บทที่ 10 การวิเคราะห ความแปรปรวน ·...

316 204 สถิติเบื้องตน หนา 1 จาก 25

บทท่ี 10 การวเิคราะหความแปรปรวน

ประกอบดวย การทดสอบสมมตฐานของคาเฉลี่ยของประชากร ตั้งแต 3 ประชากรขึ้นไป ดวยการวิเคราะหความแปรปรวน ซึ่งนาสนใจและนาศึกษา ดังนี้ - นิยามคําศัพท - ตัวแบบของการวิเคราะหความแปรปรวน (ANOVA Model) 10.1 การวิเคราะหความแปรปรวนแบบจําแนกทางเดียว (One-way ANOVA) 10.2 การเปรียบเทียบเชิงซอน (Multiple Comparisons Test) 10.3 สถิติทดสอบความแปรปรวนของสองหรือมากกวาสองประชากร ที่มีความแกรง (ไมเรียน) 10.4 การแปลงขอมูล (ไมเรียน) 10.5 การวิเคราะหความแปรปรวนแบบจําแนกสองทาง (Two-way ANOVA)


บทท่ี 10 การวเิคราะหความแปรปรวน

ในบทที่ 8 หัวขอ 8.5 เปนการทดสอบสมมติฐานผลตางของคาเฉลี่ยของ 2

ประชากร โดยตัวสถิติทดสอบ Z หรือ T แตถามีวัตถุประสงคเพื่อทดสอบ “คาเฉลี่ยของประชากรมากกวา 2 ประชากร วาแตกตางกันหรือไม” จะใชวิธี “การวิเคราะหความแปรปรวน (Analysis of Variance, ANOVA)” ซ่ึงเปนวิธีทางสถิติที่ใชสําหรับการวิเคราะหขอมูลที่ไดจากการทดลอง ผูที่พัฒนา คือ R.A. Fisher และไดมีการนําไปใชวิเคราะหขอมูลในสาขาวิชาตาง ๆ มากมาย โดยใชหลักการ แยกความผันแปรหรือความแปรปรวนทั้งหมดของขอมูลที่เกิดขึ้นจากการทดลองออกเปนสวน ๆ ตามแหลงที่ทําใหเกิดความผันแปร (Sources of variation) นั้น ๆ ดังนี้

1) ความผันแปรหรือความแปรปรวน เนื่องมาจาก “ความคลาดเคลื่อนจากการทดลอง” (ความผันแปรที่อธิบายไมได) 2) ความผันแปรหรือความแปรปรวน เนื่องมาจาก “สิ่งทดลอง” (ความผันแปรที่อธิบายได) ตัวอยางเชน ตองการศึกษา ประสิทธิภาพของยารักษาโรคเบาหวาน 3 ชนิด คือ A, B และ C โดยทดลองใชรักษา “หนูที่มีอาการของโรคเบาหวานในระยะเดียวกัน”

จึงสุม “หนูที่มีอาการของโรคเบาหวานในระยะเดียวกัน” มารักษาดวยยาดังกลาว ชนิด ๆ ละ 8 ตัว รวม 24 ตัว เมื่อเวลาผานไประยะหนึ่ง ทําการวัดปริมาณน้ําตาลในเลือดของหนูทั้ง 24 ตัว ผลที่ไดคือ ปริมาณน้ําตาลในเลือด ดังนี้ ปริมาณน้ําตาลในเลือดเมื่อใชยา ยารักษาโรคเบาหวาน ชนิด A ชนิด B ชนิด C 5.7 4.3 6.2 4.8 5.2 3.8 6.0 5.4 3.8 5.2 4.2 6.4 6.3 5.5 6.2 5.0 3.8 6.0 6.0 5.6 4.0 5.0 4.4 3.6 รวม 44.0 38.4 40.0 คาเฉลีย่ปริมาณน้ําตาลในเลือด 5.5 4.8 5.0 นิยามคําศัพท 1) การทดลอง (Experiment) คือ การแสวงหาคําตอบจากสิ่งที่ไดจัดเตรียมไวดีแลว เพื่อที่จะคนหาขอเท็จจริงใหม ๆ หรือเพื่อสนับสนุน/ขัดแยงกับผลการทดลองที่เคยทํามาแลว ในที่นี้ คือ การศึกษาประสิทธิภาพของยารักษาโรคเบาหวาน 3 ชนิด 2) ปจจัย (Factor) คือ ลักษณะของสภาพการณตาง ๆ ที่ผูทําการทดลองกําหนดขึ้น (สิ่งทดลองตาง ๆ ที่มีสภาพการณแบบเดียวกัน ถือวาเปนหนึ่งปจจัย)


ในที่นี้ มี 1 ปจจัย คือ ยารักษาโรคเบาหวาน (หรือถาเพิ่ม อาการของโรคเบาหวานระยะที่ 1, 2, 3 จะถือวาเปนอีก 1 ปจจัย) 3) ระดับของปจจัยหรือสิ่งทดลอง คือ คาตาง ๆ ของปจจัยที่ใชในการทดลอง ในที่นี้ ระดับของปจจัยหรือสิ่งทดลอง มี 3 ระดับ คือ ยาชนิด A, B และ C 4) การวางแผนการทดลอง (Experimental design) หมายถึง การกําหนดกฎหรือวิธีการที่จะแจกจายสิ่งทดทองไปตามหนวยทดลอง นั่นคือ กําหนดวิธีการวา หนวยทดลองจะไดรับสิ่งทดลองอยางไร ในที่นี้ คือ การสุม “หนูที่มีอาการของโรคเบาหวานในระยะเดียวกัน” เพื่อรับยาชนิด A, B, C ชนิดละ 8 ตัว

5) หนวยทดลอง (Experimental unit) หมายถึง กลุมของหนวยตัวอยางที่จะไดรับสิ่งทดลองอยางเดียวกัน ในที่นี้ คือ หนู 8 ตัว จํานวน 3 กลุม

6) หนวยตัวอยาง (Sampling unit) หมายถึง สวนหนึ่งของหนวยทดลอง ในที่นี้ คือ หนู 1 ตัว ใน 8 ตัว ของแตละกลุม 7) สิ่งทดลองหรือกรรมวิธี (Treatment) หมายถึง วิธีการหรือสิ่งที่ผูทําการทดลองนําไปใชกับหนวยทดลอง เพื่อวัดผลกระทบ หรือเพื่อเปรียบเทียบกับสิ่งทดลองอื่น ๆ ในที่นี้ คือ ยารักษาโรคเบาหวานชนิด A, B และ C 8) ความคลาดเคลื่อนจากการทดลอง (Experimental error) หมายถึง มาตราวัดความผันแปรในแตละหนวยทดลอง ที่ไดรับสิ่งทดลองที่แตกตางกัน ในที่นี้ คือ ความผันแปรที่อาจเกิดจากตัวหนูทั้ง 24 ตัว หรือการวัดปริมาณน้ําตาลในเลือดคลาดเคลื่อน

9) ความคลาดเคลื่อนจากการสุมตัวอยาง (Sampling error) หมายถึง ความผันแปรเนื่องมาจากขอมูลหรือคาสังเกตของหนวยทดลองเดียวกัน ในที่นี้ คือ ความผันแปรที่เกิดจากปริมาณน้ําตาลในเลือดของหนูที่ไดรับยารักษาโรคเบาหวาน 3 ชนิด ซ่ึงแตกตางกัน

10) การซ้ํา (Replication) หมายถึง การที่ใชสิ่งทดลองมากกวาหนึ่งครั้งในการทดลองเดียวกัน ในที่นี้ คือ ใชยาชนิด A, B และ C กับ หนูชนิดละ 8 ตัว อยางสุม ซํ้าครั้งที่ 1, ใชยาชนิด A, B และ C กับ หนูชนิดละ 8 ตัว อยางสุม ซํ้าครั้งที่ 2, ใชยาชนิด A, B และ C กับ หนูชนิดละ 8 ตัว อยางสุม ซํ้าครั้งที่ 3

