∈ ℝ}
วิธีทํา
(ii) จงแสดงวา span{e1, e2, e3} = ℝ3
วิธีทํา
Span ) ( 2,401,13, 1,0))
=/ SCI, 1,01 + tis,I,o) : s.tt IR }✓
=/ ( 25+3-1 , sit, o) : S,
-LER}
= { SIT,go) t ECG, 1,0) : ft c- IR}
span 're , , ez ) -
- face ,go) tbfo, so) : a,b ER }= Ks
,-1,o) : s, talk } r
={ la , b, o) : a,b TRY ✓
spanfenez.es/--fxCi,o,0l-ylqi,o7tzCqgD:x.y,ZtRJ--{ ( x, 3,7 ) :X, y, z EIR } = IR
}
. เอกสารประกอบการสอน รายวิชา 314 211 พีชคณิตเชิงเสน .
หนา 72
บทที่ 2 ปริภูมิเวกเตอร์
ทฤษฎีบท 2.3.1 ให (𝕍, +,⋅) เปนปริภูมิเวกเตอร
ถา u, v ∈ 𝕍 แลว span{u, v} เปนปริภูมิยอยของ 𝕍
ทฤษฎีบท 2.3.2 ให (𝕍, +,⋅) เปนปริภูมิเวกเตอร
ถา v1, v2, … , vn ∈ 𝕍 แลว span{v1, v2, … , vn} เปนปริภูมิยอยของ 𝕍
หมายเหตุ
1. span{v1, v2, … , vn} เปนปริภูมิยอยของ 𝕍 ท่ีเล็กท่ีสุดที่มี v1, v2, … , vn เปนสมาชิก
นั่นคือ ถา 𝕎 เปนปริภูมิยอยของ 𝕍 และ v1, v2, … , vn ∈ 𝕎 แลว
span{v1, v2, … , vn} ⊂ 𝕎
2. ถา 𝕍 = span{v1, v2, … , vn} แลวจะกลาววา เซต {v1, v2, … , vn} แผทั่วปริภูมิเวกเตอร
(span the vector space) 𝕍 นั่นคือ ส าหรับทุกเวกเตอร u ∈ 𝕍 จะเปนผลรวมเชิงเสนของ
v1, v2, … , vn กลาวคือ
จะมีสเกลาร c1, c2, … , cn ท่ีท าให u = c1v1 + c2v2 + ⋯ + cnvn
3. ส าหรับ S ⊂ V และ S ไมเปนเซตวาง ถา 𝕍 = spanS แลวจะกลาววา S แผท่ัวปริภูมิ
เวกเตอร 𝕍
HEY, X =
a,V, tbqvzt 9, v>t - - -t 9 nvm
. เอกสารประกอบการสอน รายวิชา 314 211 พีชคณิตเชิงเสน .
หนา 73
บทที่ 2 ปริภูมิเวกเตอร์
ตัวอยาง 2.3.9 จงพิจารณาวา {(2,1), (1,2)} แผทั่วปริภูมิเวกเตอร ℝ2 หรือไม
วิธีทํา
span 412,139,234 RE
Ii (x, y ) EIR
'd9W I a,b ER
(x, y ) = a ( 2,17 tb( 1,2)
= (Satb,a + 2b )
x = 2.at b - ①
y -- a + ab - @ } m a,b= ?
② x2ha" ay -
- 2A + 4b - ③
③ - ① Tor ay - X = 3b I b -- 2y EIR
① x 2 IN 2X = 4at2b - ④
④ -② for 2x -y = za .
"
.
a = 25-1HR
diver Hip = (2×-3+112,1) + (2y ( 12)
Kroto spank 411,4274 = Rd#
. เอกสารประกอบการสอน รายวิชา 314 211 พีชคณิตเชิงเสน .
หนา 74
บทที่ 2 ปริภูมิเวกเตอร์
ตัวอยาง 2.3.10 จงพิจารณาวา {(2,1,0), (3,1,0)} แผทั่วปริภูมิเวกเตอร ℝ3 หรือไม
วิธีทํา
span -42,101,1%04 ? 1123
9W (x, y, Z) ER
'bro :S a , b E IR nd
CX,4,7 ) = a ( 2,1 , o ) tbf
3, 1,0 )
= ( sat zb , atb,O )② ×3 ; 3g = 39+3 b
-⑤
TN x = 2A +3 b -① ⑤ -① ;3y-x
y = atb- ② ② xd ; dy = 29 + 2b - ④
-③① -④ ; x-zg
dorm CX,y,i ) Iwrriuvnm
a,b IN
.
'
. span912,101,131,014 FR'xx
(2, 1,5) f- a ( 2,1 , o) tbc 3,10)
. เอกสารประกอบการสอน รายวิชา 314 211 พีชคณิตเชิงเสน .
หนา 75
บทที่ 2 ปริภูมิเวกเตอร์
ตัวอยาง 2.3.11 จงพิจารณาวา {(1,2,0), (3,1,0), (1,2,3)} แผทั่วปริภูมิเวกเตอร ℝ3 หรือไม
วิธีทํา
9W (x, y , 't) ER
'soo:9Wd a,b , C EIR ri
(X, 4,7) = all, 2,0) + b( 3,1 , o) t d(1,93)
= ( at 3b -1C, 2A + b +2C,Oto -13C)
too ,a +3 b + d = X
da + b tac - y3d = Z
"odd- I - b
- 2 : -2X
I 3 1 : x
(§ to } ! If Info -5 o : y-2X ) tuk, +Rater,
o o n : 7g R,⇒ R,
I: ! ! ! REM
townsat 3 btc = X
b = 2×-1 ER5
C = Zg f IR
:.a -1312×51) + I =
"
a = x - ¥(2x - y ) -125C- R
Vuolo spanflip ,07,131,07, G , 2,374=1123 xx
. เอกสารประกอบการสอน รายวิชา 314 211 พีชคณิตเชิงเสน .
หนา 76
บทที่ 2 ปริภูมิเวกเตอร์
ตัวอยาง 2.3.12 จงพิจารณาวา {1, x, x2} แผทั่วปริภูมิเวกเตอร ℙ2หรือไม
วิธีทํา
9W pix,EPzfonplxt-axdtbxtdjqb.de/R7Npixi=a(x4tblxltdll)
d. or spank,x,x4 =p's
*
. เอกสารประกอบการสอน รายวิชา 314 211 พีชคณิตเชิงเสน .
หนา 77
บทที่ 2 ปริภูมิเวกเตอร์
ตัวอยาง 2.3.13 จงพิจารณาวา {1 − x2, 1 + x, x2} แผทั่วปริภูมิเวกเตอร ℙ2 หรือไม
วิธีทํา
•
GW pane Pa forplxt-axdtbx-ciqb.at/Rrwwdbi8a,ptRndriihrax2tbx-iC=L ( i - x 's +1311 +x)
=L - snxdtptpx= -xx
'd+pxtcxtp)
a = - L
b -- p
tab-⑧oh 18on a = 0
,b = I
,2=0 f - O -11
pal =@xd tax to c- Pg
loin ⑧ Tom
:. span 41 -xd, it x ) t Pg
. เอกสารประกอบการสอน รายวิชา 314 211 พีชคณิตเชิงเสน .
หนา 77
บทที่ 2 ปริภูมิเวกเตอร์
ตัวอยาง 2.3.13 จงพิจารณาวา {1 − x2, 1 + x, x2} แผทั่วปริภูมิเวกเตอร ℙ2 หรือไม
วิธีทํา
9W Pex) ft Pg Tor pox, = ax? bxtc ; a.HER
ruwrrlw at a, p, y
E R rt
axttbxtd = LG - x's +ph +x) thx'D
= C-a + g) x Ipx + Cd -113)
Tor - x x f = a
P =b
x +13 = C
wing. : : : : )I 0 1 : c
n f : g ; : g gr.⇐ Rs
- l l O : a
nf.io. : : : ) Rer,O O 1 : b
/ o l : d
~[! ? ! !.ae?cfHRytR, ⇒Reo o n : b
I 0 0 : c - b
Yoro : a.s.fi:} :& : :O O 7 : b o o
- i :-b
Hurt x = d - b;:a÷÷:Abu panga - x
'd
,itx, nil = Plz*
. เอกสารประกอบการสอน รายวิชา 314 211 พีชคณิตเชิงเสน .
