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14 多重積分 Multiple Integration
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14.1 逐次積分和平面上的面積
14.2 重積分和體積
14.3 積分變數變換:極坐標
14.4 質心和慣性矩
14.5 曲面面積
14.6 三重積分
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14.5 曲面面積 (Surface area)曲面面積的定義假設 f 和 f 的偏導數都在 xy- 平面中的閉區域 R 上連
續。以 z = f (x, y) 的圖形在 R 之上所定出的曲面 S 的面
積公式為
P.643Ch14 多重積分
dAyxfyxfdS yxRR 22 )],([)],([1曲面面積:
歐亞書局 P.642Ch14 多重積分
圖 14.42
歐亞書局 P.643Ch14 多重積分
圖 14.43
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例 1 平面區域的面積
如圖 14.44 ,求平面 z = 2 – x – y 在四分之一的圓域x2 +y2 ≤ 1, x ≥ 0, y ≥ 0 上方的面積。
解 由於 fx(x, y) = –1 , fy(x, y) = –1 ,所求部分的面積是
注意上述結果就是 乘上區域 R 的面積, R 是半徑為 1
的四分之一圓,面積等於 π/4 。所以 S 等於 π/4 。
P.644Ch14 多重積分
dAdAdA
dAyxfyxfS
RRR
yxR
33)1()1(1
)],([)],([1
22
22
3
3
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圖 14.44 平面在四分之一圓上部分的面積是 π/4 。
P.644Ch14 多重積分
3
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例 2 求曲面面積
如圖 14.45(a) ,求曲面 f (x, y) = 1 – x2 + y 在以 (1, 0, 0),
(0, - 1, 0) 和 (0, 1, 0) 為頂點的三角形上方的面積。
解 由於 fx(x, y) = –2x, fy(x, y) = 1 ,所求面積 S 為
從圖 14.45(b) ,不難看出 R 的範圍是 0 ≤ x ≤ 1 ,和 x – 1 ≤ y ≤ 1 – x ,所以 S 的積分變成
P.644Ch14 多重積分
dAx
dAyxfyxfS
R
yxR
141
)],([)],([1
2
22
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例 2 (續)
P.645Ch14 多重積分
618.1
23
12ln6)62ln(6
6
)42(422ln42
)422422(
42
42
1
0
2/3222
21
0
2
1
1
1
0
2
1
0
1
1
2
xxxxx
dxxxx
dxxy
dxdyxS
x
x
x
x
歐亞書局 P.644Ch14 多重積分
圖 14.45(a)
歐亞書局 P.645Ch14 多重積分
圖 14.45(b)
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例 3 極坐標變數變換
如圖 14.46 求拋物面 z = 1+ x2 + y2在單位圓上方的面積。
解 由於 fx(x, y) =2x, fy(x, y) = 2y ,所求面積 S 為
以 x = r cosθ,y = r sinθ 代入,換成極坐標求積分。因為 R 的範圍是 0 ≤ r ≤ 1 和 0 ≤θ≤ 2π ,所以 S 的積分
變成P.645Ch14 多重積分
dAyx
dAyxfyxfS
R
yxR
22
22
441
)],([)],([1
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例 3 (續)
33.5
6
155
12
155
12
155
)41(12
1
41
2
0
2
0
1
0
2
0
2/32
2
0
1
0
2
d
dr
ddrrrS
P.645Ch14 多重積分
歐亞書局 P.645Ch14 多重積分
圖 14.46 在單位圓上方的拋物面面積約為 5.33 。
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例 4 求曲面面積
如圖 14.47 ,求半球面在圓域 x2 + y2 ≤ 9 上方的面積。解 f 的一階偏導數為
從曲面面積的公式可得
P.645Ch14 多重積分
2225),( yxyxf
2222 25),(
25),(
yx
yyxf
yx
xyxf yx
和
dAyx
dAyx
y
yx
x
dAyxfyxfdS yx
22
2
22
2
22
22
25
5
25251
)],([)],([1
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例 4 (續)
因此,所求面積 S 為
其中 R 代表圓域, x2 + y2 ≤ 9 。以 x = r cosθ ,y = r sinθ 代入,換成極坐標求積分,由於 R 的範圍是0 ≤ r ≤ 3 和 0 ≤θ≤ 2π ,所以 S 的積分變成
P.646Ch14 多重積分
dAyx
S R
2225
5
105
25525
5
2
0
3
0
2
0
22
0
3
0 2
d
drddrrr
S
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圖 14.47 在圓域上方半球面的面積是 10π。
P.645Ch14 多重積分
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圖 14.48
P.646Ch14 多重積分
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例 5 以辛浦森法求曲面面積的近似值
如圖 14.49 ,求拋物面 f (x, y) = 2 – x2 – y2
在四方形區域 – 1 ≤ x ≤1, –1 ≤ y ≤ 1 上方的面積。
解 f 的偏導數為 fx(x, y) = –2x 和 fy(x, y) = –2y
代入曲面的面積公式得到
P.646Ch14 多重積分
dAyx
dAyx
dAyxfyxfS
R
R
yxR
22
22
22
441
)2()2(1
)],([)],([1
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例 5 (續)
其中 R 代表四方形區域。在極坐標中,直線 x = 1 就是
r cosθ= 1 或是 r = secθ 。因此,求出圖 14.50 中, R 的
四分之一部分的範圍是
令 x = r cosθ, y = r sinθ 代入,換成極坐標積分得到
P.647Ch14 多重積分
44sec0
和r
ddr
ddrrrdAyxS R
4/
4/
2/32sec
0
4/
4/
2/32
4/
4/
sec
0
222
1)sec41(12
1)41(
12
1
414414
1
4
1
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例 5 (續)
最後,取 n = 10 ,以辛浦森法求單變數積分的近似值,
得到
P.647Ch14 多重積分
450.7
1)sec41(3
1 4/
4/
2/32
dS
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圖 14.50 R 的四分之一部分的範圍是:
P.647Ch14 多重積分
44sec0
和r