圆锥曲线形状导体所在平面静圆锥曲线形状导体所在平面静电场的求解电场的求解

周融周融

0404级少年班级少年班

2005.12.252005.12.25

在的在的

onon方程方程

)(| MU D ϕ=∂

)(MfU −=Δ

0| =∂DG

)( 0MMG −−=Δ δ

主要的问题和解决的重点

1.需要较严格的数学保证(主要针对求解Green函数)

2.寻找合适的保形变换

采用的方法:

保形变换

主要内容主要内容

一一..数学准备数学准备

二二..具体求解具体求解

三三..一点应用一点应用

简单情况简单情况

占满整个下半平面的导体,电势为0,电荷面密度为σ

)Im()(0

zzUεσ

−=

)0)(Im( ≥z

简单情况简单情况

单位长度电荷量为ρ的半径为1电势为0的无限长圆

柱导体

)||

1ln(2

)(0 z

zUπερ

=

)1|(| ≥z

简单情况简单情况

占满整个下半平面的不带电导体,电势为0,其外 点有一平面电荷q时空间的电势分布,即求解上半平面Green函数(采用电像法)

))||

1ln()||

1(ln(2 000 zzzz

qUL −−

−=

πε

)0)(Im( ≥z

0z

简单情况简单情况

电势为0的不带电无限长单位圆柱导体,其外 处有平面电荷q时空间的电势分布,即求解单位圆外Green函数(采用电像法)

))|1|||

1ln()||

1(ln(2

00

00

zzzzz

qUL

−⋅−

−=

πε

)1|(| ≥z

0z

我们的方法:

借助上述已有的解来解决圆锥曲线边界下的问题

数学保证数学保证

引理1设D为复平面上一单连通区域,若有保形变换w=w(z)将D映为w平面上的单位圆外部,并且将D的边界一一映射到单位圆周,那么z平面上方程

的解为0=ΔU0| =∂DU

)|)(|

1ln(2 0 zw

AU ⋅=πε

数学保证数学保证

证明:只需验证方程成立即可

首先,仅当 时w(z)=1,由此可知 故第一个方程

成立

而U(z)作为解析函数 的实部是调和的,故第二个

方程也是满足的

证毕

Dz ∂∈ 0| =∂DU

))(

1ln(2 0 zw

A⋅

πε

数学保证数学保证

引理2设D为复平面上一单连通区域,若有保形变换w=w(z)将D映为w平面上的上半平面,并且将D的边界一一映射到实轴,那么z平面上方程

的解为0=ΔU0| =∂DU

))(Im(2 0

zwAU ⋅−=πε

数学保证数学保证

证明:与引理1大致相同,从略

数学保证数学保证

一些资料

复变函数

保形变换保形变换

复势解法复势解法

导体外无电荷导体外无电荷

无源无旋场无源无旋场

导体外有电荷时呢导体外有电荷时呢??

数学保证数学保证

引理3设D为复平面上一单连通区域,若有保形变换w=w(z)将D映为w平面上的单位圆外部,并且将D的边界一一映射到单位圆周,那么z平面上方程

的解为)( 0zzqU −−=Δ δ0| =∂DU

))|

)(1)(||)(|

1ln()|)()(|

1(ln(2

00

00

zwzwzwzwzw

qUL

−⋅−

−=

πε

数学保证数学保证

证明:(1)由前面对单位圆外Green函数的讨论可以知道边界上的电势

确实为0(2)现在需要证明

将表达式作一下改写:)( 0zzqU −−=Δ δ

))|1)(|||

1ln(|))(

ln(|)||

1(ln(2

))|1)(|||

1ln()|)(|

1(ln(2

00

0

0

00

00

00

wzwwzz

wzwzz

qw

zwwwzwqU

−⋅−

−−

−−

=

−⋅−

−=

πε

πε

)((*) 0zzq −−=Δ δ调和调和

数学保证数学保证

下面证明第二项是调和的

F(z)=

由w(z)解析知F(z)解析,故第二项

作为F(z)的实部是调和的

综上可知

证毕

)(,)(

00

0 zzzz

wzw≠

−−

)(),()(

lim 00'