หนา 79
บทที่ 2 ปริภูมิเวกเตอร์
ตัวอยาง 2.3.15 จงพิจารณาวา 0 11 1 , 1 0
1 1 , 1 10 1 , 1 1
1 0 แผทั่วปริภูมิเวกเตอร
𝕄2×2 หรือไม
วิธีทํา
① BW ( ¥ Yw ) e 1142×2 ; x.4,7 , wEIR
rants a,b, C , d EIRri
CETI -
- al 1+4191+4: : )-al : :]
= ( ① ② )① =x
① ④② -
- y2×2 ① = 't
④ =w
ma÷÷÷÷on:ion-air .
'
. span 44%-4= 1142×2
Minato rains us"osh8oulrnhorv
-
'
. span 4"G ¥ Man
IFI ①Fai f: Yw ) t Mz, i x. hit , weR
rousts a,b,c,d EIR and
II. II -- al: :] -14191+4: :L -1dL : :]
= (b +Ctd ate + d
yatb 1- d atb -1C
Void b + c + d = x
a + c + d = yAtb t d = z
a + bed = w
①oilohwnrhorrrohrourroi Io
i : : : : :÷¥fi ! ! :
"
: :/ "".
O l l 7 : X
- 7 - 7 - I O - W
1 I 1 O : w
f: : : : :*:p::÷: ::° I 7 I
'
.X
f: : o
' -9 : :) err.⇒r.O O 7 - 7 : w-Z C- 1) R,⇒ R,
O 7 7 7 : X
"÷÷÷:÷÷ti: : : :i:÷t :":*::::
O O 1 2 : xty - w
f ! ! ! ! ! I , err, try
⇒ Ry
: : : :' :*;¥! o - in : z
- w
i ::÷÷÷÷÷:*! ""
no:L ora t- b t C = w
b - d = w -yC - d = w -Z
d = Ig (x +y t t
- aw )
In-oh
C = ( } ( x ty t t - z w)) + w - Zb = ( Ig ( x x y t z
- zu)) t w -y
a = - f q2 ( x t y t t- Iw) - W ty
- W tz TW
:. spank: ill : : I . It : :D .-Ma..
#
. เอกสารประกอบการสอน รายวิชา 314 211 พีชคณิตเชิงเสน .
หนา 80
บทที่ 2 ปริภูมิเวกเตอร์
ตัวอยาง 2.3.16 จงตรวจสอบวา [−17
−611
เปนเวกเตอรใน span {[121
, [−2
02
} หรือไม
วิธีทํา
9W a,bflR fav
E:I=aKl+bT:L
'÷:LIN
a - 2b = - 17
ayLa =
- b- z -2b = - 17
q + 2b = 11 14 - 2b
"aid a = - s no :b .- a .,+%!ab i 14i. III. c- spank}H)* BE
. เอกสารประกอบการสอน รายวิชา 314 211 พีชคณิตเชิงเสน .
หนา 81
บทที่ 2 ปริภูมิเวกเตอร์
ตัวอยาง 2.3.17 ให p(x) = x3 − 2x2 − 5x − 3 และ q(x) = 3x3 − 5x2 − 4x − 8 เปน
พหุนามในปริภูมิเวกเตอร ℙ3จงตรวจสอบวาพหุนามตอไปนี้ เปนผลรวมเชิงเสนของ p(x) และ q(x)
หรือไม
(i) f(x) = −2x3 + 3x2 − x + 5
วิธีทํา
9W a,b e- IR fav fans apex) + bqcx)
- 2X 't 3x! X -15 =a(x3-2×2-5×-3) + b (3×15×74×-8)w
= ( a -13b) x'tf-da -54×2
tf -sa - 4b) x tf - za- Sb)nm
Toa + zb =
- 2
- 2A - 5b = 3
-sa - 4b =- I
→ a - 8b = 5
""" t÷÷i÷÷t. ..
I 3 : - 2
Yo i : . . ) 's:* :#¥:O 11 : - y
(5) R,+ R,⇒ R,
O 1 : - y(3) R
,+ Re, ⇒ Ry
3 9 :- 6
I 3 : - 2 o- 17 : 17
N (O l : - y ) EHR, + R, ⇒ R,
O o : OC- 1) R,
+ Ry⇒ Ryo O : o
O - 7 : y
giilwloioia + 3b = - 2
b = - l
.
'
. A = I
dnt fix ) idrworswbvirnirns pan might#
. เอกสารประกอบการสอน รายวิชา 314 211 พีชคณิตเชิงเสน .
หนา 82
บทที่ 2 ปริภูมิเวกเตอร์
(ii) g(x) = −2x3 − 2x2 + x + 5
วิธีทํา
9W a,b c- R nd gun = apex, + bgcx)
i:÷÷÷÷ii÷÷÷÷÷lA + Bb = - 2
b = - 6
0 = 57
o = s } Xf.waswrong
. เอกสารประกอบการสอน รายวิชา 314 211 พีชคณิตเชิงเสน .
หนา 83
บทที่ 2 ปริภูมิเวกเตอร์
2.4 การเปนอสิระเชิงเสน ฐานหลัก และ มติ ิ
2.4.1 การเปนอิสระเชิงเสน
บทนิยาม 2.4.1 ให S = {v1, v2, v3, … , vn} เปนเซตของเวกเตอรในปริภูมิเวกเตอร 𝕍
1. จะเรียกเซต S วาเปน อิสระเชิงเสน (linearly independent) ถา c1, c2, c3, … , cn ∈ ℝ
ท่ีท าให
c1v1 + c2v2 + c3v3 + ⋯ + cnvn = θ𝕍 แลว c1 = c2 = c3 = ⋯ = cn = 0
2. จะเรียกเซต S วา ไมเปนอิสระเชิงเสน (linearly dependent) ถามี c1, c2, c3, … , cn ∈ ℝ
อยางนอย 1 ตัวทีไ่มเปนศูนย ท่ีท าให
c1v1 + c2v2 + c3v3 + ⋯ + cnvn = θ𝕍
ในกรณีท่ัวไป ส าหรับ S ⊂ V และ S ไมเปนเซตวาง จะกลาววา S เปนอิสระเชิงเสน ถา ทุกๆ เวกเตอร
ท่ีแตกตางกันจ านวนจ ากัดใน S เปนอสิระเชิงเสน
ตัวอยาง 2.4.1 จงพิจารณาวาเซต S1 = {(2,1), (3,1)} เปนอิสระเชิงเสนหรือไม
วิธีทํา
Mw a,b HR nd a(2,171-43,17=10,01
(dat 3b , a tho ) - Ca, o)
Indo La -133=0 - ①
at b - o - ②
"drums ; IN a = - b
under ① j 21 -Ht Sb -- o
& 'M S,bohemia, :b, ,gub -
-
oxy.
'
.
a -- o
. เอกสารประกอบการสอน รายวิชา 314 211 พีชคณิตเชิงเสน .
หนา 84
บทที่ 2 ปริภูมิเวกเตอร์
ตัวอยาง 2.4.2 จงพิจารณาวาเซต S2 = {(1,2), (2,4)} เปนอิสระเชิงเสนหรือไม
วิธีทํา
9W a ,b c- IR & all ,2) + b12, 4) = ( go )
( a + 2b, 2.at 4b) = ( go)
for a + 2b = O
da -14 b -- O
uol.lk a = - 2b
inion b = 1 IN a = - 2
C-2) ( 1,2 ) t (1) ( 2,67 = f -2+2,- y -191=190)
.
'
.
S,bdvirnldosmrsro.ir
. เอกสารประกอบการสอน รายวิชา 314 211 พีชคณิตเชิงเสน .
หนา 85
บทที่ 2 ปริภูมิเวกเตอร์
ตัวอยาง 2.4.3 ก าหนดให e1 = (1,0,0), e2 = (0,1,0) และ e3 = (0,0,1) เปนเวกเตอรใน ℝ3
จงพิจารณาวาเซต S3 = {e1, e2, e3} เปนอิสระเชิงเสนหรือไม
วิธีทํา
IN a,b , C EIR nd
aeitbeztdez = 10,90 )
( 90,0 ) -110,40) -110,9C) = ( 0,90)
( a ,b , C ) = 190,0)
.