ตัวแบบของการวิเคราะหความแปรปรวน (ANOVA Model) เปนตัวแบบคณิตศาสตร แทน ขอมูลที่ไดจากการทดลอง ซ่ึงประกอบดวย 2 สวน ดังนี้ สวนที่ 1 สมการแทนขอมูล เปนสมการเชิงเสน (Linear) ที่แสดงใหเห็นวา ขอมูลหรือคาสังเกตแตละหนวย ประกอบดวยอะไรบาง ดังนี้ ijiijX ετµ ++= ; ki ,...,2,1= ; inj ,...,2,1= เมื่อ ijX แทน คาสังเกตที่ j จากสิ่งทดลองที่ i


µ แทน คาเฉลี่ยรวมทั้งหมด (เปนพารามิเตอร) iτ แทน ผลกระทบของสิ่งทดลองที่ i (เปนพารามิเตอร) ijε แทน ความคลาดเคลื่อนของคาสังเกตที่ j จากสิ่งทดลองที่ i (เปนตัวแปรสุม) ปริมาณน้ําตาลในเลือดเมื่อใชยา ยารักษาโรคเบาหวาน ชนิด A ชนิด B ชนิด C 1 5.7 4.3 6.2 2 4.8 5.2 3.8 3 6.0 5.4 3.8 4 5.2 4.2 6.4 5 6.3 5.5 6.2 6 5.0 3.8 6.0 7 6.0 5.6 4.0 8 5.0 4.4 3.6 รวม 44.0 38.4 40.0 คาเฉลีย่ปริมาณน้ําตาลในเลือด 5.5 4.8 5.0 สวนที่ 2 ขอกําหนด (Assumptions) ในสมการ ใชเปนพื้นฐานในการวิเคราะหขอมูล เพราะถาหากวาขอมูลไมเปนไปตามขอกําหนดเหลานี้ จะทําใหการทดสอบสมมติฐานโดยใชตัวสถิติทดสอบ F ไมนาเชื่อถือ ขอกําหนดมีดังนี้ 1) สิ่งทดลอง มีการแจกแจงแบบปกติ ที่มีความแปรปรวนเทากันหมด 2) ความคลาดเคลื่อนจากการทดลอง ( ijε ) เปนอิสระกัน และมีการแจกแจงแบบปกติ มีคาเฉลี่ยเปน 0 และความแปรปรวนเปน 2σ เทากันหมด หรือ ijε ~ ),0( 2σNID ; (NID = Normally and Independently Distributed) การวิเคราะหความแปรปรวน ในบทนี้จะศึกษา 2 วิธี ดังนี้ 1) การวิเคราะหความแปรปรวนแบบจําแนกทางเดียว (One-way ANOVA) เปนการวิเคราะหขอมูลที่ไดจากการทดลองโดยใชปจจัยแบง 1 ปจจัย ใชกับหนวยทดลองตองมีลักษณะคลายคลึงกันหมด เชน ชนิดของยารักษาโรค วิธีการของกระบวนการผลิต ชนิดของปุย ชนิดของพันธุขาว วิธีการสอนนกัเรียน เปนตน

2) การวิเคราะหความแปรปรวนแบบจําแนกสองทาง (Two-way ANOVA) เปนการวิเคราะหขอมูลที่ไดจากการทดลองโดยใชปจจัยแบง 2 ปจจัย (ปจจัยที่ 1 แทน Treatment และปจจัยที่ 2 แทน Block) ใชกับหนวยทดลองมีความแตกตางกันมาก ควรแบงหนวยทดลองออกเปนบล็อก (Block) โดยจัดหนวยทดลองที่คลายคลึงกันไวในบล็อกเดียวกัน และจัดหนวยทดลองที่แตกตางกันไวคนละบล็อก ใหจํานวนหนวยทดลองในแตละบล็อกเทากับจํานวนสิ่งทดลอง ดังนั้นในแตละบล็อกจะมีสิง่ทดลองครบทุกสิ่งทดลอง และแตละสิ่งทดลองจะปรากฏในทุกบล็อก เชน - ชนิดของยา (Treatment) กับ ระยะอาการของโรค (Block) - ชนิดของพันธุขาว (Treatment) กับ พื้นที่ปลูกขาว (Block) -ระดับการศึกษา (Treatment) กับ ประสบการณขาย ของพนักงานขาย (Block)


10.1 การวิเคราะหความแปรปรวนแบบจําแนกทางเดียว (One-way ANOVA) ขอมูลที่ไดจากการทดลองเปนตัวอยางสุมขนาด knnn ,...,, 21 จาก k,...,2,1สิ่งทดลอง ที่เปนอิสระกันและมีการแจกแจงแบบปกติ มีคาเฉลี่ย kµµµ ,...,, 21 และความแปรปรวน 2σ เทากันหมด ดังในตาราง ปริมาณน้ําตาลในเลือดเมื่อใชยารักษา คาสังเกตท่ี ชนิด A ชนิด B ชนิด C 1 5.7 4.3 6.2 2 4.8 5.2 3.8 3 6.0 5.4 3.8 4 5.2 4.2 6.4 5 6.3 5.5 6.2 6 5.0 3.8 6.0 7 6.0 5.6 4.0 8 5.0 4.4 3.6 รวม 44.0 38.4 40.0 คาเฉลีย่ปรมิาณน้ําตาลในเลือด 5.5 4.8 5.0 คาสังเกต สิ่งทดลองหรือกรรมวิธี (Treatment)

ท่ี 1 2 ... i ... k 1 11X 21X … 1iX … 1kX 2 12X 22X … 2iX … 2kX ... … … … … … … j jX 1 jX 2 … ijX … kjX

... … … … … … … in

11nX 22nX … jinX … kknX

รวม .1X .2X … .iX … .kX ..X คาเฉลี่ย .1X .2X … .iX … .kX ..X โดยที่ k แทน จํานวนสิ่งทดลอง in แทน จํานวนคาสังเกตในสิ่งทดลองที่ kii ,...,2,1; = n แทน จํานวนคาสังเกตทั้งหมด knnn +++= ...21 ijX แทน คาสังเกตที่ j จากสิ่งทดลองที่ i ; ki ,...,2,1= ; inj ,...,2,1=

∑=

=in

jiji XX

1

. แทน ผลรวมของคาสังเกตทั้งหมดของสิ่งทดลองที่ kii ,...,2,1; =

i

ii n

XX .. = แทน คาเฉลี่ยของคาสังเกตของสิ่งทดลองที่ kii ,...,2,1; =

∑=

=k

iiXX

1

... แทน ผลรวมทั้งหมดของคาสังเกตของทุก ๆ สิ่งทดลอง

n

XX .... = แทน คาเฉลี่ยของคาสังเกตทั้งหมดของทุก ๆ สิ่งทดลอง

ตองการทดสอบสมมติฐานคาเฉลี่ยของคาสังเกตทั้ง k สิ่งทดลอง วาไมมีความแตกตางกัน ดังนี้


สมมติฐานเพื่อการทดสอบ kH µµµµ ==== ...: 3210 สมมติฐานแยง iH µ:1 อยางนอย 2 คา ไมเทากัน ki ,...,2,1; =

วิธีวิเคราะหขอมูล จากสมการ ijiijX ετµ ++= จะเห็นวา ขอมูล ijX ใด ๆ ที่ไดจากการทดลอง สามารถเขียนใหอยูในรูป

.)(..).(.. iijiij XXXXXX −+−+= ; ki ,...,2,1= ; inj ,...,2,1=

.)(..).(.. iijiij XXXXXX −+−=−

เมื่อ ..X เปนคาเฉลี่ยรวมทั้งหมดของขอมูล ..).( XX i − เปนผลกระทบจากสิ่งทดลองที่ i .)( iij XX − เปนผลกระทบของตัวแปรสุมที่คาสังเกตที่ j จากสิ่งทดลองที่ i

ความผันแปรของขอมูล ประกอบดวย 2..)( XX ij − 22 .)(..).( iiji XXXX −+−=

∑∑= =

−k

i

n

jij

i

XX1 1

2..)( ∑∑ ∑∑= = = =

−+−=k

i

n

j

k

i

n

jiiji

i i

XXXX1 1 1 1

2.

2. )(..)(

หรือ สูตรที่ใชกับเครื่องคํานวณ

∑∑∑∑

= =

= =−k

i

n

j

k

i

n

jij

ij

i

i

n

XX

1 1

1 1

2

2

)( ∑∑∑

∑∑∑

== =

= =

=

−+−=k

i i

ik

i

n

jij

k

i

n

jijk

i i

i

nXX

n

X

nX i

i

1

2.

