Download - 1. 圆的极坐标方程
1. 圆的极坐标方程
1. 极坐标系的建立:在平面内取一个定点 O ,叫做极点。
引一条射线 OX ,叫做极轴。再选定一个长度单位和角度单位及它的正方向(通常取逆时针方向)。这样就建立了一个极坐标系。
XO
复习回顾
2. 极坐标系内一点的极坐标的规定
XO
M
对于平面上任意一点M ,用 表示线段 OM的长度,用 表示从 OX到 OM 的角度, 叫做点M 的极径, 叫做点 M 的极角,有序数对(,)就叫做 M 的极坐标。
一般地 , 不作特殊说明时 , 我们认为 ρ≥0,θ 要取任意实数 .
3. 极坐标与直角坐标的互化关系式 :
设点 M 的直角坐标是 (x, y) 极坐标是 (ρ,θ)
x=ρcosθ, y=ρsinθ
)0(tan,222 xx
yyx
曲线的极坐标方程 一、定义:如果曲线 C 上的点与方程 f(,)=0 有如下关系 (1) 曲线 C 上任一点的坐标 ( 所有坐标中至少有一个 ) 符合方程 f(,)=0 ; (2) 方程 f(,)=0 的所有解为坐标的点都在曲线 C 上。 则曲线 C 的方程是 f(,)=0 。
新课讲授
2010 年上学期湖南长郡卫星远程学校 制作 09
问题探究
如图,半径为 a 的圆的圆心坐标为C(a,0)(a > 0). 你能用一个等式表示圆上任意一点的极坐标 (,) 满足的条件吗?
M(,)
C(a,0) x
2010 年上学期湖南长郡卫星远程学校 制作 09
A x
M(,)
C(a,0)O
1. 圆的极坐标方程
如图,半径为 a 的圆的圆心坐标为C(a,0)(a > 0). 你能用一个等式表示圆上任意一点的极坐标 (,) 满足的条件吗?
2010 年上学期湖南长郡卫星远程学校 制作 09
圆经过极点 O. 设圆和极轴的另一个交点是 A ,那么 |OA| = 2a. 设 M(,) 为圆上除点 O , A 以外的任意一点,则 OM⊥AM.
A x
M(,)
C(a,0)O
1. 圆的极坐标方程
2010 年上学期湖南长郡卫星远程学校 制作 09
圆经过极点 O. 设圆和极轴的另一个交点是 A ,那么 |OA| = 2a. 设 M(,) 为圆上除点 O , A 以外的任意一点,则 OM⊥AM.在 Rt△AMO 中,
A x
M(,)
C(a,0)O
1. 圆的极坐标方程
|OM| = |OA|cos∠MOA,
= 2acos ① 即
2010 年上学期湖南长郡卫星远程学校 制作 09
A x
M(,)
C(a,0)O
1. 圆的极坐标方程
= 2acos ①
① 就是圆心在 C(a,0)(a > 0) ,半径为a 的极坐标方程 .
2010 年上学期湖南长郡卫星远程学校 制作 09
例 1. 已知圆 O 的半径为 r ,建立怎样的极坐标系,可以使圆的极坐标方程更简单?
r
[ 探究 1] 如图,半径为 a 的圆的
圆心坐标为 (a,0)(a>0) ,你能用一个
等式表示圆上任意一点的极坐标 (,)
满足的条件?
xC(a,0)O
[ 探究 2] 如图,半径为 a 的圆的
圆心坐标为 (a,θ0)(a>0) ,你能用一个
等式表示圆上任意一点的极坐标 (,)
满足的条件?
x
C(a, θ0)O
[ 探究 2] 如图,半径为 a 的圆的
圆心坐标为 (a,θ0)(a>0) ,你能用一个
等式表示圆上任意一点的极坐标 (,)
满足的条件? M
x
C(a, θ0)O
A
2010 年上学期湖南长郡卫星远程学校 制作 09
例 1. 已知圆 O 的半径为 r ,建立怎样的极坐标系,可以使圆的极坐标方程更简单?
r x
O
M
题组练习 1
求下列圆的极坐标方程(1) 中心在极点,半径为 2 ;
(2) 中心在 C(a,0) ,半径为 a ;
(3) 中心在 (a,/2) ,半径为 a ;
题组练习 1
求下列圆的极坐标方程(1) 中心在极点,半径为 2 ; =2
(2) 中心在 C(a,0) ,半径为 a ;
(3) 中心在 (a,/2) ,半径为 a ;
题组练习 1
求下列圆的极坐标方程(1) 中心在极点,半径为 2 ; =2
(2) 中心在 C(a,0) ,半径为 a ;
=2acos(3) 中心在 (a,/2) ,半径为 a ;
题组练习 1
求下列圆的极坐标方程(1) 中心在极点,半径为 2 ; =2
(2) 中心在 C(a,0) ,半径为 a ;
=2acos(3) 中心在 (a,/2) ,半径为 a ;
=2asin
2. 直线的极坐标方程
1. 负极径的定义
1. 负极径的定义 说明:一般情况下,极径都是正值;在某些必要情况下,极径也可以取负值。 (?)