'
.
a=b= d = O
dash S,of uirnosr : idiot #
. เอกสารประกอบการสอน รายวิชา 314 211 พีชคณิตเชิงเสน .
หนา 86
บทที่ 2 ปริภูมิเวกเตอร์
ตัวอยาง 2.4.4 จงพิจารณาวาเซต S4 = {(1,2,0), (3,1,0), (1,2,3)} เปนอิสระเชิงเสนหรือไม
วิธีทํา
AW a,b , c e IR nd
Afl , 2,0) t b ( 3 , 1,0) t d ( 1,2, 3)= ( 0,90 )
m a ,s, c - ?
oh ① a = Ss Ceorotor,
② 8 auto b un d ndlshdro
④horror :
. เอกสารประกอบการสอน รายวิชา 314 211 พีชคณิตเชิงเสน .
หนา 87
บทที่ 2 ปริภูมิเวกเตอร์
ตัวอยาง 2.4.5 จงพิจารณาวาเซต S5 = {[120
, [310
, [123
} เปนอิสระเชิงเสนหรือไม
วิธีทํา
Bair a. b. c EIR ai
411+411+411=1%1
iToi a -135 + d ' O
Lat b -12C - o
3d = 0 .
'
.
D= O
Ho : at > b - O
Lat b -
- o .
'
.
b = - 2A
Torah a +3/-291=0-59=0 .
'
.
a = o un :b-
- o
dvIo 5,iooutoraoouirasidv A
. เอกสารประกอบการสอน รายวิชา 314 211 พีชคณิตเชิงเสน .
หนา 91
บทที่ 2 ปริภูมิเวกเตอร์
ตัวอยาง 2.4.9 จงพิจารณาวาเซต {1 − x2, 1 + x, 5x2 + 4x − 2} เปนอิสระเชิงเสนหรือไม
วิธีทํา
Bai a. b. CER ri
9ft - xD tbfitx) -145×44×-2) = o
f - a -15C)xF( b -14C) x + (atb -24--0Join
a + b - Id = o
-a! !: ::}
" "" = ?
""
i:i÷÷~ (
'
o
'
, -24:
?o ) GR, -1123 ⇒ R,
0 I 3 : O
f: :-
: : : ) eiriiriiii.O O - l : O
~ (¥ ! ! ! ! ) HR,⇒ Rs
=
O O 1 : o
=
dish a t b - Id = O
b t 4 d = O
C = O
h
- .b = 0
,a = O
MA behindhand
*
f-a -15C)xF( b -14C)x + (atb -24--0
Wmv X - O,
Atb - Id =O
"no X - l , fat 5C + b -14 d fat b - Id - O
2b +9C = O
"nr X = - l, fat 5C -4 - Lid +4+4-21=0
- d = 0
.
'
.C = O
b so
a = O
gtfo practitioners .-idiot *
. เอกสารประกอบการสอน รายวิชา 314 211 พีชคณิตเชิงเสน .
หนา 94
บทที่ 2 ปริภูมิเวกเตอร์
ตัวอยาง 2.4.12 จงพิจารณา 0 11 1 , 1 0
1 1 , 1 10 1 , 1 1
1 0 เปนเซตอิสระเชิงเสน
หรือไม
วิธีทํา
Tai a,b,c,d f R nd
al : : list : : I + cc : : I+ al : : 1=1 : :3
i: :c:: : : : e : :SId b + Ctd = 0
a t d t d -
- O
a + b t d -
- o
Atb t d = O
www Al"
l: : :* :H:LI 1 I 0
=
dorm0 I 7 7
i÷÷÷H÷.÷÷÷i.
- i o - I - l
R,# R,
=/ ! ! ! 1. R.# he1 0 I 1
I 1 0 I
=/ a 1 O - t ) R,+ Ry ⇒ Ry
O 7 7 7- I - I O - I
O - l l - I
O - I O l
l l O lc - I > R2tRg⇒R3=) o l O - t ) R,
+ Ry ⇒ ReO O 0 I
0 0 I -2 o y o- I
= - / ! ! ! ! ) R,⇐ Re
O O O l =- I
def A =- i Fo
I . r:worms ornoisome iW③-
shoto 9=b=C=dd.or nonfiction
idiot *
A¥⑦ det A to ⇒
srwoioouramhioia =5=c -
-doo
② At A =o ⇒srwoiooro.irvon on
wososuross
.
Hydra
. เอกสารประกอบการสอน รายวิชา 314 211 พีชคณิตเชิงเสน .
หนา 95
บทที่ 2 ปริภูมิเวกเตอร์
ตัวอยาง 2.4.13 จงพิจารณาวา 0 11 0 , 1 0
1 1 , 1 10 1 , 1 1
1 1 เปนเซตอิสระเชิงเสน
หรือไม
วิธีทํา
Ara,b,qdtRWal : :] -14 : :] .cl : :]
-idk ,'ll ::]
E::: : :c:c.se: :STd btdtd = 0
a td td-9tb td = 0
btc + d = o
Hurford Ax - Did
i:÷ :*:",
any:÷÷:L .Tudo AX -
- B8woiaouodvwywfroioo.org
.
'
.
irnrridrarnorohrrsrourot *
. เอกสารประกอบการสอน รายวิชา 314 211 พีชคณิตเชิงเสน .
หนา 96
บทที่ 2 ปริภูมิเวกเตอร์
ในการตรวจสอบวาเซตใดไมเปนอิสระเชิงเสนหรือไม สามารถตรวจสอบไดจากทฤษฎีบทตอไปนี้
ทฤษฎีบท 2.4.1 ก าหนดให 𝕍 เปนปริภูมิเวกเตอร และ S = {u1, u2, … , un} เปนเซตยอยของ
𝕍 โดยท่ี S ไมมีสมาชิกเปนเวกเตอรศูนย จะไดวา S ไมเปนอิสระเชิงเสน ก็ตอเมื่อ มีเวกเตอรใน S
ท่ีเปนผลรวมเชิงเสนของเวกเตอรท่ีเหลือใน S
ตัวอยาง 2.4.14 จากตวัอยาง 2.4.6 จะไดวา
[1
−23
= (−1) [56
−1+ 2 [
321
จะไดวา [1
−23
เปนผลรวมเชิงเสนของเวกเตอร [56
−1 และ [
321
จากทฤษฏีบท 2.4.1 จะไดวา {[1
−23
, [56
−1, [
321
} ไมเปนอิสระเชิงเสน
ตัวอยาง 2.4.15 จากตวัอยาง 2.4.10 จะไดวา
5x2 + 4x − 1 = (−5)(1 − x2) + 4(1 + x)
นั่นคือ 5x2 + 4x − 1 เปนผลรวมเชิงเสนของเวกเตอร 1 − x2 และ 1 + x
ดังนั้น {1 − x2, 1 + x, 5x2 + 4x − 1} ไมเปนอิสระเชิงเสน
ตัวอยาง 2.4.16 จากตวัอยาง 2.4.13 จะไดวา
1 11 1 =
12
0 11 0 +
12
1 01 1 +
12
1 10 1
นั่นคือ 1 11 1 เปนผลรวมเชิงเสนของเวกเตอร 0 1
1 0 , 1 01 1 , 1 1
0 1
ดังนั้นเซต 0 11 0 , 1 0
1 1 , 1 10 1 , 1 1
1 1 ไมเปนอิสระเชิงเสน
stiff .lk/.lH3
. เอกสารประกอบการสอน รายวิชา 314 211 พีชคณิตเชิงเสน .
