10. KROVNI GRAFI

Pojem krovnega grafa

• Motivacija:

• Denimo, da nas dvakrat zaprejo v povezan grafni labirint. Ali lahko ugotovimo, da sta labirinta različna? Denimo, da je prvi grafni labirint X, drugi pa Y.

Vprašanje

• Ali lahko ločimo (s sprehajanjem) med zgornjim in spodnjim labirintom?

• Odgovor: Da, lahko ločimo med njima. V zgornjem sta dve trivalentni vozlišči sosednji, v spodnjem pa ne!

Drug zgled

• Po drugi strani pa ne morem razločiti (lokalno) med zgornjim in spodnjim grafom. Vsakemu sprehodu zgoraj lahko priredimo sprehod spodaj, tako da med njima ne moremo ločevati.

Še en zgled

• C4 nad C3 ni dovolj. Medtem ko je C6 nad C3 v redu.

Homomorfizem

• Naj bosta X in Y grafa. Preslikava : X Y je homomorfizem, če x y (x) (y)

• Kadar X in Y nimata zank: x y (x) (y)

Lokalni izomorfizem

• Naj bosta X in Y grafa. N(v)={u VX; u v} – sosedi vozlišča v

• Homomorfizem : X Y je lokalni izomorfizem, če je za vsak y VY in vsak x N((y)-

1) :

|N((y)-1): N((y)-1) N(y) bijektivna.

X Y yx

Krovna projekcija

Naj bosta X in Y povezana grafa in : X Y surjektivna preslikava

: VX VY : SX SY (polpovezave), ki je lokalni izomorfizem. Potem je X

krovni graf nad baznim grafom Y, pa je krovna preslikava.

Vlakna in listi krova

• Pravimo, da je C6 dvolistni krov nad C3. Rdeči vozlišči sta v istem vlaknu. Podobno sta v istem vlaknu črtkasti povezavi.

• Preslikava : C6 C3 je krovna projekcija.

• Prasliko vozlišča -1(v) (ali povezave) imenujemo vlakno.

• Moč vlakna k =| -1(v)| je število listov.

Še en zgled

• Graf kocke Q3 je dvolistni krov nad polnim grafom K4.

• Vlakna sestavljajo pari antipodnih vozlišč kocke.

Krovi nad predgrafi

• Graf K4. Lahko razumemo kot štirilistni krov nad grafom z enim vozliščem, eno zanko in eno polpovezavo.

Kletke kot krovni grafi

Napetostni grafi

• X = (V,S,i,r) – povezan (pred)graf.

• (,A) – permutacijska grupa, ki deluje na prostoru A.

• :S – porazdelitev napetosti.

• Pogoj: za vsak s iz S je [s] = -1[r(s)].

Napetostni graf določa krov• Vsak napetostni graf (X,,A,) določa krovni graf

Y in krovno projekcijo : Y X takole:• Krovni graf Y = (VY,SY,i,r)

• VY := VX x A• SY := SX x A• i: SY VY: i(s,a) := (i(s),a).• r: SY SY: r(s,a) := (r(s), [s](a)).

• Krovna projekcija : VY VX: (x,a) := x.: SY SX: (s,a) := s.

Opomba

• Napetostni graf (X,,A,) – VX={v1,v2},SX={a1,a2,b1,b2,c1,c2}, i:

(a1,a2,b1,b2,c1,c2) (v1,v1,v2,v2,v1,v2) r=(a1 a2)(b1 b2)(c1 c2)

– A=Z5, (a1)=(01234),(a2)=(43210),(b1)=(02413),(b2)=(32420), (c1)=(c2)=id

• enakovredno podamo s sliko usmerjenega grafa z napetostmi na povezavah, saj [s] = -1[r(s)].id

(02413)(01234)

(Retorična) vprašanja

• “Različni” napetostni grafi lahko določajo “isti” krov. Kaj pomeni “isti” in kako dobimo vse “različne” napetostne grafe?

• Napetostni graf je v bistvu določen že z abstraktno grupo. Kakšno vlogo igra permutacijska grupa?

• Kako naj zagotovimo, da bo ob povezanem X povezan tudi Y?

Kroneckerjev krov grafa

• Kanonski dvojni krov ali Kroneckerjev krov grafa X: KC(X) je dvolistni krov, ki ima na vsaki povezavi baznega grafa netrivialno napetost iz Z2.

• Opišemo ga lahko tudi kot tenzorski produkt KC(X) = X K2.

Naloge

• N1: Dokaži, da je Kroneckerjev krov vedno dvodelen graf.

• N2: Dokaži, da je posplošeni Petersenov graf P(10,2) dvolistni krov nad Petersenovim grafom P(5,2).

• N3: Poišči Kroneckerjev krov nad P(5,2).• N4: Poišči nek Zn krov nad lisicami P(1,1),

ki ni posplošeni Petersenov graf P(n,r).

Kvocientni graf

• Naj bo X graf in grupa, ki deluje na X

• Kvocientni graf X/ ima množico vozlišč VX/ in EX/ ter [x] [y] obstajata a[x] in b[y], da je a b v X.

Regularni krovi I.

• Naj bo X krov nad Y. Zanimajo nas avtomorfizimi Aut(X,Y) Aut X, ki ohranjajo vlakna.

• Krov X je regularen, če deluje Aut(X,Y) tranzitivno na vsakem vlaknu.

Regularni krovi II.

• Regularne krove opisujemo z napetostnimi grafi, pri čemer permutacijska grupa (, A) deluje regularno nase z levimi ali desnimi translacijami: (, ).

Y

X/

X

q i

- regularna krovna projekcija

- grupa, ki deluje brez fiksnih točk na X

i - izomorfizem

Naloge

• N1: Dokaži, da je vsak dvolistni krov regularen.

• N2: Poišči primer trilistnega krova, ki ni regularen.

• N3: Zapiši graf na levi kot krov nad predgrafom z enim vozliščem.

Ciklični krovi

• Pri cikličnih krovih vzamemo k in A = k

• Pri tem i deluje na A takole:– i: AA– i(s) = s + i (mod k)