1. 负极径的定义 说明:一般情况下,极径都是正值;在某些必要情况下,极径也可以取负值。 (?)
对于点 M( , ) 负极径时的规定:[1] 作射线 OP ,使 XOP=
[2] 在 OP 的反向延长线上取一点M ,使 |OM|= ||
O X
P
M
O XO X
PP
MM
2. 负极径的实例 在极坐标系中画出点 M( - 3 , /
4) 的位置
2. 负极径的实例 在极坐标系中画出点 M( - 3 , /
4) 的位置 [1] 作射线 OP ,使 XOP=/4
[2] 在 OP 的反向延长线上取一点 M ,使 |OM|= 3
O X
P
= /4
M
O XO X
PP
= /4= /4
MM
负极径小结:极径变为负,极角增加 。
练习:写出点 的负极径的极坐标
( 6 , )6
答:(- 6 , +π ) 6
或(- 6 ,- +π )
11
6
特别强调:一般情况下(若不作特别说明时),认为 ≥ 0 。因为负极径只在极少数情况用。
.4
,
的极坐标方程
的射线倾角为求过极点
[ 例 1]
)0(4
.,4
,:
求直线的极坐标方程为
故所负数其极径可以取任意的非是
线上任一点的极角都
所求的射如图分析
o
M
x﹚ 4
o
M
x﹚ 4
*** 新课讲授 ***
2. 求过极点,倾角为 的直线
的极坐标方程。
*** 思考 ***
1. 求过极点,倾角为 的射线
的极坐标方程。
4
4
5
2. 求过极点,倾角为 的直线
的极坐标方程。
*** 思考 ***
1. 求过极点,倾角为 的射线
的极坐标方程。
4
4
5
)0(4
5 易得
2. 求过极点,倾角为 的直线
的极坐标方程。
*** 思考 ***
1. 求过极点,倾角为 的射线
的极坐标方程。
4
4
5
)0(4
5 易得
4
5
4 或
和前面的直角坐标系里直线方程的表示形式比较起来,极坐标系里的直线表示起来很不方便,要用两条射线组合而成。原因在哪?
和前面的直角坐标系里直线方程的表示形式比较起来,极坐标系里的直线表示起来很不方便,要用两条射线组合而成。原因在哪? 0
和前面的直角坐标系里直线方程的表示形式比较起来,极坐标系里的直线表示起来很不方便,要用两条射线组合而成。原因在哪? 0
为了弥补这个不足,可以考虑允许极径可以取全体实数。则上面的直线的极坐标方程可以表示为
)(4
5)(
4RR 或
[ 例 2] 求过点 A(a,0)(a>0) ,且垂直于极轴的直线 L 的极坐标方程。
o x﹚
A
M
o x﹚
A
M
[ 例 2] 求过点 A(a,0)(a>0) ,且垂直于极轴的直线 L 的极坐标方程。解:如图,设点 M(,)
为直线 L 上除点 A 外的任意一点,连接 OM
在 RtMOA 中有|OM|cosMOA=|OA|
即 cos=a
可以验证,点 A 的坐标也满足上式 .
o x﹚
A
M
o x﹚
A
M
求直线的极坐标方程步骤 1. 根据题意画出草图; 2. 设点 M(,) 是直线上任意一点 ;
3. 连接 MO ; 4. 根据几何条件建立关于 , 的方程 , 并化简; 5. 检验并确认所得的方程即为所求 .
[ 例 3] 设点 P 的极坐标为 (1,1) ,
直线 l 过点 P 且与极轴所成的角为,求直线 l 的极坐标方程。
o x
M
P﹚﹚ 1
1
o x
M
P﹚﹚ 1
1
.
)sin()sin(
)sin()](sin[
)(,
.
||
,||
,
),(,:
11
1
1
1
11
的坐标也是它的解显然点
由正弦定理
则在与极轴交于点设直线
的极坐标知由点则
连接外的任意一点
为直线上除点设点如图解
P
OPMOMP
MOPAL
xOPOP
PxOMOM
OM
PM
小结:直线的几种极坐标方程
1. 过极点
2. 过某个定点,且垂直于极轴
3. 过某个定点,且与极轴成一定的角度