หนา 97
บทที่ 2 ปริภูมิเวกเตอร์
2.4.2 ฐานหลัก และ มติิ (Basis and dimension)
บทนิยาม 2.4.2 ให 𝕍 เปนปริภูมิเวกเตอร และ S = {v1, v2, v3, … , vn} เปนเซตยอยของ 𝕍
จะเรียก S วาเปนฐานหลัก (basis) ส าหรับ 𝕍 ก็ตอเมื่อ
(i) เซต S เปนอิสระเชิงเสน และ
(ii) เซต S แผทั่วปริภูมิเวกเตอร 𝕍 กลาวคือ span S = 𝕍
ในกรณีท่ัวไป ส าหรับ 𝑆 ⊂ 𝕍 ท่ี 𝑆 ไมเปนเซตวาง จะกลาววา 𝑆 เปนฐานหลักส าหรับ 𝕍 ก็ตอเมื่อ S
เปนอิสระเชิง
เสน และ S แผทั่วปริภูมิเวกเตอร 𝕍
หมายเหตุ
ปริภูมิเวกเตอรท่ีคุนเคยและทราบฐานหลักไดงาย ไดแก
1. ปริภูมิเวกเตอร ℝ𝑛 จะมีฐานหลักหนึ่ง คือ
Eℝn = 1, 0,0,0, … ,0n−1 ตัว
, 0,1, 0,0, … ,0n−2 ตัว
, … , 0, … ,0,0n−2 ตัว
, 1,0 , 0, … ,0,0,0 ,n−1 ตัว
1
และจะเรียกวาเปนฐานหลักธรรมชาติ (natural basis) ส าหรับ ℝn
เชน {(1,0,0), (0,1,0), (0,0,1)} เปนฐานหลักธรรมชาติ ส าหรับ ℝ3
2. ปริภูมิเวกเตอร ℙ𝑛 จะมีฐานหลักหนึ่ง คือ
Eℙn = {1, x, x2, x3, … , xn} จะเรียกวาเปนฐานหลักธรรมชาติ (natural basis) ส าหรับ ℙn
เชน Eℙ2 = {1, x, x2} เปนฐานหลักธรรมชาติ ส าหรับ ℙ2
3. ปริภูมิเวกเตอร 𝕄m×n จะมีฐานหลักหนึ่ง คือ
E𝕄m×n = {eij ∈ 𝕄m×n: 1 ≤ i ≤ m, 1 ≤ j ≤ n}
เมื่อ epq = [aij m×n ภายใตเงื่อนไข aij = 1 เมื่อ i = p, j = q และ aij = 0 เมื่อเปนอยาง
อ่ืน
Epp
Ep,
= 41, x, x! x'}
. เอกสารประกอบการสอน รายวิชา 314 211 พีชคณิตเชิงเสน .
หนา 98
บทที่ 2 ปริภูมิเวกเตอร์
และจะเรียกวาเปนฐานหลักธรรมชาติ (natural basis) ส าหรับ 𝕄m×n
เชน E𝕄2×2 = 1 00 0 , 0 1
0 0 , 0 01 0 , 0 0
0 1 เปนฐานหลักส าหรับ 𝕄2×2
4. ปริภูมิเวกเตอร 𝕄 ×1 จะมีฐานหลักหนึ่ง คือ
E𝕄 ×1 = {ei ∈ 𝕄 ×1: 1 ≤ i ≤ m}
เมื่อ ep = [aij m×1 ภายใตเงื่อนไข ap1 = 1 และ aij = 0 เมื่อเปนอยางอื่น
และจะเรียกวาเปนฐานหลักธรรมชาติ ส าหรับ 𝕄m×1
เชน {[100
, [010
, [001
} เปนฐานหลักธรรมชาติส าหรับ 𝕄3×1
e."ill
'
: is.÷m÷ :L .
c:÷%c÷.si: : :L .c::÷n:::si: ::B
. เอกสารประกอบการสอน รายวิชา 314 211 พีชคณิตเชิงเสน .
หนา 99
บทที่ 2 ปริภูมิเวกเตอร์
ตัวอยางตอไปนี้ ไดแสดงการเปนเซตอิสระเชิงเสนและการแผทั่วปริภูมิเวกเตอรในหัวขอ 2.3
และ 2.4 เพ่ือเปนการยืนยันวาฐานหลักของปริภูมิเวกเตอรใดๆ จะมีไดหลายรูปแบบดังนี้
ตัวอยาง 2.4.17 จงตรวจสอบวา {(1,2,0), (3,1,0), (1,2,3)} เปนฐานหลักส าหรับ ℝ3 หรือไม
วิธีทํา
ตัวอยาง 2.4.18 จงพิจารณาวา {1 − x2, 1 + x, x2} เปนฐานหลักส าหรับ ℙ2 หรือไม
วิธีทํา
-
① check for:Border
9W a,
b,C EIR of
all, 2,0 )
+ BC 3,1,9 -141, 2,3)
= CO, 0,0)
( )
(at 3b -1C , dat b -12C, 3C)= (0,90)
Tor at zbtd = O
da t b +2C= 0
3d = O .
.
.
d = O
Mohd b = - saunder a + 3b + C -0
Td a t 3C- 297 to= O
- 59 = 0
A = o .
'
.
b = O
[email protected],44314 ¥ R} )9W ( x, y,H c- 11238 a,b, C EIR
si
(x,y,t) = all, 2,0)
+ b(3,40) td ( 433)
= ( Atsb -1C , 29 tb -12C , 3d)
Td at 3 b t c = x
da t b -12 d -
y3 d = Z
"
rt: : ::
: 't. . .
. . . :*
~ f: ¥ !:
faf ear , tr,⇒ r,
O o 1! I (f) Rz ⇒ Rs
f: : : : :÷g⇐µ⇒r.O O 7 = I
}
ohioa + 3 b t d = X
b = 2×-95C -
- I• 3. . A = x - 31217) - I
Gear span { ( i , 2 , o ) , G, i, o ), 11,43)} = IR}
roil din
{ did , O ) , (3, I, 01, Cl, d, 37} Idrag ,ruin Indo R'
*
. เอกสารประกอบการสอน รายวิชา 314 211 พีชคณิตเชิงเสน .
หนา 100
บทที่ 2 ปริภูมิเวกเตอร์
ตัวอยาง 2.4.19 จงพิจารณาวา {1 − x2, 1 + x, 5x2 + 4x − 1} เปนฐานหลักส าหรับ ℙ2
หรือไม
วิธีทํา
ตัวอยาง 2.4.20 จงพิจารณาวา 0 11 1 , 1 0
1 1 , 1 10 1 , 1 1
1 0 เปนฐานหลักส าหรับ
𝕄2×2 หรือไม
วิธีทํา
S,= ft - xd, I + X, 5×2+4x - I }
18'
oooh S,Ish dvronohrr : idiot
.
'
.
S,4duty,wait rn Pz
. เอกสารประกอบการสอน รายวิชา 314 211 พีชคณิตเชิงเสน .
หนา 101
บทที่ 2 ปริภูมิเวกเตอร์
ตัวอยาง 2.4.21 จงพิจารณาวา 0 11 0 , 1 0
1 1 , 1 10 1 , 1 1
1 1 เปนฐานหลักส าหรับ
𝕄2×2 หรือไม
วิธีทํา
ตัวอยาง 2.4.22 จงตรวจสอบวา {[1
−23
, [56
−1, [
321
} เปนฐานหลักส าหรับ 𝕄3×1 หรือไม
วิธีทํา
HW # 15 .
01.2020
89dam oh Yi - ax ? it qaxdfidrywuonr.info/Pgu9o9si
. เอกสารประกอบการสอน รายวิชา 314 211 พีชคณิตเชิงเสน .
