14 多重積分

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14 多重積分 Multiple Integration

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14.1 逐次積分和平面上的面積

14.2 重積分和體積

14.3 積分變數變換：極坐標

14.4 質心和慣性矩

14.5 曲面面積

14.6 三重積分

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14.5 曲面面積 (Surface area)曲面面積的定義假設 f 和 f 的偏導數都在 xy- 平面中的閉區域 R 上連

續。以 z = f (x, y) 的圖形在 R 之上所定出的曲面 S 的面

積公式為

P.643Ch14 多重積分

dAyxfyxfdS yxRR 22 )],([)],([1曲面面積：

歐亞書局 P.642Ch14 多重積分

圖 14.42


圖 14.43

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例 1 平面區域的面積

如圖 14.44 ，求平面 z = 2 – x – y 在四分之一的圓域x2 +y2 ≤ 1, x ≥ 0, y ≥ 0 上方的面積。

解　由於 fx(x, y) = –1 ， fy(x, y) = –1 ，所求部分的面積是

注意上述結果就是乘上區域 R 的面積， R 是半徑為 1

的四分之一圓，面積等於 π/4 。所以 S 等於 π/4 。


dAdAdA

dAyxfyxfS

RRR

yxR

33)1()1(1

)],([)],([1

22

22

3

3

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圖 14.44 平面在四分之一圓上部分的面積是 π/4 。


3

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例 2 求曲面面積

如圖 14.45(a) ，求曲面 f (x, y) = 1 – x2 + y 在以 (1, 0, 0),

(0, － 1, 0) 和 (0, 1, 0) 為頂點的三角形上方的面積。

解　由於 fx(x, y) = –2x, fy(x, y) = 1 ，所求面積 S 為

從圖 14.45(b) ，不難看出 R 的範圍是 0 ≤ x ≤ 1 ，和 x – 1 ≤ y ≤ 1 – x ，所以 S 的積分變成


dAx

dAyxfyxfS

R

yxR

141

)],([)],([1

2

22

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例 2 （續）


618.1

23

12ln6)62ln(6

6

)42(422ln42

)422422(

42

42

1

0

2/3222

21

0

2

1

1

1

0

2

1

0

1

1

2

xxxxx

dxxxx

dxxy

dxdyxS

x

x

x

x


圖 14.45(a)


圖 14.45(b)

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例 3 極坐標變數變換

如圖 14.46 求拋物面 z = 1+ x2 + y2在單位圓上方的面積。

解　由於 fx(x, y) =2x, fy(x, y) = 2y ，所求面積 S 為

以 x = r cosθ,y = r sinθ 代入，換成極坐標求積分。因為 R 的範圍是 0 ≤ r ≤ 1 和 0 ≤θ≤ 2π ，所以 S 的積分

變成P.645Ch14 多重積分

dAyx

dAyxfyxfS

R

yxR

22

22

441

)],([)],([1

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例 3 （續）

33.5

6

155

12

155

12

155

)41(12

1

41

2

0

2

0

1

0

2

0

2/32

2

0

1

0

2

d

dr

ddrrrS



圖 14.46 在單位圓上方的拋物面面積約為 5.33 。

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例 4 求曲面面積

如圖 14.47 ，求半球面在圓域 x2 + y2 ≤ 9 上方的面積。解 f 的一階偏導數為

從曲面面積的公式可得


2225),( yxyxf

2222 25),(

25),(

yx

yyxf

yx

xyxf yx

和

dAyx

dAyx

y

yx

x

dAyxfyxfdS yx

22

2

22

2

22

22

25

5

25251

)],([)],([1

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例 4 （續）

因此，所求面積 S 為

其中 R 代表圓域， x2 + y2 ≤ 9 。以 x = r cosθ ，y = r sinθ 代入，換成極坐標求積分，由於 R 的範圍是0 ≤ r ≤ 3 和 0 ≤θ≤ 2π ，所以 S 的積分變成


dAyx

S R

2225

5

105

25525

5

2

0

3

0

2

0

22

0

3

0 2

d

drddrrr

S

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圖 14.47 在圓域上方半球面的面積是 10π。


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圖 14.48


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例 5 以辛浦森法求曲面面積的近似值

如圖 14.49 ，求拋物面 f (x, y) = 2 – x2 – y2

在四方形區域 – 1 ≤ x ≤1, –1 ≤ y ≤ 1 上方的面積。

解 f 的偏導數為 fx(x, y) = –2x 和 fy(x, y) = –2y

代入曲面的面積公式得到


dAyx

dAyx

dAyxfyxfS

R

R

yxR

22

22

22

441

)2()2(1

)],([)],([1

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例 5 （續）

其中 R 代表四方形區域。在極坐標中，直線 x = 1 就是

r cosθ= 1 或是 r = secθ 。因此，求出圖 14.50 中， R 的

四分之一部分的範圍是

令 x = r cosθ, y = r sinθ 代入，換成極坐標積分得到


44sec0

和r

ddr

ddrrrdAyxS R

4/

4/

2/32sec

0

4/

4/

2/32

4/

4/

sec

0

222

1)sec41(12

1)41(

12

1

414414

1

4

1

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例 5 （續）

最後，取 n = 10 ，以辛浦森法求單變數積分的近似值，

得到


450.7

1)sec41(3

1 4/

4/

2/32

dS

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圖 14.50 R 的四分之一部分的範圍是：


44sec0

和r

14 多重積分

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