1 1

21 1

2

1

2. ][]

)([

ความผันแปรรวมทั้งหมด = ความผันแปรจากสิ่งทดลอง+ความผนัแปรภายในสิ่งทดลอง

Sum Square Total = Sum Square Treatment + Sum Square Error

หรือ SST = SSTr + SSE

เนื่องจาก SSE SSTrSST −= ดังนั้น ใหหา SST และ SSTr กอน แลวนํามาลบกัน ก็จะได SSE ความผันแปรตอหนวย เรียกวา กําลังสองเฉลี่ย (Mean Square; MS) =MS

dfSS เปนคาประมาณของความแปรปรวนของความคลาดเคลื่อน 2σ ของ

ทั้ง 3 เทอม ดังนี้

1−n

SST kn

SSEkSSTr

−+

−=

1

MST = MSTr MSE+

Mean Square Total = Mean Square Treatment + Mean Square Error

กําลังสองเฉลี่ยของยอดรวม = กําลังสองเฉลี่ยระหวางกรรมวิธี + กําลังสองเฉลี่ยภายในกรรมวิธี จะได

knSSEMSE−

= เปนตัวประมาณคาที่ไมเอนเอยีงของ 2σ ไมวา 0H เปนจริงหรอืไม


1−=

kSSTrMSTr เปนตัวประมาณคาที่ไมเอนเอยีงของ 2σ ก็ตอเมื่อ 0H เปนจรงิ

1−=

nSSTMST เปนตัวประมาณคาที่ไมเอนเอยีงของ 2σ ก็ตอเมื่อ 0H เปนจรงิ

ดังนั้น ถา 0H เปนจริง; ตัวสถิติ MSEMSTrF = จะมีคาเทากับ 1 หรือใกล 1

ถา 0H เปนเท็จ; ตัวสถิติ MSEMSTrF = จะมีคามากกวา 1 อยางมีนัยสําคัญ

สมมติฐานหลัก kH µµµµ ==== ...: 3210 สมมติฐานแยง iH µ:1 อยางนอย 2 คา ไมเทากัน ki ,...,2,1; =

ตัวสถิติทดสอบ คือ MSEMSTrF = ∼ ),1( knkf −− α−1 α

กําหนดระดับนัยสําคัญ α บริเวณปฏิเสธ 0H ถา ),1,( knkfF −−≥ α 0 αf ),1( knkF −− (เปนการทดสอบทางเดียว ทางขวามือ) สรุปผลการทดสอบ

∑∑∑∑

= =

= =−k

i

n

j

k

i

n

jij

ij

i

i

n

XX

1 1

1 1

2

2

)( ∑∑∑

∑∑∑

== =

= =

=

−+−=k

i i

ik

i

n

jij

k

i

n

jijk

i i

i

nXX

n

X

nX i

i

1

2.

1 1

21 1

2

1

2. ][]

)([

SST = SSTr + SSE

1−n

SST kn

SSEkSSTr

−+

−=

1

ตารางวิเคราะหความแปรปรวน (ANOVA Table) แหลงความผันแปร

(Sources of variation, SOV) df SS MS ratioF −

สิ่งทดลอง (Treatment)

1−k SSTr 1−

=kSSTrMSTr

MSEMSTrF =

ความคลาดเคลื่อน (Error)

kn − SSE kn

SSEMSE−

=

รวม (Total)

1−n SST

ตัวอยาง ในการทดลองในเรือนกระจก โดยการฉีดเชื้อในตนถั่วแดง 6 สูตร ไดแก A, B, C, D, E, F จํานวน 30 ตน ที่มีลักษณะเหมือนกัน เพื่อศึกษาปริมาณไนโตรเจนเฉลี่ยในตนถั่วแดงวาแตกตางกันหรือไม ในการสุมที่จะฉีดเชื้อสูตร A, B, C, D, E, F ใหตนถั่วแดง (หนวยทดลอง) 30 ตน ใชวิธีการสุมอยางงาย (SRS) โดยการจับสลาก มีขั้นตอนดังนี้ 1) นําตนถั่วแดงที่มีลักษณะเหมือนกันมา 30 ตน ใหหมายเลขตนถั่วแดง จาก 1, 2, 3,…, 30


2) ทําสลาก 30 ใบ 3) แบงสลาก 30 ใบ ออกเปน 6 กลุม ๆ ละ 5 ใบ 4) สลากกลุมที่ 1 เขียน A, กลุมที่ 2 เขียน B, กลุมที่ 3 เขียน C , กลุมที่ 4 เขียน D, กลุมที่ 5 เขียน E และกลุมที่ 6 เขียน F รวมทั้งหมด 30 ใบ 5) นําสลากจากขอ 4 มารวมกันในกลอง คลุกเคลาใหทั่วกัน 6) สุมหยิบสลากจากกลองมาครั้งละ 1 ใบ แบบไมใสกลับคืน จนกระทั่งหมดกลอง สมมติวาไดดังนี้

เชื้อสูตร B C F A D C B E E A F ลําดับที่ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

เชื้อสูตร C D F B A A E D E B D ลําดับที่ 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22

เชื้อสูตร A D C C E B F F ลําดับที่ 23 24 25 26 27 28 29 30

สรุปแผนการทดลอง เปนดังนี้ ฉีดเชื้อสูตร A ใหถ่ัวแดงตนที่ 4, 10, 16, 17, 23 ฉีดเชื้อสูตร B ใหถ่ัวแดงตนที่ 1, 7, 15, 21, 28 ฉีดเชื้อสูตร C ใหถ่ัวแดงตนที่ 2, 6, 12, 25, 26 ฉีดเชื้อสูตร D ใหถ่ัวแดงตนที่ 5, 13, 19, 22, 24 ฉีดเชื้อสูตร E ใหถ่ัวแดงตนที่ 8, 9, 18, 20, 27 ฉีดเชื้อสูตร F ใหถ่ัวแดงตนที่ 3, 11, 14, 29, 30

วิธีขางตนเรียกวา “การวางแผนการทดลองแบบสุมสมบูรณ (Completely Randomized Design : CRD)” 7) วัดปริมาณไนโตรเจนในตนถั่วแดง ไดผลดังนี้

ปริมาณไนโตรเจนในตนถั่วแดง (หนวย : มิลลิกรัม) เชื้อสูตร A เชื้อสูตร B เชื้อสูตร C เชื้อสูตร D เชื้อสูตร E เชื้อสูตร F 19.4 17.7 17.0 20.7 14.3 17.3 32.6 24.8 19.4 21.0 14.4 19.4 27.0 27.9 9.1 20.5 11.8 19.1 32.1 25.2 11.9 18.8 11.6 16.9

33.0 24.3 15.8 18.6 14.2 20.8รวม 144.1 119.9 73.2 99.6 66.3 93.5

คาเฉลี่ย 28.82 23.98 14.64 19.92 13.26 18.7

อยากทราบวา ปริมาณไนโตรเจนเฉลี่ยในตนถั่วแดงที่ฉีดดวยเชื้อทั้ง 6 สูตร มีความแตกตางกันหรือไม ที่ระดับนัยสําคัญ 05.0 และ 01.0 วิธีทํา สมมติฐาน 6543210 : µµµµµµ =====H iH µ:1 อยางนอย 2 คา ไมเทากัน 6,...,2,1; =i เมื่อ 654321 ,,,,, µµµµµµ แทน คาเฉลี่ยของปริมาณไนโตรเจนในตนถั่วแดงที่ฉีด ดวยเชื้อสูตรที่ A:1, B:2, C:3, D:4, E:5, F:6 ตามลําดับ


จากสูตร ∑∑∑∑

= =

= =−k

i

n

j

k

i

n

jij

ij

i

i

n

XX

1 1

1 1

2

2

)( ∑∑∑

∑∑∑

== =

= =

=

−+−=k

i i

ik

i

n

jij

k

i

n

jijk

i i

i

nXX

n

X

nX i

i

1

2.