หนา 102
บทที่ 2 ปริภูมิเวกเตอร์
ทฤษฎีบท 2.4.2 ให S = {u1, u2, … , un} เปนฐานหลักส าหรับปริภูมิเวกเตอร 𝕍 จะไดวา
(i) ส าหรับแตละเวกเตอรใน 𝕍 สามารถเขียนเปนผลรวมเชิงเสนของเวกเตอรใน S ไดเพียงแบบ
เดียวเทานั้น
(ii) ถา S1 = {v1, v2, … , vm} และ span S1 = 𝕍 แลวจะมีเซตยอยของ S1 ท่ีเปนฐานหลัก
ส าหรับ 𝕍
(iii) ถา S2 = {v1, v2, … , vk} เปนอิสระเชิงเสน แลว k ≤ n
(iv) ถา S3 = {v1, v2, … , vm} เปนอิสระเชิงเสน และ m < n แลว S3 ไมเปนฐานหลักส าหรับ
𝕍 (v) ถา S4 = {v1, v2, … , vk} เปนเซตยอยของ 𝕍 และ k > n แลว S4 ไมเปนอิสระเชิงเสน
(vi) ถา S5 เปนฐานหลักส าหรับ 𝕍 แลว n(S5) = n(S)
ตัวอยาง 2.4.23 พิจารณา S0 = {[120
, [110
, [001
} เปนฐานหลักส าหรับ 𝕄3×1
i) ให xyz
∈ 𝕄3×1 โดยท่ี
xyz
= a [120
+ b [110
+ c [001
และ xyz
= k [120
+ l [110
+ m [001
จากทฤษฎีบท 2.4.2 (i) จะไดวา a = k, b = l และ c = m
ii) พิจารณาเซต S1 = {[120
, [110
, [001
, [234
} เปนเซตยอยของ 𝕄3×1
จะไดวา span S1 = 𝕄3×1 และ
S = {[120
, [110
, [001
} , T = { [110
, [001
, [234
} และ U = {[120
, [001
, [234
}
เปนฐานหลักส าหรับ 𝕄3×1 สอดคลองกับ ทฤษฎีบท 2.4.2 (ii)
. เอกสารประกอบการสอน รายวิชา 314 211 พีชคณิตเชิงเสน .
หนา 103
บทที่ 2 ปริภูมิเวกเตอร์
iii) พิจารณาเซต S1 = {[120
, [110
, [001
, [234
}
เนื่องจาก n(S1) > n(S0) โดยทฤษฎีบท 2.4.2 (v) จะไดวา S1 ไมเปนอิสระเชิงเสน
iv) พิจารณาเซต S2 = {[120
, [110
} เปนเซตยอยของ 𝕄3×1
เนื่องจาก S2 เปนอิสระเชิงเสน แต n(S2) = 2 < 3 = n(S0)
โดยทฤษฎีบท 2.4.2 (iv) จะไดวา S2 ไมเปนฐานหลักส าหรับ 𝕄3×1
ดังนั้น span S3 ≠ 𝕄3×1
นั่นก็คือมีเวกเตอรใน 𝕄3×1 ท่ีไมเปนผลรวมเชิงเสนของ [120
และ [110
ตัวอยางเชน [001
ไมเปนผลรวมเชิงเสนของ [120
และ [110
บทนิยาม 2.4.3 ให 𝕍 เปนปริภูมิเวกเตอร จะเรียกจ านวนเวกเตอรในฐานหลักส าหรับ 𝕍 วา มิติ
(dimension) ของปริภูมิเวกเตอร 𝕍
หมายเหตุ 1. ถา S = {u1, u2, … , un} เปนฐานหลักส าหรับ 𝕍 จะไดวาปริภูมิเวกเตอรมีมิติเปน n
และ จะเขียนแทนดวย dim 𝕍 = n และจะกลาววา 𝕍 เปนปริภูมิเวกเตอรมิติจํากัด
(finite dimensional vector space)
2. ถาปริภูมิเวกเตอร 𝕍 มีฐานหลักเปนเซตอนันต แลวจะกลาววา 𝕍 เปนปริภูมิเวกเตอรมิติอนันต
(infinite dimensional vector space) ซึ่งจะไมกลาวถึงในการศึกษานี้ และจะพิจารณาเฉพาะ
กรณีปริภูมิเวกเตอรมิติจ ากัดเทานั้น
3. ในกรณี 𝕍 = {θ𝕍} จะก าหนดให dim 𝕍 = 0
2
. เอกสารประกอบการสอน รายวิชา 314 211 พีชคณิตเชิงเสน .
หนา 104
บทที่ 2 ปริภูมิเวกเตอร์
ตัวอยาง 2.4.24.
1. dim ℝ3 = 3
เนื่องจาก {(1,0,0), (0,1,0), (0,0,1)} เปนฐานหลักส าหรับ ℝ3
2. dim ℙ2 = 3
เนื่องจาก {1, x, x2} เปนฐานหลักส าหรับ ℙ2
3. dim 𝕄3×1 = 3
เนื่องจาก {[100
, [010
, [001
} เปนฐานหลักส าหรับ 𝕄3×1
4. dim 𝕄2×2 = 4
เนื่องจาก 1 00 0 , 0 1
0 0 , 0 01 0 , 0 0
0 1 เปนฐานหลักส าหรับ 𝕄2×2
ทฤษฎีบท 2.4.3 ให 𝕍 เปนปริภูมิเวกเตอร และ dim 𝕍 = k โดยท่ี k ≥ 1 และ S =
{u1, u2, … , uk} เปนเซตของเวกเตอรใน 𝕍 ซึ่งมี n(S) = k จะไดวา
(i) ถา S เปนอิสระเชิงเสน แลว S แผทั่วปริภูมิเวกเตอร 𝕍
(ii) ถา S แผทั่วปริภูมิเวกเตอร 𝕍 แลว S เปนอิสระเชิงเสน
(iii) ถา S เปนเซตอิสระเชิงเสน หรือ S แผทั่วปริภูมิเวกเตอร 𝕍 แลว S เปนฐานหลักส าหรับ
𝕍
-
. เอกสารประกอบการสอน รายวิชา 314 211 พีชคณิตเชิงเสน .
หนา 105
บทที่ 2 ปริภูมิเวกเตอร์
ตัวอยาง 2.4.25 จงพิจารณาวา {1 − x2, 1 + x, 5x2 + 4x − 2} เปนฐานหลักส าหรับ ℙ2
หรือไม
วิธีทํา จากตัวอยาง 2.4.9 จะไดวา {1 − x2, 1 + x, 5x2 + 4x − 2} เปนอิสระเชิงเสน
เนื่องจาก 𝑛({1 − x2, 1 + x, 5x2 + 4x − 2}) = 3 = จ านวนฐานหลักธรรมชาติส าหรับ
ℙ2
จะไดวา {1 − x2, 1 + x, 5x2 + 4x − 2} เปนฐานหลักส าหรับ ℙ2
ตัวอยาง 2.4.26 จงพิจารณาวา {[210
, [310
, [123
} เปนฐานหลักส าหรับ 𝕄3×1 หรือไม
วิธีทํา จากตัวอยาง 2.4.9 จะไดวา {[210
, [310
, [123
} เปนอิสระเชิงเสน
เนื่องจาก n {[210
, [310
, [123
} = จ านวนฐานหลักธรรมชาติ = 3
จะไดวา {[210
, [310
, [123
} เปนฐานหลักส าหรับ ℝ3
4. x ;x4
dim IM,×,
= 3
vii. civil
. เอกสารประกอบการสอน รายวิชา 314 211 พีชคณิตเชิงเสน .
หนา 106
บทที่ 2 ปริภูมิเวกเตอร์
ตัวอยาง 2.4.27 จงพิจารณาวาเซต S = {(2,1), (−1,1)} เปนฐานหลักส าหรับ ℝ2 หรือไม
วิธีทํา
⑦ ( ariosovon S www.wigdkuoolsi)
TW ( x,g) C- k£ 8 a,b EIR
Wn;lw
(x, y )
= a ( 2,1 ) tbf- 1,1 ) = ( sa- b, a +
b)
Tor Ia - b = x - ①
a + b -
-
y- @
① t@ , za = xxy .
'
.
a = TIL
2×20 ; La tab = ay - ③
③ -① ; 3b = ay -x .
'
.
b -- 2¥
3
duh spans = Rd un : on dim lR&= 2 = HIS )Q
Busto S edu grunion Imru IR xx
. เอกสารประกอบการสอน รายวิชา 314 211 พีชคณิตเชิงเสน .
หนา 106
บทที่ 2 ปริภูมิเวกเตอร์
ตัวอยาง 2.4.27 จงพิจารณาวาเซต S = {(2,1), (−1,1)} เปนฐานหลักส าหรับ ℝ2 หรือไม
วิธีทํา
② ( oiriooovin Sidunrnooo:iBWvu8oh)
9W a ,b EIR nd
912,1 ) tbh , , ) = (go )
(da - b,
atb) -494
Nde sa - b -
- o
a t b -
- o
n
'
.
39=0 IN a =o.
'
.
b -- o
dash S sorriness : resent reasondim1R&=2=n1S)
2
Guido S sJv§wu5n3iu8u R #
. เอกสารประกอบการสอน รายวิชา 314 211 พีชคณิตเชิงเสน .