0

0

0

zzzwzz

wzwzz

==−−

>−

|))(

ln(|0

0

zzwzw

−−

)( 0zzqU −−=Δ δ

数学保证数学保证

引理4设D为复平面上一单连通区域,若有保形变换w=w(z)将D映为w平面上的下半平面,并且将D的边界一一映射到实轴,那么z平面上方程

的解为)( 0zzqU −−=Δ δ0| =∂DU

))|)()(|

1ln()|)()(|

1(ln(2 000 zwzwzwzw

qU L −−

−=

πε

数学保证数学保证

证明:与引理3大致相同,这里略去

引理引理11

引理引理22

引理引理33

引理引理44

求解的保证

求解的保证

具体求解

具体求解

寻找合适的保形变换寻找合适的保形变换!!

具体求解具体求解

椭圆:参数方程

再考虑到圆的参数方程

由此启发我们找到从单位圆外部到椭圆外部的变换

ee ii bababSinaCosz θθθθ −−+

+=+=

22

eiw θ=

wbawbaz 1

22−

++

=

具体求解具体求解

变换是否满足条件?(1)借助辐角θ 两个边界实现了一一映射

(2)变换的单叶性:设 则有 或者

在单位圆外(包括单位圆周上)后一条件是不可能

满足的

另外知道变换将单位圆外部的点映到椭圆外部

反解

)()( 21 wzwz = 21 ww =babaww

+−

=⋅ 21

这个变换满足条件这个变换满足条件!!ba

czzba

bazzw

+−+

=+

−−+=

22222 )(

具体求解具体求解

由引理1单位长度电荷量为ρ的电势为0的无限长椭圆柱导体,半长轴为a,半短轴为b,此时空间的电势分布为

||ln2

1 22

0 baczzAU

+−+

−=πε

考虑很远处考虑很远处::定出定出

AA＝＝ρρ

具体求解具体求解

再由引理3电势为0的不带电无限长椭圆柱导体,其外 处有平面电荷q时空间的电势分布

0z

))

|1|||

1ln(

)

||

1(ln(2

2200

222200

2200

220

baczzba

czzba

czz

baczz

baczz

qU

+−+

−+−+

⋅+

−+−

+−+

−+−+

=πε

椭圆的问题已经解决了椭圆的问题已经解决了

具体求解具体求解

对于双曲线边界和抛物线边界的导体:应用引理2和引理4,将其变换为上半平面:

))(Im(2 0

zwAU ⋅−=πε

))|)()(|

1ln()|)()(|

1(ln(2 000 zwzwzwzw

qU−

−−

=πε

具体求解具体求解

从上半平面到双曲线右支内部的映射:

ibzzaw ++= 12

具体求解具体求解

抛物线 内部到上半平面的映射:

)(41 bza

w −−=

bayx += 2

具体求解具体求解

至此,前面的预定目标已经达成!

圆锥曲线

圆锥曲线

相当普遍

相当普遍

求求解解??应应用用!!

1.带电椭圆柱表面的电荷分布:电势分布 表面电场

电荷密度电荷密度

||1

22 cz −∝σ

表面越表面越““尖锐尖锐””电荷密度越大电荷密度越大

2.共焦椭圆柱电容器的电容

在带电椭圆外与之共焦的椭圆是一个等势面!

||ln2

1 22

0 baczzAU

+−+

−=πε

不影响电势差不影响电势差

设内柱长短半轴分别是 和 ,外柱长短半轴

分别是 和 ，那么单位长度的电容为

)ln(

2

11

22

0

baba

C

++

=πε

1a 1b

2a 2b

最后最后::

感谢戚伯云老师对我的指导感谢戚伯云老师对我的指导

和和04000400全体同学对我的帮助全体同学对我的帮助

希望各位评委斧正希望各位评委斧正