1 1

21 1

2

1

2. ][]

)([

SST = SSTr + SSE การคํานวณคาประมาณของเทอมตาง ๆ 6=k ; 30555555 =+++++=n

38.864,1130

)6.596(30

)8.20...0.276.324.19()(

22

6

1 1

2

==++++

=∑∑= =

n

Xi

n

jij

i

∑∑∑∑

= =

= = −+++=−=6

1 1

222

6

1 1

2

2 38.864,11)8.20...6.324.19()(

i

n

j

i

n

jij

ij

i

i

n

XXSST

98.129,1=

38.864,11)55.93...

59.119

51.144(

)(222

6

1 1

26

1

2. −+++=−=

∑∑∑ = =

= n

X

nX

SSTr i

n

jij

i i

i

i

05.847=

93.28205.84793.129,1 =−=−= SSTrSSTSSE

41.1695

05.8471605.847

1==

−=

−=

kSSTrMSTr

79.1124

93.282630

93.282==

−=

−=

knSSEMSE

กําหนดระดับนัยสําคัญ 05.0=α บริเวณปฏิเสธ 0H ถา 62.2)630,16(,05.0),1(, ==≥ −−−− ffF knkα

กําหนดระดับนัยสําคัญ 01.0=α บริเวณปฏิเสธ 0H ถา 90.3)630,16(,01.0),1(, ==≥ −−−− ffF knkα 05.0=α 01.0=α 0 )24,5(F 0 )24,5(F 05.0f = 2.62 14.37 01.0f = 3.90 14.37

ตัวสถิติทดสอบ คือ 37.1479.1141.169

===MSEMSTrF

เพราะวา 62.237.14 )24,5(,05.0 =>= fF และ 90.337.14 )24,5(,01.0 =>= fF ตกอยูในบริเวณปฏิเสธ 0H จึงปฏเิสธ 0H ดังนั้น ปริมาณไนโตรเจนเฉลี่ยในตนถั่วแดงที่ฉีดดวยเชื้อสูตรตาง ๆ มีความแตกตางกันอยางมีนัยสําคัญ ที่ระดับนัยสําคัญ 05.0 และ

01.0 ตามลําดับ #


ตารางวิเคราะหความแปรปรวน (ANOVA Table)

SOV df SS MS F เชื้อสูตร 5 847.05 169.41 14.37**ความคลาดเคลื่อน 24 282.93 11.79

รวม 29 1,129.98 * หมายถึง การทดสอบมีนัยสาํคัญ ที่ระดับนัยสําคัญ 05.0 ** หมายถึง การทดสอบมีนัยสําคัญยิ่ง ที่ระดับนัยสําคัญ 01.0 จากผลการทดสอบทราบวา ปริมาณไนโตรเจนเฉลี่ยในตนถั่วแดงที่ฉีดดวยเชื้อสูตรตาง ๆ มีความแตกตางกัน ถาตองการเปรียบเทียบคาเฉลี่ยของปริมาณไนโตรเจนในถั่วแดงที่ฉีดดวยเชื้อสูตร A, B, C, D, E, F วามีคูใดบางที่แตกตางกัน และมีคูใดบางที่ไมแตกตางกัน จะไดศึกษาในหัวขอ 10.2 การเปรียบเทียบเชิงซอน ตัวอยาง บริษัทรับสงสินคาแหงหนึ่ง ตองการซื้อรถบรรทุกสินคาที่กินน้ํามันนอยมาใชในกิจการ ไดมีผูแทนจําหนายรถบรรทุก 4 ยี่หอ คือ A, B, C และ D มาเสนอขายรถ บริษัทจึงทําการทดลองรถแตละยี่หอ ๆ ละ 5 คัน โดยการวัดระยะทางที่รถทั้ง 4 ยี่หอนี้วิ่งไดเมื่อใชน้ํามัน 1 ลิตร (ก.ม.) ดังผลในตาราง อยากทราบวารถบรรทุกทั้ง 4 ยี่หอนี้ กินน้ํามนัแตกตางกันหรือไม ที่ 05.0=α

ระยะทางที่รถวิ่งไดตอน้ํามัน 1 ลิตร (หนวย : ก.ม.) ยี่หอ A ยี่หอ B ยี่หอ C ยี่หอ D 11 15 10 13 9 13 12 11 10 12 11 12 11 16 10 15 12 12 12 13

รวม 53 68 55 64 วิธีทํา กําหนดสมมติฐาน 43210 : µµµµ ===H iH µ:1 อยางนอย 2 คา ไมเทากัน 4,...,2,1; =i เมื่อ 4321 ,,, µµµµ แทน ระยะทางเฉลี่ยตอลิตรที่ยี่หอ A, B, C และ D วิ่งได ตามลําดับ คํานวณคาประมาณของเทอมตาง ๆ

4=k ; 205555 =+++=n

6.10553

1 ==X , 6.13568

2 ==X , 0.11555

3 ==X , 8.125

644 ==X

288020

)240(20

)13...911()(

22

4

1 1

2

==+++

=∑∑= =

n

Xi

n

jij

i


∑∑∑∑

= =

= = −+++=−=4

1 1

222

4

1 1

2

2 2880)13...911()(

i

n

j

i

n

jij

ij

i

i

n

XXSST 6228802942 =−=

2880)5

645

555

685

53()(

2222

4

1 1

24

1

2. −+++=−=

∑∑∑ = =

= n

X

nX

SSTr i

n

jij

i i

i

i

8.3028808.2910 =−=

2.318.3062 =−=−= SSTrSSTSSE

จะได 27.10148.30

1=

−=

−=

kSSTrMSTr

95.1420

2.31=

−=

−=

knSSEMSE

กําหนดระดับนัยสําคัญ 05.0=α บริเวณปฏิเสธ 0H ถา 24.3)420,14,(05.0),1,( ==≥ −−−− ffF knkα 05.0=α 95.0 )16,3(F 0 05.0f = 3.24 5.27

ตัวสถิติทดสอบ คือ 27.595.127.10

===MSEMSTrF

เพราะวา 24.327.5 )16,3,(05.0 =>= fF ตกอยูในบริเวณปฏิเสธ 0H จึงปฏิเสธ 0H ดังนั้น รถบรรทุกทั้ง 4 ยี่หอ กินน้ํามันเฉลี่ยตอลิตรแตกตางกันอยางมีนยัสําคัญ ที่

05.0=α #

ตารางวิเคราะหความแปรปรวน (ANOVA Table) SOV df SS MS F

ยี่หอรถบรรทุก 3 30.8 10.27 5.27* ความคลาดเคลื่อน 16 31.2 1.95

รวม 19 62.0 ซ่ึงจะตองทําการเปรียบเทียบระยะทางที่วิ่งไดเฉลี่ยตอลิตรของรถยี่หอ A, B, C, D วามีคูใดบางที่แตกตางกัน ในหัวขอ 10.2 การเปรียบเทียบเชิงซอน 10.2 การเปรียบเทียบเชิงซอน (Multiple Comparisons Test) เปนการทดสอบความแตกตางระหวางคาเฉลี่ยของประชากร ที่ทําตอจากการวิเคราะหความแปรปรวน เมื่อผลการทดสอบเปน “ปฏิเสธ 0H ” แสดงวา มีคาเฉลี่ยของประชากรอยางนอยหนึ่งกลุมแตกตางจากคาเฉลี่ยของประชากรอื่น ๆ


ที่นํามาทดสอบ แตถาผลการทดสอบเปน “ไมปฏิเสธ 0H ” แสดงวา คาเฉลี่ยของทุกประชากรที่นํามาทดสอบไมมีความแตกตางกัน จากผลการทดสอบเปน “ปฏิเสธ 0H ” ถาตองการทราบวา มีคาเฉลี่ยของประชากรใดบางที่แตกตางกัน และมีคาเฉลี่ยของประชากรใดบางที่ไมแตกตางกัน การทดสอบดวยวิธีวิเคราะหความแปรปรวนจะไมสามารถบอกได และถาใชการทดสอบความแตกตางระหวางคาเฉลี่ยของประชากรทีละคู โดยใชการทดสอบแบบ

t หรือแบบ Z จํานวน ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛2k

คู ซ่ึงทําใหเสียเวลามาก โดยเฉพาะเมื่อมีประชากรเปน

จํานวนมาก จึงตองมวีิธีการทดสอบความแตกตางระหวางคาเฉลี่ยของ 2 ประชากร ภายหลังจากการวิเคราะหความแปรปรวน ที่ทําใหประหยัดเวลาในการทดสอบ ซ่ึงมีหลาย วิธี เชน 1) วิธี Least Significant Difference (LSD) 2) วิธี Duncan's New Multiple Range Test 3) วิธี Student-Newman-Keul (SNK) 4) วิธี Tukey 5) วิธี Scheffe เลือกวิธีผลตางนัยสําคัญนอยที่สุด (Least Significant Difference, LSD) เปนวิธีที่นิยมใชมากที่สุด เพราะวาการทดสอบทําไดงาย ผลการทดสอบ มีความนาเชื่อถือมากพอสมควรเมื่อเทียบกับวิธีอื่น ๆ และใชการแจกแจงแบบ t ดังนั้น จึงจะกลาวถึงเฉพาะวิธีนี้เทานั้น โดยการหาผลตางระหวางคาเฉลี่ยจาก