หนา 107
บทที่ 2 ปริภูมิเวกเตอร์
ตัวอยาง 2.4.28 จงพจิารณาวาเซต S = {[121
, [−2
10
, [101
} เปนฐานหลักส าหรับ 𝕄3×1
หรือไม
วิธีทํา
( arrow Sorrier , :rohdruBohi)9W a,b,c c- IR Tour
al 's,1+b +411=1 !)
⇐÷:S ."Fulvio AX = B
c: : :X:L -t:L-0 I O - 4
mm I = . - it.
= 4 to
④ 1 O O
i , a -- b -- C -- o
.
.
.
S oefvirnoooiir, Nv un : HSI -- 3 = dim 1M, × ,
dude S retry ' rush what IM> × ,
*
. เอกสารประกอบการสอน รายวิชา 314 211 พีชคณิตเชิงเสน .
หนา 108
บทที่ 2 ปริภูมิเวกเตอร์
ตัวอยาง 2.4.29 ก าหนดให
𝕎 = a b−b c ∈ 𝕄2×2 ∶ a, b, c ∈ ℝ
เปนปริภูมิยอยของปริภูมิเวกเตอร 𝕄2×2 จงหาฐานหลักส าหรับ 𝕎 และ dim 𝕎
วิธีทํา
HW# 20.01.
2020
1W -
- fall. ! ) -14.9 ! ) -149914M¥ : aimer }
to "'m 11191,19 :/
.fi:1/inrrrywurnmiwu9oiiyhnrmfl::1.f9:1.Lggjjww.wuinriur'm noir'
?
AW 22.01 . 2020
69 2401.2020 I 12.008.
uriah 7219
. เอกสารประกอบการสอน รายวิชา 314 211 พีชคณิตเชิงเสน .
หนา 109
บทที่ 2 ปริภูมิเวกเตอร์
2.5 พิกัด และ การเปลีย่นฐานหลัก
2.5.1 พิกดั
ในหัวขอตอไปนี้ จะกลาวถึงเฉพาะปริภูมิเวกเตอร 𝕍 ท่ีมีมิติ n เหนือฟลด ℝ
บทนิยาม 2.5.1 ให B = {v1, v2, v3, … , vn} เปนฐานหลักลําดับ (ordered basis) (เปนฐาน
หลัก และ ถือล าดับของเวกเตอรในฐานหลักเปนส าคัญ) ส าหรับปริภูมิเวกเตอร 𝕍 และ u เปนเวกเตอร
ใน 𝕍 ถา
u = c1v1 + c2v2 + c3v3 + ⋯ + cnvn
เมื่อ c1, c2, c3, … , cn เปนสเกลาร จะกลาววา [
c1c2⋮
cn
เปน พิกัด (coordinate) ของ u เทียบกับฐาน
หลกัล าดับ B และจะใชสัญลักษณ [u]B = [
c1c2⋮
cn
ตัวอยาง 2.5.1. จงหาพิกัดของ (1, −3) เมื่อเทียบกับ B = {(1,0), (0,1)} ซึ่งเปนฐานหลัก
ล าดับส าหรับ ℝ2
วิธีทํา
9W qb C- IR nd
C- 1,3 ) = a ( 1,07 + b(0,1 )
= (a ,b )
.
"
. a = - I,
b s 3
Hiroo di , 3D,=[ 'z ) *
. เอกสารประกอบการสอน รายวิชา 314 211 พีชคณิตเชิงเสน .
หนา 110
บทที่ 2 ปริภูมิเวกเตอร์
ตัวอยาง 2.5.2. จงหาพิกัดของ (1, −3) เมื่อเทียบกับฐานหลักล าดับ B1 = {(1,2), (0,1)}
ส าหรับ ℝ2
วิธีทํา
ตัวอยาง 2.5.3 จงหาพิกัดของ (1, −3) เมื่อเทียบกับฐานหลักล าดับ B2 = {(0,1), (1,2)}
ส าหรับ ℝ2
วิธีทํา
9W a. b EIRnd
Cl,
- 3) = all, 2) +b. (91 )
= ( a , Latb)
TN a = I no : La + b =-3 .
"
.
b = -5
oui di , -317,3,
= [ Is] XX
Pr a,b EIR minibar
( l,-3) = Aca
,1) tbh, 2)
= ( b,at 2b )
Tor b =L no : a + 2b =-3I
.a = -5
d. or di , -3dB,
= [It *
. เอกสารประกอบการสอน รายวิชา 314 211 พีชคณิตเชิงเสน .
หนา 111
บทที่ 2 ปริภูมิเวกเตอร์
ตัวอยาง 2.5.4 ให B3 = {1,1 + x, x2 − 1,2x + x3} เปนฐานหลักล าดับส าหรับ ℙ3
จงหาพิกัดของ p(x) = 2x3 + x2 + 5x + 5 เทียบกับฐานหลักล าดับ B3
วิธีทํา
9W a ,b,c , dearndni9w
2113-1×45×+5 -
- all )+b(ltxltdfxd-D-d12xtx3-dx3-dxdtcbtadlx-ca.to- d)
Toro's d- 2
D= I
b -121=5 Yar b -12127=5 .
'
,
b - I
no :Atb - C e- 5 You a -11 - 1--5 .
'
.
9=5
dont [play,,=[ 2×4×45×+51,3, -_ ( Ez ) *
. เอกสารประกอบการสอน รายวิชา 314 211 พีชคณิตเชิงเสน .
หนา 112
บทที่ 2 ปริภูมิเวกเตอร์
ตัวอยาง 2.5.5 ให B4 = 0 11 0 , 1 0
1 1 , 1 10 1 , 1 0
1 0 เปนฐานหลักล าดับส าหรับ
𝕄2×2
จงหาพิกัดของ P = −1 2−1 0 เทียบกับฐานหลักล าดับ B4
วิธีทํา
9W a ,b , c. d EIRsinister
PI 'ol -- al : :/ + bl : : ) -1cL I -1dL : :]
= fbtdtda + c
atbtd btc )Tor b +Ctd = - I
a + C = 2
Atb + d =- I
b t d = O
Bourn
O l l l : - l
l: :÷:÷÷H: : :÷÷gn⇒.O 7 7 O : O
to :÷÷÷:p ::*:÷:O 7 7 0 : O
! ! ! f : : : : : :/ " 'm .ir.O O -2 O : - 2
° o o - i ; yl -1) Rg 1- Ry#RyO - I - I - l i 1
I 0 I O'
.
L
f: : : : : ;ft⇒rs⇒r,o o o 1 : - I C- 1) Re
,⇒ Ry
Toi a + d = 2
btc + d = - I
C = I
d = - y
.
'
,
a = 2,bi - I
•*
e: :D..
.- fi:L *
. เอกสารประกอบการสอน รายวิชา 314 211 พีชคณิตเชิงเสน .
หนา 113
บทที่ 2 ปริภูมิเวกเตอร์
ทฤษฎีบท 2.5.1 ให B เปนฐานหลักล าดับส าหรับปริภูมิเวกเตอร 𝕍 จะไดวา
(i) พิกัดของเวกเตอร u เทียบกับฐานหลักล าดับ B มีเพียงตัวเดียว
(ii) [cu + dv]B = c[u]B + d[v]B ส าหรับเวกเตอร u, v และสเกลาร c, d ใดๆ
(iii) [u]B = 0n×1 ก็ตอเมื่อ u = θ𝕍
ขอสังเกต ถาเซต B มี k สมาชิก และเปนฐานหลักล าดับส าหรับปริภูมิเวกเตอร 𝕍 จะไดวา พิกัดของ
เวกเตอร u เทียบกับฐานหลักล าดับ B จะเปนเมทริกซอันดับ k × 1
ตัวอยาง 2.5.6 ให B3 = {1,1 + x, x2 − 1,2x + x3} เปนฐานหลักล าดับของ ℙ3
a) จงหา [3x3 + x2 + 5x]B3 และ [−x3 − 4x2]B3
วิธีทํา
✓
④ (3×75+5×1,3=(11/1)+1 Hux ) t f) ( x'- 1) +C) (ex xx'D}9W a,b, c, d ER
ndn99w
3×7×2+511 = all ) + bfitx) -14×2-1 ) + d. (2x -1×4
→ 3-4×2= d×3+cx2+ cbtadlxt ( atb - C)
for d =3 D= - IC -- I C = - 4
b + ad = 5 .