ตัวอยางสุมที่เลือกมาจากประชากรทีละคู จํานวน ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛2k คู แลวนํามาเปรียบเทียบ

กับ คา LSD ดังนี้ - ถาผลตางระหวางคาเฉลี่ยจากตัวอยางสุมที่เลือกมาจากประชากรทีละ 2 กลุม ≥ คา LSD แสดงวา คาเฉลี่ยคูนั้นแตกตางกัน - ถาผลตางระหวางคาเฉลี่ยจากตัวอยางสุมที่เลือกมาจากประชากรทีละ 2 กลุม < คา LSD แสดงวา คาเฉลี่ยคูนั้นไมแตกตางกัน

กําหนดสมมติฐาน jiH µµ =:0 jiH µµ ≠:1 kji ,...,2,1,; = การคํานวณหาคา LSD

1) ถาตัวอยางสุมจากแตละประชากรมีขนาดเทากัน คา LSD คํานวณจาก

n

MSEtLSD 2),(

2ν

α= ; โดยที่ ν เปน df ของ MSE

2) ถาตัวอยางสุมจากแตละประชากรมีขนาดไมเทากัน คา LSD คํานวณจาก

)11(),(

2 ji nnMSEtLSD +=

να ; โดยที่ ν เปน df ของ MSE

เมื่อ ji nn , เปนขนาดตัวอยางสุมจากประชากร i และ j ที่มีขนาดไมเทากัน


ในการทดสอบจะใชวิธีเปรียบเทียบผลตางระหวางคาเฉลี่ยจากตัวอยางของประชากรแตละคู กับคา LSD ของประชากรคูนั้น ซ่ึงทําใหเสียเวลามาก ดังนั้นในทางปฏิบัติจึงนิยมเลือกตัวอยางสุมจากแตละประชากรใหมีขนาดเทากัน ตัวอยาง จากตัวอยางการทดสอบความแตกตางระหวางคุณภาพของรถบรรทุก ผลการทดสอบที่ได คือ “ปฏิเสธ 0H ” นั่นคือ รถบรรทุกทั้ง 4 ยี่หอ กินน้ํามันเฉลี่ยตอลิตรแตกตางกัน หรือมีรถบรรทุกอยางนอยหนึ่งยี่หอที่กินน้ํามนัเฉลี่ยตอลิตรแตกตางจากรถบรรทุกยี่หออื่น ถาตองการทราบวา มีรถบรรทุกยี่หอใดบางที่กินน้ํามันเฉลี่ยตอลิตรแตกตางกัน จะทําการทดสอบตออีกโดยใชวิธี LSD ดังนี้ วิธีทํา เนื่องจาก 5== ji nn

จากสูตร n

MSEtLSD 2)(,2/ να= ; เมื่อ 95.1=MSE , 16=ν , 12.2)16(,2/05.0 =t

แทนคา 87.1)88.0)(12.2(5

)95.1(2)12.2( ===LSD

ระยะทางที่รถวิ่งไดตอน้ํามัน 1 ลิตร (หนวย : ก.ม.) ยี่หอ A ยี่หอ B ยี่หอ C ยี่หอ D 11 15 10 13 9 13 12 11 10 12 11 12 11 16 10 15 12 12 12 13

รวม 53 68 55 64 คาเฉลี่ย 10.6 13.6 11.0 12.8

ให ,AX ,BX CX , DX แทนระยะทางเฉลี่ยตอลิตรที่รถบรรทุกยี่หอ A, B, C,

D วิ่งได คํานวณคา ji XX − ในตาราง จํานวน = 624

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ คู โดยแสดงผลตางที่มี

นัยสําคัญ 05.0=α ดวย * และ 01.0=α ดวย ** เปรียบเทียบกับคา 87.1=LSD ดังนี้

AX BX CX DX 10.6 13.6 11.0 12.8

AX 10.6 -

BX 13.6 3.0* -

CX 11.0 0.4 2.6* -

DX 12.8 2.2* 0.8 1.8 -

สรุปวา ผลตางของคาเฉลี่ย 6 คู ที่ระดับนัยสําคัญ 0.05 มีความแตกตางกัน 3 คู คือ (A, B), (A, D) และ (B, C) ไมมีความแตกตางกัน 3 คู คือ (A, C), (B, D) และ (C, D) # ควรเลือกซื้อรถบรรทุกยี่หอใด?


10.3 สถิติทดสอบความแปรปรวนของสองหรือมากกวาสองประชากร ที่มีความแกรง (ไมเรียน) 10.4 การแปลงขอมูล (ไมเรียน) 10.5 การวิเคราะหความแปรปรวนแบบจําแนกสองทาง (Two-way ANOVA) เปนการทดสอบความแตกตางระหวางคาเฉลี่ยของประชากรตั้งแต 3 กลุมขึ้นไป โดยประชากรมีความแตกตางกันใน 2 ปจจัย แตละปจจัยแบงออกเปนหลายระดับ ทั้งนี้ปจจัยหนึ่ง คือ “สิ่งทดลอง” และอีกปจจัยหนึ่งเรียกวา “บล็อก” เชน - ปจจัยที่ 1 ยารักษาโรคเบาหวาน 4 ชนิด คือ สิ่งทดลอง กับ ปจจัยที่ 2 หนูที่มีอาการโรคเบาหวาน 3 ระยะ คือ บล็อก ความแปรผันหรือความแปรปรวนของปริมาณน้ําตาลในเลือดจะมาจาก 3 แหลง คือ ความแปรปรวนที่เกิดจากชนิดของยาที่ตางกัน ความแปรปรวนที่เกิดจากหนูที่มีระยะอาการโรคเบาหวานตางกัน และความแปรปรวนที่เกิดจากความคลาดเคลื่อนในการทดลอง - บริษัทจําหนายสินคาชนิดหนึ่ง ตองการทราบวา ยอดขายสินคาเฉลี่ยมีความแตกตางกันเนื่องจาก ปจจัยที่ 1 พนักงานขาย และความแตกตางกันเนื่องจาก ปจจัยที่ 2 วันในแตละสัปดาหหรือไม - ผลผลิตขาวเฉลี่ยมีความแตกตางกันเนื่องจากชนิดของพันธุขาว ปจจัยที่ 1 และมีความแตกตางกันเนื่องจาก ปจจัยที่ 2 พื้นที่ปลูกขาวหรือไม

โดยใชการวางแผนแบบสุมในบล็อกสมบูรณ (Randomized Complete Block Design : RCB หรือ RCBD) ใชเมื่อหนวยทดลองมีความแตกตางกันมาก ควรแบงหนวยทดลองออกเปนบล็อก ๆ โดยจัดหนวยทดลองที่คลายคลึงกันไวในบล็อกเดียวกัน และจัดหนวยทดลองที่แตกตางกันไวคนละบล็อก ใหจํานวนหนวยทดลองในแตละบล็อกเทากับจํานวนสิ่งทดลอง ดังนั้น ในแตละบล็อกจะมีสิ่งทดลองครบทุกสิ่งทดลอง และแตละสิ่งทดลองจะปรากฏในทุกบล็อก ดังนี ้

สิ่งทดลองที ่

กลุม j (หรือ block j ) รวม เฉลี่ย

i 1 2 … j … b 1 X11 X12 … X1j … X1b .1X

.1X 2 X21 X22 … X2j … X2b .2X

.2X ... … … … … … … ... ... i Xi1 Xi2 … Xij … Xib .iX

.iX ... … … … … … … ... ... k Xk1 Xk2 … Xkj … Xkb .kX

.kX รวม 1.X 2.X … jX . … bX . ..X คาเฉลี่ย 1.X 2.X … jX . … bX . ..X

เมื่อ ijX แทนคาสังเกตจากสิ่งทดลอง i ของกลุม j ; i = 1, 2, …, k j = 1, 2, …, b .iX เปนผลรวมของขอมลูในสิ่งทดลอง i


jX . เปนผลรวมของขอมลูในกลุม j

.iX แทนคาเฉลี่ยของขอมูลจากสิ่งทดลอง i

jX . แทนคาเฉลี่ยของขอมูลจากกลุม j ..X แทนผลรวมของคาสังเกตทั้งหมด

..X แทนคาเฉลี่ยรวมของขอมูลจากจากทุกแถว i และทุกคอลัมน j k เปนจํานวนสิ่งทดลอง b เปนจํานวนกลุม n เปนจํานวนตัวอยางทั้งหมด kb= ทดสอบสมมติฐาน ก. อิทธิพลของสิ่งทดลอง i (Treatment) ..3.2.10 ...: kH µµµµ ====′ .1 : iH µ′ อยางนอย 2 คา ไมเทากัน ki ,...,2,1; = ข. อิทธิพลของกลุม j (Block) bH .3.2.1.0 ...: µµµµ ====′′ jH .1 : µ′′ อยางนอย 2 คา ไมเทากัน bj ,...,2,1; = คาประมาณของ 2σ ไดจากการแยกความผันแปรทั้งหมดออกเปนสวน ๆ ดังนี้ ผลรวมกําลังสองของยอดรวม = ผลรวมกําลังสองระหวางสิ่งทดลอง + ผลรวมกําลังสองระหวาง block + ผลรวมกําลังสองภายในสิ่งทดลองและ block

SST SSESSBSSTr ++=

∑∑= =

−k

i

b

jij XX

1 1

2)( 2

1 1).( XX

k

i

b

ji −= ∑∑

= =

+ ∑∑= =

−k

i

b

jj XX

1 1

2).( +

]).().()[( 222

1 1XXXXXX ji

k

i

b

jij −−−−−∑∑

= =

และสูตรที่นิยมใช เปนดังนี้

∑∑∑∑

= =

= =−=k

i

b

j

k

i

b

jij

ij kb

XXSST

1 1

1 1

2

2

)(

kb

X

bX

SSTr

k

i

b

jijk

i

i∑∑

∑ = =

=

−= 1 1

2

1

2.

)(

kb

X

kX

SSB

k

i

b

jijb

j

j∑∑

∑ = =

=

−= 1 1

2

1

2.

)( SSBSSTrSSTSSE −−=

ดังนั้น คาประมาณของ 2σ หาไดจาก

)1)(1(111 −−

+−

+−

=− bk

SSEbSSB

kSSTr

kbSST

MSEMSBMSTrMST ++=

กําลังสองเฉลี่ยของยอดรวม = กําลังสองเฉลี่ยระหวางสิ่งทดลอง + กําลังสองเฉลี่ยระหวาง block + กําลังสองเฉลี่ยภายในสิ่งทดลองและ block


โดยที่

)1)(1( −−=

bkSSEMSE เปนตัวประมาณที่ไมเอนเอียงของ 2σ

ไมวา 0H ′ และ 0H ′′ จะเปนจริง หรือไม

1−=

kSSTrMSTr เปนตัวประมาณที่ไมเอนเอียงของ 2σ ถา ..2.10 ...: kH µµµ ===′ เปนจริง

1−=

bSSBMSB เปนตัวประมาณที่ไมเอนเอียงของ 2σ ถา bH .2.1.0 ...: µµµ ===′′ เปนจรงิ

1−=

kbSSTMST เปนตัวประมาณแบบไมเอนเอยีงของ 2σ ก็ตอเมื่อ 0H ′ และ 0H ′′ เปนจริง

ทดสอบสมมติฐาน ก. สิ่งทดลอง (Treatment)

..3.2.10 ...: kH µµµµ ====′ .1 : iH µ′ อยางนอย 2 คา ไมเทากัน ki ,...,2,1; = ที่ระดับนัยสําคัญ α บริเวณปฏิเสธ 0H ′ ถา )1)(1),(1,( −−−′≥′ bkkfF α α 0 αf ′ )1)(1),(1( −−−′ bkkF

ตัวสถิติทดสอบ คือ MSEMSTrF =′ ∼ )1)(1),(1( −−−′ bkkf

ข. กลุม (Block) bH .3.2.1.0 ...: µµµµ ====′′ jH .1 : µ′′ อยางนอย 2 คา ไมเทากัน bj ,...,2,1; =

ที่ระดับนัยสําคัญ α บริเวณปฏิเสธ 0H ′′ ถา )1)(1),(1,( −−−′′≥′′ bkbfF α α 0 αf ′′ )1)(1(),1( −−−′′ bkbF

ตัวสถิติทดสอบ คือ MSEMSBF =′′ ∼ )1)(1),(1( −−−′′ bkbf


ตารางวิเคราะหความแปรปรวนแบบจําแนกสองทาง (Two-way ANOVA Table) SOV df SS MS F

ระหวางสิ่งทดลอง (Treatment)

1−k SSTr 1−

=kSSTrMSTr

MSEMSTrF =′

ระหวางกลุม (Block)

1−b SSB 1−

=bSSBMSB

MSEMSBF =′′

ความคลาดเคลื่อน(Error)

)1)(1( −− bk

SSE )1)(1( −−

=bk

SSEMSE

รวม (Total)

1−kb SST

สิ่งทดลองที ่

กลุม j (หรือ block j ) รวม เฉลี่ย

i 1 2 … j … b 1 X11 X12 … X1j … X1b .1X

.1X 2 X21 X22 … X2j … X2b .2X

.2X ... … … … … … … ... ... i Xi1 Xi2 … Xij … Xib .iX

.iX ... … … … … … … ... ... k Xk1 Xk2 … Xkj … Xkb .kX

.kX รวม 1.X 2.X … jX . … bX . ..X คาเฉลี่ย 1.X 2.X … jX . … bX . ..X

ตัวอยาง ในการเปรียบเทียบอาหารสุกร 5 ชนิด วามีผลตอการเจริญเติบโตของสุกรแตกตางกันหรือไม ผูวิจัยไดแยกสุกรออกเปน 4 กลุม ตามน้ําหนักเริ่มตนกอนเลี้ยงดวยอาหารดังกลาว ใหสุกรแตละกลุมกินอาหาร 5 ชนิด แตละตัวกินอาหารชนิดเดียวตลอดเวลา 4 เดือน ที่ทําการทดลอง ผลที่ไดเปน น้ําหนักสุกรที่เพิ่มขึ้นดังนี้ จงทดสอบวาชนิดอาหารทําใหน้ําหนักเฉลี่ยของสุกรแตกตางกันหรือไม และกลุมสุกรทาํใหน้ําหนักเฉลี่ยของสุกรแตกตางกันหรือไม ที่ระดับนัยสําคัญ 0.05

กลุมสุกร ชนิดอาหาร (Treatment) (หนวย : กิโลกรัม) i รวม (Block) j 1 2 3 4 5

1 82.5 99.3 72.1 63.4 89.2 406.52 75.4 69.4 68.4 73.4 85.2 371.83 69.3 74.2 78.1 81.2 75.5 378.34 95.4 62.4 73.4 90.2 84.3 405.7รวม 322.6 305.3 292.0 308.2 334.2 1,562.3

วิธีทํา คํานวณคาตาง ๆ ไดดังนี้

kb

Xk

i

b

jij∑∑

= =1 1

2)(

)4)(5()3.562,1( 2

= 06.039,122=


∑∑∑∑

= =

= =−=k

i

b

j

k

i

b

jij

ij kb

XXSST

1 1

1 1

2

2

)(

41.955,106.039,122)3.84(...)3.99()5.82( 222 =−+++=

kb

X

bX

SSTr

k

i

b

jijk

i

i∑∑

∑ = =

=

−= 1 1

2

1

2.