"
.be -1 bead =o I . b=2
Atb - C = 0 .
'
.A = 2 Atb - C = 0 .
'
.
a= - G
- 6
did [ 3×7×45×1,3,
= (÷ ) i. [ - X'-451,3;=¥)#
. เอกสารประกอบการสอน รายวิชา 314 211 พีชคณิตเชิงเสน .
หนา 114
บทที่ 2 ปริภูมิเวกเตอร์
b) 2[3x3 + x2 + 5x]B5 + 6[−x3 − 4x2]B5
วิธีทํา
'3
'3
213×4×2-15 x) B t 6 [ - 43 - 4x4 B3 3
=t÷ti÷li:
. เอกสารประกอบการสอน รายวิชา 314 211 พีชคณิตเชิงเสน .
หนา 115
บทที่ 2 ปริภูมิเวกเตอร์
c) [2(3x3 + x2 + 5x) + 6(−x3 − 4x2)]B3
วิธีทํา
d) จงหาพหุนาม p(x) ท่ีท าให [p(x)]B3 = [
−3 2 0 9
วิธีทํา
[ 213×4×45×1 -161-X'- 4×31,3=1-22×710×1,3
,
Gofa,b,qdfRW -22×2+1011 = all) tblltxltccx? , > + d (2x -1×3
= dx3 + cxdtcbtadgx + (atb - C)
.
'
-d- O
,C = - 22
bead - lo I.
be 10
Atb - Ceo .
'
.
a = - 32
d > we [ - 22×410×7,3,
= [ 72g!) #
Td pan = (-37117+12) Atx) -11071×11) -1191/2×-1×7
= 9×3-120×-1XX
. เอกสารประกอบการสอน รายวิชา 314 211 พีชคณิตเชิงเสน .
หนา 116
บทที่ 2 ปริภูมิเวกเตอร์
ทฤษฎีบท 2.1 ถา B เปนฐานหลักล าดับส าหรับ 𝕍 และ D = {v1, v2, v3, … , vk} เปนเซตของ
เวกเตอรใน 𝕍
แลว D เปนอิสระเชิงเสน ก็ตอเมื่อ {[v1]B, [v2]B, [v3]B, … , [vk]B} เปนอิสระเชิงเสน
ทฤษฎีบท 2.2 ถา B เปนฐานหลักล าดับส าหรับ 𝕍 และ D = {v1, v2, v3, … , vk} เปนเซตของ
เวกเตอรใน 𝕍 แลว D เปนฐานหลักส าหรับ 𝕍ก็ตอเมื่อ {[v1]B, [v2]B, [v3]B, … , [vk]B} เปนฐาน
หลักส าหรับ 𝕄k×1
ทฤษฎีบท 2.3 ถา B เปนฐานหลักล าดับส าหรับ 𝕍 และ D = {v1, v2, v3, … , vn} เปนฐานหลัก
ส าหรับ 𝕍 แลว P = [[v1]B [v2]B [v3]B … [vn]B] เปนเมทริกซไมเอกฐาน
ตัวอยาง 2.5.7 เนื่องจาก D = {(1,2,0), (3,1,0)} เปนอิสระเชิงเสนใน ℝ3 และ
[(1,2,0)]B = [210
, [(3,1,0)]B = [310
โดยทฤษฎีบท 2.2 จะไดวา {[210
, [310
} เปนอิสระเชิงเสนใน 𝕄3×1
พิจารณา B = {(1,2,0), (3,1,0), (1,2,3)} เปนฐานหลักส าหรับ ℝ3 และ
[(1,2,0)]B = [210
, [(3,1,0)]B = [310
, [(1,2,3)]B = [123
โดยทฤษฎีบท 2.3 จะไดวา P = [210
[310
[123
= [210
310
123
เปนเมทริกซไมเอกฐาน
. เอกสารประกอบการสอน รายวิชา 314 211 พีชคณิตเชิงเสน .
หนา 117
บทที่ 2 ปริภูมิเวกเตอร์
2.5.2 การเปลี่ยนฐานหลัก (Change of Basis)
ก าหนดให B = {v1, v2, v3, … , vn} และ
C = {u1, u2, u3, … , un}
เปนฐานหลักล าดับส าหรับปริภูมิเวกเตอร 𝕍 และ u เปนเวกเตอรใดๆ จะไดวา
u = c1v1 + c2v2 + c3v3 + ⋯ + cnvn
และ
u = d1u1 + d2u2 + d3u3 + ⋯ + dnun
เมื่อ c1, c2, c3, … , cn, d1, d2, d3, … , dn เปนสเกลาร ดังนั้น
[u]B = [
c1c2⋮
cn
และ
[u]C = [
d1d2⋮
dn
พิจารณา
v1 = a11u1 + a21u2 + a31u3 + ⋯ + an1un
v2 = a12u1 + a22u2 + a32u3 + ⋯ + an2un
⋮ vn = a1nu1 + a2nu2 + a3nu3 + ⋯ + annun
ในกรณีท่ัวไป ส าหรับแตละ i = 1,2,3, … , n ให
vi = a1iu1 + a2iu2 + a3iu3 + ⋯ + aniun
เมื่อ a1i, a2i, a3i, … , ani เปนสเกลาร
ดังนั้น
[vi]C = [
a1ia2i
⋮ani
. เอกสารประกอบการสอน รายวิชา 314 211 พีชคณิตเชิงเสน .
หนา 118
บทที่ 2 ปริภูมิเวกเตอร์
พิจารณา
[u]C = [c1v1 + c2v2 + c3v3 + ⋯ + cnvn]C
= c1[v1]C + c2[v2]C + c3[v3]C + ⋯ + cn[vn]C
= c1 [
a11a21
⋮an1
+ c2 [
a12a22
⋮an2
+ c3 [
a13a23
⋮an3
+ ⋯ + cn [
a1na2n
⋮an𝑛
= [
c1a11 +c1a21 +
⋮c1an1 +
c2a12 +c2a22 +
⋮c2an2 +
c3a13 +c3a23 +
⋮c3an3 +
⋯⋯
⋯
+cna1n+cna2n
⋮+cnann
= [
a11a21
⋮an1
a12a22
⋮an2
a13a23
⋮an3
⋯⋯
⋯
a1na2n
⋮ann
[
c1c2⋮
cn
= P[u]B
ดังนั้น สรุปไดวา
[u]C = P[u]B ส าหรับทุกๆ เวกเตอร u ใน 𝕍
เมื่อ
P = [
a11a21
⋮an1
a12a22
⋮an2
a13a23
⋮an3
⋯⋯
⋯
a1na2n
⋮ann
และจะเรียก P วาเมทริกซเปลี่ยนฐานหลักจากฐานหลักลําดับ B ไปยังฐานหลักลําดับ C
(transition matrix from the ordered basis B to the ordered basis C)
เราสามารถพิสูจนไดวา
1. P เปนเมทริกซไมเอกฐาน (non-singular matrix)
2. มีเมทริกซ P เพียงตัวเดียวท่ีท าให
[u]C = P[u]B
. เอกสารประกอบการสอน รายวิชา 314 211 พีชคณิตเชิงเสน .
หนา 119
บทที่ 2 ปริภูมิเวกเตอร์
ส าหรับทุกๆ เวกเตอร u ใน 𝕍
เพื่อความชัดเจนจะแทนเมทริกซเปลี่ยนฐานหลักจากฐานหลักล าดับ B ไปยังฐานหลักล าดับ C ดวย
PC←B กลาวคือ
[u]C = PC←B[u]B ส าหรับทุกๆ เวกเตอร u ใน 𝕍
ดังนั้น
[u]B = PC←B−1[u]C
นั่นคือ PC←B−1 จะเปนเมทริกซเปลี่ยนฐานหลักจากฐานหลักล าดับ C ไปยังฐานหลักล าดับ B
กลาวคือ
PC←B−1 = PB←C
หมายเหตุ ในการหา PB←C สามารถหาไดจากวิธีการดังนี้
1. หาไดเชนเดียวกันกับวิธีการการ PC←B จากวิธีการขางตน
2. หาไดจากการอินเวอรสของ PC←B
I
ftp.lhk =p" TB
. เอกสารประกอบการสอน รายวิชา 314 211 พีชคณิตเชิงเสน .