)(

87.26506.039,122]4

)2.334(...4

)3.305(4

)6.322([222

=−+++=

kb

X

kX

SSB

k

i

b

jijb

j

j∑∑

∑ = =

=

−= 1 1

2

1

2.

)(

11.19706.039,122]5

)7.405(5

)3.378(5

)8.371(5

)5.406([2222

=−+++=

SSBSSTrSSTSSE −−= 43.492.111.19787.26541.955,1 =−−= 47.66

1587.265

1=

−=

−=

kSSTrMSTr

70.651411.197

1=

−=

−=

bSSBMSB

37.124)14)(15(

43.492,1)1)(1(

=−−

=−−

=bk

SSEMSE

ทดสอบสมมติฐาน ก. ทดสอบอิทธิพลของชนิดอาหาร (Treatment) .5.4.3.2.10 : µµµµµ ====′H .1 : iH µ′ อยางนอย 2 คา ไมเทากัน 5,4,3,2,1; =i เมื่อ .5.4.3.2.1 ,,,, µµµµµ แทน น้ําหนักเฉลี่ยของสุกรที่เลี้ยงดวยอาหารชนิดที่ i

ตัวสถิติทดสอบ คือ MSEMSTrF =′ 53.0

37.12447.66

==

ที่ระดับนัยสําคัญ 05.0=α บริเวณปฏิเสธ 0H ′ ถา )1)(1(),1(, −−−′≥′ bkkfF α 26.3)14)(15(),15(,05.0 =′= −−−f

05.0=α

)12,4(F ′

0 26.305.0 =′f

53.0=′F

ข. ทดสอบอิทธิพลของกลุมสกุร (Block) 4.3.2.1.0 : µµµµ ===′′H


jH .1 : µ′′ อยางนอย 2 คา ไมเทากัน 4,3,2,1; =j เมื่อ 4.3.2.1. ,,, µµµµ แทน น้ําหนักเริ่มตนเฉลี่ยของสุกรกลุมที่ j

ตัวสถิติทดสอบ คือ MSEMSBF =′′ 52.0

37.12470.65

==

ที่ระดับนัยสําคัญ 05.0=α บริเวณปฏิเสธ 0H ′′ ถา )1)(1),(1,( −−−′′≥′′ bkbfF α 49.3)14)(15(),14(,05.0 =′′= −−−f

05.0=α

)12,3(F ′′

0 49.305.0 =′′f

52.0=′′F

ตารางวิเคราะหความแปรปรวนแบบสองทาง SOV df SS MS F

ชนิดอาหาร 4 265.87 66.47 F’ = 0.53กลุมสุกร 3 197.11 65.70 F” = 0.52ความคลาดเคลื่อน 12 1,492.43 124.37

รวม 19 1,955.41 สรุปผลวา ก. เพราะวา 26.353.0 )12,4(,05.0 =′<=′ fF จึงไมปฏิเสธ 0H ′ นั่นคือ ชนิดอาหารที่แตกตางกัน ไมไดทําใหน้ําหนักสุกรเฉลี่ยตางกัน # ข. เพราะวา 49.352.0 )12,3(,05.0 =′′<=′′ fF จึงไมปฏิเสธ 0H ′′ นั่นคือ กลุมสุกรที่แตกตางกัน ไมไดทําใหน้ําหนักสุกรเฉลี่ยตางกัน # ตัวอยาง บริษัทผลิตกระดาษเช็ดหนา ผลิตกลองบรรจุกระดาษเช็ดหนา 3 แบบ ถาจํานวนกลองของกระดาษเช็ดหนาแตละแบบที่ขายไดในหางสรรพสินคาขนาดใหญ 4 แหง ดังในตาราง โดยเฉลี่ยแลวกระดาษเช็ดหนาที่บรรจุกลองทั้งสามแบบขายไดตางกันหรือไม และหางสรรพสินคาทั้ง 4 แหง ขายกระดาษเช็ดหนาไดตางกันหรือไม ที่ 05.0=α

แบบของกลองบรรจ ุi

หางสรรพสินคา j รวม

1 2 3 4 1 17 15 1 6 39 2 34 26 23 22 105 3 23 21 8 16 68 รวม 74 62 32 44 212

วิธีทํา คํานวณคาตาง ๆ ดังนี้

67.94043

212)16...3417()(

2222

1 1

1 1

2

2 =×

−+++=−= ∑∑∑∑

= =

= =k

i

b

j

k

i

b

jij

ij kb

XXSST


17.54743

212)4

684

1054

39()(

22221 1

2

1

2. =

×−++=−=

∑∑∑ = =

= kb

X

bX

SSTr

k

i

b

jijk

i

i

00.34843

212)3

443

323

623

74()(

222221 1

2

1

2. =

×−+++=−=

∑∑∑ = =

= kb

X

kX

SSB

k

i

b

jijb

j

j

50.4500.34817.54767.940 =−−=−−= SSBSSTrSSTSSE

58.2731317.547

1=

−=

−=

kSSTrMSTr

00.1161400.348

1=

−=

−=

bSSBMSB

58.7)14)(13(

50.45)1)(1(

=−−

=−−

=bk

SSEMSE

ทดสอบสมมติฐาน ก. อิทธิพลของแบบกลองบรรจ ุ .3.2.10 : µµµ ==′H .1 : iH µ′ อยางนอย 2 คา ไมเทากัน 3,2,1; =i เมื่อ .3.2.1 ,, µµµ แทน จํานวนกลองเฉลี่ยของกระดาษเช็ดหนาที่ขายไดแบบที่ i

ตัวสถิติทดสอบ คือ MSEMSTrF =′ 09.36

58.758.273

==

ที่ระดับนัยสําคัญ 05.0=α บริเวณปฏิเสธ 0H ′ ถา )1)(1),(1,( −−−′≥′ bkkfF α 14.5)14)(13),(13,(05.0 =′= −−−f

05.0=α

)6,2(F ′

0 14.505.0 =′f 09.36=′F ข. อิทธิพลของหางสรรพสินคา 4.3.2.1.0 : µµµµ ===′′H jH .1 : µ′′ อยางนอย 2 คา ไมเทากัน 4,3,2,1; =j เมื่อ 4.3.2.1. ,,, µµµµ แทน จํานวนกลองเฉลี่ยของกระดาษเช็ดหนาที่ขายไดจากหาง j

ตัวสถิติทดสอบ คือ MSEMSBF =′′ 30.15

58.700.116

==

ที่ระดับนัยสําคัญ 05.0=α บริเวณปฏิเสธ 0H ′′ ถา )1)(1),(1,( −−−′′≥′′ bkbfF α 76.4)13)(14),(14,(05.0 =′′= −−−f


05.0=α

)6,3(F ′′

0 76.405.0 =′′f 30.15=′′F ตารางวิเคราะหความแปรปรวน สําหรับขอมูลในตัวอยางขางตน

SOV df SS MS F แบบของกลองบรรจ ุ 2 547.17 273.58 F’ = 36.09* หางสรรพสินคา 3 348.00 116.00 F” = 15.30* ความคลาดเคลื่อน 6 45.50 7.58

รวม 11 940.67 สรุปผลวา ก. ปฏิเสธ 0H ′ เพราะวา 14.509.36 )6,2,(05.0 =′>=′ fF นั่นคือ จํานวนกลองโดย เฉลี่ยของกระดาษเช็ดหนาที่ขายไดทั้ง 3 แบบ แตกตางกันอยางนอย 1 คู # ซ่ึงจะตองทําการเปรียบเทียบ จํานวนกลองเฉลี่ยของกระดาษเช็ดหนาที่ขายไดแบบที่ 1, 2, 3 วามีคูใดบางที่แตกตางกัน ในหัวขอ 10.2 การเปรียบเทียบเชิงซอน ข. ปฏิเสธ 0H ′′ เพราะวา 76.430.15 )6,3,(05.0 =′′>=′′ fF นั่นคือ จํานวนกลองโดยเฉลี่ยของกระดาษเช็ดหนาที่หางทั้ง 4 แหง ขายไดแตกตางกันอยางนอย 1 คู # ซ่ึงตองทําการเปรียบเทียบจํานวนกลองโดยเฉลี่ยของกระดาษเช็ดหนา ที่หาง 1, 2, 3, 4 วามีคูใดบางที่แตกตางกัน ในหัวขอ 10.2 การเปรียบเทียบเชิงซอน

*********** ***********


แบบฝกหัดบทที่ 10 การวิเคราะหความแปรปรวน

1. ขอมูลอายุการใชงาน (สัปดาห) ของถานไฟฉาย 4 ตรา คือ A, B, C และ D มีดังนี้

ตรา A ตรา B ตรา C ตรา D 24 14 13 18 21 11 17 19 19 13 14 21 20 21 13 26 26 18 14 24 - 16 16 -

110 93 87 108 ใหทดสอบสมมติฐานวา อายุการใชงานเฉลี่ยของถานไฟฉายทั้ง 4 ตรา แตกตางกันหรือไม ที่ระดับนัยสําคัญ 0.05 2. จํานวนสินคาที่ขายได (หนวย:ช้ิน) ในแตละสัปดาหดวยการขายสินคา 3 วิธี คือ แจกของแถม ลดราคา และขายตามปกติ ในระหวาง 7 สปัดาหที่ผานมา เปนดังนี้

วิธีการขาย สัปดาหที ่แจกของแถม ลดราคา ขายตามราคาปกต ิ

1 52 43 38 2 49 37 45 3 59 57 40 4 57 39 49 5 61 46 36 6 58 51 42 7 63 47 39

รวม 399 320 289 ตองการทราบวา จํานวนสินคาที่ขายไดเฉลี่ยดวยการขายสินคา 3 วิธี แตกตางกันหรือไม ที่ระดับนัยสําคัญ 0.01 3. ผลผลิตตอช่ัวโมง (หนวย:ช้ิน) ของเครื่องจักร 4 เครื่อง ผลดังในตาราง จงสรางตารางวิเคราะหความแปรปรวน พรอมทั้งทดสอบสมมติฐานของการเทากันระหวางคาเฉลี่ยของผลผลิตจากเครื่องจักรทั้ง 4 เครื่อง ที่ระดับนัยสําคัญ 0.05

เครื่องจักร A เครื่องจักร B เครื่องจักร C เครื่องจักร D 160 155 170 175 152 167 180 154 141

134 139 144 150 156 159 170 133 128

104 175 95 83 89 79 84 86 83

86 71

112 110 89

100 105 93 85


4. แบงลูกไกออกเปน 4 กลุม ๆ ละ 5 ตัว แลวใหลูกไกแตละกลุมกินอาหารที่แตกตางกัน 4 ชนิด พบวาน้ําหนักลูกไกท่ีเพิ่มข้ึน (หนวย: กรัม) ในระยะเวลาหนึ่ง เปนดังนี้

อาหารชนิด A อาหารชนิด B อาหารชนิด C อาหารชนิด D 550 490 420 410 520

610 1,120 800 890 630

820 970 810 950 920

1,690 1,370 1,690 850 1,540

จงวิเคราะหวาอาหารที่ใชเลี้ยงลูกไก 4 ชนิด ชวยใหการเจริญเติบโตของลูกไกแตกตางกันหรือไม หากพบวาแตกตางกัน นักศึกษาจะเลือกใชอาหารชนิดใด 5. สุมหลอดไฟฟาท่ีผลิตจากโรงงานที่แตกตางกัน 3 แหง มาแหงละ 5 หลอด พบวา อายุการใชงานเปนช่ัวโมง ดังนี ้

โรงงาน A 120 90 105 100 125 โรงงาน B 100 130 125 140 120 โรงงาน C 110 75 100 90 100

ก. จงทดสอบสมมติฐานวา อายุการใชงานเฉลี่ยของหลอดไฟฟาท้ังสามโรงงานไมมีความแตกตางกัน ข. ใหเปรียบเทียบเชิงซอนวาโรงงานใดบางที่ผลิตหลอดไฟฟาท่ีมีอายุการใชงานเฉลี่ยแตกตางกัน 6. ฝายวิจัยตลาดของบริษัทผลิตน้ํามันพืชแหงหนึ่ง ตองการศึกษาวายอดขายน้ํามันพืช (หนวย:ขวด) ตอวัน ท่ีวางจําหนายในหางสรรพสินคาในวันธรรมดา (จนัทร–ศุกร) แตกตางกันหรือไม และยอดขายน้ํามันพืช (หนวย:ขวด) ระหวางหางสรรพสินคา 3 แหง แตกตางกันหรือไม ท่ีระดับนัยสําคัญ 0.05 ไดขอมูลในดังตาราง

วัน หางสรรพสินคา รวม A B C

จันทร 447 377 523 1347 อังคาร 565 546 575 1686 พุธ 495 483 543 1521 พฤหัสบดี 506 457 534 1497 ศุกร 567 567 645 1779

รวม 2580 2430 2820 7830


7. ในการศึกษาวิธีการทํางานที่ดีที่สุด (Time motion study) เพื่อพิจารณาถึงแผนแบบการทํางาน (Work design) ในการติดตั้งเครื่องจักรซึ่งมีอยู 5 แบบ และเพื่อพิจารณาประสิทธิภาพของวิศวกรที่ทําหนาที่ติดตั้ง 4 คน การทดลองทําโดยใหวิศวกรเรียนรูแผนแบบการทํางานกอนแลวใหแตละคนทําการติดตั้งตามแผนแบบแตละอยาง พรอมทั้งบันทึกเวลาทํางาน (หนวย:วัน) ไดผลดังในตาราง จงทดสอบวาวิศวกรมีประสิทธิภาพการทํางานแตกตางกันหรือไม และประสิทธิภาพของแผนแบบการทํางานแตกตางกันหรือไม ที่ระดับนัยสําคัญ 0.05

วิศวกร แผนแบบการทํางาน รวม 1 2 3 4 5

1 10 13 9 14 11 57 2 5 10 5 10 6 36 3 6 12 5 10 6 39 4 4 8 4 11 5 32

รวม 25 43 23 45 28 164 8. ในการเปรียบเทียบประสิทธิภาพการทํางานของเครื่องจักร 4 ตรา ที่ใชในการผลิตสินคาชนิดหนึ่ง โดยใหพนักงาน 5 คน ใชเครื่องจักรทั้ง 4 ตรา ผลิตสินคาตราละชิ้นโดยสุม แลวบันทึกเวลาที่ใชในการผลิตสินคา (หนวย : วินาที/ช้ิน) ปรากฏวาไดผลการวิเคราะหดังตารางวิเคราะหความแปรปรวนตอไปน้ี

SOV df SS MS F-ratio ตราเครื่องจักร พนักงาน ความคลาดเคลื่อน

………. ………. ……….

338.8 …………. ………….

………….. …………..

6.14

…………... …………….

รวม ………. 574

ใหเติมตัวเลขในชองวางของตารางวิเคราะหความแปรปรวนใหสมบูรณ และที่ระดับนัยสําคัญ 0.01 จงทดสอบวา เครื่องจักรแตละตรามีประสิทธิภาพในการทํางานแตกตางกันหรือไม และพนักงานแตละคนมีประสิทธิภาพในการทํางานแตกตางกันหรือไม 9. ในการศึกษาความนิ่มของแปงขนมเคก 3 ตรา โดยผสมแปงแตละตราสําหรับทําขนมเคก 5 กอน กอนนําเขาอบในเตาอบที่มีช้ัน 5 ช้ัน โดยเหตุที่อุณหภูมิในแตละช้ินไมเทากัน แตในชั้นเดียวกันมีอุณหภูมิเทากัน ดังนั้นแตละช้ันของเตาอบจัดวางสวนขนมเคกตราละกอน อบจนกระทั้งขนมเคกสุก และวัดความนิ่มไดดังนี้

ตราแปงขนมเคก ช้ันของเตาอบ 1 2 3 4 5

A B C

0.95 0.71 0.69

0.86 0.85 0.68

0.71 0.62 0.51

0.72 0.72 0.73

0.74 0.64 0.44

ที่ระดับนัยสําคัญ 0.05 จงทดสอบวา ขนมเคกที่อบในแตละช้ันของเตาอบมีความนิ่มแตกตางกันหรือไม และ แปงขนมเคกแตละตรามีความนิ่มแตกตางกันหรือไม

************** ***************

บทที่ 10 การวิเคราะห ความแปรปรวน ·...

Documents