หนา 120
บทที่ 2 ปริภูมิเวกเตอร์
ตัวอยาง 2.5.8 ให B = {1, x, x2, x3}, C = {1,1 + x, x2 − 1,2x + x3} และ D =
{1, x, x + x2, 2 + x3} เปนฐานหลักล าดับส าหรับ ℙ3
a) จงหาเมทริกซเปล่ียนฐานหลักจากฐานหลักล าดับ B ไปยังฐานหลักล าดับ C
วิธีทํา
-
67 P← B
① m Cio . Cxlc , [ x'lo ,
[ " Ic
(② E. B -- fuk "'c "
'
'c"%)
*
① 2 = ( 1) 4) + ( O ) ( i + x ) +( O ) (XII ) + ( o ) (2x tx)
[ "c- ( log ) 1. a +biixstclx
'-Dtdkxtx)
=dx3-idxd-cbtadjxxca.be)
Hd -- O
C-- o
b tadeo .
'
.bio
Atb - C = 7 -i a =/
X = f- 7) (1) + ( 1) ( i- x ) 1- (O ) ( x't 1) + ( O) ( 2x xx)
do"'il Ea :: :S'Atb - C -- o i. a =
- I
Xd = ( 1) (1) + (o) ( Itx )-11771×41) -1/0112×-1×3)
d - oC =L
[ X' Ig =/ ! ) btzd -
- o i. 3=0
a + be -0 i. a = I
113=(21/1) + f-2) fix) -110 ) ( x'ti) -14112×-1×3D= I
[ x'k -
- f ?;) "II: i. be -2atb - C -0 .
'
,a = 2
owe.it:"
: : *
. เอกสารประกอบการสอน รายวิชา 314 211 พีชคณิตเชิงเสน .
หนา 121
บทที่ 2 ปริภูมิเวกเตอร์
b) จงหาเมทริกซเปล่ียนฐานหลักจากฐานหลักล าดับ B ไปยังฐานหลักล าดับ D
วิธีทํา
Quiz a 13,3=47,1×1,1×7,1×7,1# 20.01.2010
*I = ( H fi ) + lol H ) + (
o) ( x txt) -110112K¥-
I een a ,b,C,d
[ 7)D= (a) NOEL
, ah, + bcxi-ccxtxi-dk.tk)°
o x'to x'tox -11= d ×
>+ Cx Qt Cbtc) x + (at 2nd)O
.
'
,d -- o÷÷i÷÷÷÷÷:x
X = ( 01h) + (7) (x ) -11071×-1×3-10112*7*2=(07117*4-1)( x) -111 ) ( xxx') (0112 #xD
Ox' tfhxtoxto 4 Be
b x = 9117 +blxi-clxtx3-dldtx4-X-dx3.cl/dt4tC)XtCa-ad)ox'tox4"¥d-- o
C -
- O C = I
an:c. l÷:÷oa::÷:}÷:: :
i. uh, -- 19g ) Cx 's,#fog)
X? f-2) G) + ( o ) ( x ) i- fo 'll x -1×7+012*7
(1) X't lol X
"t lol X t = d X' text ( b tax Hand)
#d = 1
:÷÷÷l÷÷ :.
'
.[ xD,= f?)
B. B = [ HI , 1×1, hit, Lx ! )
ti: : : *
. เอกสารประกอบการสอน รายวิชา 314 211 พีชคณิตเชิงเสน .
หนา 122
บทที่ 2 ปริภูมิเวกเตอร์
c) จงหาเมทริกซเปล่ียนฐานหลักจากฐานหลักล าดับ C ไปยังฐานหลักล าดับ B
วิธีทํา
ax3tbxh-CX-dd-flgltx.nl! ' ,2Xtx'
} B = 41, X , x? x'y Pg
Bec - ( ( ' 1B l 't 't ,* -D,
C" -"7, ]
I = ( 1) 117 + ( O ) ( x ) + ( 0745 + HIX )
gtx = ( 1) ( t )t (1) ( x ) + ( 031×5 x ( o) ( x )
XE , = f -7) ( n ) t ( O ) ( x ) + (1) ( x) + Co) ( x)
2×-1×3 = ( o ) ( t ) + (2) ( x ) 1- ( O ) ( x) + (1) (x)
is::c : :"
: :L .
. เอกสารประกอบการสอน รายวิชา 314 211 พีชคณิตเชิงเสน .
หนา 123
บทที่ 2 ปริภูมิเวกเตอร์
d) จงหาเมทริกซเปล่ียนฐานหลักจากฐานหลักล าดับ C ไปยังฐานหลักล าดับ D
วิธีทํา
C-
- fi , HX ,
x'-1,2×-1×3 } ,D -
- fi ,x , xxx'd
,atx)
Ppc - ( ( ' ID l ' -1×7 ,CK - if, Czxtx't,]
7-14-10×404 ' -1+0×+440×3 042×-10×4×3
Tai a,b,c,d f R
nd
o x'tox'
tox -17
I = am + box + ccxtxd) 1- dC2tx}
= dx3 + Cx Lt Cbtc ) x t lated)
Toi d -
- o
C -
- O
b + c -- o -
'
.
3=0
at zd = 1.
'
.
a =L
an Gtx} , ( x'- Dp lzxtxfg" ' D= f ! )
now .,r8ndv
. เอกสารประกอบการสอน รายวิชา 314 211 พีชคณิตเชิงเสน .
หนา 124
บทที่ 2 ปริภูมิเวกเตอร์
e) จงหาเมทริกซเปล่ียนฐานหลักจากฐานหลักล าดับ D ไปเปนฐานหลักล าดับ C
วิธีทํา
C = 11 , HX ,
x! ',2x xx
'
} ,D -
- fi , x , x + xd, atx)
Pce , -
- fuk Ext ( xxx't lax't ]9W a ,b , c , d EIR
1 =all ) t b ( it x) tax
'- l ) t d ( 2x -1×3 )
= dx 't cxdxcbtzd ) x t ca + b- C )
Tor d -- o
d = 0
bed = O ÷.
b - O
atb - C = 1.
.
.
a = I
-
'
. [ 1)c= fig ) ⇒
mcxk.cxtxyc.cz -1×34
. เอกสารประกอบการสอน รายวิชา 314 211 พีชคณิตเชิงเสน .
หนา 125
บทที่ 2 ปริภูมิเวกเตอร์
f) จงหาพิกัด [p(x)]B , [p(x)]Cและ [p(x)]D โดยท่ี p(x) = 2 + 5x − x2 + 3x3
วิธีทํา
13=41,1×9×3) d=fi,i- X. X'- 32×-1×3) D - fi , x. xxx'd
,2tx'
}
[ 2+5×-543×31,3=(121/1)+1511×1 + HIX) -11311×7],
1¥
my 9wqb.c.dfknhi.fr2-15×-1143×3=94 ) -14×1+4×3 + dcx
})
= axbxtdx't dx3
:.
D= 3
C =- I
b = 5
A = 2
C -
- fi , i ex , X'- 32×-1×3)
, pix) = 2+5 X - X
Z-13×3
④*Dc = ( ( 2) (1) + G) ( tix ) tf - 1) ( x'- ht 12×-1×34
'⇒m2 for a ,b , c , d EIR
rt
21-54 - Xd-13×3=911 ) t blltxltccxhtltdczxtx')
= dx3tdx 4- ( b -12dm tlatb-C )
.
'
.
D= 3
C = -1
bed = 5 .
.
.
b- - I
a + b -d = 2 : . 9=2
D= 41 , x , xtxd, 2-1×3} , pix) = 2-15×-7143×3
[ PM) D= (f -4)Htt 6) Htt Cx -1×7+13112+91,
= I *
ng9- a
,b. c. dead
2t5X - x&t3x3_ a tbxtccxtxdytdfaxx}
= dx3 + cxdt ( b +c)X t @tzd)
.
'
-
d =3
d = - 1
bed = 5 .
'
.b - 6
atzd = 2 .
.
.
a =- 4